第一章 数字逻辑基础第一章 数字逻辑基础1.1 数制和 BCD 码1.1 数制和 BCD 码1.2 逻辑代数1.2 逻辑代数

1.3 逻辑函数的表示和化简1.3 逻辑函数的表示和化简

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第 1 章

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数字电路电路的特点：1.所处理的数字信号只有两种取值 (1 、 0 ）；2.电路抗干扰能力强；3.信息便于长期存储，便于计算机处理。

数字电路数字电路 组合逻辑电路：门组成 时序逻辑电路：触发器组成

集成电路集成电路 数字集成电路模拟集成电路

概述：概述：

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第 1 章

逻辑代数运算规则 逻辑代数运算规则 逻辑代数又称布尔代数，是分析与设计逻辑电路的工具。逻辑代数表示的是逻辑关系，它的变量取值只有 1 和 0 ，表示两个相反的逻辑关系。

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基本运算有： 乘（与）运算、加（或）运算、求反（非）运算。

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1.2 逻辑代数1.2 逻辑代数

“与” 门

AB

F＆ F = A B

“与非”门 FAB ＆ F = A B

“或非”门

AB

F≥1 F = A + B

“或” 门

AB ≥1 F F = A+B

“非” 门

1 FA F = A

名称 图形符号 逻辑表达式 功能说明功能说明输入全 1 ，输出为 1输入有 0 ，输出为 0

输入有 1 ，输出为 1输入全 0 ，输出为 0

输入为 1 ，输出为 0输入为 0 ，输出为 1

输入全 1 ，输出为 0输入有 0 ，输出为 1

输入有 1 ，输出为 0输入全 0 ，输出为 1

基本逻辑关系

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1. 基本运算规则

A • A=0 , A • A=A , A=A

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A+0=A , A+1=1 , A • 0=0

A • 1=A , A+A=1 , A+A=A

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2. 逻辑代数的基本定律交换律： A+B=B+A , A • B=B • A

结合律： A+(B+C)=(A+B)+C

A • (B • C)=(A • B) • C

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A • B=A+B ， A+B=A • B

吸收定律： A+AB=A+B , A+AB=A

反演定理：

分配律： A(B+C)=A • B+A • C

A+B • C=(A+B) • (A+C)

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第 1 章

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第 1 章

[ 例题 1.2.1] 证明 AB+AC+BC=AB+AC解： AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC

=AB+AC+ABC+ABC

=AB+ABC+AC+ABC

=AB(1+C)+A(C+BC)

=AB+AC

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1.3 逻辑函数的表示和化简1.3 逻辑函数的表示和化简

1.3.1 逻辑函数的表示方法1.3.1 逻辑函数的表示方法1.3.2 逻辑函数的化简法1.3.2 逻辑函数的化简法

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1.3.1 逻辑函数的表示方法1.3.1 逻辑函数的表示方法

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逻辑式：用基本运算符号列出输入、输出变量间 的逻辑代数式

逻辑状态表：列出输入、输出变量的所有逻辑状态

卡诺图：与变量的最小项对应的按一定规则排列 的方格图

用逻辑符号表示输入、输出变量间的逻辑关系

逻辑图：

最小项是指所有输入变量各种组合的乘积项，输入变量包括原变量和反变量。例如，二变量 A ， B的最小项有四项：AB ， AB, AB, AB; 三变量的最小项有八项 ; 依此类推，n 变量的最小项有 2 n 项

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第 1 章 设一个三输入变量的偶数判别电路，输入变量为 A ， B ， C ，输出变量为 F 。当输入变量中有偶数个 1 时， F=1 ；有奇数个 1时， F=0 。试用不同的逻辑函数表示法来表示。

[ 例 1.3.1]

输 入 输 出A B C F

0 0 0 1 0 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

三个输入变量的最小项有 23 = 8 个，即有8 个组合状态，将这 8 个组合状态的输入，输出变量都列出来，就构成了逻辑状态表，如表所示。

解： ( 1 ) 逻辑状态表

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第 1 章

把逻辑状态表中的输入，输出变量写成与—或形式的逻辑表达式，将 F = 1 的各状态表示成全部输入变量的与函数，并将总输出表示成这些与项的或函数，即逻辑表达式：

F =A B C + A B C + A B C + A B C

输 入 输 出A B C F

0 0 0 1 0 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 1 11 1 1 0

( 2 ) 逻辑表达式

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第 1 章

若将逻辑表达式中的逻辑运算关系用相应的图形符号和连线表示，则构成逻辑图。

A

B

C

A B CA B C

F

1

1

1

&

&

&

&＞ 1

若将逻辑状态表按一定规则行列式化则构成图下图所示。

ABC

0

1

01 11 1000

1 0

0 1

0

1

1

0

( 卡诺图内容见 4.2.2 节）

( 3 ) 逻辑图

( 4 ) 卡诺图

逻辑函数的化简通常有以下两种方法：

1. 应用运算法则化简

*2. 应用卡诺图化简

1.3.2 逻辑函数的化简法1.3.2 逻辑函数的化简法

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1. 应用运算法则化简

化简逻辑式子应用较多的公式： A+1=1 , AA=0

A+A=1 , A+A=A

A A=A , A=A

A B=A+B A+B=A B

A+AB=A

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解： Y=AB(1+C+D+E)= AB

=(AB +A)+B

=A+B

利用 A+1=1运算法则！

解： Y=AB+A B

=AB+A+B

利用 AB=A+B

运算法则！利用 A+AB=A 运算法则！上页 下页

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化简 Y=AB+ABC+AB(D+E)[ 例题 1.3.2]

化简 Y=AB A B[ 例题 1.3.3]

* 2. 卡诺图的表示及其化简任何一个逻辑函数都可以表示为若干最小项之和的形式

二到五变量最小项的卡诺图

A B m0

10

1

0

AB

A B m0

A B m3

A B m2

A B m1

ABC

0

1

01 11 1000

m0 m1

m4 m5

m2

m6

m3

m7

二变量卡诺图 三变量卡诺图

m0 m1 m2

m4 m5 m6

m8 m9 m10m11

m15

m7

m3

m12 m13 m14

ABCD 00 01 11

1000

01

11

10

四变量卡诺图m2

m24

CDEAB

m0 m1 m3 m6 m7 m5 m4

m8 m9 m11 m10

m2

m14 m15 m13 m12

m25 m26m27 m30 m31 m29 m28

m16

m24

m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20

五变量卡诺图

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卡诺图的表示：

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化简步骤：● 将函数化为最小项之和的形式● 画出表示该逻辑函数的卡诺图● 找出可以合并的最小项● 选取化简后的乘积项

选取原则是：● 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项● 所用的乘积项数目最少● 每个乘积项包含的因子最少

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卡诺图化简

解：● 画出函数 Y的卡诺图

BCA 00 01 11 10

0

1

对应 AC 项： 因为 AC = A （ B + B ） C = A B C + A B C

所填入项应是 A B C A B C

即 m4 m6 为 1

1 1

对应 A C 项： m1 m3 为 1

1 1

对应 B C 项： m2 m6 为 1

1

对应 B C 项： m1 m5 为 1

0

0

● 找出合并最小项

1

● 选取化简乘积项

AC

BC

AB

● Y = AC+BC+AB注意：找出合并最小项的方案会 有多种

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用卡诺图化简法将下式化简为最简与— 或函数式 Y = AC + AC + BC + BC

[ 例题 1.3.4]