第 03 章數位邏輯

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第第 0303 章章數位邏輯數位邏輯

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目錄3-1　符號邏輯與真值表3-2　布林代數與邏輯閘3-3　邏輯電路簡化技巧


3-1 符號邏輯與真值表

3-1.1 　什麼是符號邏輯 3-1.2 　布林函數的真值表 3-1.3 　用真值表找出布林函數


什麼是符號邏輯？符號邏輯就是以邏輯運算符號和邏輯運算元組合而成的邏輯運算式，邏輯的常數分別以 0和 1 來代表真和假。

邏輯常數邏輯涵義

0 假

1 真


邏輯運算符號： AND ：代表「且」運算，以「‧」表示。 OR ：代表「或」運算，以「 + 」表示。 NOT ：代表「否」運算，以「，」或「￣」表示。


邏輯運算元：以英文字母 A、 B、 C…… 來表示，而運算元的值可能為 0或 1 ，因此又可稱為二元變數。


邏輯運算式所表示的意義： (1) X Y‧

(2) X OR Y

(3) X OR Y AND Z

(5) A AND B AND C AND D

(2) X ＋ Y (3) X ＋ Y Z‧

(5) A B C D‧ ‧ ‧

(1) X AND Y

(4) A AND OR C

B (4) A ‧ ＋ C

B


AND （且）邏輯運算符號說明：需要兩個運算元，只有當運算元均為”真”時，其結果為”真”，否則為”假”。

在 X Y‧ 式中，當 X=1、 Y=1 時，邏輯運算式 X AND Y 的值為 1 ，其餘的情況則為 0 。


OR （或）邏輯運算符號的說明：需要兩個運算元，只要有其中一個運算元為“真”時，其結果為“真”，只有當兩個運算元均為“假”時，其結果為“假”。

在 X ＋ Y 式中，當 X=0 、 Y=0 時，邏輯運算式 X OR Y 的值為 0 ，其餘的情況則為 1 。


NOT （否）邏輯運算符號說明：只需要一個運算元，當運算元為“真”時，其結果為“假”，而當運算元為“假”時，其結果為“真”。


布林函數 -1 ：布林函數（ Boolean function ）是指以邏輯運算式所構成的函數。例如：(1) 　 F(X,Y)=X Y‧(2) 　 F(X,Y)=X＋ Y(3) 　 F(A,B,C)=A ‧ ＋ C

上述三個布林函數的名稱均為 F ，這三個函數的邏輯運算式不同，其運算結果也就不一樣。

B


布林函數 -2 ：在邏輯函數中， AND 運算子必須優先運算，可以省略不用，例如：

　　 F(X,Y)=X Y‧

　　　　　表示為 F(X,Y)=XY

可使用括號來區別運算的先後次序，例如：　

F(X,Y,Z)=X(Y＋ Z) 上面的函數中， Y、 Z 先進行 OR 運算，其結果再與 X 進行 AND 運算。


真值表：在邏輯運算式中每一個變數只有 0和 1 兩種變化。

為了解布林函數的邏輯值，可以列出函數的真值表（ True Table ）。


函數的真值表 -1 ：

F(X,Y)=XY F(X,Y)=X ＋ Y

X Y F X Y F

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

(1)(1) (2)(2)


函數的真值表 -2 ：


用真值表找出布林函數：已知某一邏輯函數的真值表內容，也可以透過真值表，寫出相對於真值表的布林函數。

例如：真值表　　　　　　　。

在上列真值表中顯示，當 A、 B 的邏輯值同為 0 或同為 1 時，邏輯函數值為 1 ，因此邏輯函數可表示為　　　　　　　。


用真值表找出邏輯函數的另一個例子：

按一下滑鼠或鍵按一下滑鼠或鍵盤檢查答案盤檢查答案


3-2 　布林代數與邏輯閘 3-2.1 　布林代數運算定理 3-2.2 　邏輯閘 3-2.3 　布林函數與邏輯電路 3-2.4 　推算邏輯電路的真值表


布林代數運算定理：布林（ George Boole ）先生於 1854 年，發表布林代數理論。

建立了符號邏輯以及研究計算機基本原理的基礎。


運算布林代數可直接引用的定理：


布林函數的簡化過程與所應用的定理：


邏輯閘：邏輯閘（ Logic Gate ）是一種表示與推算數位邏輯電路的基本元件，目的是為了簡化使用的邏輯閘和邏輯電路的運作效率。

根據邏輯函數中的邏輯符號，使用相對應的邏輯閘，就可以設計出完整的邏輯電路圖。


基本的邏輯閘名稱與圖形符號 -1 ：



上述的邏輯閘是最基本的電子元件，積體電路（ IC ）就是以邏輯閘為基礎的電子元件所組成。例如積體電路編號 7408的 IC 中，有四個 AND 閘，且每個閘有兩個輸入﹔而 7432 IC 中有四個 OR 閘，且每個閘有兩個輸入。


邏輯函數的邏輯電路圖 -1 ：邏輯函數 F(X,Y,Z)=(X+Y)(Y+Z) 的邏輯電路圖表示如下：


邏輯函數的邏輯電路圖 -2 ： F(X,Y)= ( 　　 )( 　　 )

F(X,Y,Z)= XY+YZ+XZYX YX


推算邏輯電路的真值表：我們可以將推算邏輯電路圖的真值表，轉換為邏輯函數，以驗證所設計的電路圖是否正確。


從邏輯電路圖推算真值表：

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再看一次電路圖


3-3 　邏輯電路簡化技巧 3-3.1 　最小項 3-3.2 　最大項 3-3.3 　 SOP與 POS 的轉換 3-3.4 　什麼是卡諾圖 3-3.5 　用卡諾圖化簡二變數邏輯函數 3-3.6 　用卡諾圖化簡三變數邏輯函數 3-3.7 　用卡諾圖化簡四變數邏輯函數


最小項 -1 ：所謂最小項（ Minterm ），是指在邏輯函數中包含所有二元變數的積項（ AND 邏輯運算）。例如F(X,Y,Z) 邏輯函數之最小項包括：

下列的積項則不屬於 F(X,Y,Z) 邏輯函數的最小項：

F(X,Y) 邏輯函數之最小項包括：


最小項 -2 ：一個 n 個變數的邏輯函數共有 2

n 個不同的最小項。可用 m0、 m1、 m2……mn-1等符號來代表各個最小項。

例如，兩個變數的最小項和符號表如下：


三個變數的最小項和符號表：


標準 SOP 形式：任何邏輯函數都可以使用最小項的邏輯和來表示，這種表示方法稱為標準SOP（ Sum of Product ，簡稱為 SOP ）形式。

例如下面的邏輯函數：


簡化邏輯函數：為了簡化表示的方式，最小項可以使用符號來表示如下：

再近一步簡化表示如下：


最大項 -1 ：所謂最大項（ Maxterm ）是指在邏輯函數中包含所有二元變數的和項（ OR 邏輯運算）。


最大項 -2 ：例如 F(X,Y,Z) 三變數邏輯函數之最大項包括：

+ 　 + 　、　 + 　 +Z 、　 +Y+ 　、　 +Y+Z 、　 X+ 　 + 　、 X+ 　 +Z、 X+Y+ 　、 X+Y+Z

而下列的和項則不是 F(X,Y,Z) 邏輯函數的最大項：X+Y、 X+Z、 Y+Z 、　 + 　、　 + 　、　 +

F(X,Y) 二變數邏輯函數之最大項包括：　 + 　、　 +Y、 X+ 　、 X+Y

X Y X Y XZ Z

Z Z

ZZX Y Y X

Y

X

Y

X Y X Y


最大項 -3 ：一個 n 個變數的邏輯函數共有 2

n 個不同的最大項。可用 M0、M1、M2……Mn-1 等符號來代表各個最大項。

例如，兩個變數的最大項和符號表如下：


三個變數的最大項和符號表：


標準 POS 形式：使用其最大項的邏輯乘積來表示，這種表示方法稱為標準 POS（ Product of Sum ，簡稱為 POS ）形式。

例如：下面的邏輯函數


簡化邏輯函數：為了簡化表示的方式，最大項可以使用符號來表示如下：

再近一步簡化表示如下：


SOP 與 POS 的轉換 -1 ：使用 SOP和 POS 表示的邏輯函數可以相互轉換，每一個最小項都有一個對應的最大項。

下表是二變數邏輯函數之最小項和最大項的對應表。


SOP 與 POS 的轉換 -2 ：從上張投影片的表中可以看到，　　　，因為

邏輯函數

SOP 簡化形式為

POS 簡化形式為


SOP 與 POS 的轉換 -3 ：當三變數邏輯函數的 SOP 形式表示如下時：

F(X,Y,Z)=

則可以轉換為 POS 形式表示如下：

F(X,Y,Z) =

m(1,2,5,7)

)6,4,3,0(M


什麼是卡諾圖？卡諾圖（ Karnaugh Map ）是一種非常實用的簡化邏輯電路的圖解法。

卡諾圖是由邏輯最小項（或最大項）所組成的二維矩陣，在矩陣中填入所對應最小項（或最大項）的值（ 1或 0 ），然後藉由矩陣中的二元數值，進行簡化的工作。


兩個變數的卡諾圖表示方式：兩個變數的卡諾圖，以最小項表示如下：

以最小項的符號表示：


三個變數的卡諾圖表示方式：三個變數的卡諾圖，以最小項表示：

以最小項的符號表示：


四個變數的卡諾圖表示方式 -1 ：四個變數的卡諾圖，以最小項表示：


四個變數的卡諾圖表示方式 -2 ：以最小項的符號表示：


用卡諾圖化簡二變數邏輯函數：二變數的邏輯函數只要使用布林代數，就可以輕易將邏輯函數簡化。


使用卡諾圖化簡二變數邏輯函數F(X,Y)=X+Y 的操作方法如下：


用卡諾圖化簡二變數邏輯函數的補充說明：應用卡諾圖簡化過程中，最重要的技巧，是如何從步驟 4 變成為步驟 5 。在圈圈 A 中，若以最小項來化簡，過程如下：

X 　 +XY=X( 　 +Y) =X

當您熟悉圈圈的化簡技巧後，就能立即將圈圈 A換成為 X ，而將圈圈 B ，換成為 Y ，所以化簡後的邏輯函數為 X+Y 。

Y Y


使用卡諾圖化簡三變數邏輯函數的操作方法如下：


在圈圈 A 中，若以最小項來化簡，過程如下：

在圈圈 B 中，若以最小項來化簡，過程如下：

在圈圈 C 中，若以最小項來化簡，過程如下：

化簡後的邏輯函數為 XZ+XY+YZ 。

使用卡諾圖化簡三變數邏輯函數的補充說明：


使用卡諾圖化簡四變數邏輯函數的操作方法如下：

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