5.5 正弦函数的性质和图象y

xo

1

-12

2

32

2

授课人 : 石家庄市三职专 梁然

知识应用

知识探索：正弦的性质知识回顾

图象与画法

学习目标

学习目标

1 、通过分析正弦函数的性质，画出图象。

2 、理解正弦函数的定义域、奇偶性、单调性、

周期性，并会简单的应用，解决相关问题。

3 、会用“五点法”画正弦函数的图象。

知识回顾

前几节课我们学习了三角函数的概念及诱导

公式。下面请同学回忆一下：

1 、三角函数的几何意义。

2 、角 α+2kπ 与角 α 的终边有什么关系。

3 、关于 -α 与 α 的诱导公式。

想一想：怎样画出正弦函数 f(x)=sinx 的图象 ？

正弦函数的性质

分析：

由诱导公式（ 1 ）： sin （ x+2π ） = sinx

sin ( x-2π ） = sinx

自变量 x 每增加或减少 2π ，正弦函数值不变。

周期性：

我们把 2π 称为 f(x)=sinx 的一个“周期”

想一想：自变量 x 每增加或减少多少，正弦函数值不变？

正弦函数的性质

奇偶性 ：

分析：

由诱导公式（ 4 ）得 : sin)sin(

f(x)=sinx 在（ -∞ ， +∞ ）是 ________奇函数

正弦函数的性质

P(x,y)

1

1

y

xo

设角 的终边与单位圆交于 p(x,y), 则 sin =y

从 0 逐渐增大到1

从 1 逐渐减小到 0

f(x)=sin(x) 在 上是

在 上是

2,0

,2

增函数

减函数

当 从 0 逐渐增大到 ,sin2

当 从 逐渐增大到 ,sin 2

正弦函数的图象

由以上的性质可知：

要画 的图象xy sin Rx

只要先画 y=sinx 在 _______ 的图象周期性

,0只要先画 y=sinx 在 _______ 的图象奇偶性

],[

正弦函数的图象

步骤：1. 列表2. 描点3. 连线

x

sinx

6

3

2

3

2 6

5

2

10

2

32

3

2

11 0

6

3

2

3

2 6

5 0

y

x

1

0

o

2

x

y

2

1

正弦函数的图象

y=sinx x[0,]

y=sinx x[-π,π]

o

y1

x6

-1

- 2 3 4 5-2-3-4 56

y=sinx x[-π,π] y=sinx x(-∞ ， +∞)

正弦曲线

一）正弦函数 f(x)=sinx 的主要性质：

评注：

R

[-1 ， 1]

2π

奇函数 原点对称

)( zk

22

x k 6 ）、在 处达到 __________ ，在 处达到

______________(k z)∈

22

x k

1 ）、 定义域是 ________ ；

2 ）、值域是 _________ ；

3 ）、最小正周期是 _________ ；

4 ）、在（ -∞ ， +∞ ）上是 __________ ，图象关于 ____________ ；3

[ 2 , 2 ]2 2

k k ]2

2,2

2[

kk 5 ）、在 上是 _________ ，在

上是 __________ 。

增函数减函数

最大值 1

最小值 -1

评注：

二）、一般地，对于定义域为 A 的 y=f(x), 如果存在一

个常数 T≠0 ，使得对于每一个 x A,∈ 都有 x±T A∈ ，且

f(x+T)=f(x)

则把 T 叫做函数 f(x) 的一个周期，称 y=f(x) 是周期函数。

如果在所有的正周期中，存在一个最小的数，则把它称

为 f(x) 的“最小正周期”。

五点法——

(0,0)

( ,1)2

( ,0) ( ,-

1)2

3( 2 ,0)

y

xo

1

-1

2

2

32

2

如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？

(0,0)

( ,1)2

( ,0)

( ,-1)

2

3

( 2 ,0)

(0,0)

( ,1)2

( ,0)

( ,1)2

3

( 2 ,0)

(0,0)

( ,1)2

( ,0)

( ,1)2

3

( 2 ,0)

(0,0)

( ,1)2

( ,0)

( ,1)2

3( 2 ,0)

(0,0)

( ,1)2

( ,0)

( ,1)2

3( 2 ,0)(0,

0)

( ,1)2

( ,0)

( ,-1)

2

3( 2 ,0)(0,

0)

( ,1)2

( ,0)

( ,-1)

2

3 ( 2 ,0)(0,

0)

( ,1)2

( ,0) ( ,-

1)2

3 ( 2 ,0)

评注：

例题分析 例 1 比较下列各组正弦值的大小：

)10

sin()8

sin()1

与 8

7sin

8

5sin)2 与

分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。

解： 1 ）因为 01082

并且 f(x)=sinx 在 上是增函数，所以

2,

2

)10

sin()8

sin(

2 ）因为

8

7

8

5

2

并且 f(x)=sinx 在 上是减函数，所以],2

[

8

7sin

8

5sin

例 2 求函数 在 x 取何值时到达

最大值？在 x 取何值是到达最小值？

)6

2sin()(

xxf

关键点：把 看作一个整体。6

2

解； 在 处到达最大值 1 。

即，当 时， 达到最大值 1 。

kx 2

262 )

62sin()(

xxf

)(6

zkkx )

62sin()(

xxf

)6

2sin()(

xxf

)6

2sin()(

xxf 在 处达到最小值 -1 。

即，当 时， 达到最小值 -1 。

kx 2

262

)(3

zkkx

例 3 求函数 f(x)=sin2x 的最小正周期。

分析：本题的关键是找到满足 f(x+T)=f(x) 的

最小正数。

解：根据诱导公式（ 1 ）得

sin （ 2x+2 ） =sin2x x R

即 sin2(x+ )=sin2x x R

也就是 f(x+ )=f(x) x R

因此，是 f(x)=sin2x 的最小正周期。

思考：你能寻找到求正弦函数周期的规律么？

练习

1 、比较下列各组正弦值的大小：

7

5sin

7

4sin)1( 与 )

7

2sin()

5

2sin()2( 与

2 、求下列函数在 x 取何值时到最大值？在 x 取何值是到达最小值？

);32

1sin()()1(

xxf )

23sin(5)()2(

xxg

3 、求函数 f(x)=sin2x 的最小正周期？

(1) f(x)=2sinx (2) g(x)=1+sinx

1. 正弦曲线——五点作图法

2. 正弦函数的 6 个性质。

y

xo

1

-1

2

2

32

2

y=sinx ， x[0, 2]

课堂小结

作业：

课本（必作） A 组 1 、 2 ）， 4 ） ； 2 、 3 ）， 4 ）； B 组 3 、 1 ）， 3 ） （选作） B 组 2 ； 3 、 2 ）， 4 ） 4 、 1 ）思考题：如何得到余弦函数的图象及性质。