6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形

三角形的解法及其應用三角形的解法及其應用6

6.1 利用正弦公式及餘弦公式解三角形

正弦公式

中，在任意 ABC

，RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

的外接圓半徑是其中 ABCR

6 三角形的解法及其應用


證明：



證明：

6.3 圖

RA

a2

sin

RC

cR

B

b2

sin 2

sin 及同理可證，

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

A'A sinsin

BA'

BC

R

a

2

o90' CBA

'AA


解：

例 6.1

ABCcBAABC 5 70 60 oo 解及　，在


、

o

ooo

50

7060180

C


o

ooo

50

7060180

C

C

c

A

a

sinsin

o

o

50sin

60sin5a

)2( 65.5 位小數準確至

C

c

B

b

sinsin

6.8 圖o

o

50sin

70sin5b

)2( 13.6 位小數準確至

解：

例 6.1

ABCcBAABC 5 70 60 oo 解及　，在


、


解：

例 6.2

ABCbaAABC 10 6 30 o 解及　　中，在


、


B

b

A

a

sinsin

a

AbB

sinsin

6

5

6

30sin10 o

) 2 ( 56.12344.56180 ) 2 ( 44.56 oooo 位小數準確至或位小數準確至 BB

時，當 o44.56 (i) B

6.9 圖

) 2 ( 56.93

44.5630180o

ooo

位小數準確至C

A

Cac

sin

sin

) 2 ( 98.1130sin

56.93sin6o

o

位小數準確至

解：

例 6.2

ABCbaAABC 10 6 30 o 解及　　中，在、



時，當 o56.123 (ii) B

) 2 ( 44.26

56.12330180o

ooo

位小數準確至C

A

Cac

sin

sin

) 2 ( 34.530sin

44.26sin6o

o

位小數準確至

34.5 44.26 56.123

98.11 56.9344.56 oo

oo

cCB

cCB

及或及　因此，

解：

例 6.2

ABCbaAABC 10 6 30 o 解及　　中，在、


、、

6.9 圖


解：



例 6.3、


B

b

A

a

sinsin

6.10 圖

a

AbB

sinsin

6

1

6

30sin2 o

) 2 ( 170.4159.9180

) 2 ( 59.9 ooo

o

小數準確至

或小數準確至

B

B

時，當 o59.9 (i) B

) 2 ( 41.140

59.930180o

ooo

位小數準確至

C

A

Cac

sin

sin

) 2 ( 65.730sin

41.140sin6o

o

位小數準確至

解：



例 6.3

、


時，當 41.170 (ii) oB

o

oo

41.170

18041.200

B

BA

所以，應捨去

7.65 41.140

59.9 o

o

cC

B

及因此，

6.10 圖

解：



例 6.3

、

、



餘弦公式

中，在任意 ABC

Abccba cos2222



證明：



證明：

是銳角圖 6.11(a) A

222

222

)(

xcah

xbh

BCD

CDA

中，得和應用畢氏定理於

22222 2 xbxcxca

cxcba 2 222

2222 )( xbxca

Ab x

CDA

cos

得，從

Abccba cos2 222



證明：

是鈍角圖 6.11(b) A

222

222

)(

xcah

xbh

BCD

CAD

中，得和應用畢氏定理於

22222 2 xbxcxca

cxcba 2 222

2222 )( xbxca

Ab

Ab x

CAD

cos

)cos(

得，從

Abccba cos2 222


解：

例 6.4 ABCcbaABC 6 54 解及　中，在


、


bc

acbA

2cos

222

6.12 圖

4

3

)6)(5(2

465 222

) 2 ( 41.41 o 位小數準確至 A

ac

bcaB

2cos

222

16

9

)6)(4(2

564 222

) 2 ( 77.55 o 位小數準確至 B

) 2 ( 82.8277.5541.41180 oooo 位小數準確至C

解：

例 6.4 ABCcbaABC 6 54 解及　中，在


、


解：

例 6.5


在 ABC 中， A=20º 、 b=2 及 c=3 。解 ABC 。


Abccba cos2222

6.13 圖

724.1

20cos)3)(2(232 o22

) 2 ( 31.1

313.1

位小數準確至 a

ac

bcaB

2cos

222

8535.0)3)(313.1(2

23313.1 222

) 2 ( 40.31 o 位小數準確至 B

) 2 ( 60.12840.3120180 oooo 位小數準確至C

解：

例 6.5

在 ABC 中， A=20º 、 b=2 及 c=3 。解 ABC 。



解：

例 6.9

PQx

QPBxAB

BA

αQPA

2

0

W N km

2

0

E N E N

表和　　試以

，其中均為的方位角和點測得，這時，從

點，設點駛至正東方向的若該船從其中

，和的方位角分別為和點測得兩座燈塔一艘船從


、、


6.16 圖

中，在 ABQ

2 ,

2QBAQAB

22 AQB由此，

QBA

AQ

AQB

AB

sinsin

根據正弦公式得，

)sin(

)2

sin(

xAQ km

)sin(

cos

x

解：

例 6.9


、、

PQx

QPBxAB

BA

αQPA

2

0

W N km

2

0

E N E N

表和　　試以





PAQ

APQ

中，在

)()(

)( 外角由此， PAQAQBAPQ

APQ

AQ

PAQ

PQ

sinsin

根據正弦公式得，

)sin(

)sin(])sin(

cos[

x

PQ

km)sin()sin(

)sin(cos

x

例 6.9

PQx

QPBxAB

BA

αQPA

2

0

W N km

2

0

E N E N

表和　　試以





、、

6.16 圖


Wingeom

圖 6.30

6.2 三維空間的問題

詞彙與定義

1. 垂直於平面的直線若一直線 L 垂直於平面內所有直線，則稱直線 L 與平面垂直。　

平面上的任意直線

平面

L

6.30 圖

如果想看書內 WinGeom 圖 6.30 立體圖形，可先於 http://math.exeter.edu/rparris/winGeom.html 下載 Wingeom 軟件。然後進入以下網頁http://www.hkep.com/Resources/maths/amaths.html


(ii) 角是直線 AB 與平面的交角，也被稱為直線 AB 在平面上的傾角。


Wingeom

圖 6.31

2. 直線與平面的夾角在圖 6.10 中，直線 AB 與平面相交於 A 點。B 是直線 L 上的一點，並自 B 點向平面作一垂線 BB’ ， B’ 是 B 點在平面上的垂足。

平面

B

B’A

6.31 圖注意： (i) 直線 AB’ 是直線 AB 在平面上的投影。




Wingeom

圖 6.32

3. 兩相交平面的夾角圖 6.11 所示，兩平面 1 與 2 相交於一直線，

這直線稱為兩平面的公共棱。

6.32 圖

兩直線 L1 與 L2 夾成的銳角，稱為兩平面的夾角。

平面 1

公共棱平面 2

L2

L1




Wingeom

圖 6.33

4. 最大斜率的直線以下就讓我們考慮斜面 3 與水平平面 4 （見圖 6.12 ）

6.33 圖而兩平面的夾角，又稱為最大斜率的角。

最大斜率的直線

公共棱水平平面 4

斜面 3




立體圖形的問題例 6.10圖 6.34 表示一長方體。已知 AB=10cm、 BC=6cm 及 GC=5cm 。試求(a) 　直線 AG 與平面 ABCD 所成的角；(b) 　平面 HABG 與平面 ABCD 所成的角。答案須準確至最接近的度。


6.34 圖

解：

Wingeom

圖 6.34





6.35(a) 圖

AC

GCGACGAC tan 中，在

22 BCAB

GC

22 610

5

)( 23 o 準確至最接近的度 GAC

Wingeom

圖 6.35

6.34 圖

解：

Wingeom

圖 6.34



(a) 　注意 AC 是 AG 在平面 ABCD 上的投影。　　所以 GAC 便是直線 AG 與平面 ABCD 所成的角。



AD

HDHADHAD tan 中，在

6

5

)( 40 o 準確至最接近的度 HAD

6.34 圖

解：

Wingeom

圖 6.34



6.35(b) 圖

Wingeom

圖 6.36(b) 　注意 AB 是平面 HABG 與平面 ABCD 　　相交的公共棱，而且 HA 及 DA 也垂直於此公共棱。所求的角便是 HAD 。



例 6.12


ABCD 與 CDEF 為相互垂直的兩個矩形平面。若 FBC=、 FAC= 及 AFB= ，試求、及的關係。


解：

6.40 圖

Wingeom

圖 6.40是一個矩形注意： ABFE

ABF 考慮

例 6.12





AF

BFcos

6.41 圖

sin

sinFC

FC

sin

sin

sin cossin 因此，所求的關係式為

解：

6.40 圖

Wingeom

圖 6.40是一個矩形注意： ABFE

ABF 考慮

例 6.12



考慮 BFC

考慮 AFC



三維空間的實用問題例 6.13A、 B 和 C 是水平地面上的三點。已知BAC=71 ，而 TB 是在同一水平地面上直立於 B 點的一座塔。從 A 點和 C 點分別測得塔頂 T 的仰角為 60 和 30 。若 A、 C 兩點相距 100 米，試求塔的高度。答案須準確至最接近的米。


Wingeom

圖 6.43

6.43 圖

解：為塔的高度設 m h





6.44(a) 圖

mhh

AB360tan o

Wingeom

圖 6.43

6.43 圖





mhh

AB360tan o

mhh

BC 330tan o

6.44(b) 圖

mhh

AB360tan o

Wingeom

圖 6.43

6.43 圖





o222 71cos))((2

ACABACAB BC

ABC

中，根據餘弦公式得，在

6.44(c) 圖

hh

h

3

71cos20010000

33

o22

100003

71cos200

3

80

o2

hh

)( 69.68 59.54 捨去或 h)( m 55 準確至最接近的米因此，塔的高度為

Wingeom

圖 6.43

6.43 圖

解：



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