电磁场与电磁波基础 - xidian.edu.cn2018/03/13 · 主讲：徐乐....
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电磁场与电磁波基础 主讲：徐乐
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电磁场与电磁波基础
主讲：徐乐
电磁场与电磁波绪论
• 电磁场理论的地位和作用
– 是一门重要的专业基础课
• 通过电磁场和电磁波传递信息是现在以及将来通信
的一种主要手段，因此必须掌握其基本规律；
• 是进一步学习一些后续课程的基础；
– 电磁场理论的研究与科学技术的发展息息相关
• 很多发现和发明都是以电磁场理论的研究为基础；
指南针、电话、电报、电动机、发电机……
静电场
• 静电场是指相对于观察者而言静止的电荷所产生的场。
–人们对静电现象认识可追溯到两千多年前，早在公元前585年，希腊哲学家泰勒斯（Thales）就记载了用木块摩擦过的琥珀可以吸引细小的物体。
–对静电场系统性、科学性研究开始于1785年法国科学家库仑（Chavles Augustin Coulomb，1736～1806）发现了以其名字命名的“库仑定律”。
–库仑定律和迭加原理一起，构成了静电场的理论基础。
• 这节课将从库仑定律和迭加原理出发，得出描述真空中静电场的基本方程，进而讨论介质中的静电场，静电场的基本解法以及静电场的能量。
库伦定律
• 库仑定律
– 实验定律• 真空中两个静止的点电荷间相互作用力的定律
– 库仑定律可用矢量式表示为：
• R=r-r′表示从r′到r的矢量；R是r′到r的距离
• ε0表征真空电性质，称为真空的介电常数，其值为
30
'4q q RF
R
mF /1036
110854.8 9120
30
' ( )( )4 | |q q r rF r
r r
库仑定律
• [例1]有三个点电荷电量分别为 ，它们处于边长1m的等边三角形顶点上，如图示，求 q3所受的力。
• [解]
6 121 2 310 C 10 Cq q q ，
1 23 1 1
2 2 2y x xr a r a r a
， ，
1 1
2 2
3 1 12 23 1 1
2 2
y x
y x
r r a a r r
r r a a r r
，
，
3
3 1 1 2 23 3
0 1 2
931 2
0
( ) ( )4
3 1 3 1 9 3 104 2 2 2 2
q
y x y x y
q q r r q r rFr r r r
q q a a q a a a
库仑定律
• 电荷密度
– 为了定量地描述电荷在区域内分布的疏密程度，引入电荷密度的概念。
3 2
0 0 0( ) lim (C / m ) lim (C / m ) lim (C / m)s lV s l
q dq q dq q dqr r rV dV s ds l dl
库仑定律
• 分布电荷对点电荷的作用力
– 以体电荷为例
• 取 处体积元 ，则 中电量为：
• 将 看作点电荷，则对电荷q的作用力为：
• 由迭加原理可知体积V对电荷q的作用力为：
Vd Vd r
dq r dV
dq
Vdrrr
rrqrFd q
3
04
Vq VdrrrrrqrF
3
04
库仑定律
• 分布电荷对点电荷的作用力可以统一地表示为：
regionq qdrrrrqrF 3
04
线电荷
面电荷
体电荷
ldrsdr
Vdrqd
l
s
电场强度
• 电场强度– 两个电荷之间互不接触却能相互作用，这种作用是通过电场
进行的。
• 电场是一种特殊的物质，看不见摸不着，但可以通过带电体的相互作用来检验它，也可以由相互作用的强弱来度量电场的强弱。
• 用来描述电场强弱的物理量是电场强度。我们定义位于点处的单位正电荷所受的力为该处的电场强度。用表示，其单位为牛顿/库仑（N/C）。
– 定义，在 处放置点电荷q（试探电荷），它所受的力
为 ，则该处的电场强度为：
r
qrF
rE q
rFq
电场强度
• [例2]一圆环均匀分布总量Q的电荷，求其轴线上距圆心d处的电场强度。
• [解]
2
cos sin
l
z
x y
Qa
r dar a a a a
30
2
302 20 2
3 32 2 2 22 2
0 0
14
cos sin14
2 4
ll
x y zl
lz z
r rE r dlr r
a a a a daa d
a d
da dQa aa d a d
‘
电场强度
• 电力线– 为形象地描述电场，引入电力线的概念；
– 电力线是这样的一组曲线，其上任一点处的切线方向都与该点处的电场方向一致，电力线的密度正比于电场强度的大小；
– 电力线的方程为：
– 电力线具有以下特点：
• 1．起始于正电荷，终止于负电荷。
• 2．在空间无电荷区域，电力线不相交。
zyx Edz
Edy
Edx
通量与散度
• 电通量
– 垂直穿过某一曲面的电力线的数目称为穿过该曲面的电通量。
– 在S上取一面元 ，它的投影为
• 则穿过的电通量为：
– 穿过面积S的电通量为：
– 若S为闭合曲面，则：
sd
cosd E ds E ds
sE ds
sE ds
cosds ds
通量与散度
• 高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。
• [引例]计算位于球心处的点电荷q所产生的电场中穿过半 径为r的球面的电通量。
• [解]点电荷在球面上的电场强度为：
所以可知：
显然，矢径方向与面元法向一致，则：
穿出以q为球心的球面的电通量与球面大小无关，在
无电荷区域，电力线数目不会增加也不会减少。16
304 rrqE
ss
sdr
rqsdE 3
04
2 22 2 20 0
0 0 0
0 0
1 1 sin4 4 4
44
s s
q ds q qds r d dr r r
q q
通量与散度
– 根据迭加原理，对于多个点电荷或分布电荷，仍有：
– 其中Q是所包围的总电荷。
• 在真空中，穿过电场中任一封闭曲面的电通量等于它所包围的电
荷总量的1/ε0倍，这就是真空中的高斯定理。
– 高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电
荷间的关系。
– 分析一个点的情形要用微分形式。如果闭合面内的电荷是
密度为ρ的体分布电荷，则高斯定理可以写为
0QsdE
s
0
E
通量与散度
• [例3] 如图示，求穿过S的电通量
• [解]
显然，S内仅包含三个点电荷源
q1 ，q2 ，q3
而， q4 ，q5 位于S外，对穿出S的电通量没有贡献；
由高斯定理知，穿过S的电通量应为：
S
1 2 3
0 0s
q q qQE ds
通量与散度
• [例4]在半径为a的球内分布着密度为ρ的电荷（ ρ为常 数），求球内、外任一点的电场强度。
• [ 解 ]由对称性知电场只有矢径方向的分量
取S面为所给球体的同心球面，则S上有：
由高斯定理知：
1、若S在球面内：
2、若S在球面外：
sdE //
1
3
10
43s
rE ds
32
1 1 1 1 10 0 0
44 , ( )3 3 3
r r rE s E r E E r a
33 3
22 2 22
0 0 0
443 3 3
a a aE r E E r r ar r
2
3
20
43s
aE ds
通量与散度
• [例5]半径为a的无限长圆柱上轴对称分布密度为ρ(r)= 3r 的电荷，求柱内、外任一点的电场强度。
• [ 解 ]由对称性知电场强度只有r方向分量
柱内可知：
同理可得柱外：
1 2 3
0
2
s s s sE ds E ds E ds E ds
QE rL
2
0 0
2 3
02 3 2
r
r
Q r r dr d L
r dr L r L
2
0r
rE a
3
0r
aE ar
利用高斯定理求解电场，关键在于封闭曲面S的选择
环量与旋度
• 静电场是矢量场，我们已经讨论了其散度与通量，现在开始研究它的旋度与环量。
• 首先，认识一个常用公式：
• 再看电场强度：
• 其中，利用了积分对源点进行，算子▽对场点进行。 24
31 '
' 'r r
r r r r
30 0
0
1 ( ')( ') 1 1( ) ' ( ') '4 4 ''
1 1( ') '4 '
V V
V
r r rE r dV r dVr rr r
r dVr r
环量与旋度
• 电场强度可表示为一个标量位函数的负梯度
• 这个标量函数就是静电场的位函数，简称为电位；
• 电位的单位是伏(V)， 因此电场强度的单位是伏/米(V/m)• 分布电荷在场点r处的电位为
• 对于位于源点r′处的点电荷q，其在r处产生的电位为
E
VdV
rrrr '
')'(
41)(
0
'4)(
0 rrqr
环量与旋度
• 由矢量场理论知：
• 静电场是无旋场，其在任意闭合回路的环量为零； • • 静电场是保守场，沿某一路径的积分仅与起点和终点位
置有关，而与路径无关
• 称φ(P)-φ(P0)为P与P0两点间的电位差(或电压)
0lE dl
0 00( ) ( )
P P
P PE dl dl P P
0E
环量与旋度
• 电位满足的微分方程
– 无源区域ρ=0，则电位微分方程变为
– 上述方程为二阶偏微分方程，称为拉普拉斯方程。其中▽2
在直角坐标系中为
0
E
E 0
2
2 0
2
2
2
2
2
22
zyx
环量与旋度
• 等位面
– 电场中电位相等的曲面称为等位面，等位面的方程是
– 例如，点电荷的等位面是以点电
荷位置为球心的一组同心球面。
– 由矢量场知识可知电场中任一点
电力线都垂直于通过该点的等位
面，且指向电位下降的方向。
, (c )c 是常量
E
环量与旋度
• [例7] 位于xoy平面半径a、圆心在原点的带电圆盘，面电荷密度为ρs，如图示，求z轴上的电位。
• [ 解 ] 由面电荷产生的电位公式：
0
2 '2 1/ 2
2
2 '2 1/ 20 00
2 2 1/ 2
0
( ')1( ) '4 'ˆ ˆ ˆa , ' 'cos 'a 'sin 'a
' ( ) , ' ' ' '' '( ) '
4 ( )
[( ) | |]2
SS
z x y
aS
S
rr dSr r
r z r
r r z dS ddz d
z
a z z
环量与旋度
• [例8] 求均匀带电球体产生的电位。
• [ 解 ] 已知均匀带电球体的电场为：
由电位定义知，当r>a时：
当r<a时
0r 3
20
( )3
3
r r aE
a r ar
radr
radrE
rr r0
30
20
30
33
220
02 3a
r rr a
rE dr E dr a
环量与旋度
• 真空中静电场的基本解可归纳为
– 静电场是一个无旋、有源(通量源)场– 电荷就是静电场的源 – 电力线总是从正电荷出发到负电荷终止
0QsdE
s
0
E
0E
0lE dl
当“电场”遇见“介质及边界”
• “无界”“真空”中
• “介质”中
– 介质中的场方程
• “有界”
– 边界条件
0QsdE
s
0
E
0E 0
lE dl
电偶极子
• 电偶极子是由间距很小的一对等值异号的点电荷所构成的一种电荷分布
• 由迭加原理，r处产生的电位为：
• 因为 ，故可将上式展开，
略去一些次要项，可得：
)
2
1
2
1(4
)(0 lrlr
qr
lr
2
1 1 (1 )2
2
r lr rlr
2
1 1 (1 )2
2
r lr rlr
304 rrpr
lqp
称为电偶极子的矩，简称电偶极矩
电偶极子
– 电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向
– 它定义为电荷q乘以有向距离
• 电偶极子的电场
– 电场强度与电位的关系：
l
E
304
p rE rr
3
1 ˆ,r p qlr r
是常矢
304
rE r pr
pr
rrp
rrp
rrrprE
230
350
34
134
1
( ) ( ) ( )( ) ( )
A B B A B AA B A B
( ) x y zB B BA B A A Ax y z
电偶极子
• 球坐标系下电偶极子的电场强度：
– 球坐标系下:
• Note1：电偶极子的电位和电场分别与 和 成反比；而 点电荷的电位和电场分别与 和 成反比；这 是由于电偶极子的正负电荷在远 场的贡献有一部分相互抵消。
• Note2：电偶极子的场分布具有轴对称性
sincos aappap rz
sincos2
4 30
aar
pE r
2r 3rr 2r
电偶极子
• 外电场对电偶极子的作用
– 当电偶极子放入外电场中，
其两端均受到电场力的作用
– 外电场对电偶极子总作用力
– 如果外电场是均匀的，即 处处相等，
则电偶极子所受的力 – 显然，电偶极子中心不会发生位移。
q
-q
2lrEqFq
2qlF q E r
E
22
lrElrEqFFF qq
0F E
电偶极子
– 外电场对电偶极子中心的力矩
– 显然， 故电偶极子将围绕其中心转动，直至
– 即 的取向与电场方向平行
2 2
2 2 2 2
q ql lM F F
l l l lq E r q E r
q l Ep E
0M
0M
p
q
-q
E
介质极化
• 从电特性讲，物质有导电与不导电之分：
– 导电的物质称之为导体：
• 其内部有大量自由电荷，在外电场作用下可做宏观
运动。
– 不导电的物质(绝缘体)称为电介质或介质：
• 介质中的带电粒子被约束在介质的分子中，不能做
宏观运动，在外加电场作用下介质内带电粒子会做
微观位移，使分子产生极化。 [email protected]
介质极化
• 不论是有极分子还是无极分子构成的介质，在外电场作用
下，其内部分子中的正、负电荷都沿电场方向重新排列，
形成一系列等效电偶极子，这种现象叫介质的极化。
• 在一定的外电场下，不同介质的极化程度不同；同一介质
在不同外电场作用下的极化程度也不同。
• 为定量描述介质的极化程度，引入极化强度矢量 ，介质
中 处的极化强度定义为该处单位体积内的偶极矩，即：
2
0lim mC
VprP
V
束缚电荷
• 介质极化后，其内部电荷的重新排列，
出现沿电场方向的一系列等效电偶极子。
– 若外电场和介质都是均匀的，则电偶极
子排列的结果使得介质内部正负电荷相
互抵消，在介质表面出现一层面电荷。
– 若介质或外加电场不均匀，则介质内部
出现体电荷，这些电荷被紧紧地束缚在
分子内，不能自由移动，称为束缚电荷。
• 束缚电荷在空间激发电场，介质中的总电场是外加电场与束缚电荷产生的场之和，因此，介质中的电场不同于真空中的电场。
束缚电荷
• 定义：介质极化后在其表面出现的束缚面电荷密度和其内 部产生的束缚体电荷密度分别为：
– Note：略去算符▽上一撇是因为此处只涉及源点坐标
• 束缚电荷的电位表达式
S p
p
P n
P
0 0
1 14 4
S p p
S VdS dV
r r r r
束缚电荷
• 回顾分布电荷电位：
– 体电荷电位
– 面电荷电位
• 由束缚电荷的电位可知
– 相当于面电荷密度
– 相当于体电荷密度
0 0
1 14 4S V
PP n dS dVr r r r
VdV
rrrr '
')'(
41)(
0
sS
0
( ')1( ) s4 '
rr dr r
nP
P
束缚电荷
• 在以上分析中，是以场点选在介质外部为出发点引出
的，但得到的结果对于极化介质内部任一点的电位计
算也同样适用；
• 通过电位表达式可以求出极化介质产生的电场；
• 此处得到的电位电场是仅考虑束缚电荷的贡献而得到
的，空间的总电场需要再加上自由电荷(外加电荷)产
生的场。
