18 圓圓圓錐錐錐曲曲曲線線線 2013.4 - WordPress.com · 評評評. 這是光學性質,在圓錐曲線的題型,往往可以解得很漂亮。 922. 平面上有一橢圓,已知其焦點為
定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB ,則 AM = MB 。 [ 圓心至弦的垂線平分弦 ]
description
Transcript of 定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB ,則 AM = MB 。 [ 圓心至弦的垂線平分弦 ]
定理 定理 10.2.110.2.1 若 若 OM OM ⊥ ⊥ ABAB ,則 ,則 AM AM == MB MB 。。 [ [ 圓心至弦的垂線平分弦 圓心至弦的垂線平分弦 ]]
定理 定理 10.2.210.2.2 若 若 AM AM == MB MB ,則 ,則 OM OM ⊥ ⊥ ABAB 。。 [ [ 圓心至弦中點的連線垂直弦圓心至弦中點的連線垂直弦
]]
定理 定理 10.2.310.2.3 若 若 AB AB == CD CD ,則 ,則 OM OM == ON ON 。。 [ [ 等弦與圓心等距 等弦與圓心等距 ]]
定理 定理 10.2.410.2.4 若 若 OM OM == ON ON ,則 ,則 AB AB == CD CD 。。 [ [ 與圓心等距的弦等長 與圓心等距的弦等長 ]]
弦的特性弦的特性
O 是圓心
O 是圓心
OP OP ⊥ ⊥ ABAB 及 及 OQ OQ ⊥ ⊥ AC AC
(圓心至弦中點的連線垂直弦)(圓心至弦中點的連線垂直弦)
∠∠ABC ABC = 180= 180 – 70 – 70 – 55 – 55 (△ 內角和)(△ 內角和) = 55= 55
∠∠ACB ACB = ∠= ∠ABCABC
∴ ∴ ACAC = = ABAB (等角對邊相等)(等角對邊相等)
∴ ∴ OQOQ = = OPOP (等弦與圓心等距)(等弦與圓心等距)= = 55
弦的特性弦的特性圖中,圖中, O O 是圓心。已知 是圓心。已知 PP 和 和 QQ 分別是 分別是 ABAB
和 和 AC AC 的中點,的中點, OPOP = 5 = 5 ,∠,∠ BAC BAC = 70= 70 ,∠,∠ACB ACB = 55= 55 。求 。求 OQOQ 。。
例例
定理 定理 10.3.110.3.1 x x = 2= 2yy
[ [ 圓心角兩倍於圓周角 圓心角兩倍於圓周角 ]]
定理 定理 10.3.210.3.2 若 若 AB AB 是直徑,是直徑,
則 ∠則 ∠ ACB ACB = 90= 90 。。
[ [ 半圓上的圓周角 半圓上的圓周角 ]]
定理 定理 10.3.310.3.3 x x = = yy
[ [ 同弓形內的圓周角 同弓形內的圓周角 ]]
圓上的角圓上的角
O 是圓心
O 是圓心
圖中,已知 圖中,已知 BD BD 是直徑,∠是直徑,∠ ABD ABD = 43= 43 ,,∠∠ ADC ADC = 98= 98 。求 ∠。求 ∠ BACBAC 。。
∠∠CAD CAD = 180= 180 – 98 – 98 – 43 – 43 (△ 內角和)(△ 內角和) = 39= 39
∠ ∠BAD BAD = 90= 90 (半圓上的圓周角)(半圓上的圓周角)∠∠BACBAC + ∠ + ∠CAD CAD = 90= 90
∠ ∠BACBAC + 39 + 39 = 90= 90
∠ ∠BACBAC = = 5151
∠∠ACD ACD = ∠= ∠ABD ABD (同弓形內的圓周角)(同弓形內的圓周角) = 43= 43
圓上的角圓上的角例例
定理 定理 10.4.1 – 10.4.1 – 定理 定理 10.4.310.4.3 定理 定理 10.4.4 – 10.4.4 – 定理 定理 10.4.510.4.5
等弧、等弦與等圓心角(圓周角)等弧、等弦與等圓心角(圓周角)
等弦
等弧 等圓心角
等弦
等弧 等圓周角
(a) (a) 求 ∠求 ∠ CODCOD 。。
∠∠COD COD = ∠= ∠AOBAOB (等弦對等圓心角)(等弦對等圓心角)
= = 6060
等弧、等弦與等圓心角(圓周角)等弧、等弦與等圓心角(圓周角)
圖中,圖中, O O 是圓心,是圓心, ADAD 是直徑,是直徑, ABAB = = CDCD = =
44 , ∠, ∠ AOB AOB = 60= 60 。。例例
∠∠BOC BOC = 180= 180 – 60 – 60 – 60 – 60 (直線上的鄰角)(直線上的鄰角)
= 60= 60
∴∴ BC AB CD
是半圓,所以 是圓周的 ,即 單位。是半圓,所以 是圓周的 ,即 單位。AD BC1
6 6
k
BC
(b) (b) 若圓周是 若圓周是 k k 單位,單位,求 求 ,答案以 ,答案以 kk 表示。表示。
圖中,圖中, O O 是圓心,是圓心, ADAD 是直徑,是直徑, ABAB = = CDCD = =
44 , ∠, ∠ AOB AOB = 60= 60 。。例例
等弧、等弦與等圓心角(圓周角)等弧、等弦與等圓心角(圓周角)
定理 定理 10.4.610.4.6
[ [ 弧長與圓心角成比例 弧長與圓心角成比例 ]]
: :AB CD AOB COD
弧長的比與圓心角(圓周角)大小的比弧長的比與圓心角(圓周角)大小的比
定理 定理 10.4.710.4.7
[ [ 弧長與圓周角成比例 弧長與圓周角成比例 ]]
: :AB CD APB CQD
O 是圓心
x + x + x + x + x + x + 22xx = 180= 180 (△ 內角和)(△ 內角和) xx = 36 = 36
在 △在 △ ADC ADC 內,內,
∠∠CAD CAD = ∠= ∠BDC BDC = ∠= ∠ACD ACD = = xx (等弧對等圓周角)(等弧對等圓周角)連接 連接 CD CD 及 及 DADA 。設 ∠。設 ∠ ACD ACD = = xx 。。
∴ ∠ ∴ ∠ADB ADB = 2= 2xx (弧長與圓周角成比例)(弧長與圓周角成比例)
2AB DA
∠∠AMD AMD = ∠= ∠ACDACD + ∠ + ∠BDCBDC (△ 外角)(△ 外角) = = 7272
弧長的比與圓心角(圓周角)大小的比弧長的比與圓心角(圓周角)大小的比
1
2AB BC CD DA
圖中, 圖中, AC AC 與 與 BD BD 相交於 相交於 MM ,, ,求∠,求∠ AMDAMD 。。
例例
定理 定理 10.5.210.5.2 a a == b b
[ [ 圓內接四邊形外角 圓內接四邊形外角 ]]
定理 定理 10.5.110.5.1 若若 ABCD ABCD 是圓內接四邊形,是圓內接四邊形, 則 ∠則 ∠ AA + ∠ + ∠CC = ∠ = ∠BB + ∠ + ∠DD
= 180= 180 。。 [ [ 圓內接四邊形對角 圓內接四邊形對角 ]]
圓內接四邊形圓內接四邊形
(a) (a) 求 ∠求 ∠ BCD BCD 和 ∠和 ∠ ABCABC 。。
∠∠BCDBCD + ∠ + ∠BADBAD = 180 = 180
(圓內接四邊形對角)(圓內接四邊形對角)
∠∠BCDBCD + 70 + 70 = 180= 180
∠ ∠BCD BCD = = 110110
∠∠ABC ABC = ∠= ∠CDM CDM (圓內接四邊形外角)(圓內接四邊形外角) = = 8282
圓內接四邊形圓內接四邊形圖中,圖中, ADAD 和 和 BCBC 的延線相交於 的延線相交於 MM 點,∠點,∠BAM BAM = 70= 70 ,∠,∠ CDM CDM = 82= 82 。。
例例
∠∠BAM BAM = ∠= ∠DCMDCM (圓內接四邊形外角)(圓內接四邊形外角)∠∠ABM ABM = ∠= ∠CDMCDM (已證)(已證)
∴ △ ∴ △ABMABM ~ △ ~ △CDMCDM (( AAAAAA ))
∴ ∴ ((AMAM) () (DMDM)) = (= (BMBM) () (CMCM))
∴ ∴ (相似 △ 對應邊)(相似 △ 對應邊)DM CM
BM AM
圓內接四邊形圓內接四邊形
(b) (b) 證明 證明 ((AMAM) () (DMDM)) = (= (BMBM) () (CMCM)) 。。
圖中,圖中, ADAD 和 和 BCBC 的延線相交於 的延線相交於 MM 點,∠點,∠BAM BAM = 70= 70 ,∠,∠ CDM CDM = 82= 82 。。
例例
定理 定理 10.6.110.6.1 若 若 AB AB 是圓在 是圓在 PP 點的切線,點的切線, 則 則 AB AB ⊥ ⊥ 半徑半徑 OPOP 。。 [ [ 切線⊥半徑 切線⊥半徑 ]]
定理 定理 10.6.210.6.2 若 若 TP TP 和 和 TQ TQ 是圓在 是圓在 PP 和 和 QQ 點點
的切線,則的切線,則 (1) ∠(1) ∠PTO PTO = ∠= ∠QTOQTO
(2) (2) TP TP = = TQTQ
(3) ∠(3) ∠POT POT = ∠= ∠QOTQOT
[ [ 由外點引切線 由外點引切線 ]]
圓的切線圓的切線
O 是圓心
O 是圓心
定理 定理 10.6.310.6.3 x x = = yy
[ [ 交錯弓形的圓周角 交錯弓形的圓周角 ]]
圓的切線圓的切線
∠∠CBD CBD = ∠= ∠DCNDCN (交錯弓形的圓周角)(交錯弓形的圓周角) = 63= 63
∠∠BCM BCM = ∠= ∠CBDCBD (內錯角,(內錯角, MNMN // // BDBD )) = 63= 63
∠∠BCD BCD = 180= 180 – 63 – 63 – 63 – 63 (直線上的鄰角)(直線上的鄰角) = 54= 54
∠∠BAD BAD ++ ∠∠BCD BCD = 180= 180 (圓內接四邊形對角)(圓內接四邊形對角) ∠ ∠BAD + BAD + 5454 = 180= 180 ∠ ∠BAD BAD = = 126126
圓的切線圓的切線圖中,圖中, MN MN 是圓在 是圓在 CC 點的切線,且平行於 點的切線,且平行於 BB
DD , ∠, ∠ DCN DCN = 63= 63 。求 ∠。求 ∠ BADBAD 。。
例例