第六节 空间曲线及其方程第六节 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程设有两块曲面 S1, S2, 它们的方程依次为 :

S1: F (x, y, z) = 0

S2: G (x, y, z) = 0S1 , S2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程 , 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 . 因此

0),,(

0),,(

zyxG

zyxF

即为交线 C 的方程 , 称为空间曲线 C 的一般方程 .

(1)

x y

z

o

S1 S2

C

例 1: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32 与平面 z =

2 的交线是一个圆 , 它的一般方程是

x 2 + y 2 + z 2 = 32

z = 2

例 2: 方程组

222

222

)2

()2

( ayax

yxaz表示怎样的曲线 ?

解 : 方程 表示球心在原点 O, 半径为 a 的上半球面 .

222 yxaz

方程 表

示母线平行于 z 轴的圆柱面 .

222 )2

()2

( ayax

它的准线 xOy 面上的圆 , 圆心在点 .2

),0,2

( aa 半径为

所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线 .

O

x y

z

二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程

将曲线 C 上动点的坐标 x, y, z 都表示成一个参数 t 的函数 .

x = x (t)

y = y (t) (2)

z = z (t)

当给定 t = t1 时 , 就得到 C 上一个点 (x, y, z),

随着 t 的变动便可得曲线 C 上的全部点 . 方程组 (2) 叫做空间曲线的参数方程 .

例 3: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转 , 同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 ( 其中 ,v 都是常数 ), 那末点 M 构成的图形叫做螺旋线 , 试建立其参数方程 .

解 : 取时间 t 为参数 , 设当 t =

0 时 , 动点位于 x 轴上的一点 A(a, 0, 0) 处 , 经过时间 t, 由 A 运动到 M(x, y, z),

M 在 xOy 面上的投影为 M

(x, y, 0).x y

z

hA

OMt

M

(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕 z 轴旋转 , 所以经过时间 t, AOM = t. 从而

x = |OM | ·cosAOM = acos t

y = |OM | ·sinAOM = asin t

(2) 动点同时以线速度 v 沿 z 轴向上升 . 因而z = MM = vt

得螺旋线的参数方程x = acos ty = asin tz = vt

注 : 还可以用其它变量作参数 .x y

z

A

OMt

M

yx

z

A

OMt

M

例如 : 令 = t. 为参数 ;

螺旋线的参数方程为 :

x = acos y = asin z = b

.vb 这里

当从 0 变到 0 + 是 , z 由 b 0 变到 b 0+ b ,

即 M 点上升的高度与 OM 转过的角度成正比 .特别 , 当 = 2 时 , M 点上升高度 h = 2 b,

h

在工程上称 h = 2 b 为螺距 .

三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影

设空间曲线 C 的一般方程

F (x, y, z) = 0

G (x, y, z) = 0(3)

由方程组 (3) 消去 z 后得方程

H (x, y) = 0 (4)

方程 (4) 表示一个母线平行于 z 轴的柱面 , 曲线 C 一定在曲面上 .

以曲线 C 为准线 , 母线平行于 z 轴 ( 即垂直 x

Oy 面 ) 的柱面叫做曲线 C 关于 xOy 面的投影柱面 ,

投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线在 xOy 面上的投影曲线 , 或简称投影 .

所以方程 所表示的曲线必定包含

了空间曲线 C 在 xOy 面上的投影 .

H (x, y) = 0z = 0

注 : 同理可得曲线在 yOz 面或 xOz 面上的投影曲线方程 .

例 4: 已知两个球面的方程分别为 :

x2 + y2 + z2 = 1

和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1

求它们的交线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程 .

解 : 联立两个方程消去 z , 得

0

1)21(42 22

z

yx

1)21(42 22 yx

这是母线平行于 z 轴的椭圆柱面 , 两球面的交线 C 在 xOy 面上的投影曲线方程为

例 5: 设一个立体由上半球面 和锥面224 yxz )(3 22 yxz 所围成 , 求它在 xoy 面上的投

影 .解 : 半球面与锥面的交线为

)(3

4:

22

22

yxz

yxzC

由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1y

x

z

O

x2 + y2 1

这是一个母线平行于 z 轴的圆柱面 . 于是交线C 在 xoy 面上的投影曲线为

x2 + y2 = 1z = 0 这是 xoy 面上的一个圆 .

所以 , 所求立体在 xoy 面上的投影为 : x2 + y2 1

四、二次曲面四、二次曲面

1. 定义 : 由 x, y, z 的二次方程 :

ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0

所表示的曲面 , 称为二次曲面 . 其中 a, b, …, i, j 为常数 .

研究方法是采用平面截痕法 .

z

o

x

y

O

2 用平面 z = k 去截割 ( 要求 |k | c), 得椭圆

kzc

k

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

1

当 |k | c 时 , |k | 越大 , 椭圆越小 ;

当 |k | = c 时 , 椭圆退缩成点 .

2. 几种常见二次曲面 .

(1) 椭球面

1 用平面 z = 0 去截割 , 得椭圆

0

12

2

2

2

zb

y

a

x

12

2

2

2

2

2

C

z

b

y

a

x

3 类似地 , 依次用平面 x = 0, 平面 y = 0 截割 , 得椭圆 :

,

0

12

2

2

2

xc

z

b

y.

0

12

2

2

2

yc

z

a

x

特别 : 当 a=b=c 时 , 方程 x2 + y2 + z2 = a2 ,

表示球心在原点 o, 半径为 a 的球面 .

(2) 椭圆抛物面 : zb

y

a

x 2

2

2

2

1 平面 z = k ,(k 0) 截割 , 截线是平面 z = k 上的椭圆 .

kz

kb

y

a

x2

2

2

2

k = 0 时 , 为一点 O(0,0,0); 随着 k 增大 , 椭圆也增大 .

z

y

xo

2 用平面 y = k 去截割 , 截线是抛物线

,2

2

2

2

ky

zb

k

a

x. ,0

2

2

a

xzk 为时当

3 类似地，用平面 x = k 去截割 , 截线是抛物线 .

kx

zb

y

a

k2

2

2

2

. ,02

2

b

yzk 为时当

第七节 平面及其方程第七节 平面及其方程

一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程

1. 法向量 :

若一非零向量 n 垂直于一平面 . 则称向量n 为平面 的法向量 .

注 : 1 对平面 , 法向量 n 不唯一 ;

2 平面 的法向量 n 与 上任一向量垂直 .

2. 平面的点法式方程

设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量 n={A,B, C}.对于平面上任一点 M(x, y, z),

向量 M0M 与 n 垂直 .

y

x

z

M0

M

n

O

n M0 M = 0

而 M0 M ={x x0, y y0, z z0},

得 :A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0

称方程 (1) 为平面的点法式方程 .

(1)

例 1: 求过点 (2, 3, 0) 且以 n = {1, 2, 3} 为法向量的平面的方程 .

解 : 根据平面的点法式方程 (1), 可得平面方程为 :

1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0

即 : x 2y + 3z 8 = 0

n

M3

M2

M1

解 : 先找出该平面的法向量 n.

由于 n 与向量 M1M2, M1M3 都垂直 .而 M1M2={3, 4, 6} M1M3={2, 3, 1}

可取 n = M1M2 M1M3

132

643

kji

= 14i + 9j k

例 2: 求过三点 M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2) 和 M3(0, 2, 3)

的平面的方程 .

所以 , 所求平面的方程为 :14(x 2) + 9(y + 3) (z 4) = 0

即 : 14x + 9y z 15 = 0

二、平面的一般方程二、平面的一般方程

1. 定理 1: 任何 x, y, z 的一次方程 . Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面 , 且此平面的一个法向量是 : n = {A, B, C}

证 : A, B, C 不能全为 0, 不妨设 A 0, 则方程可以化为 0)0()0()(

zCyB

ADxA

它表示过定点 , 且法向量为 n = {A, B, C} 的平面 .

)0,0,(0 ADM

注：一次方程 : Ax + By + Cz + D = 0 (2)

称为平面的一般方程 .

例 2: 已知平面过点 M0(1, 2, 3), 且平行于平面 2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程 .

解 : 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 3, 4}

2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0

即 : 2x 3y + 4z 4 = 0

2. 平面方程的几种特殊情形

(1) 过原点的平面方程

由于 O(0, 0, 0) 满足方程 , 所以 D =

0. 于是 , 过原点的平面方程为 :

Ax + By + Cz = 0

(2) 平行于坐标轴的方程考虑平行于 x 轴的平面 Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量 n = {A, B, C} 与 x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0} 垂直 , 所以

n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0

于是 :

平行于 x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;

平行于 y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;

平行于 z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.

特别 : D = 0 时 , 平面过坐标轴 .

(3) 平行于坐标面的平面方程

平行于 xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;平行于 xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于 yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.

例 3: 求通过 x 轴和点 (4, 3, 1) 的平面方程 .

解 : 由于平面过 x 轴 , 所以 A = D = 0.

设所求平面的方程是 By + Cz = 0

又点 (4, 3, 1) 在平面上 , 所以

3B C = 0

C = 3B

所求平面方程为 By 3Bz = 0

即 : y 3z = 0

例 4: 设平面与 x, y, z 轴的交点依次为 P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点 , 求这平面的方程 .

解 : 设所求平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0

因 P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)

三点都在这平面上 , 于是aA + D = 0

bB + D = 0

cC + D = 0

解得 : cDC

bDB

aDA

o yP

x

z

Q

R

所求平面的方程为 :

0 DzcDy

bDx

aD

即 :1

cz

b

y

ax

(3)

三、两平面的夹角三、两平面的夹角

1. 定义 : 两平面的法向量的夹角 ( 通常指锐角 ) 称为两平面的夹角 .

1

n1n2

2

若已知两平面方程是 :

1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0

法向量 n1 = {A1, B1, C1}

2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

法向量 n2 = {A2, B2, C2}

,),(),(),(

212121

21

两者中的锐角和

应是的夹角与平面

nnnnnn

ΠΠ

),cos( 21

nn

||||

||

21

21

nn

nn

22

22

22

21

21

21

212121 ||

CBACBA

CCBBAA

cos所以

2. 平面 1 与 2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

平面 1 与 2 相互平行 2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

规定 : 若比例式中某个分母为 0,

则相应的分子也为 0.

例 6: 一平面通过两点 M1(1, 1, 1) 和 M2(0, 1, 1),

且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程 .

解 : 设所求平面的一个法向量 n ={A, B, C}

已知平面 x+y+z = 0 的法向量 n1={1, 1, 1}

所以 : n M1M2 且 n n1

而 M1M2 = {1, 0, 2}

于是 : A (1) + B 0 + C (2) = 0

A 1 + B 1 + C 1 = 0

解得 : B=C

A= 2C

取 C = 1, 得平面的一个法向量

n = {2, 1, 1}

所以 , 所求平面方程是

2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0

即 : 2x y z = 0

例 : 设 P0(x0, y0, z0) 是平面 Ax+By+Cz+D = 0 外一点 , 求 P0 到这平面的距离 d.

解 : 在平面上任取一点 P1(x1, y1, z1) P0

P1N

n

则 P1P0 ={x0 x1, y0 y1, z0 z1}

过 P0 点作一法向量 n ={A, B, C}于是 :

01jPr PPd n||

01

n

n

PP

222

101010 )()()(

CBA

zzCyyBxxA

又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1)

= Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D)

= Ax0 + By0 + Cz0 + D

所以 , 得点 P0 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离 :

222

000

CBA

DCzByAxd

(4)

例如 : 求点 A(1, 2, 1) 到平面 : x + 2y + 2z 10 =

0 的距离

133

221

10122211222

d