第4章组合逻辑设计原理

制作：金燕华1

第 4 章组合逻辑设计原理逻辑代数基础组合电路分析组合电路综合

数字逻辑设计及应用

制作：金燕华2

基本概念逻辑电路分为两大类：组合逻辑电路（ combinational logic circuit ）

时序逻辑电路（ sequential logic circuit ）

任何时刻的输出仅取决与当时的输入

任一时刻的输出不仅取决与当时的输入，还取决于过去的输入序列

电路特点：无反馈回路、无记忆元件

制作：金燕华3

4.1 开关代数1 、公理

若 X 1, 则 X = 0 若 X 0, 则 X = 1

0’ = 1 1’ = 0 0·0 = 0 1+1 = 1 1·1 = 1 0+0 = 0 0·1 = 1·0 = 0 1+0 = 0+1 = 1F = 0 + 1 · ( 0 + 1 · 0’ )’

= 0 + 1 · 1’ = 0

制作：金燕华4

2 、单变量开关代数定理

自等律： X + 0 = X X · 1 = X

0-1 律： X + 1 = 1 X · 0 = 0

还原律： ( X’ )’ = X

同一律： X + X = X X · X = X

互补律： X + X’ = 1 X · X’ = 0

变量和常量的

关系

变量和其自身的关系

制作：金燕华5

3 、二变量或三变量开关代数定理与普通代数相似的关系

交换律 A · B = B · A A + B = B + A

结合律 A·(B·C) = (A·B)·C A+(B+C) = (A+B)+C

分配律 A·(B+C) = A·B+B·C A+B·C =

(A+B)·(A+C)

可以利用真值表证明公式和定理

制作：金燕华6

几点注意不存在变量的指数 A·A·A A3

允许提取公因子 AB+AC = A(B+C)

没有定义除法 if AB=BC A=C ?? 没有定义减法 if A+B=A+C B=C ??

A=1, B=0, C=0

AB=AC=0, AC

A=1, B=0, C=1

错！

错！

制作：金燕华7

一些特殊的关系吸收律

X + X·Y = X X·(X+Y) = X

组合律X·Y + X·Y’ = X (X+Y)·(X+Y’) = X

添加律（一致性定理）X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z

(X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z) = (X+Y)·(X’+Z)

制作：金燕华8

对上述的公式、定理要熟记，做到举一反三

(X+Y) + (X+Y)’ = 1A + A’ = 1

X·Y + X·Y’ = X

(A’+B)·(A·(B’+C)) + (A’+B)·(A·(B’+C))’ = (A’+B)

代入定理：在含有变量 X 的逻辑等式中，如果将式中所有出现 X 的地方都用另一个函数 F 来代替，则等式仍然成立。

制作：金燕华9

证明： X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z

Y·Z = 1·Y·Z

= (X+X’)·Y·Z

X·Y + X’·Z + (X+X’)·Y·Z

= X·Y + X’·Z + X·Y·Z +X’·Y·Z

= X·Y·(1+Z) + X’·Z·(1+Y)

= X·Y + X’·Z

制作：金燕华10

4 、 n 变量定理广义同一律

X + X + … + X = X X · X · … · X = X

香农展开定理

),,,0(),,,1(

),,,(

12'1121

121

XXFXXXFX

XXXF

)],,,1([)],,,0([

),,,(

12'1121

121

XXFXXXFX

XXXF


证明： A·D + A’·C + C·D + A·B’·C·D = A·D + A’·C

= A · ( 1·D + 1’·C + C·D + 1·B’·C·D ) +

A’ · ( 0·D + 0’·C + C·D + 0·B’·C·D )

= A · ( D + C·D + B’·C·D ) +

A’ · ( C + C·D )

= A·D·( 1 + C + B’·C ) + A’·C·( 1 + D )

= A·D + A’·C


4 、 n 变量定理摩根定理

''2

'121 )'( nn XXXXXX

''2

'121 )'( nn XXXXXX ＋＋＋

),,,,,()]',,,,,([ ''2

'121 ＋ nn XXXFXXXF

—— 反演定理

(A · B)’ = A’ + B’

(A + B)’ = A’ · B’


反演规则：与或， 0 1 ，变量取反遵循原来的运算优先次序不属于单个变量上的反号应保留不变

例 1 ：写出下面函数的反函数 F1 = A · (B + C) + C · D

F2 = (A · B)’ + C · D · E’

合理地运用反演定理能够将一些问题简化

例 2 ：证明 (A·B + A’·C)’ = A·B’ + A’·C’


合理地运用反演定理能够将一些问题简化

证明： AB + AC = AB + AC

AB + AC + BC = AB + AC

(A+B)(A+C)

AA +AC + AB + BC

AC + AB

AC + AB + BC


5 、对偶性对偶规则

与或； 0 1变换时不能破坏原来的运算顺序（优先级）

对偶原理若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等

例：写出下面函数的对偶函数 F1 = A + B · (C + D)

F2 = ( A’·(B+C’) + (C+D)’ )’

X + X · Y = X

X · X + Y = X

X + Y = XX · ( X + Y ) = X

FD(X1 , X2 , … , Xn , + , · , ’ )

= F(X1 , X2 , … , Xn , · , + , ’ )


5 、对偶性对偶规则

与或； 0 1变换时不能破坏原来的运算顺序

对偶原理若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等

证明公式： A+BC = (A+B)(A+C)

A(B+C) AB+AC


对偶和反演

对偶： FD(X1 , X2 , … , Xn , + , · , ’ )

= F(X1 , X2 , … , Xn , · , + , ’ )

反演： [ F(X1 , X2 , … , Xn , + , · ) ]’

= F(X1’ , X2’, … , Xn’ , · , + )

[ F(X1 , X2 , … , Xn) ]’ = FD(X1’ , X2’, … , Xn’ )

正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系


4.1 开关代数内容回顾1 、公理2 、单变量开关代数定理3 、二变量或三变量开关代数定理需要特别记忆：

A + B·C = (A+B)·(A+C)

A·B + A’·C + B·C = A·B + A’·C

补充：代入定理


4.1 开关代数内容回顾

4 、 n 变量定理广义同一律香农展开定理摩根定理（反演）对偶

X + X + … + X = X

X · X · … · X = X),,,(F 21 nXXX

),,,1( 21 nXXFX

),,,0( 2'1 nXXFX


4.1 开关代数内容回顾

4 、 n 变量定理广义同一律香农展开定理摩根定理（反演）对偶

与或， 0 1

变量取反

[ F(X1 , X2 , … , Xn) ]’ = FD(X1’ , X2’, … , Xn’ )

与或， 0 1


正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系

G1AB F

A B F

L L LL H LH L LH H H

电气功能表

A B F

0 0 00 1 01 0 01 1 1

正逻辑约定

A B F

1 1 11 0 10 1 10 0 0

负逻辑约定

正逻辑： F = A·B

负逻辑： F = A+B


举重裁判电路

Y = F (A,B,C ) = A·(B+C)

AB Y

C

&≥1

A

B

C

Y

逻辑函数逻辑图

开关 ABC1 表闭合指示灯1 表亮

00000111

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

A B C Y

真值表

逻辑函数及其表示方法


逻辑表达式真值表Y = A + B’·C + A’·B·C’

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

A B C B’·C A’·B·C’ Y

1

1

00

00000

11

1111

0

000

00

1

0

0

“ 积之和”表达式“ 与 - 或”式


逻辑表达式真值表Y = (B’+C) · (A’+B+C’)

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

A B C B’+C A’+B+C’ Y

0

0

11111

10

11

11

1

11

111

1

0

0

00

“ 和之积”表达式“ 或 - 与”式


真值表逻辑表达式

A’·B·C

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

A B C F

真

值

表A·B’·

C

A·B·C’

F = A’·B·C + A·B’·C + A·B·C’

0 反变量1 原变量

乘积项：

“ 积之和”表达式“ 与 - 或”式



11101111

G

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 0

A B C F

真

值

表

(A’·B·C)’ = A+B’+C’

F = A’·B·C

G = (A+B’+C’)

0 原变量1 反变量



0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

A B C F

真

值

表

A+B’+C

A’+B+C

F = (A+B’+C) · (A’+B+C)


求和项

“ 和之积”表达式“ 或 - 与”式


6 、逻辑函数的标准表示法

最小项 —— n 变量最小项是具有

n 个因子的标准乘积项 n 变量函数具有 2n个最小项

全体最小项之和为 1

任意两个最小项的乘积为 0

A’·B’·C’

A’·B’·C

A’·B·C’

A’·B·C

A·B’·C’

A·B’·C

A·B·C’

A·B·C

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

A B C 乘积项


6 、逻辑函数的标准表示法

最大项 —— n 变量最大项是具有

n 个因子的标准乘积项 n 变量函数具有 2n个最大项

全体最大项之积为 0

任意两个最大项的和为 1

A+B+C

A+B+C’

A+B’+C

A+B’+C

’

A’+B+C

A’+B+C

’

A’+B’+

C

A’+B’+

C’

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

A B C 求和项


A’·B’·C’

A’·B’·C

A’·B·C’

A’·B·C

A·B’·C’

A·B’·C

A·B·C’

A·B·C

最小项

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

0 0 0 00 0 1 1

0 1 0 2

0 1 1 3

1 0 0 4

1 0 1 5

1 1 0 6

1 1 1 7

A B C 编号

A+B+C

A+B+C’

A+B’+C

A+B’+C’

A’+B+C

A’+B+C’

A’+B’+C

A’+B’+C’

M0

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

最大项


最大项与最小项之间的关系

11101001

G

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

A B C F

(A’·B·C)’ = A+B’+C’

(A·B’·C)’ = A’+B+C’

(A·B·C’)’ = A’+B’+C

Mi = mi’

)6,5,3(,, CBAF

)7,4,2,1,0(,, CBAF

mi = Mi’

')6,5,3(,, FG CBA

标号互补


最大项与最小项之间的关系

① 、 Mi = mi’ ； mi = Mi’ ；

③ 、一个 n 变量函数，既可用最小项之和表示，也可用最大项之积表示。两者下标互补。

② 、某逻辑函数 F ，若用 P 项最小项之和表示，则其反函数 F’ 可用 P 项最大项之积表示，两者标号完全一致。


0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

A B C F

课堂练习：分别写出下面逻辑函数的最小项之和最大项之积的表示。

)7,4,2(,, CBAF

)6,5,3,1,0(,, CBA

开集

闭集


6 、逻辑函数的标准表示法真值表乘积项、求和项“积之和”表达式“和之积”表达式标准项（ normal term ）n 变量最小项n 变量最大项

—— 最小项之和

—— 最大项之积

标准和标准积


用标准和的形式表示函数： F(A,B,C) = A·B +A’·C

利用基本公式 A + A’ = 1

F(A,B,C) = A·B + A’·C

= A·B·(C+C’) + A’·C·(B+B’)

= A·B·C + A·B·C’ + A’·B·C + A’·B’·C1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1

= A,B,C(1,3,6,7)


G(A,B,C) = (A+B) · (A’+C)

= (A+B+C·C’) · (A’+C+B·B’)

= (A+B+C)·(A+B+C’)·(A’+B+C)·(A’+B’+C)0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0

= A,B,C(0,1,4,6)


补充：同或、异或异或 —— 当两个输入相异时，结果为1 。

同或 —— 当两个输入相同时，结果为1 。

F = AB =A’·B+A·B’

F = A⊙B =A·B+A’·B’

A B F

0 0 00 1 11 0 11 1 0

异或A B F

0 0 10 1 01 0 01 1 1

同或

AB = (A⊙B)’


基本公式 —— 异或

交换律： AB = BA

结合律： A(BC) = (AB)C

分配律： A·(BC) = (A·B)(A·C)

因果互换关系

AB=C AC=B BC=A

ABCD=0 0ABC=D


基本公式 —— 异或

变量和常量的关系

AA=0 AA’=1 A0=A

A1=A’

多变量异或运算

—— 结果取决于变量为 1 的个数A0 A1 … An =

1 变量为 1 的个数是奇数

0 变量为 1 的个数是偶数


基本公式 —— 同或

交换律： A B = B A ⊙ ⊙

结合律： A (B C) = (A B) C⊙ ⊙ ⊙ ⊙

不满足分配律： A(B C) ≠ AB AC⊙ ⊙

因果互换关系

A B=C ⊙ A C=B ⊙ B C=A⊙


基本公式 —— 同或变量和常量的关系

A⊙A=1 A⊙A’=0 A⊙1=A

A⊙0=A’

多变量同或运算

—— 结果取决于变量为 0 的个数A0⊙A1⊙ … ⊙An =

1 变量为 0 的个数是偶数

0 变量为 0 的个数是奇数


异或和同或的关系偶数个变量的同或和异或 —— 互反

AB = (A⊙B)’

ABCD = (A⊙B⊙C⊙D)’

奇数个变量的同或和异或 —— 相等

ABC = A⊙B⊙C

AB’ = A⊙B AB = A⊙B’


4.2 组合电路分析给出组合电路的逻辑图，分析电路的功能

—— 通过获得逻辑函数的形式来分析

A

B F

A’

B’

(A’·B’)’

(A·B)’

F = [ (A’·B’)’ · (A·B)’ ]’= A’·B’ + A·B = AB


4.1 开关代数内容回顾基本公理、定理

对偶、反演

补充：同或、异或A0 A1 … An =

1 1 的个数是奇数

0 1 的个数是偶数

A0 ⊙ A1 ⊙ … ⊙ An =

1 0 的个数是偶数0 0 的个数是奇数


4.1 开关代数内容回顾基本公理、定理

对偶、反演

补充：同或、异或

AB

Y

=AB

Y

=1AB

Y

AB Y

逻辑函数及其表示方法

真值表逻辑函数


0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

A B C F

真

值

表

00010000

F1

= + +

00000010

F2

00000001

F3

为什么是最小项之和？


0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

A B C F

真

值

表

01111111

F1

= · ·

11101111

F2

11111110

F3

为什么是最大项之积？


逻辑函数的基本运算相加（或）

相乘（与）

反演

F1 = (A,B,C) ( 1, 5, 7, 9, 13 )

F2 = (A,B,C) ( 2, 6, 9, 13, 15 )

F = F1 + F2

= (A,B,C)(1,2,5,6,7,9,13,15)

F = F1 · F2 = (A,B,C) (9,13)

F1’ = (A,B,C) ( 1, 5, 7, 9, 13 )

= (A,B,C) ( 0,2,3,4,6,8,10,11,12,14,15 )


逻辑函数的标准表示法真值表乘积项、求和项“积之和”表达式“和之积”表达式标准项（ normal term ）n 变量最小项n 变量最大项

编号：原变量 1 、反变量 0

编号：原变量 0 、反变量 1

F = A,B,C(1,3,6,7)

G = A,B,C(0,2,4,5)


4.2 组合电路分析分析的目的：确定给定电路的逻辑功能

A

B F

A’

B’

(A’·B’)’

(A·B)’

F = [ (A’·B’)’ · (A·B)’ ]’= A’·B’ + A·B = AB


4.2 组合电路分析

分析步骤：

由输入到输出逐级写出逻辑函数表达式

对输出逻辑函数表达式进行化简

（列真值表或画波形图）

判断逻辑功能


化简逻辑函数

什么是最简公式法化简卡诺图化简

项数最少每项中的变量数最少


公式法化简

并项法：利用 A·B+A·B’=A·(B+B’)=A

吸收法：利用 A+A·B=A·(1+B)=A

消项法：利用 A·B+A’·C+B·C =

A·B+A’·C

消因子法：利用 A+A’·B = A+B

配项法：利用 A+A=A A+A’=1


公式法化简——并项法

= B’ + C·D

= A

= B · ( C’ + C )

利用A·B+A·B’=

A

F1 = A·(B·C’·D)’ + A·B·C’D

F2 = A·B’ + A·C·D + A’·B’ + A’·C·D

F3 = B·C’·D + B·C·D’ + B·C·D + B·C’·D’

= A·[ (B·C’·D)’ + B·C’·D ]

= B · ( C’·D + C·D’ + C·D + C’·D’ )

= B


[ X’ · Y’ ]’ = X + Y

公式法化简——吸收法

利用A+A·B =

A

F1 = (A’·B+C)·A·B·D + A·D

= A·D·[ 1 + B·(…) ]

F2 = A·B + A·B·C’ + A·B·D + A·B·C·D’

= A·B·( 1 + C’ + D + C·D’ )= A·B

F3 = A + [A’·(B·C)’]’·[A’+(B’·C’+D’)’] + B·C

[A’·(B·C)’]’

= A + B·C= A + (A+B·C)·[ … ] + B·C

= A+BC

= A·D


公式法化简——消项法

利用： A·B + A’·C + B·C = A·B + A’·C

Y1 = A·C + A·B’ + B’·C’= A·C + B’·C’

Y2 = A·B’·C·D’ + (A’+B)·E + C·D’·E A’ + B

= [(A’+B)’]’

= (A·B’)’

= (A·B’)·C·D’ + (A·B’)’·E + C·D’·E

= (A·B’)·C·D’ + (A·B’)’·E

Y3 = A·B’ + B·C’ + C·D’ + D·A’ + A·C’ + A’·C

= A·B’ + B·C’ + C·D’ + D·A’


公式法化简——消因子法

利用 A + A’·B = A + B

Y1 = A·B’·C’·D + (A·B’·C’)’

= D + (A·B’·C’)’

Y2 = A + A’·C·D + A’·B·C’

= A + A’·(C·D + B·C’)= A + C·D + B·C’

Y3 = A·C + A’·D + C’·D

= A·C + (A’+C’)·D= A·C + (A·C)’·D = A·C + D

= A’+B+C+D


公式法化简——配项法

利用 A+A=A; A+A’=1

Y1 = A’·B·C’ + A’·B·C + A·B·C

= A’·B·C’ + A’·B·C + A’·B·C + A·B·C= A’·B + B·C

Y2 = A·B’ + A’·B + B·C’ + B’·C

= A·B’ + A’·B·(C+C’) + B·C’ +B’·C·(A+A’)

= A·B’ + A’·B·C + A’·B·C’ + B·C’ + A·B’·C + A’·B’·C

= A·B’ + A’·C+ B·C’


卡诺图表示逻辑函数

YX

0 1

0

1

m0 m2

m1 m3

m0 m2 m6 m4

m1 m3 m7 m5

—— 真值表的图形表示

Z

XY00 01 11 10

0

1

YZ

WX00

00

01

11

10

01 11 10

0 4 12

1 5 13 9

3 7 15

2 6 14 10

8

11


卡诺图表示逻辑函数

0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

A B C F F = (A,B,C)(0,3,5,6)

1 0 1 0

0 1 0 1

C

AB00 01 11 10

0

1

例：填写下面两个函数的卡诺图 F1 = (A,B,C) (1,3,5,7)

F2(A,B,C) = A·C’+B·C·D’+B


卡诺图的特点逻辑相邻性：

相邻两方格只有一个因子互为反变量合并最小项

两个最小项相邻可消去一个因子四个最小项相邻可消去两个因子八个最小项相邻可消去三个因子 2n个最小项相邻可消去 n 个因子


两个最小项相邻可消去一个因子

1 1 1

1 1 1

Z

XY00 01 11 10

0

1

YZ

WX00

00

01

11

10

01 11 10

1

11

1

1

11

1X·Y·Z’+ X·Y·Z = X·Y

X’·Y’·Z + X·Y’·Z = Y’·Z


ABCD

00 01 11 10

00

01

11

10

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

= ABD + ABD = BD

四个最小项相邻可消去一个因子

Z

XY00 01 11 10

0

1

1 1 1 1

1 1 1 1


AB

CD00 01 11 10

00

01

11

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

A

D’

八个最小项相邻可消去三个因子

F1 = A·B·C+A·B·D+A·C’·D+C’·D’+A·B’·C+A’·C·D’


卡诺图化简化简函数： F2 = (A,B,C,D) ( 0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13)

AB

CD00 01 11 10

00

01

11

10A’·B·D

B·C’·D

B’·C

B’·D’

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1 、填图2 、圈组

3 、读图，得到结果F2 = A’·B·D+B·C’·D+B’·C+B’·D’


卡诺图化简步骤填写卡诺图

可以先将函数化为最小项之和的形式圈组：找出可以合并的最小项

组 ( 圈 ) 数最少、每组 ( 圈 ) 包含的方块数最多方格可重复使用，但至少有一个未被其它组圈过

读图：写出化简后的乘积项消掉既能为 0 也能为 1 的变量保留始终为 0 或 1 的变量

乘积项：0 反变量1 原变量


化简逻辑函数

什么是最简项数最少每项中的变量数最少公式法化简

卡诺图化简卡诺图表示逻辑函数卡诺图的特点合并最小项（化简）


卡诺图的特点相邻两方格只有一个因子互为反变量

合并最小项 2n个最小项相邻可消去 n 个因子

m0 m2 m6 m4

m1 m3 m7 m5

Z

XY00 01 11 10

0

1

YZ

WX00

00

01

11

10

01 11 10

0 4 12

1 5 13 9

3 7 15

2 6 14 10

8

11


化简： F = A,B,C,D ( 0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13 )

CD

AB00 01 11 10

00

01

11

10

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1 、填图

2 、圈组 “ 圈”尽可能大圈数尽可能少方格可重复使用

3 、读图F(A,B,C,D) = B’·D’ + B’·C + B·C’·D + A’·B·D

B’·D’

B’·C

A’·B·D

B·C’·D


卡诺图化简步骤填写卡诺图圈组：找出可以合并的最小项

组 ( 圈 ) 数最少、每组 ( 圈 ) 包含的方块数最多方格可重复使用，但至少有一个未被其它组圈过圈组时应从合并数最小的开始

读图：写出化简后的乘积项消掉既能为 0 也能为 1 的变量保留始终为 0 或始终为 1 的变量

积之和形式： 0 反变量 1 原变量


几个概念对于逻辑函数 P(X1,…,Xn) 和 F(X1,

…,Xn) ，若对任何使 P=1 的输入组合，也能使 F

为 1 ，则称 P 隐含 F ，或者 F 包含 P 。

P1(A,B,C) = A·B·C’

F(A,B,C) = A·B + B’·C

P2(A,B,C) = B’·C

P = A,B,C (1,3,6)

F = A,B,C

(1,3,5,6,7)


几个概念对于逻辑函数 P(X1,…,Xn) 和 F(X1,

…,Xn) ，若对任何使 P=1 的输入组合，也能使 F

为 1 ，则称 P 隐含 F ，或者 F 包含 P 。逻辑函数 F(X1,…,Xn) 的主蕴含项是隐含 F 的常规乘积项 P ，如果从 P 中移去任何变量，则所得的乘积项不隐含 F 。

F(A,B,C) = A·B·C + B·C + A·C’ = B·C + A·C’

最小和是主蕴含项之和


几个概念奇异“ 1 ” 单元

仅被单一主蕴含项覆盖的输入组合

质主蕴含项覆盖 1 个或多个奇异“ 1” 单元的主蕴含项

没有可能被重复“圈”过的单元 1

AB

CD00 01 11 10

00

01

11

10

1

1

1

11

1

1

1

1

1


几个概念

ABCD

00 01 11 10

00

01

11

10

11

1

1

1

1

1

1

奇异“ 1 ” 单元仅被单一主蕴含项覆盖的输入组合

质主蕴含项覆盖 1 个或多个奇异“ 1” 单元的主蕴含项圈组时应从合并奇异“ 1” 单元开始


化简： F = A,B,C,D ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 14, 15 )

CD

AB00 01 11 10

00

01

11

10

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1 、填图

2 、圈组找奇异“ 1” 单元

圈质主蕴含项圈其它的 1

3 、读图F(A,B,C,D) = A’·B’ + A’·C’ + A’·D + A·B·C


CD

AB00 01 11 10

00

01

11

10

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

CD

AB00 01 11 10

00

01

11

10

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

化简结果不一定唯一（但代价相同）


CD

AB00 01 11 10

00

01

11

10

1

11 1

11

没有奇异“ 1” 单元没有质主蕴含项

CD

AB00 01 11 10

00

01

11

10

1

11 1

11

注意：不要重叠

至少有一个 1未被圈过



先找奇异“ 1” 单元，圈质主蕴涵项，再圈其它项保证每个圈的范围尽可能大、圈数尽可能少方格可重复使用，但不要重叠圈组

读图：写出化简后的各项消掉既能为 0 也能为 1 的变量保留始终为 0 或始终为 1 的变量

积之和形式： 0 反变量 1 原变量

思考：和之积形式？？


CD

AB00 01 11 10

00

01

11

10

0 0

0 0

0

00

简化“和之积”表达式


A’+B

A’+C

F = (A+B’+C’+D)·(A’+C)·(A’+B)


“无关”输入组合有时组合电路的输出和某些输入组合无关

F = A,B,C,D(1,2,3,5,7) +

d(10,11,12,13,14,15)

CD

AB00 01 11 10

00

01

11

10

d

d

d

d

d

d

1

1

1

1

1

F = A’·D + B’·C

A’·D

B’·C

d 集（ d-set ）


多输出函数的最小化

F1 = A,B,C (0,1,3) F2 = A,B,C

(3,6,7)

C

AB00 01 11 10

0

1

1

1 1

C

AB00 01 11 10

0

1

1

1 1

F1 = A’·B’ + A’·C F2 = A·B + B·C


C

AB00 01 11 10

0

1

1

1 1

C

AB00 01 11 10

0

1

1

1 1

C

AB00 01 11 10

0

1

1

1 1

C

AB00 01 11 10

0

1

1

1 1

F1 = A’·B’ + A’·C F2 = A·B + B·C

F1 = A’·B’ + A’·B·C F2 = A·B + A’·B·C


再谈组合电路的分析

X

Y

Z

F

X+Y’

(X+Y’)·Z

X’·Y·Z’

F = (X+Y’)·Z + X’·Y·Z’= X·Z + Y’·Z + X’·Y·Z’

= (X+Y’+Z’)·(X’+Z)·(Y+Z)


0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

A B C Y

真值表A

B

C

Y

1

1

1

&

&

&

&

≥1

功能：判奇电路，奇偶校验

例：分析下图电路的逻辑功能

Y = ABC + ABC + ABC + ABC

ABC

ABC

ABC

ABC


化简逻辑函数

什么是最简

公式法化简

卡诺图化简



先找奇异“ 1” 单元，圈质主蕴涵项，再圈其它项保证每个圈的范围尽可能大、圈数尽可能少方格可重复使用，但不要重叠圈组

读图：写出化简后的各项消掉既能为 0 也能为 1 的变量保留始终为 0 或始终为 1 的变量


4.2 组合电路的分析分析的目的：

确定给定电路的逻辑功能分析步骤：

由输入到输出逐级写出逻辑函数表达式对输出逻辑函数表达式进行化简判断逻辑功能（列真值表或画波形图）


4.3 组合电路的综合

根据给出的实际问题，求出实现这一逻辑功能的电路。

进行逻辑抽象，得到真值表或逻辑函数式选择器件的类型逻辑化简或变换成适当的形式电路处理，得到电路图


正常工作状态故障状态

1 、进行逻辑抽象：输入变量：红 R 黄 Y 绿 G 三盏灯的状态灯亮为 1 ，不亮为 0 输出变量：故障信号 F

正常工作为 0 ，发生故障为 1

例：设计一个监视交通信号灯工作状态的逻辑电路


正常工作状态

1 、进行逻辑抽象：输入变量：红 R 黄 Y 绿 G 三盏灯的状态灯亮为 1 ，不亮为 0 输出变量：故障信号 F

正常工作为 0 ，发生故障为 1

例：设计一个监视交通信号灯工作状态的逻辑电路

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

R Y G F

真值表

1

1

111


0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

R Y G F

真值表

1

1

111

1 、逻辑抽象2 、用门电路设计写出逻辑函数式并化简

F = R’·Y’·G’ + R·Y + R·G + Y·G

R’·Y’·G’

R·Y

R·GY·G

G

RY00 01 11 10

0

1

1 1

1 1 1


3 、电路处理 F = R’·Y’·G’ + R·Y + R·G + Y·G

R

Y

GF


问题描述

4.3 组合电路的综合

逻辑抽象

选定器件类型

函数化简电路处理

将函数式变换

电路实现

真值表或

函数式

用门电路

用 MSI 组合电路或

PLD


4.5 定时冒险稳态特性和瞬态特性

steady-state behavior & stransient behavior

电路延迟冒险（ hazard ）

A

A’A

FF

尖峰


静态冒险静态 -1型冒险静态 -0型冒险

主要存在于“ 与－或”电路中

AF

AF

输出端在一定条件下，能简化成： F = (A·A’)’ = A+A’

输出端在一定条件下，能简化成： F = (A+A’)’ = A·A’

主要存在于“ 或－与”电路中


利用卡诺图发现静态冒险

Z

XY00 01 11 10

0

1

1 1

1 1

若卡诺图中，圈与圈之间有相切现象，则可能出现静态冒险。

消除冒险的方法：引入额外项乘积项覆盖冒险的输入对。

F = X·Z’ + Y·Z + X·Y


AB

CD00 01 11 10

00

01

11

10

1

1 1

1

1 1

1

1

1

1


动态冒险一个输入转变一次而引起输出变化多次的可能性

X

Z

Y

F

W 慢

更慢


第四章小结4.1 开关代数

公理、定理摩根定理对偶、反演逻辑函数的标准表示法

真值表积之和、和之积标准项n 变量最小项（最大项）

补充：同或、异或 4.2 组合电路分析

4.3 组合电路综合 4.5 定时冒险


第四章作业 4.5 4.6 (a)(b) 4.9 (c)(e) 4.10 (c)(f) 4.13 (a)(e) 4.16 (b)(c) 4.19 (a)(c) 4.22 (a)(c)(e)

4.31 4.32 4.33 4.38 4.39 4.44 4.46 4.47 4.71 4.72(b) 4.66 4.83


补充：竞争－冒险（清华教材）

1&A

AY1

≥1

1

A Y2

A

A

Y1

Y2

竞争：门电路两个输入信号同时向相反的逻辑电平跳变。

若后继负载电路是一个对脉冲敏感的电路，这种尖峰脉冲可能使负债电路发生误动作。

竞争－冒险：由于竞争而在电路输出端可能产生尖峰脉冲


检查竞争－冒险现象的方法• 只要输出端的逻辑函数在一定条件下能简化成

Y = A + A Y = A·A或则可判定存在竞争—冒险

如： Y = AB +AC

当 B = C = 1 时， Y = A + A ，存在竞争—冒险

又如： Y = ( A + B ) ( B + C )

当 A = C = 0 时， Y = B·B ，存在竞争—冒险

• 采用计算机辅助分析手段

• 用实验来检查电路输出端是否产生尖峰脉冲


消除竞争－冒险现象的方法接入滤波电容尖峰脉冲一般都很窄，输出端并接一个很小的滤波电容，足以将其幅度削弱到门电路的阈值电压以下。

增加了输出电压波形的上升时间和下降时间，使波形变坏不是一个好办法

1&A

AY1

Cf


消除竞争－冒险现象的方法

引入选通脉冲

修改逻辑设计Y = AB + AC = AB + AC + BC

增加冗余项消除冒险（可以利用卡诺图）

1&A

AY1

P

A

A

Y1

P

第4章组合逻辑设计原理

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