1. 연결상태가같은도형viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/교과서별/고_수학의...

126 Ⅴ. 도형과그래프

연결상태가같은평면도형

한 도형을 잘라 내거나 이어 붙이지 않고, 늘이거나 줄이거나 구부려서 그 도형 위의 서로 다른

두점이겹치지않도록변형한도형을처음도형과연결상태가같은도형이라고한다.

｜보기｜ 다음의 도형은 모두 연결 상태가 같은 도형이다.

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.*

1. 연결상태가같은도형

단일폐곡선

①점과선으로된도형중에서원과연결상태가같은도형을 이라고한다.

②단일폐곡선 위의 한 점에서 출발하여 곡선을 따라 한쪽 방향으로 나아가

면, 그 곡선 위의 모든 점을 한 번씩만 지나서 다시 출발점으로 되돌아

온다.

③단일폐곡선으로 둘러싸인 부분을 곡선의 , 그렇지 않은 부분을

곡선의 라고한다.(3)

(2)

(1)

연결상태가같은입체도형

한 입체도형을 그 겉면이 겹쳐지거나 잘리지 않도록 잡아당기거나 늘이거나 줄여서 얻은 입체도

형은처음입체도형과연결상태가같은도형이다.

｜보기｜ 원기둥, 원뿔, 원뿔대, 각기둥, 각뿔, 각뿔대 등은 모두 구와 연결 상태가 같은 입체도형이다.

⇡내용정리가부족한학생은교과서156~160쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 단일폐곡선 (2) 내부 (3) 외부답

내부 외부

(122~139) 수학의활용(익힘) 2009.5.26 12:6 PM 페이지126 mac02 T


2. 그래프

그래프의뜻

①｜보기｜와같이점과선으로이루어진그림을그래프라고한다.

②그래프에서점을꼭짓점, 꼭짓점을연결한선을변이라고한다.

③한 꼭짓점에서 이어진 변을 따라 변을 반복하지 않으면서 다른 꼭짓점으로 이동할 때, 순서

대로꼭짓점을나열한것을 라고한다.

④두그래프가연결상태가같은도형일때, 두그래프는동형이라고한다.

｜보기｜ 오른쪽 그림에서① 꼭짓점의 집합: {A, B, C, D}

② 변의 집합: {AB, BC, BD, CD}

③A에서 C로 가는 경로: ABC, ABDC

(1)

한붓그리기

①연결된그래프에서한꼭짓점에서출발하여꼭짓점을여러번지날수있지만모든변을한번

씩만 지나 어느 한 꼭짓점으로 가는 경로가 있을 때, 이 그래프는 한붓그리기가 가능하다고

한다.

②한붓그리기가가능한그래프는홀수점이없거나 개인경우이다.

•홀수점이없는그래프는어떤점에서출발하여도그출발점에서끝난다.

•홀수점이 개인그래프는한홀수점에서출발하여다른홀수점에서끝난다.(3)

(2)

연결된평면그래프의꼭짓점, 변, 면의개수

꼭짓점의개수를 v, 변의개수를 e, 면의개수를 f라고하면

v-e+f= (4)

구와연결상태가같은입체도형의꼭짓점, 모서리, 면의개수

꼭짓점의개수를 v, 모서리의개수를 e, 면의개수를 f라고하면

v-e+f= (5)


(1) 경로 (2) 2 (3) 2 (4) 2 (5) 2답

AB

C

D

1. 도형과그래프 127


오른쪽 그래프에 한붓그리기가 가능한 경로를 나타내

어라.1

｜ 함 께 하 기 ｜｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

교과서 165, 166쪽

다음 두 그래프의 꼭짓점의 집합, 변의 집합을 구하고, 두 그래프가 서로 동형인지말하여라.

(1) (2)

A

C

B

D EA

C

B

D

E

1. 다음 두 그래프의 꼭짓점의 집합, 변의 집합을 구하고, 두 그래프가 서로 동형인지말하여라.

(1) (2)

A

B

C

D

E

A B

D E

C

1.

[풀이]

(1) (꼭짓점의 집합)={A, B, C, D, E}

(변의 집합)={AB, AC, CD, CE}

(2) (꼭짓점의 집합)={A, B, C, D, E}

(변의 집합)={AB, AC, CD, CE}

두 그래프는 서로 동형이다.

다음 그래프에서 꼭짓점의 개수 v, 변의 개수 e, 면의 개수 f를 각각 구하고, v-e+f

를 구하여라.

2.

[풀이]

v=8, e=12, f=6

∴ v-e+f=8-12+6=2


[풀이]

(1) (꼭짓점의 집합)={A, B, C, D, E}

(변의 집합)={AB, AC, , , }

(2) (꼭짓점의 집합)={A, B, C, D, E}

(변의 집합)={AB, AC, BC, , }

두 그래프는 서로 동형이 아니다.

다음 그래프에서 꼭짓점의 개수 v, 변의 개수 e, 면의 개수 f를 각각 구하고, v-e+f

를 구하여라.

2.

[풀이]

v=6, e= , f=

∴ v-e+f=6- + =



프로젝트

두마을을직접연결하는도로만들기

1단계_ A마을과직접연결된도로가없는다른마을을A와선으로모두연결하여라.

단일폐곡선의내부와외부에각각한점을잡으면두점을연결하는선은

반드시단일폐곡선과만나게된다. 이성질을이용하여오른쪽그림과같이A, B,

C, D, E다섯마을이하나의순환도로로연결되어있다고할때, 교차점이없도록

두마을사이를직접연결하는도로를최대몇개까지만들수있는지알아보자.

｜문제｜ A

B

C D

E

오른쪽 그림과 같이 A, B, C 세 마을이 하나의 순환 도로로 연결되어 있고, 그 순환 도

로안쪽에 D, E, F 세마을이다른하나의순환도로로연결되어있다. 교차점이없도록

두마을사이를직접연결하는도로를최대몇개까지만들수있는지알아보자.

논술/수행평가과제

A

B

F

D

E

C

2단계_ B 마을과직접연결된도로가없는다른마을을 1단계에서그은선과만나지않도록직접연결할수있는

지를알아보고, 연결이가능한마을을B와선으로연결하여라.

3단계_ 2단계에서A, B, D 세마을만을지나는단일폐곡선을찾고, C와 E는각각이단일폐곡선의내부와외

부중어느쪽에있는지알아보아라.

또처음주어진선이나1단계와2단계에서그은선과만나지않도록C와E 두마을을직접연결하는선을

그을수있는지알아보아라.

4단계_ 교차점이없도록두마을사이를직접연결하는도로를최대몇개까지만들수있는지알아보아라.



다음 도형 중 서로 연결 상태가 같은 것끼리 짝지어라.1

다음과 같은 꼭짓점과 변의 집합을 가지는 그래프를 그려라.2

다음 그래프 중 한붓그리기가 가능한 것을 모두 찾아라.

(1) (2) (3) 3

오른쪽 그림과 같이A, C, D 지역을 지나는 버

스 노선과 B, C, D 지역을 지나는 버스 노선이

있다. A, B, C, D 네 지역을 각각 꼭짓점으

로 하고, 두 지역 사이를 버스를 갈아타지 않고

갈 수 있는 경우 두 꼭짓점을 변으로 연결하여

그래프로 나타내어라.

6

연결된 평면그래프에서 꼭짓점의 개수가 10, 변의 개수가 10일 때, 면

의 개수를 구하여라.4

정십이면체를 평면그래프로 나타낼 때, 꼭짓점의 개수 v, 모서리의 개

수 e, 면의 개수 f를 구하여라.5

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

A

B C

D

(꼭짓점의 집합)={A, B, C, D, E}

(변의 집합)={AC, AD, BD, BE, CE}

ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. ㅁ. ㅂ.



구와 연결 상태가 같은 오면체에서 꼭짓점의 개수가 6일 때, 모서리의

개수를 구하여라.3

다음 ｜그림1｜은A, B, C, D, E 도시를 연결하는 도로망이다. 각 도

시를 꼭짓점으로 하고, 각 도시를 연결하는 도로를 변으로 하는 그래프

를 그리려고 한다. 이때, ｜그림2｜의 삼각형 안에 나머지 2개의 꼭짓점

을 추가하여 그래프를 완성하여라.

5

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

정다면체를 평면그래프로 나타낼 때, 한붓그리기가 가능한 그래프를

찾아라.4

다음 그래프 중 변을 1개 추가하였을 때, 한붓그리기가 가능한 것을 모

두 찾아라.

(1) (2) (3)

2

A

D

CE

B

EC

A

｜그림1｜｜그림2｜

오른쪽 그래프와 동형인 그래프가 되도록 다음 꼭

짓점을 변으로 연결하여라.

A

DB C

1 A

B CD

주어진그래프는

홀수점이 2개,

짝수점이 2개이구나!


뫼비우스의

띠

이와 같이 직사각모양 띠를 꼬아 만든 곡면을

뫼비우스의띠라고한다. 이것은 1858년독일의

수학자이자 천문학자인 뫼비우스(Möbius,

A. F. ; 1790~1868)와 리스팅(Listing, J.

B. ; 1808~1882)이 같은 시기에 독립적으로

발견하였다.

길이가 긴 직사각형 종이를 ｜그림1｜과 같이 원통 모양으로 붙이고, 곡면 위에

선을 그으면 한쪽 면에만 선이 그어진다. 즉, 곡면의 안쪽과 바깥쪽이 구별된

다. 그러나 ｜그림2｜와 같이 180˘ 꼬아 붙여 띠를 만든 후, 곡면 위의 한 점 P

를 출발하여 선을 그어 보면 가장자리를 거치지 않고서도 다른 쪽 면 위에 선을

그을수있다. 즉, 이곡면은안쪽과바깥쪽을구별할수없다.

뫼비우스의 띠를 오른쪽 그림과 같이 폭의 ;3!;이

되는 두 개의 선을 따라 잘라 보고, 그 결과를

말하여라.

2-1

개념 넓히기

A

B

D

C

A,`D

B,`C｜그림1｜

A,`CP

B,`D

｜그림2｜

엑스포과학공원에있는뫼비우스의띠모양의구조물

오른쪽 그림과 같이 원통 모양의 곡

면과 뫼비우스의 띠를 만든 후, 선

을 따라 잘라 보고, 그 결과를 말하

여라.

1-1확인학습




순서를정하여실행하거나계획을세우는문제

각 작업을 꼭짓점으로 하고, 두 작업 사이의 선후 관계를 화살표로 표시하여 그래프로 나타내면

작업 일정을 보다 쉽게 파악할 수 있다. 이때, 전체 작업을 마치기 위해 필요한 최소의 시간은

시작에서마지막작업까지의경로중에서작업시간이가장긴경로로결정된다.

｜보기｜ A, B, C, D, E 작업에 걸리는 시간과 작업 순서가오른쪽 그림과 같을 때, A에서 E로 가는 경로와 걸린 시간은 다음과 같다.

A ⁄ B ⁄ D ⁄ E : (시간)A ⁄ C ⁄ D ⁄ E : (시간)(2)

(1)


3. 그래프와최적화

각꼭짓점을연결하는방법으로모형화하는문제

변에 어떤 값을 가지는 그래프로 나타낸 후 변의 값의 합을 최소로 하면서 단일폐곡선이 없는 연

결된그래프로만드는문제로모형화할수있는문제는다음과같은방법으로해결한다.

그래프에서 가장 큰 값을 가지는 변을 제거한다. 그러나 연결된 그래프가 되지 않으면 그 다

음 큰 값을 가지는 변을 제거한다. 이때, 같은 값을 가지는 변이 있으면 그 중 임의로 한 변을

제거한다.

남은그래프가단일폐곡선이없는연결된그래프인지를확인한다.

단일폐곡선이있으면 로되돌아간다.

단일폐곡선이없으면이과정을끝낸다.

｜참고｜ 가장 작은 값을 가지는 변을 차례로 택하면서 각 꼭짓점을 이어 단일폐곡선이 없는 연결된 그래프를 만들어 갈 수도 있다.

최적의경로

①그래프에서각변의값의합이최소또는최대가되는경로를 라고한다.

②최적의 경로를 결정하는 효과적인 알고리즘은 알려져 있지 않으므로 가능한 모든 경로를 확

인하여야한다.

(3)

4 3

2C

5 1

B

D EA


(1) 12 (2) 13 (3) 최적의경로답



｜ 함 께 하 기 ｜｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기*

어느 사진 동호회에서 회원들의 작품을 모아 전시회를 열기로 하였다. 다음 표는이 전시회를 준비하는 데 필요한 작업과각 작업에 걸리는 시간 및 작업의 순서관계를 나타낸 것이다. 이 전시회를

끝마치는 데 필요한 최소의 시간은 며칠인지 구하여라.

다음 표는 대청소에 필요한 작업과 각 작업에 걸리는 시간 및 작업의 순서 관계를나타낸 것이다. 모든 작업을 끝마치는 데필요한 최소의 시간은 몇 분인지 구하여라.

1.

[풀이]

각 작업과 순서를 그래프를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

A에서 G 또는 B에서 G로 가는 모든 경로와걸리는 시간은A⁄D⁄G: 3+4+3=10(일)B⁄C⁄D⁄G: 10+4+4+3=21(일)B⁄C⁄E⁄F⁄G: 10+4+3+2+3

=22(일)따라서 전시회를 끝마치는 데 필요한 최소의시간은 22일이다.

A

B C E F10

3 4 3

4 3 2

D G

[풀이]

각 작업과 순서를 그래프를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

A에서 F까지 가는 모든 경우와 걸리는 시간은A⁄ ⁄E⁄ F: 10+ +40+10

= (분)A⁄ ⁄D⁄E⁄F

: 10+ +50+40+10= (분)따라서 청소를 끝마치는 데 필요한 최소의 시간은 150분이다.

30 5010

B90 40 10

E

DC

FA

작업작업시간

(일)

먼저해야

할작업

A 장소선정 3 없음

B 작품모집 10 없음

C 전시회작품선정 4 B

D 전시회장꾸미기 4 A, C

E 포스터작성 3 C

F 포스터붙이기 2 E

G 전시 3 D, F

작업작업시간

(분)

먼저해야

할작업

A 전등먼지털기 10 없음

B 욕실청소 90 A

C 부엌청소 30 A

D 거실및방청소 50 C

E 유리창닦기 40 B, D

F 쓰레기버리기 10 E

1.

기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.



어느 건설 회사에서 다리를 건설하기 위해 필요한 8가지 작업 A, B,

C, D, E, F, G, H에 각각 걸리는 시간과 작업 순서를 그래프로 나

타내면 다음과 같다. 이 다리 건설을 끝마치는 데 필요한 최소의 시간

은 며칠인지 구하여라.

1

오른쪽 그래프는 다섯 마을 A, B, C, D,

E 사이에 포장도로를 닦는 데 드는 비용을

나타낸 것이다. 포장도로를 이용하여 다섯

마을에 모두 갈 수 있도록 할 때, 포장도로

를닦는데드는최소비용을구하여라.

2

오른쪽 그래프는 다섯 도시 A, B, C, D,

E 사이를 버스로 이동하는 데 걸리는 시간

을 나타낸 것이다. A 도시에서 출발하여

다른 네 도시를 모두 지나 다시 A 도시로

돌아올 때, 걸리는 최소의 시간은 몇 시간

인지 구하여라.

3

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

E19F G H

815 125 6

10B D

A C

7

A 43

5

59

63 6

25

B

E

D

C

B

11 15

14

1812 13

15

1620

A

E

DC

(단위:`일)

(단위:`백만 원)

(단위:`시간)

필요한 최소의 시간은 시작

에서 마지막 작업까지의 경

로 중에서 작업 시간이 가

장긴경로로결정된다.



오른쪽 표는 다섯 개의 건물 A, B, C,

D, E 사이를 비 가림 연결 통로로 공사

를 하는 데 드는 비용을 나타낸 것이다.

비 가림 연결 통로를 이용하여 다섯 건물

사이를 이동할 수 있도록 할 때, 연결 통

로로 공사를 하는 데 드는 최소 비용을 구

하여라.

2

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

오른쪽 표는 택배 회사 O와 물건을 배달

할 네 곳 P, Q, R, S 사이의 거리를 나

타낸 것이다. 회사를 출발하여 네 곳에 물

건을 배달하고 회사로 돌아오는 데 P는

Q보다 먼저 배달해야 한다고 한다. 이때,

최소 이동 거리를 구하여라.

3

다음 표는 교내 체육 대회의 각 경기와 일정에 포함된 여러 행사에 대한

항목과 예상 소요 시간 및 순서 관계를 나타낸 것이다. 체육 대회를 끝

마치는 데 필요한 최소의 시간은 몇 분인지 구하여라.

1

항목 예상소요시간(분) 먼저해야할항목

A 개회식 30 없음

B 준비체조 10 A

C 점심식사 60 F, G

D

E

F

G

H

폐회식

축구

농구

피구

줄다리기

30

120

60

40

40

H

C

B

B

E

(단위:`km)

O P Q R S

6 8 5 4

4 3 6

4 7 5

3 7 3

6 5 3

O

P 6

Q 8

R

S

5

4

(단위:`백만 원)

A B C D E

9 10 11 10

12 8 13

12 11 14

8 11 9

13 14 9

A

B 9

C 10

D

E

11

10

예상 소요 시간 및 순서 관

계를그래프로나타낸다.


19세기 영국의 수학자 해밀턴은 그래프와 관련된 여러 가지 재미있는 문제를 제기하였는데 그

중에는아직까지완전히해결되지않은문제도있다.

‘세계일주게임’은그가 1857년에소개한것으로, 정십이면체의 20개의각꼭짓점에세계의유

명한도시의이름을붙인후, 어느한도시를출발하여모서리를따라다른도시를모두방문하고

처음도시로돌아오는게임이다. 이때, 한번방문한도시는다시방문하지않는다.

해밀턴은정십이면체를평면그래프로나타내어이문제를다음그림과같이해결하였다.

위의게임에서와같이같은길을지나지않고주어진그래프상의점을모두한번씩지나서출발

점으로돌아올수있는길을‘해밀턴폐쇄로’라고한다. 해밀턴폐쇄로문제는‘어떤경우에해밀턴

폐쇄로가있는가’를묻는문제인데, 아직도완전히해결되지않은수학의난제중하나로꼽힌다.

한편 해밀턴 폐쇄로에 통과하는 길의 거리까지 포함시킨‘순회 영업 사원 문제(travelling

salesman problem)’라는것도있다. 이는‘영업사원순회문제’또는‘우편집배원문제’라고

도불리는데, 영업사원이한도시를출발하여모든도시를통과한다음처음출발했던도시로돌아

오는최단경로를찾는문제이다. 최소경비로영업사원이모든도시를방문하거나최단거리로집

배원이모든편지를배달하기위해서는이동하는각선에교통비나이동거리와같은가중치을두

어해밀턴폐쇄로를찾아야한다. 이문제는아직도효율적인알고리즘을찾지못한난제로남아있

으며, 그래프에서가능한모든해밀턴폐쇄로를찾아비교해야하기때문에통과하는지점수가늘

어나면컴퓨터로도처리하는데많은시간이필요하게된다.

실생활에서여러지역에물건을효율적으로배송하는경로를찾거나, 적은경비로여러관광지

를여행하는관광코스를찾을때등에서이와같은문제해결방법은유용하게활용되고있다.

1

2

3 410 9

87

5

2019

613

12

11 15

1416

17

18

해밀턴의세계일주게임

읽기 자료




다음 도형 중 연결 상태가 같은 것끼리 짝지어라.

대 단 원 확 인 하 기

1★

오른쪽 그림과 같은 그래프에서 서로 다른 모든 경로의 개수를

구하여라.3★★

오른쪽 그래프에 한붓그리기가 가능하도록 변을 추가할

때, 최소한 몇 개의 변을 추가해야 하는지를 말하여라.5★★

오른쪽 그래프에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 한붓그리기가 가능한지 말하여라.

(2) 꼭짓점의 개수 v, 변의 개수 e, 면의 개수 f를 구하고,

v-e+f의 값을 구하여라.

4★

이해

이해

이해

A B

D E

C

ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. ㅁ. ㅂ.

다음 입체도형 중 연결 상태가 같은 것끼리 짝지어라.2★ ㄱ. ㄴ. ㄷ.

의사소통

ㄹ.

추론

#(122~139) 수학의활용(익힘) 2008.12.1 7:24 PM 페이지138 mac01 T

대단원확인하기(Ⅴ) 139

단원을최종적으로마무리하는문제입니다. 각자의실력을확인해보세요.*

오른쪽 그림은 삼각형의 내부에 5개의 꼭짓점을 추가한 것이

다. 꼭짓점의 개수가 8, 변의 개수가 13, 면의 개수가 7인 그

래프를 그려라.

7★★

오른쪽 그림은 여섯 마을 A, B, C, D, E, F의

위치를 모눈 위에 나타낸 것이다. 이 여섯 마을에

가스를 공급하기 위하여 배관 공사를 하려고 하는

데 두 마을 사이의 거리가 a km이면 공사 비용이

a¤ 백만 원이라고 한다. 모든 마을에 가스가 공급되

도록 배관 공사를 할 때, 최소 비용을 구하여라.

(단, 모눈 한 칸이 나타내는 거리는 1 km이고, 배관은 마을에서만 나눈다고 가정한

다.)

9★★★

오른쪽 그림은 어느 음식을 만드는 데 필요

한 열 가지 작업의 소요 시간과 순서 관계를

그래프로 나타낸 것이다.

이 음식을 만드는 데 필요한 최소의 시간은

몇 분인지 구하여라.

8★★

310448

4

6C

B 6 5

E

F

D G

H I J

A

5

A

E

C

D

B

F

사각뿔과 사각뿔대를 각각 평면그래프로 나타내어라.6★★

문제 해결

문제 해결

(단위:`분)

의사소통

창의성

#(122~139) 수학의활용(익힘) 2009.5.26 9:44 PM 페이지139 mac02 T

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