第十章电磁感应 §10-1 电磁感应定律 §10-2 动生电动势感生电动势 §10-3...

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第十章电磁感应第十章电磁感应§10-1 电磁感应定律§10-2 动生电动势感生电动势§10-3 电子感应加速器涡电流§10-4 自感与互感§10-5 磁场能量

磁悬浮列车


2


前面所讨论的都是不随时间变化的稳恒场

磁场，稳恒电场稳恒电流－－激发稳恒场静止电荷－－激发静电

即

　我们现将研究随时间变化的磁场，电场，以进一步揭示电与磁的联系。

不随位置变化，均匀－－不随时间变化，稳恒－－

注意区分

函数非均匀－场量是位置的场量是时间的函数非稳恒

3


§10-1 §10-1 电磁感应定律电磁感应定律

一、法拉第电磁感应定律1 、电磁感应现象：

N

Sv

回路某一部分相对磁场运动或回路发生形变使回路中磁通量变化而产生电流

回路静止而磁场变化使回路中磁通量变化而产生电流

两种情况：

N

S

4


2 、法拉第电磁感应定律

( １）感应电动势的概念

① 从全电路欧姆定律出发——电路中有电流就必定有电动势，故感应电流应源于感应电动势。

② 从电磁感应本身来说：电磁感应直接激励的是感应电动势。

如何定量计算感应电动势的大小？

5


不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与磁通量对时间的变化率成正比。即

dt

dK

( ２）法拉第电磁感应定律

③ 若为 N 匝线圈，则dt

d

dt

Nd

)(

式中 =N 称作磁通匝链数，简称磁链。

① 在 SI 制中 K=1

② 式中的负号是楞次定律的数学表示

6


(3 ）磁通计

dt

d

RI m

i

1

那么 t1 ～ t2 时间内通过导线上任一截面的感应电量大小为

2

1

t

t idtIq

式 1 , 2 中是 t1 , t2 时刻回路中的磁通。

＊：如果能测出导线中的感应电量，且回路中的电阻为已知时，那么由上面公式，即可算出回路所围面积内的磁通的变化量——磁通计就是根据这个原理设计的。

如果闭合回路为纯电阻 R 时，则回路中的感应电流为

上式说明，在一段时间内，通过导线截面的电量与这段时间内导线所围磁通的增量成正比。

dtdt

d

Rm

2

1

1

)(

112

R

7


二、楞次定律

* ：注意其“补偿”的是磁通的变化，而不是磁通本身。

１、定律内容：

　闭合回路中产生的感应电流的方向，总是使得这感应电流在回路中所产生的磁通去补偿（或反抗）引起感应电流的磁通的变化。

8


2 、感应电流方向的判断

3 、楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的具体体现。

确定外磁场方向→分析磁通量的增减△ m→ 运用“反抗磁通量的变化”判断感应电流磁场的方向→运用右手缧旋法则确定感应电流方向（即感应电动势方向）。

N S

v

原感

NS

9


§10-2 §10-2 动生电动势感生电动势动生电动势感生电动势感应电动势的非静电力实质？

研究表明对应于磁通变化的两种方式，其产生电动势的非静电力的实质是不同的。

dt

d m )(＝－

一是磁场不变 , 回路的一部分相对磁场运动或回路面积发生变化致使回路中磁通量变化而产生的感应电动势，谓之动生电动势。

另一种情况是回路面积不变 , 因磁场变化使回路中磁通量变化而产生的感应电动势 , 谓之感生电动势。

dt

SBd )(

)(dt

SdB

dt

BdS

10


一、动生电动势 1 、动生电动势的经典电子理论解释

图中导线 ab 以 v 向右切割磁力线，导体中自由电子也以v 速向右运动。

则由知电子将向下堆积，而 a 端将因缺少电子而带正电，

Bvefm

v

a

bfm

＋＋

11


当 fe 与 fm 平衡时 , 即有 eE=evB, 于是 ab 两端形成稳定的电势差

Eefe

电子又将受到一个电场力向上，

vBlElUab

于是在导体内就形成一个由ab 的附加电场 E/ ，k

v

a

b

＋＋

fmE/

ƒe

如果把这段导体看成电源，那么电源中的非静电力就是洛仑兹力，其电动势的大小，即为

abBvBlvi

决定，即由方向由

12


e

f

q

fE m

k

非引入

_

)( ldBv

lde

fm

i

_于是

由电源电动势的定义＋

＿＝ ldE

k

在任意的稳恒磁场中，一个任意形状的导线线圈 L( 闭合的或或不闭合的 )在运动或发生形变时，各个线元的速度 v 的大小和方向都可能是不同的。这时，在整个线圈 L 中所产生的动生电动势为

ldBvL

)(

2 、动生电动势计算式的一般表示式

lde

Bve

_

)(

式中是单位正电荷在磁场力作用下的位移。ld

13


v

产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力，说明洛仑兹力在输运电荷的过程中作了功，可在 §9-4中已交待因洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速度而不做功，这是一对矛盾。在运动导体中载流子具有随导体本身的运动速度 v ，而受洛仑兹力 fmv=qvB

载流子相对于导体的定向运动速度 u ，所受洛仑兹力 fmu= quB

总洛仑兹力Ｆ＝ qvB ＋ quB

３、产生动生电动势过程中的能量转换

B

F mvf

u

muf

14


v

B

F mvf

u

muf

V

载流子的合速度

vuV

总的洛仑兹力的功率为

VFP

)()( uvBuqBvq

uBuquBvqvBuqvBvq

利用混合积公式

BACACBCBA )(

ACBBCA及

15


可知 ,0 vBv 0 uBu

uBvvBu

所以总的洛仑兹力的功率为零，即总的洛仑兹力仍然不做功。

但为维持导体棒以速度 v 作匀速运动，必须施加外力以克服洛仑兹力的一个分力 fmu=qu×B 。

由前述可知 uBvqvBuq

即外力克服洛仑兹力的一个分力 fmu=qu×B 所做的功率 fm

u·v 刚好等于通过洛仑兹力的另一个分力 fmv 对电子的定向运动所做的正功的功率 fmv·u 。

16


即，总的洛仑兹力不对电子作功，而只是传递能量。在这里，洛仑兹力起到了能量转化的传递作用。

17


则 oa棒所产生的总动生电动势为

2

2

1LB

L

解：在 oa 棒上离 o点 l处取微元 dl

动生电动势的方向：由 v×B 知，其方向由 a指向 o 。

a

例 10－ 1长为 L 的金属棒 oa 在与 B 的均匀磁场中以匀角速绕 o点转动，求棒中的动生电动势的大小和方向。

ldl

v 与 B垂直，且故,的方向相反与 ldBv

ldBv

ldBva

ooA

cosvBdl ldlB

L

ldlB0

o

B

18


l

IB

2

0

ab 上的感应电动势

由 vB 可判断 , 其方向从 b 到 a ，即 a点电势高。

例 10－ 2 一金属棒 ab 与长直电流 I 且共面，其相对关系如图所示， ab 以匀速 v 平行于长直导线向上运动，求金属棒中的动生电动的大小和方向。解 : 在 ab 上取 dl, 与长直导线的距离为 l,该点的磁感强度为 ⊕

Ｉ

B

v

d L

badll

vBdlldBvd

l

dlIv

Ld

d

2

0

d

LdIv ln

20

故,的方向相反与 ldBv

19


例 10－ 3 一棒 ab ，绕 OO ／轴转动， ao长 l2,bo长 l1 ，匀强磁场 B竖直向上，求动生电动势 ab

a

2l 1l

b

o

/o

Ｂ

21

2212 2

1

2

1lBlBab 解：

oa

2 1b

0ab 则 a 端电势高 ,

0ab 则 a 端电势低。

20


(2) 等效切割长度为 ON （ ON 为辅助线）

aaON 330cos2 0

BaaBoN22

2

3)3(

2

1

( OM=NM=a) 。oNoM ,

例 10－４折线状导线 oMN 在匀强磁场 B 中以角速度绕 o点转动，如图所示，求动生电动势

BaoM 2

2

11

解：同上理

N

o

060

M

21


例 10－ 5　四根辐条的金属轮子在均匀磁场 B 中转动，转轴与 B 平行，轮子和辐条都是导体，辐条长为 R ，轮子转速为 n ，则轮子中心 a 与轮边缘 b 之间的感应电动势为 --------------------- ，电势最高点是在 -----------处。

解：由于轮子绕轴转动时，轮子边缘没有切割磁力线，故不产生感应电动势。　所以轮子中心 a 与轮边缘 b 之间的感应电动势即为一根辐条两端 a 、 b 之间的感应电动势：

2

0

2

' 2BRn

BRlBdlvBdlldBv

b

a

Rb

aab

由于 0ab

故 a 端的电势高于 b 端的电势。即 a 端的电势最高。

B

Ra b

22


４、导体线圈在磁场中旋转时感应电动势的计算如图，在一均匀磁场中，矩形线圈面积为 S,共为 N 匝，可绕 00/ 轴旋转，设 t = 0 时线圈平面的法线方向n0 与 B 的夹角为 = 0 ，若线圈角速度为，则 t 时刻穿过该线圈的磁通为 sBm

由法拉第电磁感应定律

dt

di

NBsm 电动势的实质依然是动生电动势, 上述为交流发电机的工作原理

a

b

c

d

no

cosBs tBs cos

)cos( tNBsdt

d

tNBs sin tm sin

0

0/

B

23


例 10－ 6　由导线弯成的宽为 a高为 b 的矩形线圈，以不变速率 v 平行于其宽度方向从无磁场空间垂直于边界进入一宽为 3a 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直（如图），然后又从磁场中出来，继续在无磁场空间运动。设线圈右边刚进入磁场时为 t=0 时刻，试在附图中画出感应电流 I 与时间 t 的函数关系曲线。线圈的电阻为 R ，取线圈刚进入磁场时感应电流的方向为正向。（忽略线圈自感）

ab v

a3

I

t

24


解：从到，矩形线圈的边以切割磁力线，电动势为逆时针方向、大小为

0tv

at b v

Bvb

电流 R

Bvb

RI

按题意，此时电流为正（逆时针）； I

-(Bvb)/R

(Bvb)/R

t

3t

4t

0

从到，矩形线圈内磁通

量不变，；v

at

v

a3t

0 0I

从到，矩形线圈的另一条边切割磁力线，电动势

为顺时针方向、大小 v

a3t

v

a4t b

Bvb

电流 R

Bvb

RI

按题目规定 I < 0

25


二、感生电动势的概念 1 、感生电场（涡旋电场）的提出

如果磁通变化的原因是回路所在处磁场本身的变化所引起，则这时回路中的电动势是感生电动势。

0

t

B图中

感应电流的方向：顺时针

B

i

B

t

B

t

B

0

t

B图中

感应电流的方向：逆时针

i

26


因此，导体内自由电荷作定向运动的非静电力只能是变化的磁场引起的。

这种非静电力能对静止电荷有作用力，因此，其本质是电场力。

那么导体中的自由电荷是在什么力的驱动下运动呢？※不是电场力：

※不是洛仑兹力：—— 因为周围没有静电场源。

——麦克斯韦在进行了上述分析之后，提出了涡旋电场的概念。

　——洛仑兹力要求：运动电荷进入磁场才受洛仑兹力，而现在是先有磁场变化而后才有自由电荷作定向运动。

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１８６１年，麦克斯韦提出了感生电场（涡旋电场）的概念，麦克斯韦认为：

涡旋电场是一种客观存在的物质，它对电荷有作用力。

q

F

q

FEr

涡非

２、涡旋电场的性质（ 1 ）只要有变化的磁场，就有涡旋电场。涡旋电场不是由

电荷激发的。

变化的磁场在其周围空间激发出一种新的涡旋状电场，不管其周围空间有无导体，也不管周围空间有否介质还是真空；并称其为感生电场（涡旋电场 )。

相应引入涡旋电场场强

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( ２ ) 涡旋电场的电力线是环绕磁感应线的闭合曲线。

（ 3 ）Ｅ r 的通量　　　　　与 B类似，涡旋电场是无源场。0 SdErS

因此涡旋电场的环流不为零 , 即 0 ldEl r

３、Ｅ r 的环流与感生电动势

ldEl r

)(

rkE

q

FE

非

dt

d mi

由法拉第电磁感应定律又有

dt

dldE m

l ri

29


因为回路不动，所以

s

m sdBdt

d

dt

d

sddt

BldE

sl r

可见，只要，涡旋电场的环流就不为零。 0 tB

sdt

Bs

涡旋电场为非保守场，是有旋场。

30


（ 1 ）、计算磁通的面积的周界就是式中的积分回路。

（ 2 ）、公式中的负号是楞次定律的数学表示式。这时 Er 的回绕方向与组成左螺旋。即用左手四指表示 Er 的回绕方向，则大姆指表示的方向。

tB /

tB /

注意是 Er 是与，而不是与 B组成左螺旋。 tB /

t

B

Er

B B

Er 0

t

B

rE

0

t

B

31


４、涡旋电场与静电场的比较① 共同处：这两种电场都对电荷有作用。

激发涡旋电场是由变化磁场静电场是由电荷激发激发

线环绕磁感应线的闭合曲涡旋电场电力线－－是合，有头有尾静电场电力线－－不闭

力线

02

0

1

SdE

qSdE

S

S

涡旋电场通量为零

不为零静电场对闭合曲面通量通量

② 不同处：

环流涡旋电场的环流不为零静电场的环流为零 0)1( l ldE

0)2( l ldE

32


——— 运用法拉第电磁感应定律即

s

m sdBdt

d

dt

d ＝－

即先求线圈所在处的磁通，再求磁通的变化率。

* 感生电动势计算方法之一

33


ydxx

Iold

d 2

2：解

tgxdly ])[(2

由图可知

2

20

ld

d

I

dxx

xdltg

2

2

22

0 ln2

ld

lddltg

I

1l y

x dx

d 2l

例 10－ 7　如图所示，长直电流中的电流 I ＝ 5t 2+6t求线圈中的感生电动势。

dt

dIl

d

lddltg

dt

di

2

22

0 ln2

610ln2 2

22

0

tl

d

lddltg

方向：逆时针

代入将 ttI 65 2

34


* 感生电动势计算方法之二——运用Ｅ r 的环流定理即

dt

dldE m

l ri

35


解：因螺旋管内涡旋电场的分布具有轴对称性，即距轴心等距的各点的 Ek

相等，故以 r 为半径作一与 R 同心圆形回路，积分回路的回绕方向与 Er 的回绕方向一致，则有

REr

r

r

0cosldEldEl rl r

若回路半径 r ＜ R t

Br

dt

d m

2

dt

dldE m

l r

t

BrrEr

22

lr dsE rEr 2

例 10-8 设螺旋管内的场为均匀场，其半径为 R ，管内磁场对时间的变化率为，试求离开轴线 r处的 Er 。

t

B

36


t

BrEr

2rEr

若 r ＝ Rt

BREr

2

若 r ＞ R 因螺旋管外Ｂ＝０，故对任一回路均有

BRm 2

t

B

r

REr

2

2

rEr

1

t

BRrEr

22

REr

r

rr

E

37


例 10-9 一长直螺线管半径为 R ，单位长度上的线圈匝数为 n ，电流以 dI/dt=c匀速率增加，磁感应强度方向如图示，一导线 ab

放在螺线管外与螺线管截面在同一平面， oa=ob,∠aob=0, 计算ab 中的感生电动势，并确定哪端电势高？

解：dt

dldE m

l r

rEldErl r2

螺线管外感生电场的分布具有轴对称性，取半径为 r （ r>R ）的圆形环路与 ab交于 P点， Er沿 P点的逆时针切线方向。则

o

R

a

b

0

Er

r P

SBm

2

0 RnI

38


20 R

dt

dIn

dt

d m 2

0 Rnc

r

ncR

r

RncEr 22

20

20

o

R

a

b

0

r

Er

P

h

0/

d

l

20

求感生电动势：

b

a r

b

a rab dlEldE cos

设 0点到 ab 的距离为 h ，并以垂足 0/点为原点，则

/00P

39


htgl

2

2

cossec

hddhdl

r

hcos又

b

a rab dlE cos

εab沿 ab 方向。

如图， P 点到 0/点的距离为 l ，则

r

ncREr 2

20

dncR202

120

20 0

202

1 ncR

o

R

a

b

0

r

Er

P

h

0/

d

l

20

40


例 10－ 10 dB ／ dt=c ，若导体线框 abcd 的一部分置于磁场内，如图所示，其中 ab 弧 ,cd 弧是 = ／ 3 的圆心角所对应的圆弧，bc,ad 在直径上， ad/=dd/=oa=R ／ 2, c/ 、 d/ 是线框与圆柱面的交点。求：（ 1 ）导线各边 ab,bc,cd,da 上的感生电动势；（ 2 ）导线框总的感生电势。

0

R

b

a

c

d

/c

/d

解（１）ldEldE

b

c

r

d

a

rcbad

对于 ba弧，它是半径为 R/ 2 的圆弧，且弧上各点 Er值相等，由上例可知，

dt

dBrEr 2 2Roa

Ebr

Ear

02cosdlEr

dt

dBR

4

632

RRba

＝弧

41


ldEa

b rba

dl

dt

dBRR

6

0 4

dt

dBR

24

2

；，；方向为方向为 abdt

dBba

dt

dB 0,0

dt

dB

r

REr 2

2

cd 弧，它是半径为 3R / 2 的圆弧，该处的 Er 大小为

ldEd

c rcd

dt

dBR

3

dldt

dBRR

2

0 3

dt

dBR

6

2

232

3 RRcd

＝弧

。，；方向为方向为 dcdt

dBcd

dt

dB 0,0

42


（２）回路总的电动势为各段导线上的电动势之和，

cbdcadba ＝总

dt

dBR

dt

dBR

dt

dBR

8624

222

。，；方向为方向为总总 badcbdt

dBabcda

dt

dB 0,0

43


例 10－ 11 　在圆柱形空间内有一磁感应强度为 B 的均匀磁场，如图所示， B 的大小以速率 dB ／ dt 变化，有一长度为 l0 的金属棒先后放在两个不同的位置 1 （ ab ）和 2 （ a/b/ ），则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 012 A 12 B

012 D 12 C

答：由例 6 － 8 可知，在圆柱内离轴心 o点越远， Er越大

dt

dBrEr 2

故知应选（ B ）。 12

o a

'a

'b 0l

b

44


例 10－ 12 　在圆柱形空间内有一磁感受强度为 B 的均匀磁场，如图所示， B 的大小以速率 dB ／ dt 变化，在磁场中有 A 、 B

两点，其间可放直导线 AB和弯曲的导线 AB弧，则（ A ）电动势只在直导线 AB 中产生；（ B ）电动势只在弯曲弧 AB 中产生；（ C ）电动势在直导线和弯曲弧中都产生，且两者大小相等；（ D ）直导线中的电动势小于弯曲弧中的电动势。

o

A B

答：选（ D ）

由例 10 － 8 可知，在圆柱内离轴心o点越远， Er越大。

l rr ldE

　此处是非静电场，故 A 、 B 两端的电势差与积分路径有关。

45


● B

C

O D

解：①磁场均匀且稳恒不变，则任一时刻穿过三角形 OM

N 的磁通为

xyB2

1

v

M

N 式中 vtx ，xtgy

x

y

tkxB cos

例 10－ 13 　如图，有一弯成角的金属架 COD放在磁场中，磁感应强度 B 的方向垂直于金属架 COD 所在平面，一导体杆MN垂直于 OD边，并在金属架上以恒定速度 v 向右滑动， v 与MN垂直，设 t=0 时 ,x=0,求下列两情形框架内的感应电动势。(1)磁场分布均匀且不随时间变化。 (2)非均匀的交变磁场。

)2

1( 2xBtg

dt

d

dt

diNM tvBtg 2

的方向由 M指向 N i

46


dxx

y

② 对于非均匀场，设三角形中回路绕行方向为 ONMO ， ( 或截面法线方向纸面向外 )，取面元如图，则任一时刻穿过面元的磁通为 Bdsd

将代入 tkxB cos

dxtgtkxd cos2则

x

dxtgtkx0

2 cos tgtkx cos3

1 3

Bydx dxBxtg

● B

C

O D

v

M

N

47


tgtvkxttgxk

cossin3

23

)cossin3

1( 233 tttttgkv

dt

di

tgtkx cos3

1 3

若 >0 则方向为 ONMO ；若 <0 则方向为 OMNO 。

i iii

48


§10-3 §10-3 电子感应加速器涡电流电子感应加速器涡电流一、电子感应加速器

1 、构造：圆形电磁铁，环型真空室。强大的交流电通过电磁铁线圈产生交变磁场和涡旋电场。

2 、电子加速原理：

交变磁场作用于电子的洛仑兹力作为电子圆周运动向心力；涡旋电场提供与电子速度方向相同的电场力使电子被加速。

rr eEF

电子

v v

f

电子束靶电子枪

环形真空室

Bv

49


o

E 感

T t

B

电子得到加速的时间最长只是交流电流周期T的四分之一。

rr eEF

电子

v v

f

电子束

靶电子枪

环形真空室

Bv

从上图可以看出，只有时间内才使洛仑兹力指向圆心且与电子速度反向能给电子加速。所以，在结束时应把电子引向靶。另外，为使电子的轨道半径保持稳定，应当使轨道处的磁感应强度等于圆周内磁感应强度平均值的二分之一。

40

T~

感E 4/T

50


小型电子感应加速器可把电子加速到 0.1 ～ 1MeV, 用来产生 x 射线。

大型的加速器可使电子能量达数百MeV，即可把电子加速到 0.99998c，百分之几秒时间内电子在加速器内的行程达几千米。用于科学研究。

51


二、涡电流

金属导体块线在非匀强场中切割磁力处在变化的磁场中

就会在导体块内形成自成回路的电流，这种电流就叫涡电流。

１、涡电流

dB／ dt＞ 0

52


◎ 可用作一些特殊要求的热源，

◎ 利用涡流产生所谓临界电磁阻尼，在电工仪表中被广泛使用。

２、涡电流利用

在冶金工业中，熔化某些活泼的稀有金属时，在高温下容易氧化，将其放在真空环境中的坩埚中，坩埚外绕着通有交流电的线圈，对金属加热，防止氧化。

抽真空

高频感应炉；优点是加热速度快，温度均匀，材料不受污染且易于控制。

53


在制造电子管、显像管或激光管时，在做好后要抽气封口，但管子里金属电极上吸附的气体不易很快放出，必须加热到高温才能放出而被抽走 ,利用涡电流加热的方法，一边加热，一边抽气，然后封口。

◎电子元件中的高纯真空；抽真空

接高频发生器

显像管

54


例如在各种电机，变压器中。就必须尽量减少铁芯中的涡流，以免过热而烧毁电气设备。

涡电流的弊端是消耗能量，发散热量。

３、涡电流的防止

因此在制作变压器铁心时，用多片硅钢片叠合而成，使导体横截面减小，涡电流也较小。

55


三、趋肤效应在柱状导体中通以交流电时，在导体中产生的涡流使交流电在导体内的横截面中不再是均匀的，而是越靠近表面电流密度越大，这种交变电流集中于导体表面的效应，叫做趋肤效应。

设图中 I 此时是增加的，因而 B 增加，于是涡电流的磁通阻碍 Bi 的增加。由图可知，此时是中心部分 I

涡与Ｉ反向，而表面部分 I

涡与 I 同向，这说明此时Ｉ不是均匀分布，而是趋肤（即趋于导体的表面）。

I

B

B

涡I涡I I

56


§10-4 §10-4 自感与互感自感与互感对于感应电动势因磁通变化方式不同而致产生感应电动势的非静电力不同 , 分为

磁通的变化方式还有自动和他动之分，与之对应有

1 、自感现象一、自感

通电线圈由于自身电流的变化而引起本线圈所围面积里磁通的变化，并在回路中激起感应电动势的现象，叫自感现象。

iiL

动生——洛仑兹力；感生——涡旋电场

自感电动势；互感电动势

57


2 、自感系数

则通过 N 匝线圈的磁通为

自 N

式中称之为磁链

一个密绕的 N 匝线圈，每一匝可近似看成一条闭合曲线 ,线圈中电流激发的穿过每匝的磁通近似相等，叫自感磁通，记作 Φ 自

I

B

58


即

LIm

式中比例系数 L叫做自感系数，

且实验表明 L与

与磁介质的磁导率有关际应为线圈匝数有关－－故实寸有关回路几何形状，几何尺

NLIm＝Ψ

对于铁磁质，除了与上述原因有关外， L 还与回路中的电流有关 .就是说， L 基本上反映的是自感线圈自身性质的物理量。

(1)L 的引入设回路中电流为 I ，如果回路的几何形状及大小不变，且回路中又无铁磁物质，则实验表明穿过该回路的磁通 Im

59


（２ )回路中的自感系数等于回路中的电流为一个单位时，通过这个回路所围面积的磁通 ( 磁通链 )

IL

（３ )在 (SI)制中， L 的单位亨利 (H) ， 1亨利 =1韦伯 /1安培

60


3 、自感电动势的计算自感电动势为

dt

dL

当回路的几何形状和大小不变，匝数不变，回路中无铁磁质而其他磁介质均匀时， L 为常数，则有

dt

dIL

dt

dL

１ )式中负号是楞次定律的数学表示式——自感电动势的方向总是阻碍回路电流的变化，即

同向。与阻碍其减少，故当回路中电流减少时，反向。与阻碍其增加，故当回路中电流增加时，

Iεε

Iεε

LL

LL

３ )上式还表明 L L∝ ，自感系数表征了回路中的“电磁惯性”。

２ )上式表明回路中自感电动势的大小与回路中电流的变化率成正比。

dt

dLI )(

dt

dLI

dt

dIL

61


4、自感的利弊

但过大的自感电动势也是造成回路短路的原因。

* 计算自感系数的步骤

①先求自感线圈中的 B值；

②再求通过1匝线圈的m及N匝的m； ③最后由定义求ILm。

自感现象在电工、电子技术中有广泛的应用。如日光灯镇流器 , 自感与电容组成的谐振电路和滤波器等。

62


解： Il

NnIB

NSBN

IL

于是

因为是均匀磁场

例 10－ 14　计算长直螺线管（长 l 、截面面积 S 、单位匝数n 、充满磁导率的磁介质）的自感系数。

Il

NNS

Sl

N 2

lSn2 Vn2

l

S

63


例 10-15 求一长为 l 的双长传输线的自感系数 .两传输线截面半径都为 r, 两线中心距离为 d （ l＞＞ d ）。

x dx

解：通以电流 I 建立坐标 OXYZ X轴上磁场

xd

I

x

IB

2200

取面元 ds ldxxd

I

x

IBdsd ]

22[ 00

d

r2

II

X

Y

z

O

Sd

B

●x

64


ldxxd

I

x

Ird

r

2200

r

rdIl ln0

r

rdl

IL

ln0

单位长度的自感r

rdlL

ln0

65


二、互感应 1 、互感现象

ii

21

在相邻的线圈中，由于邻近线圈中电流发生变化而引起电磁感应的现象——谓之互感。

I1

2 、互感系数

在两线圈的形状、匝数、互相位置保持不变时，根据毕奥——萨伐尔定律，由电流 I1 产生的空间各点磁感应强度 B1均与 I1 成正比。

故 B1穿过另一线圈 (2)的磁通链 Ψ21 也与电流 I1 成正比，即

121 B 11 IB121 I Ψ21=M21I1

66


212 B 22 IB 212 IΨ12=M12I2

实验与理论均证明 MMM 2112

故用 M 表示，称为两线圈的互感系数，简称互感。

１ )互感系数的单位与自感系数相同。互感系数不易计算 ,一般常用实验测定。

同理

磁介质的磁导率有关各线圈的匝数有关

及相对位置有关线圈的几何形状，大小

２ )互感系数与

67


3 、互感电动势

dt

dIM

dt

d 12121

同理，电流 I2 的变化在线圈 (1)中产生的互感电动势

dt

dIM

dt

d 21212

１ ) 互感电动势的大小与互感系数成正比，与邻近线圈中电流的变化率正比。

２ )式中负号表示，互感电动势的方向总是阻碍邻近线圈中电流的变化。

电流 I1 的变化在线圈 (2)中产生的互感电动势

68


4、互感的利弊

L1 L2

磁棒

放大器

M

L1 L2

电路符号：

互感现象被广泛应用于无线电技术和电磁测量中。通过互感线圈能够使能量或信号由一个线圈传递到另一个线圈。各种电源变压器、中周变压器、输入输出变压器及电压互感器、电流互感器等都是利用互感原理制成的。但是，电路之间的互感也会引起互相干扰，必须采用磁屏蔽方法来减小这种干扰。

69


例 10-16　两线圈的自感分别为 L1和 L2它们之间的互感为 M 。（ 1 ）将两线圈顺串联，如图所示，求 a和 d 之间自感；（ 2 ）将两线圈反串联，如图所示，求 a ， c 之间的自感。

1L 2L

a b c d

解：①顺串联，即联接 b 、c ，此时线圈中磁通互相加强，11

22

即通过线圈 1 的磁通有，

1111 IL自感磁通互感磁通 212 MI

1221

通过线圈 2 的磁通有

自感磁通 2222 IL

互感磁通 121 MI

1211 2122 ＝11IL＋2MI＋22IL＋1MI

于是通过整个顺接线圈的磁通为

70


1L 2L

a b c d

ILML 21 2

则总的等效自感系数 21 2 LMLI

L

② 反串联，即连接 b 、 d ，线圈中磁通互相削弱，同样 I1=I2

=I 12111 即

21222 1112 22

21

则反串接时等效自感系数

21 2 LMLL

III 21

1211 2122 ILML 21 2

所以

71


可见，两个有互感耦合的线圈串联后等效一个自感线圈，但其等效自感系数不等于原来两线圈的自感系数之和，其既与连接方式有关，又要考虑互感的影响。

72


解：设原螺线管中的电流为 I1 ，它在线圈中段产生的磁感应强度为

l

INInB 110

1101

通过副线圈每匝的磁通量为 l

SINSB 110

12

例 10－１ 7 一长为 l 的直螺线管，截面积为 S ，共有Ｎ１匝，在其中段密绕一个匝数为Ｎ２的粗螺线管，试计算这两个线圈的互感糸数。 N1

S

N2

73


若副线圈与原线圈一样长 , 即在无漏磁时 , 则

l

SINNN 1120

222

故两线圈的互感糸数为l

SNN

IM 120

1

2

21LLkM 在一般情况下

k 称为耦合系数， k 的取值为 0≤ k ≤1 。

))(( 220

210 VnVn

21LL

74


问题：一长为 l 、自感系数为 L 的长直螺线管，分为等长的两段，则每段线圈的自感系数为多少？

21 2 LMLL

解：设每段线圈的自感系数为 L1 、 L2 ，且 L/ ＝ L1 ＝ L2, 则由例10 － 16 （ 1 ），有

设无磁漏，又由例 10 － 17 可知，

/12 LLLM

LL4

1/

75


例 10-18 一矩形线圈长为 a ，宽为 b ，由 100 匝表面绝缘的导线组成，放在一根很长的导线旁边并与之共面。求图中（ a ）、（ b ）两种情况下线圈与长直导线之间的互感。

解如（ a ）图 , 已知长直导线在矩形线圈 x处的磁感应强度为

x

ΙμB

20

通过线圈的磁通链数为

b

bIaN 2ln

20

2ln2I

M 0

π

aN

b

b

adxx

INμ20

2

图（ b）中，Ｍ =0 ，消除互感方法之一。

a

b b

aI

sNBdsN

xB

dx b

2b 2b

a⊕⊙

76


例 10－ 19　如图，一导体棒 ab 在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁导率为常数，则达到稳定后在电容器的 M极上（ A ）带有一定量的正电荷；（ B ）带有一定量的负电荷；（ C ）带有越来越多的正电荷；（ D ）带有越来越多的负电荷。　　　　（　　　）

B

铁芯

1 2

a

b

vM

N

77


答：图中 ab 向右作匀加速运动，设其加速度为 a ，初始时刻的速度为 0 ，则任意时刻， ab棒中产生的动生电动势为：

blvldBvb

aab

负号说明电动势的方向为从 b 到 a 。

设线圈 2 中的电阻为 R ，则流过线圈 2 的电流：

R

blat

RI ab

则线圈 1 中感应出的互感电动势为：

R

Mbla

dt

dIM

blat

铁芯中磁感应线为图示方向，即逆时针方向。

B

铁芯

1 2

a

b

v

M

N

78


由于线圈形状、相对位置不变，并且铁芯磁导率为常数，故 M不变，即 ε 为一常数。故最终稳定后， M极板上的电荷 Q=Cε

为一定值。

综上所述，最终M极板上将带有一定量的负电荷。答案为（ B ）

　由于 ab 加速运动，线圈 2 中的电流越来越大，铁芯中的磁感应强度逐渐增大，由楞次定律及右手螺旋定则易知，线圈 1

中的电流为从 M 到 N ，

　故有电子从 N 到 M ，从而使 M极板上积累一定量的负电荷。

B

铁芯

1 2

a

b

v

M

N

79


§10-5 §10-5 磁场能量磁场能量一、自感磁能1 、设有一自感线圈，自感系数为 L ，接成如下电路，回路总电阻为 R ，当 K 接在①点瞬时，电路接通，由于自感存在，电流不能立即达稳定值 /R ，而是要经历一段时间 T ，在 0→T

时间内电流 i 不断增加，这时，线圈中产生与电流方向相反的自感电动势

dt

diLL

由全电路欧姆定律有

iRdt

diL

①

②

R L

K

①

②

R L

i iL

iL

在 dt 时间内，电源电动势做功为

idtdA

iRdt

diL

Rdtidtdt

diLi 2

80


线圈在 0→T 的时间内，电流从 0→ /R , 即自感线圈中建立起磁场的过程中，电源电动势的功为

RdtiLidiidtAT I T

0 0 0

2

RdtiLIidtT T

0 0

22

2

1

这说明：电源电动势在 0→T 时间内所做功分为两部份：

电流在 R 上放出的焦耳热 T

RdtiQ0

2

电源反抗自感电动势做功 2

2

1LIWm

由能量守恒律，电源反抗自感电动势所做的功，转换成磁场能而储存在自感线圈中。

※电容器——储存电场能的元件，且 C

QWe

2

2

1

81


2 、在电流稳定后，若将 K板向②，这时电源不供电，但电路中的电流仍不是立即为零，而是要经历一段时间 T/ ，在这段时间内是自感电动势做功，即

RdtiidtATT

L ,

0

2

0

/

idtdt

diL

T

,

0

这说明此时回路中的焦耳热完全是由线圈中储存的磁场能转化而来。

①

②

R L

K①

②

R L

iL

20

2

1LILidi

I RdtiT

,

0

2

82


二、磁场的能量和电能一样，磁能也是存在于整个磁场分布的空间中，例如：在一长直通电螺线管内，磁场就是分布在整个螺线管内的空间，

2

2

1LIWm

这就表明磁场能存在于整个磁场空间。

因长直螺线管内

nIB nBI

Vn

BnWm

22 )(2

1

VnL 2 式中 V 表示螺线管内的空间，

其自感系数为

VIn 22

2

1

VB

2

2

1

83


如果引入磁场能量密度

V

Ww m

m

2

2

1 Bwm

① 上面结果虽是从特例引入，进一步理论指出其对一般情况也成立。

式中 V 为整个磁场分布的空间。

dVB

WVm

2

2

1

② 在整个磁场中，磁场能为

84


例 10-20 有一截面为长方形的螺绕环、通电流 I ，共有 N 匝，尺寸如图，内有磁导率为的磁介质，求其自感系数。

解：方法一：直接计算。

由安培环路定理 IldH

NIrH 2r

NIB

2

hdrr

NIR

R

1

2

2

1

1

2ln2 R

RNIh

R1

R2

dl

则通过每一匝线圈的磁通为

r h

dr

I

NL

1

22

ln2 R

RhNL

85


方法二：用能量的方法。dV

BdVwW

VmVm

2

2

1

r

NIB

2

drrhdV 2

rdrhr

NIW

R

Rm

2

22

12

2

1

2

2

1LIWm

1

22

ln2 R

RhNL

1

222

ln4 R

Rh

IN

R1

R2

hr

dr

86


例 10-21 　用磁场能量的方法计算同轴电缆单位长度的自感系数。解：设内导体上的电流I只分布在表面上，内、外导体的圆截面半径为21RR和，介质磁导率为。

21RrRB 只分布在区域内且

r

IB

2

2

2

1Bw

I I

R1 R2

⊕⊙B B

r

因磁场分布具有轴对称性，所以取体积元为drrldV 2

I I

⊕⊙B B

r

R1 R2

r dr

22

22

42

1

r

I

22

2

8 r

I

V

R

R

R

R R

R

π

lIμ

r

dr

π

lIμπrdrl

rπ

IμwdV

2

1

2

1 1

222

22

2

ln44

28

W

87


解 2 ： LI

L m 求用

1

2ln22

2

1 R

RlIldr

r

IR

Rm

则单位长度的自感系数为1

2ln2 R

R

lIL m

I I

r dr

取面元如图，则面元所在处的磁感强度为

r

IB

2

ldrr

IdsBd m

2

通过两柱面间的磁通为

由可得单位长度的同轴电缆的自感1

2

2 R

Rln

2I

2WL

2

2

1LIW

R1 R2

第十章电磁感应 §10-1 电磁感应定律 §10-2 动生电动势感生电动势 §10-3...

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