KARMAŞIK (COMPLEX) SAYILAR

Karmaşık sayılara neden ihtiyaç duyuyoruz?

Karmaşık sayılarla uğraşmanın en zor yanı onlara neden ihtiyacımız olduğunu Karmaşık sayılarla uğraşmanın en zor yanı onlara neden ihtiyacımız olduğunu anlamaktır. Karmaşık sayıları tanımlamadan önce geriye dönüp yeni sayılara olan anlamaktır. Karmaşık sayıları tanımlamadan önce geriye dönüp yeni sayılara olan ihtiyaçları daha basit örneklerle anlatmaya çalışalım.ihtiyaçları daha basit örneklerle anlatmaya çalışalım.

İlk önce doğal sayıları öğrendik (0,1,2, …). Bu sayılar sayesinde “kaç tane” İlk önce doğal sayıları öğrendik (0,1,2, …). Bu sayılar sayesinde “kaç tane” sorusuna cevap verebiliyorduk. Onları işlemlere soktuk; toplama ve çıkarmayı sorusuna cevap verebiliyorduk. Onları işlemlere soktuk; toplama ve çıkarmayı öğrendik. Bunlar çok işimize yaradı fakat çıkarma işleminde bazı sayıları işleme öğrendik. Bunlar çok işimize yaradı fakat çıkarma işleminde bazı sayıları işleme soktuğumuzda sonuçların doğal sayılarla ifade edilemeyeceğini gördük (3-5, 2-3, …). soktuğumuzda sonuçların doğal sayılarla ifade edilemeyeceğini gördük (3-5, 2-3, …). Böylece negatif sayıları bulduk. Artık çıkarma işlemleri sonuçsuz kalmıyordu. Bu Böylece negatif sayıları bulduk. Artık çıkarma işlemleri sonuçsuz kalmıyordu. Bu sayılar sadece bazı matematik problemlerinde değil, günlük hayatta da –hava sayılar sadece bazı matematik problemlerinde değil, günlük hayatta da –hava sıcaklığı gibi- kullanılıyordu.sıcaklığı gibi- kullanılıyordu.

Bölme işlemleri yapmaya başladık fakat bazen, hatta çoğu zaman tam sayılarla Bölme işlemleri yapmaya başladık fakat bazen, hatta çoğu zaman tam sayılarla ifade edemedik sonuçlarımızı(3:5, …). Yeni sayılara ihtiyacımız vardı yine. Bu kez de ifade edemedik sonuçlarımızı(3:5, …). Yeni sayılara ihtiyacımız vardı yine. Bu kez de rasyonel sayılar çıktı karşımıza.rasyonel sayılar çıktı karşımıza.

Bu hikaye böyle uzayıp gider. Kareköklü sayılar, değişik hesaplamalar… Fakat Bu hikaye böyle uzayıp gider. Kareköklü sayılar, değişik hesaplamalar… Fakat biz bunlara değinmeyeceğiz. Artık yeni sayılara neden ihtiyaç duyduğumuzu biliyoruz.biz bunlara değinmeyeceğiz. Artık yeni sayılara neden ihtiyaç duyduğumuzu biliyoruz.

Bizi kompleks sayıları kullanmaya iten ise, sonucunu diğer sayılarla ifade Bizi kompleks sayıları kullanmaya iten ise, sonucunu diğer sayılarla ifade edemediğimiz denklemlerdir. Reform dönemlerinde bulunan bu sayılar gerçek kabul edemediğimiz denklemlerdir. Reform dönemlerinde bulunan bu sayılar gerçek kabul edilmez. İşlemlerde kolaylık sağlaması için bulunmuşlardır.edilmez. İşlemlerde kolaylık sağlaması için bulunmuşlardır.

Bir eşitlik verilse: x² - 1 = 0 Bu eşitliğin 2 çözümü vardır; x = -1 ve x = 1. Bunu koordinat düzleminde gösterecek olursak;

Bir başka eşitlik:x² + 1 = 0Grafiği inceleyelim.

Grafikten de anlaşılacağı gibi denklem için x değeri olmadığından çözüm yoktur.

DeğerlendirmeDeğerlendirme

İki denklemi bir de tablo üzerinde görelim:İki denklemi bir de tablo üzerinde görelim:

1. denklem çözülür; çünkü 1’in kökleri vardır (1 1. denklem çözülür; çünkü 1’in kökleri vardır (1 ve -1).ve -1).

2. Denklem çözülemez; çünkü -1’in karekökü 2. Denklem çözülemez; çünkü -1’in karekökü yoktur. Başka bir deyişle kendisiyle yoktur. Başka bir deyişle kendisiyle çarpımı -1 olan bir sayı yoktur.çarpımı -1 olan bir sayı yoktur.

1. DENKLEM1. DENKLEM 2. DENKLEM2. DENKLEM

xx²-²-1 = 01 = 0 xx²+²+1 = 01 = 0

xx²² = 1 = 1 xx²² = -1 = -1

““i” Sayısıi” Sayısı

Bu tanıma göre: Bu bilgi ile i’nin diğer kuvvetlerini bulabiliriz.

ÖRNEK: i³ = i². i = -i “i” sayısını diğer sayılarla çarpıp toplayabilsek de çoğunu gerçek sayı haline getiremeyiz.

ÖRNEK:1. 4i2. 3+2i3. 8-i

(-i)² = -1 eşitliğini ele alırsak sonucun gerçek sayı olduğunu görürüz ve bunun sebebi ise; i² ve -i²’nin -1’e eşit olmasıdır. Her ikisi de 2. denklemin çözümleridir.

Tanım:

Karmaşık SayılarKarmaşık Sayılar

A ve b birer reel sayı olmak üzere z = a+bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (complex) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi C şeklinde gösterilir:

z = a + bi karmaşık sayısında:

a = karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı = Re(z)

b = karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı = İm(z)

ÖRNEK:

i² = -1 ve z = 3 – 4i ise,

Re(z) = 3 Re(z) = -4

ÖRNEK:

x² - 2x + 5 = 0 denkleminin köklerini bulalım: Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

∆ = b² - 4ac

= (-2)² - 4 . 1 . 5

= -16’ dır.

İki Karmaşık Sayının Eşitliği

O halde, verilen denklemin kökleri,

Reel ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan karmaşık sayılar eşittir.

z1 = a + bi

z2 = c + di

a = c ve b = d olmak üzere,

z1 = z2 dir.

Bir Karmaşık Sayının EşleniğiBir Karmaşık Sayının Eşleniği

Z = a + bi karmaşık sayısı için, z’ = a – bi sayısına z nin eşleniği denir.

ÖRNEK:

1. z = 4 + İ ise z’ = 4 – i dir.

2. z = -8 + 2i ise z’ = -8 – 2i dir.

3. z = 5 ise z’ = 5 tür.

4. z = 2i ise z’ = -2i dir.

Rasyonel kat sayılı, axRasyonel kat sayılı, ax²² + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri z = m + + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan z = m – ni sayısıdır.ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan z = m – ni sayısıdır.

Dört İşlemDört İşlem Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır;

ÖRNEK:

z1 = 2 – i

z2 = -3 + 4i

ise

z1+ z2 = (2 – 3) + (-1 + 4)i = -1 + 3i dir.

Çıkarma İşlemi

Karmaşık sayılarda çıkarma işlemi yapılırken reel kısımları ve sanal kısımları kendi aralarında çıkarılır.

ÖRNEK:

z1 = 2 – 1

z2 = -3 + 4i

İse

z1 – z2 = (2 + 3) – (-1 – 4)i = 5 – 5i

Çarpma İşlemiKarmaşık sayılarda çarpma işlemi, i² = 1 göz önüne alınarak reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

ÖRNEK:z1 = 2 – iz2 = -3 + 4İisez1. z2 = (2 – i).(-3 + 4i)

= -6 + 8i + 3i – 4i²= -6 + 11i + 4= -2 + 11i olur.

ÖRNEK:(2 – 1)³ . (2 – i)³ işleminin sonucunu bulunuz.(2 – 1)³ . (2 – i)³ = [(2 – 1).(2 – i)]³

= [2² + 1²]³= [4 + 1]³= 125

Bölme İşlemi

Pay ile paydanın paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır.

ÖRNEK:

z1 = 2 + i

z2 = 1 – 2i ise z1 in z2 ye bölümünü bulunuz.

Karmaşık düzlemde x ekseni reel eksen, y ekseni imajiner eksen alınır.z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü (a,b) noktasıdır.

ÖRNEK:z = 3 + 2i karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü (3,2) noktasıdır.

Karmaşık Düzlem ve Bir Karmaşık Sayının GörüntüsüKarmaşık Düzlem ve Bir Karmaşık Sayının Görüntüsü

Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü)Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü)

Karmaşık düzlemde bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının butlak değeri (modülü) denir ve l z l şeklinde gösterilir.

Mutlak Değerle İlgili Özelikler I z l = I –z I = I z’ I = I –z’ I I z1.z2 I = I z1l . l z2 l I z ª I = I z Iª z . z’ = I z I² I z1I – I z2 I ≤ I z1± z2 I ≤ I z1 I + I z2 I

I z – z0 I = r şartını sağlayan z karmaşık sayılarının kümesi z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.

I z – z0 I < r ifadesi merkezi r0, yarıçapı r olan çemberin iç bölgesindeki noktaların kümesini gösterir.

I z – z0 I > r ifadesi merkezi r0, yarı çapı r olan çemberin dış bölgesindeki noktaların kümesini gösterir.

ÖRNEKLER:

Karmaşık Sayı ve Çember İlişkisiKarmaşık Sayı ve Çember İlişkisi

ÇÖZÜMLERİÇÖZÜMLERİGÖRMEKGÖRMEK

İÇİNİÇİNTIKLAYINTIKLAYIN

BAŞA DÖNBAŞA DÖN