第 2章 正投影基础

2.1 正投影法的基本知识与三视图 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 变换投影面法

投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。2.1.2 投影法的分类

1. 中心投影法：投射线汇交与一点的投影法。

p

投影中心投射线

投影面

2.1.1 投影的概述

投影

2. 平行投影法：投射线相互平行的投影法。

（ 1 ）正投影法

（ 2 ）斜投影法

A

BD

C

S

b

a

c

d

投影对象

正投影法：平行的投射线垂直于投影面的投影法。

斜投影法：平行的投射线倾斜于投影面的投影法。

A

B

D

C

b

a

c

d

90°

A

B

D

C

b

a

c

d

正投影法

斜投影法

Ha

c

b

H

ac

bH

2.1.3 正投影的基本性质

（ 1 ）显实性（ 1 ）显实性

（ 3 ）类似性（ 3 ）类似性

（ 2 ）积聚性（ 2 ）积聚性

投射方向

投射方向

投射方向A B

A

B

A

B

AB

C

A

B

C

AB

C

a cb

ab

a ba(b)

单一正投影不能完全确定物体的形状和大小

Ｖ—正立面

V

物体的三面投影图

Ｖ—正立面 Ｈ—水平面 OX— 投影轴

V

V

Ｈ

ＨXX

两正投影也不能完全确定物体形状和大小的情况

V

H

W

X

Z

Y

V

H

W

X

Z

Y

一个正投影只能反映物体一个侧面的形状和大小W— 侧立面 OX 、 OY 、 OZ— 投影轴

由于用正投影法得到的投影图能较准确的表达物体的形状和大小，且作图简便，故工程图样中得到了广泛应用。

H

2.2.1 三面视图

三投影面体系的建立： V 面：正立的投影面； H 面：水平的投影面； W 面：侧立的投影面； X 轴—— V 与 H 面的交线，代表长度方向； Y 轴—— H 与 W 面的交线，代表宽度方向； Z 轴—— V 与 W 面的交线，代表高度方向； 三根投影轴互相垂直，其交点称为原点 O 。

Y

X O

V

Z

W

1. 三投影面体系和立体的三面投影

V

W

H

2.1 物体的三面投影 —三视图的形成

1 、物体的投影 体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。

用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。

2.2 、三面投影与三视图1. 视图的概念

主视图 ——体的正面投影俯视图 ——体的水平投影左视图 ——体的侧面投影

2. 三视图之间的度量对应关系 三等关系

主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应

长

高宽

宽

长对正

宽相等高平齐

3. 三视图之间的方位对应关系

主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后

上

下

左 右后

前

上

下前后左 右

上

下

左 右

前

后

三视图及其投影规律俯视方向

左视方向

主视方向俯视图

主视图左视图

再看一例

三视图及其投影规律

书中的内容 p30 2. 物体在三投影面体系中的投影

将物体放置在三投影面体系中，按正投影法向各投影面投射，即可得到物体的正面投影、水平面投影和侧面投影 ,如图所示。

3. 三投影面的展开 为了画图方便，规定 V面不动， H面绕 OX 轴向下旋转 900 ， W面绕 OZ 轴向右旋转 900 ，使得三投影面处于同一平面，由于视图和平面大小无关，所以投影面的范围不必画出。

掌握三视图之间的对应关系

1. 三视图之间的位置关系

2.三视图间的“三等”关系

3.视图与物体的方位关系

1. 三视图的位置关系

以主视图为准

俯视图在它的下面

左视图在它的右面

2. 三视图的“三等”关系

三等规律主、俯视图 --- 长对正（等长）

主、左视图 --- 高平齐（等高）

俯、左视图 --- 宽相等（等宽）

3. 视图与物体的方位关系

　　主视图反映物体的上、下和左、右

　　俯视图反映物体的左、右和前、后

　　左视图反映物体的上、下和前、后

X

Y

Z

Y1

Y2

Y1

Y2

例 1 由物体的立体图画三视图

主前

前

虚线要画

例 2 画三视图

1

2 3

要注意宽相等

四、三视图的作图方法与步骤1. 总体分析物体，选好主视图的方向，使其主要平面与投影面平行。

2. 确定比例、图幅大小。

3. 确定三视图的位置，画出定位线、辅助线。

4.先画出主视图，再依据三等规律依次画出俯、左视图。

H

V

W

Y

X O

Z

3. 点的三面投影的形成

Aa'

a

a"

侧立投影面正立投影面

水平投影面

空间点大写，投影点小写

H

W

Z

Yw

X

Z

YH

OaYW

aYH

ax

aza'

a

a"

W 面向右向后转 90°W 面向右向后转 90°

H 面向下向后转 90°H 面向下向后转 90°

YwX

Z

YH

O

a'

a

a"

A 点的 Z 坐标 az=A 点到 H 面的距离 Aa ，表示高度。 x

zy

2.2.2 点的投影与直角坐标

X

Z

Yw

YH

O

a'

a

a"V

W

Y

X O

Z

Aa'

a

a"

H

A 点的 X 坐标 ax=A 点到 W 面的距离 Aa " ，表示长度；A 点的 Y 坐标 ay=A 点到 V 面的距离 Aa ' ，表示宽度；

ax

ayW

az

ay ayH

az

长对正，高平齐，宽相等

V

W

Y

X O

Z

Aa'

a

a"

H

(2) 点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应 投影面的距离。

点的三面投影规律：(1) 点的两面投影的连线，必定垂直于投影轴。

X

Z

Yw

YH

O

a

a' a"

例：已知点 A （ 30 ， 10 ， 20 ），求作它的三面投影图。

OX

Z

YW

YH

2030

10

a'

a

a"

●

●

a

a

ax

例：已知点的两个投影，求第三投影。

●a●

●

a

a

ax

az

az

解法一 :通过作 45° 线

使 aaz=aax

解法二 :用圆规直接量

取 aaz=aax

a●

返回返回下页下页上页上页

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。

2.2.3 两点的相对位置、重影点

2.2.3 两点的相对位置、重影点1. 两点的相对位置 空间两点的相对位置由两点的坐标差来确定。

左、右位置由 X 坐标差确定。 XA ＞ XB ，点 A在点 B 的左方； 前、后位置由 Y 坐标差确定； YA ＜ YB ，点 A在点 B

的后方； 上、下位置由 Z 坐标差确定。 ZA ＜ ZB ，点 A 在点 B 的下方。

a' a"

a

b

b' b"

X

Z

YW

YH

o

△ ｙ

△ ｚ

△x

机

械

系

制

图

教

研

室

X

Z

YW

YH

O

a′ a"

例 3 、已知 A 点在 B 点之前 5 毫米，之上 9 毫米，之右 8 毫米，求 A 点 的投影。

小圆点

细线

作图准确

写字工整

b′

b

b"

a

5

8

9

机

械

系

制

图

教

研

室

a′ a"

例 3 、（无轴相对坐标法）

b′

b

b"

a

5

8

9

5

机

械

系

制

图

教

研

室

X

Z

Y

V

O

H

V W

O

Z

YW

YH

X

a′ a"

a

b′

b

b"a"

a′

a

b"

b′

b

上-下

左 - 右

后-前

后-前

后 - 前

5 、两点的相对位置

B

两点中 X 值大的点 ——在左两点中 Y 值大的点 ——在前 两点中 Z 值大的点 ——在上

A

2. 重影点 当空间两点的某两个坐标相同时，将处于某一投影面的同一条投影线上，则在该投影面上的投影相重合，成为对该投影面的重影点。

重影点的可见性需根据这两个点不相同的坐标大小来判定。 YE ＜ YF

故对面 V ， E 可见， F 不可见。

e"f "

f

e

e' (f ')

X

Z

YW

YH

o

X

Y

Z

H

W

V

O

f

e

e' (f ')

e"

f "F

E

1. 直线的投影特性

2.3.1 直线的三面投影

a

b

B

A

(3) 类似性：直线倾斜于投影面时，其投影小于实长；

(3) 类似性：直线倾斜于投影面时，其投影小于实长；

a

b

AB

a(b)

A

B

(1) 显实性：直线平行与投影面时，其投影等于实长；

(1) 显实性：直线平行与投影面时，其投影等于实长；

(2) 积聚性：直线垂直与投影面时，其投影积聚为一点。

(2) 积聚性：直线垂直与投影面时，其投影积聚为一点。

Y

Z

H

V

X oW

直线的三面投影，可由直线上不同位置的两个点的同面投影的连线来确定。

2 . 直线的三面投影

ba

B

A

a'

b'

b"

a"

b

b"b'

YW

YH

o

Z

X

a

a' a"

A 、 B 两点的三面投影

图

连接 AB 两点的同面投影，即为直线 AB 的投影

b

b"b'

YW

YH

o

Z

X

a

a' a"

YW

YH

o

Z

X

a'

b' b"

a"

b

a

1. 直线上的点 其投影必在该直线的同面投影上 , 且符合点的投影规律 .

Y

Z

H

V

X

W

o

b

a

B

A

b'

a'b"

a"

Cc"c'

c

2.3.2 属于直线上的点

c"

c'

c

2. 点分线段成定比AC:CB=ac:cb=a′c′:c′b′

=a″c″:c″b″点 C 的三面投影必在 AB 的同面投影上

空间位置直线在三面体系中 , 对投影面的相对位置有三类： 一般位置直线 投影面平行线 投影面垂直线

统称为特殊位置直线

1. 一般位置直线 对三个投影面都倾斜的直线为一般位置直线。 其投影特性： （ 1 ）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。 （ 2 ）一般位置直线的各面投影长度都小于实长。

2.3.3 各种位置直线的投影

a'

b'

a

b

b"

a"

X

Z

O YW

YH

(1) 投影面平行线 : 平行于某一投影面而与另两投影面倾斜的直线。 水平线（∥ H 面） 、正平线（∥ V 面） 、侧平线（∥ W

面）

(2) 投影面垂直线 : 垂直于某一投影面的直线。 铅垂线（⊥ H 面） 、正垂线（⊥ V 面） 、侧垂线（⊥ W

面）

2. 特殊位置直线

投影面平行线的投影特性：1) 在所平行的投影面上的投影反映实长；2) 其它投影平行于相应的投影轴；3 ）反映实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对相

应投影面的倾角。

投影面垂直线的投影特性：1) 在所垂直的投影面上的投影有积聚性；2) 其他投影反映实长，且垂直于相应的投影轴。

Z

X

Y

V

H

W

O

a' b'

β γ

βγ

a' b'

β γ

X

Z

YH

YWO

A

B

ab

a

b

b"a"a"

b"

ab与 OX 和 OYH 的夹角 β、γ等于 AB 对 V、 W 面的

倾角

水平线 ab=A

B

a′b′∥OX 、 a″b″∥OYW

都不反映实长

Z

X

Y

O

V

H

W

c d

C

D

αγ

γα

c d

αγ

X

Z

YH

YWO

c'

d'

c'

d'd"

c"d"

c"

cd ∥OX 、 a″b″∥OYW

都不反映实长

c′d′与 OX 和 OZ 的夹角 α、γ等于 CD对 H 、 W 面的倾角

正平线 c′d′=CD

Z

X

Y

O

V

W

H f

e

α

β

α

β f '

e'

X

Z

YH

YWO

αβ

F

E

e"

f"

侧平线 e″f″=EF

ef∥OYH 、 e′f′∥OZ 都不反映实长

e″f″与 OYW 和 OZ 的夹角 α、 β等于 EF对 H 、 V面倾角

f"

e"

f '

e'

e

f

Z

X

Y

O

H

V

WA

B

a'

b'

a(b)

a'

b'YWX

Z

YH

O

a"

b"

b"

a"

a(b)

a′b′= a″b″=AB,且a′b′⊥OX 、 a″b″⊥OYW

铅垂线 :水平投影a（ b）积聚一点

Z

X

Y

O

H

V

W

c'( d')

C

D

d

c

X

Z

YH

YW

O

c'( d')

d

c

c"d"d"

c"

正垂线 :正面投影c′（ d′）积聚一点

cd=c″d″=CD,且cd⊥OX 、 a″b″⊥OZ

Z

X

Y

O

HV

Wfe

f'e'

fe

f'e'

X

Z

YH

YWO

( )e" k"

FE ( )

e"

k"

侧垂线 :侧面投影e″（ f″）积聚一点

ef=e′f′ =EF,且ef ⊥OYH 、 e′f′⊥ OZ

H

空间两直线的相对位置有 : 平行、相交、交叉。1 . 平行两直线：空间相互平行的两直线 , 它们的各组同面投影也一定相互平行。

2.3.4 两直线的相对位置

a

b

c

d

X

Z

YH

YWO

c

d

c'

d'd"

c"

a

b

a'

b' b"

a"

A

B

C

D

AB∥CD，则 ab∥cd、a′b′∥c′d ′、 a″b″∥c″d″。反之亦成立。

空间两直线 AB ， CD 相交于点 K ，则交点 K 是两直线的共有点。同时 K 要符合点的投影规律。

X

Z

YH

YW

O

a

b

a'b'

a"

b"

c

d

c'

d'

c"

d"

k

k"k'

A

BC

D

K

c d

a

b

k

ab 、 cd交于 ka′b′、 c′d′交于 k′ a″b″、 c″d″交于 k″

2. 相交两直线

a'

b'c'

d'

a

b

c

d

VH

OX

在空间既不平行也不相交的两直线，叫交叉直线。它们的三面投影不具有平行或相交两直线的投影特性。

4

3

2'

1'

X O

(4')

3'

a

bc

d

2(1)

A

B

DC

Ⅱ

Ⅰ

c'

d'a'

b'3'(4')

Ⅳ

Ⅲ

交点是一对重影点的投影。

3. 交叉两直线

2(1)

2.4.1 平面的表示法

a'

b'

c'

c

ab

b'

c'

a'

c

ab

a'b'

c'

c

ab

不在同一直线上的三点

一直线上和直线外一点

相交两直线

1. 用几何元素表示平面

b'

c'

a'

c

a

b

b'

c'

a'

d'

c

a

b

d

平行两直线任意平面图形

平面与投影面的交线，称为平面的迹线。 PH--- 水平迹线 PV--- 正面迹线 PW--- 侧面迹线 Z

X

Y

O

H

V

W

px

py

pz

pH

pV pw

PX

Z

YH

YWO

pH

pVpw

px

py

pz

py

2. 用迹线表示平面

Z

X

Y

O

H

V

W

Q

X

Z

YH

YWO

QH

QW

QH

QW

特殊位置平面的迹线表示Z

X

Y

O

H

V

W

PV

OX

P

PV

H

V

W

X

Z

Y

OA

B

C

平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。

a'

b'c'

ab

c

c"a"

b"

2.4.2 平面的投影过程

先画出各顶点的投影 ,后将各点同面投影依次连接，即为平面的投影。

x

z

yH

ywo

c"

b"

a"

c

b

a

a'

c'

b'

2.4.3 各种位置平面的投影特性

特殊位置平面

1. 一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。

一般位置平面 投影面平行面 投影面垂直面

一般位置平面的投影特性：

△ABC 对三个投影面都倾斜，所以各面投影仍然是三角形，但都不反映实形，而是原形的类似形。

c"b"

a"x

yH

ywo

c

b

a

a'

c'b'

平面在三投影面体系中，按其对投影面的相对位置可分为三类：

（ 1 ）投影面平行面：平行于某一投影面的平面。 水平面（∥ H 面）、正平面（∥ V 面） 、侧平面（∥ W

面） 投影面平行面的投影特性：1) 在所平行的投影面上的投影反映实形；2) 其他投影为有积聚性的直线段，且平行于相应的投影轴。

（ 2 ）投影面垂直面：垂直于某一投影面且与另两投 影面倾斜的平面。 铅垂面（⊥ H 面） 、正垂面（⊥ V 面） 、侧垂面（⊥ W

面） 投影面垂直面的投影特性：1) 在所垂直的投影面上的投影为有积聚性的直线段；2) 其他的投影为原形的类似形。

2.特殊位置平面

H

V

W

X

Z

Y

Oc"

b"

a"a' b' c'

A

B

C

c

b

a

x

z

YH

Ywo

c

b

a

a' b' c' c" b"a"

水平面：水平投影反映实形水平面：水平投影反映实形

正面投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于 OX 、 OYW

轴。

正面投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于 OX 、 OYW

轴。

H

V

X

Z

Y

O

W

a'

b'

c'

c"

b"

a"

水平投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于 OX 、 OZ 轴

水平投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于 OX 、 OZ 轴

x

z

YH

Ywo

cb a

A

BC

a'

b'

c'

cb a

c"

b"

a"

正平面：正面投影反映实形正平面：正面投影反映实形

侧平面：侧平投影反映实形侧平面：侧平投影反映实形

H

V

W

X

Z

Y

Ox

z

YH

Ywo

cb

a

a'

b'c'

b"

a"

c"

b"

a"

c"

b'

a'

c'

c

b

a

A

B

C

水平投影、正面投影积聚成直线，分别平行于 OYH 、 OZ轴

水平投影、正面投影积聚成直线，分别平行于 OYH 、 OZ轴

H

V

W

X

Z

Y

O

YH

x

z

Ywo

c

b

a

a'

b'

c'

b"

a"

c"

a'

b'

c'

B

C

A a"

c"b"

正面投影和侧面投影为原形的类似形

c

b

a

铅垂面：水平投影积聚为直线段

H

V

W

X

Z

Y

O

x

z

YH

YwoA

B C

c

ba

a'

b'c'

c

b

a

b"

a"

c"a ″

c″

b″

正垂面：正面投影为有积聚性的直线段。

水平投影和侧投影为原形的类似形

a'

b'c'

V

W

X

Z

Y

O

H c

ba

A

B

C

a'

b'

c'

b"

a"

c"

c

b

a

a'

b'

c'

b"

a"c"

x

z

YH

Ywo

侧垂面：侧面投影为有积聚性的直线段。

正面投影和水平投影为原形的类似形

1. 平面上取直线几何条件：（ 1 ）一直线通过属于平面上的两点。（ 2 ）一直线通过属于平面上的一点，且平行于属于该平面的另一直线。2. 取属于平面的点

几何条件：若点在平面内的任意直线上，则此点一定在该平面上。3.平面上的投影面平行线 凡在平面上且平行于某一投影面的直线 , 称为平面上的投影面平行线。 平面上的投影面平行线，不仅符合平面上 直线的几何条件，而且具有投影面平行线的投影特性。

2.4.4 平面上的直线和点

b'

c'

a

b

c

X Oa'

m'

m

c'

a'

b'

a

b

c

X O

m 'n'

mn

d'

d

例：已知平面△ ABC ，试作出属于该平面的任意一直线。

1

2

c '

a'

b'

a

b

c

X O

m'n'

mn

k

k'

例：取属于平面的点

m

1'

2'

f '

3

m'

f

X O

c

a

b

a'

b'

c'

3'

X

b

Oa'

b'

c

a

c'

m

n

X Oa'

b'

c

a

b

c'

m'

m

l

n'm'

例：在平面上作投影面平行线

2.5.1 概述 当直线或平面对投影面处于平行位置时，其投影才反映实长或实形。

为了求出一般位置直线的实长或平面的实形，可以设置一个新的投影面来替换原投影面体系中的某一个投影面，组成一个新的投影面体系，使直线或平面在该投影面体系中处于特殊位置，达到解题简化的目的，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

X

正平线

X

水平面 一般位置直线

X

X

一般位置平面

不反映实长

不反映实形

反映实长

反映实形

V

H

X

V1

X1

A

CB

ca b

a' b'

c'

a″

b″

c″反映△ ABC 平面的实形

（ 1 ）新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面，这样才能建立一个新的直角投影面体系，以便利用正投影法作图。（ 2 ）新投影面必须使直线或平面处于有利于解题的位置，使问题求解简便。

2.5.2 换面法的基本作图1. 点的换面(1)点的一次换面 原投影面体系 V/H ，用 V1 代替 V 构成新的投影面

体系 V1/H ， V1 垂直 H ，并于 H 面相交于 X1 。 X1 为 V1/H 投影面中的投影轴。

在换面法中，新投影面的设置必须满足以下两个条件：

V

H

X

V1

X1

aX1

a

a'

aX

a1'

A

点的一次换面（用 V1 面替换 V 面，建立新投影面 V1/H 体系）

a1'aX1 x⊥ 1

a aX1 x⊥ 1

a1' 到 X1 的距与a' 到 X 的距离都反映 A 点到 H面的距离。

V1H

X1

a1 'X V

H

a

a'

ZA

ZA

被更换的旧投影

新投影

保留的旧投影

点的一次换面

V

H

XX 1

H1aX1

a1

a

a'

ax

a'aX1 x⊥ 1

a1 aX1 x⊥ 1

a1 到 X1 的距与a 到 X 的距离都反映 A 点到V 面的距离。

点的一次换面 ( 用 H1替换 H 面，建立新投影面 V/H1 体系）

A

VH

1X

1

a1

X V

H

a

a'

YA

YA

被更换的旧投影

新投影

保留的旧投影 点的一次换面

变换 H 面，建立新投影面 V/H1 体系

变换 H 面，建立新投影面 V/H1 体系

A 点在新、旧两个投影面体系中的投影规律：• 新投影与不变的投影之间连线垂直于新投影轴。• 新投影到新轴的距离 等于被替换的投影到旧轴的距离。

（ 2 ） 点的二次换面 在一次换面的基础上继续进行：

V/H

V1/H V1 /H2……

V/H1 V2 /H1……

二次换面的作图原理和作图方法与一次换面相同。

H

V1V

X

X2

X1

H2

a'

ax

ax2

ax1

a

a2

a1'

A

V1H

X1

X V

H

a

a '

ZA

ZA

V1

H2X

2a1 '

a2

V1H X1

b1 '

a '

b '

b

a

X V

H

a1 ' α

AB=a1'b1'

α 为直线 AB 对投影面 H 的倾角思考：如果想求 β 角，应该换哪一个投影

面

2. 直线和平面的换面（ 1 ）求一般位置直线的实长和对投影面的倾角。

应该如何绘制新投影轴呢？

(2) 求投影面垂直面的实形。

V1H

X1

c1′

X V

H

c

c 'b'

b

b1 '

a1 '

a

a '

△ABC 平面的实形

H2

X VH

ca

b

a'

b'c'

2.5.3 换面法的应用举例例 2-3 求 C 点到直线 AB 的距离，并画出距离的投影。

(k)ca (b)

B

A

C

分析

K

(k2′)X1

V1

H1

X2 V

2

H1

X VH

ca

b

a'

b'c'

a2 '( b2 ')

c2 '

a1

c1

b1

CK=c2′k2′

k′

k

k1

X

例 2-4 求平面 P的实形 X

1 H1

V

11

41

51

21

31

4

5

4′5 ′

1

1′

2

3

2′3 ′

X