§8.3 空间点、直线、平面之间 的位置关系 要点梳理 1. 平面的基本性质 公理...
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§8.3 空间点、直线、平面之间 的位置关系
要点梳理1. 平面的基本性质 公理 1 :如果一条直线上的 在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内 .
公理 2 :过 的三点,有且只有一个平面 .
公理 3 :如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有 过该点的公共直线 .
两点
不共线
一条
基础知识 自主学习
2. 直线与直线的位置关系 ( 1 )位置关系的分类
( 2 )异面直线所成的角 ① 定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任 一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b, 把 a′ 与 b′ 所成的 叫做异面直线 a,b 所成的角 ( 或夹角 ).
② 范围: .
一个平面内不同在异面直线
共面直线
:
平行相交
任何
2π,0
锐角或直角
3. 直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况 .
4. 平面与平面的位置关系有 、 两种情况 .
5. 平行公理 平行于 的两条直线互相平行 .
6. 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么 这两个角 .
平行 相交 在平面内
平行 相交
同一条直线
相等或互补
基础自测1. 若三个平面两两相交,且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分成( ) A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 解析 如图所示 , 三个平面 α 、 β 、 γ 两两相 交,交线分别是 a 、 b 、 c 且 a∥b∥c. 则 α 、 β 、 γ 把空间分成 7 部分 .
C
2. 直线 a,b,c 两两平行,但不共面,经过其中两条 直线的平面的个数为( ) A.1 B.3 C.6 D.0
解析 以三棱柱为例,三条侧棱两两平行,但 不共面,显然经过其中的两条直线的平面有 3 个 .
B
3. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 ( ) A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能 解析 如图所示, a∥b,c 与 d 相交 ,a 与 d 异面 .
D
4. 如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方 体的十二条棱中共有异面直线( ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解析 如图所示,与 AB 异面的直线 有 B1C1 , CC1 , A1D1 , DD1 四条,
因为各棱具有相同的位置且正方体 共有 12 条棱,排除两棱的重复计
算,共有异面直线 .242412 对
B
5. 下列命题中不正确的是 . ① 没有公共点的两条直线是异面直线; ② 分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③ 一条直线和两条异面直线中的一条平行,则 它和另一条直线不可能平行; ④ 一条直线和两条异面直线都相交,则它们可 以确定两个平面 .
解析 没有公共点的两直线平行或异面 , 故①错;命题②错 , 此时两直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面, c∥a, 则 c 与 b 不可能平行,用反证法证明如下:若 c∥b, 又 c∥a, 则 a∥b ,这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c
与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知, a,c 可能确定一个平面 ,b,c 也可确定一个平面,这样 ,a,b,c 共确定两个平面 .
答案 ①②
题型一 平面的基本性质 如图所示,空间四边形 ABCD
中 ,E 、 F 、 G 分别在 AB 、 BC 、 CD 上 ,
且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1 , CG∶GD=3∶1 ,过 E 、 F 、 G 的平 面交 AD 于 H ,连接 EH.
( 1 )求 AH∶HD ; ( 2 )求证: EH 、 FG 、 BD 三线共点 .
证明线共点的问题实质上是证明点在 线上的问题,其基本理论是把直线看作两平面 的交线 ,点看作是两平面的公共点 ,由公理 3得证 .
【例1】
思维启迪
题型分类 深度剖析
(1) 解 ∴ EF∥AC.
∴EF∥ 平面 ACD. 而 EF 平面 EFGH ,且平面 EFGH∩ 平面 ACD=GH ,∴EF∥GH. 而 EF∥AC ,∴AC∥GH.
即 AH∶HD=3∶1.
( 2 )证明 ∵ EF∥GH, 且
∴EF≠GH ,∴四边形 EFGH 为梯形 .
令 EH∩FG=P ,则 P∈EH ,而 EH 平面 ABD ,P∈FG,FG 平面 BCD, 平面 ABD∩ 平面 BCD=BD,
∴P∈BD.∴EH 、 FG 、 BD 三线共点 .
,2FBCF
EBAE
,3GDCG
HDAH
,41
,31 ACGH
ACEF
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点 .
( 1)证明三线共点的依据是公理 3.
( 2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点,把问题转化为证明点在直线上的问题 .实际上,点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理 .
探究提高
知能迁移 1 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠ BAD=∠FAB
=90°,BC AD,BE FA , G 、 H
分别为 FA 、 FD 的中点 .
( 1 )证明:四边形 BCHG 是平行四边形; ( 2 ) C 、 D 、 F 、 E 四点是否共面?为什么? ( 1 )证明 由已知 FG=GA , FH=HD , 可得 GH AD. 又 BC AD,∴GH BC,
∴ 四边形 BCHG 为平行四边形 .
( 2 )解 方法一 由 BE AF , G 为 FA 中点知, BE FG , ∴ 四边形 BEFG 为平行四边形,∴ EF∥BG.
21
21
21
21
21
由( 1 )知 BG CH ,∴ EF∥CH ,∴EF 与 CH 共面 .
又 D∈FH ,∴ C 、 D 、 F 、 E 四点共面 .
方法二 如图所示,延长 FE ,DC 分别与 AB 交于点 M , M′ ,∵BE AF ,∴ B 为 MA 中点 .
∵BC AD ,∴B 为 M′A 中点,∴M 与 M′ 重合,即 FE 与 DC 交于点 M ( M′ ),∴C 、 D 、 F 、 E 四点共面 .
21
21
题型二 异面直线的判定 (12 分 ) 如图所示,正方体 ABCD
—A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 A1B1 、
B1C1 的中点 . 问:
( 1 ) AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; ( 2 ) D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由 .
( 1)易证 MN∥AC,∴ AM与 CN不异 面 .
( 2)由图易判断 D1B和 CC1 是异面直线,证明时
常用反证法 .
【例2】
思维启迪
解 ( 1 )不是异面直线 . 理由:连接 MN 、 A1C1 、 AC.
∵M 、 N 分别是 A1B1 、 B1C1 的中点,
∴MN∥A1C1.
又∵ A1A C1C ,∴ A1ACC1 为平行四边形 .
∴A1C1∥AC ,∴ MN∥AC ,
∴A 、 M 、 N 、 C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线 .
( 2 )是异面直线 . 证明如下:∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体,
∴B 、 C 、 C1 、 D1 不共面 .
[ 3 分]
[ 6 分]
假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,
则存在平面 α ,使 D1B 平面 α , CC1 平面 α ,
∴D1 、 B 、 C 、 C1∈α ,与 ABCD—A1B1C1D1 是正
方体矛盾 .
∴ 假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线 .
解决这类开放型问题常用的方法有直接法 (即由条件入手,经过推理、演算、变形等 ),
如第( 1)问,还有假设法,特例法,有时证明两直线异面用直接法较难说明问题 ,这时可用反证法,即假设两直线共面,由这个假设出发,来推证错误,从而否定假设,则两直线是异面的 .
探究提高
[ 10 分]
[ 12 分]
知能迁移 2 (1) 如图是一几何体的平面展开图, 其中四边形 ABCD 为正方形, E 、 F 分别为 PA 、 PD 的中点 , 在此几何体中 , 给出下面四个结论: ① 直线 BE 与直线 CF 是异面直线; ② 直线 BE 与直线 AF 是异面直线; ③ 直线 EF∥ 平面 PBC ; ④ 平面 BCE⊥ 平面 PAD.
其中正确结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④
解析 由 EF∥AD∥BC ,知 BE 、 CF 共面, ① 错;②正确;③正确;④错 . 故选 B.
B
( 2 )如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M 、 N
分别为棱 C1D1 、 C1C 的中点,有以下四个结论:
① 直线 AM 与 CC1 是相交直线;
② 直线 AM 与 BN 是平行直线;③ 直线 BN 与 MB1 是异面直线;
④ 直线 AM 与 DD1 是异面直线 .
其中正确的结论为 (注:把你认为正确的结论的序号都填上) .
解析 直线 AM 与 CC1 是异面直线,直线 AM 与 BN
也是异面直线,故①②错误 .
③④
题型三 求异面直线所成的角 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,
( 1 )求 AC 与 A1D 所成角的大小;
( 2 )若 E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点,求 A1C1
与 EF 所成角的大小 .
( 1)平移 A1D到 B1C,找出 AC与 A1D所
成的角,再计算 .
( 2)可证 A1C1 与 EF垂直 .
【例3】
思维启迪
解 (1) 如图所示 , 连接 B1C, 由 ABCD—A1B1C1D1
是正方体,
易知 A1D∥B1C ,从而 B1C 与 AC 所成的锐角或直角
就是 AC 与 A1D 所成的角 .
∵AB1=AC=B1C ,∴∠ B1CA=60°.
即 A1D 与 AC 所成角为 60°.
(2) 如图所示 , 连接 AC 、 BD, 在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中 ,AC⊥BD , AC∥A1C1,
∵E 、 F 为 AB 、 AD 的中点,∴EF∥BD ,∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.
即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°.
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移 .计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行 .
探究提高
知能迁移 3 ( 2009· 全国Ⅰ理, 7 )已知三棱 柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在
底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的中点 , 则异面直线AB
与 CC1 所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析 方法一 如图 (1),A1D ⊥ 平面
ABC ,且 D 为 BC 的中点 , 设三棱柱的各
棱长为 1 ,则 AD= ,由 A1D ⊥ 平面
ABC 知 A1D= ,Rt△A1BD 中,易求 A1B=
43
45
47
43
23
21
.22
41
41
图( 1 )
∵CC1∥AA1 ,∴ AB 与 AA1 所成的角即为 AB 与 CC1
所成的角 . 在△ A1BA 中 , 由余弦定理可知
cos∠A1AB=
∴AB 与 CC1 所成的角的余弦值为
方法二 如图( 2 ) , 建立空间直角坐标系,因
为 A1D⊥ 平面 ABC , AD⊥BC ,由 AA1=1
知
.43
11221
11
.43
,23AD
.2
11 DA
.43
,cos
),0,21
,23
(
),21,0,
23
(
),0,21
,0(
),0,0,23
().21,0,0(
1
1
1
ABAA
AB
AA
B
AA 又故
图( 2 )
答案 D
方法与技巧1. 主要题型的解题方法 ( 1 )要证明“线共面”或“点共面”可先由部 分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点 也在这个平面内(即“纳入法”) .
( 2 )要证明“点共线”可将线看作两个平面的 交线 , 只要证明这些点都是这两个平面的公共 点 , 根据公理 3 可知这些点在交线上 , 因此共线 .
2. 判定空间两条直线是异面直线的方法 ( 1 )判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连 线和平面内不经过该点 B 的直线是异面直线 .
思想方法 感悟提高
( 2 )反证法:证明两线不可能平行、相交或证 明两线不可能共面,从而可得两线异面 .
3. 求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通 过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题 来解决 . 根据空间等角定理及推论可知,异面直 线所成角的大小与顶点位置无关,往往将角的 顶点取在其中的一条直线上,特别地,可以取 其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或 异面线段的端点 .总之,顶点的选择要与已知量 有关,以便于计算,具体步骤如下:
(1)利用定义构造角,可固定一条 , 平移另一 条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点 选在特殊的位置上; (2) 证明作出的角即为所求角; (3)利用三角形来求解 .
失误与防范1. 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线 .
而不是分别在两个平面内 . 一定要理解定义 .
2. 求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成 角的范围是( 0° , 90° ] .
一、选择题1. 已知平面外一点 P 和平面内不共线三点 A 、 B 、 C,A′ 、 B′ 、 C′ 分别在 PA 、 PB 、 PC 上 , 若延长 A′B′ 、 B′C′ 、 A′C′ 与平面分别交于 D 、 E 、 F 三点,则 D 、 E 、 F 三点 ( ) A. 成钝角三角形 B. 成锐角三角形 C. 成直角三角形 D. 在一条直线上 解析 D 、 E 、 F 为已知平面与平面 A′B′C′
的公共点,由公理 2 知, D 、 E 、 F 共线 .
D
定时检测
2. 关于直线和平面的四个命题中不正确的是( ) A. 平行于同一平面的两个平面一定平行 B. 平行于同一直线的两条直线一定平行 C.垂直于同一直线的两条直线一定平行 D.垂直于同一平面的两条直线一定平行 解析 垂直于同一直线的两条直线不一定平 行,还可能相交或异面 .
C
3. 已知 α 、 β 是两个不同的平面,直线 ,直 线 ,命题 p:a 与 b 没有公共点,命题 q:α∥β ,则 p 是 q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当 a,b 都平行于 α 与 β 的交线时, a 与 b无 公共点, 但 α 与 β 相交 .当 α∥β 时, a 与 b 一定无公共 点,∴ qp ,但 p q.
ba
B
4. 若 P 是两条异面直线 l 、 m 外的任意一点 , 则 ( )
A. 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都平行 B. 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都垂直 C. 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都相交 D. 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、 m 都异面 解析 对于选项 A ,若过点 P 有直线 n 与 l,m 都 平行,则 l∥m ,这与 l,m 异面矛盾; 对于选项 B ,过点 P 与 l 、 m 都垂直的直线,即过P
且与 l 、 m 的公垂线段平行的那一条直线; 对于选项 C ,过点 P 与 l 、 m 都相交的直线有一条 或零条; 对于选项D ,过点 P 与 l 、 m 都异面的直线可能有 无数条 .
B
5. 正四面体 PABC 中, M 为棱 AB 的中点 ,
则 PA 与 CM 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析 如图所示,取 PB 中点 N , 连接 CN 、 MN.
∠CMN 为 PA 与 CM 所成的角 (或所成角的补角), 设 PA=2 ,则 CM= , MN=1 , CN= , ∴cos∠CMN=
23
43
63
33
3
3
.63
C
6. 正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 ,底面边长 为 , E 为 SA 的中点,则异面直线 BE 和 SC 所成的 角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析 设 AC 中点为 O ,则 OE∥SC ,连结 BO , 则∠ BEO (或其补角)即为异面直线 BE 和 SC
所成的角,
2
3
.60,2
1cos,
.2
,24
6
223
21
cos,
,2
6
2
1,
2
2
2
1
222
BEOBEOBEO
BE
AEAB
BEAEAB
SA
ABASAB
BDBOSCEO
中
中
答案 C
二、填空题7. 如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中 ,
D 是 AC 的中点 ,AA1∶AB= ∶1, 则异面 直线 AB1 与 BD 所成的角为 . 解析 在平面 ABC 内,过 A 作 DB 的平行线 AE , 过 B 作 BH⊥AE 于 H , 连接 B1H ,则在 Rt△AHB1 中, ∠B1AH 为 AB1 与 BD 所成角, 设 AB=1 ,则 A1A= ,
∴B1A= , AH=BD= ,
∴cos∠B1AH=
∴∠B1AH=60°.
323
,21
1
ABAH
60°2
2
8. 在图中, G 、 H 、 M 、 N 分别是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点,则表示直线 GH 、 MN 是异面直线 的图形有 .( 填上所有正确答案的序号 )
解析 图( 1 )中,直线 GH∥MN ;图( 2 )中, G 、 H 、 N 三点共面,但 M 面GHN ,因此直线 GH 与 MN 异面;图( 3 )中,连接 MG , GM∥HN ,因此 GH 与 MN
共面;图( 4 )中, G 、 M 、 N 共面,但 H 面 GMN ,∴GH 与 MN 异面 .
所以图( 2 )、( 4 )中 GH 与 MN 异面 .
答案 ( 2 )( 4 )
9. 已知 a 、 b 为不垂直的异面直线 ,α 是一个平面,则 a 、 b 在 α 上的射影可能是①两条平行直线;②两 条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线 及其外一点 . 则在上面的结论中,正确结论的编号 是 (写出所有正确结论的编号) .
解析 ①、②、④对应的 情况如下: 用反证法证明③不可能 .
①②④
三、解答题10. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 为 AB 的中点,
F 为 A1A 的中点,
求证:( 1 ) E 、 C 、 D1 、 F 四点共面;
( 2 ) CE 、 D1F 、 DA 三线共点 .
证明 ( 1 )分别连结 EF 、 A1B 、 D1C.
∵E 、 F 分别是 AB 和 AA1 的中点,∴ EF
A1B.
又 A1D1 B1C1 BC ,
∴ 四边形 A1D1CB 为平行四边形 .
∴A1B∥CD1 ,从而 EF∥CD1.
∴EF 与 CD1 确定一个平面 .
∴E 、 F 、 D1 、 C 四点共面 .
21
21
( 2 )∵ EF CD1 ,∴直线 D1F 和 CE必
相交 ,
设 D1F∩CE=P.
∵P∈D1F 且 D1F 平面 AA1D1D ,
∴P∈ 平面 AA1D1D.
又 P∈EC 且 CE 平面 ABCD ,∴P∈ 平面 ABCD ,即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点,
而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D=AD ,
∴P∈AD.∴CE 、 D1F 、 DA 三线共点 .
21
11. 已知 E 和 F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的
棱 AA1
和棱 CC1 上的点 , 且 AE=C1F, 求证 : 四边形 EBFD1
是 平行四边形 .
证明 如图所示 , 在 DD1 上取一点 G,
使 D1G=A1E ,则易知 A1E D1G ,
∴ 四边形 A1EGD1 为平行四边形,
∴EG A1D1. 又∵ A1D1 B1C1 ,
B1C1 BC ,∴ EG BC ,
∴ 四边形 GEBC 是平行四边形,∴ EB GC.
又∵ D1G FC,∴ 四边形 D1GCF 是平行四边形 ,
∴GC D1F ,∴ EB D1F ,
∴ 四边形 EBFD1 是平行四边形 .
12. 如图所示,在四面体 ABCD 中, E 、 F 分别是线段 AD 、 BC 上的点,
AB=CD=3 , ,
求 AB 、 CD 所成角的大小 .
解 如图所示,在线段 BD 上取一
点 G ,使 连接 GF 、 GE 、 EF.
,21
FCBF
EDAE
.21
GDGB
,232
,//,21
ABGE
ABGEFCBF
GDBG
EDAE
且
7EF
∴∠EGF=120°.
由 GF∥CD,GE∥AB 可知 ,AB 与 CD 所成的角应是∠ EGF 的补角为 60°.
,21
122712
cos,
,131
,//
22
EGFEGF
CDGFCDGF,
中在
且同理
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