4_布林代數與邏輯簡化 1...

邏輯設計

布林代數與邏輯簡化

王宏祺講師

Department of Computer and Communication Kun San University

Tainan , Taiwan , R.O.C.

Mar. 30, 2011

1

4-1 布林運算與表示式4-2 布林代數的定律與法則4-3 狄摩根定理4-4 邏輯電路的布林分析法4-5 利用布林代數來做簡化4-6 布林表示式的標準形式4-7 布林表示式與真值表

4-8 卡諾圖4-9 SOP卡諾圖簡化4-10 POS卡諾圖的簡化4-11 數位系統應用實例

2

布林加法運算

布林加法運算與OR運算等效，其基本法則與OR閘的

關係圖示如下：

邏輯電路中，和項是由OR運算所產生的，不含AND運算。

3

布林乘法運算

布林乘法和AND運算等效，其基本法則與AND閘的

關係圖示如下：

邏輯電路裡，積項是由AND運算所產生的，不含OR運算。

4

4-2 布林代數的定律與法則

應用加法與乘法的交換律。

應用加法與乘法的結合律。

應用分配律。

應用布林代數的12項基本運算法則。

5

布林代數定律

結合律三個變數的加法結合律寫法如下：

A + (B + C) = (A + B) + C

三變數乘法結合律的寫法如下：

A(BC) = (AB)C

6

布林代數的運算法則

1. A0A 7. AAA

2. A11 8. 0A A

3. A00 9. A A 4. A1A 10. AABA

5. AAA 11. A AB A B

6. 1A A 12. (AB)(AC)ABC

A、B 或 C 可代表單變數或組合變數。

布林代數的基本法則

7

定律(1) 交換律：a. A+B = B+Ab. A．B = B．A

定律(2) 結合律：a. (A+B)+C＝A+(B+C)b. (A．B)．C＝A．(B．C)

定律(3) 分配律：a. A．(B+C)＝AB+ACb. A+(B．C)＝(A+B)．(A+C)c. (D+A)．(B+C)＝DB+DC+AB+AC

定律(4) 吸收律：a. A+AB＝Ab. A+A＇B＝A+B


3. A 0 0

4. A 1 A

8


7. A A = A

8. 0A A

9


11. A AB A B

表4-3

10

4-3 狄摩根定理

狄摩根定理以數學方式證明了NAND和輸入反相的OR

閘以及NOR閘和輸入反相的AND閘之間的等效性。

11

4-3 狄摩根定理

12

4-3 狄摩根定理4-4

在表示式和中應用狄摩根定

理。

解：

例題一在表示式中應用狄摩根定理。

WXYZ W X Y Z

WXYZ W X Y Z

W X Y Z W X Y Z

W X Y Z

13

應用狄摩根定理

4-5

在下列各表示式中應用狄摩根定理：

(a) (b) (c)

解：

(a)設A + B + C = X, D = Y。表示式屬於

的形式，可以寫成：

接著在部分使用狄摩根定理。

( )A B C D ABC DEF AB CD EF

( )A B C D

XY X Y

( )A B C D A B C D

A B C

A B C D A B C D 14


例4-5(續)

(b)設ABC = X，DEF = Y。表示式屬於

的形式，可寫成：

接著，在和兩項應用狄摩根定理。

ABC DEF

X Y X Y

( )( )ABC DEF ABC DEF

ABC DEF

( )( ) ( )( )ABC DEF A B C D E F

15


例4-5(續)

(c)設 , , EF = Z。表示式屬於

的形式，可寫成：

接著，在 , , 各項應用狄摩根定理。

AB X CD Y AB CD EF

X Y Z X Y Z

( )( )( )AB CD EF AB CD EF

AB CD EF

( )( )( ) ( )( )( )AB CD EF A B C D E F

16

例題一

17

1.在下列各表示式中應用狄摩根定理：


4-7

XOR閘的布林表示式為。以這個式子為起

點，利用狄摩根定理和其它適用法則，推導出XNOR閘

的表示式。

解：

解由取XOR閘表示式的補數開始，再如下應用狄摩

根定理：

接著，應用分配律和法則 )。

AB AB

( )( ) ( )( ) ( )( )AB AB AB AB A B A B A B A B

8( 0)A A

( )( )A B A B AA A B AB BB A B AB 18

4-4 邏輯電路的布林表示式

19

例題二.寫出下圖各邏輯電路的布林表示式。

4-5 利用布林代數來做簡化4-8

利用布林代數化簡這項表示式：

AB + A(B + C) + B(B + C)

解：下列步驟並非唯一方法。

步驟1. 表示式的第2和第3項使用分配律，如下：

AB + AB + AC + BB + BC

步驟2. 第4項應用法則7 (BB = B)。

AB + AB + AC + B + BC

步驟3. 前兩項應用法則5 (AB + AB = AB)。

AB + AC + B + BC

20

4-5 利用布林代數來做簡化例4-8(續)

步驟4. 後兩項應用法則10 (B + BC = B)。

AB + AC + B

步驟5. 第1和第3項應用法則10 (AB + B = B)

B + AC

到這裡，表示式已經盡可能的簡化了。一旦學得應

用布林代數的經驗，您就可以將數個步驟一併處理。

21

例題二

22

2.利用布林代數，將下列表示式化簡：


化簡下列布林表示式：

解：

步驟1. 第1項應用狄摩根定理。

步驟2. 兩小括弧內項應用狄摩根定理。

步驟3. 兩小括弧內項應用分配律。

AB AC A BC

( )( )AB AC A B C

( )( )A B A C A BC

A A A C A B B C A B C 23


步驟4. 第1項應用法則，第3項和最後一項應

用法則10 。

步驟5. 第1項和第2項應用法則10 。

步驟6. 第1項和第2項應用法則10 。

7 ( )A A A

[ (1 ) ]A B A BC A B C A B

[ (1 ) ]A A C A C A

A A B B C [ (1 ) ]A A B A B A

A B C

24


化簡下列布林表示式：

注意，中括弧和小括弧是一樣的：括弧內項要與括弧

外項相乘 ( 做AND運算 )。

解：

步驟1. 中括弧內項應用分配律。

步驟2. 小括弧內第2項應用法則8 。

[ ( ) ]AB C BD A B C

( )ABC ABBD A B C

( 0)BB

( 0 )ABC A D A B C 25


步驟3. 小括弧內第2項應用法則3 (A 0 D = 0)。

步驟4. 小括弧內應用法則1 ( 除去0)。

步驟5. 應用分配律。

步驟6. 第1項應用法則7 (CC = C)。

( 0 )ABC A B C

( )ABC A B C

ABCC A BC

ABC A BC

26


步驟7. 因式分解出。

步驟8. 應用法則。

步驟9. 應用法則4 ( 消去1)。

BC

( )BC A A

6 ( 1)A A

1BC

BC

27

例題三

28

3.利用布林代數，將下列表示式化簡：

積之和形式(SOP)

積項為由字母 ( 變數或其補數 ) 乘積 ( 布林乘法運算 )

所組成的項。當兩個以上的積項以布林加法運算執行加法

時，所得的表示式就是積之和 (sum-of-products, SOP)。

如下列各式：

AB ABC

ABC CDE BCD

AB ABC AC

29

積之和形式(SOP)

布林表示式的範圍一般布林表示式的集合是指表示式中

所包含，不管是補數或非補數形式的變數組。例如，表示

式的範圍合就是變數A、B、C，而表示式

的範圍就是A、B、C、D、E等變數。

實現SOP表示式

AB ABC

ABC CDE BCD

30

一般表示式轉換成SOP形成

4-12

將下列布林表示式轉換成SOP形式：

(a)AB + B(CD + EF) (b)(A + B)(B + C + D)

(c)

解：

(a)AB + B(CD + EF) = AB + BCD + BEF

(b)(A + B)(B + C + D) = AB + AC + AD + BB + BC + BD

(c)

( )A B C

( ) ( ) ( )A B C A B C A B C AC BC

31

例題四

32

4.將下列表示式轉換成積之和 (SOP) 的形式：

標準SOP形式

將積項轉換成標準SOP SOP表示式中的每個積項未必包

含範圍集合內所有變數，這些積項可以擴充成每個都包含

所有集合內變數或其補數的標準形式。

33

標準SOP形式

4-13

將下列布林表示式轉換成標準SOP形式：

解：此SOP表示式之範圍為A、B、C、D。一次處理一項

。第一項中少了變數D或，所以將第一項乘上，如下：

這樣就產生了兩個標準積項。

第二項，，缺少了變數C或和D或，所以先如下

將第二項乘上：

ABC A B ABCD

ABC

D D D

( )ABC ABC D D ABCD ABCD

A B C D

C C

( )A B A B C C A B C A B C

34

標準SOP形式例4-13(續)

得到的兩個積項仍少了變數D或，所以將這兩項分別乘上

，如下：

這樣就得到四個標準積項。

第三項，，已經是標準形式了。原表示式的標準

SOP形式如下：

D

D D( ) ( )A B A B C A B C A B C D D A B C D D

A B CD A B C D A B C D A B C D

ABCD

ABC A B ABCD ABCD ABCD A BCD A BCD A B CD A B C D ABCD

35

例題五

36

5.將問題22中的各SOP表示式轉換成標準SOP形式。( ) ( ) ( )a AB CD b ABD c A BD

標準SOP形式4-14

求出使下列標準SOP表示式等於1的二進位值：

解：

在A = 1, B = 1, C = 1且D = 1時，ABCD項會等於1。

ABCD = 1 1 1 1 = 1

在A = 1, , , D = 1時，項等於1。

ABCD AB CD A B C D

1B 1C AB CD

1 0 0 1 1 1 1 1 1AB CD

37

標準SOP形式例4-14(續)

在 , , , 時，項等於1。

這三個積項任一項或全部等於1時，SOP表示式就

等於1。

1A 1B 1C 1D A B C D

38

和之積形式

和項為由字母和 ( 布林加法 ) 所組成的項。兩個以上

的和項相乘時，所得的表示式就是和之積 (product-of-

sum, POS)。下列為其實例：

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

A B A B C

A B C C D E B C D

A B A B C A C

39

標準POS形式

標準POS表示式是指範圍集合內的所有變數都會出現

在表示式的各個和項中。例如，

就是個標準POS表示式。( )( )( )A B C D A B C D A B C D

40

標準POS形式

4-15

將下列布林表示式轉換成標準POS形式：

解：此POS表示式範圍為A、B、C、D的集合。一次處理一

項。第一項少了變數D或，所以加入並應

用法則12，如下：

第二項少了變數A或，所以加入並應用準則12

，如下：

( )( )( )A B C B C D A B C D

A B C D DD

( )( )A B C A B C DD A B C D A B C D

B C D

( )( )B C D B C D AA A B C D A B C D

41

標準POS形式例4-15(續)

第三項已經是標準形式了。故原表示式

的標準POS形式如下：

A B C D

( )( )( )

( )( )( )( )( )

A B C B C D A B C D

A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D

42

標準POS形式4-16

求出使下列標準POS表示式等於0的二進位變數值。

解：

在A = 0, B = 0, C = 0, D = 0時，A + B + C + D等於0。

A + B + C + D = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

在A = 0, , , D = 0時，。

( )( )( )A B C D A B C D A B C D

0B 0C 0A B C D

0 1 1 0 0 0 0 0 0A B C D

43

標準POS形式例4-16(續)

在A = 1, B = 1, C = 1, D = 1時，。

上述三項中任一項等於0，就會使此POS表示式等於0。

0A B C D 1 1 1 1 0 0 0 0 0A B C D

44

將標準SOP轉換成標準POS4-17

將下列SOP表示式轉換成等效的POS表示式：

解：估算方式如下：

000 + 010 + 011 + 101 + 111此表示式的範圍集合含有三個變數，所以總共有8種

可能的組合。這個SOP表示式含有其中的5種，所以POS必定含有其它3種，即001，100，和110。記住，這些就是使和項為0的二進位值。其等效POS表示式為：

A B C ABC ABC ABC ABC

3(2 )

( )( )( )A B C A B C A B C

45

例題六

46

6.將下面各標準SOP表示式轉換成標準POS形式。( )

( )

( )

a ABC ABC ABC ABC

b ABC ABC ABC

c ABC ABC ABC

將SOP表示式轉換成真值表格式

4-18

建立標準SOP表示式的真值表。

解：

此表示式有三個變數，所以變數的二進位值共有8

種可能組合，見表4-6左邊三個欄位。使表示式各積項等

於1的二進位值分別為： : 001； : 100；ABC

: 111。如表所示，在這幾個二進位值組合的輸出欄位中

填入1。其餘二進位組合的輸出欄位中則填入0。

A BC AB C ABC

A B C A B C

47

將SOP表示式轉換成真值表格式例4-18(續)

表4-6 輸入端輸出端 A B C X 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

48

例題七

49

7.做出下列各SOP表示式的真值表：

由真值表求出標準表示式

4-20

由表4-8的真值表求出標準SOP表示式，及其等效的

標準POS表示式。

表4-8 輸入端輸出端 A B C X 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

50

例4-20(續)


解：

輸出欄位中共有四個1，其對應的二進位數為011

，100，110，和111。將這些二進位數如下轉換成積項：

得到輸出X的標準SOP表示式為：

011

100

110111

ABC

AB C

ABCABC

X ABC AB C ABC ABC

51

例4-20(續)


至於POS表示式，則看輸出為0的二進位數000，001，010，和101。將這些二進位數如下轉換成和項：

得到輸出X的標準POS表示式為：

000

001

010

101

A B C

A B C

A B C

A B C

( )( )( )( )X A B C A B C A B C A B C

52

4-8 卡諾圖

卡諾圖是有系統的簡化布林表示式的方法。

做出3、4個變數的卡諾圖。

求出卡諾圖中各單位的二進位值。

求出卡諾圖中各單位所代表的標準積項。

53

4個變數的卡諾圖

4個變數的卡諾圖是由16個小單位排列而成的。

54

4-9 SOP卡諾圖簡化

卡諾圖用於簡化布林表示式至其最簡形式。最小SOP

表示式含有最少數目之積項，每項中之變數亦為最少。

55

標準SOP表示式轉換至卡諾圖

4-21

將下列標準SOP表示式轉換成卡諾圖：

解：

將表示式如下換成二進位值。在圖4-24的3變數卡

諾圖中，代表表示式中各標準積項的方格內填入1。

A BC ABC ABC ABC

0 01 01 0 11 0 1 1 1A BC ABC ABC ABC

56

例4-21(續)

標準SOP表示式轉換至卡諾圖

圖4-24

57

將非標準SOP表示式轉換成卡諾圖

4-23將下列SOP表示式做成卡諾圖：。

解：

很明顯，此SOP表示式並非標準形式，因為並非各

積項都有三個變數。第一項中少了兩個變數，第二項中

少了一個變數，第三項則是標準形式。先將各積項展開

成數字：

A AB ABC

000 1 00 1 1 0001 1 01010011

A AB ABC

58

將非標準SOP表示式轉換成卡諾圖例4-23(續)

對照所得的各個二進位數，在圖4-26之3變數卡諾圖

的適當方格內填入1。

圖4-26

59

SOP表示式的卡諾圖化簡法

將填1的項目分組用圈出含有1的相鄰方格的方法，在卡

諾圖上將填有1的項目分組。此步驟的目的是要使同一組

的規模變大，使組數變少。

由卡諾圖求出最小的SOP表示式當代表表示式中各標準

積項的1都適當的填於卡諾圖中，再經過分組後，就可以

開始進入求最小SOP表示式的步驟。

60


4-27

求出圖4-31各卡諾圖的積項，並寫出所得的最小

SOP表示式。

解：

圖4-31中已顯示出各組的最小積項。此圖中各卡諾

圖的最小SOP表示式分別為：

(a) (b)

(c) (d)AB BC A B C B A C AC

AB A C ABD D ABC BC

61

SOP表示式的卡諾圖化簡法例4-23(續)

62


4-29

利用卡諾圖將下列SOP表示式最小化：

解：第一項必須擴展成和，形成標

準SOP表示式，才能做成卡諾圖，將圖中含1的方格分組，

如圖4-33所示。

B C D ABC D ABC D A BCD ABCD A BCD ABCD ABCD ABCD

B C D AB C D A B C D

圖4-33

63

SOP表示式的卡諾圖化簡法例4-29(續)

注意所得兩組都有包捲式鄰接的情形。因為卡諾圖的最

外兩行中的方格相鄰接而形成8方格的一組。因為最上和最下

層方格相鄰，將其餘的兩個1拼湊起來便形成4方格的一組。

各組的積項都標示在圖上了，所得的最小SOP表示式為：

記住，最小表示式和原標準表示式是等效的。

D BC

64

例題八

65

A B C A BC ABC ( )AC B C ( ) ( )A BC BC A BC BC

A B C AB C ABC ABC

8.利用卡諾圖找出各表示式的最小SOP形式：

(a) (b) (c) (d)

4-10 POS卡諾圖的簡化

這一節的重點是放在POS表示式。 POS表示式卡諾圖

的方格內填的是代表標準和項的0。

66

將標準POS表示式做成卡諾圖

4-30

將下列標準POS表示式做成卡諾圖：

解：

如下將表示式各和項的二進位數算出，再將0填入

圖4-37的4變數卡諾圖中。

( )( )( )( )( )A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D

1100 1011 0010 1( )( )( )(

111 0011)( )A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D

67

將標準POS表示式做成卡諾圖例4-30(續)

圖4-37

68

POS表示式的卡諾圖簡化法

4-32

利用卡諾圖將下列POS表示式最小化：

解：

第一項必須先擴展成和A + B + C + D形成

標準POS表示式。接著便做出卡諾圖，並對方格分組，如圖

4-39所示。圖中已顯示出各組和項，最後得到的最小POS表

示式為

記住，最小POS表示式與原標準POS表示式是等效的。

( )( )( )( )( )B C D A B C D A B C D A B C D A B C D

A B C D

( )( )( )C D A B D A B C

69

POS表示式的卡諾圖簡化法例4-32(續)

圖4-39

70

例題九

71

( )( )( )A B C A B C A B C

( )( )( )( )X Y X Z X Y Z X Y Z

( )( )( )( )A B C A C A B C A B C

9.利用卡諾圖找出下列各表示式的最小POS形式：

(a)

(b)

(c)

4-11 數位系統應用實例

計數與控制系統中就用到七段顯示器。這些顯示器和

解BCD碼的邏輯電路併用，將適當的數字顯示在顯示器上

。

72

顯示段解碼邏輯

顯示段可用來表示不同的十進位數字，表4-9。

表4-9 各個十進位數字所要運作的顯示段

數字要顯示的段 0 a , b , c , d , e , f 1 b , c 2 a , b , d , e , g 3 a , b , c , d , g 4 b , c , f , g 5 a , c , d , f , g 6 a , c , d , e , f , g 7 a , b , c 8 a , b , c , d , e , f , g 9 a , b , c , d , f , g

73


表4-10 七段邏輯電路的真值表輸入段輸出十進位

數字 D C B A a b c d e f g 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 3 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 4 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 5 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 8 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

10 1 0 1 0 X X X X X X X 11 1 0 1 1 X X X X X X X 12 1 1 0 0 X X X X X X X 13 1 1 0 1 X X X X X X X 14 1 1 1 0 X X X X X X X 15 1 1 1 1 X X X X X X X

輸出1 表示該段啟動 (on) 輸出0 表示該段不啟動 (off) 輸出X 表示“隨意項＂

74


顯示段邏輯電路的布林表示式利用真值表，便能寫出

各顯示段的標準SOP或POS表示式。例如，a段的標準

SOP表示式為：

e段的標準SOP表示式為：

a D C B A D CBA D CBA DCBA DCBA DCBA DC B A DC BA

e D C B A D CBA DCBA DC B A

75


多輸出邏輯閘的進一步簡化

76

4_布林代數與邏輯簡化 1...

Documents

Transcript of 4_布林代數與邏輯簡化 1...