從邏輯、數學基礎危機、到計算科學

Computer Science 電腦科學

Computing Science 計算科學

真

三段論

已知：⼈人皆難免⼀一死。已知：蘇格拉底是⼈人。推論：蘇格拉底難免⼀一死。

三段論

已知：呼嚕嚕皆汪汪。已知：⾦金莎是呼嚕嚕。推論：⾦金莎會汪汪。

• 試證：任兩個偶數的和仍為偶數。• 已知：m為偶數 ⇔ 存在 a，使得 m=2×a。

• 已知：n為偶數 ⇔ 存在 n，使得 n=2×b。

• m+n = 2×a + 2×b = 2×(a+b).

• 故 m+n 為偶數。

• 試證：存在兩個無理數 a 與 b, 使得 ab 為有理數。

• 已知：√2 為無理數。

• √2√2 要不就是有理數，要不就是無理數。

• Case 1: 若 √2√2 為有理數，證明成功。

• Case 2: √2√2 為無理數，(√2√2)√2 = √2(√2√2) = √22 = 2.

亞⾥里斯多德 (384BC - 322BC)

康德：關於邏輯，亞⾥里斯多德已發現了所有需要知道的。Prantl: 亞⾥里斯多德後的邏輯學家若還⾃自認有新發現，必定是愚昧或喪⼼心病狂。以上觀點⽇日後皆受到挑戰。

George Boole (1815 – 1864)

「布林(Boolean)邏輯」：邏輯具有代數性質。

• x: 所有褐⾊色的⽜牛, y: 所有胖的⽜牛,

• x+y: 褐⾊色或胖的⽜牛,

• xy: 褐⾊色且胖的⽜牛.

• z: 所有愛爾蘭⽜牛。

• z(x+y) = zx+zy -- 「褐⾊色或胖的愛爾蘭⽜牛」等於「褐⾊色的愛爾蘭⽜牛，或胖的愛爾蘭⽜牛」。

符號： 為了幫助思考！

怎麼算 17 × 28 ?

17 × 28

136 34..

476

形式證明

邏輯：符號，和操作符號的規則。證明：從給定的符號，能否變出想要的符號？

A→BA→BAB

B

[A]

試證明： (X→Y→Z)→(X→Y)→ X → Z

(X→Y→Z)→(X→Y)→ X → Z(X→Y)→ X → Z

X → ZZ

[X→Y→Z] [X→Y][X]

Y→Z Y

[X]

真假 v.s. 可證明

⼀一致： 證明出的都是真的

完備： 真的陳述都可證明

邏輯有很多種！

命題邏輯: 蘇格拉底是⼈人...

⼀一階邏輯: 對所有⼈人... 存在⼀一個...

⾼高階邏輯: 對所有命題...

邏輯有強弱之分！

G. W. Leibniz (1646 – 1716)

• 微積分、⼆二進位數...

• lingua characteristica universalis: 可表達所有⼈人類知識的通⽤用語⾔言？

「改正我們的推論的唯⼀一⽅方法是使它和數學⼀一樣清晰，使我們⼀一眼就可看出錯誤。每當有⼈人起爭執，我們只需說 “calculemus” --- 那我們算算看吧！」

Georg Cantor (1845 - 1918)

• “Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen (On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers)”, Cantor, 1874.

• 集合論的誕⽣生。

無限

• ⾃自然數 {0,1,2...} 有多少個？無限個。

• 偶⾃自然數 {0,2,4...} 有多少個？無限個。

• 整數 {...-2,-1,0,1,2..} 有多少個？無限個。

• 有理數 {... 0, 1, 1/2, 1/3.. 2/3...} 有多少個？無限個。

• Cantor: 「實數的集合」的成員⽐比「整數的集合」的成員來得多！

• ℵ0: 整數集合的⼤大⼩小。

• ℵ1: 實數集合的⼤大⼩小。

• ℵ2, ℵ3, ℵ4... ℵα...

• 集合論的誕⽣生。

⽭矛盾：「所有集合的集合」有幾個成員？

直覺主義Kronecker, Poincaré, Brouwer....

形式主義

F. L. Gottlob Frege (1848 – 1925)

• ⼆二階邏輯。• Grundgesetze der

Arithmetik (Basic Laws of Arithmetic) (vol 1. 1893, vol 2. 1903).

• 試圖從基礎重導出算數的定理。

Bertrand Russell (1872 – 1970)

• 1902 年六⽉月，羅素給了 Frege ⼀一封信...

• 「（⼀一些誇獎之後）... 只有⼀一點我還不了解的.. 」

羅素悖論

• 以符號表⽰示：• 令 R = {X | X ∉ X},

• 可導出 R ∈ R ⇔ R ∉ R.

說謊者悖論「這是⼀一句謊話。」

說謊者悖論「我是⽩白賊義。」

Frege 的 Grundgesetze 第⼆二卷附錄：「對科學家來說最糟的便是在⼯工作將完成時發現基礎垮了。羅素先⽣生的⼀一封信使我陷⼊入了這種困境。」

數學基礎危機！

數學原理

羅素：「每天早上我在⼀一張⽩白紙前坐下。整天，除了短暫的午餐時間，我都瞪著那張⽩白紙。往往到了晚上，那還是⼀一張⽩白紙。我覺得我下輩⼦子都將看著那張⽩白紙發呆。」

數學原理• Principia Mathematica, 羅素、懷海德, 1910

- 1913.

• 費時⼗十年。三冊，兩千⾴頁。• 從邏輯導出數學定理。• 傳奇：花了 300 ⾴頁證明 1+1=2.

• 避免了明顯的悖論。(那不明顯的呢?)

David Hilbert (1862 - 1943)

• Hilbert 計畫 (1922-1930): 將數學形式化，藉以確認數學是

• ⼀一致的，• 完備的，• 可決定的。

Wir müssen wissen, wir werden wissen.

Königsberg, Sep 7, 1930.

• Conference on the Epistemology of the Exact Sciences.

• Gödel: 「可做出⼀一個句⼦子，雖然為真，卻無法在數學形式系統中證明出來。」

第⼀一不完備定理

• 任何⾜足以描述算數的、⼀一致的形式系統中都可做出⼀一個雖為真卻無法證明的陳述。

• 「我沒有證明。」• 因此，⼀一個夠強的形式系統要不就是不⼀一致，要不就是不完備。

第⼆二不完備定理

任⼀一個夠描述算數的形式系統將無法證明⾃自⾝身的⼀一致性。

Von Neumann: “It’s all over.”

真 ≠ 可證明

Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951)

• Tractatus Logico-Philosophicus (Logical-Philosophical Treatise, 邏輯哲學論):

• “Whereof one cannot speak, one must pass over in silence.”

可計算性

• Alonzo Church: λ-calculus, 1930s.

• Alan Turing: 圖寧機器 (Turing Machine).

• Church, Stephen Kleene, J. Barkley Rosser: 遞迴函數。

• 他們的能⼒力都相等。

Church-Turing 假說

• 「有效可算」：可在有限時間內由某固定程序解答問題（⾮非形式定義！）。

• 假說：所有「有效可算」的函數都可由圖寧機器算出。