正弦定理、余弦定理的应用

(1)

（ 1 ）三角形常用公式：

（ 2 ）正弦定理应用范围：

① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边

的对角。 ( 注意解的情况 )

正弦定理：

A B C 1 1 1

sin sin sin2 2 2ABCS ab C bc A ac B

sin sin sin

a b c

A B C ＝ 2R

课前回顾

（ 3 ）、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

Cabbac cos2222

Abccba cos2222 Baccab cos2222

bc

acbA

2cos

222

c

bcaB

a2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

（ 4 ）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：

（ 1 ）已知三边求三个角； （ 2 ）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

测量术语：1 仰角，俯角2 方向角：北偏西，南偏东3 方位角：从正北方向顺时针旋转 到目标方向线的水平角

.)(,,

,,,.,,

,,,,

,,,

mBA

DCBAmCDBCDACD

BDCADCDC

BA

1

1007247

6085

1

00

00

精确到之间的距离试求同一平面内在设

测得河岸这边取点

在之间的距离为了测量河对岸两点如图例

100m

AB = 57

A

B

CD 10

100m

AB = 57

A

B

CD 10

DACACDADCADC 则中在解 ,,, 00 4785

得由正弦定理又 ,,. 100480 DC

..sin

sin

sin

sinm

DAC

ADCDCAC 05134

48851000

0

得由正弦定理又则中在 ,,.,,, 100487260 000 DCDBCBCDBDCBDC

得由余弦定理中在 ,,..sin

sin

sin

sinABCm

DBC

BDCDCBC

5411648601000

0

22222 54116051342 .,cos ACBBCACBCACAB

.,.cos.. mAB 579532332554116051342 0 所以., mBA 57两点之间的距离约为答

105¶È

45¶È

±±

±±

ÓæÂÖ

B

C

A

½¢Í§

min).,.(

./

./,

,

,,

.,,

110

21

9

10510

45

2

0

0

0

时间精确到角度精确到渔轮所需的时间

求舰艇的航向和靠近的速度前去营救即以

我海军舰艇立的速度向小岛靠拢以的方向

为并测得渔轮正沿方位角处的距离为

测出该渔轮在方位角为处获悉后我海军舰艇在

发出呼救信号险某渔轮在航行中不幸遇如图例

hmilen

hmilen

Cmilen

A

105¶È

45¶È

±±

±±

ÓæÂÖ

B

C

A

½¢Í§

,,,, 10921 ACxBCxABBxh 又则处靠拢渔轮在设舰艇收到信号后解

得由余弦定理,.0000 12010518045 ACB

222222 910212 xxACBBCACBCACAB 即,cos

.min/,,.cos 舍负值解得得化简 40320109361209102 20 hxxxx

,sinsin

sin,1433

211209 0

x

x

AB

ACBBCBAC得由正弦定理

...,. 0000 86682145821 方位角为所以 BAC

.min,. 就可靠近渔轮经过的方向航行舰艇应沿着方位角答 40866 0

例 3. 图中是曲柄连杆机构示意图，当曲柄 CB 绕 C 点旋转时，通 过连杆 AB 的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在 CB0 位置时 , 曲 柄和连杠成一条直线，连杠的端点 A 在 A0 处。设连杠 AB 长为 340

mm, 曲柄 CB 长为 85mm ，曲柄自 CB0 按顺时针方向旋转 80o, 求活塞 移动的距离（即连杠的端点 A 移动的距离 A0A ）（精确到 1mm).

A0 A B0 C80

B

已知△ ABC中， BC＝ 85mm ， AB＝ 340mm ，∠ C＝80° ，求 AC． 解：（如图）在△ ABC中， 由正弦定理可得：

2462.0340

80sin85sinsin

ABCBC

A

因为 BC ＜ AB ，所以 A为税角 ， A ＝ 14°15′

∴ B ＝ 180° －（ A ＋ C ）＝ 85°45′

又由正弦定理：

)(3.3449848.0

5485sin340sin

sinmm

CBAB

AC

)(817.80

3.344)85340(

)(00

mm

ACBCAB

ACCAAA

答：活塞移动的距离为 81mm ．

如图，要测底部不能到达的烟囱的高 AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的 C 、 D 两处，测得烟囱的仰角分别是

和45 60　　　　　　　　　， CD 间的距离是 12m. 已知测角仪器高 1.5m, 求烟囱的高。

练习、关于测量高度的问题

图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？

想一想

A

A1

B

C D

C1 D1

分析：如图，因为 AB=AA1+A1B ，又已知 AA1=1.5m, 所以只要求出 A1B 即可。解：

15sin

120sin12

sin

sin

sinsin

:

,154560,

1111

1

111

1111

B

DDCBC

D

BC

B

DC

BDCDBC

由正弦定理可得中在

66218

4.2836182

211 BCBA

)(9.295.14.2811 mAABAAB

答：烟囱的高为 29.9m.

（ 1 ）准确地理解题意；

（ 2 ）正确地作出图形；

（ 3 ）把已知和要求的量尽量集中在有关三　　角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺　　序地解这些三角形；

（ 4 ）再根据实际意义和精确度的要求给出　　　答案．

解三角形应用题的一般步骤：

解斜三角形应用举例

总结

实际问题 抽象概括示意图

数学模型

推理 演算

数学模型的解实际问题的解还原说明

15¶È

N

C'

D`

D

C

B

A

B`

)/.,.

?(/?

,.,

,),"

"(.

,,

/,

hkm

kmA

ABAN

Bh

A

hkm

1010

2115

10

54

0

0

速度精确到

角度精确到小时速度是多少千米方向航行该渡船应按什么码头相距并与偏东

码头的北码头在已知为正北方向设形

显示平行四边单击码头后到达江北岸

预定要在码头出发船在江南岸的一渡东流

的速度向江水以在长江某渡口处例

为一边、以的方向为水流方向取如图解 ACAC ,,

其中为对角线作平行四边形 ,ABCDAB 方向船按ADkmACkmAB ,..,. 5010521

得由余弦定理中在出发 ,,. ABC