5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4...
description
Transcript of 5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4...
歐亞書局
Logarithmic, Exponential, and Logarithmic, Exponential, and Other Transcendental FunctionsOther Transcendental Functions
5 5 對數函數、指數函數對數函數、指數函數 和其他超越函數 和其他超越函數
歐亞書局
5.1 自然對數函數:微分5.2 自然對數函數:積分5.3 反函數5.4 指數函數:微分與積分5.5 一般底數的指數函數和應用5.6 反三角函數:微分5.7 反三角函數:積分5.8 雙曲函數
歐亞書局
5.6 反三角函數:微分反三角函數的定義
函數 定義域 值域y = arcsin x iff sin y = x –1 ≤ x ≤ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2
y = arccos x iff cos y = x –1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤π
y = arctan x iff tan y = x –∞ < x <∞ –π/2 < y <π/2
y = arccot x iff cot y = x –∞ < x <∞ 0 < y <π
y = arcsec x iff sec y = x |x| ≥ 1 0 ≤ y ≤π, y≠π/2
y = arccsc x iff csc y = x |x| ≥ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2, y≠0
P.258Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
歐亞書局 P.258Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
圖 5.29
歐亞書局
例 1 計算反三角函數計算下列各題的值。 a. arcsin(–½) b. arccos 0
c. d. arcsin(0.3)
解a. 由定義,從 y = arcsin(–½) 可得 sin y = –½ ,在區間[–π/2,π/2] 中, y 的正確答案是 – π/6 ,因此 arcsin(–½) = –π/6
b. 由定義,從 y = arccos 0 可得 cos y = 0 ,在區間 [0,π]
中, y 的正確答案是 y =π/2 ,因此 arccos 0 = π/2
P.259Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
3arctan
歐亞書局
例 1 (續)
c. 由定義,從 可得 ,在區間(–π/2,π/2) 中, y 的正確答案是 y =π/3 ,因此
d. 以計算機求出 arcsin(0.3) ≈ 0.305
P.259Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
3arctan 3tan y
33arctan
歐亞書局
反三角函數的性質
如果 – 1 ≤ x ≤ 1 並且 – π/2 ≤ y ≤ π/2 ,則有 sin(arcsin x) = x 和 arcsin(sin y) = y
如果 – π/2 < y < π/2 ,則有 tan(arctan x) = x 和 arctan(tan y) = y
如果 |x| ≥ 1 並且 0 ≤ y <π/2 或者 π/2 < y ≤π ,則有 sec(arcsec x) = x 和 arcsec(sec y) = y
其他反三角函數也有類似的性質。
P.259Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
歐亞書局
例 2 解方程式
P.259Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
4)32arctan(
x
2
1324
tan)]32(tan[arctan
x
x
x
原式
兩邊取正切
tan(arctan x) = x
解 x
歐亞書局
例 3 利用直角三角形
a. 已知 y = arcsin x , 0 < y <π/2 ,求 cos y 。b. 已知 y = arc ,求 tan y 。解a. 從 y = arcsin x ,可知 sin y = x ,所以以一個直角三角
形表示 x 和 y 的關係,如圖 5.30 所示。
(此結果亦適用於 – π/2 < y < 0 )。b. 以圖 5.31 中的直角三角形來看
P.260Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
2/5sec
21)cos(arcsincos xxy 斜邊鄰邊
21sectantan 25 鄰邊對邊arcy
歐亞書局 P.260Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
圖 5.30
歐亞書局 P.260Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
圖 5.31
歐亞書局
定理 5.16 反三角函數的導函數
P.260Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
歐亞書局
例 4 求反三角函數的微分
a.
b.
c.
d.
因為 e2x > 0 ,絕對值記號是多餘的。
P.261Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
22 41
2
)2(1
2)]2[arcsin(
xxx
dx
d
22 91
3
)3(1
3)]3[arctan(
xxx
dx
d
2
2/1
2
1
12
1
1
)2/1(][arcsin
xxxxx
xx
dx
d
1
2
1
2
1)(
2]sec[
442
2
222
22
xxx
x
xx
xx
eee
e
ee
eearc
dx
d
歐亞書局
例 5 一個可以化簡的導函數
微分 。
解
P.261Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
21arcsin xxxy
2
22
2
2
2
2
22/12
2
12
11
111
1
1)1)(2(2
1
1
1
x
xx
xx
x
x
xxxxx
y
歐亞書局
例 6 分析一個反三角函數的圖形分析 y = (arctan x)2 的圖形。解 先求導函數
可看出 x = 0 是唯一的臨界數。由一階導數檢定, x = 0對應的是一個相對極小,再由二階導數
反曲點出現在 2x arctan x = 1 處,可利用牛頓法求出 x
的近似值大概是 x ≈ ±0.765 。最後,由於
得知圖形以 y =π2/4 為水平漸近線,見圖 5.32 。
P.261Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
22 1
arctan2
1
1)(arctan2
x
x
xxy
2222
22
)1(
)arctan21(2
)1(
)2)(arctan2(1
2)1(
x
xx
x
xxx
xy
4)(arctanlim 22
xx
歐亞書局 P.261Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
圖 5.32 y = (arctan x)2 的圖形,以 y = π2/4 為水平漸近線。
歐亞書局
例 7 求攝影角度的最大值
攝影機的鏡頭對準一輻掛在牆上,上下高度 4 呎的畫,鏡頭的位置在畫的下緣之下 1 呎,如圖 5.33 所示。攝影
機應該距畫多遠才能使攝角最大?解 在圖 5.33 中,令 β 是攝角。 β=θ–α = arccot x/5 – arccot x 微分得到
由於當 x = 時, dβ/dx = 0 ,從一階導數檢定得知 β
會有最大值。因此, x ≈ 2.236 呎,而最大角 β≈ 0.7297
弧度 ≈ 41.81° 。 P.262Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
)1)(25(
)5(4
1
1
25
5
1
1
)25/(1
5/122
2
2222 xx
x
xxxxdx
d
5
歐亞書局 P.262Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數
圖 5.33 攝影機要距離牆壁 2.236 英呎才能得到最大的攝角 。
歐亞書局
基本函數的微分規則
P.263Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數