实变函数复习整理 - liuchenggang95.files.wordpress.com实变函数复习整理 第1 页/共15 页 刘承刚 实变函数复习整理 中国人民大学 2013 级信息学院
第一章 复变函数与解析函数
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第一章 复变函数与解析函数第一章 复变函数与解析函数
第二节 复数函数及其极限与连续
2.2 复变函数的概念
2.1 复平面上的区域
2.3 复变函数的极限与连续性
2.1 复平面上的区域邻域 0 0,U z z C z z 0 0, 0
U z z C z z
内点0z G C 0 ,U z G
区域
开集
连通的开集
全体内点构成的集合
边界点 边界 D闭区域 D D D 有界区域和无界区域
0 00, ,M z D z M 1z
2z
区域
0z邻域
边界点
边界
P
Q1C
2C 边界
边界点
, ,U M z C z M
0 ,z D 0 , U z D
(1) 圆环域 : ;201 rzzr 0z
2r
1r例 1 判断下列区域是否有界 ?
(2) 上半平面 : ;0Im z
(3) 角形域 : ;arg 21 z
(4) 带形域 : .Im bza x
y
o
如果 x=x(t), y=y(t) (t) 为连续函数时 , 则称
:
x x tC t
y y t
( ) ( ) ( ) ( ).z z t x t iy t t
连续曲线
光滑曲线
,x t y t 均连续,且 2 2,[ ] [ ] 0t x t y t
则称曲线是光滑的 . 分段光滑曲线
为连续曲线 .
如果
例 2 指出下列不等式所确定的点集 , 是否有界 ? 是否区域 ? 如果是区域 , 单连通的还是多连通的 ?
2 1(1) Re( ) 1; (2) arg ; (3) 3;
3z z
z
(4) 1 1 4z z
2.2 复变函数的概念
设 G 是复平面上的点集 , 若对任何 zG, 都存在惟一确定的复数 w 和 z 对应 , 称在 G 上确定了一个单值复变函数,用 w=f (z) 表示 .
当 zG 所对应的 w 不止一个时 , 称在 G 上确定了一个多值复变函数 .
G 称为函数的定义域,对应于 z 的所有 w 的全体 称为函数的值域 .
定义 1.1 (复变函数)
*G
复变函数与自变量之间的关系
( ) ,w f z u iv
相当于两个关系式 , , ,u u x y v v x y
例如 , , 2zw 函数
,, ivuwiyxz 令
映射
由于一个复变函数反映了两对变量 u,v 和 x,y 之间的对应关系, 因而无法用同一平面内的几何图形来表示,必须
看成是两个复平面上的点集之间的对应关系 .
x
y z
G
Z
u
v w
*Gw
oo
两个特殊的映射
1 w z 关于实轴的对称映射,而且对应图形是全同的 .
x
y
o u
v
o
iz 321
iw 321 iz 212
iw 212 A B
C
A B
C
,11 wz ,22 wz .CBAABC
22 w z
将一个幅角为 的角形域映射为幅角为 的角形域。 2
x
y
o u
v
o 2
,2 21 2, 2x y c xy c 将 z 平面上的两族双曲线 映射为
平面上的两族平行直线 .
x
y
ox
y
o
反函数(一一对应)
例 3 映射 , 求圆周的 像 .1w z
z 2z
,, ivuwiyxz 令
zzw
1 映射 ,22 yx
iyxiyxivu
解
, 22 yxx
xu
于是 ,22 yxy
yv
2z 5 3
,4 4
u x v y 4 4
,5 3
x u y y
.1
23
25
2
2
2
2
vu
2.3 复平函数的极限与连续性
设复变函数 w=f(z) 在 z0 的某个去心邻域内 有定义 ,
复变函数的极限
0 0
0 ,
U z
( )f z A
成立 , 则称当 z 趋于 z0 时 , f(z) 以 A 为极限,并记作
0
lim ( )z z
f z A
或 0( ) ( ).f z A z z
注意 : 定义中 zz0 的方式是任意的 .
A 是复常数 . 若对任意给定的 , 存在
使得当00 z z 时,总有
定理 1.1 (极限计算定理)
0 0 0 0 0, ( , ), ,f z u x y iv x y A u iv z x iy 设函数
0 0 0
0 0
0 0lim lim , , lim ,z z x x x x
y y y y
f z A u x y u v x y v
证明
0
lim ( ) 0, 0,z z
f z A
, )()(0 00 时当 iyxiyx ,)()( 00 ivuivu
,)()( 00 vviuu , , 00 vvuu
.),(lim,),(lim 00
0
0
0
0
vyxvuyxuyyxx
yyxx
故
必要性
充分性 . ,),(lim,),(lim 00
0
0
0
0
vyxvuyxuyyxx
yyxx
若
, )()(0 20
20 时那么当 yyxx
,2
,2
00
vvuu有
)()()( 00 vviuuAzf 00 vvuu
, 0 0 时故当 zz ,)( Azf
.)(lim 0
Azfzz
所以
复变函数极限的性质
( 1 )唯一性 ( 2 )有界性 ( 3 )有理运算法则
例 3 当 z0 时 , 函数 Re( )
zf z
z 极限不存在 .
方法 1. 沿 y kx
方法 2. 沿不同射线 arg z
注意:因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变函数的极限问题,复变函数的极限要比实变函数的极限复杂得多,要求也苛刻的多。
复变函数的连续性设 f (z) 在 z0 的邻域内有定义 , 且
00lim ( ) ( )
z zf z f z
则称 f(z) 在 z0 处连续 . 若 f(z) 在区域 D 内的每一点都连续,则称 f(z) 在区域 D 上连续 .
定理 1.2 设 ( ) ( , ) ( , ),f z u x y iv x y 则 f (x)
在 0 0 0z x iy 处连续的充分必要条件是 ( , ),u x y
( , )v x y 都在 0 0( , )x y 点连续 .
连续函数的性质:
( 1 )连续函数的和、差、积、商(分母不为 0 )的连续性 ;
( 2 )复合函数的连续性 .
复数
定义表示法
三角表示法
几何意义
复数表示法
指数表示法
复数的运算
共轭运算
代数运算
乘幂与方根
本章内容总结 ( 一 )
复变函数
映射
连续
本章内容总结( 二 )
邻域区域
极限