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时代中学计划将一个边长为 m 米的正方形花坛改造成长为 (m+1) 米，宽为 (m-1) 米的长方形花坛，你会计算改造后的花坛面积吗？( 1)( -1)m m+ 2 - 1m m m= + + 2 -1m=

你能说出上面乘式中两个因式以及它们乘积的特征吗？积：多项式的积有 4 项，合并同类项后成为两项；

结构：式子左边是 m 与 1 的和及 m 与 1 的差的乘积， 等式右边是这两个数的平方差

探索发现

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由多项式的乘法则可以得到：2 2 2 2( )( - ) - -a b a b a ab ab b a b+ = + + =

从而有下面的平方差公式：

也就是说，两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。

2 2( )( - ) -a b a b a b+ =

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a

a-b

a-b

b

b

a

边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形，剩余面积是多少？ 把剩余的部分拼接成右图，你能算出面积吗？

a

a-b

b

2 2-a b ( )( - )a b a b+

右边： 左边：

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(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反 [ 互为相反数( 式 )];

(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方 ,减去第二项的平方 .

(3) 公式中的 a 和 b 可以代表数，也可以是代数式．

特征特征结构结构

2 2( )( - ) -a b a b a b+ =

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例 1 利用平方差公式计算：(1) (5+6x)(5−6x) ； (2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).解解 :: (1)(1) (5 (5++66xx)(5)(5−−66xx))==55 55

第一数第一数 aa

5522

平方平方−−66xx 66xx

第二数第二数 bb 平方平方

要用括号把这个数整个括起来，

注意 当“第1( 或第 2) 数”是一分数或是数与字母的乘积时 ,

再平方 ;

( )( )2266xx

== 2525−−

最后的结果又要去掉括号。

3636xx2 2 ;;(2)(2) ( (xx++22yy) () (xx−−22yy))

==xx xx

xx22−− ( )( )22

22yy 22yy

22yy

== xx22 −−44yy22 ;;

(3)(3) ( (−−mm++nn)()(−−mm−−n n ))

==−−mm −−mm

−−mm( )( )22 −−nn nn

nn22

== mm22 −−nn22 ..

阅读 35P 1 例 ，做练习

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(1) (1+2x)(1(1) (1+2x)(1−−2x)=12x)=1−−2x2x2 2

(2) (2(2) (2aa22+b+b22)(2)(2aa22−−bb22)=2)=2aa44−−bb44

(3) (3m+2n)(3m(3) (3m+2n)(3m−−2n)=3m2n)=3m22−−2n2n22

指出下列计算中的错误： 2x2x 2x2x 2x2x 第二数被平方时，未添括号。

22aa22 22aa22 22aa 第一 数被平方时，未添括号。

3m3m 3m3m 3m3m2n2n 2n2n 2n2n 第一数与第二数被平方时，都未添括号。

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利用平方差公式计算情境导航中提出的问题：

解： 803×797= (800 ＋ 3)(800 — 3)(a + b)(a - b)

=a2 - b2

=8002-32

=640000-9=639991

所以，这个城市广场的面积为 639991 平方米。

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试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 。

应用平方差公式 时要注意一些什么？

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；

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(1) (a+b)(a−b) ； (2) (a−b)(b−a) ;(3) (a+2b)(2b+a); (4) (a−b)(a+b) ;(5) (2x+y)(y−2x).

( 不能 )

下列式子可用平方差公式计算吗 ? 为什么 ? 如果能够，怎样计算 ?

( 不能 ) ( 不能 ) ( 能 ) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ;

( 不能 )

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作业

习题 2.1 A 组