第一节投影法第二节点的投影、直线的投影第三节平面的投影第四节...

第二章点、直线和平面的投影

第一节投影法

第二节点的投影、直线的投影

第三节平面的投影

第四节点在直线和平面上的投影

第五节 ※ 直线与平面以及平面之间的

相对位置关系

第二章点、直线和平面的投影§2--1 §2--1 投影的基本知识投影的基本知识

一、投影法

投影中心

投射线

投影面投影

二、中心投影法

投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。

投射中心位于有限远处，投射线汇交于一点的投影法，称为中心投影法。

三、平行投影法正投影法－投射方向与投影面垂直

斜投影法－投射方向与投影面倾斜

正投影法

斜投影法

第二章点、直线和平面的投影四、正投影法基本特性

1 、实形性当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面图形的实形。2 、积聚性当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一直线。3 、类似性当直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但小实长。平面图形的投影小于真实形状，但类似于空间平面图形，图形的基本特征不变，如多边形的投影仍为多边形。

4 、平行性空间两平行直线的投影必定互相平行。

5 、从属性点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上，且分线段的比，投影后保持不变（ AC ： CB=ac:cb ）；点和直线在平面上，它们的投影必在该平面的同面投影上。


投射方向

物体 (V 形块 )

投射线 ( 垂直投影面 )

视图 ( 正投影 )

投

影

面

五、多面正投影 ------ 三视图

如图所示，设一直立投影面，把物体放在观察者和投影面之间，将观察者的视线视为一组互相平行，且与投影面垂直的投射线，对物体进行投射所得的正投影图，即物体在该投影面上的视图。

用正投影法画出的物体图形称为视图。


一个视图不能确定物体形状


V- 正立投影面 ( 简称正面 )

H- 水平投影面 ( 简称水平面 )

W- 侧立投影面 ( 简称侧面 )

三面视图的形成

由前向后

由上向下

由左向右

XY

Z

三个投影面的交线 OX 、 OY 、OZ 互相垂直，分别代表长、宽、高三个方向、称为投影轴。

O

第二章点、直线和平面的投影主视图

俯视图

左视图

三视图的展开

第二章点、直线和平面的投影三视图之间的对应关系

1 、投影关系

物体左右之间的距离为长（ X ） --- 主、俯视图反映物体的长物体前后之间的距离为宽（ Y ） --- 俯、左视图反映物体的宽

物体上下之间的距离为高（ Z ） --- 主、左视图反映物体的高

三等关系主、俯视图 ----

长对正主、左视图 ---- 高平齐俯、左视图 ----

宽相等

第二章点、直线和平面的投影2 、方位关系


1 、点的投影规律（ 1 ）点的 V 面投影与 H 面投影的连线垂直于 OX 轴，即 s’s OX⊥ ；（ 2 ）点的 V 面投影与 W 面投影的连线垂直于 OZ 轴，即 s’s’’ OZ⊥ ；（ 3 ）点的 H 面投影至 OX 轴的距离等于其 W 面投影至 OZ 轴的距离，即 ssx=s’’sz.

例：已知点 A 的 V 面投影 a’ 与 H 面投影 a ，求作 W 面投影 a’’ 。

2 、点的投影与直角坐标

(1) 点到 W 面的距离为 Ss’’=s’sz=ssy=Osx=X 轴坐标 ;

(2) 点到 V 面的距离为 Ss’=ssx=s’’sz=Osy=Y 轴坐标；

(3) 点到Ｈ面的距离为 Ss=s’sx=s’’sy=Osz=Z 轴坐标 .

§2--2 §2--2 点的投影点的投影


例：已知空间点Ｂ的坐标为 :X=15,Y=10,Z=20, 也可写成 B(15,10,20). 求作 B 点的三面投影。

3 、两点的相对位置

X 坐标大为左Y 坐标大为前Z 坐标大为上

重影点 --- 两个点的两对坐标相等

§2--2 §2--2 点的投影点的投影


1 、一般位置直线

2 、投影面平行线

3 、投影面垂直线

与三个投影面都倾斜的直线

只平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线

垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线

§2--3 §2--3 直线的投影直线的投影

第二章点、直线和平面的投影例：判断立体表面上线段相对于投影面的位置


YW

YH

o

Z

X

a'

b' b"

a"

b

a

1. 直线上的点其投影必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。

Y

Z

H

V

X

W

o

b

a

B

A

b'

a'b"

a"

C

c"c'

c c"

c'

c点 C 的三面投影必在 AB 的同面投影上

§2--4 §2--4 直线与点以及直线的相对位置直线与点以及直线的相对位置

点分线段成定比AC:CB = ac : cb=a’c’ : c’b’ =a”c” : c”b”

第二章点、直线和平面的投影从属关系：点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上。

反之，若点的各个投影在直线的同面投影上 , 则点一定在该直线上。例：判断点 K 是否在直线 AB 上。

方法一利用从属性作图方法二利用定比性作图


2 、两直线的相对位置有三种：

平行

相交

交叉（既不平行，又不相交，亦称异面）。

空间两直线平行，它们的各同面投影也互相平行。反之，若三组同面投影都互相平行的两直线，在空间也一定相互平行。空间两直线相交，其交点属于两相交直线。交点的各投影应同属于两直线的各同面投影（即交点的投影符合点的投影规律）。

k’k 垂直于 X轴

空间两直线既不平行，又不相交。它们的三对同面投影可能相交，可能不相交。但投影的交点不符合点的投影规律。

§2--4 §2--4 直线与点以及直线的相对位置直线与点以及直线的相对位置平行两直线 ----

相交两直线 ----

交叉两直线 ----

第二章点、直线和平面的投影例：判断两侧平线的相对位置。

k’

k

a’1=ab

a’2=cd

a’3=c’d’

12//3b’


一边平行于某一投影面的直角，在该投影面上的投影仍是直角。

§2--5 §2--5 直角投影定直角投影定理理一、一直线平行投影面的垂直相交两直线的投影


二、一直线平行投影面的交叉垂直两直线的投影

§2--5 §2--5 直角投影定直角投影定理理

其中一直线平行于某一投影面的垂直交叉两直线，

在该投影面上的投影仍是直角。


例：如图，过点 C 作正平线 AB 的垂线 CD 及其垂足 D 。


例：如图，求作交叉两直线 AB 、 CD 的公垂线。


一、平面的表示法一、平面的表示法

§2--6 §2--6 平面的投影平面的投影

11 、几何元素表示法、几何元素表示法


迹线 ----迹线是平面与投影面的交线。

正面迹线（ V面迹线）

水平迹线（ H面迹线）

侧面迹线（ W面迹线）

迹线是投影面上的直线，它在该投影面上的投影位于原处，用粗实线表示，并标注符号如图；它在另外两个投影面上的投影，分别在相应的投影轴上，不需作任何表示和标注。

22 、平面迹线表示法、平面迹线表示法


1 、投影面垂直面垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的平面

正垂面：垂直于 V 面并与 H 、 W 面倾斜的平面铅垂面：垂直于 H 面并与 V 、 W 面倾斜的平面

侧垂面：垂直于 W 面并与 V 、 H 面倾斜的平面

投影特性 1 、在所垂直的投影面上的投影为倾斜于投影轴的直线，有积聚性，它与相应投影轴的夹角即该平面与相应投影面的倾角。2、平面多边形的其余两投影均为类似形。

二、各类平面及其投影特性二、各类平面及其投影特性


投影特性（ 1 ）投影面垂直面的迹线有积聚性；它与投影轴的夹角，分别反映平面对另两投影面的真实倾角。（ 2 ）在另两投影面上的迹线，分别垂直于相应的投影轴。

投影面垂直面可只用一条倾斜于投影轴的有积聚性的迹线表示

α

γ

用迹线表示的投影面垂直面的投影特性


2 、投影面平行面平行于一个投影面，并垂直于另外两个投影面的平面

水平面：平行于 H 面并垂直 V 、 W 面的平面正平面：平行于 V 面并垂直 H 、 W 面的平面

侧平面：平行于 W 面并垂直 H 、 V 面的平面投影特性 1 、在所平行的投影面上的投影表达实形

2 、其余投影均为直线，有积聚性，且平行于相应的投影轴

第二章点、直线和平面的投影用迹线表示的投影面平行面的投影特性

投影特性（ 1 ）在平行的投影面上无迹线。

（ 2 ）在另两投影面上的迹线有积聚性，且平行于相应的投影轴

投影面平行面可用一条或两条有积聚性的迹线表示

第二章点、直线和平面的投影3 、一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面

投影特性三个投影面上的投影都具有类似形

例：分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置

SAB 一般位置平面 SBC 一般位置平面

SAC 侧垂面 ABC 水平面


b’’ e’’

c’’ d’’

h’’

a’’ f’’

g’’

第二章点、直线和平面的投影例：注出平面 P 、 Q 和直线 AB 、 CD 的三面投影，并根据它们对投影面的相对位置填空


例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线 AB 的正垂面 P ；过点 C 的正平面 Q ；过直线 DE 的水平面R 。

第二章点、直线和平面的投影§2--6 §2--6 圆的投影圆的投影

圆的投影特性：圆的投影特性：11 、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；22 、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；的直径；33 、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；的直径的投影；

第二章点、直线和平面的投影§2---7 平面上的直线和点

点和直线在平面内存在的几何条件：（ 1 ）点在平面上，则该点必定在这个平面的一条直线上。

（ 2 ）直线在平面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过这个平面上的一个点，且平行于这个平面上的另一直线。

（ a ）点 D 在平面 ABC 的直线 AB 上

（ b ）直线 DE 通过平面 ABC 上的两个点D 、 E

（ C ）直线 DE 通过平面 ABC 上的点 D ，且平行于平面 ABC 上的直线 BC


例：如图，判断点 D 是否在△ ABC 上？


例：在已知平面上作一条正平线，使它距 V 面 20mm 。

1 2

1’

2’


⒈ 直线与平面相交

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。

要讨论的问题：● 求直线与平面的交点。

● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

§2—9 直线与平面、平面与平面相交


ab

cm

n

c

nb

am

⑴ 平面为特殊位置例：求直线 MN 与平面 ABC 的交点 K 并判别可见性。

空间及投影分析平面 ABC 是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与 mn 的交点即为 K 点的水平投影。

① 求交点② 判别可见性由水平投影可知， KN 段在平面前，故正面投影上 kn为可见。

还可通过重影点判别可见性。

k●1(2)

作图

k

●

●

2●

1●


km(n)

b

●

m

n

c

b

a

ac

⑵ 直线为特殊位置

空间及投影分析

直线 MN 为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点 K 的水平投影也积聚在该点上。

① 求交点

② 判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于 MN 上，在后。故 k 2 为不可见。

1(2)

k●

2●

1●

●

作图用面上取点法


⒉ ⒉ 两平面相交两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。

要讨论的问题：① 求两平面的交线

方法：⑴ 确定两平面的两个共有点。⑵ 确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。


可通过正面投影直观地进行判别。

a

b

cd

e

f

c

f

d

b ea

m(n)空间及投影分析

平面 ABC 与 DEF 都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。

① 求交线② 判别可见性

作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面 ABC 在上，其水平投影可见。

n●

m●

●

能否不用重影点判别？

能 !如何判别？

例：求两平面的交线 MN 并判别可见性。⑴


b

c

f h

a

e

a

b

c

e

f

h

1(2)

空间及投影分析平面 EFH 是一水平面，它的正面投影有积聚性。 ab 与ef 的交点 m 、 b c 与 f h的交点 n 即为两个共有点的正面投影，故 mn 即 MN 的正面投影。

① 求交线② 判别可见性点Ⅰ在 FH 上，点Ⅱ在 BC 上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故 f h可见， n2 不可见。

作图m●

●

n●

2●

n●

m● 1●

⑵


c

de

f

a

b

a

b

cd

e

f

⑶ 投影分析

N 点的水平投影 n 位于 Δdef 的外面，说明点N 位于 ΔDEF 所确定的平面内，但不位于 ΔDEF 这个图形内。所以 ΔABC 和 ΔDEF的交线应为 MK 。

n●

n●

m●

k●

m●

k●

互交


1 ’

2’

1(2)

Ⅰ

Ⅱ

(4)

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