2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

制作人：黄光洲 时间： 2010 年 11 月 22日

平面内两条直线的位置关系

相交直线

相交直线（有一个公共点）

a

bo

平行直线

平行直线（无公共点）

a

b

复习引入

螺 母 a

bc

d

e

f

新课探究 观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系探究一

思考：存在不存在一个平面同时过上面两条直线？

1. 异面直线的定义 :

不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。

练习 1 ：下列说法是否正确（ 1 ） , 则 与 是异面直线（ 2 ） 不同在平面 内，则 与 是异面直线

,, ba a b

ba, a b

a 与 b 是相交直线

a 与 b 是平行直线

a 与 b 是异面直线

a bM

答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。

a ba

b

,, ba

C

1D 1C

1B1A

D

BA

ba, 不同在平面 内

a

b

答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。

2. 异面直线的画法说明 : 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托 .

如图：

a

a

b

a

A

b

b

(1)

(3)(2)

3, 小结：空间直线与直线的位置关系

没有

只有一个

没有

共面

不共面共面平行

相交

异面

位置关系 公共点个数 是否共面

学生探究：图 2.1-15

H

G

C A

D B

E

F

G

H

E

F(B)

(C)

DA

探究：下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么 AB,CD,EF,GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有几对 ? 相交直线有几对 ? 平行直线有几对 ?

D1 C1

B1A1

DC

BA

？DD BBA//ADD，A//ABB 平行吗与那么与中，如图在长方体观察

，

DCBAABCD：

公理 4 、平行于同一条直线的两条直线 互相平行。

A 1A

1B

C 1C

B

例 2 已知 ABCD 是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形， E， F， G， H 分别是AB， BC， CD， DA 的中点，连结 EF， FG， GH， HE ，求证 EFGH 是一个平行四边形。

解题思想： ∵ EH 是△ ABD 的中位线

∴ EH BD∥ 且 EH = BD

同理， FG BD∥ 且 FG = BD

∴ EH FG∥ 且 EH =FG

∴ EFGH 是一个平行四边形

证明： 连结 BD

2

12

1把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题

—— 解立体几何时最主要、最常用的一种方法。

A

B

D

E

F

G

H

C

思考？在平面中，如果一个角的两边与另一角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，在空间中是否仍然成立？

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

55 、等角定理、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

C1

A B

CD

A1 B1

D1

的两边怎样的位置关系，大小如何？

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

ABCD ABC D

ADC ADC ADC ABC

观察正方体与 ， 与

探究 2. 异面直线所成的角

在平面内 , 两条直线相交成四个角 , 其中不大于 90 度的角称为它们的夹角 , 用以刻画两直线的错开程度 , 如图 .

在空间 , 如图所示 , 正方体 AB

CD － EFGH 中 , 异面直线 AB 与HF 的错开程度可以怎样来刻画呢 ?

A B

G

F

H

E

D C

O

问题提出

(3) 解决问题

6, 异面直线所成角的定义 : 如图 , 已知两条异面直线 a ,

b , 经过空间任一点 O 作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b

′ 所成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线所成的角 ( 或夹角 ).

a

bb ′

a′O

思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角 ,即化空间图形问题为平面图形问题

异面直线所成的角的范围 ( 00, 900]

a ″如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为 a

⊥ b

思考 : 这个角的大小与 O 点的位置有关吗 ? 即 O 点位置不同时 , 这一角的大小 是否改变 ?

∵ a′∥a , a″ ∥a ∴ a′∥ a″ ( 公理 4),

解答： 如图设 a ′ 与 b ′ 相交所成的角为∠ 1, a ″ 与 b 所成的角为∠ 2 ,

同理 b′∥b, 1 = 2 ∴ ∠ ∠ ( 等角定理 )b ′

a′O ∠1

aa″

b

∠2

答 : 这个角的大小与 O 点的位置无关 .

如图，已知正方体 ABCD－ A'B'C'D'  中。（ 1 ）哪些棱所在直线与直线 BA' 是异面直线？（ 2 ）直线 BA' 和 CC'  的夹角是多少？（ 3 ）哪些棱所在的直线与直线 AA'  垂直？解：（ 1 ）由异面直线的判定方法可知，与直线BA成异面直线的有直线

, , , , ,B C AD CC DD DC D C ，

A B

CD

A' B'

C'D'

例3

如图，已知正方体 中。（ 1 ）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？（ 2 ）直线 和 的夹角是多少？（ 3 ）哪些棱所在的直线与直线 垂直？解：（ 2 ）由 可知， 等于异面直线 与 的夹角 , 所以异面直线 与 的夹角为 450 。

//BB CC B BA

BACC

, , , , ,

, ,

AB BC CD DA A B

B C C D D A

(3) 直线与直线 都垂直 .AA

CC

BA

A B

CD

A' B'

C'D'

例3 ABCD A B C D

'BA'BA 'CC

'AA

求异面直线所成的角的步骤是 :

一作 (找 ) ：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角

课堂小结知识内容知识内容 思想方法思想方法

异面直线的定义、画法

空间中直线与直线的位置关系

异面直线所成的角

空间问题转化为平面问题

练习提升“a， b 是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且 a 不平行于b ；② a 平面 ， b 平面 且 a∩b=Φ  ③ a  平面 ， b  平面 ④ 不存在平面 ，能使 a   且 b   成立

1、

上述结论中，正确的是 （ ）（ A ）①② （ B ）①③ （ C ）①④ （ D ）③④2 、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ） （ A） 2 对 （ B） 3 对 （ C） 6 对 （ D） 12 对

C

C

3 、两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交，则直线 a， b 的位置关系是（ ）（ A ）一定是异面直线（ B ）一定是相交直线（ C ）可能是平行直线 （ D ）可能是异面直线，也可能是相交直线4 、一条直线和两条异面直线中的一条平行 , 则它和另一条的位置关系是 (  )（ A ）平行（ B ）相交（ C ）异面（ D ）相交或异面

D

D

作业