第三篇 空间解析几何 第三篇 空间解析几何 内容提要内容提要： ：

空间直角坐标系 空间直角坐标系

一些空间曲面与曲线一些空间曲面与曲线

矢量代数矢量代数

平面与直线 平面与直线

x横轴

y纵轴

z竖轴

定点o

空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系 .

即以右手握住z轴，当右手的四个手指

从正向x轴以2角

度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.

一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系

第一节 空间直角坐标系第一节 空间直角坐标系

Ⅶ x

yo

z

xoy面

yoz面zox面

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅷ

空间直角坐标系共有八个卦限

设 ),,( 1111 zyxM 、 ),,( 2222 zyxM 为空间两点

x

y

z

o

1M

P NQ

R 2M

?21 MMd

在 直 角 21 NMM及 直 角 PNM 1中 ， 使 用 勾 股 定理 知

,2

2

22

12 NMPNPMd

二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离

,121 xxPM

,12 yyPN

,122 zzNM

2

2

22

1 NMPNPMd

.212

212

21221 zzyyxxMM

空间两点间距离公式,),,( zyxM )0,0,0(O

OMd .222 zyx

x

y

z

o

1M

P NQ

R 2M

特殊地：若两点分别为

三三 . . 曲面与方程曲面与方程

定义：若曲面z与一三元方程Fxyz( , , )0满足：

1．曲面z上的点的坐标是Fxyz(, , )0的解

2． 0),,( zyxF 解都

在曲面z上

称 F x y z( , , ) 0

为 曲 面 z 的 方 程 ， 称 z

为 F x y z( , , ) 0 的 曲

面 ． x y

z

O

例例11解建立球心在Mxyz0000(,,)，半经为R的球面方程．

设Mxyz(,,)为球面上一点， 则MM R0

又 20

20

200 zzyyxxMM

Rzzyyxx 20

20

20

即： 220

20

20 Rzzyyxx

这就是球面上的点所满足的方程，且不在球面

上的点的坐标都不满足此方程。

故此方程就是所求方程。

例例22

解

设点A B(,,),(,,)123214，求线段AB的垂直平分

面的方程．

设Mxyz(,,)为所求平面上一点， 则 AM BM

所以 222 321 zyx

222 412 zyx

两边平方化简得： 07262 zyx

这就是平面上的点所满足的方程，且不在此平

面上的点的坐标都不满足此方程。

故此方程就是所求方程。

从以上二例可见：从以上二例可见： A．作为点的轨迹的曲面，通常可用它的点的坐标间的关系来表示；

B．变量 zyx,, 之间的一个方程，通常也表示了一个曲面。

因而在解析几何中，我们着眼于以下二问题的解决：

1．已知一曲面点的几何轨迹（图形），建立此曲面的方程；

2．已知方程，讨论该方程所表示的曲面．

四四 .. 曲线与方程曲线与方程 空间曲线的一般方程

对于方程组 :C )1(0),,(

0),,(

zyxG

zyxF

x

z

yO

1S

2S

C

一方面：曲线C上的所有点应同时满足(1)；

另一方面：满足(1)的解一定也在二曲面的公共曲

线C上．

因此，称(1)为曲线 C的一般方程，称 C为

(1)所表示的曲线．

以1M为起点，2M为终点的有向线段.

1M

2M

a

21MM

21MM 00a

0

|| a

21MM| |

一、矢量的概念一、矢量的概念 第二节 矢量代数

矢量：

矢量表示：

矢量的模：向量的大小 .

零矢量：模长为 0 的向量 .

既有大小又有方向的量 .

或

或

或单位矢量：模长为 1 的向量 .

自由向量：不考虑起点位置的向量 .

相等向量：大小相等且方向相同的向量 .

a

b

a a

空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量 . OM

M

负向量： 大小相等但方向相反的向量 . a

向径：

非零向量 的方向角：a

、、

,0

,0

.0

x

y

z

o

1M 2M

向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式

非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 .

x

y

z

o

1M 2M

由图分析可知

cos|| aax

cos|| aa y

cos|| aaz

222|| zyx aaaa

PQ

R

2

1

2

1

2

121 RMQMPMMM

向量模长的坐标表示式

方向余弦通常用来表示向量的方向 .

0222 zyx aaa当 时，

,cos222zyx

x

aaa

a

,cos222zyx

y

aaa

a

.cos222zyx

z

aaa

a

向量方向余弦的坐标表示式

1coscoscos 222

方向余弦的特征

0a|| aa

}.cos,cos,{cos

特殊地：单位向量的方向余弦为

所求向量有两个，一个与 同向，一个反向a

222 )6(76|| a ,11

|| aa

0a ,116

117

116

kji

0a|| aa

.116

117

116

kji

或

解

例 1 求平行于向量 kjia

676

的单位向量的分解式 .

空间一矢量在轴上的投影

u

A

A

B

B

已知矢量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为 BA , 那 么轴u上的有向线段 BA 的值，称为矢量在轴u上的投影.

ABjuPr向量AB在轴u上的投影记为

向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos|| AB

u

AB

A BB

ABjuPr ABjuPr

cos|| ABu

关于向量的投影定理

证

cba

a

bc

a‖ b

a

b

c

|||||| bac

b

a c

|||||| bac

二、矢量的加减法二、矢量的加减法[1] 加法：

（平行四边形法则）

（平行四边形法则有时也称为三角形法则）

特殊地：若 分为同向和反向

.abba

cbacba )( ).( cba

.0)( aa

)( baba a

b

b

b

c

ba

bac

)(ba

baa

b

矢量的加法符合下列运算规律：

（ 1 ）交换律：

（ 2 ）结合律：

（ 3 ）

[2] 减法

设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)1( a与a同向，|||| aa

,0)2( 0a

,0)3( a与a反向， |||||| aa

a

a

2 a

21

三、矢量的数乘三、矢量的数乘

数与矢量的乘积符合下列运算规律：

（ 1 ）结合律： )()( aa a

)(

（ 2 ）分配律： aaa )(

baba )(

.

0

ab

aba

，使一的实数分必要条件是：存在唯

的充平行于，那末向量设向量定理

两个向量的平行关系

证 充分性显然；

必要性 a

‖b

设 ,a

b

取

取正值，同向时与当 ab

取负值，反向时与当 ab

.ab

即有

.同向与此时 ab

aa 且 a

a

b

.b

.的唯一性 ，设 ab

，又设 ab

两式相减，得 ，0)(

a ，即 0 a

，故 0 . 即，0a

同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa0

按照向量与数的乘积的规定，

0|| aaa .

||0a

aa

上式表明：一个非零向量除以它的模的结果

是一个与原向量同方向的单位向量 .

例２ 化简

53

21

5ab

bba

53

21

5ab

bba

ba

5

51

25

1)31(

.25

2 ba

解

一物体在常力F作用下沿直线从点1M移动

到点2M，以s表示位移，则力F

所作的功为

cos|||| sFW

(其中为F与s的夹角)向量a与b

的数积为 ba

cos|||| baba (其中为a与b的夹角)

四、矢量的数积四、矢量的数积实例

启示 两向量作这样的运算 , 结果是一个数量 .

定义

关于数积的说明：

0)2( ba .ba

)( ,0ba

,0|| a ,0|| b

,0cos .ba

.||)1( 2aaa

)( ,ba

,0cos

.0cos|||| baba

,0 .||cos|||| 2aaaaa 证

证

,2

,2

数积符合下列运算规律：

（ 1 ）交换律： ;abba

（ 2 ）分配律： ;)( cbcacba

（ 3 ） ),()()( bababa

若 、 为数： ).()()( baba

若 为数：

,kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

设

ba

)( kajaia zyx

)( kbjbib zyx

,kji

,0 ikkjji

,1|||||| kji

.1 kkjjii

zzyyxx babababa

数量积的坐标表达式

cos|||| baba ,

||||cos

baba

222222cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

ba 0 zzyyxx bababa

两向量夹角余弦的坐标表示式

由此可知两向量垂直的充要条件为

例1 已知}4,1,1{a，}2,2,1{b，求（1）

ba；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影.

ba)1( 2)4()2(111 .9

222222cos)2(

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

,2

1

ajbba b

Pr||)3( .3

||Pr

bba

ajb

.4

3

解

例2 证明向量c与向量 acbbca

)()( 垂直.

cacbbca ])()[(

])()[( cacbcbca

])[( cacabc

0

cacbbca ])()[(

证

设O为一根杠杆L的支点，有一力F作用

于这杠杆上P点处．力F与OP的夹角为，力

F对支点O的力矩是一向量M

，它的模

|||||| FOQM

sin|||| FOP

M的方向垂直于OP与F

所决

定的平面, 指向符合右手系.

五、矢量的矢积五、矢量的矢积

L

F

P

QO

实例

矢量a与b的矢积为 bac

sin|||||| bac (其中为a与b的夹角)定义

c 的方向既垂直于 a ，又垂直于 b

，指向符合

右手系 .

.0)1( aa )0sin0(

ba

)2( // .0 ba )0,0(

ba

关于矢积的说明：

.abba

.)( cbcacba

（ 3 ）若 　为数： ).()()( bababa

)( ,0 ba ,0|| a ,0|| b

,0sin ,0)( 0sin

.0sin|||||| baba

证

ba

//

ba // 或0

矢积符合下列运算规律：

（ 2 ）分配律：（ 1 ）

,kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

设

ba

)( kajaia zyx

)( kbjbib zyx

,kji

,0

kkjjii

,jik

,ikj

,kij

.jki

,ijk

kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy

)()()(

向量积的坐标表达式

矢积还可用三阶行列式表示

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

ba

// z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

ba

由上式可推出

z

zyx

b

aaa

000,0 yx aa

||ba表示以a和b为邻边

的平行四边形的面积.

xb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零，

a

bbac

例如，

补充

例3 求与 kjia

423 ， kjib

2 都

垂直的单位向量.

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bac

211

423

kji

,510 kj

,55510|| 22 c

||0

cc

c

.5

15

2

kj

解

例4 在顶点为 )2,1,1(A 、 )2,6,5(B 和

)1,3,1( C 的三角形中，求AC边上的高BD.

A

B

CD

}3,4,0{ AC

}0,5,4{ AB

||21

ABACS 222 16121521

,2

25

|| AC ,5)3(4 22 ||21

BDS || AC

||521

225

BD .5|| BD

三角形 ABC的面积为

解

设已知三个矢量a、b、c，数量

称为这三个矢量的混合积，记为 ][ cba

.

][ cba

cba )(

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

,kajaiaa zyx

,kbjbibb zyx

,kcjcicc zyx

六、矢量的混合积六、矢量的混合积

混合积的坐标表达式

设

定义

矢量的混合积][ cba

cba )( 是这样

的一个数，它的绝对值表示以矢量a、b

、c为

棱的平行六面体的体积. a

c

b

ba

关于混合积的说明：

][)2( cba

cba )( acb

)( .)( bac

（3）三矢量a、b、c共面 .0][ cba

（ 1 ）矢量混合积的几何意义：

已 知 2][ cba

，

计 算 )()]()[( accbba .

)()]()[( accbba

)()][ accbbbcaba

ccbcccacba )(0)()(

acbaacaaba )(0)()(

0 0

0 0 cba )(

cba )(2 ][2 cba

.4

例５解

例 7 已知空间内不在一平面上的四点

),,( 111 zyxA 、 ),,( 222 zyxB 、 ),,( 333 zyxC 、

),,( 444 zyxD , 求四面体的体积.

由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB、

AC、AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.

][61

ADACABV

},,{ 121212 zzyyxxAB

解

},,{ 131313 zzyyxxAC

},,{ 141414 zzyyxxAD

141414

131313

121212

61

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

V

式中正负号的选择必须和行列式的符号一致 .

任一垂直于平面的非零向量称为该平面的

垂线向量（法向量）.

一一 .. 平面方程 平面方程

定义：

平面上的任一向量都与其法向量垂直．

由于：过直线外一点且与直线垂直的平面有且仅有一个．

因此，对一个平面来说，已知其上的任一点),,( 0000 zyxM ，和它的一个法向量 },,{CBAn

，则

该平面便确定了．

第三节 平面与直线第三节 平面与直线

设设 ),,(zyxM为平面上任一异于0M的点， 则nMM

0 ．

00 MMn

……(1)

反之，若 00 MMn，

则MMn 0．

0M又，M． 所以满足(1)的点M便是平面上的点， 同时平面上的点必满足(1)

},,{ CBAn

0MM

又又 },,{ CBAn

， },,{ 0000 zzyyxxMM

0)()()( 000 zzCyyBxxA …..(2)

称(2)为平面的方程，称为(2)表示的平面． 又该平面是由点Mx y z( , , )0 0 0 和它的法向量

Mxyz( , , )所确定，故称(2)为平面的点法式方程．

求过点 为法向量的平面方程且以 }3,2,1{)0,3,2( ． 例1解 由（2）得所求平面方程为：

03)3(2)1( zyx

即： 0832 zyx

例例22

解

求 过 三 点 M M M1 2 32 1 4 1 3 2 0 2 3( , , ) , ( , , ) , ( , , ) 的平 面 方 程 ．

因为法向量为平面上二向量之叉积且与方向

为下、上无关． 设 ),,( zyxM 为平面上一点，

则有 0)( 32211 MMMMMM

x y z2 1 4

3 4 6

2 3 1

0即为所求平面方程

称 0

232313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

为平面的三点式方程．

返回

问题：任意一个三元一次方程，是否可以表示一平面?

设 )1(0 DCzByAx

),,( 000 zyx点 为其上一点，即：

)2(0000 DCzByAx

(1)-(2)得： )3(0)()()( 000 zzCyyBxxA

(3)表示过点 ),,( 0000 zyxM ，法向量为 },,{ CBAn

的

平面方程. 又(1)(3)同解,

因此(1)所表示的图形总是一个平面，称为平面

的一般式方程． 以 },,{ CBA 为法向量，过点

C

D,0,0

如：如：

特别地：

法向量为}1,4,3{n

,过点)9,0,0(

1．若 A 0，缺少 x，为一平行于 x的平面，法向

量垂直于 x 轴，在 x 轴上投影为零。对B C 0 0, ，同理．

2．D0为过原点的平面．

3．若 0BA 或 0CA ， 0CB ，表示平行于 yozzoxxoy ,, 面的平面．

0943 zyx

例例33

解

求过点(,,)431和x轴的平面．

因为过x轴，

法向量在x轴投影为0，且过原点．

0,0 DA

设该平面方程为： 0 DCzByAx

所以方程为 0CzBy，

)1,3,4( 又过点，

故：CB3 y z3 0 为所求平面方程。

x

y

z

O 1,3,4

例例44

解

求过点 ),0,0(),0,,0(),0,0,( cRbQaP )0( abc的平面方程． 设所求方程为Ax By Cz D 0

代入以上三点得：

c

DC

b

DB

a

DA ,,

又 0,0 Dabc ，

1c

z

b

y

a

x为所求方程

称该方程为平面的截距式方程．

abc,,分别称为平面在三个坐标轴上的截距．

0,,0 b

c,0,0

x

y

z

O

0,0,a

返回

二二 .. 空间直线的方程 空间直线的方程 1. 空间直线的一般式方程 设二相交平面 0: 11111 DzCyBxA ，

0: 22222 DzCyBxA 的交线为L

x y

z

O

1T2T

L

▲▲ 注意注意由于过空间同一直线的平面有无限多个，故可

以也只须任取其中两个，将其联立起来得到的方程

组即可表示．

则 L 应 满 足 方 程 组 ：

)1(0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

反过来， 不在L上的点M，又不可能是以上二方程的解．

因此，直线L可由(1)表示，称(1)为空间直线L的

一般式方程．

2.2. 空间直线的对称式方程和参数方程空间直线的对称式方程和参数方程 方向向量： 任一平行于直线的非零向量称为直线的方向向量．

直线上的任一向量平行于直线的方向向量，可视为

方向向量．

过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，即：当已知直线上的一点 ),,( 0000 zyxM 和它的方向向量 },,{ pnms

时，直线

L便完全确定了。 xy

z

O

s

L

0M

M

设设 sMMzyxM

//,),,( 0则为直线上任一点

sMM//0反之若，则M一定位于直线上．

又由sMM//0，得：

x x

m

y y

n

z z

p

0 0 0

这便是由直线的点与方向向量所确定的方程，称

之为直线的对称式方程，也称为点向式方程．

几点说明： A.其中若mnp, ,中有一个或二个为零，应理解

为相应的分子也为零．

x x

m

y y

n

z z

p

0 0 0

续续B.这里的mnp,,实际上是

s的在三个轴向上的坐

标，称之为该直线的方向数．s的方向余弦称

为直线的方向余弦．

C.xyz,,的系数1

x x mt

y y nt

z z pt

0

0

0

3( )

D.若设以上比例式比值为 t，则可得：

称之为直线的参数式方程．

例例55

解

将直线一般式方程 )1(0432

01

zyx

zyx改写

成对称式和参数式方程．

因为直线的方向向量与表示直线的二平面的

法向量都垂直，故其方向向量s有：

21 nns

312

111

kji

kji

34

为求直线上一点，取1x，则由(1)得：

63

2

zy

zy解之得：

2

0

z

y

续续 2,0,1为此直线上一点，

故直线的对称式方程为： 3

2

14

1

zyx

令 tzyx

3

2

14

1，

得直线的参数式方程为：

tz

ty

tx

32

41

求过点 M x y z M x y z1 1 1 1 2 2 2 2( , , ), ( , , )的直线方程．

因为方向向量 21MMs，故由对称式得：

,12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

称为直线的两点式方程．

例6解

,12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

返回

三三 .. 两平面的位置关系 两平面的位置关系

1T

2T

定义：定义：称两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）．

设 有 二 平 面 ： ,0: 11111 DzCyBxA

0: 22222 DzCyBxA 则其法向量分别为： },,{},,,{ 22221111 CBAnCBAn

由点积与余弦关系得：

22

22

22

21

21

21

212121cosCBACBA

CCBBAA

特别地，若 0, 21212121 CCBBAAnn 则

例例77

解

求 x y z x y z 2 6 0 2 5 0, 的夹角．

由上述公式，得其夹角有：

222222 112211

121121cos

2

1

故3

可见，夹角与D无关

求 过 点 M M x y z1 21 1 1 0 1 1 0( , , ) , ( , , ) 且 垂 直 于 的

平 面 方 程 ．

例例88

解 设 平 面 方 程 为

A x B y C z( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 … ( 1 )

由nMM21（或过点2M）得：

02CA …(2)

又由}1,1,1{n得： 0 CBA …..(3)

由(2)(3)得：CB

CA2

代入方程(1)得：2 0 0x y z C ,( )

四四 .. 两直线的位置关系 两直线的位置关系 夹角：两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角。

设 },,{},,,{ 22221111 pnmspnms 为直线1L、

2L的方向向量，

则LL1 2,的夹角可由向量的点积得：

22

22

22

21

21

21

212121cospnmpnm

ppnnmm

▲ 注意

22

22

22

21

21

21

212121cospnmpnm

ppnnmm

夹角为02

，且包含两直线相交与异面的情形．

结论：结论： 0.A 21212121 ppnnmmLL

2

1

2

1

2

121 //B.

p

p

n

n

m

mLL

例 9求二直线 Lx y

z1

1

1 43:

，

Lx y z

2 2

2

2 1:

的夹角．

直线1L的方向向量为： 1,4,1 ；直线2L的方向

向量为： 1,2,2 ， 所以1L、2L的夹角有：

222222 122141

112421cos

2

2

4

解

返回

直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直

线与平面的夹角

五五 .. 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系

定义：

结论：直线与平面的法向量的夹角为

2

L

'L

n

设设

特别地

直线为：p

zz

n

yy

m

xx 000

，

平面为： 0 DCzByAx

则：222222

)2

cos(pnmCBA

CpBnAm

222222sin

pnmCBA

CpBnAm

A．直线与平面垂直p

C

n

B

m

A

B．直线与平面平行 0 CpBnAm

例例1010

解

求过点 ( , , )1 2 4 2 3 4 0 且与 x y z 垂直的直线方程．

因为直线的方向向量为平面的法向量 1,3,2，

故所求直线方程为： 1

4

3

2

2

1

xxx

1,3,2 n

返回

例例1111

解

设 ),,( 0000 zyxP 0 DCzByAx为 外一点，

求过 P d0到该平面的距离 ．

1111 ,, zyxP

0000 ,, zyxP

CBAn ,,

N

d

如图，设1P为平面上任一点，

则 01PrjPPd n

又 0101 PrjPPnPPn n

)(

)()(

10

1010

zzC

yyBxxA

)( 111000 CzByAxCzByAx

DCzByAx 000

如：如：

)(1

Prj 00022201 DCzByAxCBA

PPn

d

Ax By Cz D

A B C

0 0 0

2 2 2

该公式称为点 ),,( 0000 zyxP 到

平面 0 DCzByAx 的距离公式。

点 的距离到 1)1,0,0( zyx ：

222 111

11

d

3

2

返回

六六 . . 平面束平面束

设L由

)2(0

)1(0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA给出，其中：

111 ,, CBA 与 222 ,, CBA 不对应成比例．

则 方 程 ：

A x B y C z D A x B y C z D R1 1 1 1 2 2 2 2 0 3 ( ) ( ) ( )具 有 以 下 特 点 ：

1 ． 因 为 111 ,, CBA 与 222 ,, CBA 不 对 应 成 比 例 ， 故

212121 ,, CCBBAA 不 全 为 零 ，从 而 ( 3 )表 示

了 一 个 平 面 ．

过定直线L的全体平面称为平面束，而(3)表

示除(2)的所有平面，称之为平面束方程．

定义：定义：

例 12

解

求直线

01

01

zyx

zyx在平面 0 zyx 上

的投影直线方程．

设过已知直线的平面束方程为：

2．若点 zyx,, 在L上，则满足 2,1，所以必满足 3，即 3是通过L的平面，而取不同的值，则表示过L的不同的平面．反之，任何过L的平

面（除(2)）都可以用(3)表示．

续续

投影平面方程为: y z 1 0

所求直线方程为:y z

x y z

1 0

0

即： ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0 x y z

若该平面与xyz0垂直，则有：

01)1(1)1(1)1( ，得： 1

011 zyxzyx

返回

作向量01MM，由勾股定理：

七七 .. 关于直线、平面杂例关于直线、平面杂例例 13

如图，任取直线上一点,1M

求点 ),,( 0000 zyxM 到直线

p

zz

n

yy

m

xx 111

的距离

0M

1M

d

01Prj MMs

法一

)1()(Prj 210

2

10 MMMMd ss

又由点积得：

s

sMMMM

01

01sPrj ,代入(1)可求和距离。

法二法二

2M

0M

1M

ds

在直线上取两点1M、2M，作 210MMM ，

则210MMM的面积S有：

dMMS 212

sin2101 MMMM

0121 MMMM

21

0121

MM

MMMMd

法三法三

0M

ds

P

求过点M0且与l

垂直的平面，解得交点

P，由两点之间的距离公

式求得（略）

例例1414

解

求 过 点 ( , , ) , 3 2 5 4 3 2 5 1且 与 x z x y z 的 交

线 平 行 的 直 线 方 程 ．

因为交线的方向向量s为由二平面法向量叉积的

方向

512

401

kji

s

kji

34

由对称式得所求直线方程为：

1

5

3

2

4

3

zyx

s

1n

2n

例例1515

法一

求2

4

1

3

1

2

zyx与 62 zyx 之交点．

联立解方程组

622

4

1

3

1

2

zyx

zyx

即可。

利用参数式。 令 tzyx

2

4

1

3

1

2

则tx2，ty3， tz 24

代入平面 62 zyx 得：

0624322 ttt

解之有：1t

故所求交点的坐标为： 2,2,1 zyx 。 即： 2,2,1

法二

又由：

03122312

1

3

1

zyx

zyx

例例1616

解

求过点M )3,1,2( 且与直线l：12

1

3

1

zyx

垂直相交的直线方程．

如图，由点法式得过点(,,)213且垂直于已知直线l

的平面方程为：

031223 zyx

得交点：

7

3,7

13,7

2

再由两点式得所求直线方程为： 4

3

1

1

2

2

zyx

sn

返回

一一 .. 柱面方程及其特点柱面方程及其特点 试分析x y R2 2 2表示怎样的曲面?

凡 是 过 xoy 平 面 内 园 222 Ryx 上 一 点

M x y( , , )0 且 平 行 z 轴 的 直 线 都 在 这 个 曲 面 上 ，这 样 ，

该 曲 面 便 可 视 为 一 平 行 于 z 轴 的 直 线 沿 xo y 平 面 上

的 圆 x y R2 2 2 平 行 移 动 而 形 成 的 .

我们称之为圆柱面，而xoy平面上的园222 Ryx

叫做它的准线，平行于z轴的直线称之为母线．

第四节 一些空间曲面与曲线第四节 一些空间曲面与曲线

图图

一般地： 一般地：

问：

平行于定直线且沿定曲线C平行移动的直线L

形成的轨迹，称为柱面，定曲线C称为准线，动直线L称为母线． xy22，0yx 表示怎样的曲面，在xoy面上表示什么？

x y

z

Oxy

z

O

xy 22

x

z

O

y

画法：画法：

x y

z

O

通常：通常：只含x y, 而缺少z的方程F x y( , )0表示母线平

行于z轴，准线为xoy平面上的曲线C：F x y( , )0

只含 zx, 而缺少y的方程 0, zxG 表示母线

平行于y轴，准线为xoz面上的曲线C： 0, zxG 。

只含 zy,不含x的方程 0, zyH 表示母线平行于x轴，准线为yoz面上的曲线C： 0, zyH 。

表示0 zx

y z 1 0表示

如：

y

x

z

O

画法：画法：

C

0, yxF

C 0, zyH

y

x

z

O

C 0, zxG O y

x

z

返回

一平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋转曲面，该直线称为旋转曲面的

轴．

二二 .. 旋转曲面及其方程 旋转曲面及其方程 定义：

形成旋转曲面x

y

z

O

平面曲线 C

绕定轴旋转

设yoz面上有一曲线C：fyz(,)0 绕z轴旋转

一周，可得一旋转曲面，求此曲面方程。

例例11

解设),,0(111zyM为曲线C上一点， 则 0),( 11 zyf

当C绕z轴旋转时，1M转到另一点Mxyz(,,)，

则zz1． 而M到z轴与1M到z轴的距离相等，即：

221 yxyd

化入（1）得：

0),( 22 zyxf

这便是所求旋转的方程．

221 yxy

在这里，在这里， 将yoz面上有一曲线fyz(,)0中y换成了

22yx，z不变即得曲线绕z轴旋转的曲面方程．

同理， 将yoz面上有一曲线fyz(,)0中z换成了

22zx，y不变即得曲线绕y轴旋转的曲面方程．

一般地，

欲求将平面曲线绕某轴旋转的曲面方程，只需将其对应的坐标不动，而另一变量换成其余二变量的完全平方和之正负方根的形式。

即：z ax y2 2 2 2 ( )

其中a2 2cot

一直线绕另一条与它相交的直线旋转一周所得旋转面称为圆锥面，交点称为圆锥面的顶点，二直线的夹角称半顶角，试求顶点为原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．

例例22

解

xy

z

O

如图，依题意，在 yoz平面上，直线的方程为 cot yz

故 cot22 xyz …(1)

这即是所求圆锥面方程。

显然：锥面上的点都满足（1）式， （1）式的解都在锥面上，故（1）式为所求．

例例33

解

求xoz平面上的双曲线 12

2

2

2

c

z

a

x 绕zx,轴旋

转一周所得到的旋转曲面方程．

绕x轴旋转一周所成的曲面方程为：

12

22

2

2

c

zy

a

x

绕z轴旋转一周所成的曲面方程为：

12

2

2

22

c

z

a

yx

二者均称之为旋转双曲面．

x

y

z

O

图

旋转双曲面旋转双曲面

y

y

x

x

z

z

O

返回

三三 .. 二次曲面 二次曲面 定义：用一系列平行于坐标面的平面与曲面相截，根据其截面形状综合得到曲面的形状，这种方法称

之为截痕法

O

x

y

z

椭球面 椭球面

O

x

y

z

1.1. 椭球面椭球面

由方程 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x所表示的曲面称为椭球

面，abc, ,称为椭球面的三个半轴．

讨论：

1,1,1:12

2

2

2

2

20

c

z

b

y

a

x由有界性 知：

czbyax ,,

故二次曲面是一个有限的图形，并被围在一个

以 cba 2,2,2 为长宽高的长方体之内．

续续20对称性： 是否关于原点对称？法：三坐标反号不变

是否关于坐标面对称？法：一坐标反号不变

是否关于坐标轴对称？法：二坐标反号不变

30截距：

与三坐标轴的交点。法：令二变量为 0，解另一变量

40与坐标面的截线。

法：令一变量为0，考查平面曲线

50平行截口：用一系列平行于坐标面的平面截曲面，

考查其截口，以此显示其形状（关键）

截距，与坐标面的截口线 截距，与坐标面的截口线

O

x

y

z

a

a

bb

c

c

O

x

y

z

平行于平行于 xoyxoy 面的截面 面的截面

截面为同心椭圆截面为同心椭圆

平行于平行于 yozyoz 面的截面面的截面

O

x

y

z

截面为同心椭圆截面为同心椭圆

平行于平行于 zoxzox 面的截面面的截面

O

x

y

z

截面为同心椭圆截面为同心椭圆

2.2. 抛物面抛物面

讨论：

由方程 zq

y

p

x

22

22

, )0( qp 所表示的曲面

称为椭圆抛物面

0,10 qp 时，0z，图形在xoy面上方，yx,无限

增大时，图形可延伸．

zyx,,20反号，可得图形关于yozzox,面对称，关于

z轴对称。

30过原点

续续 :40坐标面截口

为原点与为抛物线与 xoyyozxoz )2(,,)1(

:50平行截口

;,)1( 为一系列抛物线与 yozxoz

为椭圆与xoy)2(

x y

z

O

续续 :40坐标面截口

为原点与为抛物线与 xoyyozxoz )2(,,)1(

:50平行截口

;,)1( 为一系列抛物线与 yozxoz

为椭圆与xoy)2(

x y

z

O

抛物面

特别地，特别地，10pq为旋转抛物面

x y

z

Ox y

z

O

旋转抛物面

注注意意画画法法

20 p q, 异号或者说由 x

p

y

qz p q

2 2

2 2( , )同号 表示双

曲抛物面或鞍形曲面．

y

x

z

O

双曲抛物面

x

z

O

由 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x所表示的曲面为单叶双

曲面．

3.3. 双曲面双曲面

定义：

由x

a

y

b

z

c

2

2

2

2

2

2 1 所表示的曲面为双叶双曲面．

“ ” “ ”有一个 一 为单叶双曲面，有两个 一 为双

叶双曲面．

特点：

讨论方法类同，此略，其图如下：

zxzyx 16316)(3 222 为绕z轴旋转而成的旋转抛物面，

例例44

解

作 由 曲 面 3 16 252 2 2 2( ) ,x y z z x y 所围立体．

2225 yxz 为

半经是 5 的上半球面。

故其图如右：

其交线为圆：

x y

z

2 2 16

3

x

y

z

O

单叶双曲面单叶双曲面

x

z

y

x

z

y

双双叶叶双双曲曲面面

x

z

y

x

z

y

4.4. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程

因为：

空间曲线可以用参数方程x xt

y yt

z zt

()

()

()

()2表示。

1．1tt可得到一个点),,( 111zyx，随着在的变化

可得到C上的全部点；

2．消去参数t可得到两个只含xyz, ,的方程，与一

般式相一致．

称(2)为空间曲线的参数方程．

方程组：

)2(6332

)1(122

zyx

yx表示怎样的曲线？

例例55

解(1)表示准线为xoy平面

上的圆，母线平行于z

轴的圆柱面；

(2)则表示过点(3，0，0)，(0，2，0)， (0，0，2)

的平面。

其图如右． xy

z

O

3

2

2

例例66

解

)4()2

()2

(

)3(

222

222

a

ya

x

yxaz表示何曲线?

(3)表示一半球面

(4)表示一圆柱面

故表示其交线。

如右图：

x y

z

O

RR

R

例例77

解

若空间一点M在圆柱面 222 ayx 上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴正向

上升，（,v为常数），那么点M的轨迹构成的图形叫做螺旋线，试建立该螺旋线方程．

如图，取t为参数

则 当 时0t ，

)0,0,( aAM 位于

设 经 任 一 时 间 段t后达到点 M x y z( , , )

过M作 xoyMM 面， x y

z

AM

'M

O

即螺旋线的参数方程为：xa t

ya t

zvt

cos

sin

续续则'M位于圆柱面上，且 AOMt MAOMOx cos ta cos

MAOMOy sin ta sin

MMz vt

令 t，（角为参数）得：

vz

ay

ax

sin

cos

每转过2，上升一确定高度h v2，称为螺距．

5.5. 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为Fxyz

Gxyz

( , , )

( , , )()

0

01

消去变量z得Hxy(, ) ()0 2

则A． 满 足 (1 )的 x y z, , ( ) , ( ) ( )一 定 满 足 即 曲 线 在 曲 面 上2 1 2 ；

柱面(2)（投影柱面）与xoy平面的交线

0

0),(

z

yxH

称为曲线(1)在xoy面上的投影．

B．曲面(2)是以xoy面上的曲线 0, yxH 为准线，

母线平行于z轴（缺少z）的柱面（垂直于xoy平面）．

投影投影投影投影

x

y

z

O

空间曲线 C

投影 C1

例例 88

解

求两球面： ),5(1222 zyx

)6(1)1()1( 222 zyx

的交线在xoy面上的投影方程．

由(5)、(6)得：

代入(5)得：

022 22 yyx

故所求投影方程为：

0

022 22

z

yyx

1 zy

前视

右视顶视

图图

求由球面： 224 yxz 和锥面：

)(3 22 yxz 所围立体在xoy面上的投影．

例例 99

解 如图两式相减，可得交线：

x y

z

2 2 1

0

故所求投影方程为：

0

122

z

yx

2x

y

z

1

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