3.2 立体几何中的向量方法 —— 空间角

3.2 立体几何中的向量方法

—— 空间角

两直线 l , m所成的角为 ( 02

≤ ≤ ),cosa b

a b

；

1 、两条直线的夹角：设直线 ,l m的方向向量分别为 ,a b

，

l

a

m

l

a

mb

所以与所成角的余弦值为

A

1A

B

1B

C

1C

1D1F

x

y

z解：以点 C 为坐标原点建立空间直角坐标系 , 如图所示，设则：

C xyz 1 1CC

(1,0,0), (0,1,0),A B 1 1

1 1 1( ,0,1), ( , ,1)2 2 2

F D

所以： 1

1( ,0,1),

2

��AF

1

1 1( , ,1)2 2

��BD

1 1cos , ��AF BD 1 1

1 1| || |

��

��AF BD

AF BD

11 304

105 34 2

1BD 1AF30

10

.

,

,

11

1111111

111

所成的角的余弦值和求，、的中点、取

中，在直三棱柱

AFBD

FDCABACCCABC

ACBCCBAABC

例：

直线l与平面所成的角为(02

≤≤),sinau

au

；

2 、直线与平面的夹角：设直线 l的方向向量分别为 a

，平面的

法向量分别为u，

u

a

ul

a

A

B C

D

1A

1B 1C

1D

MN

x

y

z

.

.

24,8

5

11

1111

1111

的夹角的正弦值与平面求上，在线段

，上，在，，中，在长方体

AMNAD

ANDADAN

MBCBMAAAD

ABDCBAABCD

例：

l

cos cos ,AB CD

AB CDAB CD

��

��

DC

B

A

3 、二面角：

①方向向量法：

二面角的范围： [0, ]

ll

②法向量法

1n��

1n��2n

��2n

��1 2n n

��，

1 2n n��，

1 2n n ��，

1 2n n ��，

cos 1 2cos , ��n n cos 1 2cos ,

��n n

法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；

同进同出，二面角等于法向量夹角的补角

A

B C

D

S

x

z

y

A- xyz解：建立空直角坐系如所示,

A(0,0,0), C(- 1,1,0),1

,0),2

D(0, (0,0,1)S

11

(0, ,0)2

��

SBA n AD易知面的法向量1 1

(1, ,0), (0, , 1)2 2

��CD SD

2 ( , , ),��

SCD n x y z的法向量 2 2, , ��n CD n SD由得：设平面

02

02

yx

yz

2

2

yx

yz

2 (1,2,1)��n任取

1 21 2

1 2

6cos ,

3| || |

��

��n n

n nn n

6

3即所求二面角得余弦值是

.

,2

11

,

所成二面角的余弦值与面

求面，，平面

是直角梯形，如图所示，

SBA

SCDADBCABSAABCD

SABCABABCD

例：

1. 三棱锥 P-ABC PA ABC,PA=AB=AC, ⊥

,E为 PC 中点 ,则 PA与 BE所成角的余弦值为 _________ .

2. 直三棱柱 ABC-A1B1C1中 , A1A=2, AB=AC=1, 则 AC1与截面 BB1CC1

所成

角的余弦值为 _________ . 3. 正方体中 ABCD-A1B1C1D1中 E为 A1D1的

中点 , 则二面角 E-BC-A的大小是 ________

090BAC

090BAC

6

6

3 10

10

045

利用“方向向量”与“法向量”来解决

距离问题 .

第三问题：

1 、点与点的距离：

221

221

221 )()()( zzyyxxAB

2 、点与直线的距离：

A

P

O

),cos(sin aAPAPd 先求

al

A1

x

D1

B1

A

D

B

C

C1

y

z

E

F

CD中点，求 :点 F 到直线 AE 的距离 .

1111 DCBAABCD 例：在正方体中， E、 F分别是 BB1,，

如图 A , 空间一点 P到平面的距离为 d,已知平面的一个法向量为 n

,且 AP

与 n

不共线,

分析:过 P作 PO⊥于 O,连结 OA.

则 d=| PO

|= | | cos .PA APO

∵ PO

⊥ , ,n

∴ PO

∥ n.

∴ cos∠APO=|cos ,PA n

| .

∴ d=| PA

| |cos ,PA n

| = | |

| |

PA n

n

.

n

A

P

O

3 、点到平面的距离：

n

A

P

O

3 、点到平面的距离：

n

nPAd

D

A B

C

G

F

E

x

y

z

解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．由题设 B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

(2, 2,0), ( 2, 4,2),EF EG

设平面 EFG的一个法向量为 ( , , )n x y z

n EF n EG ∵ ，

| BE| 2 11.

11

nd

n

2 2 0

2 4 2 0

x y

x y Z

B (2,0,0)E

所以，点 B到平面 EFG的距离为2 11

11.

例: 如图，已知正方形 ABCD的边长为 4，E、F分别是 AB、AD的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B到平面 EFG的距离.

),3,1,1(n

练习:

如图, ABCD是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , 2AD a , 、M N 分别是、AD PB的中点,求点 A到平面MNC的距离.

A

P

D C

B

M

N

点 A到平面MNC的距离为2

a.

n

a

b

C

D

A

B

CD为 a,b 的公垂线 ,

A， B 分别在直线 a,b 上

已知 a,b 是异面直线 ,

4. 异面直线间的距离

的方向向量，是直线CDn

n

ABnCDd

1 1 1 1

01

. 4, ,

2, 90 ,

ABC ABC AA ABC

AC BC BCA E AB CE AB

例已知：直三棱柱的侧棱底面中

为的中点。求与的距离。

z

x y

A B

C

C1

).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(, 1BAECxyzC 则解：如图建立坐标系

),4,2,2(),0,1,1( 1 BAEC

则的公垂线的方向向量为设 ).,,(, 1 zyxnBAEC

0

0

1

BAn

ECn

即

0422

0

zyx

yx

取 x=1,则 y=-1,z=1, 所以 )1,1,1( n

).0,0,2(,, ACAC

在两直线上各取点

.3

32

||

||1

n

ACndBAEC

的距离与

E

A1 B1

5. 其它距离问题：

（ 1 ）平行线的距离 ( 转化为点到直线的距离）

（ 2 ）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）

（ 3 ）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）

练习 1 ：如图，四面体 ABCD 中， O、 E 分别是 BD、 BC的中点，

（ I ）求证： AO⊥ 平面 BCD ；（ II ）求异面直线 AB与 CD 所成角的大小；（ III ）求点 E 到平面 ACD 的距离 .

2 BDCDCBCA 2ADAB

C

A

D

B

O

E

x C

A

B

O

D

y

z

E

解：（ I ）略（ II ）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，

(1,0,0), ( 1,0,0),B D 则

1 3(0, 3,0), (0,0,1), ( , ,0), ( 1,0,1), ( 1, 3,0).

2 2C A E BA CD

��

. 2cos , ,

4

BACDBA CD

BA CD

��

��

所以异面直线 AB与 CD所成角的余弦值为 2

.4

（ III）解：设平面 ACD的法向量为 ( , , ),n x y z

则. ( , , ).( 1,0, 1) 0,

. ( , , ).(0, 3, 1) 0,

n AD x y z

n AC x y z

��

�� 0,

3 0.

x z

y z

1,y ( 3,1, 3)n

1 3( , ,0),

2 2EC ��令得是平面 ACD的一个法向量，又

. 3 21.

77

EC nh

n

��

所以点 E到平面 ACD的距离

x C

A

B

O

D

y

z

E

如图，已知：直角梯形 OABC 中， OA BC, AOC=90°∥ ∠ ， SO⊥面 OABC ，且 OS=OC=BC=1， OA=2.求： (1) 异面直线 SA和 OB 所成的角的余弦值 ; (2)OS 与面 SAB 所成角的余弦值 ; (3) 二面角 B－ AS－ O 的余弦值 .

O

A B

C

S

x

y

z

练习 2 ：

O

A B

C

S

x

y

z

(1) OAOCOS��

解：以，，为正交基底建立空间直角坐标系如图。

(0 0 0) (0 0 1) (2 0 0) (11 0)O S A B则，，，，，，，，，，，

(2 0 1) (11 0)SA OB ��

，，，，，

2 0 0 10cos

55 2SAOB

��，

如图，已知：直角梯形 OABC 中， OA BC, AOC=90°∥ ∠ ， SO⊥面 OABC ，且 OS=OC=BC=1， OA=2.求： (1) 异面直线 SA和 OB 所成的角的余弦值 ;

O

A B

C

S

x

y

z

如图，已知：直角梯形 OABC 中， OA BC, AOC=90°∥ ∠ ， SO⊥面 OABC ，且 OS=OC=BC=1， OA=2.求： (2)OS 与面 SAB 所成角的余弦值 ;

(2) (2 0 1) (11 1)SA SB ��

解：，，，，，

( )SAB n x y z设平面的一个法向量为，，

2 01 1 2

0

x zx y z

x y z

取，则，

(11 2) (0 0 1)SAB n OS ��故平面的一个法向量为，，，又，，

0 0 2 6cos

31 6nOS

�� ，

所以 OS 与面 SAB 所成角的余弦值为 3

3

O

A B

C

S

x

y

z

(11 2)SAB n 解：由(2)知平面的一个法向量为，，，

OC SAO OC SAO��

又由平面知是平面的法向量

(0 1 0)OC ��

且，，

0 1 0 6cos

66 1n OC

��，

所以二面角 B－ AS－ O 的余弦值为6

6

如图，已知：直角梯形 OABC 中， OA BC, AOC=90°∥ ∠ ， SO⊥面 OABC ，且 OS=OC=BC=1， OA=2.求： (3) 二面角 B－ AS－ O 的余弦值 .

练习 3 ：如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD， PD=DC，E是 PC 的中点 .

(1) 证明： PA// 平面 EDB ；

(2)求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值 .

A

BC

D

P

E

G

x

y

z

A

BC

D

P

E

G

x

y

z(1) 证明：设正方形边长为 1 ，则 PD=DC=DA=1.连 AC、 BD交于 G点

DADC DP��以，，为正交基底建立空间直角坐标系。如图所示。则

(0 0 0) (0 0 1) (1 0 0)

(0 1 0) (11 0)

D P A

C B

，，，，，，，，，，，，，， (1 0 1)PA

��，，

1 1(0 )

2 2E PC E又为中点，点坐标为，，

1 1( 0)2 2

G BD G 为中点，点坐标为，， 1 1( 0 )2 2

EG ��

，，

2 // //PA EG PA EG PA EG PA EG ��

可得。因为与不共线，所以

//PA EDB EG EDB PA EDB 又平面，平面平面

(2)求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值。

A

BC

D

P

E

G

x

y

z(1) (0 0 0) (0 0 1)

1 1(11 0) (0 )

2 2

D P

B E

由知，，，，，，

，，，，，

PD ABCD PD ABCD��

解：因为平面，所以是平面的法向量。

1 1(0 0 1) (1 )

2 2PD EB ��

，，，，，

10 0 62cos

631

2

PD EB

��

，

所以 EB与底面 ABCD所成的角的正弦值为 6

6

所以 EB与底面 ABCD所成的角的正切值为5

5

练习 5 ：如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD⊥ 底面 ABCD， PD=DC,E是 PC的中点，作 EF PB⊥ 交 PB 于点 F.

(1) 求证： PA// 平面 EDB

(2) 求证： PB⊥ 平面 EFD

(3) 求二面角 C-PB-D 的大小 .

AB

CD

P

EF

作业：如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C的余弦值.

z

x

y

二面角 A-PB-C的余弦值为3

3

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