1.3 　正弦定理与余弦定理

1.3.1 正弦定理

导入

C

B

A

c a

b

sin sina b

A Bc c

，

1、我们知道，在直角三角形 ABC(如图 )中，，即

sin sin

a bc c

A B ， ，

90C sin 1C 由于 ,所以 ，于是

sin

cc

C ．

你能得出什么结论？在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？

预读 2 、正弦定理的推导使用的是什么数学思想？ 转化思想 3 、正弦定理的内容是什么 ?

思议 正弦定理能解决什么样的问题 ? 请你说一说为什么？

导学在锐角三角形 ABC( 图（ 1 ） ) 中，作 CD⊥AB 于 D ，则 CD = bsinA ，

sin sin

a b

A B ，

CD = asinB ，

于是 bsinA = asinB ，即

sin sin

a c

A C ，同理有

导学在钝角三角形 ABC 中，不妨设 C 为钝角 ( 图（ 2 ） ) ，作 BD⊥AC

sin sin sin

a b c

A B C ．

于是得到正弦定理．

于 D ，

则 BD = csinA ， BD = asin （ 180° － C ） = asin C ．

同样可以得到

导学

在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等 . 即

sin sin sin

a b c

A B C （ 1.10 ）

探究 利用正弦定理可以解决什么样的的问题？

（ 1 ）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角 .

（ 2 ）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一

边 .

实训

分析 这是已知三角形的两个角和一边，求其它边的问题，可以直接应用正弦定理．

16sin 6 sin 30 2 3 2

sin sin135 22

c Bb

C

．

解　由于

所以

sin sin

b c

B C ，

例 1 在△ ABC 中，已知 B = 30° ， C = 135° ， c = 6 ，求b.

实训

分析 ：这是已知三角形的两边和一边的对角，求其它角边的问题，可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值，然后再求出角．

ABC 30 15 2 30A a b ， ，例 2 已知在 中， ，求 B．

解 由于 sin sin

a b

A B ，

所以 1

30sin 30 sin 30 22sin215 2 15 2

b AB

a

．

b a B A 30 180B 由 ，知 ，故 ，所以 45B 135B 或 ．

实训

注意 已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理

求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误．

ABC 45 30 15 2A a b ， ，例 3 已知在 中， ，求 B．

解 sin 15 2 sin 45 1sin

30 2

b AB

a

．

b a B A 30 180B 由 ，知 ，故 ，所以 45B 135B 或 ．

练习与评价

105 , 6C a .

35B .

ABC 45 30A B ， 31．已知 中， ， b= ，求 C 和 a.

ABC 60A 12．已知 中， ， a =12 ， b=8，求 B（精确到）．

5 2

2.

10 3.

3 ．已知△ ABC 中， c = 5 ， B = 30° ， C = 135° ，求 b.

4. 已知△ ABC 中， a = 10 ， B = 30° ， C = 120° ， . 求 c ．

课堂总结 本次课学了哪些内容？

重点和难点各是什么？

课外能力强化1 、书面作业： 课本习题 1.3.1 （必做题） 习题集 1.3.1 （选做题） 学习与训练 1.3 （选做题）2 、实践作业： 实践指导 1.3