中原工学院　理学院

任课教师　曾灏宪

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12 电磁感应

12.1 电磁感应定律

大学物理（下）

12 电磁感应

法拉第 （ Michael Faraday,

1791-1867 ），伟大的英国物理学家和化学家 . 他创造性地提出场的思想 ，磁场这一名称是法拉第最早引入的 . 他是电磁理论的创始人之一 ，于 1831 年发现电磁感应现象，后又相继发现电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以及光的偏振面在磁场中的旋转 .

静电场、稳恒电流的磁场 不随时间而变化

如果电场、磁场随时间变化什么现象？什么规律？

三个实验现象 N S

× × × × ×

× × × × ×

× × × × ×BFm v

A

B

当穿过一个闭合导体回路所围面积的磁通量发生变化时（不论这种变化是由什么原因引起的），在回路中就有电流产生——该现象称为电磁感应现象产生的电流称为感应电流相应的电动势为感应电动势

结论：

一 电磁感应现象

当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势，且感应电动势正比于磁通量对时间变化率的负值 .

国际单位制Φ 韦伯

i 伏特

t

Φi d

d

二 电磁感应定律电磁感应定律

1 ）闭合回路由 N 匝密绕线圈组成

NΦ磁通匝数（磁链）

2 ）若闭合回路的电阻为 R ，感应电流为

t

Φ

RI

d

d1i

时间内，流过回路的电荷12 ttt

2

1

dt

ttIq )(

1d

121

2

1

ΦΦR

ΦR

Φ

Φ

td

di

讨论：

0d

d t

n

N

S

0

0

判断步骤 :

a. 先任意规定一个方向为回路的正方向，且回路所围面积的正法线与其构成右手螺旋；

b. 确定磁通量的正负 , 然后确定磁通量增量的正负

c. 由法拉第电磁感应定律确定感应电动势的方向 , 若为正，则与回路正向一致，若为负，则相反。

n

0d

d t

N

S

0

0反抗 Φ 变化

N

S

i

0d

d t

3 ）感应电动势的方向td

di

N

S

B

v 闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的变化（反抗相对运动、磁场变化或线圈变形等） .

F

三 楞次定律

td

di

N

B

S

v

N

S

B

v

用楞次定律判断感应电流方

向

I

I

楞次定律 闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因 . 增反减同

12.2 动生电动势和感生电动势

大学物理（下）

12 电磁感应

稳恒磁场中的导体运动 , 或者回路面积变化、取向变化等 动生电动势

导体不动，磁场变化 感生电动势

引起磁通量变化的原因

SdB

1 ） B ：

2 ） S ：

如果两种情况同时存在呢？

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

v

B

O

P

设

动生电动势的非静电力来源 洛伦兹力

-

mF

- -

++eFBeF

v)(m

平衡时 kem EeFF

Be

FE

vm

k

OP

lB

d)(v OP

lE

dki

BllBl

vv 0i d

p

oi

非静电场强

根据电源电动势的定义

ldB )(v 就是动生电动势的“方向”，指向高电势一端

一 动生电动势

特例

(1) 适用于一切产生感应电动势的回路 td

d

ld)B(b

ai

v(2) 适用于切割磁力线的导体

说明：

LL ii ld)B(d

v

(3) 闭合回路中的动生电动势为

在磁场中运动的任意形状的导线，其动生电动势为：

lBv

d 注 : 动生电动势只存在于运动导体内。

动生电动势的计算（两种方法）

(2) 由法拉第定律求t

m

d

d

如果回路不闭合，需加辅助线使其闭合。 大小和方向可分别确定。

(1) 由电动势定义求

lBlELL K

d)(d v动

（经内电路）

动 lB

d)(v

1. 导体回路不动，由于磁场变化引起穿过回路的磁通量变化 , 产生的感应电动势叫感生电动势。

2. 非静电力：涡旋电场力 ( 感生电场力 )

BvqEqEq

感静

电荷受力： BqEqF

v

非静电力：

非静电场强： 感EEK

感感 EqFFK

产生感生电动势的非静电场 感生电场 麦克斯韦尔假设 变化的磁场在其周围空间激发一种电场，这个电场叫感生电场 .感E

二 感生电动势

由电动势定义：

LL K lE d

感 lE

d感

由法拉第定律：

S

m SBdt

d

t

d

d

d感

SL

SBdt

dlE

dd

感得：

tB

感E

3. 感生电场与变化磁场之间的关系

SL

St

BlE

dd

感

因为这里只有 发生变化，所以也可以写成

0d

d

t

B

B

感E

感E

B

感E

感E

0d

d

t

B

0d SEs

感 感生电场是无源场，没有源电荷。

感生电场是非保守场。0d lEL

感

(2)

(3)

(1) 感生电场线闭合成环讨论：

4. 两种电场比较

静止电荷 变化磁场

内静 qSEs

0

1d

0d L lE

静

有源，保守场

0d s SE

感

lEL

d感

St

BN

S

d

无源，非保守场 ( 涡旋 )

不能脱离源电荷存在 可以脱离“源”在空间传播

静Eq

静F

感Eq

感F

作为产生 的非静电力，可以引起导体中电荷堆积，从而建立起静电场 .感F

感

起源

性质

特点对场中电荷的作用

联系

静电场 感生电场

5. 感生电动势的计算两种方法：

1. 由电动势定义求（ 已知或容易求出 ）感E

L感 lE

d感 或 感

（经内电路）

感 lE

d

2. 由法拉第定律

SdBdt

dN

t s

m

d

d感

若导体不闭合，需加辅助线构成闭合回路。

因为回路固定不动，磁通量的变化仅来自磁场的变化

感应电流不仅能在导电回 路内出现， 而且当大块导体与磁场有相对运动或处在变化的磁场中时，在这块导体中也会激起感应电流 . 这种在大块导体内流动的感应电流 , 叫做涡电流 , 简称涡流 .

三 涡电流

SN

阻

尼

摆

工频感应炉

金属块应用 热效应、电磁阻尼效 应

涡电流加热金属电极

抽真空

金属电极

接高频

发生器

R

N

'o

o

ω i

B

ne 例 在匀强磁场中 ,

置有面积为 S 的可绕 轴转动的 N 匝线圈 .

若线圈以角速度 作匀速转动 .

求线圈中的感应电动势 .

已知 , , NS 求

解 设 时 ,0t

B

ne

与 同向 , 则 t

tNBSN cos

tNBSt

sind

d

令 NBSm

t sinm则

RR

N

'o

o

ω i

B

ne

tIR

i sinm

RI m

m

在匀强磁场中匀速转动的线圈内的感应电流是时间的正弦函数 . 这种电流称交流电 .

t sinm tIi sinm

B

例 均匀磁场如图垂直纸面向里 . 在垂直磁场的平面内有一个边长为 l 的正方形金属细线框，在周长固定的条件下，正方形变为一个圆，则图形回路中感应电流方向为 （ ）

（ A ）顺时针

（ B ）逆时针

（ C ）无电流

（ D ）无法判定2

22 4

42 ll

rlr

例 一个圆形环，它的一半放在一分布在方形区域的匀强磁场中，另一半位于磁场之外，如图所示，磁场的方向垂直向纸内，欲使圆环中产生逆时针方向的感应电流，应使（ ）

（ A ）圆环向右平移 （ B ）圆环向上平移 （ C ）圆环向左平移 （ D ）磁场强度变弱

B

　 例 圆柱形空间内有一磁感强度为 B 的均匀磁场， B 的大小以恒定速率变化。在磁场中有 A 、 B 两点，其间可放直导线或弯曲的导线（ ）

（ A ） 电动势只在直导线中产生 .

（ B ） 电动势只在曲线中产生 .

（ D ）直导线中的电动势小于弯曲的导线 .

（ C ）电动势在直导线和曲线中都产生，且两者大小相等 .

A B

O

B

　 解：联结 OA 、 OB ，构成闭合回路 OABO （三角型）或OACBO （扇型）

A B

O

B

C

A

OlE 0dkBOOA

EE

ΔABOAB d

dS

t

BE

由于 SOABO < SACBOA故（ D ）正确 .

tlEOABO d

ddk

E

ACBOASt

B

d

dACBE同理

lElElEBO kAB kOA kOABO

ddd E

例 在圆柱形空间内有一磁感应强度为 的匀强磁场，如图 . 的大小以速率 变化，有一长度为 l 的金属棒先后放在磁场的两个不同位置 1 （ ab ）和2 （ ），则该棒放在这两个位置时棒内的感应电动势满足 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）

B

d / d 0B t

' 'a b

021 021

12 12

B

o

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

a b'a

.

'b

1

2

解

lBdv

L

llB0

d

L

lB0i dv

2i 2

1LB

lB

d)(d i v

例 1 一长为 的铜棒在磁感强度为 的均匀磁场中 , 以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转动，求铜棒两端的感应电动势 .

L B

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

o

P

B

（点 P 的电势高于点 O 的电势）

方向 O Pi

v

l

d

例 2 一长为 的铜棒在磁感强度为 的均匀磁场中，以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕 O 点旋转，已知 求铜棒两端的感应电动势 .

,lCO lOD 2

l3 B

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

*OC

D

B

22lB

等效电路

C D*O C 点电势高于 D 点电势

v

l

d vl

d l

iCO rBr0

dE

2

2

3lBiCD

22 lBiOD 同理

iODiCOiCD

解 lB

d)(d i v

例 3. 一段直导线在垂直于均匀磁场的平面内运动，已知导线绕其一端以角速度 转动时的产生的动生电动势与导线以垂直于导线方向的速度 作平动时产生的动生电动势相同，求导线的长度？

v

解 转动

平动

2

2

1BLi

vBLi

vBLBL 2

2

1v

L2

直导线 AB 以速率 v沿平行于长直载流导线的方向运动，AB 与载流直导线共面，且与它垂直。设直导线中的电流为 I, 导线 AB长为 L ， A 端到直导线的距离为 d.

I

L

xdx

解：利用动生电动势定义求解

d

例 4:

求：导线 AB上的感应电动势

方向为：x

IB

π20

dx上的动生电动势为

xx

ILd

dd

π2d 0 v

d

LdI ln

π20 v

负号表明： A 端电势高

A B

v

ldBd )(v

dxB cos

2sinv x

x

Id

π20 v

B

a

b cl2,0)( 2lBUUB ca

2,)( 22 lBUUlBC ca

2,)( 22 lBUUlBD ca

例：如图金属三角形框在均匀磁场中以角速度 绕 ab 边旋转，求回路感应电动势 和 a ， c 两点间的电势差 .

ca UU E

2,0)( 2lBUUA ca EEE

E

cbacbacbacm UUUUUE 00,0

例 5. 如图所示，一矩形导线框在无限长载流导线 I 的场中向右运动，求其动生电动势。

解法一： 方向 xI

B2

0

Bv

xIv2

0 方向

lBv

lBvN

M

L

d)(

d)(动

lBvP

N

d)( lBv

Q

P

d)( lBv

M

Q

d)(

M

vb

a

o

I

N

Q

P

x

B

Bv

l

d

x

02

d0

0

x

lIvb

0]

)(2

d[ 0

0

ax

lIvb

)(20

axx

Ivab

xbS dd

SBm

dd

x

xIb

2

d0

xI

B2

0解法二：

mm d ax

x x

xIb d

20

x

axIb ln

20

tm

d

d 动 )(20

axxIvab

v

方向

vb

aB

I

xo x

sd

t

x

xm

d

d

d

d

解：解法一连接 MN 形成一半圆闭合回路

x

IB

2

0

0d

d ti

总E

例 6 已知半圆导线与长直电流共面（ 如 图），半圆以匀速 沿直导线方向向上运动，求动生电动势 .

v

iNMiMCNi 总E EE

iMNiNMiMCN E E Exo

*

b

M N

C

v+B

I

'oa

v

l

d

M N

O’

C

babaI

ln

20

v

问： M 、 N 两端，何处电势高？x

IB

2

0babaI

iMCN ln

20

v

E

xxIba

baiMN d

20

vE

lBlBi dd)(d vv E

xo

*

b

M N

C

v+B

I

'oa

v

l

d

*oM N

I

C

v

b

a

Bv

)cos(2

cosdd)( 0

ba

lIlB

vv

)cos(2

0

ba

IB

2

,dd bl

令： tba cosdsind bt

解法二：直接计算半圆弧导线的动生电动势 .

+B

l

d

ba

bai ttI d

20

v

EbabaI

ln

20

v

)cos(dsin

2

π

0

0

babI

i

vE

例 7 一导线矩形框的平面与磁感强度为 的均匀磁场相垂直 . 在此矩形框上 , 有一质量为 长为 的可移动的细导体棒 ; 矩形框还接有一个电阻 ,其值较之导线的电阻值要大得很多 . 若开始时 , 细导体棒以速度 沿如图所示的矩形框运动 , 试求棒的速率随时间变化的函数关系 .

m lB

MN R

0v

解 如图建立坐标

棒所受安培力

Rv22lB

BlR

IBlF i

方向沿 轴反向ox

F

++ +

++ +

lRB

v

o xM

N

vBliE棒中 且由 M N I

Rv22lB

IBlF 方向沿 轴反向ox

棒的运动方程为

Rvv 22

d

d lB

tm

则 t

tlB

0

22

dd

mRvvv

v0

计算得棒的速率随时间变化的函数关系为tlB )( 22

e mR0vv

F

++ +

++ +

lRB

v

o xM

N

I

B

o

D

CB

A

a

2

a

a2 )2

1

32

1( 2 hADaBSB AEFDm

2

a

E F

例 1.均匀磁场被限制在半径为 a 的圆筒内，方向与筒轴平行，

求：梯形回路 ABCDA 的感应电动势0

d

d

t

B

解 通过梯形回路 ABCDA 的磁通量与通过 AEFDA 的磁通量相等

)16

3

6( 22 aaB

dt

dBa

dt

d 2)16

3

6( 感 方向

例 2 如图所示，有一半径为 r ，电阻为 R 的细圆环，放在与圆环所围的平面相垂直的均匀磁场中 . 设磁场的磁感强度随时间变化，且 常量 . 求圆环上的感应电流的值 .

d dB t

r

( )B t解

2d dd π

d dS

B BS r

t t

S

st

B

dt

d

dd

di

E

t

B

R

r

RI i

d

dπ 2

E

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +Bv

M

N

a

b

例 如图导体棒 ab 在均匀磁场中沿金属导轨向右做匀加速运动，（导轨电阻不计，铁芯磁导率为常数） 则达稳定后在电容器的 M 极板上

（ A ）有一定量的正电荷；（ B ）有一定量的负电荷；（ C ）带有越来越多的正电荷；（ D ）带有越来越多的负电荷。

作业

P160： 6； 7； 8； 10； 11； 12； 13； 14

版权声明

本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）下册》（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的“大学物理题库”。由 Haoxian Zeng 设计和编写的

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