1. 同角三角函数的基本关系式 , 正弦、余弦、正切、 余切的诱导公式 . 2....
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1. 同角三角函数的基本关系式 , 正弦、余弦、正切、 余切的诱导公式 .2. 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角 的三角函数公式 .3. 通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化 简、求值与证明 .4. 掌握正弦定理、余弦定理 , 并能解决一些简单的三 角形度量问题 .5. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关的实际问题 .
学案 11 三角变换与解三角形
1.(2009· 江西 ) 若函数 则 f(x) 的最大值为 ( ) A.1 B.2
C. D.
解析
当 x= 时 , 函数取得最大值为 2.
,2
0,cos)tan31()(
xxxxf
xxxf cos)tan31()(
)3
cos(2sin3cos
xxx
13 23
B
3
2.(2009· 广东 ) 已知△ ABC 中 ,∠A,∠B,∠C 的对边分 别为 a,b,c, 若 a=c= 且∠ A=75°, 则 b 等于 ( ) A.2 B. C. D.解析 因 sin A=sin 75°=sin(30°+45°)
=sin 30°cos 45°+sin 45°cos 30°=
由 a=c= 可知 ,∠C=75°,
所以∠ B=30°,sin B= .
由正弦定理得
26
26
324
324 26
,4
26
2
1
.22
1
462
62sin
sin
BA
ab
A
3.(2009· 全国Ⅱ ) 已知△ ABC 中 ,tan A= , 则 cos A 等于 ( )
A. B. C. D.
解析
12
5
13
5
13
12
13
1213
5
.13
12
)125
(1
1
tan1
1cos
.),2(,
12
5tan,
22
AA
AAABC 中已知
D
4.(2009· 全国Ⅰ ) 若 则函数 y=tan 2xtan3x
的最大值为 ____.
解析
,24
x
-8
.8
412
41
)211
(
211
2
1
2
tan1
tan2tan2tan
,1,24
,tan
2224
2
4
2
43
ttt
t
t
x
xxxy
txtx
令
题型一 已知三角函数求值【例 1 】 (2009· 广东 ) 已知向量 a=( ,-2) 与 b=(1, ) 互相垂直 , 其中 (1) 求 的值;
解 (1) ∵a 与 b 互相垂直 ,∴a·b=
sin
cos
cossin 和
.cos,2
0,10
10)sin()2( 的值求若
.)2,0(
,0cos2sin
.5
5cos,
5
52sin,)
2,0(
,5
5cos,
5
52sin
,1cossin,cos2sin 22
又
得
代入即
【探究拓展】在解有关根据条件求三角函数值问题 时,首先根据条件限定某些角的取值范围 , 由范围进 而确定出三角函数值的符号 , 还应注意公式的正用与 逆用及变形应用 , 根据条件还要注意适当拆分角、拼 角等技巧的应用 .
.2
2)sin(sin)cos(cos
)](cos[cos
,10
103)(sin1)cos(
,22
,2
0,2
0)2(
2
则
变式训练 1 已知
(1) 求 sin x 的值;
解
.)4
3,2(,
10
2)4
cos(
xx
.)3
2sin()2( 的值求
x
]4
)4
sin[(sin
.10
27)4
(cos1)4
sin(
,)2,4(
4
,)4
3,2()1(
2
xx
xx
x
x
于是
所以
因为
.5
4
2
2
10
2
2
2
10
27
4sin)
4cos(
4cos)
4sin(
xx
.50
3724
3sin2cos
3cos2sin)
32sin(
.25
71cos22cos,
25
24cossin22sin
.5
3)5
4(1sin1cos
),4
3,2()2(
2
22
xxx
xxxxx
xx
x
所以
所以
因为
题型二 三角函数与解三角形【例 2 】 (2009· 四川 ) 在△ ABC 中 ,A,B 为锐角 , 角 A, B,C 所对应的边分别为 a,b,c, 且 cos2A= sinB= (1) 求 A+B 的值; (2) 若 a-b= 求 a,b,c 的值 .
解 (1)∵A 、 B 为锐角 ,sin B=
∴cos B=
又 cos 2A=1-2sin2A=
,5
3.
10
10
,12
,10
10
.10
103sin1 2 B
,5
3
,5
52sin1cos,
5
5sin 2 AAA
∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B
.4
,0
.2
2
10
10
5
5
10
103
5
52
BABA
.5,2
,1,122,12
,5,2
,2105
,sinsinsin
.2
2sin,
4
3)1()2(
ca
bbbba
bcba
cba
C
c
B
b
A
a
CC
即
得
由正弦定理
知由
【探究拓展】本小题主要考查同角三角函数间的关 系 , 两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等 基础知识及基本运算能力 . 在求解三角形的面积时, 应注意面积的表达式有几种不同表达方式,应灵活 选择 .
变式训练 2 在△ ABC 中 ,sin(C-A)=1,sin B=
(1) 求 sin A 的值;
(2) 设 AC= , 求△ ABC 的面积 .
解
.3
1
6
.3
3sin,0sin,
3
1)sin1(
2
1sin
,)2
sin2
(cos2
2)24
sin(sin
,24
,,2
)1(
2
AABA
BBBA
BABACAC
又
且由
(2) 如图所示 , 由正弦定理得
又 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B
.sinsin A
BC
B
AC
,23
3133
6
sin
sin
B
AACBC
.233
6236
2
1sin
2
1
,3
6
3
1
3
6
3
22
3
3
CBCACS ABC
题型三 向量与解三角形【例 3 】 (2009· 湖南 ) 在△ ABC, 已知 求角 A,B,C 的大小 . 解 设 BC=a,AC=b,AB=c ,
||32 ABACAB
,3||2
BCAC
,4
3)
6
5sin(sin
.4
3sin3sinsin,3
3||||3,6
),,0(
,2
3cos,3cos2
,||||32
22
2
CC
ABCabc
,BCACABAA
AbcAbc
ACABACAB
所以
于是得
由因此又
所以得
由
【探究拓展】解答这一类问题 , 首先要保证向量运算 必须正确 , 否则 , 反被其累 , 要很好的掌握正、余弦定 理的应用的条件及灵活变形 , 方能使问题简捷解答 .
.3
2,6
,66
,3
2,6
,3
2
6,
32,0
32
,3
4
32
36
50
6
.0)3
2sin(,2cos32sin
,3sin32cossin2
,4
3)sin
2
3cos2
1(sin
2
CBACBA
CCCC
C,CA
CCC
CCC
CCC
或故
或即或从而
所以知由
即
因此
变式训练 3 (2009· 江西 ) 在△ ABC 中 ,A 、 B 、 C 所对 的边分别为 a 、 b 、 c , (1) 求 C ; (2) 若 求 a,b,c.
解
.2)31(,6
bcA
,31CACB
.4
,1tan
,2
3
2
1
2
3
tan2
1
sin
sin65
coscos65
sin
sin
)6
sin(
,sin
sin
2
3
2
1,2)31()1(
CC
C
C
CC
C
C
C
B
c
bbc
即得
则有
得由
.
2
31
2
,
sinsin
2)31(
312
2
,312
2,4
.31cos,31)2(
c
b
a
C
c
A
a
bc
ab
abC
CabCACB
解得则有
即得而
推出由
题型四 解三角形与实际问题【例 4 】 (2009· 海南 ) 如图 , 为了解某海域海底构造,
对海平面内一条直线上的 A 、 B 、 C 三点进行测量 . 已 知 AB=50 m,BC=120 m, 于 A 处测得水深 AD=80 m, 于 B 处测得水深 BE=200 m, 于 C 处测得水深 CF=110 m, 求 ∠DEF 的余弦值 .
解 作 DM∥AC 交 BE 于 N, 交 CF 于 M.
在△ DEF 中 , 由余弦定理得
【探究拓展】对几何中的计算问题 , 往往通过正、余 弦定理把几何问题转化成三角函数问题 , 再通过解三 角函数达到求解三角形问题的目的 .
,)m(15012090
)(
)m(13012050
,)m(2981017030
22
22
2222
2222
BCFCBEEF
ENDNDE
DMMFDF
.65
16
1501302
29810150130
2cos
222222
EFDE
DFEFDEDEF
变式训练 4 如图所示 , 扇形 AOB, 圆
心角∠ AOB=60°, 半径 OA=2, 在弧
AB 上有一点 P, 过点 P做平行于 OB
的直线交 OA 于点 C, 设∠ AOP=
求△ COP 面积的最大值及此时 的值 .
解 因为∠ AOB=60° 且 CP∥OB, 所以∠ OCP=120°, 则在△ OCP 中, OP2=OC2+CP2-2·OC·CP·cos 120° =OC2+CP2+OC·CP , 又因 OC2+CP2≥2OC·CP, 所以 OP2≥3OC·CP,
,
又 OP=OA=2,即 OC·CP≤
所以 S△COP= OC·CP·sin 120°
= OC·CP≤
即 (S△COP)max= 此时 OC=CP ,
又∠ OCP=120°, 所以 =∠AOP=30°.
,3
4
2
1
4
3,
3
3
,3
3
【考题再现】
(2009·山东 ) 设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2x.
(1) 求函数 f(x) 的最大值和最小正周期;
(2) 设 A,B,C 为△ ABC 的三个内角 , 若
且 C 为锐角 , 求 sin A.
3
)2(,
3
1cos
CfB
,4
1
【解题示范】
f(x) 取得最大值 ,[f(x)] 最大值 =
f(x) 的最小正周期
故函数 f(x) 的最大值为 最小正周期为 6分
,)Z(4
,22
2
.2sin2
3
2
12cos
2
1
2
12sin
2
32cos
2
1
2
2cos1
3sin2sin
3cos2cos)()1(
时即所以当
解
xkxkx
xxxx
xxxxf
,2
31
,2
2 T
,2
31 .
因此 sin A=sin[ -(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C
分求得由
分所以为锐角又解得
即由
10.3
22sin
3
1cos
8.3
,.2
3sin
,4
1sin
2
3
2
1,4
1)2()2(
BB
CCC
CC
f
分126
322
2
3
3
1
2
1
3
22
1. 解三角形常见类型及解法 :(1) 已知一边和两角,用 正弦定理求解 , 在有解时只有一解 ;(2) 已知两边和夹 角 , 用余弦定理或正弦定理求解 , 在有解时只有一解 ; (3) 已知三边 , 用余弦定理求解,在有解时只有一解 ; (4) 已知两边和其中一边的对角,用余弦定理或正弦 定理求解 , 可有两解、一解或无解 .2. 应用正、余弦定理解斜三角形应用问题的方法步 骤 :(1) 分析 :理解题意 , 分清已知与待求 , 并画出示意 简图 ;(2)建模:根据条件与所求的目标 , 把已知量与 待求量尽量集中在有关三角形中 ,建立解斜三角形的
数学模型 ;(3) 求解 : 利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形 , 求得数学模型的解; (4)检验 :检验上述所 求解是否有实际意义,进而得出实际问题的解 .3. 在△ ABC 中常用关系: (1)a> b> c A> B> C sin A> sin B> sin C;(2)A 、 B 、 C 成等差数列
B=60°;(3)2b=a+c或 b2=a·c 0° < B≤60°.
一、选择题1. 函数 f(x)=sin2x+ sin xcos x 在区间 上的最 大值是 ( ) A.1 B.
C. D.
解析
3 ]2,4[
.2
3
2
11)(.1)
62sin(
2
1
.6
5
62
3,
24
.2
1)6
2sin(
2sin2
3
2
2cos1cossin3sin)(
max
2
xfx
xx
x
xx
xxxxf
2
31
312
3
C
2.(2009·辽宁 ) 已知 等于 ( )
A. B. C. D.
解析
22 cos2cossinsin,2tan 则
4
3
5
4
4
5
3
4
.5
4
1tan
2tantan
cossin
cos2cossinsin
2
2
22
22
原式
D
3. 已知锐角三角形的边长分别是 2,3,x, 则 x 的取值范
围是 ( )
A.1< x< 5 B.
C. D.
解析 ①若 3是最大边 , 则 32< x2+22,即 < x≤3,
②若 x是最大边 , 则 x2<32+22,即 3≤x< .
由上可知
135 x
513 x50 x
5
13
.135 x
B
4. 已知 a 、 b 、 c是△ ABC 的三条对应边 , 若满足 (a+b+c) ·(a+b-c)=3ab, 且 sin A=2sin Bcos C,那么△ ABC 是 ( ) A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形解析 因为 (a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab=3ab,
则 所以∠ C=60°, 又 sinA=2sin Bcos C, 则 sin A=sin B,即∠ A=∠B. ∴△ABC 为等边三角形 .
,2
1
2cos
222
ab
cbaC
D
5. 在△ ABC 中 , 若 (sin A+sin B):(sin B+sin C):
(sin C+sin A)=4:5:6, 则∠ C 的值为 ( )
A. B. C. D.
解析 由题意可知 :(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6,
则 a:b:c=5:3:7,令 a=5k,b=3k,c=7k (k> 0),
4
4
33
23
.3
2.2
1
352
49925cos
222
Ckk
kkkC所以
C
6. 在△ ABC 中 , 若有一个内角不小于 120°, 则最长边
与最短边之比的最小值是 ( )
A. B. C.2 D.
解析 设∠ C≥120°, 则 c 为最大边 , 设 a 为最小边,
则 A≤B, 所以 A+B=180°-C,∴A∈(0, ],6
.3cos2
sin
2sin
sin
)sin(
sin
sin
A
A
A
A
BA
A
C
a
c所以
B
2 53
二、填空题7.(2009· 湖南 ) 在锐角△ ABC 中 ,BC=1,B=2A, 则 的值等于 ____,AC 的取值范围为 ___________.
解析 由正弦定理 :
A
AC
cos
,sinsin B
AC
A
BC
,2
30
,2
20
,2
0
,3,3,
A
A
A
ACCACBA
.22cos
,cossin22sinsin
BCA
AC
AA
AC
A
AC
A
BC
答案 28. 在△ ABC 中 ,∠C=60°,a 、 b 、 c 分别为 A 、 B 、 C 的对
边,则 =_____.解析 由余弦定理可知 :a2+b2=c2+ab,
.32
,cos2,2
3cos
2
2,46
AC
AACAA 又
)3,2(
ca
b
cb
a
.12
2
2
22
bcacabc
bcacabc
bcacabc
bcacba
ca
b
cb
a又
1
9. 如果函数 f(x) 在区间 D 上是凸函数 , 则对于区间 D 上
任意的 x1,x2,…,xn,都有 :
现已知 y=sin x 在 [0, ]上是凸
函数 , 则在△ ABC 中 ,sin A+sin B+sin C 的最大值
是 ____.
解析 由题意可知:
所以 sin A+sin B+sin C 的最大值是
n
xfxfxf n )()()( 21
);( 21
n
xxxf n
.2
3
3sin)
3sin(
3
sinsinsin
CBACBA
.2
33
2
33
10. 在△ ABC 中, AC=2BC, 若 AB=3, 则△ ABC 的最大面 积为 ____.解析 如图 , 作 CD⊥AB或其延长线于 D ,
设 BC=m,CD=h,BD=t, 则 4m2-(3+t)2=m2-t2=h2,∴m2=2t+3,
当且仅当 t=1 时 ,(S△ABC)max=3.
3
,332
1
,24)1(32 22
hS
ttth
ABC
三、解答题11.(2009· 全国Ⅱ ) 设△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长
分别为 a 、 b 、 c,cos(A-C)+cos B= b2=ac, 求 B.
解 由 cos(A-C)+cos B=
得 cos(A-C)-cos(A+C)=
cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-
sin Asin C)= sin Asin C=
又由 b2=ac 及正弦定理得 sin2B=sin Asin C,
故 sin2B= sin B= 或 sin B= (舍去 ),
于是 B= 或 B=
又由 b2=ac 知 b≤a或 b≤c, 所以 B=
,2
3
,2
3
)(2
3CAB 及
,2
3,4
3
,4
32
3
2
3
3
.
3
2
.3
12.(2009· 江西 ) 在△ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所对的边分 别为 a,b,c. 且 sin(B-A)=cos C. (1) 求 A,C ; (2) 若 S△ABC= 求 a,c.
解 (1) 因为
所以 sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos C ·sin B,即 sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B- sin Ccos B, 得 sin(C-A)=sin(B-C). 所以 C-A=B-C或 C-A= -(B-C)( 不成立 ) ,
,coscos
sinsintan
BA
BAC
,33
,coscos
sinsintan
BA
BAC
,coscos
sinsin
cos
sin
BA
BA
C
C
即
.12
5,4
),(6
5
6
,2
1cos)sin(
.3
2,3
,2
BA
ABAB
CAB
ABCBAC
得
舍去或则
又因为
所以得即
.32,22
,
23
22
,sinsin
,338
26sin
2
1)2(
ca
ca
C
c
A
a
acBacS ABC
得
即又
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