2

3

1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示 .2. 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义 .

4

3. 了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 . 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 .

5

1. 下列说法正确的是 ( )C

A. 平行向量就是与向量所在直线平行的向量B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为 0D. 共线向量是在一条直线上的向量

6

平行向量指方向相同或相反的非零向量，其所在直线可以平行也可以重合，故 A 错；长度相等的向量不一定是相等向量，故 B 错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D 错； C 是正确的 .

解析

7

2. 若向量 a=(x,1),b=(4,x) ，则当 x= 时， a与 b 共线且方向相同 .

2

因为 a=(x,1),b=(4,x),若 a∥b,则 x·x-1×4=0,即 x2=4, 所以 x=±2 ，当 x=-2 时， a与 b 方向相反，当 x=2 时， a与 b 方向相同 .

解析

8

,

3

3. (2010 ) AB AC

BD DC AD AD

a b

a b

如图，已知 ，

，

合肥高三质检

用 ， 表示 ，则

3 1 3A B. 4 4 4

1 1 3 1C. D. 4 4 4 4

a b a b

a b a b

．

B

解析

9

21 1e e 因为 与 是共线向量，所以不能作为基底．

1

1

1 1 1 1

A B 3 2C D 2

4.

2

1 2 2

2 2

e e

e e e ee e e e e e

若已知 、 是平面上的一组基底，则下列各

组向量中不能作为基底的一组是 ． 与 ． 与

． 与 ． 与

A

解析易错点 作为平面向量的基底，应是两个不共

线的向量．

10

1,1 (1 1) 1, 2

1 3 1 3 A . 2 2 2 2

3 1 3 1 C. .2 2 2

5.

2

B

D

a b c c

a b a b

a b a b

若向量 ， ， ， ，则 等于

．

B

解析 1, 2 1,1 (1 1) ( )

11 2 ,

2 32

1 3 .2

B2

m nm n m n m n

mm nm n n

c

c a b

a b

设 ，

则 ， ，

所以 ,解得

所以 ，故选易错点 不能灵活运用平面向量基本定理，使用待定系数法进行解题．

11

1. 向量的有关概念既有① 又有② 的量叫做向量 .③ 的向量叫做零向量，记作 0 ，规定零向量的方向是任意的 .④ 的向量叫做单位向

量 . 方向⑤ 的⑥ 向量叫做平行向量 ( 或共线向量 ).⑦ 且⑧ 的向量叫做相等向量 .⑨ 且⑩ 的向量叫做相反向量 .

大小 方向长度为 0

长度为 1相同或相反 非零长度相等 方向相同长度相等 方向相反

12

2. 向量的表示方法用小写字母表示，用有向线段表示，用坐标表示 .3. 向量的运算加法、减法运算法则：平行四边形法则、三角形法则 .实数与向量的积：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa ，它的长度和方向规定如下：

13

(1)|λa|= ;(2)当 λ>0时 ,λa 的方向与 a 的方向 ；当 λ<0 时， λa 的方向与 a 的方向 ；当 λ=0 时， λa= .运算律：交换律、分配律、结合律 .4. 平面向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是 .

11|λ||a|

12相同13相反 140

15有且只有一个实数 λ ，使得 b=λa

14

5. 平面向量基本定理如果 e1、 e2 是同一平面内两个

的向量，那么对这个平面内任一向量a ， . 实数 λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

6. 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、 y轴正方向相同的两个单位向量 i、 j 作为基底，对任一向量 a ， x、 y, 使得 a=xi+yj, 则实数对 叫做向量 a 的直角坐标 ,

16不共线17有且只有一对

18有且只有一对实数19(x,y)

15

记作 a=(x,y) ，其中 x、 y 分别叫做 a在x 轴、 y 轴上的坐标， a=(x,y) 叫做向量 a 的坐标表示 .

相等的向量坐标 ，坐标相同的向量是 的向量 .

7. 平面向量的坐标运算 (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),

则 a±b= . (2) 如果 , 则 = . (3)若 a=(x,y)则 λa= .

20相同21相等

22 (x1±x2,y1±y2)

23A(x1,y1),B(x2,y2)

24(x2-x1,y2-y1)AB

25 (λx,λy)

16

8. 平行与垂直的充要条件(1) 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a∥b 的充

要条件是 .(2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b 的充

要条件是 .9. 向量的夹角两个非零向量 a和 b, 作 =a ， =b ， 则

___________________________ 叫做向量 a与b 的夹角 , 记作 . 如果夹角是 , 我们说 a与 b 垂直 , 记作 .

26

27

x1y2-x2y1=0

x1x2+y1y2=0

OA

OB

28 ∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)29 〈 a,b〉 =θ

30 90°a⊥b31

17

判断下列各题是否正确：(1) 向量 a 与向量 b 平行，则 a与 b 的方向相同或相反；(2) 四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 = ;AB

DC

题型一 平面向量的基本概念、线性运算及简单性质

例 1

18

(3) 已知 λ,μ∈R， λ≠μ,则 (λ+μ)a与 a 共线 ;(4)O 是平面内一定点， A、 B、 C 是平面内不共线的三个点，动点 P 满足 = +λ( + ,λ∈［ 0,+∞), 则点

P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心；(5) 已知 A、 B、 C 是不共线的三点， O 是△ ABC 内的一点 , 若 + + =0,则 O 是△ ABC 的重心 .

OP

OA

| |ABAB

| |ACAC

OA

OB

OC

19

(1) 若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确 .(2) 若四边形 ABCD 是平行四边形，则

AB∥CD, 所以 = ; 若四边形ABCD 中， AB=DC, 则 ∥ ，所以四边形 ABCD 是平行四边形，判断正确 .

AB

DC

AB

DC

解析

20

(3) 由实数与向量的积，可知正确 .

(4) 与 分别表示 与 方向的单位向量，设它们分别为 与 ，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形 AB′P′C′ ， 平分∠ BAC ，

=λ( + ) 与 的方向相同，也平分∠ BAC. 由 = + 知 P 的轨迹为∠ BAC 的平分线，一定通过△ ABC 的内心，故正确 .

OP

OA

| |ABAB

| |ACAC

AB

AC

ABAC

AP

AP

ABAC

AP

AP

21

(5) 因为 + + =0,所以 =-( + ) ，即 + 是与 方向相反且长度相等的向量 .如图所示 ,以 OB 、 OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD ，则 = + ，所以 =- ，在平行四边形 BOCD中 ,设 BC与 OD 相交于 E ， = ，则 = .所以 AE 是△ ABC 的边 BC 的中线 ,且 | |=2|

|.所以 O 是△ ABC 的重心，故正确 .

OA

OB

OC

OA

OB

OC

OB

OC

OA

OB

OC

OD

OD

OA

BE

EC

OE

ED

OA

OE

22

(1) 表示与 同方向的单位向量 .(2) 向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用 .

| |ABAB

AB

评析

23

素材 1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

0②任一向量与它的相反向量不相等；③模为 是一向量方向不确定的充要条件；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

24

.

 

AB CD

AC BC

① ．共线向量即平行向量，只要求

方向相同或相反即可，并不要求两个向量 、 在同一直线上．② ．零向量的相反向量仍

不正确

不正 是零向量，但零向量与零向量是相等．③ ．

④ 与 共线，虽起点不同，但其

确

终

正确

不正确 点却相同

解析

25

题型二 平面向量的坐标运算例 2 4, 0 4, 4 2, 6

( )

A B C

AC OB O P

已知点 ， ， ，试用向量

方法求直线 和 为坐标原点交点 的坐标．

分析 P 根据题意设出 点坐标，然后利用已知条件转化成共线向量的关系，得到方程组，从而求解．

26

解析

27

评析

“” ( )

向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，它可以使向量运算代数化，从而把数与形结合起来，很多几何问题就可以转化为代数运算来解决．利用向量的坐标运算解题，主要是根据 相等向量的坐标相同 这一原则，通过方程 组 进行求解．

28

素材 2

1

2

t P x P y P

OABP

t

为何值时， 在 轴上？ 在 轴上？ 在第二象限？

四边形 能否成为平行四边形？若能，求出相

应的 值；若不能，请说明理由．

29

解析 1 ( ) ( ) 3 1,3 2

2 13 3

3 1 0 2 1 .3 2 0 3 3

P x y x y t t

t P x t P y

tP t

t

设 ， ，则 ， ，

时， 在 轴上； 时， 在 轴上．

当 在第二象限时，由 解得

30

题型三 平面向量共线的坐标表示 例 3 1, 2 3, 2

2 2 4

k

k

a b

a b a b

已知 ， ，当实数 取何值时，

与 平行？

分析2 2 4

( )k

k a b a b

直接利用向量的加法、减法及数乘运算得到 与 的坐标，再利用向量共线充要条件的坐标表示，将问题转化为关于 的方程组求解．

31

解析

2 4 02 2 4

6, 2 4 (14 4)6 14 2 4 4 1.

k

k k

k k k

a ba b a b

a b

因为 ，

所以存在唯一实数 使 ．

将 、 的坐标代入上式得 ， ，

得 且 ，解得

评析( )

( )

向量共线的坐标表示实质是把向量问题转化为代数运算，通过坐标公式建立参数的方程 组，通过解方程 组 求出参数的值，体现方程的思想在向量中的运用．

32

1, 0 2,1

1 3

2 3k k

a b

a b

a b a b

已知 ， ，

求 ；

当 为何实数时， 与 平行？平行时它们

是同向向

素材3

是反向？

解析

1 1, 0 2,1

3 7,3

3 72 32 58.

2 ( 2 1) 3 7,3k k

a b

a b

a b

a b a b

因为 ， ，

所以 ，

则， ， ，

33

3 3 2 7 0

13

7( 2 1) ( 1) 3 7,33

3 3

3

k k

k

k k

k

k

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

因为 与 平行，所以 ，

即得 ，

此时 ， ， ， ，

则 ，

即此时向量 与 方向相反．

34

备选题备选题 ( )( )

k k

a b c a b Rd a b c d

已知向量 、 不共线， ，，如果 ，那么

A 1 . 1C 1 D 1

k B kk k

c d c dc d c d

． 且 与 同向 且 与 反向． 且 与 同向 ． 且 与 反向

解析

1, 0 0,1

1 1,1 (1 1)

A B.1 1,1 1,1

C .D

k

k

a b

c a b d a b

a bc a b d = a b

c d c d

取 ， ．

若 ，则 ， ， ，

显然， 与 不平行，排除 、

若 ，则 ， ，

即 且 与 反向，排除 ，故选

35

1. 向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理 , 平面向量 实数对 (x,y), 任何一个平面向量都有惟一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一 . 也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系 . 即向量 (x,y) OA

点 A(x,y). 向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 .

一一对应

一一对应

一一对应

36

2. 向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法 .

37

3. 已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标 . 本讲易忽略点有二 : 一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标 ; 二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆 .

38

7,9

2 a

a

x y y x y x yx

对于平面上的给定向量 ，试求在同

一平面上满足： ，且 ， 的向量 ，

的坐标．

错解 2 2 7,9

7 7( 3) ( 3)3 3

x y x y x y

x y x y a x x

x y

因为 ， ，所以 ，

把 代入 中，得 ，

解得 ，，所以 ，．

错解分析 “ ”

x y x y

x y x yx y x y

该解法出错在于对 ， 的理

解发生了偏差，事实上 仅仅是当 与 方向相同时的一种情形，而当 与 方向相反时就应有 了．

39

正解

3 7,9

7 7( 3) ( 3)

( 7 9)

3 32 7,9

7,9

x y x y x y

x y x

x y

x x

x x

y

y

x

因为 ， ，所以 ，

当 时，由 ，

解得 ，，所以 ，．

当 时，由 ，

解 以 ，得 ，所 ．