主要人物介紹 ………… 3

導讀 羅素的故事─數學的邏輯、創新與實用之旅 王慕道 ………… 6

推薦 讓大師來說 王啟光 ………… 9

推薦 獲知真理的喜悅 洪明譽 ………… 11

序 數學難，難在邏輯；掌握邏輯，數學就迎刃而解 黃智成 …… 13

序幕 ………… 15

朋布洛克莊園 ………… 35

大師的弟子 ………… 81

求知之旅 ………… 123

悖論 ………… 161

中場休息 ………… 203

邏輯─哲學大戰 ………… 225

不完整的系統 ………… 269

完結篇 ………… 305

數學邏輯與現實 ………… 321

人物與背景介紹 ………… 323

參考書目 ………… 349

目次

6　　數學邏輯奇幻之旅

導讀 　羅素的故事──數學的邏輯、創新與實用之旅

　　本書藉由邏輯學家伯特蘭．羅素（Bertrand Russel）的生平來介紹邏輯。

邏輯是用來區分數學和其他學門最重要的特質，一個數學理論重要與否雖然

也取決於它的創新性與實用性，但是如果它過不了邏輯這一關，根本就站不住

腳。

　　現代數學的邏輯基礎在古希臘時代便已奠定，尤其歐幾里德（Euclid）的

《幾何原本》（Elements）是扛鼎之作，這樣的傳統在東方文化中似乎並不存

在。即使如此，西方也要等到十七世紀艾薩克．牛頓（Issac Newton）和戈特

弗里德．威廉．萊布尼茲（Gottfried Wilhelm von Leibniz）發明微積分之後，

才有了進一步的突破，此後的兩百多年間，數學的發展與實證相佐，有如大江

大海一般，創造了人類有文明以來最蓬勃的時期，然而就在同時，有識之士體

認希臘邏輯的不足，許多最根本的問題，諸如幾何公理化、極限中無窮大的

概念，是建立在相當薄弱的基礎上［書中用「腐敗的基礎」（rotten foundation）

來形容］。這些問題要等到十九世紀末如喬治．康托爾（Georg Cantor）等數學

家來重新檢視，羅素便是這個世代的代表人物之一。經由這些人的努力，數學

才得以在二十世紀更創高峰。那個世代的遺產已經成為現代數學家的必備訓

練，任何修過高等微積分的數學系學生都可以告訴你這是一段多麼枯燥的過

導讀序　羅素的故事──數學的邏輯、創新與實用之旅　　7

程，尤其許多證明是「反直覺」的，經常必須強迫自己將思考程序顛覆，因為

只有這樣，才能給出真正完備而嚴格的論述，但正如書中提到，這是「沒有什

麼魅力，但卻極為重要」（not glamorous but crucial）的工作。

　　書中由此牽引出與羅素同時期的兩大數學家，大衛．希爾柏特（David

Hilbert）和朱爾斯．亨利．彭加勒（Jules Henri Poincare）分屬「嚴格派」

（rigor）和「直觀派」（intuition）的大辯論，時至今日，似乎絕大部分數學家

都會同意兩者同是產生好數學的要件，一個數學家必須接受嚴格的邏輯訓練，

讓邏輯自然的融入思考的底層，最終能自發地不受邏輯的約束而運用良好的直

觀和洞察力，有點「隨心所欲不踰矩」的境界。

　　這本傳記處理了一些學術性的話題，諸如套套邏輯（tautology）和羅素悖

論（Russell’s paradox）等，讓讀者能較深刻地了解羅素這個邏輯學家，但除此

之外，它同時觸及了羅素的其他面相，譬如哲學家羅素，或者社會運動家羅素

等面向，我們看到一個邏輯學家人性化的一面，看到他的掙扎和軟弱，看到他

曾犯錯、曾放棄，對於年輕的讀者來說，這樣的書長遠來看應該會比經過美化

的勵志書籍更能造成深刻的印象。

　　最後我想以數學家的身分替邏輯講幾句話，現在台灣以及美國中學生的

標準教程似乎已不再包括歐氏幾何作圖題，殊不知這其實是難以取代的邏輯

訓練。許多人誤將邏輯思考和死板聯想在一起，恐怕這會扼殺了年輕人的創造

力。

　　邏輯中固然有不少的規則，且所有的推論必須完全符合這些規則，但對一

個受過訓練的心智而言，卻是無上的解放。因為換個角度看，只要符合這些規

則的便是海闊天空、再無思考上的盲點，前面提到十七世紀到十九世紀數學的

發展和實證主義有極大的關係，尤其伽利略發明望遠鏡到喀卜勒三大定律是結

合實證與數學的極致，但實證主義同樣有其限制。舉例來說，黑洞的觀念一直

要到二十世紀中葉才被天文學家接受，但遠在十八世紀的數學家皮耶．賽門．

導讀　

8　　數學邏輯奇幻之旅

拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace）已經證明了黑洞的存在，在愛因斯坦的廣

義相對論提出後沒多久，卡爾．史瓦西（Karl Schwarzschild）便利用常微分方

程式的推論找出第一個宇宙時空的黑洞解，史瓦西的發現被應用在全球定位系

統（GPS）上，但偉大如愛因斯坦，卻始終認為它們不可能發生，因為它與經

驗和直觀背離。

　　近期在日內瓦由歐洲核子研究中心（CERN）建造完成了世界上最大的加

速器（Large Hadron Collider, LHC）。其主要目的，在尋找已由數學證實存在的

希格斯（Higgs）粒子，如果找到了，將是數學抽象推理的又一次勝利。

王慕道，美國哈佛大學數學博士，現任美國哥倫比亞大學數學系教授

推薦序　讓大師來說　　9

推薦 　讓大師來說

　　闔上書，腦中仍然感受到理性與直覺在爭論不休，久久未已；對於大師羅

素的景仰之情，也更加深刻。

　　這本書，裡面沒有一堆稀奇古怪的邏輯符號而成為數學邏輯教科書，也

不是講述這些人的生平故事等等的歷史典籍，作者帶領我們回到過去，「讓大

師羅素自己來說」，去認識那些他曾經歷過的事情，那些引發他思考問題的源

由，以及在追求這些問題的答案（或是說真理）時，所遇到的困境，尤其是心

理上的描述，可以讓讀者了解到，必有堅強的意志，才能面對想要揭開真理所

帶來的孤獨無助。

　　我們不必有很多的邏輯知識，就可以看懂此書，因為我們在日常生活中，

一直處於接受「直覺、情感和習慣」。但是數學家或是邏輯學家卻不一定如

此，舉個有名的「蘇格蘭黑羊」的笑話：

　　三個科學家到蘇格蘭看到一隻黑羊。

　　天文學家說：蘇格蘭的羊是黑的！

　　物理學家說：不，只知道有些蘇格蘭的羊是黑的。

　　邏輯學家說：準確的來說，我們只確定在蘇格蘭至少有個地方，至少有隻

羊，它的其中一邊是黑色的。

推薦　

10　　數學邏輯奇幻之旅

　　或許這是在調侃邏輯學家，但是若是仔細審視這三個結論，拋去所有的直

覺、情感和習慣，你就覺得邏輯學家說的才是可信的。

　　但要拋棄直覺，得付出相當代價，但是可能得到更多。作者提出歐基里德

的第五公設問題，在拋棄直覺後，卻發展出更多更寬廣的道路，也就是非歐幾

何的出現，給幾何學添加了新的生命。

　　羅素提出的「理髮師悖論」，是個非常重要的問題；我們可以從書中看到

大師是如何被困在自己的問題之中，以及他用了多少心智與精神的力量在對抗

這個問題。我想，這是我們在做學問的時候，一定會經歷過的心路歷程，作者

完整的表現出來，能激起心中的共鳴。

　　最後，作者運用一齣戲劇──奧瑞斯提亞，來進行中場休息以及最後的結

局，讓人在閱讀的時候，能夠有個喘息的機會與現狀對照，真是巧妙至極！

國立台灣師範大學附屬高級中學數學科教師　王啟光

推薦序　獲知真理的喜悅　　11

推薦 　獲知真理的喜悅

　　在知識的殿堂裡，探索的過程往往極其艱辛與枯燥。與哥白尼的繞日說、

牛頓的萬有引力等等大家所耳熟能詳的故事相比起來，羅素的數學邏輯不是教

科書中的主流，學生們多半不認識羅素，但它的悖論所引發的數學危機，卻推

動著數學理論的進一步發展與繁榮。

　　年少時讀了這些名人偉人的傳記，總不免艷羨他們的成就，幻想著自己終

有成為名人偉人的一天；隨著教書經驗漸長才讓我認真地思考著兩個問題：其

一、在什麼情境下，促使這些偉大的學者對真理的觸發？其二、是什麼力量驅

使著他們從事這麼艱辛與枯燥的探索？前者是一個必然之下的偶然，是累積了

很多能量之後的爆發，而後者是一個感動的力量，教他無怨無悔、歡喜做又甘

願受。

　　我在教學的現場最常遇到的一種狀況，就是學生因考試成績不盡理想而喪

失信心，老師為了鼓勵學生，就把題目弄得更簡單或是改成容易猜對的選擇

題，結果粉飾出一個師生都能接受的好成績。這是個很嚴重的現象，表示學生

沒有學到知識的內涵，而唯一能肯定他的分數失去了，自信心也跟著崩盤；老

師飲鴆止渴的教學方式並沒有啟發學生，只是堆砌一些得分要領。細數國內的

諸多升學考試何嘗不是如此，真可謂「教得只剩下分數」。

推薦　

12　　數學邏輯奇幻之旅

　　在此誠摯推薦這本書給廣大的莘莘學子。本書中羅素曾多次提到歐幾里德

的幾何學帶給他的震撼與鼓舞，那是個從假設、已知推論至結果的一連串驗證

過程。獲知真理的喜悅與成就感，遠超過物質生活上的滿足，因此撫平了內心

的困厄與矛盾。日後的研究中所遭遇的種種挫折，與其說是被他的恆心與毅力

所克服，倒不如說是那個感動的力量驅使著他沉浸其中、執迷不悔。當你為

著考試成績不理想而感到挫折時，也應換個心情想一想：我是否學到知識的內

涵？它怎沒感動我？

台北市立麗山高級中學數學科教師　洪明譽

序　數學難，難在邏輯　　13

導讀 　數學難，難在邏輯；掌握邏輯，數學就迎刃而解

　　《數學邏輯奇幻之旅》是一本漫畫小說，這本漫畫包含一個傳記、二個故

事。一個傳記，是羅素的傳記；二個故事，一個是羅素在美國某大學演講現場

的故事，一個是本書作者們在編輯此書時的心路歷程。

這本漫畫小說並無企圖要神化羅素，而是將他描述為窮其一生追求理性，甚

至在人生的某幾個階段是「近乎偏執的追求理性」，他曾因反戰而被判刑六個

月，因道德問題被學校取消教職。二位作者（一位數學家及一位電腦教授）與

二位漫畫家在編輯過程中也透過自述對羅素有許多批判。無論如何，此書創作

完成後，羅素已成為他們生命中不可分割的一部分了。

　　羅素是何許人也？你可以將他看成是近代的達文西，二位都是天才，都為

人類創造出許多偉大的作品。1452年出生於義大利的達文西同時是建築師、解

剖學者、藝術家、工程師、數學家與發明家，而1872年享年98歲（逝於1970

年）出生於英國的羅素則同時是數學家、邏輯學家、哲學家、語言學家、政治

活動家與文學家（羅素於1950年獲得諾貝爾文學獎）。相對而言，達文西為人

類留下較多具象的資產，而羅素則更像是一位思想啟蒙大師，為人類大腦開通

一道可與宇宙對話的天線。

序

14　　數學邏輯奇幻之旅

　　你或許注意到達文西與羅素共同的身分是數學家，大家應該同意達文西在

建築、工程、發明與解剖上甚至在藝術的創作裡都用到了數學，一定也同意達

文西必然也是邏輯思考清晰的人。邏輯為這二位大師的數學思考提供了養分，

而數學為他們有興趣去做的事提供了工具。

　　邏輯原本僅被視為聰明人的思考方式，而羅素將邏輯數學化，使邏輯成為

一個可驗證、可運算、可傳授的學問 。羅素的努力意外促使了電腦的出現，

及後來人工智慧的研究。

　　長久以來，在台灣社會中存在一種「數學二分法」，就是聰明的人數學會

比較好且不擅記憶故應該唸理工，反之則靠死背唸文科。這絕對是錯誤想法，

因為文字是邏輯的產物，文字要經過理解才有生命，對文字敏感的人，對邏輯

一定敏感，對處處講究邏輯的數學也一定感覺親近。

　　由一個傳記、二個故事所巧妙融合的《數學邏輯奇幻之旅》，是一部兼具

「瘋狂 vs.理性及愛 vs. 戰爭」的科普文學。它現身說法（證明）地告訴讀者如

何將數學與文學、與戲劇、與漫畫結合在一起，希望借著這樣的創意，讓讀者

因著對邏輯的領會，而卸除對數學不必要的害怕，進而運用數學去做每個人有

興趣的事，就像本書四位作者所做的事⋯⋯他們創作了一本《數學邏輯奇幻

之旅》。

總編輯