บทที่4 ระบบสมการเชิงเส้น ...บทท 4...

ตวสบายคณต เลม 2 http://www.pec9.com บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

1

บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

4.1 ระบบสมการเชงเสน

บทนยาม ให a1 , a2 , ….. , an , b เปนจ ำนวนจรงใดๆ ท a1 , a2 , ….. , an ไมเปนศนยพรอมกน เรยกสมกำร a1x1 + a2 x2 + …. + an xn = b วำสมกำรเชงเสน n ตวแปร โดยท x1 , x2 , …. , xn เปนตวแปร

บทนยาม ระบบสมกำรเชงเสนทม x1 , x2 , …. , xn เปนตวแปร หมำยถงชดของสมกำรเชงเสนทประกอบดวยสมกำรเชงเสนทม x1 , x2 , …. , xn เปนตวแปรจ ำนวน m สมกำร โดยท m > 2 ค ำตอบของระบบสมกำรน คอจ ำนวน n จ ำนวน ทน ำไปแทนตวแปร x1 , x2 , …. , xn ในทกๆ สมกำรตำมล ำดบ แลวไดสมกำรทเปนจรงทงหมด

1. จำกระบบสมกำร x + 3y = 8 x – 2y = 3 คำของ x y มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –3 2. – 1 3. 3 4. 5


2

2. จำกระบบสมกำร 2 x + 3y = 22 x – y = –4 คำของ x + 2 y มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –14 2. – 12 3. 12 4. 14 3(แนว Pat1) จำกระบบสมกำร x + y + z = 6 x – y + z = 2 x + y – z = 0 คำของ x

zy มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 2 2. 6 3. 8 4. 12


3

4. จำกระบบสมกำร x + 2y – z = 3 3 x + y = 6 2 x + y = 1 คำของ z มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. – 20 2. – 16 3. –12 4. –8 5. จำกระบบสมกำร x – y + 2 z = –3 y – 3 z = 5 x + 4 y – 8 z = 17 คำของ z

x y มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 4 4. 8


4

6. จำกระบบสมกำร 2 x – 3 y + z = 8 – x + 4 y + 2 z = –4 3 x – y + 2 z = 9 คำของ x y z มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 4 4. 8 7. จำกระบบสมกำร 2 x + 2 y + 3 z + 2 t = 11 x + y + 3 z + 4 t = 1 x + y + 2 z + 2 t = 6 2 y + 5 z + 2 t = 5 คำของ z t มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 4 4. หำคำไมได


5

4.2 เมทรกซ ( Matrix )

เมทรกซ คอกลมของจ ำนวนซงเรยงกนเปนแถว แถวละเทำๆ กน ภำยในเครองหมำย [ ]

เชน A =

232 9743 23451

ขอตกลงเบองตนเกยวกบเมทรกซ 1. เรำนยมใชอกษร A , B , C , … เปนชอของเมทรกซ 2. สงทอยในเมทรกซ เรยกวำสมาชกของเมทรกซ 3. สมำชกทเรยงกนอยในแนวนอนแตละแนว เรยกวำแถว (Row) สมำชกทเรยงกนอยในแนวตงแตละแนว เรยกวำหลก (Column ) เชน

4. เรำจะใช ai j แทนสมำชกของเมทรกซ A ซงอยในแถวท i และหลกท j เชนจำกตวอยำงเมทรกซ A ขำงตน จะไดวำ a12 = –5 , a24 = 7 , a31 = 9

5. รปกำรคณของ แถว x หลก เรยกวำมตของเมทรกซ เชนเมทรกซ A ขำงตน ม 3 แถว และ 4 หลก ดงนน มตของ A = 3 x 4 6. เมทรกซศนย ( 0 ) คอ เมทรกซทมสมำชกทกตวเปนศนยหมด ไมวำจะมกแถวหรอกหลกกตำม 7. เมทรกซสลบเปลยนของ A ( At อานวาเอทรานสโพส ) คอเมทรกซทเกดจำกกำรสลบสมำชกของ A จำกหลกท i ไปเปนแถวท i นนคอ ถำ A = [ aij ] m x n แลว At = [ aji ] n x m

2 3 2 97 4 3 23 4 51

หลก หลก หลก หลก ท 1 ท2 ท3 ท4

แถวท 1 แถวท 2 แถวท 3

A =


6

เชน ถำ A =

232 9743 23451

จะไดวำ At =

27 3 344

235

92 1

ฝกท า. ก ำหนดให A =

5

4

2

123

765

143

1) จงเขยนสมำชกในแถวทสอง 2) จงเขยนสมำชกในหลกทสำม 3) จงหำคำของ a12 , a23 และ a34 4) จงบอกมตของเมทรกซ A

5) จงเขยนทรำนสโพสของ A

การเทากนของเมทรกซ บทนยาม ให A = [ ai j ]m x n และ B = [ bi j ]m x n A เทำกบ B กตอเมอ ai j = bi j ส ำหรบทกๆ i { 1 , 2 , … , m } และ j { 1 , 2 , … , m } และเขยน A = B แทน A เทำกบ B นนคอเมทรกซ A และ B จะเทำกนกตอเมอ A และ B มมตเดยวกน และมสมำชกในต ำแหนงทตรงกนมคำเทำกนโดยตลอด

เชน

07

31

52 =

07

91

52


7

8. ก ำหนดให

0

y

2

4

x

3

=

0

2y

2

4

12x

3

คำของ x + y มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


07

yx

52

=

0

71x

2y 52 คำของ x y มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


8


dc

ba =

42x

23 และ c = a – 2b + d แลว x มคำเทำกบเทำใด

การบวกเมทรกซ บทนยาม ให A = [ai j]m x n และ B = [bi j]m x n เมทรกซ A บวกกบเมทรกซ B คอเมทรกซ [ci j]m x n เมอ ci j = ai j + bi j ส ำหรบ ทกๆ i { 1 , 2 , … , m } และ j { 1 , 2 , … , m } และเขยน A + B แทน A บวกกบ B นนคอ 1) เมทรกซ A และ B จะบวกกนกตอเมอ A และ B มมตเดยวกน 2) ผลบวกเมทรกซ A กบเมทรกซ B จะหำไดจำกกำรน ำสมำชกทอยตรงต ำแหนงเดยวกนมำบวกกน ฝกท า. จงพจำรณำวำเมทรกซทก ำหนดใหบวกกนไดหรอไม ถำบวกกนไดจงหำผลบวก

1. 1 3

5 2

2 5

3 4

, 2.

5

2

7

1

0

3,

2

5

1

7

3

0

3.

0

0

8

5

4

3 ,

43

21 4.

5. 6.


9

การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง บทนยาม ถำ A = [a i j]m x n และ c เปนจ ำนวนคำคงตว ผลคณ ของ c กบเมทรกซ A คอเมทรกซ [b i j]m x n เมอ b i j = c ai j ส ำหรบทกๆ i { 1 , 2 , … , m } และ j { 1 , 2 , … , m } และเขยน cA แทนผลคณ c กบเมทรกซ A นนคอกำรคณ c กบเมทรกซ A ใหน ำ c กระจำยคณกบสมำชกของ A ทกตว

ฝกท า. ก ำหนดให A =

54

31 และ B =

12

40 จงหำเมทรกซตอไปน

1. 4A 2. –3B 3. –A 4. 2B – 3A

11. ก ำหนดให A =

32

20

412

84 และ B = kA โดยท kR และ b23 = 8

แลว b11 + b23 มคำเทำกบเทำใด


10


524

642

311

, B =

146

210

424

และ C = 2A + 21 B แลว

C13 + C31 มคำเทำกบเทำใด

คณสมบตเกยวกบการบวกเมทรกซ

1. คณสมบตปดของการบวก ถำ A และ B เปนเมทรกซ m x n ใด ๆ แลว A + B เปนเมทรกซ m x n เสมอ

2. คณสมบตการสลบทส าหรบการบวก ถำ A และ B เปนเมทรกซ m x n ใด ๆ แลว A + B = B + A เสมอ

3. คณสมบตการเปลยนกลมไดของการบวก A + (B + C) = (A + B) + C

4. คณสมบตการมเอกลกษณการบวก A + 0 = 0 + A = A

เรยก 0 วาเปนเอกลกษณการบวก 5. คณสมบตการมอนเวอรสการบวก

A + (–A) = (–A) + A = 0 เรยก –A วาเปนอนเวอรการบวกของ A

คณสมบตเกยวกบการคณเมทรกซดวยตวเลข 1. c (A + B) = c A + c B เมอ c เปนคำคงตว

2. (c + d) A = c A + d A เมอ c , d เปนคำคงตว 3. ( c d ) A = c ( d A ) เมอ c , d เปนคำคงตว 4. 1A = A และ 0 A = 0


11


1

2

41

01 , B =

0

3

22

11

ถำ 3X + 2(A – B) = 2 ( X + 2A) แลวเมตรกซ X คอขอใดตอไปน

1.

2

10

122

20 2.

2

10

122

20

3.

6

15

264

15 4.

2

10

122

20

การคณเมทรกซดวยเมทรกซ บทนยาม ถำ A = [ai j]m x n และ B = [bi j] n x m

ผลคณ A x B หรอ AB คอเมทรกซ C = [ci j]m x n โดยท ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + .... + ain bnj

ฝกท า. จงหำผลคณตอไปน

1.

0

5

2

134 2.

6

4

2

215 3.

2

530


12


1.

2

3

8

753

401

812

2. 3.

4

3

2

1

2323

2432

3451


1.

4

3

4

0

3

4

5

1

0123

0412

3021

2. 3.


13

14. ก าหนดเมทรกซ A , B ดงน A =

23

21 , B =

43

12

แลวเมทรกซ AB และ BA เทากบขอใดตอไปน

1. AB =

50

74 , BA =

29

21 2. AB =

50

74 , BA =

50

74

3. AB =

29

21 , BA =

29

21 4. AB =

29

21 , BA =

50

74

ผลคณของเมทรกซ A B จะหาคาไดกตอเมอ จ านวนหลกของ A ตองเทากบจ านวนแถวของ B (เพอใหลากไปซอนทบกนไดสนทพอด) และผลคณทไดจะมจ านวนแถวเทากบ A และมจ านวนหลกเทากบ B เสมอ

หลก A ตองเทากบแถว B

ผลลพธจะมมตเปน m x p คอมแถวเทากบ A มหลกเทากบ B

Am x n x Bn x p


14

ฝกท า. ตอไปนขอใดสำมำรถหำผลคณได ขอทหำผลคณไดใหบอกมตของผลคณนนดวย

1. 45 03

12

2.

4

3

4

0

3

4

5

1

0

7

1

5

3

4

7

2 3.

3

0

8

122

4.

21

00

6

1

3

2

4

5 5. 14 0

3

6.

y

x

24

51

15. ก าหนดเมทรกซ A , B , C ดงน

A =

12

31 , B =

031

231 , C =

23

10

21

แลวเมทรกซ ABC เทากบขอใดตอไปน

1.

433

2122 2.

1115

124 3.

42

1115

124

4.

42

312

32


15

16. ก าหนดเมทรกซ A , B , C ดงน

A =

12

31 , B =

031

231 , C =

23

10

21

แลวเมทรกซ A2 – 2 BC เทากบขอใดตอไปน

1.

70

07 2.

51

37 3.

32

67 4.

102

614

17. ก าหนดให A =

311

211 เมทรกซ X ทท าให A + X = 2A – X คอขอใด

1.

311

211

- 2.

622

422

- 3. 2

1

311

211

- 4. 3

1

311

211

-


16


23

11 เมทรกซทบวกกบ A แลวไดเมทรกซ 2At คอขอใด

1.

25

71 2.

23

11 3.

42

62 4.

32

67


23

11 เมทรกซทบวกกบ A แลวไดเมทรกซ A2 คอขอใดตอไปน

1.

25

71 2.

23

11 3.

16

23 4.

16

23


17

20. ให A =

23

11 เมทรกซทบวกกบ A แลวไดเมทรกซ

tz

yx เมอ x , y , z , t

เปนจ านวนจรง คอขอใดตอไปน

1.

1t1z

2y3x 2.

2t3z

1y1x

3.

t3z

3y2x 4.

23t1z

1y12x

21. ก าหนดให a , b เปนจ านวนจรงซงไมเทากบ 0 และ A =

000

b00

1a0

จ านวนเตมบวก n ทนอยทสดทท าให An = 0 มคาเทากบเทาใด


18

สมบตทเกยวกบการคณเมทรกซ และเมทรกซสลบเปลยน ( transpose ) ถำ A = [ai j] m x n , B = [bi j] n x p , C = [ci j] p x q

1. A ( B C ) = ( A B ) C 2. 0r x m Am x n = 0r x n และ Am x n 0n x p = 0 m x p

3. ( c A ) B = A ( c B ) = c ( A B ) เมอ c เปนคำคงตว 4. A (B + D) = AB + AD เมอ D เปน n x p เมทรกซ

5. (A + E ) B = AB + EB เมอ E เปน m x n เมทรกซ 6. (A + F)t = At + Ft เมอ F เปน m x n เมทรกซ 7. ( A B )t = Bt At 8. ( At )t = A 9. (c A )t = c At เมอ c เปนคำคงตว

4.3 เมทรกซ 2 x 2

เมทรกซ 2 x 2 คอเมทรกซทม 2 แถว และ 2 หลก เชน

13

21 เปนตน

4.3.1 เอกลกษณการคณของเมทรกซ 2 x 2

เมทรกซเอกลกษณกำรคณ 2 x 2 คอเมทรกซ เขยนแทนดวยเมทรกซ I

ซงมสมบต คอ I A = A และ A I = A เมอ A คอเมทรกซ 2 x 2 ใดๆ 4.3.2 อนเวอรสการคณของเมทรกซ 2 x 2

บทนยาม ให A เปน n x n เมทรกซ ถา B เปน n x n เมทรกซทมสมบตวา A B = B A = In แลวจะเรยก B วาเปนอนเวอรสการคณ (inverse of a matrix) ของ A และเขยน แทน B ดวย A–1 อาจเรยกอนเวอรสการคณสนๆ วาอนเวอรส กได สตรส าหรบหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ 2 x 2

ถำ A =

dc

ba

จะไดวำ A–1 =

a c

bd bc)(ad

1


19

22. ถาเมทรกซ A =

11

34 แลวเมทรกซ A–1 คอขอใดตอไปน

1.

31

41 2.

43

11 3.

41

31 4.

34

11

23(แนว มช) ก าหนดให A =

24

3 4 , B =

11

20 และ S = A + 3 B

จะได S–1 = …….. เมอ S–1 คออนเวอรสการคณของเมทรกซ S

1.

41

31 2.

41

31 3.

41

31 4.

41

31

24. เมทรกซ A ทมมต 2 x 2 ทงหมดซง A2 = I2 คอขอใดตอไปน 1. A 2. A–1 3. A2 4. I


20

25. ให A =

51

42 , B =

5

3 จงหาคาของ x + y ทไดจากสมการ A–1

y

x = B

1. 27 2. 54 3. 65 4. 88

26. ถา X เปนเมตรกซ 2 x 2 โดยท X

21

31

23

12 แลว X เทำกบขอใด

1.

34

57 2.

76

33 3.

76

33 4.

52

4 1


21

27(แนว En) ก าหนดให A เปนเมทรกซ และ I เปนเมทรกซเอกลกษณมต 3 x 3

ถา B=

1 2 1

3 0 1

2 1 0

และ

120

213

320

=C สอดคลองกบสมการ

AB – AC – I = 0 แลว A–1 เมทรกซในขอใดตอไปน

1.

112

110

201

2.

224

220

402

3.

112

110

201

4.

224

220

402

28. ก าหนดให A และ B เปน 2 x 2 เมทรกซ โดยท

A + B =

21

1331 และ 3A – 3B =

01

11

แลว A–1 เทากบขอใดตอไปน

1.

33

03 2. 3

1

33

03 3.

11

01 4. 3

1

11

01


22

สมบตเกยวกบอนเวอรส 1) (A–1) –1 = A 2) (A–1) t = ( At ) –1

3) ( A .B ) –1 = B–1A–1


1 3 1 2 , B =

2 15 3 แลว (A–1B) –1 ตรงกบขอใด

1.

12 5 7 3 2.

2 73 11 3.

12 5 7 3 4.

2 73 11

4.3.3 ดเทอรมแนนตของเมทรกซ 2 x 2

ถำ A =

dc

ba แลวดเทอรมแนนต A เขยนแทนดวย det (A) หรอ

dc

ba

คอจ านวนจรง ad – bc เชน ถำ

จะไดวำ det A = (2)(6) – (4)(3) = 12 – 12 = 0

เมทรกซทมดเทอรมแนนทเปนศนย เรยกเมทรกซเอกฐาน ( Singular Matrix )

A =

64

32

(2)(6)

(4)(3)


23

30(แนว มช) ก าหนดให x 98

65 – 6

18

75 = 0 แลว x มคำเทำกบเทำใด

สมบตของดเทอรมแนนตของเมทรกซ 1. ถำ det(A) = det(B) ไมจ ำเปนวำ A ≠ B

2. det (A B) = det(A) det(B) 3. det (A1) det(A) = 1 หรอ det (A–1) = 1

det A 4. det ( kA) = kn (det A)

5. det At = det A 6. (det Ap) = (det A)p

7. det In = 1 8. det 0 = 0

ฝกท า. ก ำหนดให 20

31A

และ

21

43B จงหำคำของ

1. det (A) 2. det (B) 3. det (AB ) 4. det (BA) 5. det (A + B)


24

ฝกท า. ก ำหนดให 20

31A

และ

21

43B จงหาคาของ

1. det (A–1) 2. det (B–1) 3. det (2A) 4. det (–A) 5. det (B2 ) 6. det (At ) 7. det (Bt )


4321 , B =

0 312 , C =

3412 และ D =

4232

แลว det ( ABCD ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –24 2. –10 3. 10 4. 24


25


2 23 1 และ B =

4 11 2 แลว det ( 2A–1B2 )t มคา

เทากบขอใดตอไปน 1. –58 2. –49 3. –30 4. –24

33. ก าหนดให

11

23

dc

ba

22

35 =

41

32 แลว

dc

ba เทากบขอใด

1. 43 2. 1 3. 4

5 4. 2


26

34(แนว มช) ก าหนดให AB =

1 4

7 12 และ B = แลว det (A2) เทากบเทาใด


1 10 2 และ A2 = B–1 A คาของ det (2B) ตรงกบขอใดตอไปน

1. 21 2. 1 3. 2

3 4. 2


27


32

1 a , B =

35

1 2 คาของ a ทท าให AB–1 เปนซงกลาร-

เมทรกซตรงกบขอใดตอไปน 1. 3

2 2. 1 3. 23 4. 2

37. ให A =

c1

1c และ det (2A2) + (1 – c2)3 det(A–1)t = 45 ขอใดเปนเซตของคา c

1. { –3 , –2 , 5 } 2. { 2 , 3 , – 5 } 3. { – 2 , 2 , 3 } 4. { 2 , –2 }


28

4.4 เมทรกซ n x n

4.4.1 เอกลกษณการคณของเมทรกซ n x n บทนยาม ส ำหรบจ ำนวนเตมบวก n ใดๆ จะให In = [ ij k ] n x n ซงมสมำชกดงน

k j เมอ 0

k j เมอ 1 kji

เรยก In วำเมทรกซเอกลกษณ (identity matrix) มต n x n ( In อำจเขยนเปน I กได)

เชน I1 = [ 1 ] , I2 = , I3 =

100

010

001

, I4 =

1000

0100

0010

0001

( สงเกตวำสมำชกทอยในแนวเสนทแยงมมลงขวำจะเปน 1 ทกตว สวนสมำชกอนจะมคำเปน 0 หมด )

สมบตของเมทรกซเอกลกษณเหลำนคอ I A = A และ A I = A

4.4.2 การหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ n x n

ตวอยาง จงหำคำดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =

025

011

243

แนวคด วธท 1 คณทะแยง ( วธนใชส ำหรบเมทรกซ 3 x 3 เทำนน ) ขนท 1 น ำสมำชกหลกท 1 และหลกท 2 มำเขยนเพมตอทำยเมทรกซ ขนท 2 น ำสมำชกทอยในแนวเสนทะแยงมมตำมแผนภำพ คณเฉยงลงไป 3 รอบ แลวน ำผลลพธมำรวมกนไวดำนลำง ตำมดวยคณเฉยงขนอก 3 รอบแลวน ำ ผลลพธมำรวมกนไวดำนบน ขนท 3 น ำผลรวมจำกกำรคณเฉยงลงดำนลำง มำลบดวยผลลพธจำกกำรคณเฉยง ขนดำนบน จะไดค ำตอบเปนดเทอรมแนนตของเมทรกซทนท


29

det ( A ) = 4 – 10 det ( A ) = –6

วธท 2 ใชตวประกอบรวมเกยว (cofactor) หลกการ dat (A) = a11 C11(A) + a12 C12(A) + …… + a1n C1n(A)

เมอ Cij(A) เรยกตวประกอบรวมเกยว (cofactor) ของ aij คอผลคณของ (–1)i + j กบ Mij(A) Mij(A) เรยกไมเนอร (minor) ของ aij คอดเทอรมแนนทของเมทรกซทไดจำกกำรตดแถวท i และ หลกท j ของ A ออก

ขนท 1 เลอกแถวหรอหลกทม 0 มำกทสดมำ 1 แถวหรอ 1 หลก เชนขอนเลอกหลกท 3 ขนท 2 คดเฉพำะสมำชกทไมเปน 0 ขอนคอแลข 2 (a13) หำไมเนอร (minor) ของ a13 โดยตดสมำชกแถว และหลกทอยตรงกบเลข 2 ออก ( ตดสมำชกทอยตรง กบเลข 2 ทงแนวดงและแนวนอน ) แลวน ำสมำชกท เหลอมำดเทอรมแนนต

จะไดวำ M13(A) = 25

11 = (1)(2) – (5)(1) = –3

025

011

243

เลอก

025

011

243

10 + 0 + 0 = 10

0 + 0 + 4 = 4

det ( A ) =

2 5 0 2 5

1 1 0 1 1

4 3 24 3


30

ตำมดวยหำตวประกอบรวมเกยว (cofactor) ของ a13 จำก Ci j(A) = (–1)i + j Mij(A) จะได C13(A) = (–1)1+3 M13(A) = (–1)4 (–3) = –3 ขนท 3 หำ det (A) จำก det (A) = a13 C13(A) = ( 2 ) (–3) = –6


0153

160

032

แลว det ( A ) มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. –39 2. –36 3. 36 4. 39


31


1201

0801

2102

2521


1. –27 2. –54 3. 27 4. 54


32


1211

1211

1112

3111

แลว det (A) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –8 2. –6 3. 6 4. 8


33

41. ถำ A =

021

702

645

แลวคำของ C13(A) และ C23(A) มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. –4 , –6 2. –4 , 6 3. 4 , –6 4. 4 , 6

42(แนว En) ก ำหนดให A =

92y4

752

61x

ถำไมเนอรของ a32 เทำกบ 37 และโค-

แฟกเตอรของ a23 เทำกบ –32 แลว x – y มคำเทำกบเทำใด


34

43. ก ำหนดให det A = 1 , det B = 2 , det C = –3 คำของ det (A2 B Ct B–1) มคำ เทำกบขอใดตอไปน 1. –5 2. –3 3. 3 4. 5 สมบตดเทอรมแนนท ( เพมเตม )

1. ถำสมำชกในแถวหรอหลกอนใดอนหนงเปนศนยหมด ดเทอรมแนนตนนจะมคำเทำกบ 0 เสมอ เชน

det

03

01 = 0 , det

872

000

931

= 0

2. ถำสมำชกใน 2 แถว หรอ 2 หลก เหมอนกนตำมล ำดบโดยตลอด ดเทอรมแนนตจะมคำเทำกบ 0 เชน

det

33

11 = 0 , det

872

872

931

= 0

3. ถำน ำสมำชกของ 2 แถว หรอ 2 หลกใดสลบทกนตำมล ำดบ ดเทอรมแนนตของเมทรกซใหมจะมคำเทำกบจ ำนวนตรงขำมกบดเทอรมแนนตเดม เชน

det

846

072

931

= det

846

931

072

4. ถำสมำชกทอยใตเสนทแยงมมหลก หรออยเหนอเสนทแยงมมหลกมคำเทำกบศนยหมด ดเทอรมแนนตจะมคำเทำกบผลคณของสมำชกในแนวเสนทแยงมมหลก เชน

det

846

072

001

= (1)(7)(8) = 56 , det

500

720

921

= (1)(2)(5) = 10


35

5. ถำน ำคำคงตวคณกบสมำชกทกตวในแถวใดแถวหนง หรอในหลกใดหลกหนงด-เทอรมแนนตเมทรกซใหมจะเทำกบคำคงตว k คณดเทอรมแนนตเดม เชน

det

025

011

243

= –6

จะได det

025

011

2 224 2 3 xxx

= det

025

011

486

= (–6)(2)

6. ถำน ำคำคงตวคณกบสมำชกทกตวในแถวใดแถวหนง หรอในหลกใดหลกหนง แลวน ำไปบวกกบแถวอนหรอหลกอน ดเทอรมแนนตเมทรกซทเกดใหมจะเทำกบดเทอร-มแนนตเดม เชน

det

846

072

931

= det

846

931

903712

44. 21

00 + 072

053

011

+

1000

1000

0001

0010

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 5 3. 15 4. 27

R1x2

R1 + R2


36


321

321

cba

แลว det (A) มคำเทำกบเทำใด

46. ถำ A =

211

010

422

แลว det (A) เทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 3 3. 5 4. 18


37

47. ถำ A =

931

620

625


1. 0 2. 3 3. 5 4. 18

48.

300

010

002

–

500

1 20

2 13

เทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 6 3. 16 4. 36


38

49. ถำ A =

1217

0558

0022

0001


1. –10 2. –6 3. 6 4. 10


C2cos1C2sin

B2cos1B2sin

A2cos1A2sin

แลว det (A2) มคาเทากบเทาใด

1. 0 2. 1 3. 4 4. (sinA . sinB . sinC)2


39


zyx

rqp

cba

และ B =

cba

rqp

zyx

ถา det (A) = 2 แลว

det (B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. –2 3. 2 4. 4

52(แนว มช) ก าหนดให A =

u2t2s2

z3y3x3

rqp

B,

uts

rqp

zyx

และ det (A) = 2

แลว det (B–1) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 12

1 2. – 32 3. 3

1 4. 32


40

53. ก าหนดใหให A =

zyx

rqp

cba

, B =

rqp

2c2b2a

4z4y4x

และ det(A) = 3 แลว

det (3B–1) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 8

11 2. – 89 3. 8

9 4. 811

4.4.3 การหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ n x n ทฤษฏบท ให A เปนเมทรกซ n x n เมอ n > 2 จะไดวา A มอนเวอรสการคณกตอเมอ A ไมเปนเมทรกซเอกฐาน และ A–1 = (A) det

1 adj(A)

เมอ adj(A) หมายถงเมทรกซผกพน (adjoint matrix ) ของ A คอ [ ci j(A) ]t

เพมเตม 1) A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2) adj(A) = det(A) . A–1 3) det [ adj (A)] = [det (A)] n–1

4) 1ija = det(A)

(A)jiC = det(A)

(A)jiM . j i1)(


41


121

083

421

แลว A–1 เทำกบขอใดตอไปน

1.

14014

1253

32108

2.

14014

1253

32108

3. – 701

14014

1253

32108

4. – 701

14014

1253

32108

.


42

55(แนว Pat1) ก าหนดให A =

121

083

421

แลวสมาชกในแถวท 3 หลกท 1 ของ A–1

มคาเทากบเทาใด

56(แนว PAT1) ถา At =

410

011

322

คาสมาชกในแถวท 2 และหลกท 3 ของ A–1

เทากบ ขอใดตอไปน 1. – 3

2 2. –2 3. 32 4. 2


43

57(แนว มช) ก าหนดให A เปนเมทรกซขนาด 3 x 3 และ det(A) = –4 แลว det (adj A) ม คาเทากบเทาใด

58(แนว En) ก าหนดให a เปนจ านวนจรง และ A =

a04

030

201

ถา a < 8 และ

det (adj A) = 36 แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –5 2. –6 3. 5 4. 6


44

59(แนว En) ก าหนดให A =

12

11 ถา B เปนเมตรกซท B = 3 A–1 แลวขอใด

ตอไปนเปนคาของ det (2 adj B) 1. 6 2. 9 3. 12 4. 18

60(แนว En) ให A , B เปนเมตรกซมต 3 x 3 ถา AB = 2 I โดยท I เปนเมตรกซเอกลกษณ และ adj B = 2

1 A แลว det (A) มคาเทากบเทาใด


45

61(แนว En) ให A , B เปนเมตรกซจตรสมต 3 x 3 และ I เปนเมตรกซเอกลกษณมต 3 x 3

ถา AB = BA = I และ A =

101

312

111

แลว adj (B) เทากบขอใดตอไปน

1. 31 B 2. –3 B 3. 3

1 B–1 4. –3 Bt

4.5 การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน สามารถท าไดหลายวธดงน วธท 1 ใชกฎของคราเมอร ( Cramer'S rule ) เมอก าหนดระบบสมการเชงเสนทม n สมการ และ n ตวแปร โดย AX = B เปนสมการเมทรกซทสมพนธกบระบบสมการน

ให X =

nx

..1x1x

และ B =

nb

..1b1b

ถา det(A) 0 แลว

x1 = det(A))1det(A

, x2 = det(A))1det(A

, ......... , xn = det(A))1det(A

เมอ Ai คอเมทรกซทไดจากการแทนหลกท i ของ A ดวยหลกของ B ทกๆ i { 1, 2 ,… , n }


46

62. จากระบบสมการเชงเสน x + y + z = 6 x – y + z = 2 x + y – z = 0 คาของ 2x + y – 2z มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 4 2. – 2 3. 2 4. 4

63(แนว En) จากระบบสมการเชงเสน 2x1 + 4x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 = –2 –x1 – 3 x2 + 2x3 = 3 คาของ x1 ทเปนค าตอบของสมการนเทากบขอใดตอไปน 1. 20 2. 9 3. –9 4. –20


47

วธท 2 ใชการด าเนนการตามแถว การด าเนนการตามแถวเปนอกวธหนงทสามารถแกแกระบบสมการเชงเสนได ซงสามารถท าไดดงโจทยตอไปน

64. จากระบบสมการเชงเสน x + y + z = 3 x – z = 1 y + 2z = 2 คาของ 2x + y – 2z มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 4 2. – 2 3. 2 4. 4

65. จากระบบสมการเชงเสน x + y + z = 6 x – y + z = 2 x + y – z = 0 คาของ 2x + y – 2z มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 4 2. – 2 3. 2 4. 4

ÕÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÖ


48

เฉลยบทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

.

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบ 5.5 11. ตอบ 9 12. ตอบ 19 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 2. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบขอ 4. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบ 3 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 1. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 2. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบ 102 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 2. 33. ตอบขอ 3. 34. ตอบ 25 35. ตอบขอ 4. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 4. 38. ตอบขอ 1. 39. ตอบขอ 2. 40. ตอบขอ 4. 41. ตอบขอ 1. 42. ตอบ 9 43. ตอบขอ 2. 44. ตอบขอ 1. 45. ตอบ 0 46. ตอบขอ 1. 47. ตอบขอ 1. 48. ตอบขอ 4. 49. ตอบขอ 1. 50. ตอบ 0 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 1. 53. ตอบขอ 2. 54. ตอบขอ 3. 55. ตอบ 0.2 56. ตอบขอ 1. 57. ตอบ 16 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบขอ 3. 60. ตอบ 8 61. ตอบขอ 3. 62. ตอบขอ 2. 63. ตอบขอ 4. 64. ตอบขอ 4. 65. ตอบขอ 2.

ÕÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÕÖÖ


49

ตะลยโจทยทวไป บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

4.1 ระบบสมการเชงเสน 1(แนว Pat1) จำกระบบสมกำร x + y + z = 2 x + y – z = 4 x + 2y + z = 4 คำของ z

x y มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 4 4. 8 2. จำกระบบสมกำร x + 2 y – z = 3 3 x + y = 6 2 x + y = 1 คำของ 12

zx y มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 48 2. 60 3. 120 4. 240 3. จำกระบบสมกำร 2 x1 – 3 x2 + x3 = 8 – x1 + 4 x2 + 2 x3 = –4 3 x1 – x2 + 2 x3 = 9 คำของ x1 x2 x3 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 8 4. 24

4.2 เมทรกซ ( Matrix )


6y

53

4 2x =

z5

53

41 แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. x = 1 , y = 5 , z = 6 2. x = 3 , y = 5 , z = 6 3. x = 3 , y = 5 , z = –6 4. x = 3 , y = –5 , z = –6


50


3y2x

yx =

6

3 แลว x y เทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 6 3. 12 4. 18


2yx

y2x =

11

2 แลว x y เทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 6 3. 12 4. 18


10x0

2x12x =

82x0

2x1x แลว x เทำกบขอใดตอไปน

1. x = 2 , –1 2. x = 4 , –4 3. x = 5 , –4 4.


x2x

2xx2x =

x4

24 แลว x เทำกบขอใดตอไปน

1. x = –2 2. x = 2 3. x = 5 , y = –4 4.


yx51

34y26

1432x

=

051

2y26

142x

เมอ x 2

แลว x y เทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 4 4. 16


23

1z =

43

1z แลว z เทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. R 3. 4.


51


02

21 แลว 5A เทำกบขอใดตอไปน

1.

010

105 2.

06

64 3.

06

65 4.

62

20

12. ก ำหนดให B =

31

10 แลว –3 B เทำกบขอใดตอไปน

1.

31

11 2.

06

64 3.

62

21 4.

93

30


02

21 , B =

31

10 แลว 3 A – 2 B เทำกบขอใดตอไปน

1.

31

11 2.

64

43 3.

62

21 4.

62

20


02

21 , B =

31

10 แลว –B + A เทำกบขอใดตอไปน

1.

31

11 2.

64

43 3.

62

21 4.

62

20

15. ถำ A =

y2x3

312y

2x1x

, B =

122

210

201

และ A + At = 2 B แลว

x + y เทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


52


5

3

32

14 , B =

4

2

13

11 , C =

1

1

41

23 แลว

ผลลพธในขอใดตอไปนเปนเมทรกซศนย ( 0 ) 1. A + B + C 2. A + B – C 3. A – B – C 4. A – B + C

17. [2 3]

4

1 เทำกบขอใดตอไปน

1. [ 14 ] 2. [ 15 ] 3. [ 16 ] 4. [ 17 ]

18. [2 1 3]

0

1

3


1. [ 4 ] 2. [ 5 ] 3. [ 6 ] 4. [ 7 ]

19.

5

0

3


1. [ 1 ] 2. [ 9 ] 3. [ 10 ] 4. [ 15 ]

20.

1

2

3

654321


1. [ 10 28 ] 2. [ 12 6 ] 3.

28

10 4.

6

12


53

21.

3

1

2

231

123

321


1. [ 4 8 6 ] 2. [ 13 11 11 ] 3.

6

8

4

4.

11

11

13

22.

3

1

4

2

0

1

654321


1.

3916

157 2.

1118

58 3.

6220

20 84

11 54

4.

26202014

2822

23.

6543

21

231

123

321


1.

3916

157 2.

1118

58 3.

6220

20 84

11 54

4.

26202014

2822

24.

23

12

43


1.

3916

157 2.

1118

58 3.

6220

20 84

11 54

4.

26202014

2822


54

25.

03

21

52


1.

120

146 2.

120

144 3.

120

143 4.

120

145

26.

43

12

30


1.

129

36 2.

129

35 3.

129

38 4.

129

39

27.

325

103

512

354

312

201


1.

3916

157 2.

1118

58 3.

6220

20 84

11 54

4.

26202014

2822

28.

987

654

321

100

010

001


1.

26202014

2822

2.

987

654

321

3.

620

2080

1151

4.

0110

01


55

29.

100

010

001

987

654

321


1.

26202014

2822

2.

987

654

321

3.

620

2080

1151

4.

0110

01

30.

0

1

2

[4 3 2] เทำกบขอใดตอไปน

1.

000

234

468

2.

000

234

461

3.

000

234

462

4.

000

234

463

31.

1

4

32

01

1

4

32


1. [ 4] 2. [ 5] 3. [ 6] 4. หำคำไมได


1 3

21 , B =

53

12 และ C =

13

12 และ (AB)C


1.

3916

157 2.

1118

58 3.

17 6

1319 4.

10

01


56


31

21 , B =

1

4

35

23 แลว Bt At เทำกบขอใดตอไปน

1.

1

11

12

2

4

13

2.

1

11

12

2

4

11

3.

12

2

11

3

2

9

4.

5

13

23

5

2

22

34. ก ำหนดให X =

31

21 , Y =

3

3

04

21 แลว Yt Xt เทำกบขอใดตอไปน

1.

1

11

12

2

4

13

2.

1

11

12

2

4

11

3.

12

2

11

3

2

9

4.

5

13

23

5

2

22


3y4xy2x ขอใดไมถกตอง

1. A เกดจำก

34

12

x

y 2. A เกดจำก

43

21

x

y

3. A เกดจำก

3y

2x

4x

y 4. A เกดจำก

21

34

y

x


123

302

101

, B =

2

2

2

142

021

510

เมอ AB = C แลว

C23 + C34 เทำกบขอใดตอไปน 1. 25 2. 30 3. 35 4. 40


57

37. X =

10

01 , Y =

01

01 , Z =

10

01 เมทรกซ

2

0b

b0

เทำกบ

เมทรกซในขอใดตอไปน 1. b2 X 2. b2 Y 3. b2 Z 4. b2 (X + Y + Z)


34

31 , B =

y

1 ถำ A B = 3 B แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. 0 < y < 1 2. 1 < y < 2 3. 2 < y < 3 4. y > 3


dc

ba , B =

11

11 แลวเงอนไขในตวเลอกใดตอไปนทท ำ

ให A B = B A 1. d = a = 1 , c = b = 0 2. c = b , d = –a 3. c = d , d2 = a 4. c2 = b2 , d = 9

40. ถำ A =

x0

1x , B =

0y

01 , AB =

03

06 แลวคำของ x1 + y1

เทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. –2 4. 3

4.3 เมทรกซ 2 x 2

4.3.1 เอกลกษณการคณของเมทรกซ 2 x 2 4.3.2 อนเวอรสการคณของเมทรกซ 2 x 2

41. ก ำหนด A =

21

34 แลว A–1 เทำกบขอใดตอไปน

1. 21

41

32 2. 3

1

41

32

3. 51

41

32 4. หำคำไมได


58

42. ก ำหนด A =

23


1. 21

41

32 2. 3

1

23

22

3. – 21

23



63


1. 21

41

32 2. 3

1

41

32

3. 41

41


44. ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. ถำ A =

30

61 แลว A–1 =

310

21

2. ถำ A =

32

01 แลว A–1 =

31

32

01

3. ถำ A =

30

42 แลวหำ A–1 ไมได

4. ถำ A =

22

11 แลวหำ A–1 ไมได


23

35 และ B =

21

32 แลว (AB)–1 เทากบขอใดตอไปน

1.

31

52 2.

31

52 3.

13 8

2113 4.

53

21


59

46. ก าหนดให A–1 =

211

16 แลว A เทากบขอใดตอไปน

1.

13 8

2113 2.

6 11

12

3.

6 11

12 4.

53

21

47. ถา X เปนเมตรกซ 2 x 2 โดยท

12

21 X

34

23 แลว X เทำกบเมตรกซขอใด

1.

34

57 2.

76

33

3.

76

33 4.

52

4 1

48. ถำ A และ B เปนเมตรกซ 2 x 2 ซงท ำให

12

23 A =

20

03 และ

B

21

11 =

03

30 แลว A + B เทำกบเมตรกซในขอใดตอไปน

1.

76

33 2.

76

33

3.

76

33 4.

76

33

49. ถำ (AB)–1 =

45

1114 และ A =

31

21 แลว B คอเมทรกซในขอใดตอไปน

1.

31

52 2.

31

52 3.

52

31 4.

53

21


60

50. ก าหนดให A

6436

164 =

40

04 แลว A–1 คอขอใดตอไปน

1.

43

21 2.

169

41 3.

86

42 4.

11

82

51. ให A =

0 2 3 1 , B =

2 2 0 3 ถา 2

3 X = A–1 B–1 แลว X–1 เทากบขอใด

1. – 181

123 2 2. 18

1

123 2

3. 21

1818279 4. 3

2

1818279

52. ก าหนดให A และ B เปน 2 x 2 เมทรกซ โดยท

A–1 + B–1 =

31

22 และ 2A–1 – B–1 =

34

11

แลว A เทากบขอใดตอไปน

1.

33

03 2. 2

1

33

03 3.

11

12 4. 2

1

11

12

4.3.3 ดเทอรมแนนตของเมทรกซ 2 x 2

53. ดเทอรมนนตของเมทรกซ

20


1. 10 2. 13 3. 15 4. 30

54. 32

21 +

31


1. 16 2. 15 3. 14 4. 13


61

55. 12

10 +

100200


1. –2 2. –1 3. 1 4. 2


x4

4x และ det (A) = 0 แลวผลรวมของคา x เทากบขอใด

1. –4 2. 0 3. 4 4. 2


1x

42x , B =

12

43 และ det (A) = det (B) แลว

ผลรวมของคา x เทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. 0 3. 4 4. 2


41

21 , X =

dc

ba และ C =

15

04 ถา AX = B

แลว dc

ba มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –4 2. 0 3. 4 4. 2


43

21 และ B =

31

63 พจารณาขอความตอไปน

ก. det (AB) = –6 ข. det (At) = –2 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด


62


12

13 , B =

53

3320 , C =

74

32 แลวคำของ

det (A3 B Ct ) เทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


43

21 และ B =

31

63 แลว det (A–1) + det B เทากบขอใด

1. – 21 2. 0 3. 21 4. 2


43

21 และ B =

31

63 แลว det (B3) + det (2A) เทากบขอใด

1. 15 2. 19 3. 20 4. 25

63. ก าหนดให A2 =

80

12 แลว det (A) เทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 0 3. 2 4. 3

64. ถำ A =

8b325

1009x แลว det (A–1) . detA เทำกบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 65. ขอควำมตอไปน มถกตองอยกขอ

ก. ถำ 5 22

1x

= 1010

515

แลว x = 3

ข. ถำ A

46

23 =

00

00 แลว det (A) = 0


63

ค. ถำ A

84

51 , B =

01

21 แลว det (–AB)t = 24

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ

66. ถำ A =

32

85 , kR , I =

10

01 และ B = A–1 + k I และ det B = 8

แลวคำ k เทำกบขอใดตอไปน 1. 9 , 1 2. 9 , –1 3. 9 , 2 4. 9 , 0


3a

21 , B =

12

11 และ C = 2AB–1 + B–1 แลวคำ a

ทท ำให det C = 1 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

68. ถำ A =

x1

0 x และ det (A + At) = –9 แลว det (2A) เทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. –7 4. –8

69. ถำ A =

a a

a 2 จ ำนวนเตม a ทมคำมำกทสด ทท ำให det (2A) < 12 คอขอใด

1. –2 2. –1 3. 0 4. 3

70. ก ำหนด A และ B เปนเมตรกซจตรสโดยท A =

52

21 และ (AB)t = (AB)–1

ขอใดตอไปนถกตอง 1. det (A) = det (B) 2. det (A) . det (B) > 0 3. det (A) . det (B) < 0 4. det (A2) = det (B2)


64

71. ให A =

83

52 ; X เปนเมตรกซ 2 x 2 ถำ A X =

4151

2532 แลวคำของ

det Xt เทำกบขอใดตอไปน

1. –24 2. –28 3. –37 4. –48

4.4 เมทรกซ n x n

4.4.1 เอกลกษณการคณของเมทรกซ n x n 4.4.2 การหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ n x n


410

011

322


1. –6 2. –3 3. 3 4. 6


200

250

132


1. –20 2. –10 3. 10 4. 20

74.

122

221

212

+

300

210

201


1. –2 2. –1 3. 1 4. 2

75. ถำ A =

230

2x12

23x

, B =

13

x2x แลว

คำของ x ทท ำให det (A) = 4 det (B) เทำกบขอใดตอไปน 1. –4 , 1 2. –4 , 3 3. 5 , 2 4. 5 , 1


65


1201

0801

2102

2531

แลว det (A) มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. –81 2. –54 3. 54 4. 81


2403

3242

5104

2312

แลว det (A) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –25 2. –27 3. –29 4. –30

78. ถา A =

2434

1006

6120

0212

แลวคาของ M34 – C43 เทากบขอใดตอไปน

1. 30 2. –50 3. 50 4. –30

79. ถำ A =

230

2x12

23x

แลว M13 + M32 + M11 เทำกบขอใดตอไปน

1. 19 2.18 3.16 4.15

80(แนว En) ก ำหนดให A =

1

0

4

y

8

y

x

3

x

โดยทโคเฟกเตอรของ a21 = –6 และ

โคแฟกเตอรของ a23 = 0 แลวโคแฟกเตอรของ a33 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –14 2. –6 3. 6 4. 14


66

81(แนว PAT1) ก ำหนดให A =

y12

2x2

121

โดยท x และ y เปนจ ำนวนจรง

ถำ C21(A) = 9 และ C11(A) = 18 แลว det (2A) มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –84 2. –216 3. 84 4. 216


110

012

001

แลวคำของ det [(M13 + C13) A] เทำกบขอใดตอไปน

1. 63 2. 64 3.65 4.66 83. ก ำหนดให A , B และ C เปน n x n เมทรกซ เมอ n เปนจ ำนวนเตมทมำกกวำ 2 และ

det A = 1 , det B = 2 และ det C = –3 แลว จงหำ det ( B C–1A B–1Ct) 1. 2 2. 1 3. 0 4. –1

84. ถำ A =

1211109

8765

4321

0000


1. 0 2. 1 3. 3 4. 13

85. ถำ A =

1102

2101

1102

1201


1. 0 2. 1 3. 3 4. 13


67


321

943

943

แลว det (A) มคำเทำกบเทำใด

87. ถำ A =

212

121

010


1. 0 2. 3 3. 5 4. 18


zyx

rqp

cba

และ B =

zyyx

rqqp

cbba

ถา det(A) = 3

แลว det (B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3 3. 5 4. 18

89. ถำ A =

242

010

121


1. 0 2. 3 3. 5 4. 18

90. ถำ A =

311

620

312


1. 0 2. 3 3. 5 4. 18


68

91. ถำ A =

bac1

cab1

cba1


1. 0 2. 1 3. abc 4. a+b+c

92. ถำ A =

3bcac

22bab

1ab2a


1. ab 2. 1 3. bc – ab 4. 0

93. ถำ A =

300

210

201


1. 0 2. 3 3. 5 4. 18

94. ถำ A =

313

031

002


1. 0 2. 3 3. 5 4. 18

95. ถำ A =

2000

0200

0020

0002


1. 0 2. 6 3. 16 4. 36


69

96. ถำ det

3 x 000

02 x 00

001x0

000x

= 0 แลวผลบวกของคำ x เทำกบขอใดตอไปน

1. 4 2. 6 3. 8 4. 12


zyx

rqp

cba

และ B =

zyx

cba

rqp

ถา det (A) = 2 แลว

det (B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. –2 3. 2 4. 4


zyx

rqp

cba

และ B =

cba

rqp

2x2y2x

ถา det (A) = 2

แลว det (B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. –2 3. 2 4. 4


zyx

rqp

cba

และ B =

2r2q2p

cba

4z4y4x

ถา det (A) = 3

แลว det (B) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –48 2. –24 3. 24 4. 48


uts

rqp

zyx

= –1 ดงนน

2u2t2s

u2rt2qs2p

3z3y3x

มคำเทำกบขอใด

1. –12 2. –6 3. 6 4. 12


70

101. ให A =

zyx

rqp

cba

, C =

zzcr

yybq

xxap

และ det(A) = 3 แลว det(2C–1)

เทำกบขอใดตอไปน 1. 3

8 2. 58 3. 7

8 4. 98

4.4.3 การหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ n x n


410

011

322


1.

021

384

354

2.

021

384

354

3. 31

021

384

354

4. 31

021

384

354

103. ถำ A

862

534

012

=

300

030

003


1. 21

862

534

012

2. 31

862

534

012

3. 41

862

534

012

4. 51

862

534

012


71

104. คาของ x ทท าให

x11

120

321

มอนเวอรสการคณ มคาเทากบขอใดตอไปน

1. x = 2 2. x = 25 3. x 2 4. x 25

105. คาของ x ทท าให

312

3x0

012

มอนเวอรสการคณ มคาเทากบขอใดตอไปน

1. x = 2 2. x = 25 3. x 2 4. x 25

106. ถำ A =

421

134

432

แลว det (adj A) มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. –5 2. 25 3. –125 4. 5


321

121

211

, B =

350

210

111

จงหาคาของ det (2A–1B) + det (At adj (B) ) – det ( BAt adj (A) ) 108. ให A เปนเมตรกซ 4 x 4 และไมเปนเมตรกซเอกฐำน คำของ det (adj A) – det (A3) มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. –2 109. ถำ An x n เปนนอนซงกลำรเมตรกซแลว det (adj (adj A)) ตรงกบขอใดตอไปน

1. 2n2nA 2. 2n2nA 3. 21) (n A 4.

21) (n A


72

4.5 การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

110. จากระบบสมการเชงเสน x + y – z = 5 2x – y + 2 z = –4 y – 2 z = 6

คำของ x เทำกบขอใดตอไปน 1. –2 2. 1 3. 0 4. 3 111. จากระบบสมการเชงเสน x – y + z = 0 2x – y + z = 1 –x + y + 2z = 0

คำของ y เทำกบขอใดตอไปน 1. –2 2. 1 3. 0 4. 3 112. จากระบบสมการเชงเสน x + y + 2z = 9

2y – 8z = –18 3x + 5y – 3z = 0

คำของ zy เทำกบขอใดตอไปน

1. –2 2. 1 3. 0 4. 3 113. จากระบบสมการเชงเสน x + y + 3 z + 7 t = 0

x + y + 5 z + 11 t = –2 2 x + 2 y + 4 z + 11 t = 2 คำของ t เทำกบขอใดตอไปน

1. –2 2. 1 3. 0 4. 3


73

114. ให A =

750

2126

084

, X =

z

y

x

, B =

12

20

12

ถำ AX = B แลว x y z มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –2 2. 1 3. 0 4. 3 115. จากระบบสมการเชงเสน x – y + z + 2 t = 1

2 x – 3 y + 2 z + 5 t = 3 3 x + 2 y + 2 z + t = 0

x + y – 3 z – t = 0 คำของ z เทำกบขอใดตอไปน

1. –2 2. 1 3. 0 4. 3 116. จากระบบสมการเชงเสน x – 2 y = 1

x – y + k z = –2 k y + 4 z = 6 คำ k เปนเทำไร ท ำใหระบบสมกำรนไมมค ำตอบ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


74

เฉลยตะลยโจทยทวไป บทท 4 ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 1. 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 3.21. ตอบขอ 4. 22. ตอบขอ 1. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 3. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 1. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 3. 35. ตอบขอ 4. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 3. 38. ตอบขอ 1. 39. ตอบขอ 4. 40. ตอบขอ 3. 41. ตอบขอ 4. 42. ตอบขอ 3. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 2. 47. ตอบขอ 4. 48. ตอบขอ 4. 49. ตอบขอ 2. 50. ตอบขอ 2. 51. ตอบขอ 4. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 3. 55. ตอบขอ 1. 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 3. 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบขอ 1. 60. ตอบขอ 3. 61. ตอบขอ 1. 62. ตอบขอ 2. 63. ตอบขอ 1. 64. ตอบขอ 1. 65. ตอบขอ 1. 66. ตอบขอ 2. 67. ตอบขอ 4. 68. ตอบขอ 4. 69. ตอบขอ 3. 70. ตอบขอ 4. 71. ตอบขอ 3. 72. ตอบขอ 3. 73. ตอบขอ 1. 74. ตอบขอ 1. 75. ตอบขอ 1. 76. ตอบขอ 4. 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 2. 79. ตอบขอ 1. 80. ตอบขอ 3. 81. ตอบขอ 4. 82. ตอบขอ 2. 83. ตอบขอ 2. 84. ตอบขอ 1. 85. ตอบขอ 1. 86. ตอบ 0 87. ตอบขอ 1. 88. ตอบขอ 2. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 1. 91. ตอบขอ 1. 92. ตอบขอ 4. 93. ตอบขอ 2. 94. ตอบขอ 4. 95. ตอบขอ 3. 96. ตอบขอ 2. 97. ตอบขอ 2. 98. ตอบขอ 1. 99. ตอบขอ 2. 100. ตอบขอ 4.


75

101. ตอบขอ 1. 102. ตอบขอ 3. 103. ตอบขอ 2. 104. ตอบขอ 4. 105. ตอบขอ 3. 106. ตอบขอ 2. 107. ตอบ 182 108. ตอบขอ 1. 109. ตอบขอ 3. 110. ตอบขอ 2. 111. ตอบขอ 2. 112. ตอบขอ 4. 113. ตอบขอ 3. 114. ตอบขอ 2. 115. ตอบขอ 1. 116. ตอบขอ 2.

ตวสบายคณต เลม 2 http://www.pec9.com บทท 5 ฟงกชน

1

บทท 5 ฟงกช น

5.1 ความสมพนธ 5.1.1 ผลคณคารทเชยล บทนยาม ผลคณคารทเชยลของเซต A และเซต B คอเซตของคอนดบ (x , y) ทงหมด โดยท x เปนสมาชกของเซต A และ y เปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A x B อานวา เอ คณ บ และเขยนในรปเงอนไขไดเปน A x B = (x , y) x A และ y B ตวอยาง ให A = 2 , 5 , B = 1 , 7 , 8 จงหา A x B วธท า ผลของ A x B คอเซตของคอนดบซงตวหนาของแตละคอนดบมาจากเซต A และตว หลงของแตละคอนดบอยในเซต B ดงรป จากรปจะไดวา A x B = { (2 , 1) , (2 , 7) , (2 , 8) , (5 , 1) , (5 , 7) , (5 , 8) }

ฝกท า ให A = 1 , 3 , B = 0 , 7 , 8 , C = จงหา A x B , B x A , A x C , B x C , A x A , C x C

วธท า

1

7

8

2 5

A B


2

ขอควรรเกยวกบผลคณคารทเชยล ก าหนด A , B , C , D เปนเซตจ ากดใด ๆ จะไดวา

1) A x B = กตอเมอ A = หรอ B = 2) A x B = B x A กตอเมอ A = B หรอ A = หรอ B = 3) n(A x B) = n(A) n(B)

เมอ n(A x B) คอจ านวนสมาชกของ A x B n(A) คอจ านวนสมาชกของ A n(B) คอจ านวนสมาชกของ B

4) A x (B C) = (A x B) (A x C) 5) A x (B C) = (A x B) (A x C) 6) A x (B C) = (A x B) (A x C) ระวงมากๆ อยาสบสน 1) A (B x C) (A B) x (A C) 2) A (B x C) (A B) x (A C)

1. ให A = {1} , 2 , B = {0} , C = R จงหาจ านวนสมาชกของ AxB , AxC , AxA , BxB 1. 2 , , 4 , 1 2. 1 , , 2 , 2 3. 2 , 0 , 4 , 1 4. 1 , 0 , 2 , 2 2. ก าหนดให A = { 1 , 2 } , B = { 2 , 3 } และ C = { 3 , 4 } จงหาจ านวนสมาชกของ ( A x B ) ( A x C ) 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8


3

3. จงหาจ านวนสมาชกของ (A x B) (A x C) เมอก าหนดให A = 1 , 2 , 3 , ... , 25 , B = 15 , 16 , 17 , ... , 100 , C = 1 , 2 , 3 , ... , 50

1. 100 2. 200 3. 400 4. 900 5.1.2 ความสมพนธ บทนยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B นนคอ r A x B ดงนน จ านวนความสมพนธจาก A ไป B = จ านวนสบเซตของ A x B = 2[ n(A) x n(B) ]

4. ก าหนดให A = 3 , 5 , 7 , B = 10 , 11 ความสมพนธจาก A ไป B มทงหมดกแบบ 1. 6 2. 26 3. 62 4. 22 5. ก าหนดให A = 2 , 3 , 4 ความสมพนธใน A มกแบบ 1. 9 2. 29 3. 92 4. 99


4

6(แนว En) ถาเซต A มสมาชก 5 ตวแลว จ านวนทงหมดของความสมพนธจาก A x A ไป A เทากบขอใดตอไปน 1. 225 2. 2125 3. 252 4. 1252

7. ก าหนดให A = 1 , 3 , 5 , B = 5 , 10 , 15 , 20 แลว r = (x , y) A x B y = 2x เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 10) 2. 3. (3 , 6) 4. (4 , 8) , (6 , 12)

8. ก าหนดให A = 1 , 3 , 5 , B = 5 , 10 , 15 , 20 แลว r = (x , y) A x B y = (x + 2)2 เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 5) 2. 3. (3 , 5) 4. (4 , 3) , (6 , 5)


5

9. ให A = 1 , 3 , 5 แลว r = (x , y) A x A y = 14 – 3x เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 5) 2. 3. (3 , 5) 4. (4 , 3) , (6 , 5)

10. ก าหนดให A = 1 , 3 , 5 , C = 4 , 6 , 8 , 10 แลว r = (x , y) C x A y = x – 1 เทากบขอใดตอไปน 1. (5 , 5) 2. 3. (3 , 5) 4. (4 , 3) , (6 , 5)

11. ก าหนดให B = 5 , 10 , 15 , 20 , C = 4 , 6 , 8 , 10 แลว r = (x , y) B x C y > x เทากบขอใดตอไปน 1. (10 , 20) 2. 3. (5,6) , (5,8) , (5,10) , (10,10) 4. (4 , 3) , (6 , 5)


6

12. ก าหนดให A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 แลว r = (x , y) A x A x > 2 และ y = 3 เทากบขอใดตอไปน 1. (3 , 3) , (4 , 3) , (5 , 3) 2. (3 , 3) , (4 , 4) , (5 , 5) 3. (3 , 3) 4. (4 , 3) , (5 , 3) 5.1.3 โดเมนและเรนจของความสมพนธ บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr เรนจของ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr

การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ กรณท 1. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบแจกแจงสมาชก การหาโดเมน ใหน าเฉพาะสมาชกตวหนาของแตละคอนดบมาเขยนเปนเซตแลวตอบ การหาเรนจ ใหน าเฉพาะสมาชกตวหลงของแตละคอนดบมาเขยนเปนเซตแลวตอบ

กรณท 2. เมอโจทยก าหนดกราฟของความสมพนธมาให โดเมน คอชวงซงเกดจากเงาของกราฟบนแกน X

เรนจ คอชวงซงเกดจากเงาของกราฟบนแกน Y

กรณท 3. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงสามารถแจกแจงสมาชกได ใหแจกแจงสมาชกของความสมพนธ แลวจงหาโดเมนและเรนจเชนเดยวกบกรณท 1.

กรณท 4. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงแจกแจงสมาชกไมได ขนท 1 การหาโดเมน ควรจดสมการในรป y = เทอมของ x เชน y = 2x + 6

การหาเรนจ ควรจดสมการใหอยในรป x = เทอมของ y เชน x = 26 y


7

ขนท 2 ใชหลกการพจารณาวา โดเมน คอคา x ทท าให y เปนจรง หรอคา x ทท าใหหาคา y ได

เรนจ คอคา y ทท าให x เปนจรง หรอคา y ทท าใหหาคา x ได การพจารณาคาโดเมนและเรนจ ในเบองตนควรค านงไวเสมอวา

1) ถาความสมพนธอยในรปเศษสวน จะไดวาตวสวนตองไมเทากบ 0 เชน y = 2 x

1 จะไดวา x + 2 0

2) ถาความสมพนธอยในรป y = x จะไดวา xR และ x 0 3) ถาความสมพนธอยในรป y = x2 จะไดวา xR และ x2 0 4) ถาความสมพนธอยในรป y = x จะไดวา x 0 และ x 0

13. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r = { (1 , 2) , (3 ,4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) } 1. Dr = {1, 2, 3, 4} , Rr = {1, 2, 3, 4} 2. Dr = {1, 2, 3, 4} , Rr = {2, 3, 4, 5} 3. Dr = {1, 3, 5, 7} , Rr = {2, 4, 6, 8} 4. Dr = {1, 3, 5, 7} , Rr = {2, 3, 4, 5} 14. จากกราฟของความสมพนธดงรป โดเมนและ เรนจของความสมพนธคอขอใดตอไปน 1. Dr = [–1 ,1] , Rr = [– 2 ,] 2. Dr = [– 2 , 2 ] , Rr = [–1 , 1] 3. Dr = [0 ,1] , Rr = [ 0 , 2 ] 4. Dr = [ 0 , 2 ] , Rr = [0 , 1]

– 2 + 2

+1

(0, 0) X

Y

–1


8

15. ให A = –1 , 0 , 1 , 2 , B = 6 , 7 , 8 , 9 และ r = (x , y) A x B y = 9 – x จงหา Dr และ Rr

1. Dr = { 0 , 1 , 2 } , Rr = {7 , 8 , 9 } 2. Dr = { –1 , 0 , 1 } , Rr = {7 , 8 , 9} 3. Dr = {–1 , 0 , 1 , 2 } , Rr = {6 ,7 , 8 , 9 } 4. Dr = { –1 , 0 , 1 } , Rr = {8 , 9 , 10}

16(แนว มช) ก าหนดให S = –2 , –1 , 0 , 1 , 2 และ R เปนเซตของจ านวนจรง

ก าหนดให r = (x , y) S x R y = x1 โดเมนของ r คอ………

1. { 0 , 1 , 2 } 2. { 1 , 2 } 3. {–2 , –1 , 0 } 4. {–2 , –1 }

17. ก าหนดให r = (x , y) y = (x – 2)2 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ 2 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 2 , ) , Rr = R


9

18. ก าหนดให r = (x , y) y = x2 – 2 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ –2 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ –2 , ) , Rr = R 19. ก าหนดให r = (x , y) y – 5 = 2x – 6 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (3 , ) , Rr = [ 5 , ) 2. Dr = (3 , ) , Rr = (– , 5 ] 3. Dr = R , Rr = [ 5 , ) 4. Dr = R , Rr = (– , 5 ]

20. ก าหนดให r = (x , y) y = 4 – x – 3 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (3 , ) , Rr = [ 4 , ) 2. Dr = (3 , ) , Rr = (– , 4 ] 3. Dr = R , Rr = [ 4 , ) 4. Dr = R , Rr = (– , 4 ]


10

21. ก าหนดให r = (x , y) y = 1 +2x แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = [ –2 , ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = [ –2 , ) , Rr = [ –2 , ) 3. Dr = [– 1

2 , ) , Rr = [ 0 , ) 4. Dr = [– 12 , ) , Rr = [ –2 , )

22. ก าหนดให r = (x , y) y – 2 = x100 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = (– , 0 ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = (– , 100 ] , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = (– , 0 ) , Rr = [ 2 , ) 4. Dr = (– , 100 ] , Rr = [ 2 , ) 23. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 1 x

1 +2x คอขอใดตอไปน

1. Dr =x x 1 , Rr =y y 0 2. Dr =x x 1 , Rr =y y 1 3. Dr =x x 1 , Rr =y y 2 4. Dr =x x 1 , Rr =y y 2

1


11

24. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) x – xy + 2y + 1 = 0 คอขอใดตอไปน 1. Dr =x x 2 , Rr =y y 1 2. Dr =x x 0 , Rr =y y 1 3. Dr =x x 2 , Rr =y y 2 4. Dr =x x 0 , Rr =y y 2

25. ก าหนดใหความสมพนธ r = { ( x , y ) y = 2 x } แลวโดเมนและเรนจของความสม- พนธ r คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = R 2. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , ) 26. ก าหนดให r = (x , y) y = x2 + 8x – 3 แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ –19 , ) 4. Dr = R , Rr = [ –19 , )


12

27. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 3 +x 12

คอขอใดตอไปน

1. Dr = R – {–3} , Rr = ( 0 , ) 2. Dr = R – {–3} , Rr = (– , 0) [2 , ) 3. Dr = R – {–2 , –4} , Rr = ( 0 , ) 4. Dr = R – {–2 , –4} , Rr = (– , 0) [2 , ) 28. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) 2 x + y = 6 คอขอใดตอไปน 1. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ –6 , 6 ] 2. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ –6 , 6 ] 3. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ 0 , 6 ) 4. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ 0 , 6)

29. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 25 2x คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ –5 , 5 ] 2. Dr = [–, –5] [5 , ) , Rr = [ –5 , 5 ] 3. Dr = R , Rr = [ 5 , ) 4. Dr = (–, –5] [5 , ) , Rr = [ 5 , )


13

30(แนว En) ก าหนด r = { (x , y) R x R y = 2x 94 2x

} พจารณาขอความตอไปน

ก. โดเมนของ r คอ (– , –3 ) (3 , ) ข. เรนจของ r คอ (– , –1 ) (– 94 , )

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

31(แนว En) ให r = { (x , y) R x R x2y – 2x2 + 3y + 7 = 0 } แลวขอใดตอไปนถก 1. Dr = R – 3 , Rr = [ – 3

7 , 2 ) 2. Dr = R – 3 , Rr = (– 37 , 2 ]

3. Dr = R , Rr = [– 37 , 2 ) 4. Dr = R , Rr = (– 3

7 , 2 )

5.2 ตวผกผนของความสมพนธ บทนยาม ตวผกผนของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r ตวผกผนของความสมพนธ r เขยนแทนดวย r–1 ฝกท า จงหาตวผกผนของความสมพนธตอไปน 1. r = { (3 , 2) , (3 , 4) , (3 , 5) , (3 , 6) } 2. r = { (x , y) y 2x – 3 } 3. r = { (x , y) | y = x2 + 1 } 4. r = { (x , y) y = 3x }


14

32(แนว En) ให r = (x , y) R x R x = y2 – 6y + 10 ขอความใดตอไปนเปนจรง 1. D

r1 = R และ 1r

R = [0 , )

2. Dr1 = [0 , ) และ

1rR = R

3. Dr1 = R และ

1rR = [1 , )

4. Dr1 = [1 , ) และ

1rR = R

5.3 ฟงกชน 6.3.1 ความหมายของฟงกชน บทนยาม ฟงกชน คอความสมพนธซงส าหรบคอนดบสองคใดๆ ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเหมอนกนแลว สมาชกตวหลงตองไมตางกน วธการตรวจสอบวา ความสมพนธใดจะเปนฟงกชนหรอไม

กรณท 1. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบแจกแจงสมาชก ขนท 1 หากความสมพนธมสมาชกซ ากนหลายตว ใหตดสมาชกทซ ากนทงไปแลวเหลอไวตวเดยว

ขนท 2 ใหพจารณาโดเมนของสมาชกแตละตว หากโดเมนของสมาชกแตละตวไมซ ากน ความสมพนธนนเปนฟงกชน หากสมาชกมโดเมนซ ากน ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน

กรณท 2. เมอโจทยก าหนดกราฟของความสมพนธมาให ใหลากเสนตรงขนานแกน Y ไปตดเสนกราฟของความสมพนธนน หากเสนขนานแกน Y ตดเสนกราฟจดเดยวเสมอ ความสมพนธนนเปนฟงกชน

หากเสนขนานแกน Y ตดเสนกราฟหลายจด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน


15

กรณท 3. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงสามารถแจกแจงสมาชกได ใหท าการแจกแจงสมาชกใหเหนจรง แลวตรวจสอบเหมอนกรณท 1

กรณท 4. เมอโจทยก าหนดความสมพนธเปนแบบเงอนไขซงแจกแจงสมาชกไมได ใหใชนยามของฟงกชนทวา

ถา ( x , y) f และ ( x , z)f หาก y = z ความสมพนธนนจะเปนฟงกชน วธท าโดยละเอยดใหศกษาจากตวอยางตอๆ ไป

33. ความสมพนธในขอใดตอไปน ขอใดเปนฟงกชน ก. f = (2 ,6) , (3 , 6) , (4 , 6) ข. h = (2 , 3) , (3 , 4) , (3 , 5) ค. gof = (4 , 2) , (3 , 2) , (4 , 2) ง. f–1 = (2 , 2) , (2 , 2) , (3 , 6) จ. g + h = (3 , 6) , (4 , 6) , (3 , 6) 1. ก. เทานน 2. ก. และ ค. 3. ก. , ค. และ ง. 4. ก. , ค. , ง. และ จ.

34. ความสมพนธทมกราฟดงตอไปน ขอใดเปนฟงกชน 1. 2.

3. 4.

y

x x

y

y

x

y

x


16

35. ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม ก. { (x , y) B x By = x – 2 } ; B = { –2 , –1 , 0 , 1 , 2 } ข. { (x , y) A x By < x } ; A = { 0 , 1 } , B = { –1 , 1 } 1. ก. เปน และ ข. เปน 2. ก. เปน และ ข. ไมเปน 3. ก. ไมเปน และ ข. เปน 4. ก. ไมเปน และ ข. ไมเปน 36. ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม ก. r = (x , y) R x R 4y = x + 1 ข. r = (x , y) R x R x – y = 1 ค. f = (x , y) y2 = x + 6 1. ก. เปน , ข. เปน และ ค. เปน 2. ก. เปน , ข. เปน และ ค. ไมเปน 3. ก. เปน , ข. ไมเปน และ ค. เปน 4. ก. เปน , ข. ไมเปน และ ค. ไมเปน ฝกท า. จงบอกวาความสมพนธใดเปนฟงกชน 1. f = (x , y) y2 = x2 + 6

2. g = (x , y) y = x + 3 3. g = (x , y) x + y = 1 4. g = (x , y) x – y = 1


17

5. r = (x , y) y > 2x + 6 6. g = (x , y) cos y = x 7. f = (x , y) 3y3 + y2 + 2 y – 5 = x

8. g o h = (x , y) x = 3 9. g = (x , y) y5 = x2 + 3 10. h o h = (x , y) y = –2 11. g o h = (x , y) y = x 12. g o h = (x , y) y = x

5.3.2 ฟงกชนทควรรจก 5.3.2.1 ฟงกชนจาก A ไป B (function from A into B) บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม A เปนโดเมน และมเรนจเปนสบเซตของ B f เปนฟงกชนจาก A ไป B เขยนแทนดวย f : A B ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, b) } โปรดสงเกต 1. ฟงกชนจาก A ไป B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว สวนสมาชกของ B จะถกใชหมดหรอไมกได 2. จ านวน f : AB = n(B) n(A)

5.3.2.2 ฟงกชนจาก A ไปทวถง B (function from A onto B) บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม A เปนโดเมนและ B เปนเรนจ

1

2

3

a b c b

A B


18

f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย f : A ทวถง B

ตวอยาง

f = { (1, k) , (2, m) , (3, m) } โปรดสงเกต ฟงกชนจาก A ไปทวถง B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว และสมาชกของ B จะถกใชหมดทกตวเชนกน 5.3.2.3 ฟงกชนหนงตอหนง (one–to–one function) บทนยาม f เปนฟงชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B ส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา y1 = y2 แลว x1= x2 f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B เขยนแทนดวย f : A 11 B ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, c) } โปรดสงเกต 1. ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B นน สมาชกของ A จะถกใชจบคหมดทกตว สวนสมาชกของ B จะถกใชหมดหรอไมกได และการจบคจะเปนแบบตวตอตว 2. จ านวน f : A 11 B = Pn(B) , n(A)

หมายเหต หาก f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B ( one-to-one correspondence) เขยนแทนดวย f : A 11 B

1

2

3

k m

A B

1

2

3

a b c b

A B

ทวถง


19

ตวอยาง

f = { (1, a) , (2, b) , (3, c) }

37. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก A ไป B คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (1 , 2) , (2 , 3) , (2 , 1) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 4)

38. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก B ไป A คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (7 , 2) , (8 , 3) , (7 , 1) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (7 , 2) , (8 , 3) , (9 , 3)

39. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก A ไป A คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (1 , 2) , (2 , 3) , (2 , 1) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 2)

1

2

3

a b c

A B


20

40. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก A ไปทวถง B คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (1 , 9) , (2 , 8) , (3 , 7) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (7 , 2) , (8 , 3) , (9 , 3)

41. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 7 , 8 , 9 ฟงกชนจาก B ไปทวถง A คอ 1. (1 , 7) , (2 , 9) , (3 , 7) 2. (1 , 9) , (2 , 8) , (3 , 7) 3. (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) 4. (7 , 3) , (8 , 2) , (9 , 1)

42. โดเมนและเรนจให A = 1 , 2 ,3 , B = 2 , 3 , 4 ฟงกชน 1–1 จาก A ไป B คอ 1. (1 , 3) , (2 , 4) , (3 , 3) 2. (2 , 2) , (3 , 3) , (4 , 1) 3. (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) 4. (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 4)


21

วธการตรวจสอบวาฟงกชนใดจะเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม กอนตรวจสอบวาความเปนฟงกชนหนงตอหนง ตองตรวจสอบกอนวาความสมพนธนนๆ เปนฟง กชนหรอไมกอนเสมอแลวจงท าการตรวจสอบความเปนฟงกชนหนงตอหนงดงน กรณท 1. เมอโจทยก าหนดฟงกชนเปนแบบแจกแจงสมาชก ใหดเรนจ (สมาชกตวหลง ) ของคสมาชกแตละตว หากเรนจแตละตวมคาไมซ ากน จะเปนฟงกชนหนงตอหนง หากเรนจมคาซ ากน จะไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

กรณท 2. เมอโจทยก าหนดกราฟของฟงกชนมาให ใหลากเสนตรงขนานแกน X ไปตดเสนกราฟของฟงกชนนน หากเสนขนานแกน X ตดเสนกราฟจดเดยวเสมอ จะเปนฟงกชนหนงตอหนง

หากเสนขนานแกน X ตดเสนกราฟหลายจด จะไมเปนฟงกชนหนงตอหนง กรณท 3. เมอโจทยก าหนดฟงกชนเปนแบบเงอนไขซงสามารถแจกแจงสมาชกได ใหท าการแจกแจงสมาชกใหเหนจรง แลวตรวจสอบเหมอนกรณท 1 กรณท 4. เมอโจทยก าหนดฟงกชนเปนแบบเงอนไขซงแจกแจงสมาชกไมได ใหใชนยามของฟงกชน 1 – 1 ทวา " ถา (x , y) f และ (z , y) f ถาตรวจสอบ

ไดวา x = z จะแสดงวาฟงกชนนนเปนฟงกชน 1 – 1 ทนท ” วธท าโดยละเอยดใหศกษาจากตวอยางตอๆ ไป

43. ฟงกชนในขอใดตอไปนเปนฟงกชนหนงตอหนง 1. f1 = { (1 , 2) , (3 , 4) , (5 , 6) , (7 , 4) } 2. f2 = { (5 , 7) , (1 , 3) , (4 , 6) , (2 , 7) } 3. f3 = { (3 , 5) , (1 , 4) , (2 , 8) , (6 , 3) } 4. f4 = { (2 , 4) , (5 , 3) , (7 , 4) , (1, 5) }


22

44. ความสมพนธซงมกราฟดงตอไปน ขอใดเปนฟงกชนหนงตอหนง 1. 2. 3. 4.

45. จากฟงกชนตอไปน มกขอทเปนฟงกชน 1 – 1 ก. r = { (x , y) A x B y < x } ; A = { 0 , 1 } , B = {–1 , 1 } ข. f = { (x , y)R x R y = x + 1 } ค. f = { (x , y)R x R y = x2 + 2x + 1 } ง. f = { (x , y)R x R y = 3x – 1 } 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 46. ฟงกชนในขอใดตอไปน เปนฟงกชนหนงตอหนง 1. f = (x , y) y = x2 2. g = (x , y) y = x – 1+ 2

3. h = (x , y) y = 1 2x 3 x 4. h = (x , y) y = 12x

y

x x

y

y

x

y

x


23

47(แนว Pat) ก าหนดให A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = { a , b} ฟงกชนจาก A ไป B ม จ านวนทงหมดกฟงกชน

48(แนว En) ก าหนดให A = {1 , 2 , 3 } และ B = {a , b} และให S = { f f : A B เปนฟงกชนทวถง } จ านวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน

1. 22 2. 25 3. 27 4. 30

49(แนว Pat) ก าหนดให A = { 1 , 2 } , B = { a , b , c , d } ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B มจ านวนทงหมดกฟงกชน


24

5.3.2.4 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง และ A เปนสบเซตของโดเมน 1. f เปนฟงกชนเพม (increasing function) ใน A กตอเมอส าหรบ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว y1 < 2

2. f เปนฟงกชนลด (decreasing function) ใน A กตอเมอส าหรบ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว y1 > y2

50. จงพจารณาวา ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพมหรอลด ก) f = { (x , y)R x R y = 3x – 2 } ข) g = { (x , y)R x R y = – x3 + 1 } 1. ก. เพม ข. ลด 2. ก. เพม ข. เพม 3. ก. ลด ข. เพม 4. ก. ลด ข. ลด 5.3.3 ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ พจารณาความสมพนธ อนเปนฟงกชนตอไปน

f = { (x , y) y = x2 + 2x – 6 } เราอาจเขยนเปน f (x) = x2 + 2x – 6 โดยท f (x) = y

และเรยก f (x) วาเปน คาของฟงกชน f ท x อานวาเอฟทเอกซ หรอ เอฟเอกซ

X

Y

X 0

y1

y2 f

x1 x2

(ก) ฟงกชนเพม

Y

0

y1

y2

f

x1 x2

(ข) ฟงกชนลด


25

ฝกท า จงเขยนความสมพนธอนเปนฟงกชนตอไปน ใหอยในรปทเอกซ 1. f = { (x , y) y = 2x – 6 }

2. g = { (x , y) y = 12x } 3. h–1 = { (x , y) y = 2x – 6 } 4. gof = { (x , y) y = 3x + 6 }

ฝกท า จงเปลยนเปนรปของความสมพนธ

1. f (x) = 3x + 3 2. f (x) = x 3. f (x) = x2 + 6 4. (g o f) (x) = 3x2 + 2x + 6 5. (f o g) (x) = 3x2 – 7x 6. f –1(x) = 4x 51. ก าหนดให f (x) = x2 –3x + 8 ใหหาคาของ f (0) , f (1) , f (a) 1. 8 , 6 , a2 – 8 2. 6 , 8 , – 3a 3. 8 , 6 , a2 – 3a + 8 4. 6 , 8 , a2 – 3a + 8


26

52. จากสมการทก าหนด จงหา f (2) , f (7) , f (0) , f (4)

f(x) =

0 >x เมอ 53x

0 x 3 เมอ 8

3 <x เมอ 14x

1. 1 , –27 , 8 , 15 2. –27 , 1 , 0 , 15 3. 1 , –27 , 8 , –15 4. –27 , 1 , 0 , –15

53(แนว Pat) ก าหนดให f (x) = x2 + x + 1 และ a , b เปนคาคงตวโดยท b 0 ถา f (a + b) = f (a – b) แลว 2a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –0.5 2. 0.5 3. –1 4. 1

54. ก าหนดให f (3x – 1) = 2x2 + 3x คาของ f (5) ตรงกบขอใด 1. 65 2. 35 3. 27 4. 14


27

55. ก าหนดให f (x + 3) = 2x – 1 คาของ f (1) ตรงกบขอใด 1. –5 2. 5 3. –1 4. 1

56. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 1 คาของ f (1) ตรงกบขอใด 1. –5 2. 5 3. –1 4. 1 57. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 1 คาของ f (x) ตรงกบขอใดตอไปน 1. x – 2 2. 2 x 3. x + 2 4. – 2 x

58. ก าหนดให f (x + 1) = x2 + 3 คาของ f (x) ตรงกบขอใดตอไปน 1. x2 – 2 x + 3 2. x2 – 2 x + 4 3. x2 – x + 3 4. x2 – x + 4


28

59(แนว En) ก าหนดให f (x) = x2 + x + 1 จงหา g (x) ทท าให f (x) = g (x – 1) 1. g(x) = x2 + 3x + 3 2. g(x) = x2 + x – 1 3. g(x) = x2 – x + 1 4. g(x) = x2 – 3x + 3

60. ก าหนดให f (x – 1) = 2x + 3 คาของ f (x + 2) ตรงกบขอใดตอไปน 1. 2 x + 3 2. – 2 x + 3 3. 2 x + 9 4. x + 9 61. ก าหนดให f (3x + 3) = 3x + 5 คาของ f (x) ตรงกบขอใดตอไปน 1. x – 3 2. 2 x – 3 3. 2 x – 1 4. x + 2


29

62. ก าหนดให f = (1 , a) , (3 , b) , (5 , c) แลว ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. f (1) = a , Df = 1 , Rf = a 2. f (3) = b , Df = 3 , Rf = b

3. f (5) = c , Df = 5 , Rf = c 4. f (1) + f (3) + f (5) = 9

63(แนว มช) โดเมนของ f (x) = 3 x x 53

x คอขอใดตอไปน

1. ( 3 , 5 ) 2. (3 , 5 ] 3. [ 3 , 5 ) 4. [3 , 5 ]

5.3.4 ฟงกชนผกผน ตวผกผนของฟงกชน f คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ f ถาตวผกผนนนเปนฟงกชน จะเรยกวาฟงกชนผกผน

ทฤษฏบท ให f เปนฟงกชน f จะมฟงกชนผกผนกตอเมอ f เปนฟงกชน 1 – 1

ฝกท า ถา f = (1 , r) , (2 , s) , (3 , r) , (4 , t) จงหา f –1 , Df 1 , 1f

R และ

f –1 เปนฟงกชนหรอไม


30

64. ก าหนดให f = (1 , a) , (3 , b) , (5 , c) แลว f –1(a) + f –1(b) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 4 4. 9 65. ก าหนดให f (x) = 3x – 4 แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3

4 +x 2. 3x + 4 3. 3

4 x 4. 3x – 4

66. ก าหนดให f (x) = 5x + 7 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = 3x – 1 2. f–1(x) = 3 1x 3. f–1(x) = 5x – 7 4. f–1(x) = 5 7x

67. ก าหนดให f (x) = 2x 1 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = x1 + x 2. f–1(x) = x1 – x 3. f–1(x) = x1 + 2 4. f–1(x) = x1 – 2


31

68. ก าหนดให f (x) = 3 – 4x5 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 5

4x 3 2. f–1(x) =

54

x 3

3. f–1(x) = 3

5 x4 4. f–1(x) = 3

5 x4 69. ก าหนดให f (x) = (4 – x3)5 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 5

4x 3 2. f–1(x) =

54

x 3

3. f–1(x) = 3

5 x4 4. f–1(x) = 3

5 x4 70. ก าหนดให f (x) = 3 x

2 x แลว f –1(3) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 29 2. 2

9 3. – 211 4. 2

11


32

71. ก าหนดให f (x) = 12x แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 212x 2. f–1(x) = 2

12x และ x ≥ 0

3. f–1(x) = 2 12x 4. f–1(x) = 2 12x และ x ≥ 0

72. ก าหนดให f (x) = 1 + 1x แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = (x – 1)2 + 1 2. f–1(x) = (x – 1)2 + 1 และ x ≥ 1 3. f–1(x) = (x – 1)2 – 1 4. f–1(x) = (x – 1)2 – 1 และ x ≥ 1 73. ก าหนดให f (x) = 46x เมอ x [0 , 10] แลว f –1 (x) เทากบขอใดตอไปน

1. 642x ; x [ 2 , 8 ] 2. 6

42x ; x [ 0 , 10 ]

3. 6 x2 – 4 ; x [ 2 , 8 ] 4. 6 x2 – 4 ; x [ 0 , 10 ]


33

74. สมมตวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง และ f (3) = 10 , f (10) = 18 , f–1(4) = 3 แลว คาของ f–1(10) + f–1(18) + f (3) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 31 2. 17 3. –17 4. –31

75. ถา f เปนฟงกชนซง f (x) = 5 + 2x แลว f –1(10) เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. –2 3. 25 4. – 25

76. ก าหนดให f (x + 3) = 8x – 4 แลว f –1(0) เทากบขอใดตอไปน 1. 0.5 2. –0.5 3. 3.5 4. –3.5


34

77(แนว มช) ถา f เปนฟงกชน ซง f (x + 3) = 2x – 1 แลว f –1(3) เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. –2 3. 5 4. –5

78(แนว En) ก าหนดให f ( 2

1 x + 1) = 21 x – 1 แลว f –1(2) เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 2 3. 4 4. 6

79. ก าหนดให f (x – 1) = x2 – 5x + 7 แลว f –1(1) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 0 4. 1 , 2


35

80. ก าหนดให f (x + 1 ) = x3 + 3x2 + 3x + 3 แลว f –1(–6) เทากบขอใดตอไปน 1. –4 2. –3 3. –2 4. –1 81. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 4 แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2

5 +x 2. 2x + 5 3. x + 5 4. x – 5

82. ก าหนดให f (6x + 2) = 3x – 7 แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3

5 +x 2. 3x + 5 3. 3x + 5 4. 2x + 16


36

83. ก าหนดให f (x) = 3 5x 4 2x

แลว f –1(x) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. f –1(x) = 2 5x 4 3x

2. f –1(x) = 2 5x

4 3x

3. f –1(x) = 2 5x 4 3x

4. f –1(x) = 2 5x

4 3x

84. ก าหนดให f –1 (x) = 3 x

x แลว f (x) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. f (x) = 3 x x 3 2. f (x) = 1 x

x 3

3. f (x) = 3 x x 3 4. f (x) = 1 x

x 3

5.3.5 ฟงกชนประกอบ บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ Rf Dg ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย gof คอฟงกชนทมโดเมนคอ Dgof = {x Df f (x) Dg} และก าหนด gof โดย (g o f) (x) = g [ f (x) ] ส าหรบทก x ใน Dgof


37

85. ก าหนดให f = (1 , 2) , (3 , 4) , (5 , 6) g = (2 ,10) , (4 , 20) , (6 , 30) แลว g o f คอขอใดตอไปน 1. (1 , 2) , (3 , 4) , (5 , 6) 2. (1 , 10) , (3 , 20) , (5 , 30) 3. (2 , 1) , (4 , 3) , (6 , 5) 4. (10 , 1) , (20 , 3) , (30 , 5)

ฝกท า. ก าหนดให f = (1 , 7) , (2 , 8) , (3 , 9) , (7 , 1) , (8 , 2) , (9 , 3) g = (1 ,1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (7 , 7) , (8 , 8) , (9 , 9) จงหา g o f , f o g , g o g

86. ก าหนดให f (x) = x + 6 ; g (x) = 2x –3 คาของ (g o f) (2) และ (f o g) (3) เทากบขอ ใดตอไปน ( ตอบตามล าดบ ) 1. 11 , 9 2. 11 , 12 3. 13 , 9 4. 13 , 12


38

87. ก าหนดให f (x) = x2 – 2 x , g (x) = x 5 คาของ (g o f) (3) และ (f o g) (9) เทากบขอใดตอไปน ( ตอบตามล าดบ ) 1. 11 , 0 2. หาคาไมได , 0 3. หาคาไมได , 9 4. 11 , 9

88. ก าหนดให f (x) =

4 x ; x 4 x 2 ; 0

2x ; 122x

g (x) =

2x ; 22x2x ; 12x

แลว (g o f) (2) + (g o g) (–3) เทากบขอใดตอไปน 1. –20 2. –16 3. 6 4. 12


39

89. ก าหนดให f (x) = 3x

h (x) =

0x เมอ 32x0x เมอ 22x

g (x) = x2 + 1 จะไดวา f o ( h o g ) (1) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3 2. 5 3. 6 4. 109

90. ก าหนด f (x) = x และ g (x) = x2 แลว (g o f) (x) และ (f o g) (x) เทากบขอใด 1. (g o f) = x , (f o g) (x) = | x | 2. (g o f) (x) = x , (f o g) (x) = x 3. (g o f) หาไมได , (f o g) (x) = x 4. (g o f) = x , (f o g) (x) หาไมได

91(แนว En) ถา f (x) = 4x และ g (x) = 1x2 คา x ทท าให (f o g) (x) = (g o f) (x)

เทากบขอใดตอไปน 1. 0.2 2. 0.4 3. 1.0 4. 2.0


40

92(แนว มช) ก าหนดให g = (x , y) R x R y = 2x + 5 และ h = (x , y) R x R y = 4x – 3 คาของ (h–1o g–1) ( 3 ) เทากบเทาใด

93. ก าหนดให f ( x ) = x + 4 และ g( x ) = 3 x คาของ (g o f)–1(x) เทากบขอใดตอไปน 1. x3 – 4 2. x3 + 4 3. x3 – 4 4. x3 + 4

94. ก าหนดให f (x) = x – 2 และ (g o f) (x) = x2 – 4x – 4 คาของ g (–1) เทากบขอใด ตอไปน

1. – 7 2. –3 3. 3 4. 7


41

95. ก าหนดให f (x) = 2x + 1 และ (g o f) (x) = 2x + 4 คาของ g (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x – 3 2. x + 3 3. 2x – 4 4. 2x + 4

96. ก าหนดให f (x) = x + 3 และ (g o f) (x) = 3x + 7 คาของ g (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 3x – 2 2. 3x + 2 3. 3x – 7 4. 3x + 7

97. ก าหนดให (g o f) (x) = 12x และ g (x) = x แลว f(x) เทากบขอใดตอไปน

1. x3 + 2 2. x2 – 1 3. 2x – 3 4. 12x


42

98. ก าหนดให (g o f) (x) = x3 + 2 และ g (x) = x + 2 จงหา f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x3 + 2 2. x3 3. 2x – 3 4. x3 + 3 99. ก าหนดให (g o f) (x) = 4x – 5 และ g (x) = 2x + 1 จงหา f (x) 1. x + 2 2. x 3. 2x – 3 4. x + 3 f o f –1( x ) = x

100. ก าหนดให g–1(x) = 3x – 5 และ (f o g) (x) = x + 1 ขอใดตอไปนถกตอง 1. f (x) = 3x – 4 2. f–1(x) = 3x – 4 3. f (x) = 3

5 x 4. f–1(x) = 3 5 x


43

101(แนว En) ถา f (x) = x – 1 และ (g o f–1) (x) = 4x2 – 1 แลวเซตค าตอบของสมการ g (x) = 0 คอขอใดตอไปน 1. { 2 , 3 } 2. { 2

1 , 23 } 3. { 0 , 1 } 4. { 2

1 , 25 }

102. ก าหนดให (f–1 o g–1) (x) = 4x – 5 และ g (x) = 2x + 1 จงหา f (x) 1. 2

1 x 2. 2x + 3 3. 81 x 4. x + 8

ถา f และ g เปนฟงกชนแบบ 1 – 1 และไปทวถง ( g o f ) –1 = f –1o g –1

103. ก าหนดให (f–1 o g)–1 (x) = 2x – 6 และ g (x) = x + 3 จงหา f–1(x) 1. 2

1 x 2. 21 x 3. 2

3 x 4. 23 x


44

104. ก าหนดให f (x) = x + 1 และ g (x) = x จงหา Dgof 1. R 2. [ 0 , ) 3. ( – , 0 ] 4. [ –1 , ) 105. ก าหนดให f (x) = x และ g (x) = x2 จงหา Dfog 1. R 2. [ 0 , ) 3. ( – , 0 ] 4. ( – , 0 )

106. ก าหนดให f (x) = 5x , g (x) = x2 จงหา Dgof และ g o f 1. [ 5 , ) , x – 5 2. [ 5 , ) , (x + 5)2 3. [ 0 , ) , x – 5 4. R , x – 5


45

107. ก าหนดให f (x) = x1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , ) 108. ก าหนดให f (x) = x

1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , ) 109. ก าหนดให f (x) = x

1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , )


46

110. ก าหนดให f (x) = x1 และ g (x) = x2 + 4x แลวโดเมนของ g o g เทากบขอใดตอไปน

1. R 2. [0 , ) 3. (– , –4) (4 , ) 4. (0 , ) 5.3.6 การด าเนนการของฟงกชน บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ R ผลบวก , ผลตาง , ผลคณ และผลหาร ของ f และ g เขยนแทนดวย f+g , f – g , f.g และ gf ตามล าดบ เปนฟงกชนซงก าหนดคาโดย (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f – g) (x) = f (x) – g (x) (f . g) (x) = f (x) . g (x)

(x)gf = (x)g (x) f เมอ g (x) 0

โดเมนของ f +g , f – g และ f . g คอ Df Dg ส าหรบโดเมนของ gf คอ { x x Df Dg และ g (x) 0 }

111. ก าหนดให f = (1 , 9) , (2 , 4) , (3 , 8) , (4 , 7) , (5 , 6) g = (1 , 3) , (3 , 2) , (7 , 6) , (5 , 0) ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. f + g = (1 , 12) , (3 , 10) , (5 , 6) 2. f – g = (1 , 6) , (3 , 6) , (5 , 6) 3. f g = (1 , 27) , (3 , 16) , (5 , 0) 4. gf = (1 , 3) , (3 , 4) , (5 , 0)


47

112. ก าหนดให f = (2 , 1) , (5 , 4) , (7 , 3) , (9 , 6) g = (2 , 5) , (5 , 1) , (7 , 0) , (8 , 3) ขอใดตอไปนถก 1. Df+g = 2 , 5 , 7 , 8 , 9 2. D f– g = 9 3. D f g = 2 , 5 , 7 , 8 , 9 4.

gfD = 2 , 5

113. ก าหนดให f (x) = x2 และ g (x) = x ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. (f + g) (9) = 84 2. (f – g) (–4) = 18 3. (f g) (4) = 32 4. gf (16) = 64

114(แนว Pat) ถา f (x) = 3 x และ g (x) = 2x แลว (f–1 + g–1) (2) มคาเทาใด


48

115(แนว En) ถา f (x) = x)(2 x)(3 และ g (x) = +3x1 แลวโดเมนของ f . g

คอเซตในขอใดตอไปน 1. 2. – , 2 3. –3 , 2 4. –3 , 2

116. ก าหนด f (x) = x + 1 เมอ –4 < x 3 g (x) = x – 2 เมอ –2 x < 5 ขอใดตอไปนถก 1. (f + g) (x) = 2x – 1 เมอ –6 < x < 8 2. (f – g) (x) = 3 เมอ –2 < x < 3 3. (f . g) (x) = x2 – x – 2 เมอ 8 < x < 15 4. 2x 1x )(x)gf(

เมอ { –2 x 3 } – { 2 }


49

117. ก าหนดให f (x) = 2x9 และ g (x) = 22x ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. (f + g ) (x) = 22x2x9 ; Df + g = [–3 , – 2 ] [ 2 , 3]

2. (f – g) (x) = 22x2x9 ; Df – g = [–3 , – 2 ] [ 2 , 3]

3. (f . g) (x) = 2)2)(x2x(9 ; Df . g = [–3 , – 2 ] [ 2 , 3]

4. )(x)gf( = 22x2) 2x)(x (9

;

gfD = [–3 , – 2 ] [ 2 , 3]


50

เฉลยบทท 5 ฟงกช น

1. ตอบขอ 1. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 1. 13. ตอบขอ 3. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 4. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 3. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 4. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 3. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 4. 37. ตอบขอ 1. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 4. 40. ตอบขอ 2. 41. ตอบขอ 4. 42. ตอบขอ 4. 43. ตอบขอ 3. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 2. 46. ตอบขอ 3. 47. ตอบ 14 48. ตอบขอ 4. 49. ตอบ 14 50. ตอบขอ 1. 51. ตอบขอ 3. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 4. 54. ตอบขอ 4. 55. ตอบขอ 1. 56. ตอบขอ 3. 57. ตอบขอ 1. 58. ตอบขอ 2. 59. ตอบขอ 1. 60. ตอบขอ 3. 61. ตอบขอ 4. 62. ตอบขอ 4. 63. ตอบขอ 2. 64. ตอบขอ 3. 65. ตอบขอ 1. 66. ตอบขอ 4. 67. ตอบขอ 4. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 3. 70. ตอบขอ 3. 71. ตอบขอ 4. 72. ตอบขอ 4. 73. ตอบขอ 1. 74. ตอบขอ 2. 75. ตอบขอ 3. 76. ตอบขอ 3. 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 3. 79. ตอบขอ 4. 80. ตอบขอ 2. 81. ตอบขอ 3. 82. ตอบขอ 4. 83. ตอบขอ 2. 84. ตอบขอ 2. 85. ตอบขอ 2. 86. ตอบขอ 3. 87. ตอบขอ 2. 88. ตอบขอ 2. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 1. 91. ตอบขอ 1. 92. ตอบ 0.5 93. ตอบขอ 1. 94. ตอบขอ 1. 95. ตอบขอ 2. 96. ตอบขอ 1. 97. ตอบขอ 2. 98. ตอบขอ 2. 99. ตอบขอ 3. 100. ตอบขอ 1.


51

101. ตอบขอ 2. 102. ตอบขอ 3. 103. ตอบขอ 4. 104. ตอบขอ 4. 105. ตอบขอ 1. 106. ตอบขอ 1. 107. ตอบขอ 3. 108. ตอบขอ 4. 109. ตอบขอ 4. 110. ตอบขอ 1. 111. ตอบขอ 4. 112. ตอบขอ 4. 113. ตอบขอ 2. 114. ตอบ 12 115. ตอบขอ 4. 116. ตอบขอ 4. 117. ตอบขอ 4.


52

ตะลยโจทยท วไป บทท 5 ฟงกช น

5.1 ความสมพนธ 5.1.1 ผลคณคารทเชยล 1. ก าหนดให A = {1 , 2} และ B = {3 , 6 , 7} แลว A B เทากบขอใดตอไปน 1. { (1 , 1) , (2 , 2) } 2. { (3 , 3) , (6 , 6) , (7 , 4) } 3. { (1 , 3) , (1 , 6) , (1 , 7) , (2 , 3) , (2 , 6) , (2 , 7) } 4. { (3 , 1) , (6 , 1) , (7 , 1) , (3 , 2) , (6 , 2) , (7 , 2) } 2. ก าหนดให A = {a , b , c} และ B = {e , f} แลว A B เทากบขอใดตอไปน 1. { (a , a ) , (b , b) , (c , c) } 2. { (e , e ) , (f , f) } 3. { (e , a) , (f , a) , (e , b) , (f , b) , (e , c) , (f , c) } 4. { (a , e) , (a , f) , (b , e) , (b , f) , (c , e) , (c , f ) }

3. จงหา P x (Q R) เมอ P = 0 , Q = 2 , 3 , 9 , R = a , b , c 1. 2. (0 , 0) 3. (0 , 2) , (0 , 3) , (0 , 9) 4. (0 , a) , (0 , b) , (0 , c) 4. ถา n เปนจ านวนสมาชกของเซต A และ m เปนจ านวนสมาชกของเซต B แลวจ านวน สมาชกของ A B , B A , A A และ B B ตามล าดบ เทากบขอใดตอไปน 1. m n , n m , n2 , m2 2. m n , n m , m2 , n2 3. n2 , m n , n m , m2 4. n2 , m2 , m n , n m

5. ก าหนดให M = {1, 2} , N = {2, 3} และ P = {4, 5} แลว (M N) (M P) ม จ านวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2 3. 4 4. 8


53

6. ก าหนดให M = {1 , 2} , N = {2 , 3} และ P = {4 , 5} แลว (M N) (M P) ม จ านวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2 3. 4 4. 8 6.1.2 ความสมพนธ

7. ให A = 1 , 2 และ B = 6 จงหาความสมพนธจาก A ไป B มทงหมดกแบบ 1. 0 2. 2 3. 4 4. 8

8. ก าหนดให A = m , k ความสมพนธใน A มกแบบ 1. 4 2. 24 3. 22 4. 44 9(แนว En) ถาเซต A มสมาชก 3 ตวแลว จ านวนทงหมดของความสมพนธจาก A x A ไป A เทากบขอใดตอไปน 1. 29 2. 227 3. 92 4. 272

10. ก าหนดให A = 2 , 3 , 4 , 5 , B = 4 , 9 และ r = (x , y) A x B y = 2x แลวจ านวนสมาชกของ r เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

11. ก าหนดให A = 2 , 3 , 4 , 5 , B = 4 , 9 และ r = (x , y) A x B y = x2 แลวจ านวนสมาชกของ r เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 12. ให B = 5 , 10 , 15 , 20 , C = 4 , 6 , 8 , 10 และ

r = (x , y) B x C y = 2)10x(

แลวจ านวนสมาชกของ r เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


54

13. ก าหนดให A = 2 , 3 , 4 , 5 , B = 4 , 9 และ r = (x , y) A x B x เปนจ านวนคทนอยกวา y

แลวจ านวนสมาชกของ r เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 14. ก าหนดให A = {0 , 2 , 4} , B = {0 , 1 , 2} และ r เปนความสมพนธจาก A ไป B ถา (x , y) r เมอ x y แลว r คอขอใดตอไปน 1. r = { (2 , 0 ) , (2 , 1 ) , (4 , 0 ) , (4 , 1 ) , (4 , 2 )} 2. r = { (0 , 2 ) , (1 , 2 ) , (0 , 4 ) , (1 , 4 ) , (2 , 4 )} 3. r = { (x , y) x A , y B และ x > y } 4. ขอ 1. และ 3. ถก

15. จ านวนสมาชกของความสมพนธ r = (x , y) I+ x I+ x2 + y2 = 25 เทากบขอ ใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 5.1.3 โดเมนและเรนจของความสมพนธ 16. โดเมนและเรนจของความสมพนธ

{ (–3 , 9) , (–2 , 4) , (–1 , 1) , (0 , 0) , (1 , 1) , (2 , 4) , (3 , 9) } คอขอใดตอไปน 1. Dr = { 0 , 1 , 4 , 9 } , Rr = { –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } 2. Dr = { –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } , Rr = { 0 , 1 , 4 , 9 } 3. Dr = { –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } , Rr = { –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } 4. Dr = { 0 , 1 , 4 , 9 } , Rr = { 0 , 1 , 4 , 9 }

17. ให r = (1 , –2) , (0 , 0) และให P(A) แทนเพาเวอรเซตของเรนจของ r ดงนน P(A) คอ 1. , {–2} , {–2 , 0} , {0, –2} 2. , {1} , {1 , 0} , {0 , 1} 3. {–2} , {} , {–2 , 0} , 4. {–2} , {0} , {–2 , 0} ,


55

18. ก าหนดให S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} และ r = (x , y) S S x + y = 6 แลว จ านวนสมาชกของโดเมนและเรนจของ r ตามล าดบ เทากบขอใดตอไปน 1. 0 , 0 2. 3 , 1 3. 3 , 3 4. 5 , 5 19. ก าหนดให S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} และ r = (x , y) S S x – y = 6 แลว จ านวนสมาชกของโดเมนและเรนจของ r ตามล าดบ เทากบขอใดตอไปน 1. 0 , 0 2. 3 , 1 3. 3 , 3 4. 5 , 5

20. ก าหนดให r = { (x , y) A x A y = x2 } เมอ A = {–2 , –1 , 0 , 1 , 2} แลว จ านวนสมาชกของโดเมนและเรนจของ r ตามล าดบ เทากบขอใดตอไปน 1. 0 , 0 2. 3 , 1 3. 3 , 2 4. 3 , 3

21. ก าหนดให S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} และ r = (x , y) S S x > 2 และ y = 3 แลว จ านวนสมาชกของโดเมนและเรนจของ r ตามล าดบ เทากบขอใดตอไปน 1. 0 , 0 2. 3 , 1 3. 3 , 3 4. 5 , 5

22. ก าหนดให r = { (x , y) I+x I+ x2 + y2 = 4 } แลวจ านวนสมาชกของโดเมน และเรนจของ r ตามล าดบ เทากบขอใดตอไปน 1. 0 , 0 2. 3 , 1 3. 3 , 2 4. 3 , 3

23. ก าหนดใหความสมพนธ r = { (x , y) I+ x I x2 + y2 = 4 } แลวโดเมนและเรนจ ของความสมพนธ r คอขอใดตอไปน 1. Dr = { 0 , 2 } , Rr = { 0 , 4 } 2. Dr = { 0 , 1 } , Rr = { 0 , 4 } 3. Dr = { 2 } , Rr = { 0 } 4. Dr = { 0 } , Rr = { 0 }

24. ให A = { x I+ x2 – 25 < 0 } B = { y I y < 2 }


56

r = { (x , y) A x B y – x > 0 } แลวจ านวนสมาชกของ r เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

25. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 2 x 1 คอขอใดตอไปน

1. Dr =x x 2 , Rr =y y 1 2. Dr =x x 0 , Rr =y y 1 3. Dr =x x 2 , Rr =y y 0 4. Dr =x x 0 , Rr =y y 0

26. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 5 x 3x คอขอใดตอไปน

1. Dr =x x –5 , Rr =y y 3 2. Dr =x x 0 , Rr =y y 3 3. Dr =x x –5 , Rr =y y 0 4. Dr =x x 0 , Rr =y y 0

27. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = x คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = R 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , )

28. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) I I y = x – 2 คอขอใด ตอไปน 1. Dr = { x x I } , Rr = { y y I } 2. Dr = { x x I } , Rr = { y y I และ y ≥ 0 } 3. Dr = { x x I และ x ≥ 0 } , Rr = { y y I } 4. Dr = { x x I และ x ≥ 0 } , Rr = { y y I และ y ≥ 0 }

29. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = x2 คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = R 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , )


57

30. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y2 = x คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = R 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , )

31. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = (x – 2)2 คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = R , Rr = R 3. Dr = [ 0 , ) , Rr = R 4. Dr = [ 0 , ) , Rr = [ 0 , )

32. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = x2 + 1 คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 1 , ) 2. Dr = R , Rr = R 3. Dr = [1 , ) , Rr = R 4. Dr = [1 , ) , Rr = [1 , )

33. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = – x คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = [ 0 , ) , Rr = R

3. Dr = [0 , ) , Rr = (– , 0 ] 4. Dr = (– , 0 ] , Rr = [0 , )

34. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 2 2x คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 2 , ) 2. Dr = [ 2 , ) , Rr = R 3. Dr = R , Rr = [ 2 , ) 4. Dr = [ 2 , ) , Rr = R

35. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 2x 1 คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [0 , 1] 2. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 3. Dr = [–1 , 1] , Rr = [0 , 1] 4. Dr = [–1 , 1] , Rr = [ 0 , )

36. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 1 2x คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = (– ,–1] [1 ,) , Rr = [0 , ) 3. Dr = R , Rr = [0 , 1] 4. Dr = (– ,–1] [1 ,) , Rr = [0 , 1]


58

37. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 822x คอขอใดตอไปน 1. Dr = R , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = (– ,–2] [2 ,) , Rr = [0 , ) 3. Dr = R , Rr = [0 , 2] 4. Dr = (– ,–2] [2 ,) , Rr = [0 , 2]

38. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 9 x 2 +x


1. Dr = (– ,–2] [9 ,) , Rr = [ 0 , ) 2. Dr = (– ,–2] [9 ,) , Rr = [ 0 , 1) (1 , )

3. Dr = (– ,–2] (9 ,) , Rr = [ 0 , ) 4. Dr = (– ,–2] (9 ,) , Rr = [ 0 , 1) (1 , )

39. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = x 4 7 คอขอใดตอไปน

1. Dr = (– , 0) , Rr = [0 , ) 2. Dr = (– , 4) [2 ,) , Rr = [0 , ) 3. Dr = (– , 0) , Rr = (0 , ) 4. Dr = (– , 4) , Rr = (0 , )

40. จงหา Dr และ Rr ของความสมพนธ r = {(x , y) R x R | y = 2x9 } 1. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ 0 , 3 ) 2. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ 0 , 3 ) 3. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ 0 , ) 4. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ 0 , ) 41. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y =

9 2x1


1. Dr = (–3 , 3) , Rr = ( 0 , 3 ) 2. Dr= (–, –3) (3 , ) , Rr= ( 0 , 3 ) 3. Dr = (–3 , 3) , Rr = ( 0 , ) 4. Dr= (–, –3) (3 , ) , Rr= ( 0 , )


59

42. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 2x 91


1. Dr = (– , 3) , Rr = [0 , ) 2. Dr = (–3 , 3) , Rr = [0 , ) 3. Dr = (– , 3) , Rr = [ 3

1 , ) 4. Dr = (–3 , 3) , Rr = [ 31 , )

43. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 คอขอใด ตอไปน 1. Dr = [–1 , 3] , Rr = [–4 , 0] 2. Dr = [–1 , 3] , Rr = [–4 , 0] 3. Dr = (–1 , 3) , Rr = (–4 , 0) 4. Dr = (–1 , 3) , Rr = (–4 , 0)

44. ถาความสมพนธ r = {(x , y) R x R y = 3 2x 2x1

} แลวขอใดตอไปนคอเรนจของ r

1. (– , – 21 ] (0 , ) 2. (– , – 4

1 ] (0 , ) 3. [– 2

1 , 0 ) 4. [– 41 , 0 )

45. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = x1 คอขอใดตอไปน

1. Dr = (– , 0) (0 , ) , Rr = R 2. Dr = ( 0 , ) , Rr = R 3. Dr = (– , 0) (0 , ) , Rr = ( 0 , ) 4. Dr = ( 0 , ) , Rr = ( 0 , )

46. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = x 11 คอขอใดตอไปน

1. Dr = (– , 1) (1 , ) , Rr = R 2. Dr = ( 0 , ) , Rr = R 3. Dr = (– , 1) (1 , ) , Rr = ( 0 , ) 4. Dr = ( 0 , ) , Rr = ( 0 , )

47. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 2 +x 11


1. Dr = R – {–1 , –3} , Rr = ( 0 , ) 2. Dr = R – {–1 , –3} , Rr = (– , 0) [1 , ) 3. Dr = R – {–2} , Rr = Rr = ( 0 , ) 4. Dr = R – {–2} , Rr = (– , 0) [1 , )


60

48. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = x1

x


1. Dr = R , Rr = [0 , 1) 2. Dr = ( 0 , ) , Rr = [0 , 1) 3. Dr = R , Rr = ( 0 , ) 4. Dr = ( 0 , ) , Rr = ( 0 , )

49. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) 4 x + y2 = 4 คอขอใดตอไปน 1. Dr = [–1 , 1] , Rr = [ –2 , 2 ] 2. Dr= (–, –1] [1 , ) , Rr= [ –2 , 2 ] 3. Dr = [–1 , 1] , Rr = [ 0 , 2 ) 4. Dr= (–, –1] [1 , ) , Rr= [ 0 , 2)

5.2 ตวผกผนของความสมพนธ 50. โดเมนของตวผกผนของความสมพนธ { (1 , 3) , (2 , 4) , (3 , 7) , (6 , 7) , (6 , 10) } คอ ขอใดตอไปน 1. Dr = { 1 , 2 , 3 , 6 } 2. Dr = { 3 , 4 , 7 , 10 } 3. Dr = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 10 } 4. ถกทกขอ 51. ตวผกผนของความสมพนธ r = (x , y) 2x + y = 1 คอขอใดตอไปน 1. r–1 = (x , y) 2x + y = 1 2. r–1 = (x , y) y = 2 x 1

3. r–1 = (x , y) y = 2 – 3x 4. r–1 = (x , y) y = 3 x 2

52. ตวผกผนของความสมพนธ r = (x , y) y = 2 – 3x คอขอใดตอไปน 1. r–1 = (x , y) 2x + y = 1 2. r–1 = (x , y) y = 2 x 1

3. r–1 = (x , y) y = 2 – 3x 4. r–1 = (x , y) y = 3 x 2 53. ตวผกผนของความสมพนธ r = (x , y) y > x คอขอใดตอไปน 1. r–1 = (x , y) x y > 1 2. r–1 = (x , y) y < x 3. r–1 = (x , y) y > x 4. ถกทกขอ


61

54. ตวผกผนของความสมพนธ r = (x , y) x y = 1 คอขอใดตอไปน 1. r–1 = (x , y) x y = 1 2. r–1 = (x , y) yx = 1

3. r–1 = (x , y) xy = 1 4. ถกทกขอ

55. ตวผกผนของความสมพนธ r = (x , y) y = x คอขอใดตอไปน 1. r–1 = (x , y) y2 = x และ x ≥ 0 2. r–1 = (x , y) y2 = x 3. r–1 = (x , y) y = x2 และ x ≥ 0 4. r–1 = (x , y) y = x2

5.3 ฟงกชน 5.3.1 ความหมายของฟงกชน 56. ความสมพนธ r ในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1. r1 = { (1 , 2) , (3 , 4) , (1 , 5) , (4 , 7) } 2. r2 = { (5 , 9) , (6 , 8) , (7 , 4) , (6 , 3) } 3. r3 = { (1 , 7) , (2 , 4) , (3 , 5) , (2 , 4) } 4. r4 = { (5 , 1) , (6 , 2) , (4 , 3) , (5 , 7) }

57. ความสมพนธทก าหนดใหตอไปน มกขอทเปนฟงกชน (ก) { (1 , a) , (2 , b) , (3 , b) , (5 , c) } (ข) { (1 , a) , (2 , b) , (3 , c) , (4 , d) , (4 , e) } (ค) { (1 , a) , (2 , a) , (3 , a) , (4 , a) }

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

58. ความสมพนธทก าหนดใหตอไปน ขอใดเปนฟงกชน (ก) {(x , y) A A y x} ; A = {1 , 2 , 3} (ข) {(x , y) B B y = x – 2} ; B = {–2 , –1 , 0 , 1 , 2}

1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. ไมเปน ข. เปน 3. ก. เปน ข. ไมเปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน


62

59. ความสมพนธทก าหนดใหตอไปน ขอใดเปนฟงกชน (ก) { (x , y) A B y < x } ; A = {0 , 1} , B = {–1 , 1} (ข) { (x , y) y = 1 เมอ x 0 และ y = –1 เมอ x 0 }

1. ก. เปน ข. เปน 2. ก. ไมเปน ข. เปน 3. ก. เปน ข. ไมเปน 4. ก. ไมเปน ข. ไมเปน 60. ก าหนดให D = { 2 , 5 , 6 , 7 , 8 } อนเวอรสของความสมพนธทม D เปนโดเมนในขอใด ตอไปน ไมเปนฟงกชน 1. { (x , y) y = x – 5 } 2. { (x , y) y = x – 2 } 3. { (x , y) y = x2 – 4x } 4. { (x , y) y = เศษทเหลอจากการหาร x ดวย 4 } 61. ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1. r1 = { (x , y) R x R x + y = 4 } 2. r2 = { (x , y) R x R x + y = 1 } 3. r3 = { (x , y) R x R y = 2x + 1 } 4. r4 = { (x , y) R x R x = y2 + 2y + 1 } 62. ขอใดตอไปนไมเปนฟงกชน 1. r1 = { (x , y) R x R y = x – 2 + 3 } 2. r2 = { (x , y) R x R y = x2 – 2x + 3 }

3. r3 = { (x , y) R x R y = 3x2x } 4. r4 = { (x , y) R x R y > x – 3 }


63

63. ความสมพนธทก าหนดใหตอไปน มกขอทเปนฟงกชน (ก) {(x , y) y = x } (ข) {(x , y) x = 3 } (ค) {(x , y) y = –2 }

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 64. ถา r แทนความสมพนธ จงหาวาความสมพนธทเปนฟงกชนคอขอใด 1. r = {(x , y) x2 = 9} 2. r = {(x , y) x2 = 4y2} 3. r = {(x , y) x2 – y2 = 0} 4. r = {(x , y) y = x1 } 65. ขอใดตอไปนไมเปนฟงกชน 1. {(x , y) R x R y = x} 2. {(x , y) R x R y = x2} 3. {(x , y) R x R y = x3} 4. {(x , y) R x R y2 = x} 5.3.2 ฟงกชนทควรรจก 66. ก าหนดให A = {1 , 2 , 3} และ B = {a , b , c} และ f1 = {(1 , a) , (2 , b) , (3 , a)} f2 = {(1 , a) , (2 , c) , (3 , b)} f3 = {(1 , a) , (2 , a) , (3 , b)} f4 = {(a , 1) , (b , 2) , (c , 2)} f5 = {(a , 2) , (b , 1) , (c , 2)} f6 = {(a , 1) , (b , 1) , (c , 1)} f7 = {(1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3)} f8 = {(a , a) , (b , b) , (c , c)} ฟงกชน f ทก าหนดใหมกขอทเปนฟงกชนจาก A ไป B 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 67. จากขอทผานมา ฟงกชน f ทก าหนดใหมกขอทเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 68. จากขอทผานมา ฟงกชน f ทก าหนดใหมกขอทเปนฟงกชน 1 – 1 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


64

69. ก าหนดให A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 4 , 5 , 6 , 7 } และ C = { a , b , c , d } จงพจารณาขอความตอไปน ก. f1 = { (1 , 4) , (2 , 5) , (3 , 6) } เปนฟงกชนจาก A ไป B ข. f2 = { (2 , a) , (3 , b) , (4 , c) } เปนฟงกชนจาก B ไป C ค. f3 = { (a , 4) , (b , 5) , (c , 6) , (d , 7) } เปนฟงกชนจาก C ไป B ง. f4 = { (4 , 1) , (5 , 2) , (6 , 3) , (7 , 4) } เปนฟงกชนจาก B ไป A ขอใดตอไปนถก 1. ขอ ก ถง ง มขอถก 1 ขอ 2. ขอ ก ถง ง มขอถก 2 ขอ 3. ขอ ก ถง ง มขอถก 3 ขอ 4. ขอ ก ถง ง มขอถก 4 ขอ 70. ก าหนดให A = { a , b , c } , B = { 1 , 2 , 3 } และ C = { 1 , 2 , 3 , 4 } ถา f = { (a , 1) , (b , 2) , (c , 3) } แลว จงพจารณาขอความตอไปน ก. f : A B ข. f : A C ค. f : B A ง. f : A A

ขอใดตอไปนถก 1. ขอ ก ถง ง มขอถก 1 ขอ 2. ขอ ก ถง ง มขอถก 2 ขอ 3. ขอ ก ถง ง มขอถก 3 ขอ 4. ขอ ก ถง ง มขอถก 4 ขอ 71. ให A = {x , y , z} , B = {1 , 0} ขอใดตอไปนฟงกชนทเปนฟงกชนจาก A ไป B

1. { (x , 1) , (y , 1) , (z , 1) } 2. { (x , 0) , (y , 0) , (z , 0) } 3. { (x , 1) , (y , 0) , (z , 0) } 4. ถกทกขอ 72(แนว Pat) ก าหนดให A = {x , y , z} , B = {1 , 0} ฟงกชนจาก A ไป B มจ านวน ทงหมดกฟงกชน


65

73. ฟงกชนทก าหนดใหตอไปน มกขอทเปนฟงกชน 1 – 1 (ก) { (x , y) y = x2 + x } (ข) { (x , y) y = 2x + 5 } (ค) { (x , y) y = 2x – 1 }

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 74. ฟงกชนทก าหนดใหตอไปน มกขอทเปนฟงกชนเพมในเซตทก าหนด

(ก) { (x , y) y = –3x + 7 } ในเซต (0 , ) (ข) { (x , y) y = –x2 + 5 } ในเซต ( , 0] (ค) { (x , y) y = x } ในเซต [–2 , 2] (ง) { (x , y) y = x2 + 1 } ในเซต R

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5.3.3 ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ

75. ก าหนดให f = { (x , y) R x R y = 2x – 3 } ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. f (–5) = –13 2. f (0) = –3 3. f (2) = 1 4. f (5) = 4

76. ก าหนดให f (x) = x2 + 1 และ k R ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. f (k) = k2 + 1 2. f (2x) = 4x2 + 1 3. f (x3) = x9 + 1 4. f (x + 1) = x2 + 2x +2


2 x ;5x

2 x ; 23x (x) f ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. f (–2) = 1 2. f (1) = 5 3. f (2) = 8 4. f (3) = 15


66


3 x เมอ 23 x 1 เมอx

1 x เมอ 1 แลว f (–2) + f (1) + f (9) เทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 3 3. 4 4. 11


8x ;3x 2x

8x 9 ;4 x 9x ; 52x

(x) f

g (x) = 2x + 1 ขอใดตอไปนถก 1. f (g (–6) ) = –15 2. f (g (6) ) = 9 3. g (f (6) ) = 5 4. g (f (–1) ) = 7 80. ก าหนดให f (x) = 1x g (x) = x2 + 1 h (x) = x + 1 ขอใดตอไปนถก 1. f (g (x) ) = x 2. g (f ( x ) ) = x 3. g ( f ( h ( 4 ) ) ) = 17 4. h (g ( f ( 5 ) ) ) = 6 81. ก าหนดให f (x) = ax2 – bx + c , f (0) = 5 , f (–1) = 10 , f (1) = 6 ขอใดตอไปนถก 1. f (–2) = 20 2. f (2) = 12 3. f (–3) = 38 4. f (3) = 25 82. ก าหนดให f (3x – 1) = 2x2 + 3x คาของ f (8) ตรงกบขอใดตอไปน 1. 65 2. 35 3. 27 4. 14 83. ก าหนดให f (2x + 1) = 3x – 9 คาของ f (1) ตรงกบขอใดตอไปน 1. –9 2. –3 3. 3 4. 9


67

84. ก าหนดให f (2x + 1) = 2x – 12 คาของ f (x) ตรงกบขอใด 1. 2x + 11 2. 2x – 13 3. x – 13 4. x + 11 85. ก าหนดให f (x +1 ) = 3x2 – 3x + 4 คาของ f (x) ตรงกบขอใด 1. 3x2 – 15x + 22 2. 3x2 – 9x + 10 3. 3x2 – 6x + 5 4. 3x2 – 10x + 2 86. ก าหนดให f (x + 1) = 3x – 5 คาของ f (x – 2) ตรงกบขอใด 1. 3 x + 8 2. – 3 x + 8 3. 3 x – 8 4. x – 8

87. ก าหนดให ก. h (x) = (x + 2)2 (x – 4)1/4 ข. k (x) = 1x5x

แลวโดเมนของ

ฟงกชนทก าหนด คอขอใดขอไปน 1. ก. [4 , ) ข. [–5 , ) 2. ก. [4 , ) ข. [–5 , 1) (1 , ) 3. ก. (– , 4] ข. [–5 , ) 4. ก. (– , 4] ข. [–5 , 1) (1 , )

88. ก าหนดให ก. f (x) = x2x ข. g (x) = 2x – x1 แลว

โดเมนของฟงกชนทก าหนด คอขอใดขอไปน 1. ก. (– , 2] ข. (–2 , ) 2. ก. (– , 2] ข. [–2 , 0) (0 , ) 3. ก. [0 , 2] ข. (–2 , ) 4. ก. [0 , 2] ข. [–2 , 0) (0 , )

89. ก าหนดให g (x) = x2 + 4 และ Dg = x –5 x 3 แลวเรนจของฟงกชน g คอขอใดตอไปน 1. [ 13 , 29] 2. [0 , 13] 3. [0 , 29] 4. [4 , 29]

90. ก าหนดให h (x) = x2 – 6 และโดเมนของ h คอ {x –4 < x < 3} แลวเรนจของ ฟงกชน h คอขอใดตอไปน 1. [ 3 , 10] 2. [0 , 10] 3. [–6 , 10] 4. [–6 , 10)


68

91. ก าหนดให f = { (x , y) R x R y = 43x 12x

} ขอใดตอไปนถกตอง

1. f : R R 2. f : R – 34 R – 23

3. f : R – 43 R 4. f : R – 34 R

92. ก าหนดให f = (x , y) y = 1 +x แลวเซต A ทท าให f เปนฟงกชนจาก A ไป R คอขอใดตอไปน 1. [ –1 , 0] 2. [–1 , ] 3. [– , –1] 4. R

93. ก าหนดให f = (x , y) y = x2 + 4 แลวเซต A ทท าให f เปนฟงกชนจาก R ไป A คอขอใดตอไปน 1. [ 4 , 0] 2. [4 , ] 3. [– , 4] 4. R 5.3.4 ฟงกชนผกผน

94. ก าหนดให f (x) = 3x + 1 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = 3x – 1 2. f–1(x) = 3 1x 3. f–1(x) = 5x – 7 4. f–1(x) = 5 7x 95. ก าหนดให f (x) = 5 – x แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = 3x + 1 2. f–1(x) = 3 1x 3. f–1(x) = 5 – x 4. f–1(x) = 5 + x

96. ก าหนดให f (x) = 5 + 3 x แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = (x + 5)3 2. f–1(x) = (x – 5)3 3. f–1(x) = x3 + 5 4. f–1(x) = x3 – 5


69

97. ก าหนดให f (x) = 5x2 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 52 2x 2. f–1(x) = 5

2 2x และ x ≥ 0

3. f–1(x) = 52 2x 4. f–1(x) = 5

2 2x และ x ≥ 0

98. ก าหนดให f (x) = x2 + x และ x ≥ – 21 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 21

41x 2. f–1(x) = 2

141x และ x ≥ – 4

1

3. f–1(x) = 21

41x 4. f–1(x) = 2

141x และ x ≥ – 4

1

99. ก าหนดให f (x) = 9 – x2 และ x [0 , 3] แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน 1. f–1(x) = x9 และ x [0 , 3] 2. f–1(x) = x9 และ x [0 , 9] 3. f–1(x) =

x91

และ x [0 , 3] 4. f–1(x) = x9

1

และ x [0 , 9]

100. ก าหนดให f (x) = 42x และ x 2 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 42x และ x [0 , ) 2. f–1(x) = 42x และ x [0 , )

3. f–1(x) = 42x และ x [0 , 2] 4. f–1(x) = 42x และ x [0 , 2]

101. ก าหนดให f (x) = 2x16 และ 0 x 4 แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใด ตอไปน

1. f–1(x) = 2x16 และ 0 x 2 2. f–1(x) = 2x16 และ 0 x 4

3. f–1(x) = 2x16 และ 0 x 2 4. f–1(x) = 2x16 และ 0 x 4

102. ก าหนดให f (x) = 3x – 3 (x R) แลว f–1(3) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

103. ถา f เปนฟงกชนซง f (x) = x2 + 4x แลว f –1(12) เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. –2 3. 25 4. – 25


70

104. ถา g เปนฟงกชนซง g (x) = x3+3x2+3x+9 แลว g–1(7) เทากบขอใดตอไปน 1. –2 2. 2 3. 3 4. 5 105. ถา f เปนฟงกชนซง f–1( 34 x + 2) = 5x – 11 แลว f –1(4) เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2 3. 4 4. 6 106. ก าหนดให f (2x – 1) = 3x + 5 แลว f–1(x) คอขอใดตอไปน 1. 3

5)(x 2 2. 35)(x 2 3. 2

5)(x 3 4. 25)(x 3

107. ก าหนดให f–1(5x – 3) = 4x + 1 แลว f (x) คอขอใดตอไปน 1. 4

175x 2. 5174x 3. 5

174x 4. 4175x

108. ก าหนดให f (x) = 2x 2x

แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 1x 2 x 2

2. f–1(x) = 1x

2 x 2

3. f–1(x) = 23x x 5

4. f–1(x) = 23x

x 5

109. ก าหนดให f (x) = 3x 1 2x 5

แลวฟงกชนผกผนของ f คอขอใดตอไปน

1. f–1(x) = 1x 2 x 2

2. f–1(x) = 1x

2 x 2

3. f–1(x) = 23x x 5

4. f–1(x) = 23x

x 5

5.3.5 ฟงกชนประกอบ 110. ก าหนดให f = { (1 , 5) , (2 , 4) , (3 , 6) , (4 , 10) } และ

g = { (3 , 1) , (4 , 10) , (5 , 9) } แลว g o f เทากบขอใดตอไปน 1. { (1 , 9) , (2 , 10) } 2. { (3 , 7) , (4 , 20) } 3. { (3 , 6) , (4 , 100) } 4. หาไมได


71

111. ก าหนดให f = { (–3 , 1) , (0 , 4) , (2 , 0) } g = { (–3 , 2) , (1 , 2) , (2 , 6) } และ

h = { (2 , 4) , (1 , 0) } แลว f o g เทากบขอใดตอไปน 1. { (–3 , 6) , (1 , 6) } 2. { (–3 , 2) } 3. { (–3 , 0) , (1 , 0) } 4. หาไมได

112. ก าหนดให f = { (–3 , 1) , (0 , 4) , (2 , 0) } g = { (–3 , 2) , (1 , 2) , (2 , 6) } และ

h = { (2 , 4) , (1 , 0) } แลว g o g เทากบขอใดตอไปน 1. { (–3 , 6) , (1 , 6) } 2. { (–3 , 2) } 3. { (–3 , 0) , (1 , 0) } 4. หาไมได

113. ก าหนดให f = { (–3 , 1) , (0 , 4) , (2 , 0) } g = { (–3 , 2) , (1 , 2) , (2 , 6) }

และ h = { (2 , 4) , (1 , 0) } แลว g o h เทากบขอใดตอไปน 1. { (–3 , 6) , (1 , 6) } 2. { (–3 , 2) } 3. { (–3 , 0) , (1 , 0) } 4. หาไมได

114. ก าหนดให f (x) = x + 6 และ g (x) = 2x –3 แลว (g o f) (3) + (f o g) (6) เทากบขอใด ตอไปน 1. 0 2. 4 3. 15 4. 30

115. ก าหนดให f (x) = x2 – 2 x และ g (x) = x2 + 1 แลว (g o f) (3) + (f o g) (–2) เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 12 3. 25 4. 28


72


2x เมอ 2x

2x เมอ 2 และ g(x) = 3x – 1

แลว (g o f)(–2) + (f o g)(2) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 10 2. 11 3. 12 4. 13


4 x ; x 4 x 2 ; 0

2x ; 122x

g (x) =

2x ; 22x2x ; 12x

แลว (f o g) (4) + [ f o (g o f) ] (0) เทากบขอใดตอไปน 1. –20 2. –16 3. 6 4. 12 118. ก าหนดให f (x) = 2x + 1 ; 0 x 4 g (x) = 3x – 2 ; –1 x 2 แลว (g o f) (1) เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 3 4. ไมนยาม 119. ก าหนดให f (x) = x3 – x และ g (x) = x2 แลว (g o f) (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x4 2. x6– x2

3. (x3 – x)3 – (x3 – x) 4. x6 – 2x4 + x2 120. ก าหนดให f (x) = x3 – x และ g (x) = x2 แลว (f o g) (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x4 2. x6– x2

3. (x3 – x)3 – (x3 – x) 4. x6 – 2x4 + x2


73

121. ก าหนดให f (x) = x3 – x และ g (x) = x2 แลว (f o f) (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x4 2. x6– x2

3. (x3 – x)3 – (x3 – x) 4. x6 – 2x4 + x2 122. ก าหนดให f (x) = x3 – x และ g (x) = x2 แลว (g o g) (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x4 2. x6– x2

3. (x3 – x)3 – (x3 – x) 4. x6 – 2x4 + x2 123. ก าหนดให f (x) = x2 – 2 x และ g (x) = x2 + 1 แลว (f o g) (x) เทากบขอใดตอไปน 1. (x2 +1)2 – 2 x2 + 1 2. (x2 +1)2 – 2 (x2 + 1)

3. x4 – 4x2 x + 4x2 + 1 4. x4 – 4x3 + 4x2 + 1 124. ก าหนดให f (x) = x2 – 2 x และ g (x) = x2 + 1 แลว (g o f) (x) เทากบขอใดตอไปน 1. (x2 +1)2 – 2 x2 + 1 2. (x2 +1)2 – 2 (x2 + 1)

3. x4 – 4x2 x + 4x2 + 1 4. x4 – 4x3 + 4x2 + 1 125. ก าหนดให f (x) = x และ g (x) = x2 แลว (g o f) (x) เทากบขอใดตอไปน

1. x 2. x 3. x2x 4. 4x2 126. ก าหนดให f (x) = x และ g (x) = x2 แลว (f o g) ) (x) เทากบขอใดตอไปน

1. x 2. x 3. x2x 4. 4x2 127. ก าหนดให f (x) = x1 , g (x) = 1 – x2 และ h (x) = 2 + x แลว (f o (g o h)) (x) เทากบขอใดตอไปน

1. 2xx 2. xx44

3. 24x2x 4. x4 – 4x3 + 4x2 + 1


74


4 x ; x 4 x 2 ; 0

2x ; 122x

g (x) =

2x ; 22x2x ; 12x

แลว (g o f) (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 4x2 + 2x –7 2. x2 + 4x – 3

3.

4 x ; 22x4 x 2 ; 1

2x ;4 24x 4.

2x ; 2x2x ; 1x


3x ; 2x 60x ; x4

g (x) = x2 + 2 ; x > 1 แลว (f o g) (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 2 – 2x2 เมอ x > 1 2. x2 + 1 เมอ x > 1

3.

3x ; 3 x 0x ;4 2x 4.

0 x ; 2x 6x ; x4 3

130(แนว En) ให f = (x , y) R x R y = 3x – 2 และ g = (x , y) R x R y = 2x + 7 คาของ (g–1o f–1) (4) คอขอใด 1. 17

6 2. 25 3. 6

1 4. 72

131. ก าหนดให g (x) = 2x และ (f o g) (x) = 4x2 + 1 แลว f (–2) เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 5 3. 25 4. ไมนยาม


75

132. ก าหนดให f (x) = x – 2 และ (g o f) (x) = x2 – 4x – 4 แลว g (–1) เทากบขอใดตอไปน 1. –7 2. 0 3. 3 4. ไมนยาม 133. ก าหนดให g (x) = 2x + 1 และ h (x) = 4x2 + 4x + 7 ซง (f o g) (x) = h (x) แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x2 + x – 1 2. x3 + 1 3. x2 + 6 4. ไมนยาม

134. ให g (x) = 2+x และ (f o g) (x) = 232)(x + 1 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x6– x4 2. x3 + 1 3. (x3 – x)3 – x3 4. x6 – 2x3 + x 135. ก าหนดให (g o f) (x) = 4x – 5 และ g (x) = 2x + 1 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x2+ 3 2. 2x3 – 3 3. 2x – 3 4. 3x – 2 136. ก าหนดให g (x) = 2 x และ (g o f) (x) = 1 x

2 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 x

1 2. 1 2x 2 3. 2x – 1 4. x + 2

137. ก าหนดให g (x) = 2+x และ (g o f) (x) = x + 2 แลว f (x) เทากบขอใด ตอไปน 1. x2 + 2 2. x2 – 2 3. x2 + 4x + 2 4. x2 + 4x + 4 138. ก าหนดให f (x) = 3x + 5 และ h (x) = 3x2 + 3x + 2 ซง (f o g) (x) = h (x) แลว g (x) เทากบขอใดตอไปน 1. x2 + x – 1 2. x3 + 1 3. x2 + 6 4. ไมนยาม

139. ก าหนดให g–1(x) = 4x + 2 และ (f o g) (x) = x – 5 ขอใดตอไปนถกตอง 1. f (x) = 4x – 3 2. f–1(x) = 4x – 3 3. f (x) = 4

5 x 4. f–1(x) = 45 x


76

140(แนว En) ถา f (x) = x และ (g o f–1) (x) = 4x2 – 1 แลวเซตค าตอบของสมการ g (x) = 0 คอขอใดตอไปน 1. { 2 , 3 } 2. { – 2

1 , 21 } 3. { 0 , 1 } 4. { 2

1 , 23 }

141. ให (f–1 o g–1) (x) = 4x – 2 และ g(x) = 2x + 3 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 8x2 + 10 2. 8x2 – 10 3. 8

10x 4. 10x 8

142. ให (f–1 o g)–1(x) = 2x – 4 และ g(x) = x + 5 แลว f –1(x) เทากบขอใดตอไปน 1. x2 + 2 2. x2 – 2 3. 2

1x 4. 1x 2

143. ก าหนดให f (x) = x2 และ g (x) = 5x แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [30 , )

3. (– , – 5 ] [ 5 , ) 4. (–5 , ) 144. ก าหนดให f (x) = x2 และ g (x) = 5x แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. [30 , )

3. (– , – 5 ] [ 5 , ) 4. (–5 , ) 145. ก าหนดให f (x) = x2 และ g (x) = 5x แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [30 , )

3. (– , – 5 ] [ 5 , ) 4. (–5 , ) 146. ก าหนดให f (x) = x2 และ g (x) = 5x แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. [30 , )

3. (– , – 5 ] [ 5 , ) 4. (–5 , )


77

147. ก าหนดให f (x) = x + 1 และ g (x) = x แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. [0 , 1) (1 , ) 4. [–1 , ) 148. ก าหนดให f (x) = x + 1 และ g (x) = x แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. [0 , 1) (1 , ) 4. [–1 , ) 149. ก าหนดให f (x) = x และ g (x) = 4x 1 แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. [0 , 16) (16 , ) 4. (4 , ) 150. ก าหนดให f (x) = x และ g (x) = 4x 1 แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. [0 , 16) (16 , ) 4. (4 , ) 151. ก าหนดให f (x) = x และ g (x) = 4x 1 แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. [0 , 16) (16 , ) 4. (4 , ) 152. ก าหนดให f (x) = x 1x และ g (x) = 2x – 3 แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. R – { 23 } 3. R – { 0 } 4. R – { 0 , –1 } 153. ก าหนดให f (x) = x 1x และ g (x) = 2x – 3 แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. R – { 23 } 3. R – { 0 } 4. R – { 0 , –1 }


78

154. ก าหนดให f (x) = x 1x และ g (x) = 2x – 3 แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. R – { 23 } 3. R – { 0 } 4. R – { 0 , –1 } 155. ก าหนดให f (x) = x 1x และ g (x) = 2x – 3 แลวโดเมนของ g o g เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. R – { 23 } 3. R – { 0 } 4. R – { 0 , –1 } 156. ก าหนดให f (x) = x1 และ g (x) = 2x + 3 แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0) (0 , ) 4. (–3 , ) 157. ก าหนดให f (x) = x1 และ g (x) = 2x + 3 แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0) (0 , ) 4. (–3 , )

158. ก าหนดให f (x) =3

x และ g (x) = x แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0] 4. (0 , )


x และ g (x) = x แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0] 4. (0 , )


x และ g (x) = x แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0] 4. (0 , )


x และ g (x) = x แลวโดเมนของ g o g เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0] 4. (0 , )


79

162. ก าหนดให f (x) = 3x + 1 และ g (x) = 2x – x2 แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใด ตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. [0 , 16) (16 , ) 4. (4 , ) 163. ก าหนดให f (x) = 3x + 1 และ g (x) = 2x – x2 แลวโดเมนของ f o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. [0 , 16) (16 , ) 4. (4 , ) 164. ก าหนดให f (x) = x2 และ g (x) = x + 5 แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0 ] 4. (–5 , ) 165. ก าหนดให f (x) = x3 – 3 และ g (x) = x + 2 แลวโดเมนของ g o f เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0 ] 4. (–2 , )

166. ก าหนดให f (x) = x3 – 3 และ g (x) = x + 2 แลวโดเมนของ f o g เทากบขอใดตอไปน 1. R 2. [0 , ) 3. (– , 0 ] 4. (–2 , )

5.3.6 การด าเนนการของฟงกชน 167. ก าหนดให f = { (1 , 5) , (2 , 4) , (3 , 6) , (4 , 10) } และ

g = { (3 , 1) , (4 , 10) , (5 , 9) } แลว f + g เทากบขอใดตอไปน 1. { (1 , 9) , (2 , 10) } 2. { (3 , 7) , (4 , 20) } 3. { (3 , 6) , (4 , 100) } 4. { (3 , 6) }

168 ก าหนดให f = { (1 , 5) , (2 , 4) , (3 , 6) , (4 , 10) } และ g = { (3 , 1) , (4 , 10) , (5 , 9) }

แลว g – f เทากบขอใดตอไปน 1. { (1 , 9) , (2 , 10) } 2. { (3 , 5) , (4 , 0) } 3. { (3 , –5) , (4 , 0) } 4. { (3 , 6) }


80

169. ก าหนดให f = { (1 , 5) , (2 , 4) , (3 , 6) , (4 , 10) } และ g = { (3 , 1) , (4 , 10) , (5 , 9) }

แลว gf เทากบขอใดตอไปน 1. { (1 , 9) , (2 , 10) } 2. { (3 , 5) , (4 , 0) } 3. { (3 , –5) , (4 , 0) } 4. { (3 , 6) } 170. ก าหนดให f = {(1 , 3) , (2 , 5) , (3 , 7) , (4 , 9)}

และ g = {(2 , 6) , (3 , 8) , (4 , 10)} ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. f + g = {(2 , 11) , (3 , 15) , (4 , 19)} 2. f – g = {(2 , –1) , (3 , –1} , (4 , –1)} 3. f g = {(2 , 30} , (3 , 56) , {4 , 90)} 4. gf = {(2 , 65 ) , (3 , 87 ) , (4 , 910 )}

171. ก าหนดให f = { (1 , 5) , (3 , 2) , (5 , 8) , (4 , 6) } และ g = { (0 , 4) , (3 , 1) , (5 , 2) , (4 , 3) , (1 , 0) } ขอใดตอไปนถก 1. Rf +g = { 2 } 2. Rf – g = { 5 , 6 , 8} 3. Rf . g = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8} 4.

gfR = {2 , 4}

172. ก าหนดให f (x) = 2x + 1 และ g (x) = 3x – 4 ขอใดตอไปนถก 1. (f + g) (x) = 5x – 4 2. (f – g) (x) = x + 5 3. (f g) (x) = 6x2 + 5x – 4 4. gf (x) = 4 3x

1 2x

173. ก าหนดให f (x) = x2 – 1 และ g (x) = x – 1 ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. (f + g ) (x) = x2 + x – 2 2. (f – g) (x) = x2 – x 3. (f . g) (x) = x3 + x2 – x 4. )(x)gf( = x + 1


81

174. ก าหนดให f (x) = 12x และ g (x) = x1 ขอความตอไปน มกขอทถกตอง

ก. (f + g ) (x) = x112x ; Df + g = (– , 1]

ข. (f – g) (x) = x112x ; Df – g = (– , 1]

ค. (f . g) (x) = x)1)(12(x ; Df . g = (– , 1]

ง. )(x)gf( = x 1x)1)(12(x

;

gfD = (– , 1]

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ 175. ก าหนดให f (x) = x2 และ g (x) = 2x

4 ขอความตอไปน มกขอทถกตอง

ก. (f + g ) (x) = 2)(x x 42x

; Df + g = R – { 0 , –2 }

ข. (f – g) (x) = 2)(x x 46x ; Df – g = R – { 0 , –2 }

ค. (f . g) (x) = – 2)(x x 8

; Df . g = R – { 0 , –2 }

ง. )(x)gf( = 2x2x ;

gfD = R – { 0 , –2 }

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ 176. ก าหนดให f (x) = 2x 1 และ g (x) = 1x x ขอความตอไปน มกขอทถกตอง ก. (f + g ) (x) = 2)(x x

42x

; Df + g = R – {–2 , 1}

ข. (f – g) (x) = 2)(x x 46x ; Df – g = R – {–2 , 1}

ค. (f . g) (x) = – 2)(x x 8

; Df . g = R – {–2 , 1}

ง. )(x)gf( = 2x2x ;

gfD = R – {–2 , 1}

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ


82

177. ก าหนด f (x) = x2 – 2x + 3 g (x) = 1x

32x

h (x) = 2x ขอใดตอไปนผด 1. Df + g = R – {–1} 2. Df – h = {x x ≥ –2} 3. Dg . h = [–2 , –1] (–1 , ) 4. ) , 2

3( ]23 , 2[

ghD

178. ก าหนด f (x) = 2x – 1 เมอ –3 < x 5 g (x) = x2 – 2x + 2 เมอ –1 < x 6 h (x) = 3x เมอ – < x 7 ขอใดตอไปนถก 1. Df +g = (–4 , 11) 2. Dg – h = (– , 6) 3. Df . h = (–3 , 5) 4.

ghD = (3 , 5]


83

เฉลยตะลยโจทยท วไป บทท 5 ฟงกช น

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 1. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 4. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 1. 23. ตอบขอ 3. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 1. 33. ตอบขอ 3. 34. ตอบขอ 3. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 4. 40. ตอบขอ 1. 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 4. 43. ตอบขอ 2. 44. ตอบขอ 2. 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 3. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 1. 49. ตอบขอ 4. 50. ตอบขอ 2. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 4. 53. ตอบขอ 2. 54. ตอบขอ 1. 55. ตอบขอ 3. 56. ตอบขอ 3. 57. ตอบขอ 3. 58. ตอบขอ 2. 59. ตอบขอ 3. 60. ตอบขอ 4. 61. ตอบขอ 3. 62. ตอบขอ 4. 63. ตอบขอ 3. 64. ตอบขอ 4. 65. ตอบขอ 4. 66. ตอบขอ 3. 67. ตอบขอ 1. 68. ตอบขอ 3. 69. ตอบขอ 2. 70. ตอบขอ 2. 71. ตอบขอ 4. 72. ตอบ 8 73. ตอบขอ 2. 74. ตอบขอ 3. 75. ตอบขอ 4. 76. ตอบขอ 3. 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 3. 79. ตอบขอ 3. 80. ตอบขอ 4. 81. ตอบขอ 3. 82. ตอบขอ 4. 83. ตอบขอ 1. 84. ตอบขอ 3. 85. ตอบขอ 2. 86. ตอบขอ 3. 87. ตอบขอ 2. 88. ตอบขอ 4. 89. ตอบขอ 4. 90. ตอบขอ 4. 91. ตอบขอ 4. 92. ตอบขอ 2. 93. ตอบขอ 4. 94. ตอบขอ 2. 95. ตอบขอ 3. 96. ตอบขอ 2. 97. ตอบขอ 2. 98. ตอบขอ 4. 99. ตอบขอ 2. 100. ตอบขอ 2.


84

101. ตอบขอ 2. 102. ตอบขอ 2. 103. ตอบขอ 1. 104. ตอบขอ 1. 105. ตอบขอ 4. 106. ตอบขอ 2. 107. ตอบขอ 4. 108. ตอบขอ 2. 109. ตอบขอ 3. 110. ตอบขอ 1. 111. ตอบขอ 3. 112. ตอบขอ 1. 113. ตอบขอ 4. 114. ตอบขอ 4. 115. ตอบขอ 3. 116. ตอบขอ 4. 117. ตอบขอ 3. 118. ตอบขอ 4. 119. ตอบขอ 4. 120. ตอบขอ 2. 121. ตอบขอ 3. 122. ตอบขอ 1. 123. ตอบขอ 1. 124. ตอบขอ 3. 125. ตอบขอ 1. 126. ตอบขอ 2. 127. ตอบขอ 2. 128. ตอบขอ 3. 129. ตอบขอ 1. 130. ตอบขอ 2. 131. ตอบขอ 3. 132. ตอบขอ 1. 133. ตอบขอ 3. 134. ตอบขอ 2. 135. ตอบขอ 3. 136. ตอบขอ 1. 137. ตอบขอ 3. 138. ตอบขอ 1. 139. ตอบขอ 1. 140. ตอบขอ 2. 141. ตอบขอ 3. 142. ตอบขอ 3. 143. ตอบขอ 4. 144. ตอบขอ 3. 145. ตอบขอ 1. 146. ตอบขอ 2. 147. ตอบขอ 4. 148. ตอบขอ 2. 149. ตอบขอ 4. 150. ตอบขอ 3. 151. ตอบขอ 2. 152. ตอบขอ 2. 153. ตอบขอ 3. 154. ตอบขอ 4. 155. ตอบขอ 1. 156. ตอบขอ 3. 157. ตอบขอ 3. 158. ตอบขอ 2. 159. ตอบขอ 2. 160. ตอบขอ 1. 161. ตอบขอ 2. 162. ตอบขอ 1. 163. ตอบขอ 1. 164. ตอบขอ 1. 165. ตอบขอ 1. 166. ตอบขอ 1. 167. ตอบขอ 2. 168. ตอบขอ 3. 169. ตอบขอ 4. 170. ตอบขอ 4. 171. ตอบขอ 4. 172. ตอบขอ 4. 173. ตอบขอ 4. 174. ตอบขอ 3. 175. ตอบขอ 4. 176. ตอบขอ 4. 177. ตอบขอ 4. 178. ตอบขอ 4.

ตวสบายคณต เลม 2 http://www.pec9.com บทท 6 เรขาคณตวเคราะห

1

บทท 6 เรขาคณตวเคราะห

6.1 ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห 6.1.1 ระยะทางระหวางจดสองจด

หากจด (x1 , y1) และ (x2 , y2) เปนจด 2 จด ระนาบ XY และ d เปนระยะหางระหวางจดทงสองนน เราสามารถหาระยะหางระหวางจดทงสอง ( d ) ไดดงน

กรณท 1 ถา x1 = x2 จะไดวา d = y1 – y2 ถา y1 = y2 จะไดวา d = x1 – x2 ( คอน าคทตางกนมาลบกนแลวถอดคาสมบรณ )

กรณท 2 ถา x1 x2 และ y1 y2

จะไดวา d = 2)2y1(y2)2x1(x

1. ระยะหางระหวางจด 2 จดทก าหนดให มขนาดเทากบขอใดตอไปน ( ก ) P1 (2 , 4 ) , P2 (2 , –5) ( ข ) P1 (3 , 7) , P2 (6 , 7) 1. ( ก ) 1 หนวย ( ข ) 3 หนวย 2. ( ก ) 4 หนวย ( ข ) 0 หนวย 3. ( ก ) 9 หนวย ( ข ) 3 หนวย 4. ( ก ) 9 หนวย ( ข ) 0 หนวย 2. ระยะหางระหวางจด 2 จดทก าหนดให มขนาดเทากบขอใดตอไปน ( ก ) P1 (4 , 5) , P2 (1 , 1) ( ข ) P1 (7 , –3) , P2 (4 , –1) 1. ( ก ) 3 หนวย ( ข ) 13 หนวย 2. ( ก ) 3 หนวย ( ข ) 3 หนวย 3. ( ก ) 5 หนวย ( ข ) 13 หนวย 4. ( ก ) 5 หนวย ( ข ) 3 หนวย

Y

X

(x2 , y2)

d (x1 , y1)

x1 x2

y1

y2


2

3. ถาระยะหางระหวางจด ( k , 0 ) และ (2 , 3) เปน 5 หนวย คา k เทากบขอใดตอไปน 1. 6 2. –2 3. 6 , –2 4. ไมมขอถก 4. วงกลมมจดศนยกลางท (3 , 4) และผานจด (6 , 8) จดทก าหนดใหตอไปนจดใดอยบนเสน รอบวงกลมวงน ก. (7 , 7) ข. (0 , 0) 1. ก. อย ข. อย 2. ก. อย ข. ไมอย 3. ก. ไมอย ข. อย 4. ก. ไมอย ข. ไมอย

5. สามเหลยมทมจดยอดดงน A (–2 , –3) , B (5 , 1) และ C (–2 , 5) เปนสามเหลยมชนดใด 1. สามเหลยมดานเทา 2. สามเหลยมมมฉาก 3. สามเหลยมหนาจว 4. ไมมขอทถกตอง


3

6. สามเหลยมทมจดยอดดงน A (7 , 5) , B (2 , 3) และ C (6 , –7) เปนสามเหลยมชนดใด 1. สามเหลยมดานเทา 2. สามเหลยมมมฉาก 3. สามเหลยมหนาจว 4. ไมมขอทถกตอง

7. ถา (4 , y) อยหางจากจด (–5 , 2) และ (13 , –6) เปนระยะเทากน คา y เทากบขอใด ตอไปน 1. –1 2. –2 3. 1 4. 2

6.1.2 จดกงกลางระหวางจดสองจด

หากจด (x1 , y1) และ (x2 , y2) เปนจด 2 จด ระนาบ XY และ ( x , y ) เปนจดกงกลางระหวางจดทง สองนน เราสามารถหาจดกงกลาง ( x , y ) ไดดงน

( x , y ) = 22y+1y

, 22x+1x

Y

X

(x2 , y2)

(x1 , y1) y , x


4

8. วงกลมวงหนงมจดปลายเสนผานศนยกลางอยทจด (–4 , 6) และ (5 , –2) แลวจดศนยกลาง วงกลมวงนคอขอใดตอไปน 1. ( 2

1 , 2 ) 2. (– 21 , 3 ) 3. ( 2

9 , 2 ) 4. (– 29 , 3 )

9. จดกงกลางของเสนทะแยงมมของรปสเหลยมซงมจดยอดอยท A (3 , 2) , B (8 , 2) ,

C (10 , 4) และ D (5 , 4) เปนจดเดยวกนหรอไม 1. เปน 2. ไมเปน 3. บอกไมได เพราะหาจดกงกลางนนไมได 4. บอกไมได เพราะไมรจดกงกลางดาน 10. จด M เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ จงหาพกดของจด P ถา

ก. M มพกดเปน (1 , 2) และ Q มพกดเปน (3 , 4) ข. M มพกดเปน (5 , 6) และ Q มพกดเปน (15 , –4)

1. ก. (2 , 3) ข. (10 , –1) 2. ก. (–1 , 0) ข. (–5 , 16) 3. ก. (–1 , 0) ข. (–5 , –16) 4. ก. (2 , 3) ข. (10 , –1)


5

6.1.3 จดซงแบงเสนตรงออกเปนอตราสวนตางๆ

หากจด (x1 , y1) และ (x2 , y2) เปนจด 2 จด ระนาบ XY และ ( x , y ) เปนจดซงแบงเสนตรงทเชอม จดสองจดนน ออกเปนอตราสวนความยาว m1 และ m2 ดงรป เราสามารถหาจดแบง ( x , y ) ไดดงน

( x , y ) =

2m1m1y2m2y1m

, 2m1m

1x2m2x1m

11. พกดของจดแบงระหวางจด (1 , 2) และ (5 , 3) ซงแบงระยะทางระหวางจด 2 จดเปน อตราสวน 2 : 3 โดยจดนอยใกลจด (5 , 3) มากกวาจด (1 , 2) พกดจดดงกลาวคอขอใด 1. ( 2

13 , 217 ) 2. ( 3 , 2

5 ) 3. ( 513 , 5

17 ) 4. ( 3 , 213 )

6.1.4 การหาพนทรปหลายเหลยม สมมตรป n เหลยมใดๆ มจดยอดอยทจด (x1 , y1) , (x2 , y2) , …… , (xn , yn) ตาม ล าดบ เราสามารถหาพนทรปหลายเหลยมนนไดโดย ( +y1x2 +y2x3 + …. + yn–1 xn)

พนท = 21

y

x

.......y

......x

yy

xx

n

n

3

3

21

21

( +x1y2 +x2y3 + …. + xn–1 yn) พนท = 2

1 [ ( x1y2 + x2y3 + …. + xn–1 yn) – ( y1x2 + y2x3 + …. + yn–1 xn) ]

Y

X

(x2 , y2)

(x1 , y1) y , x

m1

m2


6

12. พนทรปสามเหลยมทมจดยอดเปน (4 , 5) , (4 , –3) , (–5 , –3) มคากตารางหนวย 1. 18 2. 36 3. 48 4. 64

13. พนทรปสเหลยมทมจดยอดเปน (–4 , 3) , (4 , 5) , (8 , 11) , (–8 , 7) มคากตารางหนวย 1. 24 2. 40 3. 56 4. 60

6.1.5 จดตดเสนมธยฐานของรปสามเหลยม

หากจด (x1 , y1) , (x2 , y2) และ (x3 , y3) เปนจดยอดของรปสามเหลยมใดๆ และ ( x , y ) เปน จดซงเสนมธยฐานทงสามเสนของรปสามเหลยมตดกน เราสามารถหาจดตด ( x , y ) ไดดงน

( x , y ) =

3

3y2y1y , 3

3x 2x 1x

Y

X

(x2 , y2)

(x1 , y1)

y , x

(x3 , y3)


7

14. จดยอดของสามเหลยม ABC คอจด A (5 , 7) , B (8 , 3) และ C (2 , 2) จดตดกนของ เสนมธยฐานของสามเหลยมรปนคอขอใดตอไปน 1. (1 , 1) 2. (3 , 5) 3. (5 , 4) 4. (6 , 6)

15. จดยอดของสามเหลยม ABC คอจด A (1 , 3) , B (2 , 7) และ C (6 , 8) จดตดกนของเสน มธยฐานของสามเหลยมนจะอยหางจากจดก าเนดเทากบขอใดตอไปน

1. 16 2. 35 3. 39 4. 45

6.1.6 ความชนของเสนตรง เราสามารถหาความชนของเสนตรงใด ๆ ไดจาก

m = 1x2x1y2y

เมอ m คอความชนเสนตรง

(x1 , y1) , (x2 , y2) คอจดทเสนตรงนนผาน

หรอ m = tan

เมอ คอมมทเสนตรงเอยงกระท ากบแกน + X ในทศทวนเขมนาฬกา

16. เสนตรงเสนหนงมความเอยงเปนมม 60o จะมความชนเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 1.414 3. 1.732 4. 2

Y

X

(x2 , y2)

(x1 , y1)


8

17. เสนตรงทผานจดทก าหนดใหตอไปน ขอใดตอไปนมความชนต าทสด 1. (0 , 0) , (2 , 6) 2. (3 , 4) , (6 , –5) 3. (3 , 5) , (4 , 5) 4. (4 , 6) , (4 , 7)

18. ให P1 (8 , k) และ P2 (5 , 1) เสนตรงทผานจดทงสองมความชน 34 คา k เทากบขอใด

ตอไปน 1. 2 2. 4 3. 5 4. 7

19. จงหาคา b ทท าใหจด (b , 6) , (–1 , 4) และ (–4 , 2) อยบนเสนตรงเดยวกน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 6.1.7 เสนขนานและเสนตงฉาก ทฤษฎบทเกยวกบเสนขนาน เสนตรงสองเสนท ไมขนานกบแกน Y จะขนานกน กตอเมอความชน ของเสนตรงทงสองเทากน

m1 = m2

m1 m2


9

20. เสนตรง AB และ CD ในขอใดตอไปนขนานกน 1. A (4 , 3) , B (5 , –2) , C (–1 , –3) , D (–2 , 2) 2. A (–2 , 2) , B (1 , 5) , C (2 , 0) , D (–1 , –1) 3. A (0 , 0) , B (2 , 2) , C (1 , 0) , D (0 , 1) 4. A (–3 , 2) , B (5 , –2) , C (–1 , –3) , D (–2 , 2)

21. เสนตรงทผานจด (k ,7) และ (–3 , –2) ขนานกบเสนตรงทผานจด (3 , 2) และ (1 , –4) แลวคา k เทากบขอใดตอไปน

ทฤษฎบทเกยวกบเสนตงฉาก เสนตรงสองเสนท ไมขนานกบแกน Y จะตงฉากกน กตอเมอ ผลคณของ ความชนของเสนตรงทงสองเทากบ –1 22. เสนตรงทตงฉากกบเสนตรงทมความชนตอไปน ในขอมความชนต าทสด 1. 4 2. 4

3 3. 65 4. 4

1

m1 m2 = –1

m1 m2


10

23. เสนตรงผานจด (k , 7) และ (–3 , –2) ตงฉากกบเสนตรงทผานจด (3 , 2) และ (1 , –4) แลวคา k เทากบขอใดตอไปน

1. 20 2. 30 3. –20 4. –30

มมระหวางเสนตรง 2 เสนตดกน หาไดจากสมการ

tan = เรมตน

m . สดทาย

m 1เรมตน

m สดทาย

m

เมอ คอมมทวดจากเสนตรงความชน mเรมตน ทวนเขมนาฬกาไปถงเสนตรงทมความชน mสดทาย

24. เสนตรง L1 มความชน –1 เสนตรง L2 มความชน 0 มมซงวดจากเสนตรง L1 ทวน เขมนาฬกาไปถงเสนตรง L2 มขนาดเทากบขอใดตอไปน

1. 30o 2. 45o 3. 60o 4. 90o

m2

m1


11

25. เสนตรงสองเสนซงมความชน m1 = 3 , m2 = 3

1 มมทวดจากเสนตรงความชน m2

ทวนเขมนาฬกาไปถงเสนตรงความชน m1 มขนาดเทากบขอใดตอไปน 1. 30o 2. 45o 3. 60o 4. 90o

6.1.8 ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง คอความสมพนธทเมอน าไปเขยนกราฟ แลวจะไดกราฟเปนรปเสนตรง ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทนาสนใจในระดบนม 5 รปแบบ ไดแก ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 1 x = a เมอ a คอ จ านวนจรงใด ๆ สมบตของเสนตรงทเขยนไดจากสมการน 1) เสนตรงนจะขนานแกน Y 2) เสนตรงนจะตดแกน X ณ. จดท x = a

ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 2 y = b เมอ b คอ จ านวนจรงใด ๆ


12

สมบตของเสนตรงทเขยนไดจากสมการน 1) เสนตรงนจะขนานแกน X

2) เสนตรงนจะตดแกน Y ณ. จดท y = b ฝกท า จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 1. x = 8 2. x = –5 3. x = 0 ฝกท า จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 1. y = 8 2. y = –5 3. y = 0

ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 3 y – y1 = m (x – x1)

เมอ m คอความชนเสนตรง (x1 , y1) คอจดทเสนตรงนนผาน

26. เสนตรงตอไปนมความชน และผานจดในขอใดตอไปน ก. (y – 6) = 4 (x – 8) ข. (y + 7) = 4 x 1. ก. 4 , (8 , 6) ข. 4 , (0 , –7) 2. ก. 4 , (0 , 6) ข. 4 , (8 , –7) 3. ก. 2 , (8 , 6) ข. 2 , (0 , –7) 4. ก. 2 , (0 , 6) ข. 2 , (8 , –7)

(x1 , y1) m


13

27. เสนตรง 4 (y + 5) = 8 (x + 9) มความชนและผานจดในขอใดตอไปน 1. 8 , (–9 , –5) 2. 8 , (9 , 5) 3. 2 , (–9 , –5) 4. 2 , (9 , 5)

28. ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (3 , 1) และมความชน 2

1 คอขอใดตอไปน

1. x – 2y – 1 = 0 2. x + 2y – 1 = 0 3. 2x – 4y – 1 = 0 4. 3x – 6y – 2 = 0

29. ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (–1 , 2) และ (3 , 4) คอขอใดตอไปน 1. x – 2y – 5 = 0 2. x – 2y +5 = 0 3. 2x – 4y – 3 = 0 4. 3x – 6y – 2 = 0


14

30. ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงซงผานจด (–1 , –4) และตงฉากกบเสนตรงซงผานจด (–1 , 3) และ (–2 , –2) คอขอใดตอไปน 1. x – 5y + 21 = 0 2. x – 5y – 21 = 0 3. x + 5y + 21 = 0 4. x + 5y – 21 = 0

31. ความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงเมอก าหนดความชนเปน 23 และระยะตดแกน Y เปน

–5 คอขอใดตอไปน 1. 3x + 2y + 10 = 0 2. 3x + 2y – 10 = 0 3. 3x – 2y + 10 = 0 4. 3x – 2y – 10 = 0


15

ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 4 y = m x + C

เมอ m คอความชนเสนตรง C คอระยะตดแกน Y 32. จากสมการเสนตรงตอไปน จงหาความชนเสนตรงและจดตดแกน Y

( ก ) y = 4 x + 6 ( ข ) y = 23 x – 4

1. ( ก ) 4 , (6 , 0) ( ข ) 23 , (–4 , 0) 2. ( ก ) 4 , (0 , 6) ( ข ) 2

3 , (0 , –4) 3. ( ก ) –4 , (6 , 0) ( ข ) – 2

3 , (–4 , 0) 4. ( ก ) –4 , (0 , 6) ( ข ) – 23 , (0 , –4)

33. จากสมการเสนตรง 4 y = 8 x – 4 จงหาความชนเสนตรงและจดตดแกน Y 1. –2 , (–1 , 0) 2. –2 , (0 , –1) 3. 2 , (–1 , 0) 4. 2 , (0 , –1)

X

Y

(0 , C) C


16

34. เสนตรง 2x + y = 8 ตงฉากกบเสนตรง y = 21 x – 5 หรอไม

1. ตงฉาก เพราะทงสองเสนมความชนเทากน 2. ตงฉาก เพราะความชนของทงสองเสนคณกนได –1 3. ไมตงฉาก เพราะทงสองเสนมความชนไมเทากน 4. ไมตงฉาก เพราะความชนของทงสองเสนคณกนไดไมเทากบ –1

ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 5

Ax + By + C = 0 เมอ ความชน (m) = – BA

35. ความชนของเสนตรง 2x – 3y = 6 และจดตดแกน X และแกน Y คอขอใดตอไปน 1. 3

2 , (3 , 0) , (0 , –2) 2. 32 , (8 , 0) , (0 , –2)

3. 41 , (3 , 0) , (0 , –2) 4. 4

1 , (8 , 0) , (0 , –2)


17

36. ความชนของเสนตรง x = 4 และจดตดแกน X และแกน Y คอขอใดตอไปน 1. 0 , (4 , 0) , หาไมได 2. 0 , หาไมได , (0 , –2) 3. หาไมได , (4 , 0) , หาไมได 4. หาไมได , หาไมได , (0 , –2)

37. ความชนของเสนตรง y = 2 และจดตดแกน X และแกน Y คอขอใดตอไปน

1. 0 , (–2 , 0) , หาไมได 2. 0 , หาไมได , (0 , –2) 3. หาไมได , (–2 , 0) , หาไมได 4. หาไมได , หาไมได , (0 , –2)


18

38. ถาเสนตรง kx + y + 1 = 0 ตงฉากกบเสนตรงทผานจด (3 , 5) และ (7 , –1) แลว คา k คอขอใดตอไปน 1. –3 2. 3

2 3. –5 4. –20 39. สมการเสนตรงทผานจด (7 , 5 ) และขนานกบเสนตรง x + 2y + 12 = 0 คอขอใดตอไปน

1. x + 2y + 17 = 0 2. x + 2y – 17 = 0 3. x – 2y + 17 = 0 4. x – 2y – 17 = 0


19

40. สมการของเสนตรงทผานจด (3 , 2) และตงฉากกบเสนตรง x + 2 y + 12 = 0 คอขอใด ตอไปน 1. 2x + y + 4 = 0 2. 2x + y – 4 = 0 3. 2x – y + 4 = 0 4. 2x – y – 4 = 0 41. จดตดของเสนตรง x + y – 2 = 0 และ 2x – 3y + 1 = 0 คอขอใดตอไปน 1. ( 1 , 5 ) 2. ( 1 , 1 ) 3. ( –1 , 5 ) 4. ( –1 , 1 )


20

42. คา k ทท าใหเสนตรงทมสมการเปน 2x + 3ky – 13 = 0 และผานจด (1, 1) คอขอใด 1. 8 2. 3

11 3. 411 4. 2

6.1.9 ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด และระยะหางระหวางเสนตรงทขนานกน ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง คอระยะ ทวดจากจดไปตกตงฉากกบเสนตรง ระยะระหวาง จด (x1 , y1) ถงเสนตรง Ax + By + C = 0 คอ

2B2AC1By1Axd

43. ระยะระหวางเสนตรง 6 x – 8 y + 4 = 0 กบจด (2 , –3) คอขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

44. ถาระยะจากจด (4 , 1) ไปยงเสนตรง 5x – 12y + C = 0 มคา 5 หนวย แลว C มคา เทากบขอใดตอไปน 1. 55 , –73 2. 56 , –73 3. 57 , –73 4. 58 , –73

(x1, y1)

d

Ax + By + C = 0


21

45. สมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 3x – 4y + 7 = 0 และอยหางจากจด (5 , –2) เปน ระยะ 4 หนวย คอขอใดตอไปน

1. 3x – 4y – 3 = 0 2. 3x – 4y – 23 = 0 3. 3x – 4y – 43 = 0 4. ขอ 1. และ ขอ 3.

46. สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 5 x – 12 y – 7 = 0 และอยหางจากจด ( –1 , 2 ) เปนระยะทาง 3 หนวย คอขอใดตอไปน 1. 12x + 5y + 41 = 0 2. 12x + 5y – 2 = 0 3. 12x + 5y – 37 = 0 4. ขอ 1. และ ขอ 3.


22

ระยะระหวางเสนตรงทขนานกน คอระยะ ทวดจากเสนตรงเสนแรกไปตกตงฉากกบเสนตรง เสนท 2 ระยะระหวางเสนตรง Ax + By + C1 = 0 กบเสนตรง Ax + By + C2 = 0 คอ

d = 2B2A2C1C

47. ระยะระหวางเสนคขนาน 3x – 4y – 7 = 0 , 6x – 8y + 16 = 0 คอขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

48. ระยะระหวางเสนคขนาน 3x + y + 5 = 0 และ 7 – 3x – y = 0 คอขอใดตอไปน

1. 10

12 2. 10

11 3. 10

10 4. 109


23

49. สมการเสนตรงซงอยกงกลางระหวางเสนขนาน x – 2y + 5 = 0 และ 2x – 4y – 4 = 0 คอ ขอใดตอไปน 1. x – 2y + 3 = 0 2. x – 2y + 6 = 0 3. 2x – 4y + 3 = 0 4. 2x – 4y + 6 = 0

50. ถาเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนขนานคหนงซงอย หางกน 8 หนวย สมการของเสนขนานคนคอขอใดตอไปน 1. 12x – 5y + 42 = 0 2. 12x – 5y – 6 = 0 3. 12x – 5y – 62 = 0 4. ขอ 1. และ ขอ 3.


24

6.2 ภาคตดกรวย 6.2.1 วงกลม วงกลม (circle ) คอเซตของจดทงหมดในระนาบทหางจากจดจดหนงทตรงอยกบทเปนระยะทางคงตว จดทตรงอยกบทนเรยกวา จดศนยกลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตวดงกลาวเรยกวารศม (radius) ของวงกลม สมการวงกลมรปแบบมาตรฐานคอ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 เมอ (h , k) คอจดศนยกลางวงกลม r คอรศมวงกลม 51. วงกลมตอไปนมจดศนยกลาง ( C ) และรศม ( r ) ตรงกบขอใดตอไปน ก) (x , y) ( x – 3)2 + (y – 4)2 = 49 ข) (x , y) x2 + (y + 5)2 = 6 1. ก) C = (3 , 4) , r = 49 ข) C = (0 , –5) , r = 6 2. ก) C = (3 , 4) , r = 7 ข) C = (0 , –5) , r = 6 3. ก) C = (–3 , –4) , r = 49 ข) C = (0 , 5) , r = 6 4. ก) C = (–3 , –4) , r = 7 ข) C = (0 , 5) , r = 6

r

(h , k)


25

52. วงกลมตอไปนมจดศนยกลาง ( C ) และรศม ( r ) ตรงกบขอใดตอไปน ก) (x , y) x2 + y2 = 4 ข) (x , y) 4 x2 + 4 (y + 2)2 = 25 1. ก) C = (0 , 0) , r = 4 ข) C = (0 , –2) , r = 4

25 2. ก) C = (0 , 0) , r = 4 ข) C = (0 , 2) , r = 4

25 3. ก) C = (0 , 0) , r = 2 ข) C = (0 , –2) , r = 4. ก) C = (0 , 0) , r = 2 ข) C = (0 , 2) , r = 53. วงกลม ( x , y) x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 มจดศนยกลาง( C ) และรศม ( r ) ตรงกบ ขอใดตอไปน 1. C = (–3 , 2) , r = 4 2. C = (–3 , 2) , r = 8 3. C = (3 , –2) , r = 4 4. C = (3 , –2) , r = 8


26

54. วงกลม ( x , y) x2 + y2 + 4y = 0 มจดศนยกลาง( C ) และรศม ( r ) ตรงกบขอใด 1. C = (0 , –2) , r = 4 2. C = (0 , –2) , r = 2 3. C = (0 , 2) , r = 4 4. C = (0 , 2) , r = 2 55. วงกลม ( x , y) 4x2 + 4y2 + 24x = 32y มจดศนยกลาง( C ) และรศม ( r ) ตรงกบขอ ใดตอไปน 1. C = (–3 , 4) , r = 5 2. C = (–3 , 4) , r = 5 3. C = (3 , –4) , r = 5 4. C = (3 , –4) , r = 5 56. ถาสมการวงกลม x2 + y2 – 8x + 6y + k = 0 มเสนผานศนยกลางยาว 20 หนวย แลวคา k คอขอใดตอไปน 1. –75 2. –70 3. –65 4. –60


27

57. สมการเสนสมผสกบวงกลม x2 + y2 – 6x + 4y –12 = 0 ทจด (6 , 2) คอขอใดตอไปน 1. 3x + 4y + 26 = 0 2. 3x + 4y – 26 = 0 3. 3x – 4y – 26 = 0 4. ขอ 1. และ ขอ 3.

ขนตอนการหาสมการวงกลม 1) หาคา h , k จากจดศนยกลางวงกลม และ r จากรศมวงกลม 2) น าคา h , k , r ทไดแทนคาลงในสมการวงกลมรปมาตรฐาน (x – h)2 + (y – k)2 = r2

58. สมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท (2, –1) และรศมเทากบ 3 คอขอใดตอไปน 1. x2 + y2 – 4x + 2y + 4 = 0 2. x2 + y2 – 4x + 2y + 12 = 0 3. x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 4. x2 + y2 – 4x + 2y – 12 = 0


28

59. สมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด (5 , –1) และเสนรอบวงยาว 14 หนวย คอขอใด ตอไปน 1. x2 + y2 – 10x + 2y + 8 = 0 2. x2 + y2 – 10x + 2y + 23 = 0 3. x2 + y2 – 10x + 2y – 8 = 0 4. x2 + y2 – 10x + 2y – 23 = 0

60. สมการวงกลมทมจดศนยกลางเปน (3 , 4) และสมผสกบเสนตรง 2x – y + 5 = 0 คอขอ ใดตอไปน 1. 5x2 + 5y2 – 30x – 40y + 38 = 0 2. 5x2 + 5y2 – 30x – 40y + 76 = 0 3. 5x2 + 5y2 – 30x – 40y – 38 = 0 4. 5x2 + 5y2 – 30x – 40y – 76 = 0


29

61. จดตดของวงกลม x2 + y2 – x – 3y = 0 และเสนตรง x + y = 1 คอขอใดตอไปน 1. ( 2 , 1 ) และ (–1 , 0 ) 2. ( 1 , 0 ) และ (–1 , 2 ) 3. ( –2 , –1 ) และ (1 , 0 ) 4. ( –1 , 0 ) และ (1 , –2 )

62. ความยาวเสนสมผสจากจด (8 , 5) ไปยงวงกลม x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 คอขอใด ตอไปน 1. 3 2. 5 3. 7 4. 13

63. คา k ของสมการวงกลม x2 + y2 + 2ky = 0 ทท าใหความยาวของสวนของเสนสมผส วงกลมทเชอมจดสมผสและจด (5 , 4) เทากบ 1 หนวย คอขอใดตอไปน 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20


30

6.2.2 พาราโบลา พาราโบลา (parabola) คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงหางจากจด F ทตรงอยกบ

จดหนงและเสนตรง l ทตรงอยก บทอกเสนหนงเปนระยะทางเทากน จดทตรงอยก บทน เรยกวา โฟกส และเสนตรงทตรงอยกบทนเรยกวาเสนบงคบ หรอไดเรกตรกซ ของพาราโบลา สมการพาราโบลารปแบบมาตรฐานม 2 รปแบบ ไดแก

รปแบบท 1 (x – h)2 = 4 c (y – k) สมการแบบนเมอน าไปเขยนกราฟ จะได กราฟเปนรปเสนโคงเรยกเสนโคงพาราโบลาซง อาจจะหงายหรอคว ากได ขนกบคา c กลาวคอ ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะหงาย ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะคว า เสนตรงทแบงครงรปในแนวดง เรยก แกนสมมาตร จดวกกลบของเสนโคงเรยก จดยอด (A) ซงหาพกดไดจาก จดยอด (A) = ( h , k ) จดบนแกนสมมาตรในพนทเสนโคงลอมหางจากจดวกกลบเปนระยะเทากบ c เรยกจดโฟกส ซงหาพกดไดจาก จดโฟกส (F) = ( h , k+c ) เสนตรงซงตงฉากกบแกนสมมาตรอยดานตรงกนขามกบจดโฟกสและหางจากจดวกกลบเปนระยะเทากบ c เรยกเสนบงคบ หรอไดเรกตรกซ ซงหาสมการเสนนไดจาก y = k – c เสนตรงทลากตงฉากแกนสมมาตรผานจดโฟกสไปยงเสนโคงพาราโบลาทงสองซก เรยกเลตสเรกตม ( latus rectum ) เสนนจะมความยาวเทากบ | 4 c | ความพเศษของพาราโบลาคอ ถาลากเสนตรงจากจดโฟกสไปตดเสนโคงพาราโบลา ณ.

จดใดๆ กได ใหเปนเสนตรง l1 แลวลากเสนตรงจากจดตดเสนโคงนไปต งฉากกบเสน

ไดเรกตรกซ ใหเปนเสนตรง l2 จะไดวาความยาวของเสนตรง l1 กบ l2 จะยาวเทากนเสมอ

แกนสมมาตร เสนไดเรกตรกซ

y = k – c

Y

X

จดโฟกส (F) = ( h , k+c )

จดยอด (A) = ( h , k )

เลตสเรกตม ยาว = | 4c |

k

c

c

k+c

k–c

h

l1

l2


31

รปแบบท 2 (y – k)2 = 4 c (x – h) สมการแบบนเมอน าไปเขยนกราฟ จะได กราฟเปนรปเสนโคงพาราโบลาซงอาจจะตะแคง เปดไปดานขวา หรอดานซายกได ขนกบคา c กลาวคอ ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะเปดขวา ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะเปดซาย เสนตรงทแบงครงรปในแนวนอน เรยก แกนสมมาตร จดยอด (A) หาพกดไดจาก จดยอด (A) = ( h , k ) จดโฟกส (F) หาพกดไดจาก จดโฟกส (F) = ( h+c , k ) หาสมการไดเรกตรกซ ไดจาก x = h – c ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c |

ฝกท า จงเตมค าลงในชองวางในรปตอไปนใหถกตอง

(x – h)2 = 4 c (y – k) (y – k)2 = 4 c (x – h)

แกนสมมาตร

ไดเรกตรกซ

F = ( h+c , k) A = ( h , k)

x = h – c

Y

X


k c c

h+c h–c h

เสน...................

จด............. จด..........

Y

X

เสน.....................

แกน....................

แกน............... เสน...................

Y

X

จด..............

จด......................

เสน................

เสน


32

ฝกท า จงเขยนสตรในรปตอไปนใหถกตองและสมบรณ

(x – h)2 = 4 c (y – k) (y – k)2 = 4 c (x – h)

สรปเกยวกบสมการพาราโบลารปมาตรฐาน

รปแบบท 1 (x – h)2 = 4 c (y – k) รปแบบท 2 (y – k)2 = 4 c (x – h)

@ ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะหงาย ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะคว า @ จดยอด (A) = ( h , k ) @ จดโฟกส (F) = ( h , k+c ) @ สมการเสนแรกตรกซหาจาก y = k – c @ ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c |

@ ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะเปดขวา ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะเปดซาย @ จดยอด (A) = ( h , k ) @ จดโฟกส (F) = ( h+c , k ) @ สมการไดเรกตรกซหาจาก x = h – c @ ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c |

แกนสมมาตร เสนไดเรกตรกซ

y = k – c

Y

X

จดโฟกส (F) = ( h , k+c )

จดยอด (A) = ( h , k )


k

c

c

k+c

k–c

h

l1

l2

แกนสมมาตร

ไดเรกตรกซ

F = ( h+c , k) A = ( h , k)

x = h – c

Y

X


k c c

h+c h–c h

ไดเรกตรกซหาจาก.....................

Y

X

F = ..............

A = ....................

เลตสยาว = ........

ไดเรกตรกซหาจาก

F = .............. A = ..............

.......................

X

เลตสยาว = ........

Y


33

ฝกท า จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตก และความยาวเลตส จากสมการพาราตอไปน 1. ( x – 7 )2 = 12 ( y – 5 ) 2. y2 = 6 ( x + 4 ) 3. x2 = 8 y

สมการพาราโบลารปทวไปม 2 รปแบบ ไดแก รปแบบท 1 Ax2 + Dx + Ey + F = 0 รปแบบท 2 Cy2 + Dx + Ey + F = 0 จากสมการพาราโบลารปทวไปทงสองแบบนเราสามารถหาคาตางๆ ของพาราโบลาไดดงน วธท 1 เปลยนสมการจากรปทวไปใหเปนรปมาตรฐาน โดยใชวธก าลงสองสมบรณ แลวจงหาคาตางๆ ของพาราโบลาจากสมการรปมาตรฐานนน ดงแสดงในโจทยถดไป วธท 2 ใชสตรลดตอไปน จากสมการรปแบบท 1 Ax2 + Dx + Ey + F = 0 หาคา h ไดจาก h = A 2

D หาคา k ไดโดยแทนคา x ในสมการรปแบบท 1 ดวยคา h ทหามาได แลวแกสมการหาคา y คา k จะมคาเทากบคา y ทค านวณไดนนเสมอ หาคา c ไดจาก c = A4

E ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะหงาย , ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะคว า


34

สดทาย จดยอด (A) = ( h , k ) จดโฟกส (F) = ( h , k+c ) สมการเสนแรกตรกซหาจาก y = k – c ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c | จากสมการรปแบบท 2 Cy2 + Dx + Ey + F = 0 หาคา k ไดจาก k = C 2

E หาคา h ไดโดยแทนคา y ในสมการรปแบบท 2 ดวยคา k ทหามาได แลวแกสมการหาคา x คา h จะมคาเทากบคา x ทค านวณไดนนเสมอ หาคา c ไดจาก c = C4

D ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะเปดขวา , ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะเปดซาย สดทาย จดยอด (A) = ( h , k ) จดโฟกส (F) = ( h + c , k ) สมการเสนแรกตรกซหาจาก x = h – c ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c |

ฝกท า จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตกและความยาวเลตส จากสมการพาราตอไปน 1. y2 – 6y – 4x – 3 = 0 2. 2x2 – 12x – 16y + 66 = 0 3. 3x2 – 12x – y + 12 = 0


35

64. พาราโบลา y = 42x + x + A มกราฟผานจด (2 , 0) จดโฟกสของพาราโบลานคอ

1. ( –2 , –3) 2. ( –2 , 3) 3. ( 2 , –3) 4. ( 2 , 3)

ขนตอนการหาสมการพาราโบลา 1) เขยนรปเสนโคงพาราโบลาคราวๆ แลวเลอกใชสมการมาตรฐาน โดย

ถาเสนโคงคว าหรอหงายใหใชสมการ (x – h)2 = 4 c (y – k) ถาเสนโคงตะแคงใหใชสมการ (y – k)2 = 4 c (x – h)

2) หาคา h , k จากจดยอด และหาคา c ( c คอระยะหางจากจดยอดถงจดโฟกส หรอจากจดยอดไปตงฉากกบเสนไดเรกตรกซ ) ระวงวา ถากราฟคว า หรอ ตะแคงเปดซาย c จะมคาเปนลบ

ถากราฟหงาย หรอ ตะแคงเปดขวา c จะมคาเปนบวก 3) แทนคา h , k , c ลงในสมการมาตรฐานทเลอก แลวท าสมการใหอยในรปทวไป


36

65. สมการของพาราโบลาซงมจดยอดอยท (3 , 4) และจดโฟกสอยท (1 , 4) คอขอใดตอไปน 1. y2 + 8x – 8y – 8 = 0 2. y2 + 6x – 8y – 6 = 0 3. y2 + 8x – 8y + 8 = 0 4. y2 + 6x – 8y + 6 = 0

66. สมการของพาราโบลาซงมไดเรกตรก คอเสนตรง y = –4 และโฟกสอยทจด (2 , –2 ) คอ ขอใดตอไปน 1. x2 – 4x – 4y – 8 = 0 2. x2 – 8x – 8y – 8 = 0 3. x2 – 4x – 4y + 8 = 0 4. x2 – 8x – 8y + 8 = 0


37

67. สมการพาราโบลาทมจดปลายของเลตสเรคตมเปน (10 , –4) และ (–2 , –4) และม y = 2 เปนไดเรกตรกซ คอขอใดตอไปน

1. x2 – 8x + 12y + 14 = 0 2. x2 – 8x + 12y + 28 = 0 3. x2 – 8x + 12y – 14 = 0 4. x2 – 8x + 12y – 28 = 0

68. สมการพาราโบลาซงมจดโฟกสทจด (2 , 1) จดยอดอยบนเสนตรง 3x + 7y + 1 = 0 ไดเรกตรกซขนานแกน X คอขอใดตอไปน 1. x2 + 4x + 4y + 4 = 0 2. x2 + 4x + 8y + 4 = 0 3. x2 + 4x – 4y – 4 = 0 4. x2 + 4x – 8y – 4 = 0


38

69. สมการพาราโบลาซงมจดยอดอยทจดก าเนดแกนของพาราโบลาคอแกน Y และกราฟผาน จด (4 , –2) คอขอใดตอไปน 1. x2 = 4 y 2. x2 = 8 y 3. x2 = –4 y 4. x2 = –8 y

70. สมการพาราโบลาทมจดยอดอยท (–1 , 0) และกราฟผานจด (1 , –2) โดยมแกนของ พาราโบลาตงฉากกบแกน Y คอขอใดตอไปน 1. y2 – 2x + 4 = 0 2. y2 – 2x + 2 = 0 3. y2 – 2x – 4 = 0 4. y2 – 2x – 2 = 0


39

6.2.3 วงร วงร (ellipse ) คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบทมคาคงตว โดยคาคงตวนตองมากกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสองจดนน จดสองจดทตรงอยกบทนเรยกวาโฟกส ของวงร สมการวงรรปแบบมาตรฐานม 2 รปแบบ ไดแก รปแบบท 1 1 2b

2)k y ( 2a2) h x (

สมการแบบนเมอน าไปเขยนกราฟ จะไดกราฟเปนรปวงรวางตวยาวไปตามแนวราบ

เสนตรงทแบงครงรปตามแนวยาว เรยก แกนเอก ซงจะมความยาว = 2a เสนตรงทแบงครงรปตามแนวกวาง เรยก แกนโท ซงจะมความยาว = 2b จดตดแกนเอกและแกนโทจะเปนจดศนยกลางวงร ซงหาพกดไดจาก C = ( h , k ) ปลายแกนเอกทงดานซายและขวาจะอยหางจากจดศนยกลางเทากบ a เทากน เรยกจดปลายนวาจดยอด ซงหาพกดไดจาก A = ( h+a , k ) และ A/ = ( h–a , k ) ปลายแกนโททงดานบนและลางอยหางจากจดศนยกลางเทากบ b เทากน มจด 2 จดอยบนแกนเอกหางจากจดศนยกลางไปทางดานซายและขวาเทากบ c เทากน จดทงสองนเรยกจด โฟกส ซงหาพกดไดจาก F = ( h+c , k ) และ F/ = ( h–c , k ) เมอ c2 = a2 – b2 หากลากเสนตรงจากจดโฟกสแรก F ไปยงจดบนเสนโคงวงร ณ.จดใดๆ กได ใหเปนเสนตรง l1 แลวลากเสนตรงจากจดตดเสนโคงนไปยงจดโฟกสทเหลอ F/ ใหเปนเสนตรง l2

แกนเอก

แกนโท

C = ( h , k ) * * F/=( h–c , k ) F=( h+c , k ) A=( h+a , k ) A/=( h–a ,k)

X

l1 l2

Y


40

จะไดวาความยาวของเสนตรง l1 + l2 จะมคาคงทเสมอ เรยกคาคงทนวาผลบวกคงตวซงจะมคาเทากบ 2a เสมอ

รปแบบท 2 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

สมการแบบนเมอน าไปเขยนกราฟ จะไดกราฟเปนรปวงรวางตวยาวตามแนวดง @ แกนเอกขนานแกน y มความยาวเทากบ 2a @ แกนโทขนานแกน x มความยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k+a) และ A/ = ( h , k – a) @ จดโฟกส F = ( h , k+c) และ F/ = ( h , k – c) @ ผลบวกคงตว = 2 a

เกยวกบวงรทงสองแบบ

1. a2 b2 เสมอ 2. c2 = a2 – b2

เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส 3. ความเยองศนยกลาง (e) = ac

3.1 0 < e < 1 3.2 ถา e มคามาก วงรจะมความรมาก ถา e มคานอย วงรจะมความรนอย คอเกอบกลม

e = 0.95

e = 0.1

F/=( h , k–c )

F=( h , k+c )

A=( h , k+a )

A/=( h , k–a )

แกนเอก

แกนโท C=( h , k

*

*

X

Y


41

ฝกท า จงเตมค าลงในชองวางในรปตอไปนใหถกตอง

1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

สรปเกยวกบสมการวงรรปมาตรฐาน

รปแบบท 1 1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( รปแบบท 2 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

@ แกนเอกขนานแกน X ยาวเทากบ 2a @ แกนโทขนานแกน Y ยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง C = ( h , k) @ จดยอด A = ( h + a , k) และ A/ = ( h – a , k) @ จดโฟกส F = ( h + c , k) และ F/ = ( h – c , k) @ ผลบวกคงตว = 2 a

@ แกนเอกขนานแกน Y ยาวเทากบ 2a @ แกนโทขนานแกน X ยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง C = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k + a) และ A/ = ( h , k – a) @ จดโฟกส F = ( h , k + c) และ F/ = ( h , k – c) @ ผลบวกคงตว = 2 a

แกน........

แกน.......

* *จด......... จด......... จด......... จด......... จด......... แกน.....

แกน.......

จด.....

จด.....

จด.....

จด.....

จด.....

แกนเอก แกนโท

C = ( h , k ) F/=( h–c ,k ) F=( h+c ,k )

A=( h+a ,k ) A/=( h–a , k ) แกนเอก

แกนโท

A=( h , k+a )

A/=( h , k–a )

F/=( h , k–c )

F=( h , k+c )

C=( h , k)


42


1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

ฝกท า จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอดความยาวแกนเอก ความยาว แกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง

1. 1 = 21025) (y + 28

23) (x 2. 16 x2 + 25 (y + 7)2 = 400

* *A/=........ F/=......... F=......... A=......... C = ……

A=.......

F=.......

F/=....... A/=.......

C=......


43

สมการวงรรปทวไป คอ Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ A.C > 0 จากสมการวงรรปทวไป สามารถเปลยนใหเปนรปมาตรฐานได 2 วธ ไดแก วธท 1 ใชก าลงสองสมบรณ ดงแสดงในโจทยตวอยางถดไป วธท 2 ใชสตรลดตามขนตอนตอไปน

ขนท 1 หาจดศนยกลางวงร ( h , k) โดย h = A 2

D และ k = C 2E

ขนท 2 ตรวจสอบคา Ah2 + Ck2 – F ถา Ah2 + Ck2 – F < 0 สมการนไมใชสมการวงร ถา Ah2 + Ck2 – F > 0 สมการนเปนสมการวงร ขนท 3 กรณท 1 ถา A.C = Ah2 + Ck2 – F เขยนสมการรปมาตรฐานโดยไขวสมประสทธของ x2 (A) กบสมประสทธ ของ y2 (C) ไปเปนตวหารของเทอม (x – h)2 กบ (y – k)2 ดงน

1 A2) k y ( C

2) h x ( ควรเปรยบคาของ A กบ C วาคาไหนมากกวากน และ a2 = คาของตวทมากกวาของ A กบ C b2 = คาของตวทนอยกวาของ A กบ C

กรณท 2 ถา A.C Ah2 + Ck2 – F เขยนสมการรปมาตรฐานจะไดดงน 1

2) k y ( 2) h x (

CF2Ck2Ah

AF2Ck2Ah

ควรเปรยบคา

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah วาคาไหนมากกวากน

และ a2 = คาของตวทมากกวาของ

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah

b2 = คาของตวทนอยกวาของ

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah


44

ฝกท า จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอดความยาวแกนเอก ความยาว แกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง 1. 9x2 + y2 – 18x – 6y + 9 = 0 2. 4x2 + 9y2 – 48x – 72y + 144 = 0

71(แนว En) พนทของสามเหลยมทมจดยอดเปนจดก าเนด และจดโฟกสทงสองของวงร x2 + 2y2 +4x – 4y – 2 = 0 มคาเทากบเทาใด


45

ขนตอนการหาสมการวงร 1) วาดรปวงรคราว ๆ แลวเลอกใชสมการวงรโดย หากวงรวางตวอยในแนวนอนใชสมการ 1 2b

2) k y ( 2a2) h x (

หากวงรวางตวอยในแนวดงใชสมการ 1 2b2) h x ( 2a

2) k y (

2) ตองหาคา h , k ซงอาจหาไดจากจดศนยกลาง และคา a , b ซงอาจหาไดจาก ความยาวแกนเอก = 2a ความยาวแกนโท = 2b ผลบวกคงตว = 2a ความเยองศนยกลาง (e) = ac

c2 = a2 – b2 เมอ c คอระยะหางจากจดศนยกลางถงจดโฟกส 3) น าคา h , k , a , b แทนลงในสมการทเลอกใช แลวท าสมการใหอยในรปทวไป

72. สมการวงรซงมจดศนยกลางอยทจด (0 , 0) แกนเอกขนานแกน X และยาว 16 หนวย แกนโทยาว 8 หนวย คอขอใดตอไปน 1. x2 + 4y2 – 32 = 0 2. x2 + 4y2 – 64 = 0 3. y2 + 4x2 – 32 = 0 4. y2 + 4x2 – 64 = 0


46

73. สมการวงรซงกราฟตดแกน X ทจด (–4 , 0) และ (4 , 0) และตดแกน Y ทจด (0 , 2) และ (0 , –2) คอขอใดตอไปน 1. x2 + 4y2 – 16 = 0 2. 4 x2 + y2 – 16 = 0

3. x2 + 4y2 + 16 = 0 4. 4 x2 + y2 + 16 = 0

74. สมการวงรซงมโฟกสหนงอยท (–8 , 1) แกนโทยาว 4 หนวย จดศนยกลางคอ (0 , 1) คอ ขอใดตอไปน 1. x2 + 17y2 – 34y – 51 = 0 2. x2 + 17y2 – 34y + 51 = 0 3. y2 + 17x2 – 34x – 51 = 0 4. y2 + 17x2 – 34x + 51 = 0


47

75. สมการวงรซงมจดโฟกสหนงอยท (3 , 3) จดศนยกลางอยบนแกน Y จดยอดหนงอยท (–5 , 3) คอขอใดตอไปน 1. 16x2 + 25y2 –150y – 50 = 0 2. 16x2 + 25y2 – 150y – 175 = 0 3. 16y2 + 25x2 –150x + 50 = 0 4. 16y2 + 25x2 – 150x + 175 = 0

76. สมการวงรซงมจดยอดหนงอยท (5 , –6) แกนโทยาว 2 หนวย จดศนยกลางอยบน เสนตรง y = 2 คอขอใดตอไปน 1. 64x2 + y2 – 640x – 4y + 1540 = 0 2. 64x2 + y2 – 640x – 4y + 75 = 0 3. 64x2 + y2 – 640x – 4y – 1540 = 0 4. 64x2 + y2 – 640x – 4y – 75 = 0


48

77. สมการวงรซงมโฟกสอยท (0 , 2) และ (0 , –2) ผลบวกคงตวเทากบ 6 คอขอใดตอไปน 1. 5x2 + 9y2 – 45 = 0 2. 5x2 + 9y2 + 45 = 0 3. 5y2 + 9x2 – 45 = 0 4. 5y2 + 9x2 + 45 = 0

6.2.4 ไฮเพอรโบลา ไฮเพอรโบลา (hyperbolae ) คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบทมคาคงตว โดยคาคงตวนตองนอยกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสอง จดสองจดทตรงอยกบทนเรยกวาโฟกส ของไฮเพอรโบลา สมการไฮเพอรโบลารปแบบมาตรฐานม 2 รปแบบ ไดแก


2) h x (

เมอเขยนกราฟ จะไดกราฟเปนรปไฮเพอรโบลาวางตวเปดไปตามแนวราบ

เสนตรงทแบงครงรปตามแนวขวางกลางรป เชอมระหวางจดวกกลบของเสนโคงทงสองดาน เรยก แกนตามขวาง ซงจะมความยาว = 2a

Y

X

เสนก ากบ

เสนก ากบ

C=( h , k )F/=( h–c , k ) F=( h+c , k ) A=( h+a , k ) A/=( h–a , k ) * *

แกนสงยค

แกนตามขวาง

l1 l2


49

เสนตรงทแบงครงรป และตงฉากกบแกนตามขวางเรยก แกนสงยค ซงจะมความยาว = 2b จดตดแกนตามขวางและแกนสงยคจะเปนจดศนยกลางไฮเพอรโบลา ซงหาพกดไดจาก C = ( h , k ) จดวกกลบของเสนโคงทงดานซายและขวาจะอยตรงปลายแกนตามขวาง หางจากจดศนยกลางเทากบ a เทากน เรยกจดยอด หาพกดไดจาก A = ( h+a , k ) และ A/ = ( h–a , k ) มจด 2 จดอยในแนวแกนตามขวางหางจากจดศนยกลางไปทางดานซายและขวาเทากบ c เทากน จดทงสองนเรยกจดโฟกส ซงหาพกดไดจาก F = ( h+c , k ) และ F/ = ( h–c , k ) เมอ c2 = a2 + b2 หากลากเสนตรงจากจดโฟกสแรก F ไปยงจดบนเสนโคงไฮเพอรโบลา ณ.จดใดๆ กได

ใหเปนเสนตรง l1 แลวลากเสนตรงจากจดตดเสนโคงนไปยงจดโฟกสทเหลอ F/ ใหเปน

เสนตรง l2 จะไดวา l1 – l2 จะมคาคงทเสมอ เรยกคาคงทนวาผลตางคงตวซงจะมคาเทากบ 2a เสมอ เสนทะแยงทลากผานจดศนยกลางไปสมผสเสนโคงไฮเพอรโบลาเรยกเสนก ากบ ซงหาสมการเสนก ากบไดจาก ( y – k ) = ab ( x – h )

รปแบบท 2 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

เมอเขยนกราฟ จะไดกราฟเปนรปไฮเพอรโบลาวางตวเปดไปตามแนวดง

แกนตามขวาง

X

Y

แกนสงยค

เสนก ากบ เสนก ากบ

* F/=( h , k–c

* F=( h , k+c )

A/=( h , k–a )

C=( h , k )

A=( h , k–a )


50

@ แกนตามขวางขนานแกน y มความยาวเทากบ 2a @ แกนสงยคขนานแกน x มความยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k+a) และ A/ = ( h , k–a) @ จดโฟกส F = ( h , k+c) และ F/ = ( h , k–c) @ ผลตางคงตว = 2 a @ สมการเสนก ากบหาไดจาก ( y – k ) = b

a ( x – h ) เงอนไขของสมการไฮเพอรโบลาทงสองกรณ c2 = a2 + b2 เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส ฝกท า จงเตมค าลงในชองวางในรปตอไปนใหถกตอง

1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (


1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

เสน...............

จด...............

แกน.......

แกน..............

เสน...............

จด............... จด...............

จด............... จด...............

เสน...............

จด...............

แกน.......

แกน..............

เสน...............

จด...............

จด...............

จด............... จด...............

A=....... F=.......

F/=....... A/=.......

C=...... A/=........

F/=......... F=......... A=.........

C = ……


51

สรปเกยวกบสมการไฮเพอรโบลารปมาตรฐาน


2) h x ( รปแบบท 2 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

@ แกนตามขวางขนานแกน X ยาวเทากบ 2a @ แกนสงยคขนานแกน Y ยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง C = ( h , k) @ จดยอด A = ( h + a , k) และ A/ = ( h – a , k) @ จดโฟกส F = ( h + c , k) และ F/ = ( h – c , k) @ ผลตางคงตว = 2 a @ สมการเสนก ากบ ( y – k ) = ab ( x – h )

@ แกนตามขวางขนานแกน Y ยาวเทากบ 2a @ แกนสงยคขนานแกน X ยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง C = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k + a) และ A/ = ( h , k – a) @ จดโฟกส F = ( h , k + c) และ F/ = ( h , k – c) @ ผลตางคงตว = 2 a @ สมการเสนก ากบ ( y – k ) = b

a ( x – h ) เงอนไขของสมการไฮเพอรโบลาทงสองกรณ c2 = a2 + b2 เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส

ฝกท า จากสมการไฮเพอรโบลานจงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสงยค และ ผลตางคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง

1. 1 = 2102) 5 (y

2823) (x 2. 16 y2 – 25 (x + 7)2 = 400

C = ( h , k ) F/=( h–c ,k ) F=( h+c ,k )

A=( h+a ,k ) A/=( h–a , k )

A=( h , k+a )

A/=( h , k–a ) F/=( h , k–c )

F=( h , k+c )

C=( h , k)


52

สมการไฮเพอรโบลารปทวไป คอ Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ A.C < 0 จากสมการวงรรปทวไป สามารถเปลยนใหเปนรปมาตรฐานได 2 วธ ไดแก วธท 1 ใชก าลงสองสมบรณ ดงแสดงในโจทยตวอยางถดไป วธท 2 ใชสตรลดตามขนตอนตอไปน

ขนท 1 หาจดศนยกลางไฮเพอรโบลา ( h , k) โดย h = A 2

D และ k = C 2E

ขนท 2 ตรวจสอบคา Ah2 + Ck2 – F ถา Ah2 + Ck2 – F = 0 สมการนไมใชสมการไฮเพอรโบลา ถา Ah2 + Ck2 – F 0 สมการนเปนสมการไฮเพอรโบลา ขนท 3 กรณท 1 ถา | A.C | = Ah2 + Ck2 – F เขยนสมการรปมาตรฐานโดยไขวสมประสทธของ x2 (A) กบสมประสทธของ y2 (C) (ไขวเฉพาะขนาดของ A , C เครองหมาย ไมตองไขว ) ไปเปนตวหารของเทอม (x – h)2 กบ (y – k)2 ดงน

1 A2) k y ( C

2) h x ( ควรเปรยบคาของ A กบ C วาคาไหนมคาเปนลบ และ a2 = ขนาดของตวทเปนบวกของ A กบ C b2 = ขนาดของตวทเปนลบของ A กบ C

กรณท 2 ถา | A.C | Ah2 + Ck2 – F เขยนสมการรปมาตรฐานจะไดดงน 1

2) k y (2) h x (

CF2Ck2Ah

AF2Ck2Ah

ควรเปรยบคา

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah วาคาไหนมากกวากน

และ a2 = ขนาดของตวทเปนบวกของ

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah

b2 = ขนาดของตวทเปนลบของ

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah


53

ฝกท า จากสมการไฮเพอรโบลาน จงบอกจดศนยกลาง ความยาวแกนตามขวาง แกนสงยค จดยอด จดโฟกส ผลตางคงตว และสมการเสนก ากบ

1. y2 – 6x2 + 2y + 36x = 59 2. 2x2 – 3y2 – 20x – 24y – 4 = 0

78. จดโฟกสทงสองของไฮเพอรโบลาทมสมการเปน x2 – 2y2 +4x – 4y – 2 = 0 คอขอใด 1. (–2 1 , –1) 2. (–2 6 , –1) 3. (–2 2 , –1) 4. (–2 4 , –1)


54

ขนตอนการหาสมการไฮเพอรโบลา 1) วาดรปวงรคราว ๆ แลวเลอกใชสมการไฮเพอรโบลาโดย หากวงรวางตวอยในแนวนอนใชสมการ 1 2b

2) k y ( 2a2) h x (

หากวงรวางตวอยในแนวดงใชสมการ 1 2b2) h x ( 2a

2) k y (

2) ตองหาคา h , k ซงอาจหาไดจากจดศนยกลาง และคา a , b ซงอาจหาไดจาก ความยาวแกนตามขวาง = 2a ความยาวแกนสงยค = 2b ผลตางคงตว = 2a

c2 = a2 + b2 เมอ c คอระยะหางจากจดศนยกลางถงจดโฟกส 3) น าคา h , k , a , b แทนลงในสมการทเลอกใช แลวท าสมการใหอยในรปทวไป

79. สมการไฮเพอรโบลาซงมจดศนยกลาง (0 , 0) จดยอดหนง (–2 , 0) และจดโฟกสหนง (4 , 0) คอขอใดตอไปน 1. 3x2 – y2 – 4 = 0 2. 3x2 – y2 – 12 = 0 3. x2 – 3y2 – 4 = 0 4. x2 – 3y2 – 12 = 0


55

80. สมการไฮเพอรโบลาซงมจดศนยกลางอยทจด (–7 , 0) โฟกสหนงอยทจดก าเนดแกนตาม ขวางยาว 6 หนวย คอขอใดตอไปน 1. 40x2 – 9y2 + 560x + 40 = 0 2. 40x2 – 9y2 + 560x + 1600 = 0 3. 40x2 – 9y2 + 560x – 40 = 0 4. 40x2 – 9y2 + 560x – 1600 = 0 81. สมการไฮเพอรโบลาซงมจดยอดอยทจด (4 , 0) และ (4 , 4) แกนสงยคยาว 4 หนวย คอ ขอใดตอไปน 1. y2 – 4y – x2 + 8x + 8 = 0 2. y2 – 4y – x2 + 8x + 16 = 0 3. y2 – 4y – x2 + 8x – 8 = 0 4. y2 – 4y – x2 + 8x – 16 = 0


56

82. สมการไฮเพอรโบลาซงมจดโฟกสอยท (2 , 0) และ (–2 , 0) และผลตางระหวางจดใดๆ บนไฮเพอรโบลาไปยงโฟกสเทากบ 1 คอขอใดตอไปน 1. 60x2 – 4y2 + 15 = 0 2. 60x2 – 4y2 + 30 = 0 3. 60x2 – 4y2 – 15 = 0 4. 60x2 – 4y2 – 30 = 0

83. สมการไฮเพอรโบลาซงมจดศนยกลางอยบนเสนตรง y = 4 จดยอดหนงคอ (0 , 2) และ โฟกสหนงคอ (0 , 1) คอขอใดตอไปน 1. 5y2 + 40y – 4x2 – 60 = 0 2. 5y2 – 40y – 4x2 – 60 = 0 3. 5y2 + 40y – 4x2 + 60 = 0 4. 5y2 – 40y – 4x2 + 60 = 0


57

หลกการพจารณารปกราฟจากสมการ จากสมการในรป Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

1) ถา A และ C เปนศนยพรอมกน กราฟจะเปนรปเสนตรง 2) ถา A C = 0 เปนสมการพาราโบลา

3) ถา A = C เมอ A 0 และ C 0 เปนรปวงกลม 4) ถา A C และ AC > 0 เปนรปวงร

5) ถา A C และ AC < 0 เปนรปไฮเพอรโบลา

ฝกท า จงบอกวาสมการตอไปนเปนสมการของภาคตดกรวยรปใด 1. 25x2 + 16y2 – 100x + 96y – 156 = 0 2. 4x2 + 4y2 – 4x + 1 = 0 3. y2 + 2x – 6y + 9 = 0 4. 22x2 + 7y2 + 6 = 0 5. 2x2 – 4y2 + 6 = 0 6. 3y2 – 6x2 – 6x + 7y + 9 = 0

84. สมการทก าหนดให เปนสมการของภาคตดกรวยรปใดตอไปน 9y2 – x2 + 6x + 18y = 0 1. วงกลม 2. พาราโบลา 3. วงร 4. ไฮเพอรโบลา


58

85. สมการเสนสมผสกราฟวงกลม x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 ทจด (6 , 0) คอขอใด ตอไปน 1. 4x + 3y + 24 = 0 2. 4x + 3y – 24 = 0 3. 3x + 4y + 24 = 0 4. 3x + 4y – 24 = 0

86. สมการเสนตรงทสมผสกราฟพาราโบลา y = x2 – 3x – 4 ทจด (2 , –6) คอขอใดตอไปน 1. y = x – 4 2. y = x – 8 3. y = x + 4 4. y = x + 8


59

87. สมการของเสนสมผสกราฟวงร 1 = 92x 25

2y ทจด 3 , 512 คอขอใดตอไปน 1. 60x + 27y + 225 = 0 2. 60x + 27y – 225 = 0 3. 60x + 27y + 500 = 0 4. 60x + 27y – 500 = 0

88. สมการของเสนสมผสกราฟไฮเพอรโบลา 1 = 162y 9

2x ทจด

316 ,5 คอขอใด

1. 5x + 3y – 9 = 0 2. 5x + 3y – 18 = 0 3. 3x + 5y – 9 = 0 4. 3x + 5y – 18 = 0


60

89. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = r = (x , y) x2 + y2 = 25 คอขอใดตอไปน 1. Dr = [–5 , 5] , Rr = [–5 , 5] 2. Dr = [0 , 5] , Rr = [–5 , 5] 3. Dr = [–5 , 5] , Rr = [ 0 , 5 ] 4. Dr = [0 , 5] , Rr = [0 , 5]

90. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 2x25 คอขอใดตอไปน 1. Dr = [–5 , 5] , Rr = [–5 , 5] 2. Dr = [0 , 5] , Rr = [–5 , 5] 3. Dr = [–5 , 5] , Rr = [ 0 , 5 ] 4. Dr = [0 , 5] , Rr = [0 , 5]


61

เฉลยบทท 6 เรขาคณตวเคราะห

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 3. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบ 0 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 3. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 2. 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 3. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบขอ 4. 41. ตอบขอ 2. 42. ตอบขอ 2. 43. ตอบขอ 2. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 4. 46. ตอบขอ 4. 47. ตอบขอ 2. 48. ตอบขอ 1. 49. ตอบขอ 3. 50. ตอบขอ 4. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 3. 54. ตอบขอ 2. 55. ตอบขอ 1. 56. ตอบขอ 4. 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบขอ 3. 59. ตอบขอ 4. 60. ตอบขอ 2. 61. ตอบขอ 2. 62. ตอบขอ 3. 63. ตอบขอ 1. 64. ตอบขอ 1. 65. ตอบขอ 1. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 2. 68. ตอบขอ 4. 69. ตอบขอ 4. 70. ตอบขอ 4. 71. ตอบ 2 72. ตอบขอ 2. 73. ตอบขอ 1. 74. ตอบขอ 1. 75. ตอบขอ 2. 76. ตอบขอ 1. 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 2. 73. ตอบขอ 2. 80. ตอบขอ 2. 81. ตอบขอ 4. 82. ตอบขอ 3. 83. ตอบขอ 4. 84. ตอบขอ 4. 85. ตอบขอ 2. 86. ตอบขอ 2. 87. ตอบขอ 2. 88. ตอบขอ 1. 89. ตอบขอ 1. 90. ตอบขอ 3.


62

ตะลยโจทยท วไป บทท 6 เรขาคณตวเคราะห

6.1 ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห 6.1.1 ระยะทางระหวางจดสองจด 1. จงหาระยะหางระหวางจด 2 จดในแตละขอตอไปน ก. p1(2 , 2) , p2(2 , 5) ข. p1(3 , 0) , p2(4 , 0) ค. p1(–2 , 3) , p2(5 , 1) 1. 3 , 1 , 7 2. 1 , 3 , 7 3. 3 , 1 , 53 4. 1 , 3 , 53

2. ถาระยะหางระหวางจด (4 , 1) และ ( k , 0 ) เปน 1 หนวย คา k เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 2 , 4 4. ไมมขอถก

3. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางทจด (2 , 5) มแกน Y เปนเสนสมผส รศมวงกลมวงนคอขอใด 1. 2 2. 5 3. 7 4. 19

4. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางทจด (4 , –3) มแกน X เปนเสนสมผส รศมวงกลมวงนคอขอใด 1. 3 2. 4 3. 5 4. 7

5. ระยะระหวางจด (–3 , –4) กบแกน X คอขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

6. จด (–4 , 3) อยหางจากแกน Y เปนระยะกหนวย 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

7. วงกลมมจดศนยกลางท (3 , 4) และผานจด (6 , 8) จดทก าหนดใหตอไปน จดใดอยบนเสน รอบวงกลมวงน ก. (7 , –1) ข. (0 , 0) 1. ก. อย ข. อย 2. ก. อย ข. ไมอย 3. ก. ไมอย ข. อย 4. ก. ไมอย ข. ไมอย

8. รป มจดยอดท (10 , 0) , (–12 , 0) และ (–8 , 8) พนทของ น คอขอใดตอไปน 1. 40 2. 44 3. 80 4. 88


63

9. จด C ซงอยบนแกน X ทท าให C อยหางจากจด A (2 , 3) และ B (4 , 6) เปนระยะทาง เทากน คอขอใดตอไปน 1. ( 4 , 0 ) 2. (5 , 0) 3. ( 39

4 , 0 ) 4. ( 443 , 0)

6.1.2 จดกงกลางระหวางจดสองจด 10. จงหาจดกงกลางระหวางจด 2 จดตอไปน

ก. (7 , 4) และ (9 , 2) ข. (0 , 0) และ (4 , 4) 1. ก. (8 , 3) ข. (2 , 2) 2. ก. (8 , 4) ข. (0 , 2) 3. ก. (8 , 5) ข. (2 , 0) 4. ก. (8 , 3) ข. (2 , 0)

11. วงกลมมจดปลายของเสนผานศนยกลางคอ A (2 , 5) กบ B (8 , 11) จดศนยกลางของ วงกลมนคอขอใดตอไปน 1. (5 , 5) 2. (8 , 5) 3. (5 , 8) 4. (8 , 8)

12. จากรป ระยะระหวางจด P และ Q เมอ P เปน จดกงกลางของดาน RS คอขอใดตอไปน

1. 443

2. 265

3. 4 4. 5.5

13. ให A (2 , 7) , B (–10 , 11) เปนจดปลายของสวนของเสนตรง พกดของจดบนสวนของ เสนตรงนซงอยหางจาก A เทากบ 4

3 ของระยะทางระหวาง A และ B คอขอใดตอไปน 1. (–4 , 9) 2. (–7 , 10) 3. (–1 , 8) 4. (–7 , 8)

6.1.3 จดซงแบงเสนตรงออกเปนอตราสวนตางๆ 14. จดทอยหางจากจด (3 , 5) เปน 2 เทาของระยะหางจากจด (2 , 4) และจดนอยบนเสน เชอมจดทงสอง คอขอใดตอไปน 1. ( 2

13 , 27 ) 2. ( 3 , 2

5 ) 3. ( 313 , 3

7 ) 4. ( 513 , 5

7 )

Y

X 0

P Q

R(2 ,7)

S (3 ,–1)


64

15. โคออรดเนตทแบงสวนของเสนตรงทเชอมจด (1 , 3) และ (2 , 7) ในอตราสวน 3 : 4 โดยจดนจะอยใกลจด (1 , 3) มากกวาจด (2 , 7) คอขอใดตอไปน 1. (1.5 , 5) 2. (5 , 1.5) 3. ( 7

10 , 733 ) 4. ( 7

33 , 710 )

6.1.4 การหาพนทรปหลายเหลยม 16. จดยอดของ ABC คอจด A(5 , 7) , B(8 , 3) และ C (2 , 2) พนท นคอขอใดตอไปน 1. 11.0 ตารางหนวย 2. 13.0 ตารางหนวย 3. 13.5 ตารางหนวย 4. 15.5 ตารางหนวย

17. พนทสามเหลยมทมจดยอดเปน (0 , 1) , (2 , 1) , (3 , 4) มคาเทากบกตารางหนวย 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

18. พนทรปหาเหลยมทมจดยอดเปน (–2 , 4) , (5 , 1) , (1 , 5) , (–3 , 1) , (2 , –3) มคา เทากบกตารางหนวย 1. 20 2. 24 3. 36 4. 40

19. พนท ทมจดยอดเปน (2 , 3) , (–1 , 0) , (–2 , –1) มคาเทากบกตารางหนวย 1. 0 2. 14 3. 18 4 30

6.1.5 จดตดเสนมธยฐานของรปสามเหลยม

20. จดตดเสนมธยฐาน ทมจดยอดเปน (2 , –4) , (–3 , 3) , (2 , –5) คอขอใดตอไปน 1. ( 3

4 , 31 ) 2. ( 3

4 , 32 ) 3. ( 3

4 , 34 ) 4. ( 3

4 , 35 )

21. รปหนงมโคออดเนตจดยอดเปน (–2 , 5) , (2 , –4) , (x , y) ถาจดตดเสนมธยฐานเปน ( 3

5 , 32 ) แลว (x , y) คอขอใดตอไปน

1. (4 , 1) 2. (5 , 1) 3. (6 , 1) 4. (7 , 1)

6.1.6 ความชนของเสนตรง 22. เสนตรงทมความชนเทากบ 1 จะมมมเอยงกองศา 1. 45o 2. 55o 3. 65o 4. 75o


65

23. ก าหนด A (x , 3) และ B (4 , –1) และ AB มความชน 32 คาของ x คอขอใดตอไปน

1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

24. จด (0 , 0) , (3 , 4) และ (12 , 16) อยบนแนวเสนตรงเดยวกนหรอไม 1. อย 2. ไมอย 3. บอกไมได เพราะไมรสมการเสนตรง 4. บอกไมได เพราะไมรความชนเสนตรง

25. คา k ทท าใหจด (k , 6) , (1 , 4) , (–4 , 2) อยบนเสนตรงเดยวกน คอขอใดตอไปน 1. 6 2. 8 3. 9 4. 10

6.1.7 เสนขนานและเสนตงฉาก 26. เสนตรง AB และ CD ซงมพกดดงก าหนดตอไปน จะขนานหรอตงฉากกน

A (4 , 3) , B (5 , –2) , C (–1 , –3) , D (–2 , 2) 1. ขนานกน 2. ตงฉากกน 3. ไมขนานไมตงฉาก 4. ไมมขอถก

27. เสนตรง AB และ CD ซงมพกดดงก าหนดตอไปน จะขนานหรอตงฉากกน A (–2 , 2) , B (1 , 3) , C (2 , 0) , D (–1 , –1)

1. ขนานกน 2. ตงฉากกน 3. ไมขนานไมตงฉาก 4. ไมมขอถก

28. เสนตรง AB และ CD ซงมพกดดงก าหนดตอไปน จะขนานหรอตงฉากกน A (0 , 0) , B (2 , 2) , C (1 , 0) , D (0 , 1)


29. เสนตรง AB และ CD ซงมพกดดงก าหนดตอไปน จะขนานหรอตงฉากกน A (–3 , 2) , B (5 , –2) , C (–1 , –3) , D (–2 , 2)


30. มเสนตรง 3 เสนแรกเชอมจด P (–2 , –3) กบ Q (4 , 5) เสนทสองเชอมจด R (–5 , 2) กบ S (5 , 2) เสนทสามเชอมจด T(3 , –2) กบ V (9 , 6) เสนตรงคใดขนานกน 1. PQ ขนานกบ TV 2. PQ ไมขนานกบ TV 3. SQ ขนานกบ TV 4. SQ ไมขนานกบ TV


66

31. เสนตรง L1 มความชนเปน 0 เสนตรง L2 มความชนเปน –1 มมซงวดจากเสนตรง L1 ทวนเขมนาฬกาไปถงเสนตรง L2 มขนาดเทากบขอใดตอไปน 1. 45o 2. 55o 3. 65o 4. 75o

6.1.8 ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง 32. เสนตรง 2 (y – 3) = 12 (x + 2) มความชนและผานจดในขอใดตอไปน 1. 12 , (–2 , 3) 2. 12 , (2 , –3) 3. 6 , (–2 , 3) 4. 6 , (2 , –3)

33. เสนตรง 4 (y – 7) = 8 x มความชนและผานจดในขอใดตอไปน 1. 8 , (0 , 7) 2. 8 , (0 , –7) 3. 2 , (0 , 7) 4. 2 , (0 , –7)

34. สมการเสนตรงทผานจด (–2 , 3) มความชน = 2 คอขอใดตอไปน 1. 11y – 3x – 53 = 0 2. y + 2x +7 = 0

3. 22y + 6x – 79 = 0 4. 22y – 6x – 79 = 0

35. สมการเสนตรงทผานจด (0 , –2) มความชน = tan 45o คอขอใดตอไปน 1. 11y – 3x – 53 = 0 2. y + 2x +7 = 0 3. x – y – 2 = 0 4. 2y – 6x – 79 = 0

36. สมการเสนตรงทผานจด (–6 , –3) มความชน = tan 120o คอขอใดตอไปน 1. 11y – 3x – 53 = 0 2. y + 2x +7 = 0

3. x – y – 2 = 0 4. 3 x+y + 3(2 3 +1) = 0

37. สมการเสนตรงทผานจด (1 , 1) และ (2 , –2) คอขอใดตอไปน 1. x + 3y + 0 = 0 2. 3x + y – 4 = 0 3. x – y – 2 = 0 4. 3x – y – 2 = 0


67

38. ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงซงผานจด (–1 , 0) และขนานกบเสนตรงซงผานจด (1 , 2) และ (3 , 4) คอขอใดตอไปน 1. x – y + 1 = 0 2. x + y + 1 = 0 3. x + 2y + 1 = 0 4. x + 2y – 1 = 0

39. ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงซงผานจด (–1 , 0) และตงฉากกบเสนตรงซงผานจด (1 , 2) และ (3 , 4) คอขอใดตอไปน 1. x – y + 1 = 0 2. x + y + 1 = 0 3. x + 2y + 1 = 0 4. x + 2y – 1 = 0

40. สมการเสนตรงทมความชน –2 และผานจดกงกลางเสนเชอมจด A (4 , 2) และ B (2 , –6) คอขอใดตอไปน 1. x + 3y + 0 = 0 2. 3x – 5y – 15 = 0 3. x + y – 6 = 0 4. 2x + y – 4 = 0

41. สมการเสนตรงทมความชน 3 มระยะตดแกน Y = –2 คอขอใดตอไปน 1. x + 3y + 0 = 0 2. y + 2x +7 = 0 3. x – y – 2 = 0 4. 3x – y – 2 = 0

42. สมการเสนตรงทมความชน – 31 มระยะตดแกน X = –2 คอขอใดตอไปน

1. x + 3y + 0 = 0 2. y + 2x +7 = 0 3. x – y – 2 = 0 4. 3 x + y + 3(2 3 + 1) = 0

43. สมการเสนตรงทระยะตดแกน X เปน 5 ระยะตดแกน Y เปน –3 คอขอใดตอไปน 1. x+3y + 0 = 0 2. 3x – 5y –15 = 0 3. x + y –6 = 0 4. 3x – y – 2 = 0

44. สมการเสนตรงทผานจด (4 , 2) และมระยะตดแกน X และ Y เทากน คอขอใดตอไปน 1. x + 3y + 0 = 0 2. 3x + y – 4 = 0 3. x + y – 6 = 0 4. 3x – y – 2 = 0


68

45. เสนตรง 3y = 2x – 6 ขนานกบเสนตรง y = 32 x + 1 หรอไม

1. ขนาน เพราะทงสองเสนมความชนเทากน 2. ขนาน เพราะความชนของทงสองเสนคณกนได –1 3. ไมขนาน เพราะทงสองเสนมความชนไมเทากน 4. ไมขนาน เพราะความชนของทงสองเสนคณกนไดไมเทากบ –1

46. ความชนของเสนตรง 2x – 3y = 7 และจดตดแกน X และ Y คอขอใดตอไปน 1. ความชน = 3

2 , จดตดแกน X คอ ( 27 , 0) , จดตดแกน Y คอ (0, – 3

7 ) 2. ความชน = 3


7 ) 3. ความชน = 3


7 ) 4. ความชน = 3


7 )

47. ความชนของเสนตรง x – 4y + 5 = 0 และจดตดแกน X และ Y คอขอใดตอไปน 1. ความชน = 4


7 ) 2. ความชน = 4

1 , จดตดแกน X คอ (4, 1) , จดตดแกน Y คอ (1, –8) 3. ความชน = 4

1 , จดตดแกน X คอ (3, 2) , จดตดแกน Y คอ (2, –5) 4. ความชน = 4

1 , จดตดแกน X คอ (–5, 0) , จดตดแกน Y คอ (0, 45 )

48. จงบอกความชนของเสนตรง x – 4y = 8 พรอมทงบอกจดตดแกน X และแกน Y 1. 3

2 , (3 , 0) , (0 , –2) 2. 32 , (8 , 0) , (0 , –2)

3. 41 , (3 , 0) , (0 , –2) 3. 4

1 , (8 , 0) , (0 , –2)

49. ถาเสนตรง 4x – ky – 7 = 0 มความชน = 3 แลวคา k เทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 10 3. 3

4 4. 20

50. ถาเสนตรง 2x + 3y + k = 0 และแกน X แกน Y ประกบเปนรป ทมพนท 27 ตาราง- หนวย แลวคา k เทากบขอใดตอไปน 1. 18 2. 19 3. 20 4. 21


69

51. สมการเสนตรงทผานจด (0 , 8 ) และขนานกบเสนตรง x + 3y + 12 = 0 คอขอใดตอไปน

1. x + 3y + 24 = 0 2. x + 3y – 24 = 0 3. x – 3y + 24 = 0 4. x – 3y – 24 = 0

52. สมการของเสนตรงทผานจด (0 , 8) และตงฉากกบเสนตรง x + 3y + 12 = 0 คอขอใด ตอไปน 1. 3x + y + 8 = 0 2. 3x + y – 8 = 0 3. 3x – y + 8 = 0 4. 3x – y – 8 = 0

53. จดตดของเสนตรง 2x + y – 1 = 0 และ x – 3y – 3 = 0 คอขอใดตอไปน 1. ( 7

6 , 75 ) 2. ( 7

8 , 75 ) 3. ( 7

10 , 75 ) 4. ( 7

12 , 75 )

54. จดตดของเสนตรง –6x – 2y = 8 และ 4x + 6y = 3 คอขอใดตอไปน 1. ( 7

6 , 75 ) 2. (9 , 2

19 ) 3. ( 76 , 8

5 ) 4. (9 , 218 )

55. จดตดของเสนตรง 3x – 4y = 1 และ 4x – 3y = –1 คอขอใดตอไปน 1. ( 7

1 , 71 ) 2. (9 , 219 ) 3. ( 7

6 , 85 ) 4. (9 , 2

18 )

56. เสนตรงทผานจด (1 , –3) จะตงไดฉากและตดกบเสนตรง x + 2y – 5 = 0 ทจดใดตอไปน 1. (3 ,1) 2. (3, 1) 3. (3, 1) 4. (3, 1)

57. ถาเสนตรง 3kx + 5y + k – 2 = 0 ผานจด (–1 , 4) แลวคา k เทากบขอใดตอไปน 1. 9 2. 10 3. 15 4. 20

58. ถาเสนตรง kx – y + 3k – 6 มระยะตดแกน X เปน 5 แลวคา k เทากบขอใดตอไปน 1. –3 2. –10 3. –5 4. –20

6.1.9 ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด และระยะหางระหวางเสนตรงทขนานกน 59. ระยะระหวางเสนตรง 4x – 5y – 7 = 0 กบจด (–3 , –2) คอขอใดตอไปน 1.

419 2.

418 3.

417 4.

416


70

60. ระยะระหวางเสนตรง 2x + 3y = 13 กบจด (0 , 0) คอขอใดตอไปน 1. 10 2. 11 3. 12 4. 13

61. ระยะระหวางเสนตรงกบจดในแตละขอตอไปน มคาเทากบในตวเลอกใด ก. เสนตรง 3 x + 4 y + 25 = 0 กบจด ( 0 , 0 ) ข. เสนตรง 8 x – 6 y + 22 = 0 กบจด ( 1 , 0 ) 1. ก. 5 ข. 3 2. ก. 5 ข. 10 3. ก. 10 ข. 3 4. ก. 10 ข. 10

62. ถาเสนตรง 4x + 3y + C = 0 อยหางจากจด (1 , 4) เปนระยะ 32 หนวย แลวคา C คอ ขอใดตอไปน 1. 145 , –176 2. 144 , –176 3. 143 , –176 4. 146 , –176

63. คา k ทท าใหระยะจากจด (4 , 1) ไปยงเสนตรง 5x – 12y + k = 0 มคา 5 หนวย คอขอ ใดตอไปน 1. 55 , –73 2. 56 , –73 3. 57 , –73 4. 58 , –73

64. สมการของเสนตรงทขนานกบเสนตรง 4x – 3y + 26 = 0 และอยหางจากจด (8 , 8) เปนระยะ 2 หนวย คอขอใดตอไปน 1. 4x – 3y + 2 = 0 2. 4x – 3y – 2 = 0 3. 4x – 3y – 18 = 0 4. ขอ 1. และ ขอ 3.

65. สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง y = 4x – 7 และอยหางจากจด (–5 , 7) เปนระยะ 3 หนวย คอขอใดตอไปน 1. x + 4y + 3 17 – 23 = 0 , x + 4y – 3 17 – 23 = 0 2. x + 4y + 3 17 – 24 = 0 , x + 4y – 3 17 – 24 = 0 3. x + 4y + 3 17 – 25 = 0 , x + 4y – 3 17 – 25 = 0 4. x + 4y + 3 17 – 26 = 0 , x + 4y – 3 17 – 26 = 0


71

66. ระยะหางระหวางเสนคขนาน 6x – 8y = 6 และ 6x – 8y = 16 คอขอใดตอไปน 1. 8 2. 7 3. 2 4. 1

67. ระยะระหวางเสนคขนานแตละขอตอไปน จะเทากบตวเลอกใด ก. 3 x + 4 y – 7 = 0 กบ 3 x + 4 y + 3 = 0 ข. 8 x + 6 y + 22 = 0 กบ 3 x + 4 y + 31 = 0 1. ก. 2 ข. 4 2. ก. 2 ข. 3 3. ก. 3 ข. 4 4. ก. 3 ข. 3

68. ถาเสนตรง 3x + 4y + C = 0 หางจากเสนตรง 3x + 4y – 5 = 0 เปนระยะ 2 หนวย แลวคาของ C คอขอใดตอไปน 1. 5 , –15 2. 6 , –15 3. 7 , –15 4. 8 , –15

69. สมการเสนตรงซงอยกงกลางเสนคขนาน 3x + 4y – 5 = 0 และ 3x + 4y + 25 = 0 คอขอใดตอไปน 1. x + 3y + 0 = 0 2. 3x – 5y – 15 = 0 3. 3x + 4y + 10 = 0 4. 2x + y – 4 = 0

6.2 ภาคตดกรวย 6.2.1 วงกลม 70. จดศนยกลางและรศมของวงกลมทมสมการเปน x2 + y2 = 9 คอขอใดตอไปน 1. (0 , 0) , 3 2. (0 , 0) , 3 3. (0 , 0) , 9 4. (0 , 0) , 81

71. จดศนยกลางและรศมของวงกลมทมสมการเปน 3 (x – 2)2 + 3 (y + 3)2 = 27 คอขอใด 1. (–2 , 3) , 3 2. (–2 , 3) , 9 3. (2 , –3) , 3 4. (2 , –3) , 9

72. จดศนยกลางและรศมของวงกลมทมสมการเปน x2 + y2 + 6x + 4y + 9 = 0 คอขอใด 1. (3 , 2) , 2 2. (3 , 2) , 4 3. (–3 , –2) , 2 4. (–3 , –2) , 4


72

73. จดศนยกลางและรศมของวงกลมทมสมการเปน 16x2 + 16y2 + 48x – 8y – 43 = 0 คอ ขอใดตอไปน 1. ( 2

3 , 41 ) , 5 2. ( 2

3 , 41 ) , 5

3. (– 23 , – 4

1 ) , 5 4. (– 23 , – 4

1 ) , 5

74. ก าหนดวงกลม x2 + y2 – 8x – 4y + 4 = 0 มจดศนยกลางอยท (h , k) มรศมเทากบ r ขอใดตอไปนถก 1. h – k – r = –2 2. h + k – r = –2 3. h + k + r = 12 4. h + k – r = 4

75. ถาวงกลม x2 + y2 – 6x – 8y + k = 0 มรศมยาวเทากบ 4 หนวย แลว k มคาเทากบเทาใด

76. ถาจดปลายเสนผานศนยกลางขางหนงของวงกลม x2 + y2 – 12x + 2y + 24 = 0 เปน (4 , 2) จดปลายเสนผานศนยกลางอกขางหนงคอขอใดตอไปน 1. (8 , 4) 2. (8 , –4) 3. (–8 , 4) 4. (–8 , –4)

77. สมการเสนตรงทผานจดศนยกลางของวงกลม x2 + y2 + 4x – 6y – 17 = 0 และตงฉากกบ เสนตรง 5x + 2y – 13 = 0 ตรงกบขอใดตอไปน 1. 2x – 5y – 19 = 0 2. 4x – 10y + 19 = 0 3. 2x – 5y + 19 = 0 4. 4x – 10y – 19 = 0

78. สมการเสนสมผสกบวงกลม x2 + y2 – 6x + 4y –12 = 0 ทจด (0 , 2) คอขอใดตอไปน 1. 3x + 4y + 8 = 0 2. 3x + 4y – 8 = 0 3. 3x – 4y + 8 = 0 4. 3x – 4y – 8 = 0

79. สมการเสนตรงทผานจดศนยกลางวงกลม x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 และขนานกบเสน สมผสวงกลมทจด (2 , 0) คอขอใดตอไปน 1. 2x – 5y – 19 = 0 2. 4x – 10y + 19 = 0 3. 4x – 3y + 17 = 0 4. 4x – 10y – 19 = 0


73

80. ความสมพนธซงมกราฟเปนวงกลมซงมจดศนยกลางอยท (–1 , –2) และรศมยาว 2 หนวย คอขอใดตอไปน 1. x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0 2. x2 + y2 + 2x + 4y – 1 = 0 3. x2 + y2 + 4x + 2y + 1 = 0 4. x2 + y2 + 4x + 2y – 1 = 0

81. สมการวงกลมทมจดศนยกลางเปน (5 , –2) และผานจด (–1 , 5) คอขอใดตอไปน 1. x2 + y2 – 10x + 4y – 55 = 0 2. x2 + y2 – 10x + 4y – 56 = 0 3. x2 + y2 – 10x + 4y – 57 = 0 4. x2 + y2 – 10x + 4y – 58 = 0

82. วงกลมทมจด (1 , 2) และ (4 , 5) เปนจดปลายของเสนผานศนยกลาง สมการวงกลมน คอขอใดตอไปน 1. x2 + y2 – 5x – 7y + 14 = 0 2. x2 + y2 – 5x – 7y + 28 = 0 3. x2 + y2 – 5x – 7y – 14 = 0 4. x2 + y2 – 5x – 7y – 28 = 0

83. สมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด (1 , –1) และสมผสกบเสนตรง 5x – 12y + 9 = 0 คอ ขอใดตอไปน 1. x2 + y2 – 10x + 4y – 55 = 0 2. x2 + y2 – 10x + 4y – 56 = 0 3. x2 + y2 – 10x + 4y – 57 = 0 4. x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0

84. สมการกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยทจด (3 , 4) และสมผสเสนตรงทลากผานจด (2 , 1) และ (–2 , 4) คอขอใดตอไปน 1. x2 + y2 – 3x – 4y – 22 = 0 2. x2 + y2 – 6x – 8y – 16 = 0 3. x2 + y2 – 3x – 4y + 22 = 0 4. x2 + y2 – 6x – 8y + 16 = 0

85. ขอใดตอไปนเปนสมการวงกลมซงสมผสแกน Y และมจดศนยกลางทจด (2 , 3) 1. x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0 2. x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0 3. x2 + y2 – 4x – 6y – 4 = 0 4. x2 + y2 – 4x – 6y – 9 = 0


74

86. สมการวงกลมทมจดศนยกลางอยบนเสนตรง y = 2x และสมผสแกน X ทจด (4 , 0) คอ ขอใดตอไปน 1. x2 + y2 – 10x + 4y – 55 = 0 2. x2 + y2 – 12x + 16y + 51 = 0 3. x2 + y2 – 10x + 4y – 57 = 0 4. x2 + y2 – 8x – 16y + 16 = 0

87. สมการกราฟวงกลมซงผานจด (1 , 5) และ (1 , –1) และมจดศนยกลางอยบนเสนตรง 2x + y – 4 = 0 คอขอใดตอไปน 1. x2 + y2 – 2x – 4y – 14 = 0 2. x2 + y2 – 2x – 4y – 14 = 0 3. x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 4. x2 + y2 – 2x – 4y + 4 = 0

88. วงกลมมจดศนยกลาง (6 , –3) รศม 5 หนวย จะตดแกน X และแกน Y ทจดใด 1. จดตดแกน X คอ (10 , 0) , (2 , 0) จดตดแกน Y คอ (0 , 10) , (0 , 2) 2. ไมมจดตดแกน X จดตดแกน Y คอ (0 , 10) , (0 , 2) 3. จดตดแกน X คอ (10 , 0) , (2 , 0) ไมมจดตดแกน Y 4. ไมมทงจดตดแกน X และแกน Y

6.2.2 พาราโบลา 89. พาราโบลา (y – 3)2 = 12 (x – 2) จะมจดโฟกสอยทจดในขอใดตอไปน

1. (2 , 3) 2. (5 , 3) 3. (–1 , –2) 4. (–6 , –2)

90. จากขอทผานมา สมการไดเรกตรกซของพาราโบลานคอขอใด 1. x = 4 2. y = –2 3. x = –1 4. y = 3

91. พาราโบลา (x – 4)2 = 16 (y – 3) จะมจดโฟกสอยทจดในขอใดตอไปน 1. (–2 , –5) 2. (–2 , 0) 3. (4 , 3) 4. (4 , 7)

92. จากขอทผานมา สมการไดเรกตรกซของพาราโบลานคอขอใด 1. y = –10 2. x = –2 3. y = –1 4. x = 4


75

93. พาราโบลา y2 + 4y + 20x + 24 = 0 จะมจดโฟกสอยทจดในขอใดตอไปน 1. (2 , 3) 2. (5 , 3) 3. (–1 , –2) 4. (–6 , –2)

94. จากขอทผานมา สมการไดเรกตรกซของพาราโบลานคอขอใด 1. x = 4 2. y = –2 3. x = –1 4. y = 3

95. พาราโบลา x2 + 4x – 20y – 96 = 0 จะมจดโฟกสอยทจดในขอใดตอไปน 1. (–2 , –5) 2. (–2 , 0) 3. (4 , 3) 4. (4 , 7)

96. จากขอทผานมา สมการไดเรกตรกซของพาราโบลานคอขอใด 1. y = –10 2. x = –2 3. y = –1 4. x = 4

97. พาราโบลา 2y2 + 4y – x – 4 = 0 จะมจดยอดอยทจดในขอใดตอไปน 1. (–6 , –1) 2. (– 847 , –1) 3. (2 , 0) 4. (2 , 121 )

98. พาราโบลา 3x2 – 12x – y + 12 = 0 จะมจดยอดอยทจดในขอใดตอไปน 1. (–6 , –1) 2. (– 847 , –1) 3. (2 , 0) 4. (2 , 121 )

99. จดยอดของพาราโบลาทมสมการเปน y2 – 8x – 4y + 28 = 0 คอขอใดตอไปน 1. (3 , 2) 2. (3 , 3) 3. (4 , 3) 4. (5 , 3)

100. สมการเสนไดเรกตรกของพาราโบลาทมสมการเปน x2 + 2x – 8y + 25 = 0 คอขอใด ตอไปน 1. x = –1 2. x = 1 3. y = –1 4. y = 1

101. จากสมการกราฟพาราโบลา x2 – 8x + 12y + 28 = 0 ขอความตอไปนขอใดถกตอง ก. จดยอดอยท (4 , –1) ข. สมการไดเรกตรกซคอ y – 2 = 0 ค. latus rectum ยาว = 12 หนวย ง. จดโฟกสอยท (4 , –4) 1. ถกทกขอ 2. ถก 1 ขอเทานน 3. ถก 2 ขอเทานน 4. ถก 3 ขอเทานน


76

102. ระยะระหวางจดโฟกสของพาราโบลา x2 = –20y ไปยงเสนตรง 3x + 4y – 5 = 0 มคา เทากบขอใดตอไปน 1. 3 หนวย 2. 4 หนวย 3. 5 หนวย 4. 6 หนวย

103. จากรปพาราโบลาทมสมการเปน y2 = 16x ม F เปนโฟกส จะพนทสวนทแรเงามคาเทา กบขอใดตอไปน 1. 64 ตร.หนวย 2. 32 ตร.หนวย 3. 16 ตร.หนวย 4. 8 ตร.หนวย

104. สมการกราฟพาราโบลาทมจดยอดอยท (3 , 2) แกนพาราโบลาขนานกบแกน X และ ระยะจากจดยอดไปยงจดโฟกสเทากบ 2 หนวยคอ 1. y2 – 4y – 8x + 28 = 0 2. y2 – 4y + 8x + 28 = 0 3. y2 + 4y – 8x – 28 = 0 4. y2 + 4y – 8x + 28 = 0

105. พาราโบลาซงมจดโฟกสอยทจด (1 , 3) และสมการของไดเรกตรกซ คอ y = –3 สมการพาราโบลานคอขอใด

1. x2 – 2x – 12y + 8 = 0 2. x2 – 2x – 12y – 8 = 0 3. x2 – 2x – 12y + 1 = 0 4. x2 – 2x – 12y – 1 = 0

106. สมการกราฟพาราโบลาซงมเสนตรง x = –4 เปนเสนไดเรกตรกซ และม (4 , 1) เปน โฟกส คอขอใดตอไปน 1. y2 – 2y – 16x + 16 = 0 2. y2 – 2y – 16x – 1 = 0 3. y2 – 2y – 16x + 1 = 0 4. y2 – 2y – 16x – 6 = 0

0 F

Y

X

A

B


77

107. สมการพาราโบลาทมเสนตรง y = 0 เปนไดเรกตรกซ และม (1 , –4) เปนจดโฟกส คอขอ ใดตอไปน 1. x2 – 2x + 8y + 16 = 0 2. x2 – 2x + 8y + 17 = 0 3. x2 – 2x + 8y + 15 = 0 4. x2 – 2x + 8y + 14 = 0

108. พาราโบลาทมจดยอดอยท (0 , 0) และมแกนมาตรอยบนเสนตรง y = 0 เสนโคงพารา- โบลาตะแคงเปดไปทางซาย ระยะระหวางโฟกสและไดเรกตรกซเทากบ 8 หนวย สมการ พาราโบลานคอขอใด 1. y2 = 16 x 2. y2 = –16 x 3. x2 = 12y 4. x2 = –12y

109. พาราโบลาทมจดยอดอยทจด (0 , 0) และแกนสมมาตรอยบนเสนตรง x = 0 เสนโคง พาราโบลามลกษณะคว าลง และ latus rectum ของพาราโบลานยาว 12 หนวย สมการ พาราโบลานคอขอใด 1. y2 = 16 x 2. y2 = –16 x 3. x2 = 12y 4. x2 = –12y

110. สมการพาราโบลาทมโฟกส (–2 , 1) จดปลายของเสนเลตสเปน (–2 , 2) กบ (–2 , 0) เสนโคงพาราโบลาตะแคงเปดไปทางซาย สมการพาราโบลานคอขอใด 1. y2 + 2x + 2y + 2 = 0 2. y2 + 2x + 2y + 4 = 0

3. y2 + 2x + 2y + 6 = 0 4. y2 + 2x – 2y + 4 = 0

111. สมการของพาราโบลาซงมจดยอดอยท (0 , 0) มแกน X เปนแกนสมมาตร และพาราโบลา นผานจด (–1 , –2) คอขอใดตอไปน 1. y2 = 4x 2. y2 = –4x 3. x2 = 8y 4. x2 = –8y

112. สมการของพาราโบลาซงม จดยอดอยท (0 , 0) มแกน Y เปนแกนสมมาตร และ พาราโบลานผานจด (4 , 2) คอขอใดตอไปน 1. y2 = 4x 2. y2 = –4x 3. x2 = 8y 4. x2 = –8y


78

113. พาราโบลาทมจดยอดอยทจด (2 , 3) แกนสมมาตรขนานกบแกน Y และพาราโบลานผาน จด (4 , 5) สมการพาราโบลานคอขอใด 1. x2 – 4x – 2y + 10 = 0 2. x2 – 4x – 2y – 10 = 0

3. y2 – 4y + 8x + 12 = 0 4. y2 – 4y + 8x – 12 = 0

114. สมการกราฟพาราโบลาซงมจดยอดอยท (0 , 0) แกนสมมาตรทบแกน Y และผานจด (2 , 1) คอขอใดตอไปน 1. y2 – 4x = 0 2. x2 – 4y = 0 3. y2 + 4x = 0 4. x2 + 4y = 0

115. พาราโบลามจดยอดบนเสนตรง 7x + 3y – 4 = 0 ผานจด (3 , –5) กบ (3, 3) จะมสมการคอ 1. y2 – 8x + 2y + 9 = 0 2. y2 – 8x + 2y + 18 = 0 3. x2 – 8y + 2x + 9 = 0 4. x2 – 8y + 2x + 18 = 0

116. พาราโบลาทมโฟกสอยท (0 , 2) จดยอดอยบนเสนตรง x + y – 4 = 0 และไดเรกตรกซ คอ เสนตรงทขนานกบแกน Y สมการพาราโบลานคอขอใด 1. x2 – 4x – 2y + 10 = 0 2. x2 – 4x – 2y – 10 = 0

3. y2 – 4y + 8x + 12 = 0 4. y2 – 4y + 8x – 12 = 0

117. พาราโบลามสมการเสนตรง y = 6 เปนไดเรกตรกซ จดยอดอยบนเสนตรง y = 2x และ

แกนของพาราโบลา มระยะตดแกน X เทากบ 5 จดโฟกสหางจากเสนไดเรกตรกซเทาใด 1. 2.5 2. 3.5 3. 5.0 4. 7.0

118. พาราโบลามจดโฟกสท (–3 , 1) มจดยอดสมผสกบเสนตรง y = 5 แลวความกวางของ พาราโบลา ณ จดโฟกสตรงกบขอใดตอไปน 1. 8 2. 12 3. 16 4. 20

5.2.3 วงร

119. วงรวงหนงมสมการ 1692y + 144

2x = 1 จดโฟกสจดหนงของวงรนคอขอใดตอไปน 1. (0 , 0) 2. (0 , 5) 3. (5 , 0) 4. (0 , 13)


79

120. ก าหนดสมการวงร 3621) (x + 20

22) (y = 1 จดโฟกสทงสองของวงรอยทจดใดตอไปน 1. (–3 , –1) และ (5 , –1) 2. (–3 , –3) และ (5 , –3)

3. (–3 , –2) และ (5 , –2) 4. (–3 , –4) และ (5 , –4)

121. ก าหนดสมการวงร 1 1623) (y

922) (x จดยอดของวงรอยทจดใดตอไปน

1. (–2 , –7) และ (–2 , 1) 2. (2 , –7) และ (2 , 1) 3. (–1 , –7) และ (–1 , 1) 4. (1 , –7) และ (1 , 1)

122. ก าหนดสมการวงร 4x2 + 9y2 = 36 จดยอดของวงรอยทจดใดตอไปน 1. (–3 , 0) และ (3 , 0) 2. (– 5 , 0) และ ( 5 , 0)

3. (0 , 4) และ (0 , –4) 4. (0 , 7 ) และ (0 , – 7 )

123. ก าหนดสมการวงร 16x2 + 9y2 = 144 จดโฟกสของวงรอยทจดใดตอไปน 1. (–3 , 0) และ (3 , 0) 2. (– 5 , 0) และ ( 5 , 0)

3. (0 , 4) และ (0 , –4) 4. (0 , 7 ) และ (0 , – 7 )

124. ก าหนดสมการวงร 16x2 + 25y2 – 32x – 100y – 284 = 0 จดโฟกสของวงรอยทจดใด 1. (–2 , 2) และ (4 , 2) 2. (–4 , 2) และ (6 , 2)

3. (–2 , –2) และ (–2 , 6) 4. (–2 , 2– 7 ) และ (–2 , 2+ 7 )

125. ก าหนดสมการวงร 16x2 + 9y2 + 64x – 36y – 44 = 0 จดโฟกสของวงรอยทจดใด 1. (–2 , 2) และ (4 , 2) 2. (–4 , 2) และ (6 , 2)

3. (–2 , –2) และ (–2 , 6) 4. (–2 , 2– 7 ) และ (–2 , 2+ 7 )

126. ก าหนดสมการวงร 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. จดศนยกลางคอ (6 , – 4) 2. จดยอดคอ (0 , –4) และ (12 , – 4) 3. โฟกสคอ (6 – 5 , –4) และ (6 + 5 , –4) 4. แกนโทยาว 8 หนวย


80

127. ถา L1 และ L2 เปนเสนตรงทผานจด (1 , –1) และผานโฟกสของวงร x2 + 5y2 – 2x + 20y + 16 = 0 แลวสมการของ L1 และ L2 คอขอใดตอไปน 1. x – 2y – 3 = 0 , x + 2y + 1 = 0 2. x – 2y – 2 = 0 , x + 2y + 2 = 0 3. x – 2y – 3 = 0 , x + 2y + 2 = 0 4. x – 2y – 4 = 0 , x + 2y + 1 = 0

128. พาราโบลาในขอใดทมเสนไดเรกตรกซสมผสกบวงรทมความสมพนธ { (x , y) R x R 9x2 + 4y2 – 36 = 0 } 1. y2 – 4x = 0 2. y2 + 8x = 0 3. x2 – 8y = 0 4. x2 + 8y = 0

129. สมการของวงรซงมจดโฟกสอยบนแกน Y แกนเอกยาว 20 หนวย แกนโทยาว 10 หนวย และจดศนยกลางอยท (0 , 0) คอขอใดตอไปน

1. 11002x

4002y 2. 1100

2y400

2x

3. 1252x

1002y 4. 125

2y100

2x

130. สมการของวงรซงมจดศนยกลางอยทจด (2 , 3) โฟกสจดหนงอยทจด (6 , 3) และจดยอด จดหนงอยทจด (7 , 3) คอขอใดตอไปน

1. 1923) (y

2522) (x 2. 125

23) (y 9

22) (x

3. 13623) (y

10022) (x 4. 1100

23) (y 36

22) (x

131. สมการของวงรซงมจดศนยกลางอยท (–3 , –2) โฟกสจดหนงอยทจด (–3 , 2) และจด ยอดจดหนงอยทจด (–3 , 3) คอขอใดตอไปน

1. 110023) (x

3622) (y

2. 13623) (x

10022) (y

3. 12523) (x

922) (y

4. 1923) (x

2522) (y


81

132. สมการกราฟวงรซงมจดศนยกลางอยท (2 , 1) โฟกสจดหนงอยท (2 , 4) และจดยอดจด หนงอยท (2 , –4) คอขอใดตอไปน 1. 25x2 – 16y2 – 100x – 32y + 284 = 0 2. 25x2 + 16y2 – 100x – 32y – 284 = 0 3. 16x2 + 25y2 – 32x – 100y + 284 = 0 4. 16x2 + 25y2 – 32x – 100y – 284 = 0

133. สมการวงรทมจดยอดอยท (–10 , 0) และ (10 , 0) และมโฟกสอยทจด (–8 , 0) และ (8 , 0) คอขอใดตอไปน

1. 11002y

362x 2. 136

2y100

2x

3. 1252 y

92x 4. 19

2y25

2x

134. สมการวงรทมโฟกสหนงเปน (4 , –2) จดยอดหนงเปน (12 , –2) อกโฟกสหนงเปน (10 , –2) คอขอใดตอไปน

1. 2527)(x + 16

22)(y = 1 2. 2522)(x + 16

23)(y = 1

3. 2523)(x + 16

22)(y = 1 4. 2524)(x + 16

23)(y = 1

135. สมการวงรทมจดยอดเปน (–5 , 0) และ (5 , 0) และโฟกสหนง (2 , 0) คอขอใดตอไปน 1. 21 x2 + 25 y2 + 525 = 0 2. 25 x2 + 21 y2 + 525 = 0 3. 21 x2 + 25 y2 – 525 = 0 4. 25 x2 + 21 y2 – 525 = 0

136. สมการวงรซงมจดโฟกสหนงอยท (–4 , –5) แกนเอกยาว 14 หนวย และจดศนยกลาง คอ (–4 , 1) คอขอใดตอไปน 1. 7x2 + y2 + 56x – 2y + 32 = 0 2. 7x2 + y2 + 56x – 2y + 64 = 0 3. 7x2 + y2 + 56x – 2y – 32 = 0 4. 7x2 + y2 + 56x – 2y – 64 = 0

137. สมการวงรซงมจดศนยกลางอยท (0 , 0) แกนเอกยาว 16 หนวย โฟกสหนง (6 , 0) คอ ขอใดตอไปน 1. 7x2+ 16y2 + 224 = 0 2. 7x2+ 16y2 + 448 = 0 3. 7x2+ 16y2 – 224 = 0 4. 7x2+ 16y2 – 448 = 0


82

138. สมการของวงรซงผลบวกของระยะทางจากจด P(x , y) ใดๆ บนวงรไปยงจด (–1 , 2) และ (3 , 2) เทากบ 10 หนวย คอขอใดตอไปน

1. 11622) (y

2521) (x 2. 125

22) (y 16

21) (x

3. 12122) (y

2521) (x 4. 125

22) (y 21

21) (x

139. สมการกราฟวงรซงผลบวกของระยะทางจากจด P(x , y) ใดๆ บนวงรไปยงจด (2 , –1) และ (2 , 3) เทากบ 10 หนวย คอขอใดตอไปน

1. 11622) (x

2521) (y

2. 12522) (x

1621) (y

3. 12122) (x

2521) (y 4. 125

22) (x 21

21) (y

140. สมการของวงรซงผานจด (–2 , 2) , (2 , 5) , (6 , 2) และ (2 , –1) คอขอใดตอไปน

1. 11622) (y

922) (x 2. 19

22) (y 16

22) (x

3. 11622) (y

2522) (x 4. 125

22) (y 16

22) (x

141. สมการวงรทมจดโฟกสทงสองเปน (5 , –3) และ (–1 , –3) และกราฟผานจด (2 , 1) คอ

1. 2527)(x + 16

22)(y = 1 2. 2522)(x + 16

23)(y = 1

3. 2523)(x + 16

22)(y = 1 4. 2524)(x + 16

23)(y = 1

142. สมการวงรทมจดศนยกลางอยท (1 , 2) และมโฟกสหนงอยทจด (6 , 2) และกราฟผาน จด (4 , 6) คอขอใดตอไปน

1. 2527)(x + 16

22)(y = 1 2. 2522)(x + 16

23)(y = 1

3. 4521) (x + 20

22) (y = 1 4. 2524)(x + 16

23)(y = 1

143. วงรมจดศนยกลางอยทจด (4 , –1) โฟกสจดหนงอยทจด (1 , –1) วงรนผานจด (8 , 0) สมการวงรนคอขอใด

1. 1921) (y

1824) (x 2. 118

21) (y 9

24) (x

3. 1921) (y

1624) (x 4. 116

21) (y 9

24) (x


83

6.2.4 ไฮเพอรโบลา 144. สมการไฮเพอรโบลา 9x2 – 16y2 – 54x + 64y – 127 = 0 มจดศนยกลางอยท (h , k) แลวคาของ h + k เทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

145. ก าหนดสมการไฮเพอรโบลา y2 – 6x2 + 2y + 36x = 59 จดยอดของไฮเพอรโบลานอย ทจดใดตอไปน 1. (–3 , –1– 6 ) และ (–3 , –1+ 6 ) 2. (3 , –1– 6 ) และ (3 , –1+ 6 )

3. (–3 , –1– 7 ) และ (–3 , –1+ 7 ) 4. (3 , –1– 7 ) และ (3 , –1+ 7 )

146. ก าหนดสมการไฮเพอรโบลา 9x2 – 19y2 – 54x = 63 จดโฟกสของไฮเพอรโบลานอย ทจดใดตอไปน 1. (–1 , 0) และ (7 , 0) 2. (–7 , 0) และ (1 , 0)

3. (–2 , 0) และ (8 , 0) 4. (–8 , 0) และ (2 , 0)

147. ก าหนดสมการไฮเพอรโบลา 2y2 – 3x2 – 8y + 6x – 1 = 0 จดโฟกสของไฮเพอรโบลา นอยทจดใดตอไปน 1. (1 , 2 – 3 ) และ (1 , 2 + 3 ) 2. (–1 , 2 – 3 ) และ (–1 , 2 + 3 ) 3. (1 , 2 – 5 ) และ (1 , 2 + 5 ) 4. (–1 , 2 – 5 ) และ (–1 , 2 + 5 )

148. ถา P(x , y) เปนจดใด ๆ บนไฮเพอรโบลาซงมสมการ x2 – 4y2 + 24y – 32 = 0 ผลตาง ของระยะทางจากจด P ไปยงโฟกสทงสองมคาเทาใด

149. ภาคตดกรวยมสมการเปน 9x2 – 16y2 – 18x + 64y – 199 = 0 แลวระยะทางจากโฟกสถง เสนตรง 3x + 4y – 12 = 0 เทากบขอใดตอไปน 1. 56 และ 52 หนวย 2. 65 และ 25 หนวย 3. 615 และ 65 หนวย 4. 516 และ 514 หนวย


84

150. ไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางทบแกน Y และยาว 8 หนวย แกนสงยคยาว 6 หนวย และมจดศนยกลางอยทจด (0 , 0) จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 192x16

2y 2. 192y

162x

3. 1162x

92y

4. 1162y

92x

151. ไฮเพอรโบลามจดยอดอยทจด (–4 , 0) และ (4 , 0) จดปลายแกนสงยคอยทจด (0 , –3) และ (0 , 3) จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 192x16

2y 2. 192y

162x

3. 1162x

92y

4. 1162y

92x

152. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยทจด (0 , 0) โฟกสจดหนงอยท (7 , 0) และจดยอดจด หนงอยทจด (–3 , 0) จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 192y

402x 2. 140

2y92x

3. 192x

402y

4. 1402x

92y

153. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยทจด (0 , 0) โฟกสอยทจด (0 , – 29 ) และจดยอดอยท จด (0 , –5) และ (0 , 5) จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 142y

252x 2. 125

2y42x

3. 142x25

2y 4. 1252x

42y

154. ไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจด (–3 , 0) และ (3 , 0) โฟกสอยทจด (–5 , 0) และ (5 , 0) จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 192x16

2y 2. 192y

162x

3. 1162x

92y

4. 1162y

92x


85

155. ไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจด (0 , –4) และ (0 , 4) โฟกสอยทจด (0 , –10) และ (0 , 10) จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 1842x

162y

2. 1842y

162x

3. 1162x

842y

4. 1162y

842x

156. สมการไฮเพอรโบลาทมจดยอดท (–4 , 2) จดโฟกสเปน (–5 , 2) , (1 , 2) คอขอใดตอไปน 1. 5x2 – 4y2 + 20x – 16y – 16 = 0 2. 5x2 – 4y2 + 20x – 16y – 15 = 0

3. 5x2 – 4y2 + 20x – 16y – 14 = 0 4. 5x2 – 4y2 + 20x – 16y – 13 = 0

157. ไฮเพอรโบลาซงผลตางของระยะจากจดใดๆ บนไฮเพอรโบลาไปยงจด (–10 , 0) และ (10 , 0) เทากบ 16 หนวย จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 1642x

362y

2. 1642y

362x

3. 1362x

642y

4. 1362y

642x

158. ไฮเพอรโบลาซงผลตางของระยะจากจดใดๆ บนไฮเพอรโบลาไปยงจด (0 , –5) และ (0 , 5) เทากบ 6 หนวย จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 192x16

2y 2. 192y

162x

3. 1162x

92y

4. 1162y

92x

159. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยทจด (3 , 1) โฟกสทงสองหางกนเปนระยะ 10 หนวย และอยบนเสนตรง x = 3 ผลตางของระยะจากจดใดๆ บนไฮเพอรโบลาไปยงโฟกสทง สองเทากบ 8 หนวย จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 1921) (y

1623) (x 2. 116

21) (y 9

23) (x

3. 1923) (x

1621) (y 4. 116

23) (x 9

21) (y


86

160. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยทจด (2 , 1) โฟกสจดหนงอยทจด (2 , 6) และจดยอดจด หนงอยบนเสนตรง y = 5 จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 1921) (y

1622) (x 2. 116

21) (y 9

22) (x

3. 1922) (x

1621) (y

4. 11622) (x

921) (y

161. ไฮเพอรโบลามจดศนยกลางอยทจด (0 , 0) จดยอดหนงอยทจด (–4 , 0) และไฮเพอรโบลา นผานจด (–5 , 3) จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 1162x

162y

2. 1162y

162x

3. 1162x

162y

4. 1162y

162x

162. ไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจด (0 , –3) และ (0 , 3) กราฟของไฮเพอรโบลานผานจด (5 , 3 2 ) จะมสมการเปนดงขอใดตอไปน

1. 192x

152y

2. 192y

152x

3. 1152x

92y

4. 1152y

92x

163. ไฮเพอรโบลาซงมแกนตามขวางและแกนสงยค ทบกบแกนโทและแกนเอกของวงร 9x2 + 16y2 = 144 ตามล าดบ จะมสมการตรงกบขอใดตอไปน 1. 9x2 – 16y2 = 1 2. 16x2 – 9y2 = 144 3. 9y2 – 16x2 = 1 4. 16y2 – 9x2 = 144

164. ก าหนดสมการ ก. 3x2 – 4y2 – 12x – 24y –24 = 0 ข. 9x2 – 4y2 + 18x +16y = 0 ค. 25x2 – 9y2 + 50x + 36y = 236 สมการทมกราฟเปนไฮเพอรโบลาคอขอใด 1. ขอ ก. และ ข. ข. ขอ ข. และ ค. 3. ขอ ก. และ ค. 4. ถกทกขอ


87

165. สมการเสนสมผสวงกลม x2 + y2 + 2x + 6y + 8 = 0 ทจด (2 , –4) คอขอใดตอไปน 1. x – y – 6 = 0 2. x – y – 5 = 0 3. x – y – 4 = 0 4. x – y – 3 = 0

166. สมการเสนสมผสวงกลม (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 ทจด (2 , 0) คอขอใดตอไปน 1. y = –1 2. y = 0 3. y = 1 4. y = 2

167. สมการเสนสมผส y2 – 12x – 2y – 23 = 0 ทจด (1 , 7) คอขอใดตอไปน 1. 4x – 9y – 14 = 0 2. 4x – 9y – 15 = 0 3. x – y + 6 = 0 4. x – y + 3 = 0

168. สมการเสนตรงทผานจด (1 , –1) และขนานกบเสนสมผสกราฟ y = x2 – 1 ทจด (1 , 0) คอขอใดตอไปน 1. y = –2x + 1 2. y = 3x – 4 3. y = –3x + 2 4. y = 2x – 3

169. สมการเสนสมผสวงร 4x2 + y2 = 16 ณ จด (0 , 4) คอขอใดตอไปน 1. y = –1 2. y = 0 3. y = 1 4. y = 4

170. สมการเสนสมผสวงร x2 + 9y2 – 4x + 9y = 0 ทจด (4 , –1) คอขอใดตอไปน 1. 4x – 9y – 14 = 0 2. 4x – 9y – 15 = 0 3. 4x – 9y – 16 = 0 4. 4x – 9y – 17 = 0

171. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 คอขอใด ตอไปน 1. Dr = [–1 , 3] , Rr = [–4 , 0] 2. Dr = [–1 , 3] , Rr = [–4 , 0] 3. Dr = (–1 , 3) , Rr = (–4 , 0) 4. Dr = (–1 , 3) , Rr = (–4 , 0)

172. จงหา Dr และ Rr ของความสมพนธ r = {(x , y) R x R | y = 2x9 } 1. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ 0 , 3 ) 2. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ 0 , 3 ) 3. Dr = [–3 , 3] , Rr = [ 0 , ) 4. Dr= (–, –3] [3 , ) , Rr= [ 0 , )


88

เฉลยตะลยโจทยท วไป บทท 6 เรขาคณตวเคราะห

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 1. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 3. 30. ตอบขอ 1. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 3. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 4. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 1. 39. ตอบขอ 2. 40. ตอบขอ 4. 41. ตอบขอ 4. 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 2. 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 1. 46. ตอบขอ 1. 47. ตอบขอ 1. 48. ตอบขอ 4. 49. ตอบขอ 3. 50. ตอบขอ 1. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 2. 55. ตอบขอ 1. 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 1. 58. ตอบขอ 1. 59. ตอบขอ 1. 60. ตอบขอ 4. 61. ตอบขอ 1. 62. ตอบขอ 2. 63. ตอบขอ 3. 64. ตอบขอ 4. 65. ตอบขอ 1. 66. ตอบขอ 4. 67. ตอบขอ 1. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 3. 70. ตอบขอ 1. 71. ตอบขอ 3. 72. ตอบขอ 3. 73. ตอบขอ 4. 74. ตอบขอ 1. 75. ตอบ 9 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 3. 79. ตอบขอ 3. 80. ตอบขอ 1. 81. ตอบขอ 2. 82. ตอบขอ 1. 83. ตอบขอ 4. 84. ตอบขอ 4. 85. ตอบขอ 2. 86. ตอบขอ 4. 87. ตอบขอ 3. 88. ตอบขอ 3. 89. ตอบขอ 2. 90. ตอบขอ 3. 91. ตอบขอ 4. 92. ตอบขอ 3. 93. ตอบขอ 4. 94. ตอบขอ 1. 95. ตอบขอ 2. 96. ตอบขอ 1. 97. ตอบขอ 1. 98. ตอบขอ 3. 99. ตอบขอ 1. 100. ตอบขอ 3.


89

101. ตอบขอ 1. 102. ตอบขอ 3. 103. ตอบขอ 2. 104. ตอบขอ 1. 105. ตอบขอ 3. 106. ตอบขอ 3. 107. ตอบขอ 2. 108. ตอบขอ 2. 109. ตอบขอ 4. 110. ตอบขอ 4. 111. ตอบขอ 2. 112. ตอบขอ 3. 113. ตอบขอ 1. 114. ตอบขอ 2. 115. ตอบขอ 1. 116. ตอบขอ 4. 117. ตอบขอ 4. 118. ตอบขอ 3. 119. ตอบขอ 2. 120. ตอบขอ 3. 121. ตอบขอ 1. 122. ตอบขอ 1. 123. ตอบขอ 4. 124. ตอบขอ 1. 125. ตอบขอ 4. 126. ตอบขอ 3. 127. ตอบขอ 1. 128. ตอบขอ 2. 129. ตอบขอ 3. 130. ตอบขอ 1. 131. ตอบขอ 4. 132. ตอบขอ 2. 133. ตอบขอ 2. 134. ตอบขอ 1. 135. ตอบขอ 3. 136. ตอบขอ 2. 137. ตอบขอ 4. 138. ตอบขอ 3. 139. ตอบขอ 3. 140. ตอบขอ 2. 141. ตอบขอ 2. 142. ตอบขอ 3. 143. ตอบขอ 1. 144. ตอบขอ 3. 145. ตอบขอ 2. 146. ตอบขอ 3. 147. ตอบขอ 3. 148. ตอบ 2 149. ตอบขอ 4. 150. ตอบขอ 1. 151. ตอบขอ 2. 152. ตอบขอ 2. 153. ตอบขอ 3. 154. ตอบขอ 4. 155. ตอบขอ 1. 156. ตอบขอ 1. 157. ตอบขอ 4. 158. ตอบขอ 3. 159. ตอบขอ 3. 160. ตอบขอ 3. 161. ตอบขอ 4. 162. ตอบขอ 3. 163. ตอบขอ 4. 164. ตอบขอ 2. 165. ตอบขอ 1. 166. ตอบขอ 2. 167. ตอบขอ 3. 168. ตอบขอ 4. 169. ตอบขอ 4. 170. ตอบขอ 4. 171. ตอบขอ 2. 172. ตอบขอ 1.

บทที่4 ระบบสมการเชิงเส้น ...บทท 4...

Documents

Transcript of บทที่4 ระบบสมการเชิงเส้น ...บทท 4...