1 ．抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离 _____

的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 _____ ，直线 l 叫做抛物线的 _____ ．

2 ．抛物线的标准方程图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

y2＝2px (p＞0)

_______

________

p

2，0 x＝－p2

相等焦点

准线

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

y2＝－2px

_______

－p2，0

______

x2＝2py (p＞0)

________

________

x2＝－2py

_______

_________ y＝

p2

x＝p2

(p＞ 0)

0，p2 y＝－

p2

(p＞ 0)

0，－p2

3 ．抛物线的简单几何性质

标准方程 y2＝ 2px(p＞ 0)

y2 ＝－ 2px(p＞ 0)

x2＝ 2py(p＞ 0)

x2 ＝－ 2py(p＞ 0)

图形

性质 范围 _____ _____ _____ _____x≥0 x≤0 y≥0 y≤0

标准方程 y2＝ 2px(p＞ 0)

y2 ＝－2px

(p＞ 0)

x2＝ 2py(p＞ 0)

x2 ＝－2py

(p＞ 0)

性质

对称性 对称轴：____

对称轴：____

对称轴：____

对称轴：____

顶点 ____

离心率 ____

通径 过焦点且与轴垂直的弦 AB， |AB|＝ ___

x 轴 x 轴 y 轴 y 轴

(0,0)

e＝ 1

2p

1 ．已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m ，－ 2) 到焦点的距离为 4 ，则 m 的值为 ( 　　 )

A． 4 　　 B ．－ 2 　　 C． 4 或－ 4 　　 D． 12 或－ 2

解析：设标准方程为 x2＝－2py(p＞0)，由定义知 P到

准线距离为 4，故p2＋2＝4，所以 p＝4，所以方程为 x2＝

－8y，代入 P点坐标得 m＝±4.

答案： C

2 ．抛物线 y＝ 4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1 ，则点M到 x 轴的距离是 ( 　　 )

A.1716 B.

78 C．1 D.

1516

解析：抛物线化标准方程为 x2＝14y，准线方程为 y＝－

116，

M到准线的距离为 1，所以到 x轴的距离等于 1－116＝

1516.

答案： D

3 ．已知直线 l1： 4x－ 3y＋ 6＝ 0 和直线 l2： x ＝－1 ，抛物线 y2＝ 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 ( 　　 )

A．2 B.3

C.115 D.

3716

解析：因为直线 l2：x＝－1恰为抛物线 y2＝4x的准线，

所以 P到 l2的距离 d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)．所以 P到

l1、l2距离之和最小值为 F到 l1的距离为|4× 1－3× 0＋6|

32＋42 ＝2，

故选 A.

答案： A

4．一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2＝ax上，另一个

顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为 36 3，则 a＝

________.

解析：设正三角形边长为 x，则 36 3＝12x2sin 60°，

所以 x＝12.

当 a>0时，将(6 3，6)代入 y2＝ax，得 a＝2 3，

当 a<0 时，将(－6 3，6)代入 y2＝ax，得 a＝－2 3，

故 a＝±2 3.

答案：±2 3

1 ．抛物线只有一种定义形式，在定义中，焦点 F 不在直线l 上，否则它将表示一条直线．

2 ．抛物线没有中心，只有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴且离心率 e＝ 1 ，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．

3 ．抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线 y2＝ 2px 关于 y 轴、直线 x＋ y＝ 0与 x－ y＝ 0 对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线 y2＝ 2px 绕原点旋转 ±90°或 180° 也可得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系．

4 ．求抛物线标准方程的方法(1) 根据条件判断抛物线标准方程的类型，把握顶点、

对称轴，开口方向与方程式的对应关系．(2) 抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依

并存，知道其中一个，就可求其他两个．5．若 AB为抛物线 y2＝2px(p＞0)的一条过焦点 F的弦，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|AF|＋|BF|＝

x1＋p2＋

x2＋p2

＝x1＋x2＋ p.若 AB 为非焦点弦，则用弦长公式 |AB|＝

1＋k2[x1＋x22－4x1x2]或 |AB|＝

1＋1k2 [y1＋y22－4y1y2]

(k为直线 AB的斜率)．

考点一　抛物线定义的应用【案例 1 】 (2008· 海南、宁夏 ) 已知点 P 在抛物线 y2＝

4x 上，那么点 P 到点 Q(2 ，－ 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 ( 　　 )

( 即时巩固详解为教师用书独有 )

A.

1

4，－1 B.

1

4，1

C．(1,2) D．(1，－2)

关键提示：作出图象，利用抛物线的定义可求出．

答案： A

解析：如图，抛物线的准线 l：x＝－1，过 P作 PK⊥ l于

K，则|PF|＝|PK|，所以|PF|＋|PQ|＝|PK|＋|PQ|，当 P、K、Q

三点共线时满足题意，此时 P点纵坐标为－1，所以 x＝y2

4＝14，

所以 P

1

4，－1，故选 A.

【即时巩固 1 】　已知抛物线 y2＝ 2x 的焦点是 F ，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2) ，求 |PA|＋ |PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标．

解：由定义知，抛物线上点 P 到焦点F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d ，由图可知，求 |PA|＋ |PF| 的问题可转化为求 |PA|＋ d 的问题．将 x＝ 3 代入抛物线方程 y2＝ 2x ，得 y＝± 6.

因为 6>2，所以 A在抛物线内部．

设抛物线上点 P到准线 l：x＝－12的距离为 d，

由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，

由图可知，当 PA⊥ l时，|PA|＋d最小，最小值为72，

即|PA|＋|PF|的最小值为72，

此时 P点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2.

所以 P点坐标为(2,2)．

考点二　求抛物线的标准方程【案例 2 】　已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴

上，且抛物线上一点 (－ 3，m) 到焦点的距离为 5 ，求抛物线的方程．

关键提示：应分焦点在 y 轴正半轴、负半轴两种情况，考虑利用抛物线的定义，结合待定系数法求抛物线方程．

解：方法 1：若焦点在 y轴的正半轴上，

则可设方程为 x2＝2py(p＞0)，

准线方程为 y＝－p2，所以 m－

－p2 ＝5.

又因为 9＝2pm，所以 m＝9

2p.

所以92p＋

p2＝5，得 p＝1或 p＝9，

所以抛物线方程为 x2＝2y或 x2＝18y.

若焦点在 y轴的负半轴上，设方程为 x2＝－2py(p＞0)，

准线方程为 y＝p2.

因为p2－m＝5，所以

p2＋

92p＝5，得 p＝1或 p＝9.

所以抛物线的方程为 x2＝－2y或 x2＝－18y.

方法 2：设抛物线的方程为 x2＝2ay(a≠ 0)，

则 p＝|a|，准线方程为 y＝－a2.

依题意有 2am＝9，

a

2＋m ＝5.

解此方程组可得四组解：

a1＝1，

m1＝92；

a2＝－1，

m2＝－92；

a3＝9，

m3＝12；

a4＝－9，

m4＝－12.

所以所求抛物线方程为 x2＝2y，x2＝－2y，x2＝18y，

x2＝－18y.

【即时巩固 2 】　若抛物线 y2 ＝－ 2px(p>0) 上有一点M ，其横坐标为－ 9 ，它到焦点的距离为 10 ，求抛物线方程和 M 点的坐标．

解：由抛物线定义知焦点为 F(－p2，0)，准线为 x＝

p2，

由题意设M到准线的距离为|MN|，

则|MN|＝|MF|＝10，V即p2－(－9)＝10，

所以 p＝ 2.

故抛物线方程为 y2 ＝－ 4x ，将M(－ 9， y) 代入 y2 ＝－ 4x ，解得 y＝ ±6 ，所以 M(－ 9,6)或M(－ 9 ，－ 6) ．

考点三　抛物线的几何性质【案例 3 】　如图， AB 是过抛物线 y2 ＝2px(p>0) 焦点 F 的弦， M是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， MN⊥ l， N 为垂足，求证：(1)AN⊥BN ；(2)FN⊥AB ；(3)若MN 交抛物线于 Q ，则点 Q 平分 MN ；

(4)1

|FA|＋1

|FB|＝2p.

关键提示：利用抛物线的定义并结合平面几何知识进行证明．

证明： (1)作 AC⊥ l， BD⊥ l ，垂足分别为 C、 D ，在直角梯形 ABDC 中，因为 |AF|＝ |AC|， |BF|＝ |BD| ，

由平面几何知识可知△ ANB 是直角三角形，即 AN⊥BN.(2) 因为 |AM|＝ |NM| ，所以∠ MAN ＝∠ MNA.因为 AC∥ MN ，所以∠ CAN ＝∠ MNA ，所以∠ MAN ＝∠ CAN.

所以|MN|＝12(|AC|＋|BD|)

＝12(|AF|＋|BF|)＝

12|AB|.

在△ ACN 和△ AFN 中，|AN|＝ |AN|， |AC|＝ |AF| ，且∠ CAN ＝∠ FAN ，所以△ ACN≌△AFN.所以∠ NFA ＝∠ NCA＝ 90° ，即 FN⊥AB.(3)在 Rt△ MFN 中，连结 QF ，由抛物线的定义及 (2)

的结论得 |QN|＝ |QF|⇒∠QNF ＝∠ QFN ，且∠ QFN＝ 90° －∠ QFM ，∠ QMF＝ 90° －∠ QN

F ，所以∠ QFM ＝∠ QMF. 所以 |QF|＝ |QM|.所以 |QN|＝ |QM| ，即点 Q 平分 MN.(4)当 AB 不垂直于 x 轴时，

可设 AB的方程为 y＝k

x－p2，

将其与 y2＝2px联立，消去 x，得

ky2－2py－kp2＝0(k≠ 0)．

设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1·y2＝－p2，

因为 y21＝2px1，y2

2＝2px2，所以 x1x2＝y2

1·y22

4p2＝p2

4 .

x1＋x2＝1

2p(y21＋y2

2)＝12p[(y1＋y2)

2－2y1y2]

＝12p

2p

k2＋2·p2 ＝

2pk2＋p

所以1

|FA|＋1

|FB|＝1

x1＋p2

＋1

x2＋p2

＝x1＋x2＋p

x1x2＋p2x1＋x2＋

p2

4

＝

2pk2＋2p

p2

4＋p2

2p

k2＋p＋p2

4

＝

1

k2＋1 ·2p

1

k2＋1 ·p2＝

2p.

当 AB垂直于 x轴时，

因为|FA|＝|FB|＝p，结论显然成立．

所以综上可知，1

|FA|＋1

|FB|＝2p.

点评： 1. 本例主要考查利用抛物线方程和平面几何性质得出有关抛物线焦点弦问题的一些结论．

各题证明都可用抛物线的定义结合平面几何知识来证明，对 (4) 也可用代数方法完成．

由抛物线的焦点弦、准线以及根据定义所作的弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形，有很多有趣的结论，借助抛物线的定义及平面几何知识可以一一证明，对于与焦点弦有关的抛物线几何性质的证明，一般用几何法证明比用代数法证明更简单，所以对于一些解析几何问题，可以灵活运用平面几何性质并辅助代数运算进行，这就使我们的解析几何问题有了“双翼”，解决问题思路将更开阔．

2 ．抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于 1 ，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛，例如：

已知过抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的焦点的直线交抛物线于 A、 B两点，设 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，则有下列性质： |AB|

＝2p

sin2α(α为 AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p2

4等．

【即时巩固 3 】　已知直线 y＝ k(x＋ 2)(k>0) 与抛物线 C：y2＝ 8x 相交于 A、 B 两点， F为 C 的焦点，若 |FA|＝ 2|FB| ，则k＝ ( 　　 )

A.13 B.

22 C.

23 D.

2 23

解析：抛物线 C： y2＝ 8x 的准线为l： x ＝－ 2 ，直线 y＝ k(x＋ 2)(k>0)恒过定点 P(－ 2,0) ．如图所示，过 A、 B 分别作 AM⊥l 于点 M， BN⊥l 于点 N ，因为 |FA|＝ 2|FB| ，所以 |AM|＝ 2|BN| ，点B为 AP 的中点．连结 OB ，则 |OB|

答案： D

＝12|AF|，所以|OB|＝|BF|，点 B的横坐标为 1，故点

B的坐标为(1,2 2)，

所以 k＝2 2－01－－2＝

2 23 .

考点四　抛物线几何性质的应用

【案例 4】 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2

a2－

y2

b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知

抛物线与双曲线的一个交点为

3

2， 6 ，求抛物线与双曲线

方程．

关键提示：由交点为

3

2， 6 知，抛物线开口向右，设

出双曲线与抛物线的标准方程后，再利用抛物线的几何性质

建立关系式．

解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线

过双曲线的左焦点，所以 p＝2c.

设抛物线方程为 y2＝4c·x，

因为抛物线过点

3

2， 6 ，

所以 6＝4c·32.

所以 c＝1，故抛物线方程为 y2＝4x.

又双曲线x2

a2－y2

b2＝1过点

3

2， 6 ，

所以9

4a2－6b2＝1.

又 a2＋b2＝c2＝1，所以9

4a2－6

1－a2＝1.

所以 a2＝14或 a2＝9(舍去)．

所以 b2＝34，

故双曲线方程为：4x2－4y2

3 ＝1.

【即时巩固 4 】 (1) 定长为 3 的线段 AB 的端点A、 B 在抛物线 y2＝ x 上移动，求 AB 中点到 y 轴距离的最小值，并求出此时 AB 中点 M 的坐标．

(2)已知点 P为抛物线 y2＝2x上的动点，点 P在 x轴

上的射影是 M，点 A 的坐标是(72，4)，则|PA|＋|PM|的最

小值是多少？

解： (1) 如图，设 F 是抛物线 y2 ＝x 的焦点，过 A、 B 两点作准线的垂线AC、 BD ，垂足分别为 C、 D ，过 M 点作准线的垂线为 MN， N 为垂足，

则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)．

根据抛物线定义，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.

所以|MN|＝12(|AF|＋|BF|)≥

32.

设 M点的横坐标为 x，则|MN|＝x＋14.

所以 x＝|MN|－14≥

32－

14＝

54.

等号成立的条件是弦 AB过点 F.

因为|AB|>2p＝1，所以 AB过焦点是可能的．

此时 M点到 y轴的最短距离是54，即 AB的中点的横坐

标为54.

当 F在 AB上时，设 A、B的纵坐标分别为 y1、y2，

则 y1y2＝－p2＝－14.

从而(y1＋y2)2＝y2

1＋y22＋2y1y2＝2×

54－

12＝2.

所以 y1＋y2＝± 2.此时 AB中点的纵坐标为±2

2 .

所以当 M的坐标为(54，±

22 )时，M到 y轴距离的最小

值为54.

(2)如图，焦点 F(12，0)．

当 P、A、F三点共线时，|PA|＋|PM|才有最小值．

此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，

即|PA|＋|PM|的最小值为：

|FA|－12＝

72－

12

2＋42－12＝5－

12＝

92.