FLUJO NO LINEAL EN MASAS DE SUELOS

Flujo bidimensional

La mayoría de problemas de flujo en masas de suelos, el agua sigue trayectorias no lineales como se ilustra en los siguientes casos:

Flujo a través del suelo donde esta hincada una tablestaca

Suelo isotrópico permeable

Frontera Impermeable

Tablestaca considerada impermeable

Trayectoria no lineal que sigue el agua

Flujo a través del suelo de cimentación de una presa de concreto

Presa de concreto impermeable

Suelo permeable

Capa impermeable

Nivel de Agua

Nivel de Agua

Trayectoria no lineal del agua

A

Consideraciones para la solución de problemas de flujo no lineal

• La ley de Darcy aplica también en estos problemas siempre y cuando se cumplan las condiciones de flujo laminar y las otras tenidas en cuenta cuando se estableció la Ley.

• Como la trayectoria del agua es no es lineal se

tienen diferentes gradientes y direcciones y sentidos del flujo, o sea durante la trayectoria se presentan múltiples condiciones hidráulicas, según por donde vaya el agua en el recorrido entre la entrada y salida de la masa filtrante, por ejemplo en una parte el flujo puede ser descendente, y en otra parte de la trayectoria ascendente.

Consideraciones para la solución de problemas de flujo no lineal

• La Ecuación que rige el flujo no lineal en masa

de suelo es la ecuación de Laplace, que solucionada bajo las condiciones de frontera particulares de cada problema, permite estimar cabezas totales de energía en cualquier punto, por lo tanto se puede conocer gradiente hidráulico entre dos puntos relativamente cercanos ubicados en una misma trayectoria, velocidades de filtración, presiones de poro, caudal de filtración, y factor de seguridad al turbamiento.

Ecuación de Laplace

• En problema de flujo en masas de suelo se cumple el principio de continuidad, caudal que entra a la masa de suelo, y en particular en un elemento de suelo, es igual al caudal que sale de la masa de suelo y en particular del elemento de suelo.

y

z

x

qy

qy+ dqy

qx qx+ dqx

qz

qz+dqz

Elemento A

Impermeable

SM

• q entra = q sale

• dqx + dqy +dqz = 0

• q = K i A • qy = Ky iy Ay dqy = Ky diy (dx dz) iy = ∂h / ∂y diy/ dy = ∂2h / ∂ y2

• diy = (∂2h / ∂y2) dy Area transversal al flujo

• dqy = Ky ∂2h / ∂y2 ( dy dx dz )

• De igual manera de deducen

• dqx = Kx ∂2h / ∂x2 (dx dy dz )

• dqz = Kz ∂2h / ∂ z2 (dz dxdy )

• Kx ∂2h / ∂x2 dx dydz + Ky ∂

2h / ∂y2 dy dxdz + Kz ∂2h / ∂z2 dz dxdy = 0

• Kx ∂2h / ∂x2 + Ky ∂

2h / ∂y2 + Kz ∂2h / ∂z2 = 0

Considerando el suelo isotrópico ( Kx = Ky= Kz) y que la solución plana da resultados satisfactorios para la mayoría de los

problemas, donde la sección (x,y) es constante. La solución se repite en secciones desplazadas en la otra

dirección, z. Se resuelve ecuación plana asi:

LA ECUACIÓN A SOLUCIONAR ES LA DE LAPLACE

∂2h / ∂x2 +∂2h / ∂ y2 = 0

La ecuación de LAPLACE para unas condiciones de frontera dadas, se puede solucionar por diferentes métodos, estos son:

• ► Soluciones analíticas. • ►Utilizando métodos numéricos. Elementos finitos y diferencias finitas. • ►Modelos. • ►Analogías. Paso de corriente eléctrica y medidas de potencial en

diferentes puntos. • ► Método Grafico. “REDES DE FLUJO”

Modelo de la analogía eléctrica con papel conductor (Wiley, 1982). (a) Electrodos en los bordes

permeables. (b) Electrodos en los bordes

impermeables. se representa esquemáticamente un modelo para el flujo bajo una presa. Una vez conocido el potencial en un número suficiente de puntos en la superficie conductora, es posible trazar líneas de igual potencial eléctrico que representarán directamente a equipotenciales de la región de flujo; si las equipotenciales eléctricas se han trazado con un ritmo de caída constante, se harán obtenido directamente las equipotenciales que interesan en la región de flujo, la Figura a muestra estas líneas.

Método Grafico “DIBUJO DE LA RED DE FLUJO”

FUNDAMENTO

La solución a la ecuación de LAPLACE, esta dada por dos (2) familias de curvas ORTOGONALES ENTRE SI. Las dos familias que cumplan con las condiciones de frontera constituyen la solución única al problema. Las dos familias de curvas son:

Líneas de Flujo, líneas que representan la trayectoria de

una partícula de agua desde la entrada a la masa filtrante hasta la salida.

Líneas equipotenciales, líneas conformadas por puntos

donde el agua tiene igual cabeza total de energía.

Línea de Flujo

Tubo de corriente

Línea Equipotencial

Líneas que reúnen puntos con igual cabeza Total

Ejemplo de una línea de flujo y una línea equipotencial

Trazado de la red de Flujo

• Se dibuja el problema a escala, si se tiene una sola masa filtrante las escalas “x” y “y” deben ser iguales.

• Se ubican o definen las condiciones de frontera, las

líneas de flujo demarcadas por las fronteras impermeable, proporcionarán una guía para el trazado de las líneas de flujo que conformaran parte de la red. Lo mismo sucede con las líneas equipotenciales que se definen a la entrada y a la salida de la masa filtrante.

• Se recomienda dibujar dos, tres o hasta cuatro líneas

de flujo adicionales a las fronteras.

a-b Primera línea de flujo o frontera superior. c-c Ultima línea de flujo o frontera inferior

a-a Primera línea equipotencial, con la carga hidráulica total a la entrada de

la masa filtrante b-b Ultima línea equipotencial, con la carga hidráulica total a la salida de la

masa filtrante

Estructura

impermeable

Nivel Agua

Nivel Agua

Suelo permeable

H

a b

c c

a b

Segunda línea de Flujo Segunda equipotencial

h0 hf

Impermeable

Exigencias que se deben cumplir en el trazado de una red de flujo

• No se pueden cortar dos líneas de flujo ni dos equipotenciales.

• El corte entre una equipotencial y una línea de flujo debe ser a 90˚ con excepción de los puntos singulares, aquellos que por la geometría del problema tienen intersecciones entre líneas de flujo y equipotenciales frontera con ángulos diferentes a 90˚.

Punto singular

Primera linea equipotencial Ultima linea de flujo

Recomendaciones para el trazado de una red de flujo

• Se recomienda que entre dos líneas de flujo consecutivas filtre igual caudal a lo largo de toda la red y que entre las líneas equipotenciales consecutivas se produzca una caída ∆h igual a través de toda la red.

Esta recomendación se logra dibujando celdas cuadradas

1- Dibujar el problema a escala 2-Ubicar las fronteras impermeables y la primera y ultima lineas equipotenciales

En el caso de presas de tierra dibujar la linea superior de corriente. L.S.C. L.S.C. es la primera de flujo y tambien es linea de equipresion,𝑢𝑤 = 0

L.S.C

3- Se dibujan 2 o 3 o 4 líneas de flujo 4- Se dibujan las líneas equipotenciales, cumpliendo las exigencias y las recomendaciones

Se marcan en L.S.C. los puntos donde

arrancan las equipotenciales, ∆ℎ =𝐻

𝑁𝑒

En presas se debe construir la pimera línea de Flujo

Definiciones • Tubo de corriente- Es el espacio comprendido entre dos líneas de flujo consecutivas, si los

tubos se dibujan “completos” por ellos circula un caudal igual en todos, ∆q.

• Celda – El espacio comprendido entre dos líneas equipotenciales consecutivas y dos líneas de flujo consecutivas. Las celdas se deben tratar de dibujar cuadradas para que por ellas circule ∆q. y se produzca un ∆h. A través de la celda se puede considerar el flujo lineal, situación que facilita la obtención de información a partir de la red de flujo.

• Ne – Numero de caídas de equipotencial, si la red esta dibujada con celdas cuadradas, todas las caídas, de energía total, entre equipotenciales consecutivas son iguales. La magnitud de la caída será ∆h = H/Ne, siendo H la perdida total entra la entrada y la salida a la masa filtrante.

• Nf – Numero de tubos de corriente, si las celdas son cuadradas, será un numero entero porque por todos los tubos pase igual ∆q.

• Ff – Factor de forma, se constituye como la solución única a la ecuación de Laplace independiente del numero de tubos de corriente manejados en el trazado de la red, Ff = Nf/Ne

Tubo de corriente y área transversal

Ejemplo con dos tubos de corriente y siete caídas de equipotencial

Tubo de corriente

celda

ho

h1 h2 h3 h4

h7=hf

h5

Ne=7 Nf=2

Definiciones

𝑁𝑒 = 8 𝑦𝑁𝑓 = 4

𝑁𝑒 = 10 𝑦𝑁𝑓 = 4

𝑁𝑒 = 12 𝑦 𝑁𝑓 = 3

En el problema de flujo a través del cuerpo de una presa de tierra, se cuentan en el ultimo tubo

Celda

Ejemplo de caída de equipotencial

Equipotencial hi+1 Equipotencial hi

Linea de Flujo j

Linea de Flujo j+1

Caída de Equipotencial o perdida de cabeza total entre dos líneas equipotenciales consecutivas

Caida de equipotencial Δh1= ho-h1

Caida de equipotencial Δh2= h1-h2

h6= h5-Δh Δh=H/Ne h6

=H

Al agua en los ptos ubicados en la equipotencial analizada le falta por perder 2 octavos de h o sea que le falta el recorrido donde pierde dos caídas de equipotencial

Gradiente en una celda

Longitud del recorrido del Agua en la celda, L

𝑖 = ∆ℎ𝑙

Cabeza total en un punto de la celda. Consideración: Flujo Lineal a través de una celda

Gradiente en la celda=i=Δh/L=Δh/b

. A

hi hi+1

Cabeza total en el punto A

LA

ℎ𝑡𝐴 = ℎ𝑖 − 𝑖 × 𝑙𝐴

Casos resueltos con redes con un grupo o varios grupos de celdas

rectangulares:

– Grupo de celdas altas, L < a, en este caso en este grupo de celdas no se tiene una caída completa ∆h, tan solo una fracción igual a (Lprom/aprom ) ∆h. Cuando se tiene este caso Ne no es un numero entero.

– Grupo de celdas anchas, a < L, en este caso en el

grupo de celdas no filtra un (aprom/Lprom ) ∆q completo, tan solo una fracción de caudal igual a ∆q. Cuando se tiene este caso Nf no es un numero entero.

Ejemplo de Red con fracción de tubo de corriente (L>a)

L a

Red con dos grupos de celdas rectangulares

Fracción de tubo

Grupo de celdas con fracción de caída

Calculo de Caudal de Filtración

Nf

i

iqQ1

LaNe

HKa

L

hKKiAq

;11

LaNe

HKa

L

hKKiAqi

;1

FfHKNe

NfKHQ

=H=2m

𝑘 = 0.003𝑐𝑚

𝑠

Factor de seguridad al tubamiento

En los problemas de flujo bidimensional se tiene gradiente variable por lo tanto se debe ubicar la celda con condiciones mas críticas para evaluar en esta el factor de seguridad al tubamiento.

La celda critica esta ubicada en la salida, es la que tiene mayor gradiente, por lo tanto es la mas pequeña, , L pequeño para ∆h igual, y si es factible que el flujo sea ascendente.

caceldacríti

suelocríticodel

i

iFS

Celda crítica

caceldacríti

suelocríticodel

i

iFS

Ejemplos de redes con celdas cuadradas

Celda crítica

Celda crítica

Celda crítica

Celda crítica

Celda crítica

Fuerza de subpresión Fuerza ejercida por el agua que trata de levantar la estructura.

Con la información que proporciona la red, se puede calcular la fuerza de sub-presión en la base de la estructura, se debe elaborar el diagrama de presión de poro,

calculando las presión de poro en varios puntos ubicados en la base, el área del diagrama es la fuerza de sub- presión por unidad de ancho de la estructura

http://1.bp.blogspot.com/_FJZh1gy3MuM/TSUbktWYphI/AAAAAAAAA_U/u30fuvAkPQ4/s1600/11.gif

Δh iguales