第七章 电磁现象

学习本章的目的及要求：

重点掌握磁感应强度及其求解方法和思路重点掌握磁感应强度及其求解方法和思路

重点掌握磁场对电流的作用重点掌握磁场对电流的作用

重点掌握感应电动势重点掌握感应电动势

• 磁场是客观存在的一种特殊物质，处于磁场中的任何运动电荷和电流都会受到磁场所施加的作用力。

§7－ 1 磁感应强度、磁通量

• 任何运动电荷和电流除产生电场外，在其周围空间还会产生一种特殊的场——磁场。

一 . 磁感应强度 在研究磁场的性质时，在磁场中引入一个运动着的正电荷—检验电荷，简称运动电荷。它的磁场很弱，不会影响原来的磁场，研究运动电荷在磁场中受力的情况来了解磁场的性质。设运动电荷的电量为 q ，运动速度为 v ，它在磁场中运动时受到的磁场力用F 表示，通过磁场对运动电荷的作用力的实验，可得到下面的规律：

① 磁场力 F 的大小与电荷的运动方向有关。当运动电荷沿着或逆着磁场方向运动时，所受的磁场力 F=0 ；当运动电荷垂直磁场

方向运动时，所受的磁场力最大， F=Fmax 。

② 作用在运动电荷上的磁场力 F方向总是与运动电荷的运动方向垂直。

Fmax的大小与运动电荷的电量和速度成正比，但比值 Fmax/qv 只与磁场的位置有关，而与 qv 无关，对于磁场中某定点来说比值 Fmax/qv 为一常数，因此它反映了磁场中给定点的性质。

　　同电场中引入电场强度来描述电场中某点电场的大小一样，在磁场中引入一个描述磁场中某点磁场大小的物理量，这就是磁感应强度，，用 表示，它是一个矢量。。B

a)a)　大小由下式定义　大小由下式定义：：

qv

FB

max

mF

b)b) 方向用右手螺旋定则确方向用右手螺旋定则确定定 :: 四指指向正电荷受四指指向正电荷受力 的方向力 的方向 ,, 沿小于 沿小于 的角度转向电荷运动 的角度转向电荷运动的方向的方向 (( 的方向的方向 ),), 则则拇指指的就是该点磁感拇指指的就是该点磁感应强度的方向。应强度的方向。

　　常用单位还有高斯，用常用单位还有高斯，用 GG 表示表示，，

11GG=10=10-4-4TT

c)c)在在 SISI 制中， 的单位是特斯拉，用制中， 的单位是特斯拉，用 TT 表表示示

B

二 . 磁感应线 .磁通量 磁场中的高斯定理

1 、磁感应线 为了使磁感应线能定量描述磁感应强度的大小，规定（画图时）：通过磁场中某点垂直于磁场方向的单位面积上的磁感应线的条数等于该点磁感应强度 B的大小。

2 、磁通量 定义：通过磁场中任一给定曲面的磁感应线的总条数，称为通过该曲面的磁通量，用 Φ表示。

dsBdscosBd sss n

dsds

nn

BB

SS

3. 磁场中的高斯定理 因为磁感应线是闭合的，所以穿进闭合曲面的磁感应线等于穿出闭合曲面的磁感应线 ,即通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量为零。

0dScosBs

它表明磁场是涡旋场。。

在 SI制中，磁通量的单位是韦伯，用 Wb 表示 , 1Wb=1Tm2 。

高斯定理表达式高斯定理表达式

一 .毕奥—沙伐尔定律

电流或运动的电荷所产生的磁场中的磁

感应强度的计算是 由毕奥—沙伐尔定律给

出的。

§7－ 2毕奥—沙伐尔定律 及其应用

2r

sinIdlkdB

lId

Bd

r

PP

如图，电流元如图，电流元 IdlIdl 是是

矢量，写做矢量，写做 IdlIdl ，，

方向是方向是 dldl 处处 II 的方的方

向，电流元向，电流元 IdlIdl 在在

空间任一点空间任一点 pp 产生产生

的磁感应强度的磁感应强度 dBdB 的的

大小为大小为 ::

称为真空磁导率，

4

k0在 SI制中，比例系数

dB 的方向为 的方向由右手螺旋定则确定rld

毕奥—沙伐尔定律200

4 r

rlIdBd

ATm104 170

二、毕奥二、毕奥 -- 萨伐尔定律的应用萨伐尔定律的应用 利用毕萨定律求 B

取电流元 lId

确定 的方向 ,写出 的表示式Bd

dB

确定 的方向 ,写出该方向 的分量式B

Bd

统一变量 ,积分求解。 三种典型载流导线的磁场 载流直导线的磁场 (II 、、 aa 、、、、、、 )

Bd

ll

OO

aa

rr

II

PP

dldl

由毕由毕 -- 萨定律萨定律 , , P P 点点的 大小为的 大小为Bd

20

r4

sinIdldB

L rIdl

B 20

4sin

由于直导线上所由于直导线上所有电流源在有电流源在 PP 点产生点产生的 方向都相同，的 方向都相同，所以所以

Bd

B 的方向垂直板面向内

actgal ctg

dadl 2sin

sinar

d

aI

B sin4

2

1

0

210 coscos

4

aI

Bd

ll

OO

aa

rr

II

PP

dldl

结论结论：：

aI

B 2

0上式变为 对于长直导线 L来说，只要 a«L ，即在导线的附近，都可以应用上式。电流源或一段载流直导线在其延长线上不产生磁场。无限长载流直导线周围的磁感应线是一些同心圆。

21 ,0 若导线为无限长 ,则

作业： 1 、如图，电流 I=4A 的无限长直导线，中部弯成半径为 a=0.11m 的半圆环形，求环中心 O 点处的磁感应强度。 (B=1.110-5T)

PP

bb rrII

II II

OO

2 、如图：一宽为 b 的薄金属板，其电流为 I ，试求在薄板的平面上，距板的一边为 r 的 P 点的磁感应强度？

)ln2

( 0

r

br

b

IB

圆形载流导线 (圆电流 )轴线上的磁场 （ I 、 R 、 a 、 S)

、、RR

OO aa

、、

PP

rr

II

dldl

Bd

xx

解：

2

0

4 r

IdldB

R

r

IRdl

r

IRdBB

r

IdldB

r

R

r

IdldBdB

2

0 3

20

30

//

3

0

//

2

0

//

24

4

)(sinsin4

sin

2322

0

2322

20

2222

)(2)(2

,

aR

SI

aR

IRB

RSaRr

IIB

B 的方向沿 X轴正向，可用右手螺旋定则确定。如图

、、RR

OO aa

、、

PP

rr

II

dldl

Bd

xx

在远离线圈的轴线上， a»R, 即 a=r ，则

30

30

3

20

3

20

2222 r

SI

a

SI

r

IR

a

IRB

R

IB

20

结论：在圆心 O 处， a=0 ，则

载流直螺线管的磁场（载流直螺线管的磁场（ ll 、、 II 、、 RR 、、 nn） ）

解： 由右手定则知每一圆形电流在P点产生的 dB方向都相同，沿轴线向右。

RR

PP

ll

rrßß22

ßß11 ßß

dldl

..AA

2322

20

)(2 aR

IRB

应用圆形电流轴线上任一点

将 dB 、 Indl 、 R2 ＋ l2 代入

L lR

RnIdldBB

2322

0

)(2

Rctgl 2sin

dRdl

sin

Rr

2

2222

sin

RrlR

2322

20

)(2 lR

nIdlRdB

dnIdB sin

20

)cos(cos2 120

nI

2

1

sin2

0

dnIB

（ ß1, ß2 为螺线管两端对 P 点的张角）

结论：若螺线管为无限长，则 ß1＝ π, ß2＝0 ，管内各点的 B＝ μ0nI ，方向与轴线平行。半无限长螺线管的一端，如 A 点，则 ß1

＝ π/2, ß2＝ 0 ，管内各点的 B＝ μ0nI/2 ，方向与轴线平行。

作业：

2 、环形螺线管线圈的平均直径为 0.15m, 环的截面积为 7.010-4m2 ，环上绕有 500 匝导线。导线的电流强度为 0.60A,求通过圆环截面的磁通量。 (5.610-7wb)

RR

1 、半径为 R 的园片均匀带电，电荷面密度为 σ ，令该园片以角速度 ω 绕通过 其中心且垂直于园平面的轴旋转，求：轴线上距园片中心为 x 处的 P 点的磁感应强度。

)22

2(

22

220

x

Rx

xRrB

§7－ 3安培环路定律及其应用

一、安培环路定律一、安培环路定律

以无限长载流直导线为例讨论以无限长载流直导线为例讨论安培环路定律。安培环路定律。如图 如图

问题：

静电场中的环路定理 L

ldE 0

L

ldB ?

由图：

IdI

rdr

IdrB

LL0

2

0

00

22cos

则

cosdlrd

积分结果只与包围在闭合曲线内的电流有关，而与闭合曲线的形状无关，这一结论对任何形式的电流和多个电流产生的磁场都成立，即

IldlBL

0cos

rr

rr

IIdldl

B

dd、、

AA

安培环路定律：在电流周围的磁场中，磁感应强度沿任何闭合曲线的积分与通过闭合曲线内电流强度的代数和成正比。电流 I的正负由右手螺旋定则确定。。

II11II22

LL二 .安培环路定律的应用计算具有对称性磁场的磁感应强度。

具体计算方法：1)选取积分回路，规定积分方向2)判断电流正负

典型磁感应强度的计算：1) 求长直螺线管内的磁场（ n

、 I ））

aa bb

dd cc

PP

3) 由安培环路定律求 B

管外磁场很弱， B＝ 0管内由安培环路定律得

nIabIabB

ldBldB

dlBdlBdlB

a

d

d

c

c

b

b

aL

00

coscos

coscoscos

nIB 0

方向沿轴线向右

2)无限长载流圆柱导体内外的磁场

（ （ RR ，， II 均匀分布）均匀分布）II

RR

rrBB

PPLL

r >Rr >R

rBldB 22

r

IB

2

0

r < Rr < R II

RR

rrBB

PPLL

rBldBL

2

2

22

2 R

Irr

R

II i

2

0

2 R

IrB

仿此例，可以算无限长载流直导线、圆柱面、圆管及其共轴组合的磁场。

例题：

如图，一半径为 R2＝ 0.05m 的金属薄圆筒，通以 I＝ 20A的电流。电流由圆筒轴处的半径为R1＝ 1.0×10-3m 的细导线流回，筒的长度 l＝ 20m ，求：1)筒内距轴 r＝ 0.02m 处 P点的

B值，2)筒外距轴 r＝ 0.10m 处 Q点的

B值。

IIRR22

rrHH

PPLL

IrBdlBdlBLL

02cos 1)1)

解： 解：

r

IB

2

0

＝＝ 2.02.01010 －－ 44 T T

2)2) IdlBL

0cos

0

0

外B

I

§7§7 －－ 4 4 磁场对电流的作用磁场对电流的作用一、磁场对运动电荷的作用

洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。BvqF

大小：： sinqvBF

方向：用右手定则， ， 如图： ：

Fq<0q<0

B

F

v

v

v//

q>0q>0

R rdr

l

R1

R2

R3

作业：1 、电流 I 均匀地流过半径为 R 的园形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过 图中所示剖面的磁通量。 2 、如图同轴电缆，两导体中的电流均匀分布，电流强度均为 I ，流向相反，试计算以下各处的 B 值。 (1)r<R1(2)R1< r<R2(3) R2< r<R3(4)r>R3

)4

(0

I

21

01

2(

R

IrB

r

IB

2

02 2

22

3

2230

3 2 RR

rR

r

IB

)04 B

二、洛仑兹力的应用

霍耳效应

当电流沿垂直于外磁场的方向流过导体时，在垂直于电流和磁场方向的导体两侧将出现电势差，这种现象称为霍耳效应霍耳效应，相应的，相应的电势差称为霍耳霍耳电势差。如图：如图：

1)推导：

设导电板宽 l ，厚 d ，电流 I ，载流子浓度 n

漂移速度 v 。

nqld

Iv

em ff

即l

UqqvB

AB

vBlUAB

又 nqvldI l

B

Iv

A

BX

Z

dfm

fe

nqk

d

IBk

d

IB

nqBl

nqld

I

u

u

AB

AB

1

1

K 称为霍尔系数

2)应用

三、磁场对电流的作用

1 、磁场对载流导线的作用

磁场对载流导线的作用力称为安培力安培力。。

导线上任一线元 dl 所受磁场力

nesvI

nsdlevBdF

sin

dlIBdF sin

方向由右手定则确定

即： BdlIFd

B

ldI

Fd

所以载流导线在磁场中受安培力为：

LL

dlIBdFF sin

2 、磁场对载流平面线圈的作用

以矩形线圈为例 , 如图：

FF11

FF22

B

aa

II

n

bb

cc

dd

ll11

ll22

FF22’’

FF11’’

FF22

FF22’’

cos2

1l

n

B

向上 sinsin' 11 IBldlIBFad

向下 sinsin 11 IBldlIBF

bc

F2=IBl2 F2’=IBl2

两者形成力偶，产生使线圈绕轴转动的磁力矩

coscos2

'2cos2

2 2111

lIBll

Fl

FM

sincos NIBSIBSM

若线圈有 N匝，则

nNISPm

为载流线圈的磁矩

它反映载流线圈本身的特性，则

sinBPM m

此式适用于任意形状的载流平面线圈，即平面载流线圈整体在均匀外磁场中不受力，但受到一磁力矩的作用，它总是力图使线圈的磁矩转到外磁场的磁感应强度的方向。

2

时，平面线圈所受力矩最大

0 时， M=0 ，线圈处于稳定平衡状态。

＝时， M=0 ，线圈处于非稳定平衡状态。

作业： 1 、一束带电粒子，电量均为 e ，以相同的速率v=1.0×105m·s-1 垂直入射到一均匀磁场 B 中，绕半周后打到一照相底片上，这束粒子含有质量为 m1

、 m2 的两种粒子，且 m1- m2=1.67×10-27kg 。今欲使它们在底片上分开 5.2mm ，求 B 应多大。

(B=0.40T)2 、如图，一根长直导线载流 I1=30A ，矩形回路载流 I2

=20A ，试计算作用在回路上的合力，已知 d=1.0cm b=8.0cm l=0.12m 。(F=1.2810-3N)

II22

II11 ddbb

ll

3 、半径为 R 的半圆形闭合线圈 N 匝，通有电流 I ，线圈放在均匀外磁场 B 中， B 方向与线圈法线成 600 角，求：（1 ）线圈磁矩 （ 2 ）此时线圈所受磁力矩。

(P=NIR2/2 M=

)4

3 2RNIB

一、电磁感应现象 §7§7 －－ 5 5 电磁感应及其基本规律

11 、法拉第电磁感应定律—试验定律、法拉第电磁感应定律—试验定律

导体回路中的磁通量发生变化时产生感应电动势的现象，称为电磁感应现象。二、电磁感应定律

导体回路中感应电动势导体回路中感应电动势的大小与穿过该回路的大小与穿过该回路的磁通量的时间变化率的磁通量的时间变化率 d/dt 成正比。成正比。

用公式表示 dt

d

方向的确定：I. 任意标定回路的绕行方向，并规定回路中的方向与标定的绕行方向一致时， 为正；反之为负。

II.规定标定回路的绕行方向与回路的正法线 满足右手定则。则当磁场由下向上穿过回路，即 与 的夹角为锐角， >0 ， 为正；反之为负。

n

B n

方向的确定：

>0 ，且磁场在增加，

d/dt >0 ，则 <0 ， 与标定方向相反

nB

>0 ，且磁场在减小，

d/dt <0 ，则 >0 ， 与标定方向相同

若回路共有 n匝线圈，且每匝的磁通量

均相等，则有 dtdn

2、楞次定律1)表述一 闭合回路中所产生的感应电流，总 是使得它所激发的磁场阻碍引起感应

电流的磁通量的变化。

SN

表述二： 感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。

2)用楞次定律判定感应电流的方向三、感应电动势

磁场不变 导体运动 动生电动势

导体不动 磁场变化 感生电动势

1 、动生电动势

c

d

导体中每个电子受洛伦兹力为：

Bef

v)(

洛伦兹力提供动生电动势的非静电场力，与之对应的场强为：

BE ef

D

v

方向：在电源内部由负极指向正极。

__

)( ldBldED

v

结论：导体（闭合或 不闭合）在磁场中运动，切割磁感应线时产生动生电动势。

lldldl

LL

AA

OO

B

解：解：

dlBldBd D vv

)(

L

LD ldlBdlB0

v

2

2

1LB

例题：长为 L 的导体棒在匀强磁场 中绕其一端以 逆时针转动，求棒两端的动生电动势。

B

方向由 A 指向 O

xx dxdx

aa ll

AA DD

II VV解：

ldBd D

)(v

dxxIv

2

0

la

a

la

a DD dxx

Ivd

2

0

a

laIv ln

20

方向由 D指向 A， A为正极， D为负极

例题：一长直导线通有电流 I，一长为 l的导体棒 AD 以 平行直导线匀速运动，棒的近端距导线为 a，求：棒 AD 中的动生电动势。

v

2 、感生电动势

当导体回路不动 ,磁场变化时 ,回路中有感应电流，说明回路中有感应电动势存在。驱使电荷运动的力既不是洛仑兹力 ,也不是静电力 ,而是一种新的力。 麦克斯韦认为：变化磁场在其周围

ww EE

感生电场，场强记为 的存在与导体无关 ,其在闭合回路中产生的感生电动势

dt

dldE

L ww

空间产生涡旋状电场，称为涡旋电场或

相同：对电荷有力的作用。涡旋电场与静电场比较：

不同：

0 (w wE dS E

、 源 ，力 合）

保守场）cL c EldE

(0非保守场）ww E

dt

dldE

(

(c i cE dS q E

、 有源 ，力 不 合）

涡旋电场由变化磁场激发静电场由电荷激发

dt

dldEEldE

EEE

Lwc

L

wc

)(

例题：在半径 R 的圆柱形区域内有一匀强磁场 ，且 正以 的速率增加求空间涡旋电场的分布。

B

dt

dBB

解：做圆形闭合回路，半径为 r，取顺时针为感生电动势标定方向。

柱内： r < R

Br 2

dt

dldE

L w

dt

BrdrEw

)(2

2

rEw 2

1

22 rdt

dBr

rr EE 涡涡

LL

rrLL

EE 涡涡

RR

OO

柱外： r >R

BR2

22 Rdt

drEw

r

REw 2

2

rr EE 涡涡

LL

rrLL

EE 涡涡

RR

OO

一、如图，一个半径为 R的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流 I在柱面上均匀分布，求半圆柱面轴线 OO’上的磁感应强度。

OO

O’O’

II

xx

yy

RR

zz习题课

解：本题可将半圆柱面分割成宽度为 dl=Rd的细直电流，将细电流在轴线上产生的磁感应强度叠加，即为半圆柱面轴线上的磁感应强度。

dIR

dB

20

它在轴线上一点激发的 磁感应强度大小为

长直细线中的电流 IdI dl

R

方向如下图示，

与 dl的对称的 dl’在轴线上激发的 dB’方向如图示，两者在 Y 轴方向分量抵消，即

0cosdBBy

B 的方向指向 X 轴。R

IRd

R

I

RdBBB x 2

0

0

0 sin2

sin

则轴线上总的磁感应强度的大小为

dBdB

dldl

OO xx

yy

θθ

dl’dl’dB’dB’

I

二、电流 I均匀地流过半径为 R的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过 图中所示剖面的磁通量。

R rdr

l

解：由安培环路定理知导线内部距轴线为 r处的磁感应强度

20

2 R

IrB

故穿过面元 ds(ds=ldr) 的磁通量 Bdsd

420

0 20 I

drR

IrBldr

R

s

三、求图中导线所受到的安培力为三、求图中导线所受到的安培力为多少？多少？

RR

BB

OO

II ll

BIRdBIR

IdlBdFF y

2sin

sin90sin

0

解：两段直线部分所受的安培力大小相等，方向相反，当导线形状不变时，两力平衡，由对称性可知，半圆弧受安培力 F的水平分量相互抵消为零，故有：

BB

OO

II ll

θθddθθ

xx

yy dFdFdFdFyy

dFdFxx

dF’dF’

II22

II11 ddbb

ll

解：由题知，上下两段导线受安培力 F1 ， F2大小相等，方向相反，相互抵消。

II22II11

FF11

FF44

FF22

FF33

d

lIIF

2210

3 )(2210

4 bd

lIIF

故合力大小为

N

bd

lII

d

lIIFFF

3

21021043

1028.1

)(22

方向指向直导线。

四、一半径为四、一半径为 RR 的薄圆的薄圆盘，放在均匀磁场盘，放在均匀磁场 BB 中中，， BB 的方向与盘面平行的方向与盘面平行，圆盘表面上电荷面密，圆盘表面上电荷面密度为度为 σσ，圆盘以角速，圆盘以角速度度 ωω绕通过盘心并垂绕通过盘心并垂直盘面的轴转动，求作直盘面的轴转动，求作用在圆盘上的磁力矩的用在圆盘上的磁力矩的大小。大小。

rrRR

OO

BB

任取横截面

解：旋转的带电圆盘可等效为一组同心圆电流，在圆盘上取宽度为 dr的细圆环，其等效圆电流为 dI。

t

qI

在细圆环上取一截面，若圆环旋转一周，则通过此截面的电量为

rdrq 2 而圆环旋转一周所用的时间

2

Tt rdrrdr

t

qdI

22

其磁矩为 drrdIrSdIdm 32

所以圆盘的磁力矩为

4

0

3

4

1BRdrBrBdmM

R

五、如图，半径为五、如图，半径为 RR的半圆形导线的半圆形导线 OPOP 置于置于均匀磁场均匀磁场 BB 中，导线以中，导线以速率速率 vv 水平向右运动，水平向右运动，求导线中的感应电动势求导线中的感应电动势εε 的大小，哪端电势较的大小，哪端电势较高？高？

vv

PP

OO

B

RR

vvPP

OO

RRθθ

ddθθ

xx

yy Bvddll

解：建立如图坐标系在解：建立如图坐标系在导体上任取电流元导体上任取电流元 dldl，则，则

RdvB

dlvB

dlBvd

cos

cos90sin

)(

2/

2/2cos

RvBdvBRd

PP 端电势较高。端电势较高。