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11-1 基本概念11-2 再论阻抗和导纳11-3 正弦稳态网络函数11-4 正弦稳态的叠加11-5 平均功率的叠加11-6 RLC电路的谐振
第九章 正弦稳态电路的分析
知 识 点• 一、掌握网络函数和频率响应的概念• 会计算网络函数及绘出幅频、相频特性曲线
• 二、谐振、品质因数、通频带概念会计算。• 掌握低通、高通、带通电路。
• 三、熟练掌握简单 RLC 串联、并联谐振电路的分析计算方法。
四、多频电路的分析。
前两章相量分析法使用条件:线性时不变、渐近稳定;单一频率的正弦激励;求解稳定状态。多频正弦需逐个频率求解,再叠加求结果。
多个频率正弦激励分为两种情况:
4 1 1( ) sin( ) sin(3 ) sin(5 ) .....
3 5
Af t t t t
其二:电路的激励原本就是多个不同频率的正弦波。
§11-1 基本概念
其一电路的激励原本为非正弦周期波,如方波、锯齿波,可分解傅里叶级数后,可视为含有直流分量和一系列频率成整数倍的正弦分量、即谐波分量。
阻抗和导纳是频率的函数 I
U NI
UZ
例如电感和电阻串联电路
一、 1 、定义幅频特性:与 频率的关系称为输入阻抗的幅频特性。
IY
U
jR LZ Z Z R L
2 2 2
( ) j
= arctan( )
= ( ) ( )Z
Z j R L
LR L
RZ j
§11-2 再论 阻抗和导纳
Z
2 、相频特性: 与频率的关系称为输入阻抗的相频特性。
( )Z
3 、我们把输入阻抗或导纳的幅频特性和相频特性(不论是解析还是曲线形式)都称为单口网络的频率响应二、输入阻抗可用实部和虚部表示:例: R 和 L 并联电路
2 2 2
2 2 2 2 2 2
j( )
j
=
R L
R L
Z Z LRZ j
Z Z R L
L R LRj
R L R L
§11-2 再论 阻抗和导纳
( ) ( ) ( )Z j R jX
( )R 是实部 ( )X 是虚部( ) 0X 感性
( ) 0X 容性<
三、输入导纳也用实部和虚部表示
§11-2 再论 阻抗和导纳
Y( ) G( ) B( )j j
G( ) 是实部称为电导分量
B( ) 是虚部称为电纳分量B( ) 0 感性
B( ) 0 >容性
( ) ( )( ) arctan ( ) arctan
( ) ( )Z Y
X B
R G
和
四、阻抗幅角和导纳角
§11-2 再论 阻抗和导纳
( ) 0 ( ) 0X B >或
( ) ( )( ) arctan ( ) arctan
( ) ( )Z Y
X B
R G
和
四、阻抗幅角和导纳角
网络呈电感性时
( ) 0 ( ) 0X B 或 网络呈电容性时
0z
0Y
90 ( ) 0
0 ( ) 90
0Z
0Y
0 ( ) 90
90 ( ) 0
§11-2 再论 阻抗和导纳
例 11-1 P509
例 11-2 P510 绘幅频和相频曲线
一、网络函数的定义
1 对相量模型,在单一激励的情况下,网络函数定义为:
H(jw )=响应相量激励相量
§11-3 正弦稳态 网络函数
2 、根据响应与激励所在位置不同,
可分为策动点函数和转移函数。例输入阻抗
和导纳是网络函数的一类 ------ 为( )
H(jw)=响应相量激励相量 =
R(jw )
E(jw )
H(jw )=电压
电压源
H(jw )=电流
电压源
H(jw )=电压
电流源
H(jw )=电流
电流源
阻抗 电压比
导纳 电流比
驱动点函数:激励和响应属于同一对端钮
转移函数:激励和响应不属于同一对端钮驱动点阻抗、驱动点导纳
转移阻抗、转移导纳、电压转移函数、电流转移函数
§11-3 正弦稳态 网络函数
=R(s )
E(s)
H(j) 一般是 ω 的复值函数
§11-3 正弦稳态 网络函数
|H(j)|—— 响应与激励的幅值比;
()—— 响应与激励的相位差
3 幅频特性与相频特性
( j ) | ( j ) | ( )H H
幅频特性——振幅比 |H(j)| 随 ω的
变化特性;
相频特性——相位 () 随 ω的变化特
性。可以用振幅比或相位作纵坐标,画出以频率为横坐标的曲线。这些曲线分别称为网络函数的幅频特性曲线和相频特性曲线。
§11-3 正弦稳态 网络函数
1 、网络函数取决于网络的结构和参数,与输入无关。已知网络相量模型,计算网络函数的方法是外加电源法:在输入端加一个电压源或电流源,用正弦稳态分析的任一种方法(例节点法)求输出相量的表达式,然后将输出相量与输入相量相比,得相应的网络函数。
二、网络函数的计算方法
§11-3 正弦稳态 网络函数
2 、频率响应也可以用实验方法确定:
这是在内部结构及元件参数不清楚,而输入、输出端钮可以触及的情况下,改变外施正弦激励的频率,测得在不同频率下的输出与输入的比值,输出与输入得相位差角,即可获得电路的频率响应曲线。
二、网络函数的计算方法
§11-3 正弦稳态 网络函数
例 l 试求图 (a) 所示网络负载端开路时的策动点
阻抗 和转移阻抗 。 1 1/U I
解:相量模型如图 (b) 。用串并联公式得策动点阻抗
.2 2 2
1. 2 2
1
1j1 1 j31j j 22
j
R RCU R C RC
C C R CI RC
2 1/U I
§11-3 正弦稳态 网络函数
为求转移阻抗 ,可外加电流源 .
2 .1
2 1
j1 1 j22
j
R I R CU R I
RCRC
求得 :2
2
1
j
1 j2
U R C
I RC
在网络函数式中,频率ω是作为一个变量出现在函数式中的。
2 1/U I1I
则:
§11-3 正弦稳态 网络函数
** 例 11-4 :低通电路(1) 求电压转移函数
(2) 绘出幅频特性和相频特性曲线。
,12 UUAu R
+
-U 2
+
-U 1
)1( Cj
解:12 )1(
)1(U
CjR
CjU
RCjCjR
Cj
U
UAu
1
1
)1(
)1(
1
2
§11-3 正弦稳态 网络函数
2)(1
1
RCAu
幅频特性:
0
1
0.707
uA
RC1
1,0 uA
21,1 uARC
0, uA
§11-3 正弦稳态 网络函数
0 RC1
o90
o45
0,0 oRC 45,1 o90,
相频特性:
)( RCarctg
§11-3 正弦稳态 网络函数
频率特性分析: 从幅频特性看,这是一个低通网络;从相频特
性看,这是一个滞后网络。
=0 ~ = c 称为低通网络的通频带。
uA 幅频特性 下降到其最大值 0.707 倍时所对应的频率称为截止频率(又称为半功率点频率),记为 c ,该网络的截止频率为 c=1/ RC
§11-3 正弦稳态 网络函数
RC 串联电路,电阻电压对输入电压的转移电压比。
令 上式为
RC 高通网络
22
1
1 4( j ) ( ) j
1 1 21j j
U
U R b b acH K
U aRC RC
C
1 1ω
RC τ
C
1( j ) | ( j ) | ( )
1j
H H
电路图??
§11-3 正弦稳态 网络函数
2
C
C
1| ( j ) |
1
( ) arctan
H
其中
幅频和相频特性曲线,如下图所示。
当ω=0时, ( j ) 0 ( )2
H
当 ω=ωC 时, 1( j ) ( )
42H
当 ω 时, ( j ) 1 ( ) 0H
§11-3 正弦稳态 网络函数
)j( H
)(
1
0.707
0 ωC ω
0 ωC ω
4
2
截止频率: =C
阻带: 0<<C
通频带: >C
一阶超前网络
§11-3 正弦稳态 网络函数
带通 : 转移电压比
11-5 超前滞后网络( RC 带通、带阻和全通网络)
RCR
C
RCR
CR
CR
CR
CR
CR
U
UKU
j1j1
1
j1
j1
j1
j1
j1
j1
)j(1
2
R
Cj1
2U
1U
R
Cj1
§11-3 正弦稳态 网络函数
)1
-RCj(3
1
RC
01
-RC RC
当
时即RC
1: 0
3
1)j( 0 UK
截止频率: C1=0.30 C2
=3.30
中心频率: 0通频带: C1<<C2
)j( UK
)(
13
0 ω0 ω
0 ω0 ω
2
2
带通
运用叠加定理计算多个正弦电源作用下时不变电路的稳态响应时,需注意有两种情况: 其一,正弦电源频率相同;用同一相量模型求响应分量。
§11-4 正弦稳态 叠加
其二,正弦电源频率不同;需分别建立相量模型求响应分量,然后运用叠加定理求得。
一,正弦电源频率相同。
§11-4 正弦稳态 叠加
( )
( )
k k k
k u
k T
U U U
U H j U s
U Z j I s
§11-4 正弦稳态 叠加
二正弦电源频率不同,分别建立相量模型求响应,然后运用叠加定理求得。
( ) ( ) ( )k k ku t u t u t 11-20
§11-4 正弦稳态 叠加
( ) ( ) ( ) ( )k k ku t u t u t 一
1
1
1
Re[ 2 ]
Re[ ( ) 2 ]
2 ( ) cos( )
kk
u
u h u
u U t
H j U s t
H j Us t
2
2
2
Re[ 2 ]
Re[ ( ) 2 ]
2 ( ) cos( )
kk
T
T Z i
u U t
Z j I s t
Z j Is t
§11-4 正弦稳态 叠加
(二)正弦电源频率不同,得到的波形。1 2
图 11-18
时的波形
1 2Tc mT nT
是以 Tc 为周期
非正弦波。
例如: r=1.2, 可得 Tc=5T1=6T2 , uk(t) 的周期是 周期的 5 倍或为 周期的 6 倍。
n rm
ku
ku
例 11-7 同频率运用叠加定理。 P523
例 11-8 不同频率需建立不同相量模型。
§11-4 正弦稳态 叠加
例 11-9 所加激励为非正弦信号,先利用傅里叶级数展开,再分别建立不同的相量模型。
本节讨论多个电源作用于电路时功率的计算。
一、瞬时功率不满足叠加定理。
§11-5 平均功率的 叠加
二、多个频率的正弦电流或电压产生的平均功率,若 m=n 时不能使用叠加定理。当 m≠n时可以利用叠加定理,即平均功率等于每个电流或电压单独作用时的平均功率的总和。
三、可以利用( 11-29 ),( 11-30 )计算
非正弦波的有效值。
§11-5 平均功率的 叠加2 2 2 2
0 1 2
0 1 2 n
...
= ....nP I R I R I R I R
P P P P
既:
2 2 2 20 1 2
2 2 2 20 1 2
... (11-29)
... (11-30)
n
n
I I I I I
U U U U U
既:
例 11-10 * 例 11-11
一、 RLC 串联谐振及谐振条件 (一)在 R 、 L 、 C 串联电路中,在正弦激励下,当端口电压相量与电流相量同相时,称电路发生了串联谐振。
)(jj CL XXRXRZ
谐振条件为
)1
(jC
LR
R
XZ arctg
0]Im[ Z 0]arg[ Z
01
00
CL
LC1
0 LCf
π2
10
R Lj
Cj1
CULU
RUU
I
§11-6 RLC 电路的谐振
f0 完全由电路参数决定,反映了串联电路的一种固有
性质, f0 又称为电路的固有频率。
22 XRZ
( 二)、串联谐振的特征1 、谐振时的阻抗、 Q 值
阻抗的模
谐振时 X=0 RZ 阻抗的模有最小值。
LCf
π2
10
R Lj
Cj1
CULU
RUU
I
§11-6 RLC 电路的谐振
描述谐振电路的一个重要参数。
Q 值—品质因数
特性阻抗
无量纲
CL
00
1
CL
LLC
1
RQ
R
L0CR0
1
CL
R1
描述谐振电路的又一个重要参数。
§11-6 RLC 电路的谐振
RU
ZU
I
2 、谐振时的电流、电压电流
电压
当 U 一定时,谐振时阻抗的模为最小, I 最大。
RU
I
URU
RIRU R
UQR
ULILU L
jjj 00
UQR
U
CI
CUC
j1
j1
j00
IRU
CU
U
LU
0Z
0 CL UU
R Lj
Cj1
CULU
RUU
I
§11-6 RLC 电路的谐振
电感上电压与电容上电压大小相等,相位相反,相互完全抵消;电阻上电压等于电源电压。
cosUIP
又称为电压谐振3 、谐振时功率、能量有功功率
谐振时电感与电容之间进行着能量交换,与电源之间无能量交换。
IRU
CU
U
LU
0sin UIQ无功功率mm2
1IUUI
§11-6 RLC 电路的谐振
WL 、 WC
2
21
LiWL
设 谐振时电感与电容中所储存的能量总和是不随时间变化的一个常量,正说明了电路与电源无能量交换。
2
21
CC CuW
tIi sinm
)90sin(m tUu CC
tLIWL 022
m sin2
1
tCUW CC 022
m cos2
1
m0
m
1I
CUC
mIC
L
tUC cosm
2m2
1CCU 2
m2
2
1UCQ
CL WWW )( 0
P
WQ
)( 00 Q
值
§11-6 RLC 电路的谐振
(三)、频率特性 电路中电流、电压、阻抗(或导纳)的模和阻抗角(导纳角)等随频率变化的特性,称为频率特性,或称频率响应。
XRZ j
1 、阻抗的频率特性
R
XXR arctg22
R
XZ arctg
电流、电压随频率变化
22 XRZ 22 )1
(C
LR
幅频特性
的曲线,称为谐振曲线。
§11-6 RLC 电路的谐振
R
Xarctg
22 XRZ 22 )1
(C
LR
R
CL
1
arctg
相频特性
0
0
XC
XL
X
0
X
0
CX C
1
LX L
CL XXX
02
2
0 0
2
2
Z
0 +1
+j
§11-6 RLC 电路的谐振
2 、电流的谐振曲线
Z
UI
图中 R1<R200
I
R1
R2
3、
频率特性
通用曲线
U
U
U
U
U
U CLR ,,
0以 为横坐标,以 为纵坐标U
U
U
U
U
U CLR ,,
§11-6 RLC 电路的谐振
U
CLR
UR
U
U R 1
)1
( 22
通用曲线0以 为横坐标,以 为纵坐标
U
U R
2
20
000 )
1(
1
1
RC
L
2
0
0
201
1
RL
22 1
1
1
Q
UU R
0
1
1Q
2Q
3Q
1
0
321 QQQ
§11-6 RLC 电路的谐振
通用曲线
1 2
707.0
由曲线可以看出:电路对偏离谐振频率的输出有抑制能力。这种性能称为选择性。
通频带:
UU R
0
1
1Q
2Q
3Q
1
321 QQQ 2
2 11
1
Q
U
U R
选择性的好坏 曲线的形状 Q 值的大小
这一点对应的两个707.0U
U R通用曲线上
频率点之间的宽度为通频带,规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。
★
§11-6 RLC 电路的谐振
通频带:
下边带 上边带
11
22
Q 1
1
Q
2411 2
2
Q
Q2
411 2
1
Q1
12 0
12
0
12
fff
Qff
10
Q↑f↓ 通频带窄 Q ↓ f ↑ 通频带宽
2
2 11
1
Q
U
U R
1 2
707.0
UU R
0
1
1Q
2Q
3Q
1
321 QQQ
§11-6 RLC 电路的谐振
U
CLR
LU
U
U L 1
)1
( 22
220
0
)1
(C
LRR
LR
220 )
1(1
Q
Q
22 )1
(11
Q
Q
22
22 )
11(
1
Q
Q
U
CLRC
U
U
UC 1
)1
( 22
22
0
0
)1
(C
LRRC
R
22
0
)1
(1
Q
Q
22 )1
(1
Q
Q2222 )1(
Q
Q
3、
频率特性U
U
U
U
U
U CLR ,,
§11-6 RLC 电路的谐振
22
22 )
11(
1
Q
Q
U
U L
2222 )1(
Q
Q
U
UC
0
UL /U UC /U
1
Q
241
1Q
Q
UL /U
UC /U
1 21
0d
)d(
UUC
21 21
1Q
0d
)d(
UU L
122
2
2
2
< 1
> 1
出现峰值的条件为 Q >0.707
当 Q 很大时 , 两峰值向谐振频
率接近。 当 Q<0.707 时 , UL/U 和 UC /U不
出现峰值。
§11-6 RLC 电路的谐振
例 : 某收音机的输入回路如图,电感线圈的 QL=
150 , L=310H ,( 1 )若要收听频率为 540kHz 的电台节目,求 C=?( 2 )另一节目的频率为 600kHz ,1mV , 540kHz 的节目,也是 1mV ,求电路调谐于 540
kHz 时这两个信号在回路中的电流。解: (1)LC1
0
LC 2
0
1
623 10310)105402(1
280 pF
RL
C
R
C
L
§11-6 RLC 电路的谐振
(2)
RL
Q 0
RU
I 0
由于电容器损耗小,电感线圈的 Q
值可认为是谐振电路的 Q 值。
QL
R 0 7
540kHz 时回路中的电流
1437
10 3
600kHz 时回路中的电流
22 )1
(C
LR
UI
5.436.220
10 3 可见此电路选择性很强
R
C
L
§11-6 RLC 电路的谐振
二、 GLC 并联电路1 、定义:当端口电压相量 与电流相量同相时,称 电路发生了并联谐振。
CL
GY
jj
1 谐振条件为
0]Im[ Y
LC
10
LCf
π2
10
电路的固有频率
G
LI
USI +
-
CI
Lj1
Cj
GII
§11-6 RLC 电路的谐振
)1
(j0
0 LCGY
1 )谐振时的导纳、阻抗2 、 GLC 并联谐振的特征
G
RG
Z 1 导纳最小,而阻抗最大。
2 )谐振时的电压、电流
G
IRIU S
S0 )(
S00
0
1j
j)( I
LGL
UIL
Sj IQ
S0
00 jj)( IG
CUCIC
Sj IQ
G
LI
USI +
-
CI
Lj1
Cj
GII
谐振时的电压最大,
LI 与 大小相等,CI
方向相反,之和为零。
又称为电流谐振。
§11-6 RLC 电路的谐振
GI
SI
UCI
LI
品质因数 Q :电流 IL 或 IC 与总电流 IS 之比值。
L
C
GG
C
LGI
I
I
IQ CL 11 0
0SS
G
LI
USI +
-
CI
Lj1
Cj
GII
§11-6 RLC 电路的谐振
3 )能量0Q
电路与电源无能量交换,能量
交换只在电感与电容之间进行。
谐振时电路呈阻性
设 tUu sinm )90sin(m tIi LL
tLIW LL 022
m cos2
1 tCUWC 022
m sin2
1
m0
m
1U
LIL
mUL
C
tIL cosm
2m2
1LLI 2
Sm2
2
1ILQCL WWW )( 0
2S
2ILQ 常数
G
LI
USI +
-
CI
Lj1
Cj
GII
§11-6 RLC 电路的谐振
三、电感线圈与电容并联的电路 1 、定义:在电感线圈与电容的并联电路中,在正弦激励下,当端口电压相量与电流相量同相时,称电路发生了并联谐振。
CLR
Y
jj
1
谐振条件为
0]Im[ YL
CRLC
2
0 11
CLR
L
LR
R
j)(
j)( 2222
LCR
LCf
2
0 12
1
CL
R 时,电路才会发生谐振。
R 1I
USI
+
-
2I
LC
§11-6 RLC 电路的谐振
20
2 )( LRR
Y
1 )谐振时的导纳、阻抗2 、谐振的特征
LCR
0
1R
CRL
R 0
谐振时导纳不是最小,则阻抗也不是最大。 IS一定时,
端电压也不是最大。
2 )谐振时的相量图
R 1I
USI
+
-
2I
LC
1I
2ISI
U
方向相反,之和为零。的无功分量谐振时 1I 2I与 大小相等,
1
C
LR 时,该电路的谐振特点与 GLC 电路接近。
§11-6 RLC 电路的谐振
例:一电感线圈 L=20mH , R=100 ,电容 C= 200
pF ,求( 1 )串联谐振频率;( 2 )并联时的谐振频率,谐振时阻抗。
LCf
π2
10 解:
123 102001020π2
1
6.79 kHz( 1
)
( 2) L
CR
LCf
2
0 1π2
1 6.79 kHz
6
12
3
0 1010010200
1020CRL
R
LCπ2
101 4
4812
3
101010200
1020
C
L>>100
§11-6 RLC 电路的谐振
一、阻抗和导纳是频率的函数二、正弦网络函数 频率响应、低通、高通等电路分析。三、正弦稳态电路的叠加 不同频率的激励下需做不同的相量模型,然后利用叠加定理。平均功率在 m=n 时不能使用叠加定理。当 m≠n 时可以利用叠加定理四、串联谐振和并联谐振 谐振的条件及谐振的特点。
第十一章 小 结