第三章 平面与空间直线

§1 §1 平面的方程平面的方程

《《解析几何解析几何》》 －－ Chapter Chapter 33

ContentsContents

一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程

二、平面的一般方程

三、平面的法式方程

一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程

1. 1. 平面的向量式参数方程平面的向量式参数方程

2. 2. 平面的坐标式参数方程平面的坐标式参数方程 3. 3. 平面的点位式方程平面的点位式方程 4. 4. 平面的三点式方程平面的三点式方程 5. 5. 平面的截距式方程平面的截距式方程

1. 向量式参数方程在在空空间间给给定定了了一一点点 0M 与与两两不不共共线线向向量量 ,a b

，，那那么么通通过过点点 0M 且且

与与向向量量 ,a b平平行行的的平平面面 就就惟惟一一地地被被确确定定，，向向量量 ,a b

叫叫做做平平面面 的的

方方位位向向量量。。

在空间取仿射坐标系 1 2 3; , ,O e e e������������������������������������������

，并设点 0M 的

向径 0 0OM r����������������������������

，平面上任意一点M 的向径为OM r����������������������������

，

则平面的向量式参数方程为 0r r ua vb ��������������������������������������� ���

其中 ,u v为参数。

设点 0 ,M M的坐标分别为 0 0 0, , , , ,x y z x y z ，那么

0 0 0 0, , , , ,r x y z r x y z ����������������������������

；并设 1 1 1 2 2 2, , , , ,a X Y Z b X Y Z

则平面的坐标式参数方程为0 1 2

0 1 2

0 1 2

x x ux vx

y y uy vy

z z uz vz

， ,u v为参数。

2. 坐标式参数方程

33. . 平面的点位式方程平面的点位式方程

平面的点位式方程为平面的点位式方程为

或或

0 , ,r r a b��������������������������������������� ���

0 0 0

1 1 1

2 2 2

0

x x y y z z

X Y Z

X Y Z

例例 1 1 已知不共线三点 ，求通过三已知不共线三点 ，求通过三点 的平面 的方程。点 的平面 的方程。

4. 平面的三点式方程

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3, , , , , , , ,M x y z M x y z M x y z

1 2 3, ,M M M

1 2 1 3 1r r u r r v r r ����������������������������������������������������������������� �����

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

x x u x x v x x

y y u y y v y y

z z u z z v z z

1 2 1 3 1, , 0r r r r r r ����������������������������������������������������������������� �����

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

0

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

1 1 1

2 2 2

3 3

1

10

1

3 1

x y z

x y z

x y z

x y z

其向量式参数方程

其坐标式参数方程

或

或 或

5. 平面的截距式方程

若已知三点为平面与三坐标轴的交点若已知三点为平面与三坐标轴的交点 ，其中，其中则平面的截距式方程为则平面的截距式方程为

1 2 3,0,0 , 0, ,0 , 0,0,M a M b M c 0abc

1.x y z

a b c

二、平面的一般方程二、平面的一般方程

定理定理 1 1

空间中任一平面的方程都可以表示成一个关于变量 空间中任一平面的方程都可以表示成一个关于变量 x,y,z x,y,z 的一次方程；反过来，每一个关于变量 的一次方程；反过来，每一个关于变量 x,y,z x,y,z 的一的一次方程都表示一个平面，次方程都表示一个平面， Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 叫做叫做平面的一平面的一般方程般方程。。

几种特殊情形讨论：几种特殊情形讨论：

ⅰ）当且仅当 D＝ 0 Ax+By+Cz=0 平面通过原点

ⅱ）当 A,B,C 中有一为 0

当且仅当 C=0, ①D≠0时 , Ax+By+D=0 平面平行于 z 轴 ②D＝ 0 时， Ax+By=0 平面通过 z 轴 A=0, ①D≠0时 , By+Cz＋ D=0 平面平行于 x 轴 ②D＝ 0 时， By＋ Cz=0 平面通过 x 轴 B=0 ，① D≠0时 , Ax+Cz＋ D=0 平面平行于 y 轴 ②D＝ 0 时， Ax＋ Cz=0 平面通过 y 轴ⅲ）当 A， B， C 中有两个为 0 时 当且仅当 B=C=0 ，① D≠0, 平面平行于 yOz 平面 ② D＝ 0 ， 即为 yOz 平面 A=C=0 ，① D≠0, 平面平行于 xOz 平面 ② D＝ 0 ， 即为 xOz 平面 A=B=0 ， ① D≠0, 平面平行于 xOy 平面 ② D＝ 0 ， 即为 xOy 平面

例 2 求通过 ，且平行于 z 轴的平面方程 1 22, 1,1 3, 2,1M M

三、平面的法式方程三、平面的法式方程

取空间直角坐标系 ，设点 的向径为 ，平面上的任意一点 的向径为 ，则平面的点法式方程

若设 那么有平面的点法式方程： 0 0 0 0, , , , , , , ,n A B C M x y z M x y z

0 0 0 0A x x B y y C z z

; , ,O i j k

0M 0 0OM r����������������������������

M OM r����������������������������

0 0n r r ������������� �

平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 的系数 A， B， C 有简明的几何意义，它们是平面的法向量的一个分量

如果给定空间一点 0M 和一个非零向量n，那么通过点 0M 且与向量 n

垂直的平面也惟一地被确定，把与平面垂直的非零向量n叫做平面的法向量

若平面上的一点 特殊地取自原点 O 向平面 所引垂线的垂足，而 的法向量取单位向量 ，设 ，那么由点 和法向量 决定的平面的向量式法式方程为：

0M

0n��������������

OP p��������������

0 0 0n r pn ����������������������������

0M

0n��������������

cos cos cos 0x y z p 平面的坐标式方程，简称法式方程为

平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：① 一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于 1 ；② 因为 p 是原点 O 到平面 的距离，所以常数 0p

平面的一般方程 平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化与法式方程的互化

取 乘平面的一般方程 取 乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

可得法式方程可得法式方程

在取定符号后叫做在取定符号后叫做法式化因子法式化因子

2 2 2

1 1

n A B C

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20

Ax By Cz D

A B C A B C A B C A B C

选取的符号通常与常数项 相反的符号选取的符号通常与常数项 相反的符号 D

例例 3 3 已知两点 ，求线段 的已知两点 ，求线段 的垂直平分面 的方程垂直平分面 的方程

1 21, 2,3 , 3,0, 1M M 1 2M M

例例 4 4 把平分面 的方程 化为法式方程，把平分面 的方程 化为法式方程，求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到平求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离面的距离

3 2 6 14 0x y z

例例 5 5 求过三点 的平面方程求过三点 的平面方程（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式，（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式，法式）法式）

2,1,0 , 0, 1,2 , 3,0,4A B C