第一篇数理逻辑

第一篇

数理逻辑

数理逻辑数理逻辑（ mathematical logic）是用数学的方法来研究人类推理过程的一门数学学科。

又称符号逻辑、现代逻辑。

其显著特征是符号化和形式化，即把逻辑所涉及的“概念、判断、推理”用符号来表示，用公理体系来刻划 , 并基于符号串形式的演算来描述推理过程的一般规律。

逻辑演算四个分支：公理集合论、证明论、模型论和递归论。

第一章

命题演算及其形式系统

1.1 命题与联结词1.2 重言式

1.3 范式

* 1.4 命题演算形式系统

第一章命题演算及其形式系统

1.1.1 命题1.1.2 联结词1.1.3 命题公式及其真值表

1.1.4 语句的形式化

第一章命题演算及其形式系统 1.1 命题与联结词

1.2.1 重言式概念

1.2.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式

△1.2.3 对偶原理

第一章命题演算及其形式系统1.2 重言式

1.3.1 析取范式和合取范式

1.3.2 主析取范式与主合取范式

△1.3.3 联结词的扩充与归约

第一章命题演算及其形式系统1.3 范式

1.4.1 证明、演绎和推理

△1.4.2 命题演算形式系统 PC

1.4.3 自然推理系统 ND

第一章命题演算及其形式系统* 1.4 命题演算形式系统

第一章命题演算及其形式系统 1.1 命题与联结词 1.1.1 命题

我们把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题命题（ propositions or statements ）

当判断正确或符合客观实际时，称该命题真真（ true ），否则称该命题假假（ false ）。

第一章命题演算及其形式系统 1.1 命题与联结词 1.1.1 命题

通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题原子命题或原子原子（ atoms ）

把由原子命题和逻辑联结词共同组成的

命题称为复合命题复合命题（ compositive

propositions or compound statements ）

第一章命题演算及其形式系统 1.1 命题与联结词1.1.2 联结词

否定词“并非”

合取词“并且”

析取词“或”

蕴涵词“如果……，那么……”

双向蕴涵词“当且仅当”


否定否定词（ negation ）“并非”（ not ），用符号“ ┐┐ ”表示。

p ┐p 0

1

1

0

可用表 1.1 来规定否定词“┐┐”的意义 :

┐p 读作“并非 p” 或“非 p” 。


合取词（ conjunction ）“并且”（ and ），用符号“∧”表示。可用表 1.2 来规定合取词“∧”的意义：

p q p ∧q 0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

p∧q 读作“ p 并且 q” 或“ p 且 q”


析取析取词（ disjunction ）“或”（ or ）用符号“ ∨ ∨ ”表示。

可用表 1.3 来规定析取词“∨∨”的意义：

p∨q 读作“ p 或者 q” 、“ p 或 q” 。

p q p ∨q 0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1


蕴涵蕴涵词（ implication)“ 如果…，那么…”（ if…then… ），用符号“ →→ ”表示。

可用表 1.5 来规定该蕴涵词“ →→ ”的意义： p q p → q

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

p→q 中的 p 称为蕴涵前件蕴涵前件， q 称为蕴涵后件蕴涵后件。


双向蕴涵双向蕴涵词 (two-way-implication)“ 当且仅当”（ if and only if ），用符号“ ”表示。可用表 1.6 来规定该双向蕴涵词“ ”的意义：

p q p q 0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

pq 读 “作 p双向蕴涵 q” “， p当且仅当 q” “， p等价于 q” 。

第一章命题演算及其形式系统 1.1 命题与联结词1.1.3 命题公式及其真值表

命题常元命题公式

指派

弄真与弄假

真值表（ truth table ）

命题变元


我们把表示具体命题及表示常命题的 p ， q ， r ， s 等与 f ， t 统称为命题常元命题常元（ proposition constants ）。

命题变元命题变元（ proposition variable ）是以“真、假”或“ 1 ， 0” 为取值范围的变元，它未指出符号所表示的具体命题。


以下三条款规定了命题公式命题公式（ proposition formula ）的意义：

（（ 11 ））命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。

（（ 22 ））如果 A ， B 是命题公式，那么（┐ A ），（ A∧B ），（ A∨B ），（ A→B ），（ AB ）也是命题公式。

（（ 33 ））只有有限步引用条款（ 1 ），（ 2 ）所组成的符号串是命题公式。

◆ 定义 1.1


对任意给定的命题变元 p1,…,pn 的一种取值状况，称为指派指派或赋值赋值（ assignments ），用字母，等表示

当 A 对取值状况为真时，称指派弄真弄真 A 或是 A 的成真赋值，记为 (A) = 1 ；反之称指派弄假弄假 A 或是 A 的成假赋值，记为 (A) = 0 。


对一切可能的指派 , 公式 A 的取值可能用下表来描述，这个表称为真指表真指表（ truth table ）

p q r q∧r p→(q∧r)

┐(p→(q∧r)

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

11110001

00001110

第一章命题演算及其形式系统 1.1 命题与联结词1.1.4 语句的形式化

语句形式化主要是以下几个方面：

① 要准确确定原子命题，并将其形式化。 ② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要放准确。 ③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式，但要保证表达意思一致。 ④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。 ⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。

第一章命题演算及其形式系统1.2 重言式1.2.1 重言式概念

◆ 定义 1.2

重言式

不可满足式

可满足式


对命题公式 A ，如果对 A 中命题变元的一切指派均弄真 A ，则 A 称为重言式重言式（ tautology ），又称永真式永真式 .

如果至少有一个指派弄真 A ，则 A 称为可满足式可满足式（ satisfactable formula or contingency ）。


如果对 A 中命题变元的一切指派均弄假 A ，则称 A 为不可满足式不可满足式或矛盾矛盾式式（ contradiction or absurdity ）或永假式永假式。

第一章命题演算及其形式系统1.2 重言式1.2.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式

当命题公式 AB 为重言式时，称 A 逻辑等价于B ，记为 A┝┥ B ，它又称为逻辑等价式逻辑等价式（ logically equivalent or equivalent ）。

◆ 定义 1.3

当命题公式 A→B 为重言式时，称 A 逻辑蕴涵 B ，记为 A┝ B ，它又称为逻辑蕴涵式逻辑蕴涵式(logically implication) 。

◆ 定义 1.4


性质： ◆定理 1.1 （ 1 ） A┝┥B当且仅当┝ AB （ 2） A ┝ B当且仅当┝ A→B

（ 3 ）若 A┝┥B ，则 B┝┥A （ 4 ）若 A┝┥B ， B┝┥C ，则 A┝┥C （ 5 ）若 A ┝ B ，则┐ B ┝ ┐A

（ 6 ）若 A ┝ B ， B ┝ C ，则 A ┝ C （ 7 ）若 A ┝ B ， A┝┥A' ， B┝┥B' ，则A' ┝ B'


设 A 为永真式， p 为 A 中命题变元， A(B/p)表示将 A 中 p 的所有所有出现全部全部代换为公式 B后所得的命题公式（称为 A 的一个代入实例），那么 A(B/p) 亦为永真式。

◆ 定理 1.2----- 代入原理代入原理（ rule of substitution ），简记为RS


设 A 为一命题公式， C 为 A 的子公式（ A 的一部分，且自身为一公式），且 C┝┥D 。若将 A 中子公式 C 的某些某些（未必全部）出现替换为 D 后得到公式 B ，那么 A ┝┥ B 。

◆ 定理 1.3----- 替换原理替换原理（ rule of replacement ），简记为 RR


△1.2.3 对偶原理

设公式 A仅含联结词 ┐，∧，∨， A* 为将 A 中符号∧，∨， t ， f 分别改换为∨，∧，f ， t 后所得的公式，那么称 A* 为 A 的对偶对偶（ dual ）。

◆ 定义 1.5


△1.2.3 对偶原理

◆ 定理 1.4

设公式 A 中仅含命题变元 p1,…,pn ，及联结词┐，∧，∨，那么 A┝┥┐A*(┐p1/p1,…, ┐pn/pn)

对偶原理对偶原理

◆ 定理 1.5设 A ， B 为仅含联结词┐，∧，∨和命题变元 p1,…,pn的命题公式，且满足 A┝ B ，那么有 B*┝ A* 。进而当A ┝┥ B 时有 A* ┝┥ B* 。常把 B*┝ A* ， A* ┝┥ B* 称为 A┝ B 和 A ┝┥ B

的对偶式对偶式。

第一章命题演算及其形式系统1.3 范式1.3.1 析取范式和合取范式

文字文字 (letters) ：指命题常元、变元及它们的否定，前者又称正文字正文字，后者则称负文字负文字。

析取子句析取子句 (disjunctive clauses) ：指文字或若干文字的析取。合取子句合取子句 (conjunctive clauses) ：指文字或若干文字的合取。

互补文字对互补文字对 (complemental pairs of letters) ：指形如 L ，┐ L （ L 为文字）的一对字符。

第一章命题演算及其形式系统1.3 范式1.3.1 析取范式和合取范式

◆ 定义 1.6 命题公式 A‘ 称为公式 A 的析取范式析取范式（ disjunctive normal form ），如果（（ 11 ）） A'┝┥A （（ 22 ）） A' 为一合取子句或若干合取子句的析取。

◆ 定义 1.7 命题公式 A‘ 称为公式 A 的合取范式合取范式（ conjunctive normal form ）如果（（ 11 ）） A'┝┥A （（ 22 ）） A' 为一析取子句或若干析取子句的合取。

第一章命题演算及其形式系统1.3 范式1.3.2 主析取范式与主合取范式

◆ 定义 1.8设 A 为恰含命题变元 p1,…,pn 的公式。公式 A, 称为 A 的主析（合）取范式主析（合）取范式（ majordisjunctive （ conjunctive ） normal form ），如果 A, 是 A 的析（合）取范式，并且其每个合（析）取子句中 p1,…,pn 均恰出现一次。



◆ 定义 1.9 称 n 元联结词 h 是用 m 个联结词 g1, g2,…, gm

可表示可表示的，如果 h(p1, p2,. . ., pn ) A┝┥而 A 中所含联结词仅取自 g1, g2,. . ., gm 。



◆ 定义 1.10当联结词组 g1, g2,. . ., gm 可表示所有一元、二元联结词时，称其为完备联结完备联结词组词组（ complete group of connectives ）。



◆ 定义 1.11

公式序列 A1, A2, …, Am 称为 Am 的一个证明证明（ proof ），如果 Ai(1 ≤ i ≤ m) 或者是公理，或者由 Aj1 …, Ajk (j1,…,jki) 用推理规则推得。当这样的证明存在时，称 Am 为系统的定理定理（ theorems ），记为├*Am, ( 为所讨论的系统名 ), 或简记为├ Am 。



◆ 定义 1.12 设为一公式集合。公式序列 A1,A2,…,Am 称为 Am 的

以为前提的演绎演绎（ diduction ），如果 Ai(1≤i≤m)

或者是中公式，或者是公理，或者由Aj1…,Ajk(j1,…,jki) 用推理规则导出。当有这样的

演绎时， Am 称为的演绎结果演绎结果，记为 ├*Am, ( 为所讨论的系统名 ) ，或简记为├ Am 。

称和的成员为 Am 的前提前提 (hypothesis) 。

第一章命题演算及其形式系统* 1.4 命题演算形式系统△1.4.2 命题演算形式系统 PC

◆ 定理 1.6 （合理性合理性， sondness ）若公式 A 是系统 PC 的定理，则 A 为永真式。若 A 是公式集的演绎结果，那么 A 是的逻辑结果。即若├ PC A ，则┝ A . 若 ├ PC A ，则 ┝ A .◆ 定理 1.7 PC 是一致的，即没有公式 A使得├ PC A 与├PC┐A 同时成立。


◆ 定理 1.8 （完备性完备性， completeness ）

若公式 A 永真，则 A 必为 PC 的定理；若公式 A是公式集的逻辑结果，那么 A 必为的演绎结果。即若┝ A ，那么 ├ PC A . 若 ┝ A ，那么

├ PC A .


◆ 定理 1.9 （演绎定理演绎定理）

对任意公式集和公式 A ， B ，├ A→B 当且仅当且仅当当 A├ B （当 = 时，├ A→B 当且仅当当且仅当 A├ B ，或 A├ B ）


◆ 定理 1.10 （归谬定理归谬定理）对任何公式集和公式 A ， B , 若 ┐ A├ ┐B ， ┐A├ B ，那么 ├ A 。

◆ 定理 1.11 （穷举定理穷举定理）对任何公式集，公式 A ， B ，若 {┐A}├ B ，{A}├ B ，则├ B 。


1.4.3 自然推理系统 ND

◆ 定理 1.12

如果公式 A 是 PC 的定理，那么 A 也必定是 ND 的定理。

即├ PC A 蕴涵├ ND A 。

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