§6 逻辑模型

§6 逻辑模型逻辑模型欧几里得在不加证明而被直接采用的一些基本概念和公理的基础上。运用逻辑推理方法得出了一系列的定理、推论，从而建立了完整的欧几里得几何学，这一辉煌成果至今仍然是人类的宝贵财富。

本章介绍的一些模型采用的也是类似的方法。建模者从问题应当具有的某些基本属性出发，运用逻辑推理方法或者导出满足这些基本属性的解来，或者证明在原有观念下问题不可能有解，从而从根本上改变人们对这一问题的看法

§ 6.1 几个较为简单的问题本节将采用逻辑推理方法讨论几个颇为有趣的问题。

例 1 在每一次人数不少于 6 人的聚会中必可找出这样的 3 人，他们或者彼此均认识或者彼此均不认识。

利用图的方法来描述该问题。将人看成顶点，两人彼此都认识用实线连，否则虚线。

证明：

相识问题（拉姆齐问题）

问题转化为在一个 6阶图中必存在实线三角形或虚线三角形。

请大家一起画图证明

υ2 υ1

υ3

υ4

υ6

υ5

υ1 υ2

υ3

υ4

任取一顶点，不妨υ1

考察 υ2υ3 、 υ2υ4 和 υ3υ4

υ2υ3 、 υ2υ4 和 υ3υ4 只能是虚线，否则得证

但这样三角形 υ2υ3υ4 的三边均为虚线

不妨取 υ1 υ2 、 υ1 υ3 、 υ1 υ4 实线

与 υ1 相连的边必然有：实线条数不小于 3或虚线条数不小于 3

拉姆齐问题也可这样叙述： 6 阶 2 色完全图中必含有 3 阶单色完全图。

其他类似可推出的结果：命题 11.1 任一 6 阶 2 色完全图中至少含有两个 3 阶单色完全图。证明：前面证明必存在 3阶单色完全图，不妨设υ1υ2υ3 为红色完全图

υ1υ5 、 υ2υ5 、 υ3υ5 中至少有两条黑色、故 υ1υ5

与 υ2υ5 中至少有一条是黑色

若 υ4υ5υ6 也是红色三角形，命题已得证故至少一边与 υ1υ2υ3 的边异色，不妨设 υ4υ5 黑色υ1υ4 、 υ2υ4 、 υ3υ4 至少应有两条黑色，不妨设υ1υ4 、 υ2υ4 黑色

所以存在第二个 3 阶单色完全图。

υ2 υ1

υ3

υ4

υ6

υ5

命题 11.2 7 阶 2 色完全图至少含有 4 个 3 阶单色安全图。

命题 11.3 18 阶 2 色完全图中必含有 4 阶单色完全图。

对拉姆齐问题的认识不能仅仅停留在例11.1 的水平上。利用逻辑推理方法，实际上还可获得一大批结果。命题 11.2和命题 11.3 的证明留给大家自己去完成。

例 2 17 位学者中每人都和其他人通信讨论 3 个方向的课题。任意两人间只讨论其中一个方向的课题，则其中必可找出 3位学者，他们之间讨论的是同一方向的课题。证明

将每一学者看成一个顶点，作一个 17 阶完全图。按讨论课题的方向对边染色，相同方向染成同一颜色，得到一个 17阶 3色完全图。

任取一顶点 A，与它相关联的有 16 条边，其中必能找出 6条相同颜色的边，不妨设 A与

υ 1 …，，υ 6的连线有相同颜色。连接 A和 6个υ顶点 1 … υ，， 6。如果这 6个顶点间也有这种

颜色的边，则已找到讨论同一方向课题的三位学υ者；否则， 1 … υ，， 6及连接它们的边构成一

个 6阶 2色完全图，由例 1，必可从中找到一个3阶单色完全图，即找出三位讨论同一方向课题的学者。

奇偶数校验及相关问题

q

p2

证明：

采用反证法，设，其中 p 、 q 互素，则有

p2=2q2 。因为 2|p2 ，故 2|p 。记 p=2p1 ，可得 4p12=2q2 ，

即

2p12=q2 ，故又有 2|q ，与 p 、 q 互素矛盾。

例 3 证明是无理数。 2

同样方法可以证明：若 m 是大于 1 的素数， n 是大于 1的整数，则必为无

理数。n m

例 4 拟用 40 块方形瓷砖铺设如下图所示的地面，但商店只有长方形瓷砖，其大小为方形的两块。问购买 20 块长方形瓷砖后，是否可能不裁开而直接铺好地面？

解将图 11.4 中的 (a) (b) 黑白相间染色。显然，如长方形瓷砖不裁开，只能用来复盖相邻的两格，故复盖的两格必为一白一黑。下图 (a) 中共有 21 个黑格和 19 个白格，故不可能直接铺好，下图 (b) 中黑白格各为 20 个，大家很容易找到直接铺设的方法。

图 (a) 图 (b)

例 5 设一块 m×n 的棋盘被若干个形如的板块恰好盖满，试证明 m×n 必能被 8 整除。

证明 : 显然有 4|m×n ，故 m 、 n 中至少有一个为偶数，不妨设 n 为偶数，将棋盘按列黑白相间染色，如下图 (a ) 所示，由于 n 为偶数，黑、白列的数目相同，故黑白格数相同，设各为 2k 个 (共 4k 个 ) 。

图 (a)

板块可以有许多种拼凑法，但容易看出，每一板块放置的方向（称之为定向）只有八种可能的选择，如下图 (b) 所示。

图 (b)

容易看出，不论按什么方向放置板块，每一板块均盖住奇数个黑格（ 1格或 3格），若板块只有奇数个，则奇数个奇数想加和为奇数，则黑格必为奇数个，与黑格为 2 k( 偶数 ) 个矛盾，故盖住棋盘的板块必有偶数个，从而，m×n 的棋盘必能被 8 整除。

图 (a)

德国著名的艺术家 Albrecht Dürer(1471-1521)于 1514年曾铸造了一枚名为“Melencotia I” 的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数字及几何图形。这里，我们仅研究铜币右上角的数字问题

德国著名的艺术家 Albrecht Dürer(1471-1521)于 1514年曾铸造了一枚名为“Melencotia I” 的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数字及几何图形。这里，我们仅研究铜币右上角的数字问题

Dürer魔方（或幻方）问题

所谓的魔方是指由 1~n2 这 n2 个正整数按一定规则排列成的一个 n行n 列的正方形。 n称为此魔方的阶。

Dürer魔方： 4 阶，每一行之和为 34 ，每一列之和为 34 ，对角线（或反对角线）之和是 34 ，每个小方块中的数字之和是 34 ，四个角上的数字加起来也是 34

什么是 Dürer魔方

多么奇妙的魔方！

铜币铸造时间： 1514年

构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。传说三千二百多年前（公元前 2200年），因治水出名皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称“洛书”），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯 ·阿格里帕（ 1486-1535 ）先后构造出了 3~9 阶的魔方。

构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。传说三千二百多年前（公元前 2200年），因治水出名皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称“洛书”），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯 ·阿格里帕（ 1486-1535 ）先后构造出了 3~9 阶的魔方。

如何构造魔方奇数（不妨 n=5 ）阶的情况Step1: 在第一行中间写 1Step2: 每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移出界时填下一列最后一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填过数或已达到魔方的右上角时，改填刚才填的格子正下方的小方格，继续 Step2 直到填完

1

23

456

78

91011

1213

141516

17

1819

2021

2223

24

25

偶数阶的情况偶数阶的魔方可以利用奇数阶魔方拼接而成，拉尔夫 ·斯特雷奇给出了一种拼接的方法，这里不作详细介绍

§ 6.2 合作对策模型

从事某一活动的各方如能通力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。先让我们来分析一个具体实例

从事某一活动的各方如能通力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。先让我们来分析一个具体实例

例 7 有三个位于某河流同旁的城镇城 1 、城 2 、城 3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。用 Q 表示污水量，单位为米 3/ 秒， L 表示管道长度，单位为公里，

则有经验公式：建厂费用C1=730Q0.712 （万元）管道费用C2=6.6Q0.51L( 万元）已知三城镇的污水量分别为：Q1=5 米 3/ 秒， Q2=3米 3/ 秒， Q3=5 米 3/ 秒，问：三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？

城一

城二

城三

38 公里

20 公里

分析本问题中三城镇处理污水可以有五种方案：

(1)每城镇各建一个处理厂（单干）。

(2) 城 1, 城 2合建一个 , 城 3 单独建一个 (1 、 2城合作建于城2处 )。



(5)三城合建一个污水处理厂（建于城 3处）

城一

城二

城三

38 公里

20 公里容易计算：方案总投资 (：万

元 ) 1 6200

2 5800

3 5950

4 6230

5 5560

以三城合作总投资为最少

费用怎么分摊呢？

建厂费用按三城污水量之比5： 3： 5 分摊，管道是为城 1 、城 2 建的，应由两城

协商分摊。

城一

城二

城三

38 公里

20 公里

建厂处建厂处

同意城 3 意见，由城 2→城 3 的管道费用可按污水量之比 5： 3分摊，但城 1→城 2 的管道费用应由城 1承担。

分摊方案有道理，但得作一番 “可行性论证”，

城 1 的“可行性论证”：

联合建厂费：（万元）城 1负担：（万元）城 1→城 2管道费：（万元）全部由城 1负担城 2→城 3管道费：（万元）城 1负担：（万元）城 1 的总负担：约为 2457 万元

4530)535(730 712.0 17424530135

3002056.6 51.0

72438)35(6.6 51.0 5.42572485

城 1 自己建厂费用： 2300 万元

合作后城 1费用增加！合作后城 1费用增加！

差点做了冤大头！！！

怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？

N人合作对策模型设有一个 n人的集合 I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能参加者。

(1)对于每一子集 S I，对应地可以确定一个实数 V(S)，此数的实际意义为如果 S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为 V(S)，十分明显， V(S)是定义于 I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还应要求 V(S)满足以下性质 :

=0（没有人参加合作则合作获利不能实现）)(V

对一切满足的 S1 、 S2 成立具有这种性质的集合函数 V（ S）称为 I的特征函数。

)()()( 2121 SVSVSSV 21 SS

(2)定义合作结果 V（ S）的分配为，其中表示第 i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则来，被称为合作对策

))(,),(()( 1 VVV N )(Vi

)(V )(V

1953年 Shapley 采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先，他归纳出了几条合理分配原则应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策是唯一存在的，从而妥善地解决了问题。

1953年 Shapley 采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先，他归纳出了几条合理分配原则应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策是唯一存在的，从而妥善地解决了问题。

)(V

)(V

是否存在合理分配原则 )(V

Shapley提出了以下公理：设 V 是 I 上的特征函数，是合作对策，则有)(V

公理 1 合作获利对每人的分配与此人的标号无关。

公理 2 ，即每人分配数的总和等于总获利数。

n

ii IVV

1

)()(

公理 3 若对所有包含的 i的子集 S有： V(S-{i})=V(S) ， =0 。)(Vi

即若第 i 人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中获利

公理 4 若此 n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。

利用上述公理可以证明满足公理 1~4的是唯一存在的 (证明略 )

)(V

存在的公式吗)(V

Shapley指出，可按下列公式给出： )(V

iSS

i iSVSVSWV })]{()(|)[(|)( (11.1)i=1,…,n

Si 是 I 中包含 i 的一切子集所成的集合， |S|表示集合 S 中的元素个数，而

!

|)!|()!1|(||)(|

n

SnSSW

(11.2)

可视为 i 在合作S 中所作的贡献可视为 i 在合作

S 中所作的贡献

W(|S|) 可看作这种贡献的权因子 W(|S|) 可看作这种贡献的权因子

合作的获利真的不少于他单干时的获利吗

对每一 i I∈ ，有 })({)( iVVi 求证 :

证明 : |S|=K时，包含 i的子集 S共有个 11

knC

即个)!()!1(

)!1(

KnK

n

)!()!1(

)!1(

!

)!()!1(|)(|

|| KnK

n

n

KnKSW

iSSKS

故 = 1/n

1|)(|(|)(|||1

i

iSSKS

n

KSS

SWSW 从而

})({}){()( iViSVSV 又根据性质，有

})]{()([|)(|)( iSVSVSWViSS

i

})({|)(|})({ iVSWiViSS

故有

城 1 获利 =67+130=197 （万元）承担总费用： 2300-197=2103 （万元）

1300670W(|S|)[V(S)-V(S-{I})]

1/31/61/61/3W(|S|)

3221|S|

39004000V(S)-V(S-{I})

250000V(S-{I})

64004000V(S)

{1 ， 2 ， 3}{1 ， 3}{1 ， 2}{1}S

)(1 V

城一

城二

城三

38 公里

20 公里

建厂处建厂处

解决三城镇污水处理问题

城 1究竟应当承担多少费用

首先不难看出： S1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}

计算出与 (11.1)式有关的数据并列成表

总投资大于单干总投资，合作不可能实现，合作获利为 0

城 2 和城 3 应该承担

的费用可类似算出

我们应该承担的是 2103万元！

§ 6.3 公平选举是可能的吗 ?

什么是选举所谓选举，其实质就是在评选人对候选人先后（优劣）次序排队的基础上，根据某一事先规定的选举规则决定出候选人的一个先后次序，即得出选举结果。现用 I={1,2,…,n}表示评选人集合，用有限集 A={x,y,…}表示候选人集合，用 >,=,<分别表示优于、等于、劣于，用 (x>y)i表示评选人i 认为 x 优于 y，用 (x>y)表示选举结果为 x 优于 y 并用 pi

表示评选人 i的排序， p表示选举结果。

所谓选举，其实质就是在评选人对候选人先后（优劣）次序排队的基础上，根据某一事先规定的选举规则决定出候选人的一个先后次序，即得出选举结果。现用 I={1,2,…,n}表示评选人集合，用有限集 A={x,y,…}表示候选人集合，用 >,=,<分别表示优于、等于、劣于，用 (x>y)i表示评选人i 认为 x 优于 y，用 (x>y)表示选举结果为 x 优于 y 并用 pi

表示评选人 i的排序， p表示选举结果。 A 的排序应满足以下性质： (1) 择一性关系式 (x>y)、 (x=y)、 (x<y)有且仅有一个成立Ayx ,

(2) 传递性若 x≥y, y≥z,则必有 x≥zAzyx ,,

简单多数规则

几种选举规则

它规定当且仅当 (x>y)i 的评选人超过半数时选举结果才为 (x>y) 。

有时要超过 2/3多数等

有时要超过 2/3多数等

例 8 设 I={1,2,3},A={x,y,u,v} ，三位评选人的选票为 p1: x>y>u=v

p2: y>x>u>v

p3: x=u>v>y

根据选举规划，结果应为 P: x>y>u>v

例 9 设 I={1,2,3}, A={x,y,z} p1: x>y>z

p2: y>z>x

p3: z>x>y

根据规则，自然应有 (x>y), (y>z) 和 (z>x)

违反传递性（ 2）违反传递性（ 2）

简单多数规则的主要优点是简单易行，使用方便。但可惜的是这一规则有时

会违反传递性

Borda 数规则记 Bi(x) 为 p1 中劣于 x的候选人数目，记，称 B(x)

为 x的 Borda 数， Borda 数规则规定按 Borda 数大小排列候选人的优劣次序，即当 B(x)≥B(y)时有 (x≥y) ，两关系式中的等号必须同时成立。

n

ii xBxB

1

)()(

对于例 11.9 ，计算出 B(x)=B(y)=B(z)=3 故选举结果为 x=y=z

用 Borda 数规则得出的结果更合乎常理

用 Borda 数规则得出的结果更合乎常理

例 10 I={1,2,3,4}, A={x,y,z,u,v} ，选票情况为 p1p2p3: x>y>z>u>v

P4 : y>z>u>v>x

计算得 B(x)=12 ， B(y)=13 故选举结果为 y>x

但有三人认为 x优于y

但有三人认为 x优于y

用 Borda 数规则得出的结果未必合理

用 Borda 数规则得出的结果未必合理

能找到一种在任何情况下都“公平”的选举规则吗

什么是“公平”的选举规则 “公平”的选举规则应当满足以下公理

公理 1 投票人对候选人排出的所有可能排列都是可以实现的。

公理 2 如果对所有的 i ，有 (x≥y)i ，则必须有 (x≥y) 。

公理 3 如果在两次选举中，对任意 i ，由必可得出，则由必可得出。

)1()( iyx )2()( iyx )1()( yx )2()( yx

公理 4 如果两次选举中，每个投票人对 x 、 y 的排序都未改变，则对 x 、 y 的排序两次结果也应相同。

公理 5 不存在这样的投票人 i ，使得对任意一对候选人 x 、 y ，只要有 (x≥y)i, ，就必有 (x≥y) 。

有满足上述公理的选举规则吗

Arrow 不可能性定理使上述想法终结

定理 9.1 如果至少有三名候选人，则满足公理 1~ 公理 5的选举规划事实上是不可能存在的。

证：将证明由公理 1~ 公理 4必可导出存在一个独裁者，从而违反了公理5 首先引入决定性集合的概念。

称 I的子集 Vxy 为候选人 x、 y的决定性集合，如果由所有 Vxy 中的 I 有 (x≥y)i必可导出 (x≥y)。显然决定性集合是必定存在，由公理 2或实际一次选举得到。找出所有决定性集合中含元素最少的一个，不妨仍记为 Vxy 。

证明 Vxy 只能含有一个元素——某评选人 i 。

反证假定 Vxy 至少含有两个元素，则 Vxy必可分解为两个非空集合的和

即

与非空且不相交，且均不可能是任一对候选人的决定性集合

假设

)2()1(xyxyxy VVV

)1(xyV

)2(xyV

xyVI根据公理 1，以下选举是允许的：当时，（ x≥y≥z ） i

当时，（ z≥x≥y ） i

当时，（ y＞ z＞ x ） i

其中 z是任一另外的候选人

)1(xyVi

)2(xyVixyVi

考察选举结果(x≥z)是不可能，否则是 x、 z的决定性集合，故必有 (z ＞ x)。又 Vxy 是 x、 y的决定性能合，故必有 (x≥y)。由传递性 (z ＞ x)。得是 y、 z的决定性集合，从而导出矛盾。以上证明说明 Vxy 不能分解，即 Vxy={i} ， i 为某一投票人。

)1(xyV

)2(xyV

进一步说明：对于任意另外的候选人 z ， V={i} 也是 x 、 z 的决定性集合。考虑另一次选举： (x＞ y≥z)i ，而（ y≥z≥x ） j≠I

显然，由于全体一致意见，（ y≥z）必成立。又{i}是 x、 y的决定性集合，故应有（ x ＞ y）。于是，由传递性，必有（ x ＞ z）。再由公理 4， y的插入不应影响 x、 z的排序，故 {i}也是 x、 z的决定性集合。类似还可证明，如果ω是异议于 x、 z的任一候选人，{i}也是 w、 z的决定性集合，这就是说，评选人 i是选举的独裁者。

Arrow 的公理系统隐含矛盾

例 11 设 I={1,2}, A={x,y,z} ，考察如下的四次选举：

（第一次） x＞ y＞ z （第三次） y＞ z＞ x

x＞ y＞ z z＞ y＞ x 结果应有 x＞ y 合理结果 y=z

（第二次） x＞ z＞ y （第四次） x＞ y＞ z

z＞ x＞ y z＞ x＞ y 合理结果 x=z 结果？？？

)1(2p

)1(1p

)2(1p

)2(2p

)3(1p

)3(2p

)4(1p

)4(2p

由公理 1，第四次的选举应当是有效的由公理 2，必须有（ x ＞ y） (4) 再与第二次选举比较并根据公理 3，则应有（ x=z） (4) 与第三次比较并根据公理 3，应有（ y=z） (4)

x ＞ y， x=z与 y=z 居然同时成立！

改进方案一个可以考虑的改进方案为要求评选人给出他对每一候选人优劣程度的评价，然后按定量方式决定候选人的顺序，但矛盾仍然不能避免，总可以构造出类似于 Borda 数规则中例那样的例子来。解决这一问题的另一途径是事先适当限制评选人的排序方式，使得可能出现的情况数减少，以便保证一个合理的选举规则的存在。由于本节的主要目的是介绍利用逻辑方法讨论实际问题的 Arrow 不可能性定理，关于选举问题我们就不再讨论下去了。

§ 6.4 信息的度量与应用

怎么度量信息

首先分析一下问题的认识过程

1. 对一问题毫无了解，对它的认识是不确定的2. 通过各种途径获得信息，逐渐消除不确定性 3. 对这一问题非常的了解，不确定性很小

黑箱

不确定度 A

灰箱

不确定度 B

白箱

不确定度 C

信息 I 信息 II

对于系统，可以利用守恒关系有 A+I=B ，得 I=B-

A 。

可否用消除不确定性的多少来度量信息！可否用消除不确定性的多少来度量信息！

几个例子：例 12 当你要到大会堂去找某一个人时，甲告诉你两条消息：（ 1 ）此人不坐在前十排，（ 2 ）他也不坐在后十排；乙只告诉你一条消息：此人坐在第十五排。问谁提供的信息量大？乙虽然只提供了一条消息，但这一条消息对此人在什么位置上这一不确定性消除得更多，所以后者包含的信息量应比前者提供的两条消息所包含的总信息量更大例 13 假如在盛夏季节气象台突然预报“明天无雪”的消息。在明天是否下雪的问题上，根本不存在不确定性，所以这条消息包含的信息量为零。

是否存在信息量的度量公式

基于前面的观点，美国贝尔实验室的学者香农（ Shannon ）应用概率论知识和逻辑方法推导出了信息量的计算公式

In his words "I just wondered how things were put together."

Claude Elwood Shannon (April 30, 1916 - February 24, 2001) has been called "the father of information theory".

Shannon提出的四条基本性质（不妨称它们为公理）公理 1 信息量是该事件发生概率的连续函数

公理 2 如果事件 A 发生必有事件 B 发生，则得知事件 A 发生的信息量大于或等于得知事件 B 发生的信息量。

公理 3 如果事件 A 和事件 B 的发生是相互独立的，则获知A 、 B事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件发生的信息量之和。

公理 4 任何信息的信息量均是有限的。

将某事件发生的信息记为 M ，该事件发生的概率记为 p ，记 M 的信息量为 I （ M ）。

上述公理怎样推出信息量的计算公式呢

定理 11.2 定理 11.2

满足公理 1— 公理 4 的信息量计算公式为 I(M)=－ Cloga

p ，其中 C 是任意正常数，对数之底 a可取任意为不为 1的正实数。

证明 :由公理 1 I(M)=f(p) ，函数 f 连续。由公理 2 若 A 发生必有 B 发生，则 pA≤pB ，

有 f(pA)≥f(PB) ，故函数 f 是单调不增的。由公理 3 若 A 、 B 是两个独立事件，则 A 、 B 同时发生的概率为 pApB ，有 f(PAPB)=f(pA)

+f(pB) 。先作变量替换令 p=a-q ，即 q=－ logaP 记

)( BA qqBA epp )()()( qgefpf q

)()()( BABA qgqgqqg ，又有：

， g亦为连续函数。

g(x+y)=g(x)+g(y) 的连续函数有怎样的性质

首先，由 g(0)=g(0+0)=2g(0) 得出 g(0)=0 或 g(0)=∞ 。但由公理 4 ，后式不能成立，故必有 g(0)=0 。

记 g(1)=C ，容易求得 g(2)=2C,g(3)=3C,…, 一般地，有 g(n)=nC 。进而，可得。于是对一切正有理数 m/n ， g(m/n) =(m/n)C 。

nng

nngg

111)1( )1(

11gnn

g

由连续性可知：对一切非负实数 x ，有 g(x)=Cx 当 x 取负实数时，由 g(x)+g(－ x)=g(0)=0 ，可得出 g(x)=―g(―x)=cx 也成立，从而对一切实数 x ， g(x)=Cx, 故 g(q)=Cq 。现作逆变换 q=－ logap ，

得 I(M)=f(P)=－ ClogaP （ 11.3 ）证毕。

各种信息量单位

若取 a=2,C=1 ，此时信息量单位称为比特

若取 a=10,C=1 ，此时信息量单位称为迪吉特

若取 a=e,C=1 ，此时信息量单位称为奈特

例 14 设剧院有 1280 个座位，分为 32排，每排 40座。现欲从中找出某人，求以下信息的信息量。（ i ）某人在第十排；（ ii ）某人在第 15座；（ iii ）某人在第十排第 15座。解：在未知任何信息的情况下，此人在各排的概率可以认为是相等的，他坐在各座号上的概率也可以认为是相等的，故

（ i ）“某人在第十排”包含的信息量为（比特） 5

32

1log2

（ ii ）“某人在第 15座”包含的信息量为（比特） 32.5

40

1log2

（ iii ）“某人在第十排第 15座”包含的信息量为（比特） 32.10

1280

1log2

5bit+5.32bit=10.32bit5bit+5.32bit=10.32bit

这一例子反映了对完全独立的几条信息，其总信息量等于各

条信息的信息量之和。

对于相应不独立的信息，要计算在已获得某信息后其余信息的信息量时，需要用到条件概率公式，

可以参阅信息论书籍。

至此，我们已经引入了信息度量的定量公式。如前所述，它是信息对消除问题的不确定性的度量。这种讲法似乎有点难以为人们所接受，其实，这只是人们的习惯在起作用。这里，我们不妨来作一比较。在人们搞清热的奥秘以前，温度也是一个较为抽象的概念，因它实质上是物体分子运动平均速度的一种映。人们天生就知道冷和热，但如何来度量它却曾经是一个难题。只有在解决了这一问题以后，以定量分析为主的热力学才能得到飞速的发展。信息问题也是这样，人们对各种信息包含的实质“内容”究竟有多少往往也有一个直观的感觉，但用什么方法来度量它，却比“今天 15度”这样的讲法更不易理解，因为它是通过较为抽象的概率来计算的。

平均信息量（熵）问题设某一实验可能有 N种结果，它们出现的概率分别为 p1,…,pN,

则事先告诉你将出现第 i种结果的信息，其信息量为－ log2pi ，而该实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵）

来表示

N

iii ppH

12log

例 15 投掷一枚骼子的结果有六种，即出现 1—6 点、出现每种情况的概率均为 1/6 ，故熵 H=log26≈2.585 （比特）。投掷一枚硬币的结果为正、反面两种，出现的概率均为 1/2 ，故熵 H=log22=1 （比特）。向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破，出现的概率为 1 ，故熵 H=log21=0 从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的“模糊度”，熵为零时问题是完全清楚的，熵越大则问题的模糊程度也越大

离散型概率分布的随机试验，熵的定义为：

（ 11.5 ）

N

iii ppH

12log

连续型概率分布的随机试验，熵的定义为 : （ 11.6 ）

dxxpxppH )(log)()( 2

熵具有哪些有趣的性质

定理 11.3 若实验仅有有限结果 S1,…,Sn ，其发生的概率分别为 P1,…,Pn ，则当时，此实验具有最大熵。

npp n

11

此定理既可化为条件极值问题证明之，也可以利用凸函数性质来证明，请大家自己

去完成

定理 9.4 若实验是连续型随机试验，其概率分布 P(x) 在 [a,b]区间以外均为零，则当 P(x) 平均分布时具有最大熵。

定理 9.5 对于一般连续型随机试验，在方差一定的前提下，正态分布具有最大的熵。

定理 9.6 最大熵原理，即受到相互独立且均匀而小的随机因素影响的系统，其状态的概率分布将使系统的熵最大。

上述结果并非某种巧合。根据概率论里的中心极限定理，若试验结果受到大量相互独立的随机因素的影响，且每一因素的影响均不突出时，试验结果服从正态分布。最大熵原理则说明，自然现象总是不均匀逐步趋于均匀的，在不加任何限止的情况下，系统将处于熵最大的均匀状态。

上述结果并非某种巧合。根据概率论里的中心极限定理，若试验结果受到大量相互独立的随机因素的影响，且每一因素的影响均不突出时，试验结果服从正态分布。最大熵原理则说明，自然现象总是不均匀逐步趋于均匀的，在不加任何限止的情况下，系统将处于熵最大的均匀状态。

例 16 有 12 个外表相同的硬币，已知其中有一个是假的，可能轻些也可能重些。现要求用没有砝码的天平在最少次数中找出假币，问应当怎样称法。

解假币可轻可重，每枚硬币都可能是假币。故此问题共有

24种情况，每种情况的概率为 1/24 。所以此问题的熵为 log224 。确定最少次数的下界

实验最多可能出现三种结果，根据定理 11.3 ，这种实验在可能出现的各种事件具有相等的概率时，所提供的平均信息量最大，故实验提供的平均信息量不超过 log23 。

设最少需称 k 次，则这 k 次实验提供的总信息量

不超过 klog23=log23k ，又问题的模糊度（熵）为 log224

必要条件 : log2

3k≥log2

24 ，得 k≥3 。

称三次足够了吗？

实验方法：使每次实验提供尽可能大的平均信息量。

第一次：将 12枚硬币平分成三堆，取两堆称，出现两中情况情况 1 两堆重量相等

假币在未秤的 4枚中。任取其中的 3枚加上从已秤过的 8枚中任取的 1枚，平分成两堆称。出现两种情况情况 1.1 两堆重量相等

最后剩下的一枚是假币 ,再称一次知其比真币轻还是重。情况 1.2 两堆重量不相等设右重左轻，并设真币在左边，若假币在右边，则比真币重，若在左边，则轻。取右边两个称。

情况 2 两堆重量不相等设右边较重。先从左边取出两枚，再将右边的取两枚放到左边，将原来左边的两枚中取出一枚放于右边情况 2.1 两堆重量相等

取出的两枚中轻的为假币，再称一次即可找出假币。

情况 2.2 两堆重量不相等若右边较重，则假币在右边原来的两枚及左边未动过的一枚中（若为前者，则假币偏重；若为后者，则假币偏轻），于是再称一次即可找出假币。若第二次称时左边较重，则假币必在交换位置的三枚中，可类似区分真伪。三次是最少次数！

英文的熵是多少呢？

例 17 在人类活动中，大量信息是通过文字或语言来表达的，而文学或语言则是一串符号的组合。据此，我们可以计算出每一语种里每一符号的平均信息量。例如，表 11-2 、表 11-3 、表11-4分别是英语、德语和俄语中每一符号（字母与空格，标点符号不计）在文章中出现的概率的统计结果（汉语因符号繁多，难以统计）

表 11-2 （英语）

符号

i

Pi 符号

i

Pi 符号 Pi

符号 Pi

空格ETOANI

0.20.1050.0720.065

40.0630.0590.065

RSHDLCF

0.0540.0520.0470.0350.0290.0230.022

5

UMPYWGV

0.0225

0.0210.017

50.0120.0120.0110.008

BKXJQZ

0.0050.0030.0020.0010.0010.001

表 11-3 （德语）

符号

i

Pi 符号

i

Pi 符号 Pi

符号 Pi

空格ENSIRA

0.1440.1440.086

50.064

60.062

80.062

20.059

4

DTUHLCG

0.0546

0.0536

0.0422

0.0361

0.0345

0.0255

0.0236

OMBWZVF

0.0211

0.0172

0.0138

0.0113

0.0092

0.0079

0.0078

KPJJQY

0.0071

0.0067

0.0028

0.0008

0.0005

0.0000

表 11-4 （俄语）

符号

i

Pi 符号

i

Pi 符号 Pi

符号 Pi

空格O

E ЁAИTHC

0.1750.0900.0720.0620.0620.0530.0530.045

PBЛКМДПу

0.0400.0380.0350.0280.0260.0250.0230.021

ЯЫэ

ъьБГЧй

0.0180.0160.0160.0140.0140.0130.0120.010

ХЖЮЩЦШЭФ

0.0090.0070.0060.0060.0040.0030.0030.002

以英文为例，可计算得：

27

12 03.4log

iii PPH （比特 /每符

号）对于有 27个符号的信息源，可能达到的最大平均信息量为：

75.427log 2max H （比特 /每符号）

由此可计算出英语表达的多余度为：

15.0max

max

H

HH（即 15% ）

英文的多余度

事实上，英语在表达意思上的确存在着富余。例如 Q后出现 U的概率几乎是 1， T后出现H的概率也很大，等等。这种多余是完全必要的，没有多余度的语言是死板的，没有文采的，它是存在语法的必要条件。但对于电报编码、计算机文字处理来讲，这种多余度的存在常常会造成浪费。有人在上述讨论的基础上研究了符号编码问题，使得每一符号的平均信息量达到十分接近 Hmax的程度，但由于译电过于复杂，这种方法尚未实际应用。

信息通道的容量问题

问题背景：信息的传递是需要时间的。用 n 个符号 S1 、…、 Sn 来表达信息，各符号传递所需时间是各不相同的，设分别为 t1 、…、 tn ，并设各符号出现的概率分别为 p1 、…、 pn 。这样，就出现了两方面的问题。一、 pi 是确定的，如何缩短传递确定信息所需的时间。

二、 ti 是确定的，如何使单位时间传递的平均信息量最大。

单位时间内信息通道能够传递的最大平均信息量称为此信息通道的容量

如何求信息通道的容量？

每一符号的平均信息量为：

n

iii ppH

12log

每一符号所需的平均时间为：

n

iiitp

1

故单位时间内传递的平均信息量应为：

t

H

tp

pp

n

iii

n

iii

1

12log

问题化为：

n

iii

n

iii

ptp

pp

t

Hi

1

12log

max

n

iiptS

1

1.

（ 11.7 ）

利用拉格朗日乘子法，（ 11.7 ）式可化为无约束极值问题：

n

iin

iii

n

iii

pp

tp

pp

i 1

1

12

)1(log

max （ 11.8 ）

记（ 11.8 ）式的目标函数为 f(p,λ) ，即求解方程组：

0

,,1 ,0

f

nip

f

i

（ 11.9 ）

方程组（ 11.9 ）的解为： Ht

t

i

i

pt

e 2,

log2由于是与 pi 有关的量，方程组的解仍无法算出

为此，记

n

iiitpt

1t

H

A 2it

i Ap

n

iip

1

1则，又得方程

n

i

tiA1

1 （ 11.10 ）

n

i

tiAAg1

)(记， g （ 0+ ） =+∞ ， g （ +∞ ） =0 及 g’ （ A ）＜ 0 ，

知（ 11.10 ）式有且仅有一个正根，此根容易用牛顿法求

出，进而求出最佳的。

*ip

例 18 为简单起见，设符号只有四种： S1 、 S2 、 S3 和 S4 ，在利用这些符号传递信息时，这些符号分别需要 1 、 2 、 3 、 4单位传递时间，试求出此信息通道的容量及相应的最佳 pi值。

解：求解方程，得唯一正根 A=1.92 。

14321 AAAA

由 A 的定义可以求出此信息通道容量：

94.0logmax 2 At

HC （比特 /单位时

间） 07.0,14.0,27.0,52.0 4*

43*

32*

21*

1 ApApApAp而

货币是人们拥有财富的一种信息，它具有各种面值（相当于例 11.18中的符号），各种面值的平均花费时间是不等的（相当于例 18中的时间），于是，如何控制各种面值的比例以便使货币流通的容量最大显然是一个十分有意义的问题。日本东京工业大学的国泽清典教授基于上述方法计算了 100日元与 500日元信用券应保持的比例，并与市场实际调查作了对比，发现两者完全一致。市场多次调查结果均为 100日元占 75%， 500日元占 25%，而计算结果如下：以百元为单位，令t1=1,t2=5，求解方程求得正根 A≈1.327信息通道容量为 log2A≈0.408（比特 /每单位）

151 AA

234.0,754.0 5*2

1*1 ApAp

某地区物价指数图某地区物价指数图

§ 6.5 物价指数问题

怎样定义和计算物价指数

单种商品的情况设基准年价格为 P0 ，目前价格为 P

可如下定义物价指数：

00 ),(

P

PPPI

社会中的商品不可能只有一种。多种商品的问题更为复杂

多种商品的情况

假设有两种商品，基准年价格分别为、，目前价格分别为 P1 ， P2 。可采用多种平均方法来定义：

01P

02P

算术平均值之比：

02

01

21

02

01

21

210

20

11

)(2

1

)(2

1

),,,(PP

PP

PP

PPPPPPI

比值的算术平均值：

02

20

1

121

02

012 2

1),,,(

P

P

P

PPPPPI

比值的调和平均值：

021

011

2121

02

013

2),,,(

PPPP

PPPPPPI

比值的几何平均值：

02

01

2121

02

014 ),,,(

PP

PPPPPPI

假如存在着 n种商品，可以相应地写出类似的公式。上述方法没有区别不同商品的重要性

事实上各种商品在人们生活中所占地位不尽相同，例如，钢琴降价 20% 和粮食涨价 20%

无法对消。

模型的进一步改进

引入权系数

对各种商品的比值进行加权，并允许相对权系数随时间变化

符号说明

记，，

),,( 001

0nPPP

),,( 1 nqqq ),,( 1 nPPP

),,( 001

0nqqq

以 P0、 q0分别表示基准年 n种商品的价格及相应的权系数，

以 P、 q分别表示观察年 n种商品的价格及相应的权系数。物价指数 I(P0,q0,P,q)为的连续函数。 RR n4

物价指数函数

前面的公式能否取作物价指数函数

对衡量物价指数方法的一些具体要求：（ 1 ）单调性

（ 2 ）权系数的不变性

（ 3 ）齐次性

（ 4 ）平均性

（ 5 ）货币单位的独立性

（ 6 ）商品单位的独立性

（ 7 ）基准年的独立性

（ 8 ）物价指数不因某种商品的淘汰而失去意义

用数学的语言将上述八条性质写成公理形式任一物价指数函数 I(P0,q0,P,q)应满足以下要求：

PP (1) 若，则 ),;,(),;,( 0000 qPqPIqPqPI

(2) =1),;,( 000 qPqPI

(3) ),;(),;,( 0000 qPqPIqPqPI

(4) ),,1( max),,,(min0

000

niP

PqPqPI

P

P

i

i

ii

i

i

(5) )( ),,,(),,:( 0000 RqPqPIqPqPI

(6) ),,,(),,,( 001010 qPqPIqDDPqDDPI

n

D

0

01

其中 ,且 λi>0

（ i=1,…,n ）

(7) ),,,(

),,,(

),,,(

),,,(00

00

00

00

qPqPI

qPqPI

qPqPI

qPqPI

(8) RqPqPI

ip),,,(lim 00

0

公理（ 7 ）的一些说明若以 1972年为基准年（物价指数取为 1 ），则 1989年美国物价指数为 1.660 ，而 1980年为 1.843 ，若以 1973年为基准年，则 1979年和 1980年美国物价指数分别为 1.093 和 1.209 。根据公理（ 7 ）的要求，应当有 ,事实上，此式只近似成立。

093.1

209.1

660.1

843.1

请大家自行验证前面给出的公式 I1－ I4 是否都能同时满足公理系统的 (1)－ (8)要求

一些常用的物价指数函数是否满足公理系统的要求

nn

nn

PqPq

PqPq

Pq

PqqPqPI

001

01

01

01

00

000 ),,,(

此公式是由 laspeyres 于 1871年提出，在将近一个世纪的时间里 ,

被广泛用于计算物价指数

此公式是由 laspeyres 于 1871年提出，在将近一个世纪的时间里 ,

被广泛用于计算物价指数

可以用构造法证明上式公理（ 7) 不成立

, 即

不一定成立。

00

0

00

0

00

0

00

0

Pq

Pq

Pq

Pq

Pq

Pq

Pq

Pq 00

0

00

0

Pq

Pq

Pq

Pq

0000 ),,,(

Pq

qPqPqPI

此式是 Paasche 在 1874年提出的，与①不同的是计算时采用了现在

的权系数。

此式是 Paasche 在 1874年提出的，与①不同的是计算时采用了现在

的权系数。

容易直接看出公理（ 2 ）不成立。

其中 ai>0 ，且

n

i

a

i

i

i

P

PqPqPI

10

00 ),,,(

11

n

iia

此式是平均方式（ 4 ）的一种自然推广。 ai 的取法和 q0 、 q 有关，实质上是权系数的一种变形。

此式是平均方式（ 4 ）的一种自然推广。 ai 的取法和 q0 、 q 有关，实质上是权系数的一种变形。

该式也不能同时满足公理（ 1 ）—（ 8 ）。令某，则 I→0 ，而若令某，则又有

0ip R000 ip I

所有较自然地导出的平衡公式均不能满足公理系统，是否该公理系统有矛盾？

定理 11.7 不存在同时满足公里 (2)、 (3)、(6)、 (7)、 (8)的函数 I(Eichhorn ， 1976)

先证明以下两个引理：

引理 11.1 记， D1 、 D2 为任意两个对角元素为正的对角矩阵，则有：

nRe )1,,1,1(

),,,(),,,(),,,( 122

111

12

1121 eDeDeeIeDeDeeIeDDeDDeeI

证明：

),,,(),,,(

),,,(),,,( 1

11111

12

11211

21

121 eDeDeeIeDeDeeI

eDDeDDeeIeDDeDDeeI

),,,(),,,(

),,,()7( 1

11111

111

12

1121

111 eDeDeeI

eDeDeDeDI

eDDeDDeDeDI

公理

),,(),,,( )2)(6( 111

122 eDeeDeIeDeDeeI 公理

引理 11.2 记，则有：

nn PPPPPP

1,,

1),,,(

1

11

),,,(),,,( 1 PPeeIePeeI

证明定理 11.7 ：先引入下列矩阵 ,记

10

1

1

01

j )0(

对角线上第 j 个元素为 λ ，其余元素为 1 的对角阵对角线上第 j 个元素为 λ ，其余元素为 1 的对角阵

证明： )2(

),,,(

),,,()7(

),,,(

),,,(11

公理公理 PPePI

ePePI

PPeeI

ePeeI1

再记

0

0

作

n

jj eeeeIP

1

),,,(

则有：

n

jjj eeeeIP

1

1 ),,,(2.11引理

),,,(1.11 1111 eeeeI nn

引理

),,,( 1eeeeI

)1

,,,( eeeeI

)2()1

,,,( )3( 公理公理 eeeeI

令，则有

根据 P 的定义，至少存在一个 j ，使得

0 0P

0),,,(lim0

eeeeI j

与公理（ 8 ）矛盾与公理（ 8 ）矛盾上述公理系统隐含矛盾

上述公理间相对独立吗？

定理 11.7 满足公理（ 4）则必满足公理（ 2）。

证明：取 P=λP0 ，由公理（ 4 ）可知：

0

0000

0

0

max),,,(mini

i

ii

i

i P

PqPqPI

P

P R（

）因此：

若取 λ=1 ，即得出（ 2 ）成立。

),,,( 000 qPqPI

一个严谨的公理系统应当满足公理间的无矛盾性和

相对独立性

一个严谨的公理系统应当满足公理间的无矛盾性和

相对独立性

综上所述，我们可以看到，若采用引入公理系统建立逻辑模型的方法来讨论物价指数问题，则至今仍存在难于克服的困难。有人曾考虑去掉公理（ 8），当出现 Pi=0的情况时就用降维的公式来计算，但这样做也有许多困难。寻找物价指数计算方法的另一途径是利用统计方法找出经验公式，这样做虽然能找出一些在短期内可以利用的计算公式，但从根本上讲还是不能完全令人信服的。如何严格定义物价指数以及如何计算它，目前尚未妥善解决，还有待于进一步的研究和探讨。

§6 逻辑模型

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