CIM2103 การวิเคราะห์เชิงปริมาณ

บทที่ 2

2.โปรแกรมเชิงเส้นตรง (Linear Programming)

• การโปรแกรม (Programming) = การวางแผน

• เชิงเส้น (Linear) = วิธีการท่ีใช้ตวัแบบทางคณิตศาสตร์ชนิดเชิงเส้น

• โปรแกรมเชิงเส้นตรง (Linear Programming) เป็นเทคนิคหรือเคร่ืองมือ

ซึง่นิยมน ามาใช้ในการแก้ปัญหาตา่งๆ เช่น ปัญหาด้านบริหาร วิศวกรรม

ทหาร การแพทย์ สงัคมศาสตร์ เป็นต้น

• โปรแกรมเชิงเส้นตรงเป็นเป็นเทคนิคท่ีเก่ียวข้องกบัการหาคา่สงูสดุและ

คา่ต ่าสดุ เช่น ก าไรสงูสดุ ต้นทนุต ่าสดุ เป็นต้น

• เทคนิคโปรแกรมเชิงเส้นสว่นใหญ่ถกูน าไปใช้ประยกุต์ใช้ในด้านการ

จดัสรรทรัพยากรท่ีมีอยูอ่ยา่งจ ากดั เพื่อให้เกิดประโยชน์สงูสดุและคา่

ต ่าสดุ

2.โปรแกรมเชิงเส้นตรง

2.1 ลกัษณะของปัญหาที่ใช้ตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

• มีเป้าหมายในการหาคา่สงูสดุหรือต ่าสดุ เช่น ต้องการจดัสรรวตัถดุิบในการผลติ

สินค้าเพ่ือให้ได้ก าไรรวมสงูท่ีสดุ เป็นต้น

• มีเง่ือนไขหรือข้อความจ ากดัของปัญหาซึง่เป็นปัจจยัท่ีก าหนดคา่เป้าหมาย

• เป็นปัญหาที่มีทางเลือกท่ีเป็นไปได้มากมาย

• เป้าหมายและเง่ือนไขของปัญหาสามารถเขียนให้อยูใ่นรูปสมการเส้นตรง

2.1 ลักษณะของปัญหาที่ใช้ตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

กรณีที่ 1 การประยกุต์ตวัแบบก าหนดการเชิงเส้นกบัปัญหาด้านการผลติ

(production applications)

ปัญหาการก าหนดสดัสว่นการผลติ (product mix problem)

ปัญหาการก าหนดสว่นผสมการผลติ (blending problem)

ปัญหาการผลติเองหรือซือ้ (make or buy problem)

ปัญหาการก าหนดตารางการผลติ (production scheduling problem)

2.1 ลกัษณะของปัญหาที่ใช้ตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

กรณีที่ 2 การประยกุต์ตวัแบบก าหนดการเชิงเส้นกบัปัญหาด้านการตลาด

(marketing applications)

ปัญหาการเลือกสื่อ (media selection problem)

ปัญหาการวิจยัตลาด (marketing research problem)

2. ลกัษณะของปัญหาทีใ่ช้ตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

กรณีที่ 3 การประยกุต์ตวัแบบก าหนดการเชิงเส้นกบัปัญหาด้านการเงิน (finance

applications)

ปัญหาการเลือกกลุม่หลกัทรัพย์ (portfolio selection problem)

ปัญหาการวางแผนด้านการเงิน (workplace planning problem)

2.1 ลกัษณะของปัญหาที่ใช้ตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

กรณีที่ 4 การประยกุต์ตวัแบบก าหนดการเชิงเส้นกบัปัญหาด้านทรัพยากรมนษุย์

(human resource applications)

ปัญหาการก าหนดงาน (assignment problem)

ปัญหาการก าหนดจ านวนพนกังาน (financial planning problem)

2.2 สมมตฐิานของตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

1) ความแน่นอน (certainly) ข้อมลูน าเข้าตา่งๆ ต้องทราบอยา่งแน่นอน เช่น

จ านวนทรัพยากรท่ีมีอยู ่ก าไรตอ่หน่วย ต้นทนุตอ่หน่วย เป็นต้น

2) มีความเป็นสัดส่วน (proportionality) การเปลี่ยนแปลงค่าตวัแปรมีผลกระทบ

ท่ีแน่นอนทัง้ในฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์และฟังก์ชนัเง่ือนไขบงัคบั เช่น ลงทนุในหุ้น A

จ านวน 1 หุ้น ได้เงินปันผลหุ้นละ 5 บาท ถ้าลงทนุ 100 หุ้น จะได้ก าไรเงินปันผล

(5 * 100) = 500 บาท

2.2 สมมตฐิานของตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

3) มีความสัมพันธ์เป็นเส้นตรง (linear relationship) เป้าหมายและเง่ือนไข

ความจ ากดัของปัญหาสามารถสร้างเป็นฟังก์ชนัทางคณิตศาสตร์ได้ด้วยการ

น ามาบวกลบกนั เช่น เงินปันผลรวม = 5A + 2B บาท

4) ตัวแปรมีค่าต่อเน่ือง (continuous variable) ตวัแปรทกุตวัในตวัแบบ

ก าหนดการเชิงเส้นมีคา่เป็นเศษสว่นหรือทศนิยมได้ เช่น ลงทนุในหุ้น A เป็น

จ านวน 528.33 หุ้น

2.2 สมมตฐิานของตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

5) ตัวแปรมีค่าไม่ตดิลบ (non-negatively) ตวัแปรทกุตวัในตวัแบบก าหนดการ

เชิงเส้นจะต้องมีคา่ไมต่ ่ากวา่ศนูย์

6) ปัญหามีวัตถุประสงค์เดียว (one objective) ตวัแบบก าหนดการเชิงเส้นจะมี

วตัถปุระสงค์ท่ีต้องการหาคา่สงูสดุหรือหาคา่ต ่าสดุ โดยจะมีวตัถปุระสงค์เดียว

เทา่นัน้

2.3 โครงสร้างตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น

1) ตวัแปรที่ต้องตดัสินใจ (decision variable)

2) ฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์ (objective function)

3) สมัประสทิธ์ิของตวัแปรในฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์ (objective function coefficient)

4) เง่ือนไขข้อบงัคบั (Constraint)

5) สมัประสทิธ์ิตวัแปรในเง่ือนไขบงัคบั (constraint coefficient)\

6) คา่ขวามือของสมการเง่ือนไขบงัคบั (right hand side constant)

2.4 การสร้างตัวแบบก าหนดการเชิงเส้น1. หาตวัแปรที่เราต้องการมีอะไรบ้าง

2. หาฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์คืออะไร ต้องการหาคา่ต ่าสดุหรือหาค่าสงูสดุ

(Maximize, Minimize) >>> สมการ

3. หาฟังก์ชนัข้อจ ากดั (มีเง่ือนไขหรือข้อจ ากดัอะไรบ้างท่ีโจทย์ก าหนดมาให้)

>>> สมการหรืออสมการ

4. ความสมัพนัธ์ของตวัแปรในสมการหรืออสมการตา่งๆ ของ Model ต้องมีลกัษณะเชิง

เส้นตรง (โดยมากเป็นก าลงัหนึง่)

5. ตวัแปรทกุตวัต้องมีคา่ >= 0

2.4 การสร้างตัวแบบก าหนดการเชิงเส้นตวัแบบก าหนดการเชิงเส้นส าหรับการหาคา่สงูสดุ หรือคา่ต ่าสดุ สามารถเขียนเป็นตวัแบบคณิตศาสตร์ ( Mathematical model) ได้ดงันี ้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์

Maximize Z = C1X1 + C2X2 +…+CnXnหรือ Minimize Z = C1X1 + C2X2 +…+CnXn

ภายใต้ข้อจ ากัด (สมการหรืออสมการ)a11X1+a12X2+…+a1nXn (<=,>=,=) b1a21X1+a22X2+…+a2nXn (<=,>=,=) b2

… …am1X1+am2X2+…+amnXn (<=,>=,=) bm

และ X1, X2, …,Xn >= 0

2.4 การสร้างตัวแบบก าหนดการเชิงเส้นโดยท่ี Z คือฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์

Xj คือตวัแปรท่ีเป็นทางเลือกซึง่ต้องการหาคา่ ; j = 1,2,3,…,n

Cj คือคา่สมัประสทิธ์ิของตวัแปร Xj ในฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์ ซึง่มีคา่คงท่ี ;

j= 1,2,3,…,n

aij คือคา่สมัประสทิธ์ิของตวัแปรในฟังก์ชนัข้อจ ากดั (Constraints)

i= 1,2,3,…,m และ j= 1,2,3,…,n

bi คือปริมาณของทรัพยากรท่ีมีอยู่ ซึง่มีคา่เป็นคา่คงท่ีจ านวนบวก (bi > 0)

i= 1,2,3,…,m

ตัวอย่างที่ 2.1บริษัท ปนู จ ากดั ผู้ผลติปนูซีเมนต์ ได้ใช้สว่นผสมในการผลติปนู 4 ชนิดคือa, b, c, และ d ในการผลติจะบรรจเุป็นถงุ ถงุละ 50 กิโลกรัม โดยมีข้อก าหนดตา่งๆดงันี ้1. ต้องมี d ไมต่ ่ากวา่ 20 %2. ต้องมี a ไมเ่กิน 50 %3. ต้องมี a และ b รวมกนัไมต่ ่ากวา่ 60 %4. ต้องมีอตัราสว่น ของ c กบั b ตอ่ a ไมเ่กิน 3 ตอ่ 2

ถ้าต้นทนุของ a, c, b, และ d กิโลกรัมละ 1.5 บาท, 2 บาท, 0.5 บาท, และ 2.75 บาท ตามล าดบั ปนู 1 ถงุ ควรประกอบด้วยสว่นผสมตา่งๆ อยา่งละก่ีกิโลกรัม

ตัวอย่างที่ 2.1X1 แทนจ านวน a ในปนูซีเมนต์ 1 ถงุ (กิโลกรัม)

X2 แทนจ านวน b ในปนูซีเมนต์ 1 ถงุ (กิโลกรัม)

X3 แทนจ านวน c ในปนูซีเมนต์ 1 ถงุ (กิโลกรัม)

X4 แทนจ านวน d ในปนูซีเมนต์ 1 ถงุ (กิโลกรัม)

ตัวอย่างที่ 2.1ฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์ คือต้องการต้นทนุต ่าสดุของส่วนผสมในปนูซีเมนต์ 1ถงุMinimize Z = 1.5X1 + 2X2 + 0.5X3 + 2.75X4ฟังก์ชนัข้อจ ากดั1. สว่นผสมของปนูซีเมนต์ 1 ถงุรวมกนัจะได้เท่ากบั 50 หน่วยพอดี

X1 + X2 + X3 + X4 = 502. ต้องมี d ไม่ต ่ากว่า 20%

X4 >= 103. ต้องมี a ไม่เกิน 50%

X1 <= 254. ต้องมี a และ b รวมกนัไม่ต ่ากว่า 60 %

X1 + X3 >= 305. ต้องมีอตัราส่วนของ c กบั b ต่อ a ไม่เกิน 3 ต่อ 2

X2+X3 <= 3X1 2

2X2 + 2X3 <= 3X12X2 + 2X3 - 3X1 <= 0 หรือ 3 X1 -2X2 -2X3 >= 0

ตัวอย่างที่ 2.1สรุปตวัแบบก าหนดการเชิงเส้นคือ

Minimize Z = 1.5X1 + 2X2 + 0.5X3 + 2.75X4

ภายใต้ข้อจ ากดัX1 + X2 + X3 + X4 = 50

X4 >= 10X1 <= 25

X1 + X3 >= 303 X1 -2X2 -2X3 >= 0

X1, X2, X3, X4 >= 0

ตัวอย่างที่ 2.2

บริษัท เอฟบีที เป็นบริษัทซึง่ผลิตลกูฟตุบอลและลกูบาสเก็ตบอล โดยในการผลิตลกูฟตุบอลและลกูบาสเก็ตบอลใช้วตัถดุิบ 2 ชนิด คือ หนงัและยาง ถ้าในการผลติลกูฟตุบอลได้ก าไรลกูละ 16 บาท ลกูบาสเก็ตบอลได้ก าไรลกูละ 12 บาท และถ้าผลติได้เทา่ใดสามารถขายได้ทัง้หมด ในสปัดาห์หน้าทางบริษัทมีวตัถดุิบคือ หนงั 800 ตารางฟตุ และยาง 500 กิโลกรัม ในการผลิตลกูฟุลบอล 1 ลกู ใช้ยาง 2 กิโลกรัมและหนงั 5 ตารางฟตุ สว่นการผลติลกูบาสเก็ตบอล 1 ลกู ใช้ยาง 3 กิโลกรัมและใช้หนงั 4 ตารางฟตุ ทางบริษัทเอฟบีทีควรผลิตลกูฟตุบอลและลกูบาสเก็ตบอลอย่างละก่ีลกูต่อสปัดาห์ เพ่ือให้ได้ก าไรรวมสงูสดุ

ตัวอย่างที่ 2.3ถ้านางกลัยาได้รับมรดกจากพอ่แมจ่ านวน 500,000 บาท นางกลัยาต้องการน าเงินสว่นนีไ้ปลงทนุ แตใ่นปัจจบุนัการลงทนุอยา่งใดอยา่งหนึง่เพียงอย่างเดียวจะเป็นการเสี่ยงเกินไป นางกลัยาต้องการกระจายความเสี่ยงจงึศกึษาด้านการลงทนุพบว่า ถ้าฝากประจ าจะได้ดอกเบีย้ 4% ซือ้พนัธบตัรรัฐบาลได้ตอบแทน 5 % ถ้าซือ้หุ้นด้านสื่อสารคาดวา่จะได้ผลตอบแทน 7 %และซือ้หุ้นด้านพลงังานคาดว่าจะได้ผลตอบแทน 4.5%เพ่ือเป็นการกระจายความเสี่ยง นางกลัยาได้ก าหนดวา่• จะฝากประจ าไมเ่กิด 230,000• จะลงทนุซือ้พนัธบตัรรัฐบาลไมเ่กิน 150,000 บาท• จะลงทนุในพนัธบตัรรัฐบาลไมเ่กินเงินท่ีน าฝากประจ า• จะลงทนุในหุ้นด้านสื่อสารไมเ่กิน 120,000 บาท• จ านวนเงินที่ซือ้พนัธบตัรรัฐบาลและหุ้นสื่อสารไมเ่กิน 70 % ของเงินน าไปฝากประจ า

และหุ้นด้านพลงังานนางกลัยาควรจดัสรรเงินทนุอยา่งไร