缩到只剩下一点空间解析几何 -...

414
长期以来,我国高等学校各类非数学专业的数学基础课都限于以微积分 为主要内容的“高等数学” ! 面临 "# 世纪各门知识的相互渗透和自身加速更新 的形势以及全面提高人才素质的需要,数学的作用将显得日益重要 ! 而作为高 等学校数学基础课的作用,除了作为各门学科的重要工具以外,它在提高人才 全面素质中起着重要作用的培育理性思维和审美功能方面也应得到充分的重 ! 这就需要一部与之相适应的教材 ! 这套“大学数学”教材是在前国家教委“面向 "# 世纪教学内容和课程体系 改革”研究课题的支持下完成的 ! 共有五本:《一元微积分》、《多元微积分及其 应用》、 《代数与几何》、 《随机数学》与《数学实验》 ! 我们认为它们是 "# 世纪高 级人才应该普遍具备的数学基础 ! 希望学生通过对它们的学习,能使他们在掌 握数学工具、提高理性思维和审美素质以及获取新知识的能力诸方面打下一 个良好的基础 ! 这种要求应该对任何专业都一样,只是在深度上及侧重的方面 可能会有些区别 ! 在现行的《高等数学》中,微积分和数学分析之间的关系一直是一个难以 处理的问题 !#$ 世纪以前的微积分,以它的直观性和不断扩展的应用显示了 数学的威力,但同时也暴露出其缺乏严格逻辑基础的缺点 ! 诞生于 #$ 世纪的 数学分析则以其逻辑的完美显示了数学的理性精神 ! 这两个方面在教材中如 果结合得好,可以激发初学者对数学的兴趣;但如果结合得不好,则很可能失 去两者的活力而形成一堆枯燥的形式推理和繁琐的计算 ! 在本书中我们力图 按其本来的面目来编写,把一元微积分分为两部分:前一部分注重直观,着重 训练应用和运算,后一部分则着重培育理性思维 ! 《多元微积分及其应用》的应用内容包括复变函数、微分几何及常微分方程 ! 《代数与几何》的代数部分基本上是线性代数,其内容也可分为两部分:一 部分是以算法为主的求解一般线性方程组的内容;另一部分则主要研究线性 空间及其上的线性映射 ! 由于后者是前者的理论框架,而且它已成为近代数学 普遍使用的基本语言,因此本书在集合、关系、运算、代数结构之后,较快地进 入后者的讨论;并且通过数值表示把两者结合起来 ! 至于几何,尽管它在古希腊及 #$ 世纪有其辉煌的历史,在本世纪后半叶也进 入了数学研究的主流行列,但近 %& 年来,在我国高校的数学基础课中,却一直被压

Transcript of 缩到只剩下一点空间解析几何 -...

序 言

长期以来,我国高等学校各类非数学专业的数学基础课都限于以微积分

为主要内容的“高等数学”�面临��世纪各门知识的相互渗透和自身加速更新

的形势以及全面提高人才素质的需要,数学的作用将显得日益重要�而作为高

等学校数学基础课的作用,除了作为各门学科的重要工具以外,它在提高人才

全面素质中起着重要作用的培育理性思维和审美功能方面也应得到充分的重

视�这就需要一部与之相适应的教材�这套“大学数学”教材是在前国家教委“面向��世纪教学内容和课程体系

改革”研究课题的支持下完成的�共有五本:《一元微积分》、《多元微积分及其

应用》、《代数与几何》、《随机数学》与《数学实验》�我们认为它们是��世纪高

级人才应该普遍具备的数学基础�希望学生通过对它们的学习,能使他们在掌

握数学工具、提高理性思维和审美素质以及获取新知识的能力诸方面打下一

个良好的基础�这种要求应该对任何专业都一样,只是在深度上及侧重的方面

可能会有些区别�在现行的《高等数学》中,微积分和数学分析之间的关系一直是一个难以

处理的问题���世纪以前的微积分,以它的直观性和不断扩展的应用显示了

数学的威力,但同时也暴露出其缺乏严格逻辑基础的缺点�诞生于��世纪的

数学分析则以其逻辑的完美显示了数学的理性精神�这两个方面在教材中如

果结合得好,可以激发初学者对数学的兴趣;但如果结合得不好,则很可能失

去两者的活力而形成一堆枯燥的形式推理和繁琐的计算�在本书中我们力图

按其本来的面目来编写,把一元微积分分为两部分:前一部分注重直观,着重

训练应用和运算,后一部分则着重培育理性思维�《多元微积分及其应用》的应用内容包括复变函数、微分几何及常微分方程�《代数与几何》的代数部分基本上是线性代数,其内容也可分为两部分:一

部分是以算法为主的求解一般线性方程组的内容;另一部分则主要研究线性

空间及其上的线性映射�由于后者是前者的理论框架,而且它已成为近代数学

普遍使用的基本语言,因此本书在集合、关系、运算、代数结构之后,较快地进

入后者的讨论;并且通过数值表示把两者结合起来�至于几何,尽管它在古希腊及��世纪有其辉煌的历史,在本世纪后半叶也进

入了数学研究的主流行列,但近��年来,在我国高校的数学基础课中,却一直被压

缩到只剩下一点空间解析几何�这对培养学生的形象思维及理性思维的习惯极为

不利�本书除了在多元微积分应用中加上古典微分几何基础(曲线和曲面)以外,在

几何部分则增加了“仿射及射影几何”及非欧几何的两个初等模型�本世纪后半叶以来,人们对事物认识演化的表现之一是从单纯的确定性

思维模式进入确定—随机性模式�这一趋势还在发展,在高校数学教学中已受

到广泛的关注�我们提出把《随机数学》正式列入基础课�本书内容的重点是通

过几个典型范例的讨论,使学者学会描述与表达随机性及随机变化的过程,即

集中于对随机模式认识的训练�在这套系列教材中《数学实验》有其独特性�它的知识内容包含数值方法、

统计计算和优化计算的基本概念和初等方法,其目的是为学生自已动手解决

问题提供必要的数学知识和软件平台�这是一门以学生独立动手,教师起辅导

作用的课程,这类课程的教材如何编写,本书只是一种尝试�以上是这套教材的一个简要介绍�这套教材既是一个统一的整体,各部分

之间又有相对的独立性,可以独立讲授�在内容方面,它包含了现行的高等数

学、线性代数、复变函数、微分方程、微分几何、数值分析、概率统计、优化计算

等课程最基本的内容,而总学时则大为减少�我们在清华大学几个班的试验表

明:全部讲完上述内容所需的学时大约为���左右�除数学实验外,如果再减

掉一些内容,���学时左右也是可以的,可由教师灵活掌握�这套教材在有些大段落后面,附有一段“评注”,主要讲述这一段的重要思

想和可能的发展,为有兴趣的学生进一步学习数学开一点小小的窗口�大凡一本可用的教材,往往有两种写法:尽量多写一点,以便于教师选择;

或尽量写少一点,以便于教师发挥�这套教材似乎偏于前者�原因是这是一个

尝试,对习惯讲授传统“高等数学”的教师来说,对这套教材可能不太适应,也

许需要多一些说明�这套教材原有的基础是清华大学出版社����年出版,萧树铁、居余马、葛

严林等主编的三卷本《高等数学》�参与现在这套教材编写的有朱学贤、郑建

华、章纪民、居余马、李海中、钱敏平、叶俊、姜启源、高立、何青等人�谭泽光、白

峰杉、韩云瑞等同志为本书的编写作了大量的工作�高教出版社对本书的编写

和出版始终给予热情的支持�前面已说过,这套教材的编写是一个尝试�目的在于根据“百家争鸣”的精

神,参与探索大学数学基础课在培养下一世纪高素质人才中所应起的作用,以

及与之相适应的教材建设�我们衷心欢迎各方人士对这套教材评头论足,指出

缺点和错误�如果这套教材能起到抛砖引玉的作用,我们就很满足了�萧树铁

����年�月

·�· 序 言

再 版 序 言

提高大学数学教学质量的关键在于教师,但一套较好的教材也是重要的�随着我国大学数学教学内容改革的逐步深入,当前不少高等学校在基础数学

教学内容的改革方面有了一些进展,例如单纯“面向专业”的观念有所淡化,代

数课程的内容和学时有所增加,开设了一些新的课程,如“数学实验”和“随机

数学”等;相应地有一批新教材出版�本套教材也在试用了两年多以后,进行了

部分修订�这就是《大学数学》的第二版�在保持原有的指导思想和风格的前提下,这一套教材由原来的五本:《一

元微积分》、《多元微积分及其应用》、《代数与几何》、《随机数学》及《数学实验》

改编、扩充为七本,即:《微积分(一)》、《微积分(二)》、《多元微积分及其应用》、

《流形上的微积分》、《代数与几何》、《随机数学》及《数学实验》,其中《流形上的

微积分》是新编入的,《随机数学》正在在修订中,《数学实验》这次还来不及修

订�除了这三本以外,另外四本改编的大致情况如下:

《微积分(一)》以原来的《一元微积分》中的第一篇,即“直观基础上的微积

分”为其主要内容,力求做到“返璞归真”�除了进一步强调了计算和应用之外,

还增加了一些对“极限”的朴素描述�《微积分(二)》是把原来《一元微积分》中的第二篇,即“理性微积分”的内

容作一些修改而成�其中为了使读者能更好体会数学分析中的一些基本手法,

对用阶梯函数逼近的办法来处理定积分(即函数集扩张的思想)又作了一些改

进�《多元微积分及其应用》是把原书加以适当精简而成�原书中“复变函数”

部分重新改写以求突出重点和更加精练;原书的“微分几何”部分移到《代数与

几何》�以上三本教材的习题也都作了调整�

《代数与几何》内容的变动是适当精简了代数的内容,增加了“行列式的几

何意义”;几何部分则增加了“微分几何”的基本内容�《流形上的微积分》与前面三本微积分教材合在一起,就显示了微积分从

古典一直到现代的基本面貌,而且也是一个理解当代数学和物理一个不可缺

少的台阶�虽然目前它并不属于数学基础课的范围,但可供对此有兴趣的学生

选修�此外,对从事微积分教学而在这方面有所欠缺的教师来讲,不妨顺便补

上这一课�《代数与几何》中的几何部分包括了仿射、射影和微分几何,还有两个非欧

几何的模型�它所需的学时不多(不超过��学时)�这些内容的选取和写法是

否合适,能在多大程度上体现数学理性思维和“数学美”,还有待进一步讨论�人们对大学数学课程中几何被严重削弱的缺陷已有共识,但又往往以“课内学

时不够”或“没有用”等理由保留了这个缺陷�精简课内学时是必要的,内容的

选取更可以讨论�希望有志于此的教师能先试开一些这方面的选修课,供大家

来讨论�这次内容的调整主要是为了增加这套教材的灵活性,不同的学校或专业

在内容上可以有不同的选择:可以选择其中的某几本,或删去某些用小字写的

部分�例如在清华,这套教材就初步适应了一个较为稳定的教学计划�即除了

部分文科和艺术类专业以外,数学基础课的内容确定为:“微积分(一)”(�学

分),“微积分(二)”(�学分),“多元微积分及其应用”(�学分),“代数”(�学

分),“几何”(�学分),“随机数学”(�学分),“数学实验”(�学分),其中�学分

表示一个学期(实上课��周)上��节课(每节��分钟),另外适当安排少数课

外习题课�这样数学基础课的总学时就是���学时,而其中被列为必修基础课

的只有“微积分(一)”和“代数”两门�但实际上多数专业的学生几乎都选了大

部分甚至全部数学基础课�参加这一版改写工作的有朱学贤、郑建华、章纪民、华苏、居余马、萧树铁、

李津、陈维恒等同志;谭泽光、白峰杉同志参加了讨论并提出很多好的意见�

编者于清华园

����年��月

·�· 再 版 序 言

第二版前言

本书第二版主要是考虑到目前国内非数学专业的大学数学课程中,各校

有关“代数与几何”的课时相差较大,为了便于使用本教材的教师合理地取舍

教材内容进行教学,我们把教材内容线性代数与空间解析几何部分分为三个

档次:第一档次是不打H�的节,这是教学的基本要求,其中有些用小字排印的

内容可以不作为基本要求,例如,分块矩阵的初等变换,正交矩阵中的R�S分解,Ibebnbse不等式等;第二档次是用大字排印的打H�的节,例如,���子

空间的交与和,直和,���正交子空间,正交补;第三档次是用小字排印的打H�的节,例如,���二次曲线一般方程化为标准方程及其分类,���二次曲面的分

类,���中的双线性函数,���中的序关系,偏序集,全序集,但其中的第二数学

归纳法原理应作为教学基本要求,让学生有所了解并会用�这三个档次中的第

二、三档次对课时少的学校都可以不作为教学的基本要求,仅供学有余力且有

兴趣的学生课外自己阅读�与第一版相比,我们对����基本代数结构———群、环、域的基本概念作了

较大的修改,去掉了较多内容,只保留了最基本的概念,其中有些例子也用了

小字�另外,增加了o阶行列式的几何意义(用小字排印,可不作基本要求)�与第一版相比,还有一个较大的变化是把多元微积分中的微分几何的基

础知识———“空间曲线与空间曲面”安排为本书的第�章,主要的考虑是把大

学数学中有关几何几门课(空间解析几何,微分几何,射影几何,非欧几何)的

内容都集中在一起,以便于更好地安排教学�本书第�Y�章由居余马修订,第�章由萧树铁编写并修订,第��Y��章

由萧树铁、李海中修订�书稿最后由主编萧树铁教授审定�

编者于清华园

二〇〇二年十二月

前 言

多年来,我国高校非数学专业的数学基础课只有微积分以及为之服务的

一点解析几何���年代开始,由于计算机解题的需要,一些学校陆续增加了

“线性代数”课�它的内容主要是行列式、线性方程组和矩阵运算�而对于线性

代数的核心内容———线性空间及其上的线性映射则涉及很少�面对��世纪培

养高素质人才的需要,这种数学基础课的结构是难以适应的�建立一个以微积

分、代数、几何和随机数学为基本内容的数学基础课新体系的任务随着新世纪

的来临就显得急迫了�教育部为此从����年起就开始立项研究�本书就是在

此背景下进行的一个尝试�这本教材包含了代数和几何两部分�关于其内容,有以下几点考虑:

一、关于代数与几何内容的整体安排

把代数与几何合写成一本教材�这种做法可能会削弱几何的训练,但也可

使代数与几何更好地结合,互相渗透,互相促进�代数为研究几何问题提供有

效的方法;几何为抽象的代数结构和方法提供形象的几何模型和背景,基于这

样的考虑,本书大致分为四个部分�第一部分是第一章中阐述的基础知识———集合、关系、运算与映射及代数

结构的基本概念�其重点是关系和运算,特别要让学生了解运算的对象是多种

多样的,而不是局限于数的运算�这里讨论了:映射(是一种一元运算)的一般

概念;集合运算;命题运算;几何向量的运算;o元向量的线性运算及高斯消元

法中的矩阵初等行运算�它们不仅拓宽了学生对“运算”概念的认识,而且也启

发学生以后在探索新问题时要善于把实际问题变为数学问题;同时也是学习

本书必备的基础�关于群、环、域,重点是群的概念,这里主要是让学生初步了

解从数学结构上区分各种数学问题的异同,知道近世代数主要是讨论各种代

数结构的性质�第二部分是由第二章至第五章所阐述的线性代数的基本内容———线性空

间与内积空间、线性映射、矩阵和行列式�第三部分是由第六章至第八章所组成,它们是线性代数与几何相结合的

内容:线性方程组的解的理论与线性图形(平面与空间直线)的位置关系和度

量关系;特征值与特征向量、正交变换、二次型与二次曲线、二次曲面的不变量

及其分类�

第四部分是由第九章与第十章所介绍的“仿射与射影几何”及“非欧几何”

的两个初等模型�二、关于线性代数的内容和体系

线性代数的内容大致可分为两部分:一部分是以算法为主的求解线性方

程组和矩阵运算(包括特征值与特征向量、矩阵的三种标准形及二次型)�另一

部分则主要是研究线性空间和内积空间的结构,以及有限维线性空间上的线

性映射�由于后者是前者的理论框架,是线性代数的核心内容,而且它也是近

代数学普遍使用的基本语言�为使学生较全面深入地掌握和理解线性代数,提

高学习现代数学新知识的能力,我们认为必须加强线性空间和线性映射的教

学,除了增加必要的课时,还要突出它们的核心地位�为此,我们没有采用国内

现行线性代数教材的传统模式,而是直接从讨论线性空间的结构和研究线性

映射入手,展开线性代数的内容�通过有限维线性空间的线性映射的数值表

示,建立了线性映射与矩阵的对应关系,从而矩阵的基本运算的定义也由相应

的线性映射的运算所确定;至于线性方程组的求解问题也对应于已知线性映

射的像求完全原像(或核)的问题;矩阵的相似标准形问题也就是从线性映射

在不同基下对应的矩阵构成的等价类中找一个最简单的代表元的问题�如此,

线性空间和线性映射的概念就贯穿始终,起到了统领全局的核心作用�当然这

样的课程体系,初学者在开始学习时会有些困难,感到抽象和不容易理解,但

是只要教学得法,按照“从特殊到一般,从具体到抽象”的原则,从具体的模型、

背景和实例抽象为一般的概念,学生还是不难接受的�学完整个课程,学生最

终会较好和较深入地掌握线性代数的内容,能熟练使用线性空间和线性映射

的语言,特别是一开始就接触公理化的定义和方法,对学生以后自学现代数学

新知识是大有裨益的�此外,我们在第六至第八章中还尽量把代数与几何有机地结合起来,例

如,特征值的概念是由二次曲线在正交变换下的不变量引出来的,然后再利用

特征值与特征向量的概念研究一般的二次型,把二次曲面的一般方程化为标

准方程,并对二次曲面作正交分类�关于行列式,我们也采用了公理化的定义,也就是把o阶行列式定义为o

重反对称线性函数,这样定义不仅方便快捷,而且与全书的风格协调,同时证

明行列式的一些重要性质(如:efuB�efuBU、行列式按一列(行)的展开定理、

b�BCb��b�Bb�b�Cb�等)时,充分利用了矩阵的工具,使证明更为简明�三、关于几何,除上述内容外我们还选择了“仿射与射影几何”、“非欧几

何简介”�目的是加深读者对“形”的理解和认识�在仿射几何中,研究了仿射变换下的不变性质(如共线性、平行性)和不变

量(如简单比),对二次曲线作了更简单的仿射分类�

·�· 前 言

在射影几何中,我们把欧氏(仿射)平面扩大为射影平面,引进齐次坐标来

研究射影平面上的几何问题,研究了对偶原理和射影变换下的不变量(交比),

并对二次曲线作了射影分类�在非欧几何简介中,我们介绍了非欧几何中两个典型的模型�椭圆几何的

球面模型和双曲几何的庞加莱模型�它们除了有重要的应用价值外,还希望能

通过对这种人类重要文化遗产的认识,培养学生的理性和审美意识�使用本教材所需课时大约在��左右,如果课时少,可根据实际情况适当

取舍内容�本教材的编写工作是在萧树铁教授领导下进行的,第�Y�章由居余马、

第��Y��章由李海中编写,书稿最后经萧教授审定,高教出版社胡乃同志

对本书的出版作了认真仔细的编辑工作,对此我们深表感射�更新非数学专业的数学基础课的课程体系和教学内容的工作是十分艰巨

的,在代数部分我们虽然已经历了九年的教学实践,但探索仍是初步的,缺陷

和不妥之处在所难免,恳请同行专家和读者赐教和指正�

编者于清华园

一九九九年九月

·�·前 言

目 录

第�章 集合 关系 运算 结构 (�)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 集合 子集 幂集 直积 (�)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 二元关系及其性质 (�)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 等价关系 等价类 商集 (�)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���H� 序关系 偏序集 全序集 数学归纳法原理 (�)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 运算与映射 (�)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 命题运算 量词 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 几何向量的运算 空间直角坐标系 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� o元向量的线性运算 高斯消元法 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 平面方程与空间直线方程 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���� 基本代数结构———群、环、域的基本概念 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第�章 线性空间 内积空间 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性空间的定义及其简单性质 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性子空间 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性相关性 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 有限维线性空间的基和维数 向量组的秩 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 向量的坐标 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���H� 子空间的交与和 直和 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 内积空间 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 欧氏空间的单位正交基 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���H� 正交子空间 正交补 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 双重连加号���� 连乘号K� (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第�章 线性映射 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性映射的定义及例 (��)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性映射的像和核 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性映射的运算 空间M(W�,W�) (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 有限维线性空间的线性映射 线性映射的秩 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性空间的同构 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第�章 矩阵 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 矩阵的定义 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性映射的矩阵表示 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 矩阵的加法与数量乘法 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 矩阵的乘法 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 可逆矩阵 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 矩阵的转置 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 矩阵的初等变换和初等矩阵 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 矩阵的秩 相抵标准形 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 分块矩阵 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���� 基的变换矩阵与坐标变换 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第�章 行列式 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� o阶行列式的定义 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 行列式按一列(行)的展开式 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 方阵乘积的行列式 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� Dsbnfs法则 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第�章 线性方程组与线性几何 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 齐次线性方程组 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 非齐次线性方程组 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性图形的几何问题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 正交变换与正交矩阵 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���H� 二次曲线一般方程化为标准方程及其分类 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 线性变换在不同基下的矩阵表示 相似矩阵 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 特征值与特征向量 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 可对角化的条件 相似标准形 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 实对称矩阵的对角化 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 双线性函数H� 二次型 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 实二次型的标准形 实对称矩阵的相合标准形 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 正定二次型与正定矩阵 其它有定二次型 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第�章 常见曲面及二次曲面的分类 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 球面 柱面 锥面 旋转面 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 空间曲线的方程 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·�· 目 录

��� 二次曲面 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���H� 二次曲面的分类 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第�章 空间曲线与空间曲面 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 向量函数及其微积分 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 曲线的弧长和弗雷耐标架 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 曲线的曲率 挠率 弗雷耐公式 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 特殊的空间曲线 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 曲面的表示 切平面 参数变换 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 曲面的第一基本形式 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��� 曲面上曲线的法曲率 曲面的第二基本形式 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���� 平面正交变换 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���� 平面的仿射变换 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���� 射影平面与齐次坐标 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���� 射影映射和射影变换 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第��章 非欧几何学简介 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���� 球面几何 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

���� 双曲几何的庞加莱模型 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

索引 (���)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·�·目 录

第�章 集合 关系 运算 结构

中学数学主要是讨论数的运算、几何图形的性质以及相应的各种数量关

系和图形关系,而现代数学的领域非常广阔,客观世界众多的实际问题可以抽

象为各种数学问题,并采用不同的数学方法加以解决�所以就整个数学而言,

它研究的是各种各样可以表述为数学概念的事物所组成的各类集合,以及同

一集合或不同集合中元素间的各种数学关系(运算或变换)和相应的数学结

构�因此,我们将在本章介绍大学数学的一些基础知识,首先简要地叙述“集

合”的一些基本概念,然后给出“二元关系”、“运算”和“映射”的概念,其中重

点是“关系”(主要是等价关系)、“运算”和“映射”,特别是要列举很多例子让

读者了解运算的对象非常广泛,而不只局限于“数”�这里读者不仅要掌握“命

题运算”、“几何向量的运算”及“高斯消元法中的o元向量或矩阵运算”的一

些具体内容,而且要从中得到启发,十分重视如何根据实际问题的需要抽象出

数学问题,把某些“操作”定义为运算,并在以后的学习中自觉培养这方面的

能力�本章最后介绍基本的代数结构 ——— 群、环、域的基本概念,让读者初步

了解从数学结构上区分各种数学问题的异同�

��� 集合 子集 幂集 直积

集合是数学的最基本的一个概念,它不能用更简单的概念来定义,而只

能对它作些解释�所谓集合(简称集)是指由一些确定的对象(或事物)汇集成

的整体,其中每个对象叫集合的元素(简称元)�通常用大写字母B,C,Y,Z等表示集合,用小写字母b,c,y,z等表示集的元素�如果元b在集B中,就说

“b属于B”,记作“b��B”;否则就说“b不属于B”,记作“b�B”�全体自然数、整数、有理数、实数、复数分别组成的集合,依次记作O,[,

R,S,D;全体正整数�,�,⋯,o,⋯ 组成的集合记作OH��表述集合的方式:一种是穷举法,即列出集中全部元素;另一种是描述法,

即用集中全部元素所具有的特性来表述集合�例如:

B�{��,���}�{yy�����,y��S},

其中前者是穷举法,后者是描述法�

N �{(y,z)y��z��; y,z��S}

是用描述法表述直线y��z��上的所有点组成的集合�含有限个元素的集合叫有限集,含无穷多个元素的集合叫无限集,不含任

何元素的集合叫空集,记作�,例如,

{yy�����;y��S}

是一个空集�把空集也看作集合是必要的,正如把�也看作数一样�定义��� 设B,C是两个集合,如果B,C含的元素全相同,就说B,C

相等,记作B�C;如果对任意的b��B,均有b��C,则称B是C的子集,或

说B含于C,C包含B,记作BO�C�对任意的集合B,均有� O�B,BO�B�显然,集合B,C相等,当且仅当BO�C与CO�B同时成立�定义��� 非空集合B 的所有子集组成的集合称为B 的幂集,记作:

Q(B)或�B�若集B含有o个不同元素,则其幂集Q(B)含有�o 个不同元素�例如集

合B�{b,c,d}的幂集

Q(B)�{�,{b},{c},{d},{b,c},{b,d},{c,d},B}�我们把非空集B,C的任一对有次序的元素y��B,z��C叫有序二元

组(或称序偶),记作(y,z),并称y为第一元素,z为第二元素�序偶中的两个

元素也可属于同一集合(即B�C)�两个序偶(y�,z�),(y�,z�)相等,当且仅

当y��y�,z��z��由集合B,C中所有元素构成的序偶组成的集合,叫做集

合B和C的笛卡儿乘积(或称直积),即

定义��� 设B,C是两个非空集,我们把集合

B�C�{(b,c)b��B,c��C}

称为B和C的笛卡儿乘积(或称直积)�特别,当C�B时,B�B(也常记作B�)是B中一切元素所作成的序偶

集合�例如,S��S�S可表示平面直角坐标系中全部点的坐标的集合�定义��� 设B,C是两个集合,我们把集合

B��C�{yy��B且y��C},

B��C�{yy��B或y��C},

Ba�C�{yy��B但y�C}

分别叫做B和C的交集,B和C的并集,C在B中的余集�余集也可记作DBC或B�C,称B�C为B与C的差集�

如果C��Q(Y),即CO�Y,则C在Y中的余集Ya�C常记作�C�

·�· 第�章 集合 关系 运算 结构

��� 二元关系及其性质

对于集合中的元素,我们要研究它们相互间具有的各种关系�例如:在数

集中比较数的大小,有0�、�、_� 等关系;在直线集中,直线间有平行、垂直、

相交等关系;在三角形集中,相似、全等是两种基本关系;在人口集中,人们之

间有性别、国籍、肤色相同或不相同的关系;在电路的节点集和支路集中,节点

与支路间有关联或不关联的关系�由这些例子可见,一个集合或不同集合中,

两个元素间的“关系”是由某种特性或规则来描述的�定义��� 设Y是一个集合,S是涉及两个元素的一个规则,如果对于Y

中的任两个元素b,c均可确定它们是适合S(记作bSc)或不适合S(记作

b�Sc),就称S是集Y中的一个二元关系�如果把bSc用序偶(b,c)表示,那末集Y中所有适合关系S的元素组组

成的集合是Y�Y的一个子集�因此,我们也可把Y�Y的一个子集S定义

为集Y中的一个二元关系�更一般,我们把Y�Z的一个子集S定义为集Y与Z间的一个二元关系�

下面讨论二元关系的一些基本性质�定义��� 设S是集Y中的一个二元关系,如果

(�)对任意的b��Y,均有bSb,则称S是自反的(或称反身的);

(�)对任意的b,c��Y,若有bSc就有cSb,则称S是对称的;

(�)对任意的b,c��Y,由bSc和cSb,可推出b�c,则称S 是反对

称的;

(�)对任意的b,c,d��Y,若有bSc和cSd,就有bSd,则称S是传递的�关系S是自反的、对称的、反对称的和传递的,也常说成S具有自反性、

对称性、反对称性和传递性�例 在实数集中,小于(_� )关系具有传递性;小于或等于(0�)关系具有

自反性、反对称性和传递性�在正整数集中,如果bSc表示b c(即b整除c,c/b��OH�),则S具有

自反性、反对称性和传递性�在三角形集中,三角形的相似关系S具有自反性、对称性和传递性�在平

面直线集中,直线的平行关系S也具有自反性、对称性和传递性;而直线的垂

直关系S只有对称性�在平面的点集中,点在某固定直线上投影相同的关系

S具有自反性、对称性和传递性�

·�·��� 二元关系及其性质

在集Y的幂集Q(Y)中,集合的包含关系“O�”是自反的、反对称的和传递

的�在由世界各国组成的集合中,国家间有共同陆地边界的关系是自反和对

称的�在人口集合中,父子关系S(即bSc表示b是c的父亲)显然没有自反性、

对称性和传递性�

��� 等价关系 等价类 商集

集合中的等价关系是把集合中元素分类的一种二元关系�要把集合中元

素分类,自然会提出一个问题 ——— 什么叫做两个元素“相同 ”(或“相等”,“一

样”)呢?事实上天下没有完全不能区别的两个事物,因此,所谓两个元素“相

同”通常只是指它们具有某种共性,或者说在某种意义下是“相同”的�例如:

在动物世界里从动物的性质来看,“人类”中的每个人都是“相同”的;如果在

人类中只考虑人的肤色,则所有黄种人都“相同”;如果只考虑人的性别,则男

人都“相同”�如果对正整数只考虑能否被�整除,则偶数都“相同”;如果对平

面上由直线围成的封闭图形只考虑图形的顶点数,则所有三角形都“相同”;如

此等等�这样,我们就可把两个元素“相同”也看成一种“关系”,这种“关系”当

然有别于其它二元关系�下面的定义刻画了表示两个元素“相同”这个关系的

特点�定义���(等价关系) 集合Y中的一个二元关系S称为等价关系,如果

S是自反的、对称的和传递的�例如: 数的相等关系、直线的平行关系、三角形的相似关系、多边形的

顶点数相等的关系、人口集合中肤色相同或性别相同的关系、平面点集的点在

固定直线上投影相同的关系都是等价关系�再看一个例子:

设b,c��[,规定bSc为“b,c模o同余”(记作:b(�c(npeo)),即b,

c分别被固定的正整数o相除后,其余数为相同的非负整数s(�0�s_�o)�整数集[的这个二元关系S 是[的一个等价关系�因为:(�)对任意的

b��[,均有b(�b(npeo);(�)若b(�c(npeo),则c(�b(npeo);(�)

若b(�c(npeo),c(�d(npeo),则必有b(�d(npeo)�此例如取o��,容易看出[的模�同余关系S把[划分为三个互不相

交的子集:

��{�ll��[},

·�· 第�章 集合 关系 运算 结构

��{�l��l��[},

��{�l��l��[}�它们分别是[中模�余�,模�余�,模�余�的所有整数组成的子集�显然任

一整数都属于且仅属于上述某一子集�这表明模�同余关系把全体整数分成

上述三类�要把集合中的元素按某种意义分类,自然要求不漏分任一个元素,也不会

把任一个元素分在两个不同类之中�下面两个定理表明,集合的等价关系可把

集合的元素分类�定义���(元素的等价和等价类) 设S是集Y中的一个等价关系,b,

c��Y,如果bSc,则 称b,c关于S是等价的,并把所有与b等价的元素集合

�b�{yySb,y��Y}

称为b关于S的等价类(简称b的等价类)�定理��� 设S是集Y中的一个等价关系,b,c��Y,则�b��c当且仅

当bSc�证 若�b��c,则由b���b��c得bSc;反之,若bSc,则对任意的

y���b,即ySb,由传递性得ySc,即y���c,故�bO��c;同理可证�cO��b,因此

�b��c�通常我们把b称为�b的代表元�由定理���可见,�b中任一元素c均可作

为�b的代表元�推论 若S是集Y中的等价关系,则对任意的b,c��Y ,只能是�b��c

或�b���c���证 设�b���c-�� ,则存在y���b���c,于是有ySb和ySc,再由S的

对称性得bSy,由S的传递性得bSc,从而�b��c�定理��� 若S是集Y中的一个等价关系,则Y中存在关于S的一族互

不相交的等价类

{�bj:bj��Y,j��J}

(其中J是所有等价类的代表元bj的下标j组成的指标集),使得Y���j��J�bj�

证 由于对任意的b,均有b���b,所以显然有Y���b��Y�b�根据定理���

的推论,这个式子右边的任意两个等价类不是相等就是互不相交,因此,取

�b(b��Y)中所有互不相交的�bj(j��J),其并集就等于Y�定理���表明,集Y可按等价关系S划分为一族等价类,使Y中任一元素

必属于唯一的一个等价类�

·�·��� 等价关系 等价类 商集

例如,正整数集按模�同余关系分为奇数和偶数两个等价类;整数集按模

o同余关系分为o个等价类�,�,�,⋯,o��;人口集合按性别关系分为男女

两个等价类�定义���H� 以集Y的等价关系S来划分的所有等价类作为元素所组成

的集合,称为Y关于S的商集,记作Y/S�例 整数集[关于模o同余关系S的商集

[/S�{�,�,�,⋯,o��}�平面直线集M关于直线平行关系S的商集

M/S�{�mm为过某个定点的直线}�设N 为清华大学学生集,规定bSc为b与c是同班学生,则

N/S�{y�,y�,⋯,yo},

其中yj是第j班全体学生的集合,o为清华大学学生班的总数�

���H� 序关系 偏序集 全序集 数学归纳法原理

序关系是对集合元素排序的一种二元关系�集合的元素可按大小、先后、重要性等原

则排序,它们的共同特性反映在下面两个定义中�定义���� 集Y中的一个二元关系S称为偏序关系,如果S具有自反性、反对称性

和传递性�偏序关系S常记作N�,bN�c读作“b小于或等于c”,具有偏序关系N�的集Y称为偏

序集,记作(Y,N�)�例 实数集中的0�关系,幂集Q(Y)中的O�关系,正整数集OH� 中的整除关系“ ”,

都是偏序关系�在一个集合中,可以定义不同的偏序关系�对于数集

B�{�,�,�,�,�,�,��,��},

虽然(B,0�)和(B,整除)都是偏序集,但二者有所不同,对于0�而言,B中任两个元素b,

c都有b0�c或c0�b,因此B中全部元素可按0�排序,即

�0��0��0��0��0��0���0����而对整除关系来说,B中任两个元素未必有bc或者cb的关系,因此,B只有某些

子集的元素可按整除关系排序�例如B的子集

B��{�,�,�,��}�

对整除关系有

��,��,����此外,由自反性和传递性还可得其它一些整除的情况�

·�· 第�章 集合 关系 运算 结构

定义���� 设(Y,N�)是一个偏序集,

(�)如果对任意的b,c��Y,均有bN�c或cN�b,则称(Y,N�)为全序集,N�为全序

关系;

(�)如果Y的任意非空子集都有最小元b(即对任意的y��B,均有b��B,bN�y),

则称(Y,N�)为良序集�良序集必是全序集,因为良序集中任两个元素b,c组成的子集必有bN�c或cN�b�例 (S,0�),([,0�)都是全序集,但不是良序集;(OH�,0�)既是全序集也是良序集�数学归纳法原理的基础是正整数集为良序集,它依据下面的定理�定理��� 设NO�OH�,如果���N,且当o����N时可推出o��N,则N�OH��证 设N��OH� a� N -�� ,则�� N�,由于 N�O�OH�,所以 N�必有最小数

b�N,于是b`��,b���N�,即b����N,如此由定理假设又得b��N,这与b�N 矛盾�故N���,即N �OH��

依据这个定理,要证明一个命题对所有正整数成立,只需证明:(�)命题对o��成立;

(�)若命题对l��成立,则命题对l也成立�这就是通常的数学归纳法�此外,数学归纳法

还有另一种形式,称为第二数学归纳法�第二数学归纳法原理 设Q(o)是与正整数有关的一个命题,如果:

(�)Q(o)对o��成立;

(�)假设Q(o)对任意的o _�l成立,则Q(o)对o �l也成立�那末命题Q(o)对一切正整数o都成立�

��� 运算与映射

中学数学对于数和函数作过各种运算,例如,数的四则运算、开方和求对

数等运算是由两个数或一个数按一定规则得到另一个数;又如,求两个正整数

b,c的最大公因数(b,c),最小公倍数[b,c],算术平均值(b�c)�

,最大值

nby(b,c),最小值njo(b,c)等,都是由两个数按一定规则确定第三个数;再

如求集Y的两子集B ,C的交或并,是在幂集Q(Y)中由两个元素依一定规

则得到第三个元素�可见,“运算”是十分广泛的,它反映了数学应用的广泛

性�下面对“运算“这个概念给出一般的定义�定义���� 设Y,Z,[都是非空集,所谓定义在Y,Z上取值于[的二

元运算“��”是一个法则,它使任意的y��Y和z��Z都有唯一的{��[与之

对应,记作y��z�{�如果Y�Z�[,则称这个二元运算为Y上的一个代

数运算,或说是Y上的封闭的二元运算�按照这个定义,读者不难定义o个集合上的o元运算和一个集合上的o

·�·��� 运算与映射

元运算�定义���� 设Y,Z是非空集,定义在Y上取值于Z的一元运算�是一

个法则,它使Y中每个元素�都有Z中唯一确定的元素�与之对应�这个一元

运算�也称为集合Y到Z的一个映射,记作

�:YA�Z,

并称�为�在�下的像,�为�在�下的一个原像,记作

�: A�� �,或�(�)���

称Y为�的定义域,并把Y中全体元素在�下的像的集合称为�的值域,或称

�的像,记作�(Y)或Jn�,即

�(Y)�{�(�)���Y}�集Y到它自身的映射,有时也称为Y的变换�

需要注意,�的像是唯一的,但�的原像不一定是唯一的�例� 设S是实数集,对任意的b,c��S,定义

b��c�(b,c),

则“��”是定义在S上取值于S�S的一个二元运算,也称它为“笛卡儿乘积”,

一般b��c-�c��b�定义在两个有限集合上的运算往往用一个表格来表示(最简单的例子是

九九表)�例� 自动售货机售货问题

自动售货机能接受币值为b,c的硬币,投入任两枚这种硬币,它按下表

出售商品�

H� b c

b 桔子水一瓶 糖一包

c 糖一包 冰淇淋一杯

即,bH�b�桔子水一瓶,cH�c�冰淇淋一杯,bH�c�cH�b�糖一包�所以

这架自动售货机售货是定义在硬币集 {b,c}上取值于食品集 {桔子水,糖,

冰淇淋}的一个二元运算�例� 开关电路 ——— 逻辑运算

在图���的电路中,开关L�,L�有“接通”和“断开(不通)”两种状态,电

路T也有“导通”和“不通”两种状态�两个开关处于任一状态都确定了T的一

·�· 第�章 集合 关系 运算 结构

种状态�这就定义了L�,L�状态集上的一个二元运算�如果用“�”和“�”分别

表示开关与电路“不通”和“通”,用“��”和“��”分别表示开关串联和并联的运

算,那末定义在开关L�,L�状态集{�,�}上的两种运算��,�� 的结果如下:

图���

“��”叫逻辑乘,也叫“与”运算;“��”叫逻辑加,也叫“或”运算�“与”、

“或”和“非”(即���,���)运算一起统称逻辑运算,它们是二值布尔代数

中的基本运算�例� 设Q(Y)是集Y的幂集,B,C ��Q(Y),则

B��C ,B��C ,Ba�C都是Q(Y)上的二元运算;�B是Q(Y)上的一元运算�集合的交、并、余(或差)

三种运算适合以下运算律:

(�)B��C�C��B ,B��C�C��B;(交换律)

(�)(B��C)��D�B��(C��D);

(B��C)��D�B��(C��D);(结合律)

(�)B��(C��D)�(B��C)��(B��D);

B��(C��D)�(B��C)��(B��D);(分配律)

(�)B��� �B;B��Y�B;(恒等律)

(�)B��� �� ,B��Y�Y;(零律)

(�)B���B�Y,B���B��;(互补律)

(�)�B�B;(否定律)

(�)B��C��B���C, B��C��B���C;(EfNpsboh 律)

(�)Ba�C�B���C�这些运算律可用运算的定义作推理证明,也可画图证明�图���是运算

·�·��� 运算与映射

律(�)与(�)的示意图�

图���

我们用推理证明 B��C��B���C�设y��B��C,则y�B��C,即y不同属于B,C,所以y�B或y�

C,从而y���B或y���C,即y���B���C,故B��CO��B��C;反之,若y���B ���C,则y�B或y�C,所以y�B��C,即y��B��C,故�B���CO�B��C;于是B��C�B��C�

下面我们举一些映射的例子,介绍单射(内射)、满射和双射的概念,定义

映射相等和乘法(或称合成)运算,并讨论映射可逆的充要条件�例� 定义在(��,��)上的一元实值函数z�g(y)是实数集S到

自身的映射�例� 对任意的o��[,定义�(o)��o ,则�是整数集[到非负偶数

(包括数零)集F的映射�例� 设B�{b,c,d},C�{�,�,�,�},定义

g: A�b �, A�c �, A�d �,

h: A�b �, A�c �,

则g是B到C的映射,但h不是B到C的映射,只是B 的子集Y�{b,c}

到C的映射�例� 设Y是清华大学历届学生组成的集合,OH� 是正整数集,每个学生

对应到他的学号是Y到OH� 的一个映射�例� 设Y是某班全体学生的集合,N 是由��个月份组成的集合,每个

人对应于他的生日月份是Y到N 的一个映射�如果集Y的人数大于��,那么

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

至少有两个人的生日对应于同一个月份�这就是所谓的狄利克雷(Ejsjdimfu)

抽屉原理(或称鸽舍原理)�例�� 幂集Q(Y)上的“交、并”运算都是集合Q(Y)�Q(Y)到Q(Y)

的映射,但不是Q(Y)到Q(Y)的映射�例�� 在集Y上,把Y中的每个元素都映射为自身的映射J(即���Y,

J(�)��),称为Y上的恒等映射(或单位映射)�定义���� 设�是Y到Z的一个映射,如果:

(�)对任意的��,����Y,当��-���时,�(��)-��(��),则称�为单射

(或称内射,jofdujpok );

(�)�(Y)�Z,即对于任意的���Z,存在���Y,使�(�)��,则称

�为满射(或称映上的,tvsfdujpok );

(�)�既是单射又是满射,则称�为双射(或称一一对应,cjfdujpok )�例如,在前面的例子中,例�是满射而不是单射;例�是单射而不是满射;

例�(人数大于��)不是单射,也可能不是满射;例�的g既不是单射,也非满

射;例��是双射�有限集到有限集的映射的三种情况,可用图���示意�

图���

定义���� 如 果�,�都 是Y A� Z 的 映 射,且 对 任 意 的� �� Y ,

�(�)��(�),则称����定义���� 设�和�分别是集合B到C和C到D的两个映射,我们规定

其乘积

(��)(�)��(�(�)),���B�显然��是集合B到D的一个映射�

对于集Y到Z的任一个映射�,显然有

·��·��� 运算与映射

JZ���JY ��,

其中JY和JZ 分别是Y和Z的恒等映射(即单位映射)�映射的乘法满足结合律,即

如果�,�,�分别是BA�C ,CA�D ,DA�E的映射,则

�(��)�(��)��事实上,上式两边都是BA�E的映射,而且对任意的���B,均有

[�(��)](�)��[(��)(�)]��[�(�(�))]

�(��)(�(�))�[(��)�](�),

因此,�(��)�(��)�成立�但映射的乘法不满足交换律,例如,g(y)�tjoy,h(y)���y,则

h(g(y))���tjoy;g(h(y))�tjo(��y),

故hg-�gh�定义���� 设�是集Y到Z的一个映射,如果存在集Z到Y的一个映

射�,使

���JY 和 ���JZ同时成立,则称�是可逆映射(简称�可逆),并称�为�的逆映射,记作

������定义中�与�的地位是相同的,此时也说�可逆,且������如果映射是可逆的,则其逆映射是唯一的�事实上,如果��和��是�的两

个逆映射,即

��������JY 且 ��������JZ,

则有

�����JZ ���(���)�(���)���JY�����,

故�的逆映射是唯一的�定理��� 集Y到Z的映射�可逆的充要条件是�为双射�证 条件是必要的:设�可逆,即有唯一的�:ZA�Y,使

���JY 且 ���JZ�于是,对任意的���Z ,��JZ(�)�(��)(�)��(�(�)),由于�(�)��Y,

故�是满射;再则,若�(��)��(��),就必有���JY(��)��(�(��))��(�(��))�JY(��)���,故�是单射;从而�是双射�

条件是充分的:事实上,当�为双射时,对任意的���Z,存在唯一的���Y,使�(�)��,于是可定义�:ZA�Y,使得�(�)��,其中�是Y中与

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

�一一对应的元素,这样,对任意的���Y ,都有

(��)(�)��(�(�))��(�)��,

所以,���JY;同样,对任意的���Z,都有

(��)(�)��(�(�))��(�)��,

所以,���JZ�因此�是可逆的�例�� 设g和h都是[到自身的映射,且

g: A�o o��,h: A�o o��,

则(gh)(o)�(hg)(o)�o,即gh和hg都是[的恒等映射,所以g,h都是

可逆的,它们互为逆映射�定义���� 设�是集Y到Z的一个映射,C是Z的一个子集,我们把Y

的子集

B�{����Y且�(�)��C}

称为C在�下的完全原像(或逆像),记作���(C)�特别,当C�{�}时,���(�)表示�在Y中的所有原像的集合�这里用记

号���(�)并不意味着映射�是可逆的�显然,如果�不是满射,则存在���Z,使得���(�)为空集;如果�不是

单射,则存在���Z,使得集合���(�)至少含两个元素:如果�是双射,则对

任意的���Z,集合���(�)都含且只含Y中的一个元素�下面,我们介绍:命题运算,几何向量的运算,o元向量与矩阵的某些运算

及高斯消元法�它们都是大学数学的基础知识�

��� 命题运算 量词

所谓命题,就是一个陈述句�严格地说,命题不是陈述句本身,而是陈述

句所表达的含义,因为“语句”是语言学的概念,而“命题”是逻辑学的概念�然而“命题”是由“语句”表达的,因此在不致引起误解的情况下,我们就把陈述

句叫做命题�作为命题的陈述句,它所使用的词和词组的含义都是明确的�命题所陈述

的事理总是真的或假的,不能模棱两可�如“����是很大的数”,“南京靠近上

海”,“保定是一个大城市”等语句的含义都有某种不确定性,它们都不是传统

逻辑学中的命题�感叹句、疑问句、祈使句都不能作为命题�如“天气真好啊!”“今天上课

吗?”“请坐下!”都不是命题,这些句子的含义无所谓真假�

·��·��� 命题运算 量词

下面的语句:(�)�_��;(�)�1��;(�)�_��且��;(�)他学英语或者他

学法语;(�)如果天不下雨,我就出去散步;(�)三角形三边相等当且仅当其

三内角相等都是命题�其中(�),(�)是简单命题;(�)Y(�)都是由两个命题

与逻辑联结词组成的复合命题,实际上就是命题的二元运算�一个命题的否定

也是一个命题,命题(�)是命题(�)的否定,这是命题的一元运算�定义���� 设Q是命题集合,q,r��Q,我们规定:

q��r 表示命题“q且r”;

q��r 表示命题“q或r”;

qA�r 表示命题“若q则r”(或说q蕴涵r);

qk�r 表示命题“q当且仅当r”(或说q与r等价);

�q 表示命题“非q”,即q的否定命题���,��,A�,k� 是命题的二元运算,�是命题的一元运算�在逻辑学中它们称

为命题的联结词,��叫合取词,��叫析取词,A�叫蕴涵词,k� 叫双蕴涵词或

等值词,�叫否定词�由于每个命题的含义或是真的,或是假的,所以可说命题有一个值,称为

真值�真值只取“真、假”(或“�,�”)两个值,它与开关电路中开关状态只有“通

和不通”是类似的�等价命题q,r(即qk�r),其真值是相同的�一般把恒取“�”的命题叫“恒真命题”,恒取“�”的命题叫“恒假命题”�下面用表格分别表示二元运算“��”,“��”,“A�”的运算规则:

注意:(�)对于命题qA�r,当前题q为假时,不管r是真还是假,都不好

说qA�r是假的,因而把它规定为真的,这称为“善意的推定”�例如,“若太阳

从西边出,则人永不死”,“若太阳从西边出,则人都要死”,它们都不好说是假

的,按“善意推定”的原则,它们都是真的�qA�r也可说q是r成立的充分条

件,r是q成立的必要条件�为了省略命题运算中的一些括号,我们规定运算的先后次序为 �,��,

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

��,A�,k��(�)由运算表可以看出:“qA�r”和“�r��r”两个命题取值完全相同,

因此它们是一样的�(�)设u是一个恒真命题,g是一个恒假命题,则对一切q:

u��q�u,u��q�q;

g��q�q,g��q�g�(�)由上述运算表,容易得到下列结论:q���q�g,q���q�u(这

两个等式分别被称为“矛盾律”和“排中律”)�由五种命题运算的法则,容易证明命题运算具有以下的运算律:

(�)q��rk�r��q,q��rk�r��q;(交换律)

(�)(q��r)��sk�q��(r��s),

(q��r)��sk�q��(r��s);(结合律)

(�)q��(r��s)k�(q��r)��(q��s),

q��(r��s)k�(q��r)��(q��s);(分配律)

(�)�(�q)k�q;(否定律)

(�)qA�rk� �rA��q,qA�rk� �q��r;

(�)�(q��r)k� �q���r,�(q��r)k� �q���r�证 我们只证明(�)�

(�)命题qA�r为假,当且仅当命题q真r假;�rA��q为假,当且仅当�r真�q假 ,即q真r假;�q��r为假,当且仅当�q与r都假,即q真r假�这三个命题真值相同,

所以它们是等价的�例如,“如果下雨,我就带伞”等价于“如果我不带伞,就不下雨”,也等价于“要么不下

雨,要么带伞”�但不等价于“如果不下雨,我就不带伞”�一般而论,命题qA�r与命题�q

A��r是不等价的�我们用反证法证明一个数学定理“若q则r”,就是证明它的等价命题(即逆否命

题)“若非r,则非q”�再如:若q则r,且若s则q,可推出若s则r,这样的命题,符号形式为

(qA�r)��(sA�q)A�(sA�r),

这是一个真值为恒真的命题�(它就是有名的“三段论”)�因为:(qA�r)��(sA�q)为真,

当且仅当(qA�r)和(sA�q)都真,即�q��r和�s��q都真�此时,若s为真(即�s为假),则q为真(�q为假),从而必有r为真,即(sA�r)为真;若s为假,r可真可假,但

(sA�r)为真,故是恒真命题�读者不妨利用运算律推演这个式子�对比一下集合运算与命题运算所适合的运算律,读者不难发现,如果把命题的五种运

算�,��,��,A�,k� 依次对应于集合的余,交,并,包含和相等,则它们的运算律是“相同

的”�

·��·��� 命题运算 量词

最后再介绍一下量词a�,��有些命题,常用两种断言:“集Y中每个元素具有性质q”;“集Y中有一个

元素y具有性质q”�为表述简便起见,我们用逻辑符号:“a�y��Y,q”(或

“(a�y��Y)q”);“�y��Y,q”(或“(�y��Y)q”)来分别表示�这里,

“a�y”表示“对于任意的元素y”,“a�”叫做全称量词,它是Boz字头B的倒

写;“�”叫做存在量词,表示“存在”,它是Fyjtu字头F的反写�例如对于集合

B与C,BO�C的含义是“若b��B,则b��C”,即“a�b(b��BA�b��C)”

也可表述为“a�b��B,b��C”�BO�C的否定为B�C,其含义是“�b��B,b�C”�

“每一个(a�)人都要死”的否定命题为“有(�)人不会死”�“甲班有(�)学生得奖学金”的否定命题为“甲班所有学生(即任何一个

学生)都未得奖学金”�一般,含有量词的命题的否定命题,满足下面两个基本的等价规则:

非(a�y��Y)qk�(�y��Y)非q, (���)

非(�y��Y)qk�(a�y��Y)非q� (���)

数学中,常遇到含有一个或多个量词的命题,借助于上述规则便能对其

否命题作机械运算�例如:

设Y是甲班学生的集合,Z是乙班学生的集合,q(y,z)表示y和z同姓

(其中y��Y,z��Z),则命题(a�y��Y)(�z��Z)q(y,z)表示“所有甲

班的学生都能在乙班找到与之同姓的学生”�按上述(���),(���)规则,由

非(a�y��Y)(�z��Z)q(y,z)k�(�y��Y)非(�z��Z)q(y,z)

k�(�y��Y)(a�z��Z)非q(y,z)

可知,上述命题的否命题的含义为“甲班有一学生与乙班所有学生都不同姓”�例如,数列{vo}以b为极限,用��O语言可定义为:

“对任意的�`��,存在O`��,使对任何o`�O,恒有 vo�b _��”,这

可用多个量词组合为命题J:

(a��`��){(�O`��)[(a�o`�O)vo�b _��]},

于是数列{vo}不以b为极限的命题为非(J),即

非(J)k�(��`��)非{(�O`��)[(a�o`�O)vo�b _��]}

k�(��`��){(a�O `��)非[(a�o`�O)vo�b _��]}

k�(��`��){(a�O`��)[(�o`�O)非 vo�b _��]}

k�(��`��){(a�O `��)[(�o`�O)vo�b 1��]},

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

即,“存在�`��,对任何O`��,存在o`�O,使 vo�b 1���”

��� 几何向量的运算 空间直角坐标系

描述质点的位移、速度、加速度和作用于物体的力、力矩等类型的量,既要

指出大小,也要指明方向�这种既有大小又有方向的量称为向量(或矢量)�向量有两个特征 ——— 大小和方向�方向是一个几何性质,它反映从一点

P到另一点Q的顺序关系,而两点之间又有一个距离,因此,常用有向线段 A�PQ表示向量,用其长度 A�PQ 表示向量的大小(或称为向量的模),用箭头 A� 表

示向量的方向,即端点PA�Q所指的方向,端点P,Q分别叫向量的起点和终

点�今后也常用黑体字b,c,y等表示向量�用有向线段表示的向量常称为“几何向量”�我们在空间所有几何向量组

成的集合中定义一个二元关系S�bSck� b � c ,b"�c且方向相同�

容易验证S是一个等价关系�这里不考虑b,c向量的起点(通常把不考虑起

点的几何向量称为自由向量),只要它们的大小相等、方向相同就称其为等价

向量(或相等的向量,即b�c)�等价关系S把空间几何向量分为等价类,每

个等价类中可任取一个代表元素(向量),为方便起见,我们选以定点P 为起

点的向量为代表元(如图���中 A�PQ和 A�PR 分别是两个等价类的代表元向

量)�以后如不指明空间几何向量的起点都认为起点在原点�

图���

与b大小相等、方向相反的向量称为b的反向量(或负向量),记作

�b(如图���所示)�显然,

�(�b)�b�

·��·��� 几何向量的运算 空间直角坐标系

大小为零的向量叫零向量,记作��零向量没有确定的方向,或说方向任意�向量的基本运算有加法、数量乘法(即数乘向量)、内积、外积和混合积,它

们主要源于力学问题�

图��� 图���

����� 向量的加法

根据质点由P点移至Q�点、再由Q�点移至Q点所得总位移 A�PQ,以及由

两个力求合力的方法,我们定义向量的加法如下�定义���� 设b�PQA��,c�PQA��,我们规定b�c是一个向量,它是以

b,c为邻边的平行四边形中由点P 与其相对的顶点Q 联成的向量 A�PQ,即

b�c� A�PQ(见图���)�在图���中Q�A�Q�PQA���c,所以,将b的终点与c的起点重合在一起,

则由b的起点与c的终点相连的向量 A�PQ�b�c,这叫求两个向量之和的三

角形法(见图���中右边的三角形部分)�定义中求b�c的方法叫平行四边

形法�按定义作图,容易证明向量加法满足下列运算规则:

(�)b�c�c�b;(交换律)

(�)(b�c)�d�b�(c�d);(结合律)

(�)b���b;

(�)b�(�b)���由于向量加法满足结合律,所以多个向量相加,不必加括号指明相加的次

序�求多个向量b�,b�,⋯,bo之和,可利用三角形法,将bj的终点与bj��的起

点重合在一起(j��,�,⋯,o��),则b�的起点与bo的终点相连并指向后者

的向量等于b��b��⋯�bo�当o��时,如图���所示�向量运算常要用到加法的逆运算,即向量的减法,我们定义

b�c�b�(�c)�求b�c的方法,见图����

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

根据加法的运算规则和减法的定义,容易得到向量方程b�y�c的解为

y�c�b�

图��� 图���

注意,不要把向量与数混淆�例如实数是有序的,即可比大小,而向量式

子b_�c无意义�当然,向量的长度可以比大小,根据三角形两边长度之和不

小于第三边长度,b,c,b�c的长度满足三角不等式

b�c 0� b �c �

����� 向量与数量的乘法(简称数乘向量)

如果b"�c且c ��b ,那么当b,c同向时,c可表示为�b;当b,c反向时,c可表示为��b�一般为了描述向量的“伸缩”,我们定义实数与向量

的乘法(也称数量乘法)如下:

定义���� 设���S,定义�与b的乘积�b 是 一 个 向 量,其 大 小

�b � � b ;其方向为:�`��时,�b与b同向,�_��时,�b与b反向�由数乘向量的定义,容易证明数乘向量的运算满足以下规则:

(�)�b�b,(��)b��b;

(�)�(�b)�(��)b;

(�)(���)b��b��b;

(�)�(b�c)��b��c�长度为�的向量叫做单位向量�由于单位向量的长度已确定,所以,单位

向量的特征就是方向�因此一个单位向量确定了一个方向�反之,给定一个方

向,在这个方向上也唯一确定一个单位向量�也就是说,方向与单位向量是一

一对应的�

当b-��时,bb

是b的方向的单位向量,记作b�,于是b� bb�,这就

·��·��� 几何向量的运算 空间直角坐标系

明确表达了一个向量的长度和方向�但要注意,式子�b

,cb

(其中b,c是向量)

都没有意义�

����� 向量的内积

大家知道力G作用在质点上使之产生位移T,力所作的功为 G Tdpt�,

其中�为G与T的夹角(如图���)�

图���

两个向量按这样的算式对应于一个实数,这在很多问题中都有用�于是

我们把它抽象为两个向量的内积(或点积,或数量积)�定义���� 向量b与c的内积b·c是一个实数,且

b·c� b cdpt�,

其中�为b与c的夹角(以后�也常记作〈b,c〉),并规定�0��0���若b,c有

一个是零向量,则规定b·c���由定义可见,非零向量b,c的内积b·c`��(_��)当且仅当〈b,c〉为锐

(钝)角;b·c��当且仅当b!�c(也说b与c正交)�由于零向量与任何向量

的内积为零,所以也说零向量与任何向量正交�由内积的定义可得:

b � b·� b;

dpt〈b,c〉� b·cb c � (���)

b·b也常记作b�,所以,b ��b��向量的内积满足以下运算规则:

(�)b·c�c·b;(交换律)

(�)(�b)·c��(b·c);

(�)(b�c)·d�(b·d)�(c·d);(分配律)

(�)b·b1��,等号成立当且仅当b���由定义容易证明规则(�),(�),(�)�下面证明(�),我们仅就夹角〈b,d〉,

〈c,d〉,〈b�c,d〉均小于��

的情形给以证明�如图�����

记b� A�PB,c� A�BC,d� A�PD,则b�c� A�PC�

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

(b�c)·d� b�c ddpt�� A�PR d �( A�PQ � A�QR )d

� A�PQ d � A�QR d �b·d�c·d对于一般情形的证明,需要利用向量的投影定理(略去)�

图���� 图����

要注意由b·c��不能得到b��或c��,也不能由b·c�b·d推

出c�d�例� 利用向量内积证明恒等式:

b�c ��b�c ���b ���c �,

即平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(如图����)�证 b�c ��b�c �

�(b�c)·(b�c)�(b�c)·(b�c)

�(b·b��b·c�c·c)�(b·b��b·c�c·c)

��b·b��c·c��b ���c ��其中第二个等号成立是利用了内积运算规则(�),(�),(�)及向量减法定义和

�c�(��)c�

����� 向量的外积

除了内积,向量还有另一种乘法,称为向量的外积(也称叉积或向量积)�它的定义如下:

定义���� 向量b与c的外积b�c是一个向量,其长度为

b�c � b ctjo〈b,c〉�b�c的方向为:(�)b�c与b,c都垂直;(�)b,c,b�c按“右手法则”确

定b�c的指向,即把b,c,b�c的起点放在一起,将右手的四指(不含拇指)

伸开由b转到c(转过的角度为〈b,c〉),此时张开的拇指(与四指垂直)的指向

就是b�c的方向(这种由b,c确定b�c的指向的方法称为“右手法则”)�若

b,c有一个是零向量,规定b�c���由定义可见,b�c 的几何意义是以b,c为邻边的平行四边形的面积�

·��·��� 几何向量的运算 空间直角坐标系

向量的外积满足以下运算规则:

(�)b�c��(c�b);

(�)(�b)�c��(b�c);

(�)(b�c)�d�b�d�c�d�其中(�),(�)容易证明,(�)表示叉积对向量加法满足右分配律,我们略去它

的证明�读者不难利用上述三条运算规则,证明下列等式:

b�(�c)��(b�c);

b�(c�d)�b�c�b�d�下面我们再介绍向量外积的一个物理背景�

设有一个圆锥形刚体(所谓刚体就是在运动过程中不变形的物体)以等

角速度�按逆时针方向绕中心轴M转动,�的方向按“右手法则”规定为伸开

的拇指的指向(如图����所示)�此时,点Q的线速度w的大小为

� P�A�Q � � A�PQtjo�� �� A�PQ �(其中��〈�,A�PQ〉),w的方向恰为�� A�PQ的方向,所以

w��� A�PQ�这里的参考点P可在轴M上任选,如以P�为参考点,则

w���P�A�Q�

图���� 图����

����� 向量的混合积

定义���� 对向量b,c,d,先将c,d作外积,再将其与b作内积,即

b·(c�d),

称为向量的混合积�向量b,c,d的混合积是一个数量,它的绝对值 b·(c�d) 的几何意义

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

是以b,c,d为邻边的平行六面体的体积(图����)�事实上,

W�高�底面积

�i(c�d) � b dpt� (c�d) � b·(c�d),

其中���(�,�),当�`� ��时,dpt�_��,i� b dpt� �

向量内积和外积所满足的运算规则,对混合积中相应的运算也都适用,例

b·(d�c)�b·(�c�d)��b·(c�d)�向量的混合积还有下面重要的性质(证明见本节�����段)

b·(c�d)�c·(d�b)�d·(b�c)

根据向量的混合积的定义,读者不难证明,向量b,c,d共面的充要条件

是,

b·(c�d)���向量共面的另一个充要条件是,存在不全为零的常数l�,l�,l�,使

l�b�l�c�l�d���几何向量的运算实际上是把有向线段作为运算对象�向量的加法和外积

是定义在向量集W上取值于W的二元运算;内积和混合积分别是定义在W上

取值于实数集S的二元运算和三元运算;数量乘法是定义在S�W上取值于

W的一元运算�虽然我们由五种运算的定义,得到了相应的运算规则,但以有

向线段作运算却很不方便�下面我们进一步讨论如何把几何向量的运算化为数的代数运算�为此要

引入空间直角坐标系中点的坐标概念,并给出几何向量的坐标表示式�

����� 空间直角坐标系与几何向量的坐标表示式

大家知道,平面上点的位置可与两个实数组成的有序数组(y,z)一一对

应�同样空间中点的位置可与三个实数组成的有序数组(y,z,{)一一对应,

其对应规则如下:

在空间中取交于P点的三条互相垂直的有向直线(取定它们的正方向并

给定长度单位),排定次序,依次记作Py,Pz和P{,它们就构成一个空间直角

坐标系,记作Pyz{,点P叫做坐标原点,三条互相垂直的有向直线叫做坐标

轴,依次称为y,z和{轴,每两条轴所决定的平面叫做坐标平面,三个坐标平

面分别垂直于{轴,y轴,和z轴�常用的空间直角坐标系是“右手系”,即Py,

Pz和P{的方向符合“右手规则”�确定一个点Q在空间直角坐标系Pyz{中坐标的方法为:过点Q作平行

·��·��� 几何向量的运算 空间直角坐标系

图����

于坐标平面的三个平面(图����),它们分别与y,z,{轴交于点Qy,Qz,

Q{(即点Q在三个坐标轴上的投影点),它们在y,z,{轴上的坐标依次记作

y,z,{,这样,点Q就唯一地确定了一个三元有序数组(y,z,{);反之,任给一

个三元有序数组,按同样的含义也唯一确定了Pyz{中的一个点�因此在空间

直角坐标系中,点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系�于是我们把与

点Q对应的(y,z,{)叫做点Q在Pyz{中的坐标,记作Q(y,z,{)�例如,在Pyz{中点Q(�,�,�)与点R(��,�,��)的位置如图����所

示�下面,我们介绍空间直角坐标系中几何向量的坐标表示式�为此先把y,

z,{轴的正方向依次对应于三个单位向量f�,f�,f�(或表示为j,k,l),并称之

为基本向量,它们具有性质:fj·fj��,fj·fk��(j-�k),j,k��,�,��任一

个空间几何向量都可用基本向量的数乘和加法运算来表示�

图����图����

设s� A�PQ,点Q(y,z,{)在y,z,{轴上的投影点为Q�,Q�,Q�,点Q在

坐标平面yPz上的投影点为R(图����),于是,按几何向量的加法和数乘,

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

s� A�PQ�PQA���Q�A�R� A�RQ

�PQA���PQA���PQA���yf��zf��{f�� �上式称为基本向量组{f�,f�,f�}的线性组合,其中系数y,z,{恰是点Q的坐

标�我们把这个三元有序数组(y,z,{)也称为向量关于基本向量组{f�,f�,

f�}的坐标(简称向量的坐标)�所以向量(起点在原点)的坐标与向量终点Q的坐标是一样的�

零向量关于基本向量组{f�,f�,f�}的坐标为(�,�,�),即

yf��zf��{f���k�y�z�{��� �事实上,当后者成立时,前者显然成立;反之,当前者成立时,必有

(yf��zf��{f�)·f���·f���,

于是

yf�·f��zf�·f��{f�·f��y���同理可证,z��,{���

利用命题�易知,两个相等向量的坐标也是相同的,即

若b�b�f��b�f��b�f�,c�c�f��c�f��c�f�,则

b�ck�bj�cj (j��,�,�)� �事实上,b�c即b�c��,而

b�c�(b��c�)f��(b��c�)f��(b��c�)f�,

于是由命题�立即可得命题��

图����

对于起点不在原点的向量Q�QA��,如果点Q�,Q�的坐标分别为(y�,z�,

{�),(y�,z�,{�)(如图����所示),则

Q�QA���PQA���PQA���(y�f��z�f��{�f�)�(y�f��z�f��{�f�)

�(y��y�)f��(z��z�)f��({��{�)f�� �

·��·��� 几何向量的运算 空间直角坐标系

这个向量与起点在原点P,方向及大小都相同的向量 A�PQ是被看作相等的,即

Q�QA��� A�PQ�yf��zf��{f��根据命题�就有y�y��y�,z�z��z�,{�{��{�,因此,我们把�式

中的三元有序数组(y��y�,z��z�,{��{�)叫做向量Q�QA��关于基本向量组

{f�,f�,f�}的坐标�建立了几何向量关于基本向量组{f�,f�,f�}的坐标概念,可把

b�b�f��b�f��b�f�记作b�(b�,b�,b�),并称其为向量b的坐标表示式�例如:

f���f���f���f��(�,�,�);

f���f���f���f��(�,�,�);

f���f���f���f��(�,�,�);

���f���f���f��(�,�,�)�

����� 向量五种运算在坐标表示式下的算式

引入了向量的坐标表示式,就可把向量的五种运算化为向量坐标的代数

运算,它们的计算公式如下:

设b�(b�,b�,b�),c�(c�,c�,c�),d�(d�,d�,d�)则

(�)b�c�(b��c�,b��c�,b��c�);

(�)�b�(�b�,�b�,�b�);

(�)b·c�b�c��b�c��b�c�;

(�)b�c�(b�c��b�c�,b�c��b�c�,b�c��b�c�);

(�)b·(c�d)�b�(c�d��c�d�)�b�(c�d��c�d�)�b�(c�d��c�d�)�其中(�),(�)式常用三阶行列式表示为:

b�c�

f� f� f�b� b� b�c� c� c�

�b� b�c� c�

f��b� b�c� c�

f��b� b�c� c�

f�;

b·(c�d)�

b� b� b�c� c� c�d� d� d�

�b�c� c�d� d�

�b�c� c�d� d�

�b�c� c�d� d�

其中二阶行列式的定义为:

b cd e

�be�cd�

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

(关于o阶行列式的定义、性质及其计算,将在第�章详述�)(�),(�)式的证明留给读者练习,下面证明(�),(�),(�)式:

b·c�(b�,b�,b�)·(c�,c�,c�)

�(b�f��b�f��b�f�)·(c�f��c�f��c�f�)

�b�c�f�·f��b�c�f�·f��b�c�f�·f��b�c�f�·f��b�c�f�·f��b�c�f�·f��b�c�f�·f��b�c�f�·f��b�c�f�·f�

�b�c��b�c��b�c�;

b�c�(b�f��b�f��b�f�)�(c�f��c�f��c�f�)

�b�c�f��f��b�c�f��f��b�c�f��f��b�c�f��f��b�c�f��f��b�c�f��f��b�c�f��f��b�c�f��f��b�c�f��f��

由于 f��f� ��,所以f��f���;同理f��f���,f��f���;f��f���,f��f�与f�同向,所以f��f��f�,f��f���f�;同理f��f��f�,

f��f���f�,f��f��f�,f��f���f��于是

b�c�(b�c��b�c�)f��(b�c��b�c�)f��(b�c��b�c�)f�利用(�),(�)的结论,即得(�)式�

利用(�)的结论,读者容易证明混合积的下列性质:

b·(c�d)�c·(d�b)�d·(b�c)�根据内积定义和上述式(�),对于向量b�(b�,b�,b�),易得:

b � b·� b� b���b���b� ��;

dpt〈b,f�〉�b·f�b f� �

b�b���b���b� �

��

同理

dpt〈b,f�〉�b�

b���b���b� ��

dpt〈b,f�〉�b�

b���b���b� ���

因此,给定了向量b的坐标表示式,既确定了b的长度,也确定了b与三个坐

标轴之间的夹角,依次记作�,�,�,从而确定了b的方向�向量b�(b�,b�,b�)与三坐标轴之间的夹角�,�,�称为b的方向角,

dpt�,dpt�,dpt�称为b的方向余弦,其坐标表示式为:

dpt��b�

b���b���b� ��

, dpt��b�

b���b���b� ��

·��·��� 几何向量的运算 空间直角坐标系

dpt��b�

b���b���b� ���

显然

dpt���dpt���dpt�����例� 已知:点Q�(�,�,�),Q�(�,�,��),Q�(�,�,�)�试求

(�)>�Q�Q�Q�的面积;

(�)与点Q�,Q�,Q�所确定的平面相垂直的单位向量及其方向余弦�解 取b�Q�QA���(���)f��(���)f��(����)f��(�,�,��),

c�Q�QA���(���)f��(���)f��(���)f��(�,�,�)�(�)>�Q�Q�Q�的面积

T� b�c� �

(��,��,�)� ���

(��)��(��)���� ������

(�)b�c与c�b(即�b�c)垂直于点Q�,Q�,Q�所确定的平面,记

d�b�c,则

d��(b�c)b�c �

����

,�����

,��( )��

�d�������

,�����

,��( )��

是所求的两个单位向量,它们的方向余弦分别为:

dpt�� ����

,dpt�������

,dpt�� ����

dpt���� ����

,dpt�������

,dpt���� ����

��� o元向量的线性运算 高斯消元法

在很多实际问题中,有些研究对象也可用多个数组成的有序数组来描

述�例如:

由o个未知数y�,y�,⋯,yo 组成的o元一次方程式

b�y��b�y��⋯�boyo�c可用其系数及常数c排成的有序数组(b�,b�,⋯,bo,c)来表示�

按升幂排成的o次多项式

Q(y)�b��b�y�b�y��⋯�boyo

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

也可用其系数组成的o��元有序数组(b�,b�,b�,⋯,bo)来表示�在由n个节点和o条支路组成的电路中,n个节点的电位和o条支路的

电流也分别可由n 元和o元有序数组来描述�定义���� 由o个数b�,b�,⋯,bo组成的有序数组称为o元向量,记作

(b�,b�,⋯,bo),其中bj称为o元向量的第j个分量�如果bj(j��,�,⋯,o)

是实(复)数,叫做实(复)向量�如果o个分量全为零,叫做零向量�全体o元

实向量组成的集合记作So�o元向量可以看成是空间几何向量(三元向量)的推广�因此,可把几何向

量在坐标表示式下相等及加法和数乘运算推广到o元向量�以后常用�,�,�等表示o元向量,用�表示零向量�

定义���� 设��(b�,b�,⋯,bo),��(c�,c�,⋯,co),�是一个数,我

们定义:

���当且仅当bj�cj, j��,�,⋯,o;

����(b��c�,b��c�,⋯,bo�co);

���(�b�,�b�,⋯,�bo)�其中���,��分别称为�与�之和及数�与�之乘积�

显然,o元向量的加法与数量乘法也满足几何向量相应的运算规则�向量

的加法与数量乘法统称为向量的线性运算�在下一章还将定义o元向量的内

积运算�下面介绍高斯消元法�用高斯消元法求解o元一次方程的联立方程组(以后常称o元线性方程

组),是用规范化的加减消元法将方程组化为容易求解的同解方程组,从而求

得原方程组的解�例� 求解三元一次方程组

y���y���y��� �

�y���y���y���� �

��y���y����y�����

� �解 这里用高斯消元法,其消元步骤如下:

先将方程�分别乘(��)和�加到方程�,�上去,消去方程�,�中的

y�,得

��y����y���, �

y���y��� �

·��·��� o元向量的线性运算 高斯消元法

(这里容易证明:满足方程�,�的解必满足方程�,�,反之亦然;同理,�,

�与�,�也同解;从而�,�,�与�,�,�是同解方程组)�然后,将方程

�乘�/�加到方程�上去,消去方程�中的y�,得

�y��� �同样可证,方程组 �,�,� 与原方程组也是同解方程组�于是,由 � 得

y����,将其代入�得y����,再将它们代入�得y����所以原方程

组的解为y���,y����,y�����对于一般的o元线性方程组(其方程个数n 不一定等于未知元个数o)

b��y��b��y��⋯�b�oyo�c�b��y��b��y��⋯�b�oyo�c�

⋯⋯ (���)

bn�y��bn�y��⋯�bnoyo�c

� n

(其中bjk,cj(j��,⋯,n;k��,⋯,o)是已知数,y�,⋯,yo是未知元),用高

斯消元法求解,就是把方程组变为易于求解的同解方程组来求解,还可以判定

(���)是有唯一解,无穷多解,还是无解�所谓消元就是把某些未知元的系数

化为零�因此,为书写简便,可省略未知元,把方程组(���)中每个方程的o个系数和等号右边的常数看成一个o��元向量�这样,方程组(���)就对应

于下列n 个o��元向量(称为行向量)

�j�(bj�,bj�,⋯,bjo,cj),j��,�,⋯,n所排成的一个矩形数表

b�� b�� ⋯ b�o c�b�� b�� ⋯ b�o c�… …

bn� bn� ⋯ bno c

�n

����…

�n

� (���)

这种由n�(o��)个数排成n个(横)行、o��个(竖)列的矩形数表

称为n�(o��)矩阵�上述矩阵(���)称为方程组(���)的增广矩阵,它

常记作(B,c),其中

B�

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

… …

bn� bn� ⋯ b

�no

,c�

c�c�…

c

�n

并称B为方程组(���)的系数矩阵�再把o个未知元y�,y�,⋯,yo记为o元

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

列向量

Y�(y�,y�,⋯,yo)U�

y�y�…

y

�o

如此,我们可把方程组(���)简记为

BY�c� (���)H�

用高斯消元法求解方程组(���),其消元步骤可以简化到在增广矩阵

(���)上进行�一般来说,其消元过程就是对矩阵(���)的行向量��,��,

⋯,�n 作以下三种运算:

(�)以非零常数乘(���)中的某一行(即o��元向量);

(�)将(���)中某行乘以非零常数并加到另一行上去;

(�)将(���)中某两行对换位置�如果把所有的n�(o��)矩阵组成的集合记作Nn�(o��),即

Nn�(o��)�

����…

�n

�j��So��,j��,�,⋯,�

n ,

则上述三种运算都是定义在集Nn�(o��)上取值于Nn�(o��)的一元运算,并

称为矩阵的初等行运算(通常称为矩阵的初等行变换)�在集Nn�(o��)中定义二元关系S:设N�,N���Nn�(o��),规定N�SN�

当且仅当N�和N�所表示的线性方程组有相同的解�容易看出S是一个等

价关系,而且如果N�是由N�经过初等行运算而得到,则N�SN��高斯消元

法就是在集Nn�(o��)中关于这个二元关系S的一个等价类中,找到一个容易

求解的线性方程组所对应的矩阵N�的一种方法�下面举例说明在线性方程组的增广矩阵上作初等行运算(变换)进行消

元和求解的方法步骤�例�

求解线性方程组

y�� y��y� ��y����

�y���y��y���y���y����

�y���y��y���y���y���� (���)

y�� y��y�� y���y����

·��·��� o元向量的线性运算 高斯消元法

解 方程组(���)的增广矩阵为

(B,c)�

� �� �� � � ��� �� �� � � ��� �� �� � � ��� �

U�U�U�U�U�U�

�� � � � �

� (���)

以下把矩阵的初等行运算:第�行乘常数d,第�行乘d加到第�行上,

第�行与第�行对换位置;依次记作(d)��,��(d)��,�B�A���于是,

对矩 阵(���)作 初 等 行 运 算:� �(��)��,� �(��)� �,

��(��)��,即得

(B,c)A�

� �� �� � � �� � � �

��� �

� � � � �� �

U�U�U�U�U�U�

�� � � � � �

� (���)

对矩阵(���)作行运算:��(��)��,��(��)��,即得

(���)右A�

� �� �� � � �� � � �

��� �

� � � � � �� � � �

U�U�U�U�U�U�

�� � �

� (���)

对矩阵(���)作行运算:(���)��,�B�A��,即得

(���)右A�

� �� �� � � �� � � �

��� �

� � � � �� ��

U�U�U�U�U�U�

�� � � � � �

� (����)

对矩阵(����)作行运算:��(��)��,再将变换后的第�行加到第�行

上,即得

(����)右A�

� �� � � � �� � � � � �� � � � �� ��

U�U�U�U�U�U�

�� � � � � �

� (����)

增广矩阵(����)所对应的线性方程组

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

y��y� ��y���

y� ��y���

y���y���

��

� �

(����)

与原方程组同解�现在是三个方程,五个未知数,任取y��l�,y��l�代入方

程组(����)可解出y�,y�,y�,从而得方程组的全部解:y����l���l�,

y��l�,y�����l�,y������l�,y��l�(其中,l�,l�为任意常数)�以

后把方程组的解也写成向量形式(称解向量)

Y�(y�,y�,y�,y�,y�)U

�(��l���l�,l�,���l�,����l�,l�)U

(其中右上角的U表示Y为列向量),用向量的加法和数乘,可把上述解向量

表示为:

Y�(�,�,�,��,�)U�l�(�,�,�,�,�)U�l�(��,�,��,�,�)U�当方程组(���)中常数项c��c��⋯�cn ��时,称为齐次线性方

程组,否则叫非齐次线性方程组�如果例�中四个方程的右端常数项全为零,用同样方法得该齐次线性方

程组的解向量为:

Y�l�(�,�,�,�,�)U�l�(��,�,��,�,�)U,

其中l�,l�为任意常数�具有上面(����),(����)形式的矩阵分别称为阶梯形矩阵和行简化阶

梯形矩阵(即阶梯形矩阵中每个非零行第一个非零元所在列的其余元素全为

零)�化为后者求解时可避免繁琐的回代步骤�求解方程组(����)时,y�,y�可取任意常数,它们称为自由未知量,相应地y�,y�,y�称为基本未知量�

例� 判断下列线性方程组是否有解?

y��y��y��� �

y���y���y��� �

�y���y���y����

� �对它的增广矩阵作初等行运算:��(��)��,��(��)��;然后再

把变换后的矩阵作行运算:��(��)��,即依次得

� � � �� � �� �� � �

U�U�U�U�

�� �A�� � � �� � �� �� � �

U�U�U�U�

�� �A�� � � �� � �� �

U�U�U�U�

�� � � ��

其中第三行所表示的方程�y���y���y���显然无解,故原方程组无解�这

·��·��� o元向量的线性运算 高斯消元法

是由于第三方程的左端等于前两个方程左端之和,而右端不等于前两方程右

端之和�因此,满足前两个方程之解不满足第三方程,所以后者与前两个方程

矛盾�含矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组;有解的方程组称为相容

方程组�例�是相容的,它在消元时于矩阵中出现全零行,这是因为:方程

��方程��(��)�方程��(�)�因此,满足前两个方程的解都满足第

三方程,所以后者对求解是多余的,称之为多余方程�高斯消元法在消元过程

中,会在增广矩阵上揭示出多余方程和矛盾方程�对一般的线性方程组的增广矩阵(���)作三种初等行运算,都可把

(B,c)化为如下形式的矩阵

(B,c)A�

d�� d�� ⋯ d�k� d�,k���⋯ d�ks d�,ks��

⋯ d�o e�

� � ⋯ d�k� d�,k���⋯ d�ks d�,ks��

⋯ d�o e�

… … …

� � ⋯ � � ⋯ dsks ds,ks��⋯ dso es

� � ⋯ � � ⋯ � � ⋯ � es��… … …

� � ⋯ � � ⋯ � � ⋯

U�U�U�U�U�U�U�U�U�U�

�� �

� (����)

其中,�行全在矩阵的下方;而第j个非零行的第一个不为零的元素dskj满足

�_�k�_�⋯_�ks0�o�这种矩阵叫阶梯矩阵,每行第一个不为零的元素叫主元素�

我们还可通过行变换继续把主元素都变成�,而每一主元素所在列的其

余元素都是零,这种矩阵叫行简化阶梯矩阵�由增广矩阵(����)(假设它已是行简化阶梯矩阵)易见,方程组有解的

充要条件是es����,因为es��-��时,其中第s��行对应的方程显然无解�在有解的情况下:

(�)当s�o,且d���d���⋯�doo��时,有唯一解y��e�,y��e�,⋯,yo�eo;

(�)当s_�o时,有无穷多个解,求解时把(����)中每行的主元素所在

列对应的未知量取作基本未知量,其余的取作自由未知量,并把自由未知量依

次取任意常数l�,l�,⋯,lo�s,将它们代入(����)所对应的方程组即可解得

基本未知量,从而得到方程组的全部解�齐次线性方程组总是有解的,因为c��⋯�cn��,从而e��⋯�es

�es�����当s�o时,只有零解,即y��⋯�yo��;当s_�o时,有无

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

穷多解,求解的方法同上�如果齐次线性方程组中方程个数n 小于未知量个

数o,则必有无穷多个非零解�线性代数在它的发展历史上,最早研究的问题就是一般线性方程组的求

解问题�线性方程组的解的基本问题是:有解的条件(对于齐次方程组则是有

非零解的条件)以及解的结构�(���)式所示的线性方程组BY�c,实际上是一个映射,它是n�o系

数矩阵B把o元列向量Y�(y�,y�,⋯,yo)U映射(或说变换)为n 元列向

量c�(c�,c�,⋯,cn)U,即

B: A�Y c�

求一个线性方程组BY�c的解,也就是给定了映射B(即系数矩阵)和

这个映射的象c,求c在这个映射下的完全原象或逆象(即线性方程组的解集

合T)

T�B��(c)�{YY��So 且BY�c}�求c的原象是映射(或变换)的反问题,是反变换,用高斯消元法我们可

以实现这个反变换,对于给定的B和c,c的原象可能不存在,即B��(c)��;

也可能存在且唯一(即线性方程组有唯一解);也可能存在,但不唯一,即线性

方程组有无穷多解�但是高斯消元法只能在线性方程组的增广矩阵经初等行

运算化为阶梯形矩阵后,才能知道方程组的解的情况�因此我们还需要把消元

法求解的具体操作上升到理性的高度,揭示线性方程组的解的情况与增广矩

阵结构(即增广矩阵的n 个行向量及o个列向量在线性运算下的相互关系)

间的内在联系�事实上,如果把线性方程组(���)的系数矩阵B的o个列向

量记作

�k�(b�k,b�k,⋯,bnk)U�

b�kb�k…

bn

�k

, k��,�,⋯,o,

则线性方程组(���)等价于一个向量方程

y����y����⋯�yo�o�c� (���)H�H�

这里使(���)H�H� 成立的y�,y�,⋯,yo就是方程组(���)的解�所以方程组

解的情况取决于向量组��,��,⋯,�o,c在向量线性运算下的相互关系�因此

要搞清一般线性方程组的解的理论,就要研究全体o元(或n 元)向量(记作

So或Sn)在线性运算下的相互关系,也就是要搞清楚下一章要讨论的有限维

·��·��� o元向量的线性运算 高斯消元法

向量空间的结构,这正是线性代数的核心内容之一�此外,系数矩阵为n�o矩阵B的线性方程组作为S A�o Sn 的映射,它是一种线性映射(以后将论

述),所以在第三、四章讨论了一般线性映射的理论及其矩阵表示以后,我们就

明白线性方程组的解的问题,只是线性映射的一个具体模型�因此线性映射的

理论是线性代数的又一个核心内容�

��� 平面方程与空间直线方程

在平面直角坐标系中的一条直线对应于一个二元一次方程by�cz�d�这一节讨论在空间直角坐标系中一个平面和一条直线对应于怎样的三元方

程,进而对三元一次方程组解的情况作几何解释,并为第二章中子空间的概念

提供几何背景�

����� 平面方程

在空间直角坐标系中,欲确定一个平面�,只要给定平面上一个定点

Q�(y�,z�,{�)以及与平面垂直的一个向量

o�bj�ck�dl�(b,c,d),

并称o为平面的法向量(如图����)�所谓平面�的方程,就是平面�上任一

点Q(y,z,{)的坐标y,z,{所满足的一个关系式�点Q(y,z,{)在平面�上当且仅当Q�A�Q!�o,即Q�A�Q·o��,其中

Q�A�Q�(y�y�)j�(z�z�)k�({�{�)l,

于是得

b(y�y�)�c(z�z�)�d({�{�)��� (����)

方程(����)称为平面�的点法式方程,它可化为

by�cz�d{�e��� (����)

图���� 图����

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

其中e��by��cz��d{��方程(����)称为平面�的一般方程,它是一个

三元一次方程�事实上,任何三元一次方程都可化为(����)的形式,因而都

是平面的方程�在平面一般方程(����)中,系数b,c,d是平面法向量o的三

个坐标,即o�(b,c,d)�(�)当b,c,d有一个为�时,平面�与某个坐标轴平行,例如,y�z��,

其中d��,o!�{轴,平面平行于{轴(如图����)�(�)当b,c,d有两个为�时,平面�平行于某坐标平面,例如,y��平行

于坐标平面 P{z (如图����)�(�)当e��时,平面�过坐标原点P(�,�,�),因为原点坐标满足方程

by�cz�d{���(�)当bcde-��时,方程(����)可化为

yb��

zc��

{d��

�� (����)

图���� 图����

(����)称为平面的截矩式方程,其中b�,c�,d�分别称为平面在y,z,{

轴上的截矩�例如y��

z���

{���

的图形如图����所示�

例� 已知平面过三点B(�,�,��),C(�,�,��),D(�,�,��)�试求平

面方程�解 该平面的法向量o与 A�BC,A�BD都垂直,所以

o� A�BC� A�BD�(�,��,��)�(�,�,��)�(�,��,�)�又已知平面过点B(�,�,��),所以平面方程为

�(y��)��(z��)��({��)��,

�y��z��{������

·��·��� 平面方程与空间直线方程

例� 已知平面�过点Q�(�,��,�),且平行于��j�k�l和{轴,试

求平面�的一般方程�解法� 该平面的法向量

o���l�(j�k�l)�l�j�l�k�l��k�j�j�k,

所以平面�的点法式方程为

(y��)�(z��)��,

由此得平面的一般方程y�z�����解法�(待定系数法) 由于平面平行于{轴,即法向量o垂直于{轴,o

�(b,c,�),所以其一般方程为

by�cz�e��� �由点Q�的坐标满足方程得

b��c�e��, �再由法向量o�bj�ck垂直于�,又得

o·��b�c��� �从�,�解得c��b,e���b,代入�式得

by�bz��b��, �其中b-��,消去b,得平面的一般方程y�z�����

����� 空间直线方程

在空间直角坐标系中确定一直线M,只要给定M上一个定点Q�(y�,z�,

{�)以及与直线平行的一个向量T�mj�nk�ol�(m,n,o),T称为直线

的方向向量(如图����)�

图����

点Q(y,z,{)在直线上当且仅当Q�A�Q"�T,即当且仅当Q�A�Q�uT,于是

y�y��mu

z�z��nu

{�{��

��

� ou

y�y��mu

z�z��nu

{�{��ou

��

� �

(����)

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

方程(����)称为直线的参数方程,其中u称为参数�在方程中消去参数u,得

y�y�m �

z�z�n �

{�{�o � (����)

方程(����)称为直线的标准方程,式中的两个连等号实际上是给了由两个

独立方程所组成的方程组,即

y�y�m �

z�z�n

y�y�m �

{�{��

� o

y�y�m �

z�z�n

z�z�n �

{�{��

� o

y�y�m �

{�{�o

z�z�n �

{�{�o

� �

直线的参数方程给出了直线上的点Q与参数u的一一对应关系�例如,质点n从点Q�(y�,z�,{�)起,以等速度w�(wy,wz,w{)运动,则

其轨迹(为直线)方程(或称运动方程)为

y�y��wyu

z�z��wzu

{�{��w{u

��

� ,

u1���

直线的标准方程显示了直线过定点Q�(y�,z�,{�)和其方向向量T�(m,n,o)�

如果m,n,o中有一个为�,不妨设m��,此时T!�y轴,即直线M!�y轴,于是方程(����)应理解为

y�y���

z�z�n �

{�{�o

��

� �

如果m��且n��,此时T!�y轴且T!�z轴,所以T"�{轴,即直线

M"�{轴,相应的方程应理解为

y�y���

z�z�����

� �此时直线M上点Q的{坐标可任取,这是过点Q�(y�,z�,�)且平行于{轴的

一条直线�一般也可把直线视为两个平面的交线�因此,如果两个平面��与��相

交,则它们的两个三元一次方程所组成的方程组

b�y�c�z�d�{�e��� (��的方程)

b�y�c�z�d�{�e��� (����

� 的方程)(����)

·��·��� 平面方程与空间直线方程

就是��与��的交线的方程式,并称为直线的一般方程�当然,任意两个三元

一次方程所组成的方程组并不一定是直线的方程�例� 求过点Q�(�,�,��)且与直线

y�z��{�����y��z�{������ �

平行的直线方程�解 由于已知直线(两平面的交线)与两个平面的法向量o�,o�都垂直,

所以o��o�是其方向向量T,即

T�o��o��(�,��,�)�(�,��,�)�(�,�,�)"�(�,�,�),

故所求直线的标准方程为

y��� �z��

{��� �

其一般方程为

y�z����{������� �

其参数方程为

y���uz���u{�����

� �例� 将例�中已知直线的一般方程化为标准方程�解 上例巳得直线的方向向量T�(�,�,�),因此只要再求直线上一个

点的坐标�此时令,y��,将其代入直线一般方程,可解得z���,{���,故

Q�(�,��,��)是直线上一个点�因此,直线的标准方程为

y��

z��� �{��� �

����� 三元一次方程组的解的几何解释

我们把三元一次方程组

b�y�c�z�d�{�e�

b�y�c�z�d�{�e� (����)

b�y�c�z�d�{�e

��

� �

中的三个方程对应的平面分别叫做��,��,���(�)当三个平面交于一点(即三个法向量不共面)时,方程组有唯一解�

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

(�)当三个平面共线时,方程组有无穷多解,其解向量可表示为

Y�(y�,z�,{�)U�l(m,n,o)U,

其中(y�,z�,{�)和(m,n,o)为两个常向量,l为任意常数,这实际上是直线参数方程的向

量形式�(�)当三个平面重合(即共面)时,方程组有无穷多解,它就是其中任一个方程的解�分

别取z,{为任意常数l�和l�,代入方程解得y,此时解向量可表示为

Y�(y,z,{)U�(y�,z�,{�)U�l�(y�,z�,{�)U�l�(y�,z�,{�)U

其中(y�,z�,{�)U,(y�,z�,{�)U,(y�,z�,{�)U为三个常向量�(�)方程组无解时,三个平面间的相互关系可能有以下两种类型:一是有两个平面平

行而不重合;二是有两个平面(如��,��)相交,交线为M,第三个平面��与M平行,但M不

在��上,此时满足方程�,�的解都不满足方程�,故无解�对于三元齐次线性方程组,即方程组(����)中e��e��e���,由于每个平面都

过原点,所以方程组必有零解(�,�,�);至于何时只有零解,何时有无穷多解,读者不难给

出几何解释�

���� 基本代数结构 ——— 群、环、域的基本概念

代数结构是基本的数学结构,群、环、域则是基本的代数结构�这里列举一

些例子,让读者了解如何从数学结构上区分各种数学问题的异同,了解群、环、

域(主要是群)三种结构最基本的概念�如果集合中不定义运算,集合不过是一堆元素而已�如果集Y中定义了

代数运算(即Y上封闭的二元运算),则集Y中的元素由运算而确定了相互的

关系,也就是有了一定的“结构”�通常把一个非空集合Y和在Y上定义的若

干个代数运算g�,⋯,gl组成的系统称为代数系统(简称代数系),记作〈Y:g�,

⋯,gl〉�一个代数系统的性质,或说代数系统的数学结构是由其中运算的性质

所决定的�在不同的集合上定义不同的代数运算虽然其运算方法会不同,但运

算的性质却有可能是相同的�例如,在整数集[和实数集Sa�{�}中,分别定义

加法和乘法,则代数系统〈[:�〉与〈Sa�{�}:·〉有以下相同的性质:

(�)加法和乘法都满足结合律和交换律;

(�)����[,使a�l��[,均有��l�l;����Sa�{�},使a�b��S均

有�·b�b�这里�和�分别称为加法和乘法的单位元;

(�)a�l��[,��l��[,使得l�(�l)��(加法单位元);a�b��

Sa�{�},�b����b��Sa�{�},使得b·b����(乘法单位元)�以后,我们把

·��·���� 基本代数结构 ——— 群、环、域的基本概念

�l叫做l关于加法的逆元,b��叫做b关于乘法的逆元�这些性质的共同点概括起来为:(�)运算满足结合律和交换律;(�)集合

关于运算存在单位元;(�)集合中每个元素关于运算都有逆元�以后,我们把

具有上述性质的代数系统称为“交换群”�下面介绍三种基本代数结构 ——— 群、环、域的基本概念�

������ 半群和群

群是历史上最早提出,也是最简单的一种代数结构�在��世纪��年代,

年青的法国数学家伽罗瓦(Hbmpjt)开创性地用群论方法建立了方程的可解性

理论,证明了�次和�次以上的代数方程的根不能用其系数的有限次四则运

算与开方根运算组成的公式来表示�群论的发现使代数的研究进入了新时代,

从局部性研究转向整体结构的分析研究�群结构的观点已经渗透到数学所有

的分支�这里我们只简要地叙述群的基本概念�群是具有一个代数运算的代数系统,它的定义如下:

定义���� 代数系统〈H:��〉称为群,如果:

(�)运算“��”满足结合律,即a�b,c,d��H,b��(c��d)�(b��c)��d;

(�)H关于运算“��”存在单位元,即 �f��H,使 a�b��H,有b��f�f��b�b;

(�)H中每个元素关于“��”都可逆,即 a�b��H,�c��H使得b��c�c��b�f(单位元),并称b为可逆元,c为b的逆元,记作c�b���

〈H:��〉是一个群,也说H 关于“��”构成群�如果运算还满足交换律,即

a�b,c��H,有b��c�c��b,则称〈H:��〉为交换群,也称Bcfm群�当〈H:��〉适合条件(�)时,称之为半群;当〈H:��〉适合条件(�)和(�)时,

称之为含幺半群�如果群H的子集I 关于H的运算也构成群,则称I 为H的子群,记作

I0�H�例� 设�,·分别为数的加法和乘法,则〈OH�:�〉,〈OH�:·〉,〈[:·〉都是

交换半群;〈R�:·〉,〈SH�:·〉都是交换群(其中R� 是正有理数集,SH� �Sa�{�}),且R�是SH� 关于乘法运算的子群;而〈{�,��}:·〉是仅有两个元素

的交换群�一般,含有限个元素的群称为有限群,否则叫无限群�例� 设S�是全体空间几何向量组成的集合,则S�关于向量的加法构成一个交换

群�其中单位元f为零向量�,任一向量�的逆元为���同理,So关于向量的加法也构成

一个交换群�例� 设S(Y)��{b��b�y�b�y� b�,b�,b���S};S(Y)是由所有实系数多项

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

式组成的集合,则它们关于多项式的加法都构成交换群,单位元f都是零多项式(即系数全

为零的多项式);对于多项式乘法,S(Y)是含幺半群(其单位元f��);而S(Y)�不是半

群,因为它关于乘法不封闭�例� 设H�Q(Y)(集Y的幂集),则〈H:��〉,〈H:��〉都是含幺半群,其中运算��

的单位元是�,运算��的单位元是Y�例� 开关电路(见节���例�)的状态集H�{�,�}关于运算��,��都构成含幺半

群�因为集H关于这两种运算都封闭;容易验证两种运算都满足结合律;关于运算 ��,��的单位元分别为�和�;非单位元不可逆�

例� 设H为某班学生集,运算“��”为比高矮,规定

b��c�c��b�bk�b比c高;b��b�b,a�b��H�由于任两个人的个子不可能绝对相等,都可比高矮,所以该运算是H的代数运算,且满足

结合律,运算的单位元为最矮的学生,因此H关于该运算构成含幺半群�例� 设H�{�,�,⋯,��},在H上定义时钟加法�为

b�c�b�c, b�c0���,

b�c���, b�c1���{ ,

则〈H:�〉是交换群,因为:H关于运算�封闭,且运算满足结合律和交换律,H关于�的单

位元f���,小于��的任何元素b的逆元为���b,f���f�例�H� 设[o是[关于模o同余关系S的商集,即

[o�[/S�{�,�,⋯,o��}�

在[o上定义加法�为

b�c�b�c�由于等价类b的代表元不是唯一的,即b�lo�b(l��[),因此首先要证明b,c不管取

怎样的代表元,其运算的结果是唯一的�设b�b�,c�c�,则b��qo�b,c��ro�c,其中q,r��[,于是

b��c��(q�r)o�(b�c),

因此,(b��c�)(�(b�c)(npeo),即(b��c�)S(b�c),从而

b��c��b�c,

这就证明了加法�是[o上的二元运算�[o对加法�显然封闭,而且满足结合律和交换

律,[o关于�的单位元f��,[o中任一元素b的逆元为o�b,因为

b�o�b�o�b�b�b�o�b�o���f,

所以〈[o:�〉是个交换群,叫做模o剩余类加群�容易验证:[�的子集{�,�},{�,�,�}关于[�的加法�也都构成群,所以它们都是[�

的子群�例� 从集B到自身的所有映射(变换)BB,关于映射的乘法(或合成)运算构成一个

含幺半群〈BB,��〉,其单位元为恒等映射�集B到自身的所有双射(一一变换)F(B)关于映

·��·���� 基本代数结构 ——— 群、环、域的基本概念

射的乘法构成一个群,〈F(B):��〉称为B的一一变换群�F(B)的子群称为变换群�例如,

Fg(J)�{g(y)�y� �_����S,y��J�(�,�)}是区间J上的一个变换群,这个变换

群是可交换的,但一般变换群是不可交换的�例如,集Y�{�,�,�}到自身的一个双射(一一变换)是

��j� j� j�

k� k� k( )�

即�(jl)�kl,其中jl,kl��Y(l��,�,�),且l-�n 时,jl-�jn,kl-�kn�此时也把�称为Y的一个置换,也称三元置换,集Y上的三元置换共有�!个,即

���� � �( )� � �

,���� � �( )� � �

,���� � �( )� � �

���� � �( )� � �

,���� � �( )� � �

,���� � �( )� � �

我们把全体三元置换组成的集合记作T�,容易验证T�关于变换(即映射)的乘法构成一个

群,称为置换群,它的单位元为恒等置换��;���� ���,���� ���,���� ���,���� ���,���� ����但这个置换群是不可交换的,例如,

������ � �( )� � �

� � �( )� � �

�� � �( )� � �

因为

����(�)���(�)��;����(�)���(�)��;����(�)���(�)��,

������ � �( )� � �

� � �( )� � �

�� � �( )� � �

-������

关于群的定义����还需指出以下两点:

(�)群的单位元是唯一的�如果f�,f�都是群H的单位元,则

f��f���f��f�;

(�)群的每个元的逆元也是唯一的�如果c,d都是b的逆元,则由

b��c�c��b�f和b��d�d��b�f,

即得

c�c��f�c��(b��d)�(c��b)��d�f��d�d�

������ 环与域

环与域都是有两个代数运算“�,��”(通常称为“加法,乘法”)的代数系,

b�c和b��c简记为b�c和bc�

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

定义���� 代数系〈S:�,��〉称为环,如果

(�)〈S:�〉是交换群(加法群),其单位元记作�(也称为环S的乘法零

元);

(�)〈S:��〉是半群;

(�)运算“��”对“�”满足左、右分配律,即a�b,c,d��S,

b(c�d)�bc�bd;

(c�d)b�cb�db�定义中的(�)是重要的,没有它,S只是对“�”和“��”分别构成交换群和

半群,而不能成为区别于群结构的另一种代数结构�如果环〈S:�,��〉中的乘法满足交换律,则称其为交换环;如环关于乘法

存在单位元(乘法单位元f也常记作�),则称之为含幺环�例� 对于数的加法和乘法,代数系〈[:�,��〉,〈R:�,��〉,〈S:�,��〉,

〈D:�,��〉都是含幺交换环�〈[f:�,��〉([f为偶数集)是交换环,但不是含幺环�〈OH�:�,��〉不是环,因为〈OH�:�〉不是群�

例� 整系数多项式集合

[[y]�{q(y)�boyo�bo��yo���⋯�b�y�b�bj��[,o��OH�}

对多项式加法和乘法构成一个含幺交换环,乘法单位元为q(y)��,但是对

于正整数o,

[[y]o���{q(y)�boyo�bo��yo���⋯�b�y�b�bj��[}

对同样的加法和乘法不构成环,因为[[y]o��对乘法不封闭,不是半群�例�H� 在模o剩余类加法群〈[o:�〉中定义乘法运算“��”为

b��c�bc, (a�b,c��[o),

则〈[o:�,��〉是一个含幺交换环�这是因为

(�)这里定义的乘法“��”是[o上的一个代数运算,因为b��c的运算结果是唯一的,它

与等价类b,c的代表元的选择无关,其证明如下:

设b��b,c��c,即b��qo�b,c��ro�c,其中q,r��[,则

b�c��(qro�qc�br)o�bc,

因此b�c�(�bc(npeo),从而b�c��bc�(�)乘法运算“��”显然满足结合律与交换律;单位元为��(�)乘法对加法满足分配律,因为

b��(c�d)�b��c�d�b(c�d)�bc�bd

�bc�bd�b��c�b��d�

·��·���� 基本代数结构 ——— 群、环、域的基本概念

定义���� 代数系〈G:�,��〉称为一个域,如果它是至少含有两个元的

交换环,且Ga�{�}关于乘法运算是交换群�由定义可见,G至少含加法单位元(即环的零元�)和乘法单位元f�任一个数集对于数的加法和乘法要构成一个域都必须含�和��有理数集

R、实数集S和复数集D对数的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域、实

数域、复数域�根据域的公理化定义,数集G对数的加法和乘法构成数域的条件也可表

述为:数集G含�,�,且对数的加、减、乘、除(除数不为�)运算封闭�这是因为:

对减法封闭(即a�b,c��G,b�c��G)保证了G中任何非零数b对加法可

逆(即(�b)���b��G);对除法封闭(即a�b,c��G,且b-��,均有cb ��

G)保证了G中任何非零数b对乘法可逆(即b����b ��G)�

例� 设R �( )� � b�c��b,c��{ }R ,证明R �( )� 是一个数域�证 在集R �( )� 中含�,�,且数的加、减、乘运算显然封闭(证明留给读

者)�如果d�e��-��(d,e��R),则d�e��-��,且

b�c��d�e��

� b�c�( )� d�e�( )�d���e� �bd��ced���e��

cd�bed���e�

����R �( )� ,

故在集R �( )� 上除法运算也封闭,所以R �( )� 是一个数域�任何数域G都包含有理数域R,即R是最小的数域�事实上,由�,���G,

得o�����⋯����G;��o��o��G,从而[O�G;又a�q,r��[O�

G,q-��,均有rq ��G

,而r/q��R,所以,RO�G�这就证明了R是最小的数

域�任何一个数域显然都含有无穷多个元素�但是一般的域并不都像数域那

样含有无穷多个元素�例如,〈[�,�,��〉是仅含两个元素�,�的有限域�因为

由例�已知它是一个交换环,又非零元�是乘法单位元,它是可逆的,其逆元

为自身�

习 题

��设B�{�,�,�,�},C�{oo�_���,o��OH�},D�{o�_�o0���

且o���O

H�},求:

C(B��D), (C��D)B�

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

��已知B,C,D,[H� 都是整数[集的子集,B�{oo��n,n 1��};

C�{oo��n,n 1��};D�{o o 0���},[H��[{�}�试用B,C,

D,[H� 的运算,表达下列集合:

(�){oo��n,n 1��};

(�)奇整数组成的集合;

(�){��,��,��,��,��,�,�,�,�,�}�

��设OH� 是正整数集,No� n no ��O

H�,o{ }是某个正整数 �求:

(�)��o��ONo; (�)No��Nl; (�)��

o��ONo�

��设B�{yy�����},求:B的幂集Q(B);B�B���京、津、沪三支足球队的联赛规定,每队都在主、客场与另一队打两场比

赛,以(京、津)表示北京队在主场与天津队比赛�试问:用怎样的集合及其运

算来表示全部六场比赛所组成的集合?

��设B�{(y,z)y��z�0��},C�{y ��_�y_���},D�{z��0�z0��}�在平面直角坐标系内画出下列集合:

(�)B��(C�D); (�)B��(C�D);

(�)B(C�D); (�)(C�D)B���设B是含有o个元素的有限集,证明B的幂集Q(B)所含元素为�o

个���设B,C为有限集,以 B ,C 表示B,C中元素的个数�

(�)确定 B��C � B � C 成立的条件;

(�)若 B��C -��,求 B��C ;

(�)画图说明:B��C � B��C � B � C ;

(�)已知某班��个学生第一次考试有��人不及格,第二次考试有��人不

及格,又已知两次考试都及格的有��人�问:两次考试都不及格的有多少人?

(�)H� 利用(�)的结论,证明:

B��C��D� B � C � D � B��C � C��D � B��( )D

� B��C��D �(�)H� 设某校足球队有队员��人,篮球队有队员��人,排球队有队员��

人,但参加三支球队的学生只有��人,其中有�人同时参加三个队,问:同时

只参加两个队的有几人?

(�)H� 在�到��之间的��个整数中,能被�,�,�任何一个整除的数有几

·��·习 题

个?

��已知B��C�B��D,是否有C�D?

已知B��C�B��D,是否有C�D?

H�如果上述两个条件都成立,是否有C�D?

���画图说明:(BC)��D�(B��D)(C��D)�问:(B��C)D�(BD)��(CD)是否成立?

���利用图形说明:(B��C)��D-�B��(C��D),并问:在什么条件下

此式等号成立?

���证明:B��(C��D)�(B��C)��(B��D)����下列集合中的关系S是否是等价关系?如果是,说明等价类的意义,

并写出集合关于S的商集�(�)实数集上定义关系:ySzk�y�z为无理数或�;

(�)集合T�{(y,z) y 0��,z 0��}上定义关系:

(y�,z�)S(y�,z�)k�y��y�;

(�)集合T�{(y,z) y _���,z _���}上定义关系:

(y�,z�)S(y�,z�)k�y���z���y���z��;

(�)平面上所有直线组成的集合M上分别定义关系S�和S�为:

m�S�m�k�m�!�m�; m�S�m�k�m�与m�相交;

(�)集合T�{(y,z)�_� y _���,�_� z _���}上定义关系:

(y�,z�)S(y�,z�)k�y�y�`��且z�z�`��;

(�)集合DH� �{(b�cjb,c��S,b-��)}上定义关系:

(b��c�j)S(b��c�j)k�b�b�`��;

(�)在集合B�(b�,b�,b�,b�)的幂集Q(B)上定义关系:

B�SB�k� B� � B�(即子集B�,B�所含元素个数相等);

(�)在集合OH��OH� 上定义关系:

(n�,o�)S(n�,o�)k�n�o��n�o��

��H��证明:若集合B中的二元关系S满足:(�)a�b��B,bSb,

(�)a�b,c,d��B,如果有bSc和bSd,就必有cSd,则S是等价关系���H��有人说,二元关系S如果具有对称性和传递性,就必有自反性,因为

有bSc,就有cSb,从而有bSb,这种说法对吗?

��H��判断下列集合B中的二元关系S是否为偏序关系、全序关系�(�)B�[H� �{bb��[,b-��};bSck�bc是正整数,而且b整除c;

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

(�)B�R�R;(y�,z�)S(y�,z�)k�y�_�y�,或y��y�而z�0�z�;

(�)B是由全体英文单词组成的集合,(单词�)S(单词�)是指:单词�与

单词�相同或按词典排列法单词�排单词�之后;

(�)B是由实轴上所有开区间组成的集合,J�SJ�k�J�O�J�(其中J�,J���B)����设g,h,i均是[到[的映射:

g:y A��y; h:y A��y��; i:y A��y���

计算gh,hg,ih,ghi����设T�{(y,z)y,z��S},Y�{(y,�)y��S}�定义T到Y的映

射q为:

q:(y,z)A�(y,�),

即q为平面直角坐标系yPz中点到Y轴上的投影,问:q是否单射;满射?并求

q��(q(�,�));q(q��(�,�));q��(�,�)��q��(�,�)����集合T如上题,定义T到T的下列映射:

(�)s(y,z)�(�z,y); (�)q�(y,z)�(y,�);

(�)q�(y,z)�(�,z); (�)��(y,z)�(y,�z);

(�)��(y,z)�(�z,�y); (�)J(y,z)�(y,z)�问:哪些映射是双射?如是双射,求其逆映射�计算:sq�,q�s,q���,��q�,q�q�,����,Jq�,说明它们的几何意义,并分

析映射的乘法是否满足交换律和消去律����设B,C是两个集合,g:BA�C,h:CA�B�证明:若hg是B到B的恒

等映射,则g是单射,h是满射���H��设B,C,D是三个集合,g:BA�C,h:CA�D�证明:若hg是B到D

的双射,则g是单射,h是满射���H��设B,C,D,E是四个集合,g:BA�C,h:CA�D,i:DA�E�证明:若

hg和ih都是双射,则g,h,i也都是双射���H��设g是B到C的映射,h是C到B的满射�证明:如果gh�JC,则

hg�JB(即h是可逆映射,g是h的逆映射)�

���先用符号表示简单命题,然后用符号运算表示下列语句(复合命题):

例:“今天与明天都下雨”�如果用q,r分别表示“今天下雨”和“明天下

雨”,则此命题可表示为q��r�(�)如果他和她都不去,你就去;

·��·习 题

(�)我不能既爬山又划船;

(�)如果你来了,那么他在会上发不发言就看你请不请他发言;

(�)占据空间的、有质量的而且不断变化的叫物质;

(�)占据空间的、有质量的叫物质,而物质是不断变化的;

(�)除非你努力,否则你将失败;

(�)某次列车不是�点开就是��点开����用量词a�,�表示下列语句内容:

(�)数集T中任一数y都大于�而且被�整除;

(�)数集T中有的数不大于�或不被�整除;

(�)甲班学生都很聪明且很文明或很努力且很文明(以q(y),r(y),

s(y)分别表示学生很聪明、很努力、很文明,以Y表示甲班学生集);

(�)上述命题(�)的否命题;

(�)有些实数是有理数;

(�)甲班有一个学生叫王强����设y��Y(甲班学生集),z��Z(乙班学生集),q(y,z)表示y与z同

姓,r(y,z)表示y与z同年龄�(�)说明下列命题的含义:

(b)(a�y)(a�z)q(y,z)��r(y,z( ));

(c)(�y)(�z)q(y,z)��r(y,z( ));

(d)(a�y)(�z)q(y,z)��r(y,z( ));

(e)(�y)(a�z)q(y,z)��r(y,z( ))�(�)写出(�)中�个命题的否命题����设有n 个o元有序数组

(bj�,bj�,⋯,bjo),j��,�,⋯,n�已知:a�j��{�,�,⋯,n},bjj `� bj� �⋯�bj,j�� �bj,j�� �⋯

�bjo },试写出这个已知命题的否命题�

���设平行四边形BCDE的对角线向量 A�BD�b,A�CE�c,试用b,c表示A�BC,A�CD,A�DE,A�EB�

���设Q是线段BC的中点,证明:对任意一点P,A�PQ���A�PB� A�( )PC �

���设B,C,D是任意三点,求 A�BC� A�CD� A�DB����设N 是三角形BCD的重心,证明:对任意一点P,

A�PN ���A�PB� A�PC� A�( )PD �

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

如果点P是直角坐标系的原点,B,C,D的坐标分别是(b�,b�,b�),(c�,

c�,c�),(d�,d�,d�),试求点N 的坐标�

���设四面体的四个顶点为P,B,C,D,边PB,CD的中点分别为N,Q,

证明:

A�NQ���A�PD� A�( )BC �

��H��设P是点B和点C连线外一点,证明:三点B,C,D共线的充要条

件是 A�PD�� A�PB��A�PC,其中������

���已知点B(�,�,�)和C(�,�,��),

(�)求 A�BC的坐标表示式及 A�BC ;

(�)求点D的坐标,使 A�BD�(�,�,�);

(�)求点D,使 A�DB� A�DC���A�BC�

���已知b�(�,��,�),c�(�,�,�),d�(�,��,�),

(�)b�c和d是否平行?

(�)求b·c,b·d,〈b,c〉,〈b,d〉;

(�)求b�c,(b�c)·d;

(�)设y��b��c�d,z��c�d,求〈y,z〉�

���已知 b ��,c ��,〈b,c〉���,试求�b��c与�b��c的内

积及其夹角����证明下列各对向量互相垂直�

(�)(�,��,�)与(��,��,�);

(�)(d·b)c�(c·b)d与b;

(�)b�c与�b��c(�,�为任意常数)�

���证明:三角形三条中线的长度平方和等于三条边长之平方和的���

���证明:A�BC· A�DE� A�CD· A�BE� A�DB· A�CE������已知:A�PB�(�,�,��),A�PC�(�,��,�),A�PD�(�,��,��),

(�)求 A�PB� A�PC,并证明 A�PB,A�PC,A�PD共面;

(�)求�,使(� A�PB� A�PC)!� A�PD;

(�)求�,�,使� A�PB��A�PC"� A�PD�

���已知b�(�,�,��),c�(�,��,�),d�(�,�,�),

(�)求b�c和以b,c为邻边的平行四边形的面积;

·��·习 题

(�)求以b,c,d为邻边的平行六面体的体积;

(�)求(b�c)�d,b�(c�d)����设b�(b�,b�,b�),c�(c�,c�,c�),d�(d�,d�,d�),

(�)证明:b·(c�d)�c·(d�b);

(�)证明:如果b�c�c�d�d�b��,则b,c,d共面����下列命题是否成立?

(�)如果b·c�b·d,且b-��,则c�d;

(�)如果b�c�b�d,且b-��,则c�d����已知b,c满足下列条件,讨论b,c之间的关系:

(�)(b·c)��b�c�,其中b��b·b,c��c·c;

(�)b与b�c共线;

(�)b,c,b�c共面����求下列平面的方程:

(�)过点Q�(�,�,��),且平行于平面y��z��{����;

(�)过点Q�(�,�,��),且垂直于点B(�,�,�)和C(�,��,�)点的联线;

(�)过y轴且平行于向量b�(�,��,��);

(�)过三点:B(�,�,�),C(��,�,�),D(�,��,�);

(�)过�y�z����与z��{��的交线,且过点Q�(�,��,��);

(�)在y,{轴上的截距依次为(��)和�,且过点Q�(�,���,�)����求下列直线的标准方程和参数方程:

(�)过点B(�,�,��)和C(�,�,��);

(�)过点B(�,��,�)且垂直于平面y��z��{��;

(�)过点B(�,��,�)且与{轴垂直相交;

(�)过点B(�,��,�)且垂直于B,C(�,�,�),D(�,�,��)所确定的平

面;

(�)平面y�z��与y�z�{��的交线;

(�)过点(��,��,�)且与直线M�,M�都垂直,

M�:�y��z�{��y��z������ ,

M�:y����uz����u{�����u��

� ����已知:平面�:�y��z��{�����;

直线 M�:y��

z��� �{�

; M�:y��� �z��� �{��� �

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

(�)直线M�是否在平面�上?

(�)M�与M�共面吗?相交吗?如相交,求交点����用高斯消元法解下列方程组:

(�)y��y��y���

�y��y���y�����

� ;(�)

�y��y��y��y���

y��y��y����y���

��

� ;

(�)

�y��y��y���

�y���y��y���

y���y��y����

y��y���y���

� ;

(�)

y���y���y���y���

y��y��y����

y���y���y���

�y���y��y���

� ;

(�)

y���y��y���y���

y��y��y��y���

y��y��y��y���

�y���y���y���y���

� ;

(�)

y��y��y��y���

�y���y���y���y���

�y���y���y���y���

�y���y���y���y���

� ����将军点兵,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问兵几何(求

在���至����范围内的解)?

���百鸡术:母鸡每只�元,公鸡每只�元,小鸡三只�元,百元买百鸡,各

买几何?

���设“H�”是正整数集OH� 上的一个二元运算,判断下列运算是否满足结

合律:

(�)bH�c�nby(b,c); (�)bH�c�njo(b,c);

(�)bH�c�b�c��; (�)bH�c�b��c;

(�)bH�cnjo(b,c), 当njo(b,c)_���,

nby(b,c), 当njo(b,c)1������ �

���集Y上的一个二元关系“�”定义为:b�c�b�讨论运算�是否可

结合和可交换����孩子头发的颜色是由其父母头发的颜色所决定,其对应规则如下表

所示:

孩子母

浅色 深色

父浅色 浅色 深色

深色 深色 深色

这是集合T�{浅色,深色}上的一个二元运算“H�”的表达式�试问:T关于

“H�”的单位元是什么?

·��·习 题

���在正实数集S�上定义两个二元运算“��”和“H�”为:

b��c�bc, bH�c�bc�证明:“H�”对“��”是不可左分配的,“H�”是不可结合的����设H�{f,b},试列出二元素群〈H:��〉的运算表����设H�{f,b,c},试列出三元素群〈H:��〉的运算表�

���设S�� �,��

,���

,�,���

,��{ }� 表示平面几何图形绕形心逆时针旋转

角度的�种可能情况�在S�上定义二元运算“H�”为:a��,���S�,�H������(表示平面图形连续旋转�和�所得到的总旋转角度),并规定旋转��等于

原来的状态,即看作没有旋转�验证:〈S�:H�〉是一个交换群�

��H��写出模�剩余类加群〈[�:�〉的所有子群�

��H��在[��中,找出方程y���的全部根�

补 充 题

��设Bj(j��,�,⋯,o)是Y的子集,证明:

(�)��o

j��Bj���

o

j��Bj; (�)��

o

j��Bj���

o

j��Bj�

��在复数集D中,能否定义二元关系S使D成为全序集?

��在正有理数集R�� rq q,r��O{ }H� 中,如何定义一种二元关系S,

使(R�,S)为全序集���在集合B�{b,c,d}上定义一个既非对称,又非反对称的二元关系���我们把B�B 的一个子集S 定义为B 上的一个二元关系,即 a�b,

c��B,如果(b,c)��S,就说b,c具有关系S,即bSc�设B�{b,c,d},试判断B上的下列二元关系是否具有自反性、对称性、

反对称性和传递性:

(�) S��{(b,b),(b,c),(b,d),(d,d)};

(�) S��{(b,b),(c,c),(d,d),(b,c),(c,b)};

(�) S��{(b,b),(b,c),(c,c),(c,d)};

(�) S��{(b,b),(c,c),(d,d)};

(�) S��{(b,c),(b,d),(d,b)}�

��设B�{�,�,�,�},S�,S�均是B�B的子集,且

S��{(y,z):�(y�z)}; S��{(y,z):�(y�z)}�

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

(�)求S�,S�,S���S�,S���S�,S� S�,S���S�;

(�)指出集合B上的上述二元关系的意义���举出一个没有自反性、对称性和传递性的关系的例子��H��证明:

(�)qk�r与(qA�r)��(rA�q)是等价命题;

(�)qk�r与(q��r)��(�q���r)是等价命题;

(�)q��(q��r)k�qk�q��(q��r)(吸收律);

(�)qA�r与�qA��r不是等价命题�

�H��利用(qA�r)k��q��r,证明:

(�)qA�(rA�s)k�rA�(qA�s);

(�)qA�(rA�s)r�n��sA�(rA��q);

(�)�(qA�r)r�n�q���r�

��H��试从逻辑的角度分析下面命题所存在的问题:

(�)“苛政猛于虎”

某地有虎,一老妇人的亲人为虎所害,但她不愿搬走,因为“无苛政”�由此推出:“苛政

猛于虎”�(�)资本主义社会有商品经济�社会主义社会不是资本主义社会,由此推出:社会主义

社会没有商品经济�

���在有理数集R上定义二元运算“H�”为bH�c�b�c�bc�讨论运算

“H�”是否满足结合律和交换律?R关于运算“H�”是否存在单位元?R中每个元

素是否可逆?可逆元的逆元是什么?

���设T�Ra�{�},T上的二元运算“H�”如第��题所定义�(�)证明〈T:H�〉是一个群;

(�)求方程�H�yH����在T中的解����求有理数加群〈R:�〉的一个子群I,使I-�[,且I-�R�

部分习题和补充题答案

习题

��{�,�}{�,�}� ��B��C,[H�a�C,(D��[H�)a�C���O,Nm(m为o与l的最小公倍数),����{�,{�},{��},{��,�}},{(��,��),(��,�),(�,��),(�,�)}���B�{京,津,沪},(B�B)a�C,C�{(京,京),(津,津),(沪,沪)}���(�)B ��C � �;(�)B � C � B ��C ;(�)��;(�)�;

·��·部分习题和补充题答案

(�)�����未必有,未必有,必有����(�)不是;(�)是,矩形内平行于z轴的直线段,TS�{线段y�

d( z 0��):d 0��};(�)是,以原点为心的同心圆,TS�{y��z��s�s1��};(�)均不是;(�)是,TS�{不含坐标轴的四个象限};(�)

是,TS�{复平面的左半平面和右半平面};(�)是,TS�{Tjj��,�,

�,�,�,Tj是含j个元素的所有子集组成的集合,T��{�};(�)是,TS�

{{(n,o) no �d

}d��R}�

���不对� ���(�),(�)均是偏序,不是全序;(�),(�)均是全序����y A��y��;y A��y��;y A��y��;y A���y�������不单;满,{(�,z)z��S};{(�,�)};�����(�)双射,s��(y,z)�(z,�y);(�),(�)非双射;(�)���� ���;

(�)���� ���;(�)J���J�

���b�c�,b�c�

,c�b�

,�b�c� � �����

���(�)(�,��,��),���;(�)(�,�,�);(�)(��

,��

,��

)�

���(�)平行;(�)�,��,��

,bsddpt ������

;(�)(��,�,�),�;(�)bsddpt��

������,��bsddpt ����

���(�)(��,��,��);(�)����,(�)�����

���(�)(��,��,��),�;(�)�;(�)(�,�,��),(��,��,��)����均不成立� ���(�)共线; (�),(�)b�c������(�)y��z��{����; (�)y��z��{�����;

(�)z��{��; (�)�y��z���{�����;

(�)�y�z�{����; (�)�y��z��

{����

���(�)y��

z��� �{���

;y��u,z���u,{���;

(�)y��� �z���� �{�

;y���u,z�����u,{��u;

(�)y��

z���

{�

;y��u,z��u,{��;

(�)y��� �z��� � {

��; (�)y

���z���

{���

·��· 第�章 集合 关系 运算 结构

(�)y���� �z���� �{�����

���(�)在;(�)共面,相交,(�,��,�)����(�)(�,�,�)�l(��,�,�);(�)l�(�,�,�,�)�l�(�,�,�,�);

(�)��

,�,�,( )�� ;(�)(��,�,�,�)�l(�,�,�,�);(�)无解;

(�)l(�,�,�,�)�������,���,���,���,�������(�,��,��)或(��,�,��)或(�,��,��)����(�),(�),(�),(�)满足,(�)不满足����可结合,不可交换� ���浅色� ���

�� f bf f bb b f

���提示:运算表中每行(列)的三个元素互不相同����{�},{�,�},{�,�,�,�},[��

����,�,��,���补 充 题

��能,关系如习题��(�)所给,将其中R�R改为S�S即可���定义(b,c)��S为bSc,S�{(b,b),(c,c),(d,d),(b,c),(b,d),

(d,b)}���(�)具有反对称性和传递性,(�)具有自反性、对称性和传递性,

(�)具有反对称性,(�)全具有,(�)全不具有���(�)S��{(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�)},

S��{(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�)},S���S��{(�,�),(�,

�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�)};(�)S�表示�整除y与z之差,S�表示y与

z之差为�的倍数�S���S�表示y与z之差既是�又是�的倍数���父子关系或�题(�)所给关系����满足结合律和交换律,单位元是�,b-��时可逆,b���b(b��)����(�)y��� ���I�{rqr��[,q为固定的非�正整数}�

·��·部分习题和补充题答案

第�章 线性空间 内积空间

线性空间是一个重要的代数结构,它广泛应用于现代数学的很多领域�内积空间是具有几何度量性的线性空间�

线性代数主要是研究有限维线性空间和线性映射的基本性质�线性代数

在其发展史上,最早是研究一般线性方程组的求解问题�随着研究的深入,人

们发现线性方程组的解的理论,仅仅是有限维线性空间和线性映射理论的一

个具体应用(或说一个具体模型)�为了更好地培养学生的数学抽象思维能力

以及应用理论解决具体问题的能力,我们遵循“在宏观上从一般到具体,在微

观上从具体到一般”的原则,将从阐明线性空间和线性映射的基本理论入手,

来揭示线性代数所研究的主要问题�学好第�,�章是学好线性代数的关键�本章主要讨论有限维线性空间和内积空间的结构�首先介绍线性空间的

公理化定义及其简单性质;进而利用线性相关性的概念,讨论有限维线性空间

的基和维数以及向量在基下的坐标;为搞清线性空间的结构,还要了解子空间

的概念以及子空间的交、和与直和�内积空间是定义了内积运算从而具有几何

度量性的线性空间,重点是内积的公理化定义,向量长度和夹角的度量方法,

有限维实内积空间即欧氏空间的单位正交基以及正交子空间与正交补的概

念�下面先阐述线性空间的定义及其简单性质,然后详细讨论其结构�

��� 线性空间的定义及其简单性质

在第�章中讲过,全体空间几何向量组成的集合S�关于向量的加法构成

交换群,再定义向量的数量乘法,就使S�中任一向量��(b�,b�,b�)可用基

本向量组{f�,f�,f�}作数乘和加法运算来表示,即

��b�f��b�f��b�f��这表明S�中的向量通过两种运算确立了相互间的关系�这是区别于群、环、域

的一种代数结构�与S�的情况类似,S[y]o 关于多项式加法也构成交换群,如果再定义数

与多项式相乘的运算,则S[y]o中任一多项式显然可用其中o个基本多项式

{�,y,⋯,yo��}作数乘和加法运算来表示�在数学中类似的情况还有很多�线性空间(或称向量空间)正是以上述数学问题为背景而抽象出来的一

种代数结构,它的下述公理化定义就是上述不同数学问题的共有特征的概括�定义��� 设W是一个非空集合,G是一个域,在W和G�W上定义两

种运算:一是W上的代数运算,称为加法,记作“�”;二是定义在集G�W上取

值于W的一元运算,称为数量乘法(简称数乘),即G�W中每个元素(�,�A�

����W,如果:

(�)〈W:�〉是一个交换群(加法群);

(�)数量乘法满足�条性质,即a��,���W,a��,���G以及域G的乘法

单位元�,有:

����,

�(��)�(��)�,

(���)�������,

�(���)������,

则称W对于上述两种运算在域G上构成一个线性空间,简称W为域G上的线

性空间,记作W(G)�如果G是实(复)数域,则称W为实(复)数域上的线性空

间,简称实(复)空间�线性空间也称为向量空间,其元素也称为向量�线性空间中的运算称为线

性运算�加法群〈W:�〉的单位元叫做零元,记作��显然,全体空间几何向量和全体o元实向量分别组成的集合S�和

So�{(b�,b�,⋯,bo)b�,b�,⋯,bo��S}

对向量的加法和数乘运算都构成实数域上的线性空间�它们是抽象的线性空

间的两个基本的具体模型�再举一些例如下:

例� 系数属于数域G的全体多项式组成的集合,以及次数小于o的全

体多项式同零多项式一起组成的集合,它们对多项式加法与数乘多项式运算

在数域G上都构成线性空间�因为:它们关于两种运算封闭;它们对加法构成

交换群(见节������例�);数乘多项式运算显然满足定义中的�条性质�但是

对固定的o,数域G上的多项式集合

{q(y)q(y)�b��b�y�⋯�boyo,bo-��}

对同样的运算不构成线性空间,因为集合对加法不封闭�例� 第�章节���中例�的线性方程组,当其右端常数项全为零时的齐

次线性方程组,其解集合

·��·��� 线性空间的定义及其简单性质

T�{Y�l���l����(�,�,�,�,�),

��(��,�,��,�,�),l�,l���S}

关于向量的加法和数乘运算在S上构成一个线性空间(称为齐次线性方程组

的解空间)�因为:容易验 证 集T 关 于 两 种 运 算 封 闭,即 a�Y�,Y���T,

a�l��S,均有

Y��Y���T, lY���T,

〈T:�〉是一个交换群,零元��(�,�,�,�,�)是齐次线性方程组的零解,每个

元Y的负元是(��)Y;向量的数乘运算满足定义中的�条性质�例� 定义在区间[b,c]上的全体实值函数,对通常的函数加法和实数

与函数的乘法在实数域S上构成一个线性空间�其零元是零函数�(y),即

a�y��[b,c],�(y)��;每个函数g(y)的负元是�g(y)�例� 实数集S在实数域S上对实数的加法和实数与实数的乘法,构成

实数域S上的一个线性空间�但是,实数集S在复数域D上,对实数的加法和

复数与实数的乘法不构成复数域D上的线性空间,因为复数与实数的乘积一

般不属于实数集S,即S对数乘不封闭�而复数集D在实数域和复数域上,对

相应的数的加法和数乘运算分别构成实数域S和复数域D上的线性空间�总之,对给定的非空集W 和域G,如果W 对定义的加法和数乘运算不封

闭,或者W对加法不构成交换群,或者数乘不满足�条性质,那么W对定义的

两种运算不构成线性空间�还要强调指出,线性空间作为一种代数结构,定义中非空集是抽象的,域

是泛指的,两种运算不是具体的�研究一个具体问题要将其视为线性空间,其

中的集合,域和运算需要符合定义的规定�由运算性质约定运算正是代数结构

中运算的本质的特征�正是由于代数结构的这种高度抽象性,就使它有更广泛

的应用性�在线性空间W(G)中,我们定义减法为:������(��),其中(��)

为�的负元(即加法的逆元)�由线性空间的定义可推出下面的简单性质:

��线性空间作为加法群,它的零元(加法群的单位元)是唯一的,每一个

元的负元(即加法的逆元)是唯一的;

��数乘运算的分配律对元素的减法和数量的减法也都成立,即 a��,���W;�,���G,

�(���)������, (���)

(���)�������� (���)

·��· 第�章 线性空间 内积空间

事实上,由

�(���)�����[(���)��]��[��((��)��)]

��(���)���, �(���)�����[(���)��]����, �

并在�,�式两边分别加�(��),�(��),即得上述分配律���在(���)式中分别令���,���,在(���)式中分别令���和���,

即得数乘运算的下列性质:

����, �(��)��(��), (���)

����, (��)���(��)� (���)

特别当���时,有(��)�������若����,则���或����事实上,如果�-��,则�����(����)�����(��)��������由上述性质可知:线性空间W(G)中元素作线性运算所得的方程

�������������⋯��s�s��,

当�-��时,其解为

�������������������⋯�����s�s�定义��� 设W(G)是一个线性空间,�j��W,�j��G(j��,�,⋯,n),

则向量

������������⋯��n�n称为向量组{��,��,⋯,�n}在域G上的线性组合,或说�在域G上可用向量

组{��,��,⋯,�n}线性表示�例如,在S�中,任一向量��(b�,b�,b�)可由基本向量组f��(�,�,�),

f��(�,�,�),f��(�,�,�)线性表示,即

��b�f��b�f��b�f��例� 证明:在S[y]��{b�cy�dy�b,c,d��S}中任一个多项式

q(y)都可唯一地表示为q�(y)���y,q�(y)���y,q�(y)�y�y�的

线性组合�证 设

q(y)�b�cy�dy��令

q(y)���q�(y)���q�(y)���q�(y),

于是得

·��·��� 线性空间的定义及其简单性质

������b

���������c

���d

��

� �这个��,��,��的三元线性方程组有唯一解

���b�c�d�

, ���b�c�d�

, ���d,

故q(y)可唯一地表示为q�(y),q�(y),q�(y)的线性组合,即

q(y)�b�c�d� q�(y)�b�c�d� q�(y)�dq�(y)�

��� 线性子空间

在线性空间W(G)中,W的子集X 关于W(G)中的线性运算可能封闭,

也可能不封闭�例如S�的下列子集:

X�� (y�,y�,y�)y��y���y��{ }� ,

X�� (y�,y�,y�)y��y���y��{ }� ,

它们分别是由起点在原点,终点在平面y��y���y���和平面y��y���y���上的全体向量所组成的两个子集�以后,简称 X�是过原点的平面

y��y���y���上的全体向量;X�是不过原点的平面y��y���y���上的全体向量�容易验证,X�关于向量的加法和数乘是封闭的,而 X�不封

闭�由于X�关于S�的线性运算是封闭的,所以X�关于S�的线性运算也构

成一个线性空间(下面将一般地证明),并称之为S�的子空间�而X�关于S�

的线性运算不封闭,自然对此运算不能构成线性空间,因而不是S�的子空间�下面给出子空间的一般定义及判别定理�

定义��� 设X 是线性空间W(G)的非空子集,如果X 对W中的运算

也构成域G上的线性空间,则称X 为W的线性子空间(简称子空间)�定理��� 线性空间W(G)的非空子集X 为W的子空间的充分必要条

件是X 对于W(G)的线性运算封闭�证 必要性是显然的,否则X 关于W的运算不构成线性空间�下面证充

分性�由于X 是W的子集,所以W(G)中数乘满足的�条性质及加法的交换律

·��· 第�章 线性空间 内积空间

与结合律对X 都成立�因此只要再证W的零元���X,X 中每个元�的负元

(��)��X�由于X 对数乘封闭,所以取���和��,即得

������X, (��)������X,

故X 是W(G)的线性子空间�例� 在线性空间W中,仅含零元的子集{�}是W的一个子空间,叫做零

子空间;W本身也是W的一个子空间�它们称为W的平凡子空间,W的其它子

空间称为非平凡子空间�例� 节���例�的解空间T是S�的一个子空间�例� S[y]�是S[y]的一个子空间,

S[y]�� b��b�yb�,b���{ }S 是S[y]�的一个子空间�例� S�的下列子集

X�� (y,z,{) y��

z��{ }{ ,

X�� (y,z,{)y�z�{��且y�z�{�{ }�

分别是过原点的直线y��

z��{

和不过原点的直线y�z�{��,y�z�

{��上的全体向量组成的S�的子集�读者不难验证X�是S�的一个子空间,

而X�不是子空间�定义��� 设T是线性空间W(G)的非空子集,我们把T中所有的有限

子集(即T中任意l个向量(l��,�,�,⋯)组成的子集)在域G上的一切线

性组合所组成的W(G)的子集合,称为T的线性扩张,记作M(T),即

M(T)� �����⋯��l�l��,⋯,�l��G,��,⋯,�l��T,l��O{ }H� �定理��� 线性空间W(G)的非空子集T的线性扩张M(T)是W中包含

T的最小子空间�证 M(T)显然包含T�下面先证M(T)是W的一个子空间�设�,���M(T),则存在��,⋯,�n;��,⋯,�o��T,使得

������������⋯��n�n, �������⋯��o�o,

其中��,��,⋯,�n;��,⋯,�o��G,于是

��������������⋯��n�n������⋯��o�o��M(T)�

a����G,也有

���������������⋯���n�n ��M(T),

所以M(T)是W 的一个子空间�再证M(T)是包含T的最小子空间�设X 是W 中包含T的任一子空间,则对任意的

·��·��� 线性子空间

������������⋯��n�n ��M(T)�由于��,��,⋯,�n��TO�X,所以���X,从而M(T)O�X�因此M(T)是

W中包含T的最小子空间�由于W的非空子集T的线性扩张M(T)是W 的一个子空间,所以也称

M(T)是由T“张成”的子空间(或生成的子空间)�如果T是有限子集{��,��,

⋯,�n},就称M(��,��,⋯,�n)是由向量组{��,��,⋯,�n}“张成”的子空

间�以上讨论了由一部分元素经过一定的运算“扩张”成对此运算封闭的一

个集合(代数结构)�但更重要的是相反的问题:即对一个代数结构是否能找到

在所给运算下“扩张”成这个结构的一组元素,当然这种元素越少越好�例如

中国古人长期以来就认为万物都由“金、木、水、火、土”所构成(当然古人不会

有“线性”的概念)�又如取各种颜料为元素组成的集合B,其运算为将颜料

(元素)按一定比例混合,由于用红、黄、蓝三种颜料可以配成各种颜色的颜

料,所以红、黄、蓝三种颜料可以“张成”B�下面对这个问题给出一般的数学描

述,先给出有限维线性空间的定义�定义��� W(G)称为有限维线性空间,如果W中存在一个有限子集T,

使得M(T)�W;否则,称为无穷维线性空间�例� S�是一个实数域上的有限维线性空间,因为S�中存在有限子集T

�{f�,f�,f�},其中f��(�,�,�),f��(�,�,�),f��(�,�,�),使得M(T)�

S��事实上,显然有M(T)O�S�;又S�中任一向量

��(b�,b�,b�)�b�f��b�f��b�f���M(T),

所以S�O�M(T),因此M(T)�S��例� S[y]�也是一个实数域上的有限维线性空间�在节���例�中已给

出它的一个有限子集T��{q�(y),q�(y),q�(y)},使得M(T�)�S[y]��此外,S[y]�有更简单的有限子集T�{�,y,y�},也使得M(T)�S[y]��

同理,S[y]o 也是实数域上的一个有限维线性空间�而全体实系数多项

式构成的线性空间S[y]则是实数域上的一个无穷维线性空间,因为它不存

在一个有限子集T,使得M(T)�S[y]�我们说一个线性空间是有限维的,是指存在有限个元素能张成这个空间,

但更重要的是这有限个元集“至少”要多少个�具体地说,应该如何区别S�和

So 这两个有限维线性空间?这就要回答下面的问题:如果C�{��,��,⋯,

�o}使得M(C)�X,那么在什么条件下可在C中去掉一部分元素,使余下的

·��· 第�章 线性空间 内积空间

元素仍可张成X 呢?为解决这个问题,必须先引入线性空间中向量的线性相

关性的概念�

��� 线性相关性

线性空间中向量的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质,它是阐

明线性空间理论的一个重要的基本概念�对它下定义之前,先看一下它在S�

中的几何背景�若三个非零向量��,��,��共面(起点皆在原点,如图���,���),则至

少有一个向量可由另两个向量线性表示(例如��可由��,��线性表示),这等

价于:存在不全为零的数��,��,��使����������������成立�这时如果

X �M(��,��,��),则X 中任一向量也可由��,��线性表示,从而��,��也

可张成X,即X �M(��,��)�若��,��,��不共面(如S�中基本向量f�,f�,

f�),则任一个向量都不能由另两个向量线性表示,即只有����������,才

使�����������������这表明��,��,��中缺少任一个都不能张成X�M(��,��,��)�

图��� 图���

上述S�中向量在线性运算下的性质,就是向量的线性相关性,它的一般

定义如下:

定义��� 设W(G)是一个线性空间,��,��,⋯,�n��W,如果存在不全

为零的��,��,⋯,�n ��G,使

����������⋯��n�n �� (���)

成立,则称��,��,⋯,�n 线性相关,否则称为线性无关�定义中的“否则”是指:不线性相关就线性无关,即“没有不全为零的��,

��,⋯,�n ��G,使得(���)式成立”,也就是“对任何不全为零的��,��,⋯,

�n ��G,(���)式都不成立”,这等价于“如果(���)式成立,则��,��,⋯,

·��·��� 线性相关性

�n 必须全为零”,即“仅当��,��,⋯,�n 全为零时,才使(���)式成立”�所谓向量的线性相关性是指向量线性相关和线性无关的性质�向量��,��,⋯,�n(n1��)线性相关的等价定义是:若��,��,⋯,�n 中

有一个向量可由其余向量在域G上线性表示,则称��,��,⋯,�n 线性相关�所谓两个定义等价,就是可以互相推出�现在把等价定义写成定理�

定理��� W(G)中的向量组��,��,⋯,�n(n1��)线性相关的充分必

要条件是��,��,⋯,�n 中有一个向量可由其余向量在域G上线性表示�证 设��,��,⋯,�n 线性相关,则存在不全为零的��,��,⋯,�n��G,

使得

����������⋯��n�n ���为表述简便,不妨设��-��,于是

�������������⋯������n�n,

必要性得证�反之,若��,��,⋯,�n 中的一个向量

�k������⋯��k���k����k���k���⋯��n�n,

�����⋯��k���k����k��k���k���⋯��n�n ��,

其中��,⋯,�k��,��,�k��,⋯,�n不全为零,所以��,��,⋯,�n线性相关,充

分性得证�定理���的等价命题 ��,��,⋯,�n(n1��)线性无关的充分必要条件

是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示�例� So中的f�,f�,⋯,fo是线性无关的,其中fj�(�,⋯,�,�,�,⋯,�)

是第j个分量为�,其余分量全为零的向量�因为,由

��f����f��⋯��ofo��即

(��,��,⋯,�o)�(�,�,⋯,�),

必有������⋯��o���例� 线性空间中单个向量�线性相关的充分必要条件是�为零向量�

因为�-��时,等式����成立的充要条件是����例� 含零向量的任 何 向 量 组{�,��,��,⋯,�n}都 线 性 相 关�因 为

��-��使

�����������⋯���n ���例� 判别S�中向量组{��,��,��}和{��,��,��}的线性相关性,其中

·��· 第�章 线性空间 内积空间

���(�,�,�), ���(�,�,�), ���(�,�,��),

���(�,��,�),���(��,�,��),���(�,�,�)�解 容易看出,��������,所以��,��,��线性相关�但对��,��,��

不易看出是否有线性关系,要按定义���来判别�设

y����y����y�����, �即

y�(�,��,�)�y�(��,�,��)�y�(�,�,�)�(�,�,�)�这个向量方程等价于下面的三元线性齐次方程组:

y��y��y���

��y���y��y���

y���y���y���

��

� ,

容易解得这个方程组只有零解y��y��y����即只有全为零的y�,y�,y�才使�成立,故��,��,��线性无关�

一般若���(b�,c�,d�),���(b�,c�,d�),���(b�,c�,d�),则��,��,

��线性相关(线性无关)的充要条件是三元线性齐次方程组

b�y��b�y��b�y���

c�y��c�y��c�y���

d�y��d�y��d�y��

��

� �有非零解(只有零解)�用此法可得S�中任何�个向量,So中任何o��个向量

都线性相关�例� 节���例�中的q�(y)���y,q�(y)���y,q�(y)�y�

y�是线性无关的�因为设

��(��y)���(��y)���(y�y�)��(零多项式), �即

(�����)�(��������)y���y����于是

�������;����������;����,

从而得����������,故q�(y),q�(y),q�(y)线性无关�例� 如果向量组{��,��,⋯,�o}线性无关,则其任一子集也线性无关;

如果向量组{��,��,⋯,�o}线性相关,则任何包含它的向量组也线性相关�我们只证明前者,不失一般性,设子集为{��,��,⋯,�l},如果

����������⋯��l�l��,

·��·��� 线性相关性

则必有������⋯��l��(否则有不全为零的��,��,⋯,�l,使

����������⋯��l�l���l�����l���⋯���o��成立,这与假设矛盾),所以{��,��,⋯,�l}线性无关�

定理��� 若向量组{��,��,⋯,�o}线性无关,而向量组{�,��,��,⋯,

�o}线性相关,则�可由��,��,⋯,�o 线性表示,且表示法唯一�证 由于向量组{�,��,��,⋯,�o}线性相关,所以存在不全为零的数量

�,��,��,⋯,�o,使得

�������������⋯��o�o��,

其中�必不等于零(如果���,则由{��,��,⋯,�o}线性无关又得��,��,

⋯,�o 必全为零,与题设矛盾),于是

�������������������⋯�����o�o�再证表示法唯一,设有两种表示法:

��c����c����⋯�co�o,

��d����d����⋯�do�o�于是

(c��d�)���(c��d�)���⋯�(co�do)�o��而{��,��,⋯,�o}线性无关,所以cj�dj��,即cj�dj(j��,�,⋯,o),故

�由��,��,⋯,�o 的表示法唯一�因为So 中任何o��个向量都线性相关,故有

推论 如果{��,��,⋯,�o}是So中线性无关的o个向量,则So中任一

个向量�可由��,��,⋯,�o 线性表示,且表示法唯一�定理��� 设W(G)中向量组{��,��,⋯,�t}的每个向量可由另一向量

组{��,��,⋯,�s}线性表示�如果t`�s,则{��,��,⋯,�t}线性相关�这个定理在S�中的几何背景是:如果��,��线性无关,��,��,��可由

��,��线性表示,则��,��,��都位于��,��所确定的平面上,故��,��,��线

性相关�下面给出一般的证明:

证 设�k���s

j���jk�j (其中�jk��G,k��,�,⋯,t),又设

y����y����⋯�yt�t��, �即

��t

k��yk�k���

t

k��yk ��

s

j���jk�( )j ���

s

j����t

k���jky( )k�j��

·��· 第�章 线性空间 内积空间

(第二个等号成立见本章附录),令上式中�j(j��,�,⋯,s)的系数全为零,

��t

k���jkyk��, j��,⋯,s, �

�式是关于y�,y�,⋯,yt的齐次线性方程组,由于其方程个数s小于未知量

个数t,因此方程组�必有非零解,从而有不全为零的y�,y�,⋯,yt使�式

成立,故{��,��,⋯,�t}线性相关�定理���的等价命题 如定理���所设,若{��,��,⋯,�t}线性无关,则

t0�s�定理���与定理���是了解清楚线性空间结构的重要定理,以后常要用

到它们�

��� 有限维线性空间的基和维数 向量组的秩

如果线性空间W(G)的线性无关的两个子集C��{��,⋯,�o}和C��{��,⋯,�n}都能扩张成W(G),则由

�k��W(G)�M(��,⋯,�o), k��,⋯,n以及定理���的等价命题,即得n 0�o;再由

�j��W(G)�M(��,⋯,�n), j��,⋯,o又得o0�n,从而就有n�o�这就是说,线性空间W(G)如能被其两组线性

无关的有限子集所张成,则它们所含向量个数相同�如此,我们可以给出下面

的定义�定义��� 如果线性空间W(G)的有限子集C�{��,⋯,�o}线性无关,

且M(C)�W,则称C为W的一组基,并称o为W的维数(或说W是o维线

性空间),记作ejnW�o�如果M(T)�W,且T是W的有限子集,则T中最大的线性无关向量的个

数就是能张成W的最少的向量个数,也就是W的维数�例 S�(So)的维数是�(o),所以称它为�维(o维)向量空间,其中的向

量也称为�维(o维)向量�它的基{f�,f�,f�}({f�,f�,⋯,fo})叫做自然基�

S[y]�是�维线性空间,C��{�,y,y�}和C��{��y,��y,y�y�}

都是S[y]�的基(见节���例�)�S[y]o是o维线性空间,C�{�,y,y�,⋯,

yo��}是它的一组基,也叫自然基�节���例�的解空间T是二维的,{�,�}是它的一组基,它是S�的一个二

·��·��� 有限维线性空间的基和维数 向量组的秩

维子空间�线性空间W的零子空间{�}的维数为零,因为其中没有线性无关的向量�在o维线性空间W�M(C)中,任一向量都可唯一地表示为基C�{��,

⋯,�o}的线性组合�由定理���可知,在o维线性空间W中,任何o��个向

量��,��,⋯,�o��都是线性相关的(因为它们都可由基C线性表示)�于是由

定理���又可知,o维线性空间W中任何o个线性无关的向量组成的子集CH�

�{��,⋯,�o}都是W的基(因为 a����W(G),{�,��,⋯,�o}是线性相关

的,因此�可由CH�线性表示),故W�M(CH�)�这表明,有限维线性空间的基

并不唯一,但任一组基所含向量的个数是唯一确定的�下面讨论W的子空间的基与W的基的关系�定理��� 如果X 是o维线性空间W的一个子空间,则X 的基可以扩

充为W的基(即X 的基可添加W中若干向量成为W的基)�证 设X 的基C��{��,⋯,�n},如果n �o,C�就是W的基�如果

n _�o,则必存在�n����W 使{��,⋯,�n,�n��}线性无关,不然的话,

ejnW_�o,与假设矛盾�如果n���o,定理已得证,如果,n��_�o,继

续上述步骤,必存在�n��,⋯,�o��W,使{��,⋯,�n,�n��,⋯,�o}线性无

关,这就是W的基�如果o维线性空间W(G)的有限子集T�{��,⋯,�o}中的o个向量线

性相关,那么W的子空间M(T)-�W,为了确定它的维数和基,我们先给出下

面的定义�定义��� 设T是线性空间W(G)的一个子集,如果T中存在线性无关

的向量组C�{��,⋯,�s},且T中每个向量可由C线性表示,则C中向量的

个数s叫做T的秩,记作秩(T)�s�如果T是有限维线性空间W(G)的子空间,那么T的秩就是T的维数�由秩(T)与M(T)的定义以及定理���可得以下结论:

(�)秩(T)�s,则T中任何s��个向量都线性相关�因此T中任何线性

无关的向量组至多含s个向量,并把含s个线性无关向量的向量组称为T的

极大线性无关组�(�)如果秩(T)�s,C�{��,⋯,�s}是T的极大线性无关组,则M(T)

�M(C),即ejnM(T)�秩(T)�(�)如果T,U是W(G)的两个有限子集,且T中每个向量可由U线性表

示,则秩(T)0�秩(U)�(�)如果T,U是W(G)的两个有限子集,则M(T)�M(U)的充要条件

·��· 第�章 线性空间 内积空间

是:T中每个元素可由U线性表示,且U中每个元素也可由T线性表示(此时

也称T与U是等价向量组)�下面证明结论(�)(其它结论的证明留给读者去完成)�证 设T�{��,⋯,�t},U�{��,⋯,�u},秩(T)�q,秩(U)�s;为

简便起见,不妨设T和U的极大线性无关组分别为CT�{��,⋯,�q}和CU�{��,⋯,�s}�由于T中每个向量可由U线性表示,所以T中每个向量也可由

CU 线性表示,从而CT中每个向量可由CU 线性表示�因此,根据定理���的等

价命题即得q0�s�例 已知S�的一个子集T�{��,��,��,��},其中

���(�,�,�,�), ���(�,�,�,�),

���(�,�,��,��), ���(�,�,�,�)�试求M(T)的维数及其一组基C�

解 T的任一个极大线性无关组C都是M(T)的基�求T的一个极大线

性无关组可用如下的方法:先考察��,��,由于��-��,��-����,所以��,��线性无关;再考察��,��,��,如果方程y����y����y�����,只有零解,则

��,��,��线性无关(然后再考察��,��,��,��),如果方程有非零解,则��,

��,��线性相关,去掉��,再考察��,��,��;如此继续下去,即可找到T的一

个极大线性无关组�但当T所含的向量较多时,用此法求其极大线性无关组

比较繁�下面再介绍一种通用而简便的方法�设

y����y����y����y�����, (�)

得方程组

y���y���y���y���

y��y��y��y���

�y���y���y��y���

y���y���y��y���

� ,

(�)

其增广矩阵为

� � � � �� � � � �� � �� � �� � �

U�U�U�U�U�U�

�� � �

� (�)

对矩阵(�)作初等行变换,所得同解方程组的增广矩阵为

·��·��� 有限维线性空间的基和维数 向量组的秩

� � � � �� � �� � �� � � � �

U�U�U�U�U�U�

�� � � � �

� (�)

(�)所对应的齐次线性方程组显然有非零解,所以��,��,��,��线性相关�由于(�)中的系数矩阵的�个列向量分别是��,��,��,��,因此,如果去掉��,

考察��,��,��的线性相关性,设

y����y����y�����, (�)

则由(�)所得的方程组的增广矩阵就是把(�)中第�列去掉的矩阵�用高斯消

元法解方程组(�)得到的同解方程组对应的增广矩阵就是在矩阵(�)中去掉

第�列,即

� � � �� � � �� � � �

U�U�U�U�U�U�

�� � � �

� (�)

(�)所对应的方程组只有零解y��y��y���,故��,��,��线性无关,它

就是T的一个极大线性无关组�于是ejnM(T)��,M(T)的一组基为{��,

��,��}�上述求T的一个极大线性无关组的方法是:把增广矩阵(�)用高斯消元

法(即对矩阵作初等行变换)化为增广矩阵(�)时,(�)中每一行第一个非零元

�所在的列(第�,�,�列)所对应的列向量(即��,��,��)就是T的一个极大

线性无关组�

��� 向量的坐标

第一章中,已介绍过空间几何向量关于基本向量组{f�,f�,f�}的坐标,这

里对o维线性空间引进向量的坐标的概念�定义��� 设C�{��,��,⋯,�o}是o维线性空间W(G)的一组基,如

果W 中元素�表示为

��b����b����⋯�bo�o,

则其系数组b�,b�,⋯,bo叫做�在基C下的坐标,记作�C�(b�,b�,⋯,bo)�由定义可见,W 中元素的坐标是由所选的基决定的,同一元素在不同的

基下一般有不同的坐标;又基C的向量组是有序的,因此坐标�C是有序数组,

·��· 第�章 线性空间 内积空间

它是Go 中的一个向量,也称为�关于基C的坐标向量�由定理���可知,有限维线性空间W(G)中每一个元素在给定的基C下

的坐标是唯一确定的,因此,给定了W(G)的一个基C,W中元素与Go中的向

量一一对应;而且保持元素间的线性运算关系不变,即如果

�C�(b�,b�,⋯,bo),�C �(c�,c�,⋯,co),

则 (���)C�(b��c�,b��c�,⋯,bo�co)��C��C,

(��)C�(�b�,�b�,⋯,�bo)���C�由此可见,研究任何o维线性空间W(G),都可以通过基和坐标,归结为研究o维向量空间Go�这样我们对各种各样的o维线性空间就有了统一的研究方

法,统一到研究Go�如果把Go的元素(b�,b�,⋯,bo)看成是o维几何向量(即

以(f�,f�,⋯,fo)为基的向量的坐标),那么Go又可以看成通常的几何向量空

间So�正因为如此,我们有时把线性空间和向量空间,线性空间中的元素和向

量不加区别也就是合理的了�例� So中的向量��(b�,b�,⋯,bo)在自然基C�(f�,f�,⋯,fo)下

的坐标也是(b�,b�,⋯,bo);S[y]�中的q(y)�b��b�y�b�y�在自然基

C�(�,y,y�)下的坐标(q(y))C �(b�,b�,b�)�例� So 有一组基C�{��,��,⋯,�o},其中

���(�,�,⋯,�),���(�,�,⋯,�),⋯,�o�(�,�,⋯,�),

试求��(b�,b�,⋯,bo)�b�f��b�f��⋯�bofo 在基C下的坐标�C�解 设�C �(y�,y�,⋯,yo),即

��y����y����⋯�yo�o,

于是

y��b�y��y��b�

⋯⋯

y��y��⋯�yo�bo

� �解这个方程组,得y��b�,y��b��b�,⋯,yo�bo�bo���

例� 若S[y]�的基C�(�,y��,(y��)�),则容易证明:q(y)�b�

�b�y�b�y�在基C下的坐标为:(q(y))C�(b��b��b�,b���b�,b�)�在o维线性空间W(G)中,同一个向量在不同基下的坐标之间的关系,我

们将在第�章用矩阵的工具给出简明的结论�

·��·��� 向量的坐标

���H� 子空间的交与和 直和

定义���� 设X�,X�是线性空间W(G)的两个子空间,则

X���X��{����X�且���X�},

X��X��{��������,����X�,����X�}

分别称为X�,X�的交与和�需要注意,X�,X�的和与X�,X�的并是不同的概念�X�,X�的交与和

仍是W的子空间�下面证明后者�设���G;�,���X��X�,即存在��,����X�,��,����X�,使得

�������, ��������于是

����(�����)�(�����)�(�����)�(�����)��X��X�,

����(�����)����������X��X�,

故X��X�是W(G)的一个子空间�两个子空间的交与和也可推广到多个子空间,而且W的子空间X�,X�,

⋯,Xn 的交

��n

j��Xj�{����Xj,j��,�,⋯,n}

与和

��n

j��Xj�{������⋯��n �j��Xj,j��,�,⋯,n}

也都是W的子空间�

图���图���

例� 设X��M(��,��),X��M(��,��)是S�中两个不同的子空间

(如图���所示),则X���X��M(��)是两个平面交线M上全体向量构成

·��· 第�章 线性空间 内积空间

的一维子空间;X��X��M(��,��,��)�S�,因为{��,��,��}是线性无

关的(如果{��,��,��}线性相关,则��可由��,��线性表示,从而X��X�与题设矛盾)�

例� 设X�与X�分别是S�中过原点的直线和平面(直线不在平面上)

上的全体向量构成的子空间(如图���),则

X���X��{�},

X��X��M(��,��,��)�S��从以上两例我们可猜测:子空间X�,X�,X���X�,X��X�的维数满足以

下关系式:

ejnX��ejnX��ejn(X��X�)�ejn(X���X�)�(���)

(���)式叫做子空间的维数公式�下面给出它的证明,设:

ejnX��t,ejnX��u,ejn(X���X�)�s,

X���X��M(��,��,⋯,�s),

X��M(��,��,⋯,�s,��,⋯,�t�s),

X��M(��,��,⋯,�s,��,⋯,�u�s),

于是

X��X��M(��,⋯,�s,��,⋯,�t�s,��,⋯,�u�s)�如此,只要证明ejn(X��X�)�t�u�s,即��,⋯,�s,��,⋯,�t�s,��,⋯,

�u�s(共t�u�s个向量)是线性无关的�为此,设

b����⋯�bs�s�c����⋯�ct�s�t�s�d����⋯�du�s�u�s��,�即

b����⋯�bs�s�c����⋯�ct�s�t�s��d����⋯�du�s�u�s� �易见,�式两端的向量分别属于X�,X�,所以它们都属于X���X�,于是

�d����⋯�du�s�u�s�e����⋯�es�s,

d����⋯�du�s�u�s�e����⋯�es�s��� �

�式左端是X�的基的线性组合,所以d��⋯�du�s��,代入�,再由{��,

⋯,�s,��,⋯,�t�s,}是X�的基,又得b��⋯�bs�c��⋯�ct�s��,

所以�式中的向量组线性无关�(���)式得证�定义���� 设X�,X�是W(G)两个子空间,如果X���X��{�},则

X��X�叫做X�与X�的直和,记作X��X��例�中的X��X�是直和,由此例易见有下面的定理�

·��·���H� 子空间的交与和 直和

定理��� 对子空间X�,X�,下列命题等价:

(�)X��X�是直和,即X���X��{�};

(�)X��X�中的每个向量�的分解式�������(����X�,����X�,)是唯一的;

(�)零向量�的分解式�������(����X�,����X�),仅当�������才成立;

(�)ejn(X��X�)�ejnX��ejnX��证 上述命题等价,只需证明(�)n�(�)n�(�)n�(�)n�(�)�先证(�)n�(�):设X��X�中的�有两个分解式

�������������, ��,����X�, ��,����X�,

则�������������X���X��{�},于是得�����,�����,故�的分解式是唯

一的�其次证(�)n�(�):由X��X�中零向量�的分解式唯一性以及�����,立即得命题

(�)成立�再证(�)n�(�):由命题�可推出X���X��{�},因为若X���X�-�{�},则存在�

-����X���X�,使得����(��),(其中���X�,����X�),这与命题(�)相矛

盾�再根据维数公式(���)就得命题(�)�最后由命题(�)及维数公式(���)立即得命题(�)成立�子空间的直和也可推广到多个子空间X�,X�,⋯,Xn,此时应定义为:

如果X�,X�,⋯,Xn 中每个子空间与其余子空间的和的交为{�},即

Xj����k-�jXk�{�}, j��,�,⋯,n,

则它们的和称为直和,记作X��X��⋯�Xn�如果X �X��X��⋯�Xn,则X 叫做X�,X�,⋯,Xn 的直和,此时X 中任

一个向量�将唯一地分解为

��������⋯��n, �j��Xj,j��,�,⋯,n�如果���,仅当������⋯��n ��时,上式才成立;而且

ejn(X��X��⋯�Xn)���n

k��ejnXk�

如果线性空间W�X��X�,则X�叫做X�的补空间,X�叫做X�的补空间,或

者说,X�与X�是互补子空间�有限维线性空间的一个子空间的补空间不是唯一的�例如S�中,X��M(��),X��

M(��,��),只要{��,��,��}线性无关,那么X�,X�就都是互补子空间�例如

S��M(f�,f�)�M(�),其中��(�,�,�),

S��M(f�,f�)�M(f�,�),�同上�

·��· 第�章 线性空间 内积空间

例� 设S�的两个子空间T�和T�为:

T��{(y�,y�,y�,y�)y��y��y��y���},

T��{(y�,y�,y�,y�)y��y��y��y���,y��y��y��y���}�

试求T��T�,T���T�和T�的补空间的基�解 先求T�和T�的基�T�是齐次方程y��y��y��y���的解空间,任取y��

l�,y��l�,y��l�,解得y���l��l��l�,于是

T��{l����l����l��� l�,l�,l���S}�M(��,��,��),

其中���{��,�,�,�},���{��,�,�,�},���{��,�,�,�},易证{��,��,��}是T�的

一组基�T�是齐次线性方程组

y��y��y��y���

y��y��y��y��{ �

的解空间,用高斯消元法容易求得

T��{l����l��� l�,l���S}�M(��,��),

其中���(�,��,�,�),���(�,�,�,�)线性无关,因此,{��,��}是T�的基,如此即得

T��T��M(��,��,��)�M(��,��)�M(��,��,��,��,��)�

用节���例题的方法,求得T��T�的一组基为{��,��,��,��}�由维数公式可知

ejn(T���T�)�ejnT��ejnT��ejn(T��T�)���������

再由T�与T�的假设可见,T���T�是齐次线性方程组

y��y��y��y���

y��y��y��y���

y��y��y��y��

��

� �

的解空间�于是用高斯消元法求得T���T��M(�),其中��(�,��,�,�)是T���T�的

基�欲求T�的补空间的基,只需把T�的基扩充为S�的基�此时可利用习题��的结论�由

于���(�,�,�,�)不能由��,��线性表示,所以��,��,��线性无关;再根据

���������������(�,�����,��,�����),

则���(�,�,�,�)不能由��,��,��线性表示,所以{��,��,��,��}是S�的基,其中{��,

��}便是T�的一个补空间的一组基�以后学了行列式,利用定理���和节���中例�的结

论,也很容易确定��,���

��� 内积空间

线性空间中的线性运算不能描述向量的度量性质,如向量的长度、夹角

等�而向量的度量性质在分析、几何问题中是不可缺少的,所以我们必须引入

·��·��� 内积空间

度量的概念�在节���空间几何向量的运算中,讲过向量的长度、夹角都可由向量的内

积表示,而且向量的内积满足�条运算规则�现在,我们在抽象的线性空间中

先定义内积运算(要求它满足几何向量的内积的�条性质),再用内积定义线

性空间中向量的长度和向量之间的夹角�定义了内积的线性空间就称为内积

空间�这里我们仅讨论实数域上的内积空间�定义���� 在实空间W(S)上定义一个二元运算,使W中元素�,�与一

个实数相对应,记作(�,�),如果a��,���W,���S,满足:

(�)(�,�)�(�,�);

(�)(���,�)�(�,�)�(�,�);

(�)(��,�)��(�,�);

(�)(�,�)1��,等号成立当且仅当���,

则称实数(�,�)为向量�,�的内积,定义了内积的W(S)称为实内积空间,

有限维实内积空间叫做欧氏空间(Fvdmje空间)�这里附带说一下,在复空间W(D)上的内积定义,只是把(�)改为

(�,�)�(�,�),

即(�,�)与(�,�)互为共轭复数�复内 积 空 间 通 常 称 为 酉 空 间(Vojubsztbdfq )�

由定义可得,零向量与任何向量的内积等于零,即

(�,�)�(��,�)��(�,�)���又

��n

j���j�j,��

o

k���k�( )k ���

n

j����o

k���j�k(�j,�k)�

根据内积的第(�)条性质,我们可用内积定义向量的长度�定义���� 实内积空间W(S)中向量�的长度定义为

� � (�,�� )� (���)

例� a���(b�,b�,⋯,bo),��(c�,c�,⋯,co)��So,定义

(�,�)�b�c��b�c��⋯�boco�容易验证它是So 的一个内积,并称之为So 的标准内积�此时向量�的长度

� � b���b���⋯�b�� o�在So 中定义内积的方法不是唯一的�

例� a���(b�,b�),��(c�,c�)��S�,定义

·��· 第�章 线性空间 内积空间

(�,�)�b�c��b�c��b�c���b�c��它也是S�的一个内积,我们验证它满足内积的第(�)条性质:

(�,�)�b�b���b�b���b�b��(b��b�)���b��1���其等号成立当且仅当b��b���,即����

此时向量�的长度� � (b��b�)���b� ���

关于该内积,对��(�,�)和�����

,��( )� ,有 � � � ,(�,�)���

例� 在S[y]�中,对任意的g(y)�b��b�y�b�y�,h(y)�c��

c�y�c�y�,定义

g(y),h(y( ))�b�c��b�c��b�c��容易验证它是S[y]�中的一个内积�但在S[y]o 空间中,常用积分定义

(g(y),h(y))�&�c

bg(y)h(y)ey�

定理��� 设W(S)是一个内积空间,则a��,���W,和���S,有

(�)�� � � � ;

(�)(�,�) 0� � � ; (���)

(�)��� 0� � �� ,

其中(�)称为柯西�施瓦茨(Dbvdiz�Tdixbs{)不等式,(�)称为三角不等式�

证 (�)�� � (��,��� )� ��(�,�� )� � � �(�)当���时,结论成立;当�-��时,令������,则

(�,�)�(����,����)

�(�,�)��(�,�)��(�,�)��1���由这个关于�的二次三项式的非负性,即得其判别式

�(�,�)���(�,�)(�,�)0��,

即(�,�)�0� � �� �,从而(�,�) 0� � � �上式等号成立当且仅当�,�线性相关(证明留给读者完成)�

(�)由

��� ��(���,���)�(�,�)��(�,�)�(�,�)

0� � ���� � �� �,

即得三角不等式(其中“0�”成立是利用了(�)的结论)�有了Dbvdiz�Tdixbs{不等式,就可用内积定义向量的夹角�定义���� 对任意非零向量�,���W(S),定义其夹角

·��·��� 内积空间

骉�,�骍�bsddpt(�,�)� � � (���)

非零向量�,�正交(即�!��),当且仅当(�,�)���由于零向量与任何

向量的内积等于零,所以也说零向量与任何向量正交�于是一般说,�,�正交

当且仅当(�,�)���如果�!��,由定理���中三角不等式(�)的证明,即得勾股定理

��� �� � ��� �� (����)

例 在So 中,对标准内积,有fj!�fk,j-�k,j,k��,�,⋯,o�

S�中,对例�定义的内积,与f��(�,�)正交的向量为(c,c),其中c为

任意实数�定理��� 在内积空间W(S)中两两正交的非零向量组T�{��,��,

⋯,�n}是线性无关的�证 该定理证明可用直接证法,现用反证法:设T线性相关,于是T中有

一个向量可由其余向量线性表示,不妨设

��������⋯��n�n,

则当k-��,即k��,�,⋯,n 时,均有

(��,�k)�(�����⋯��k�k�⋯��n�n,�k)

���(��,�k)�⋯��k(�k,�k)�⋯��n(�n,�k)

��k(�k,�k)��,

而(�k,�k)`��,故�k��(k��,�,⋯,n),从而����,与定理的假设矛盾�

��� 欧氏空间的单位正交基

由于欧氏空间中的向量具有几何度量性,因此,在欧氏空间中常用有某种

度量性质的基�定义���� 设C�{��,��,⋯,�o}是o维欧氏空间W(S)的一个子集,

如果

(�j,�k)��,j�k,

�,j-�k��� ,

j,k��,�,⋯,o,

则称C为W的单位正交基(或称标准正交基)�由定义易见,所谓单位正交基就是每个基向量都是单位长,而且基向量两

两正交�例如,在So中,自然基C�{f�,f�,⋯,fo}关于标准内积是单位正交基�

·��· 第�章 线性空间 内积空间

但在抽象的欧氏空间中,有必要证明其单位正交基存在�定理���� 欧氏空间W(S)恒有单位正交基�证 设C�{��,��,⋯,�o}是o维欧氏空间W(S)的一组基,我们采用

下面的作法(通常称为Tdinjeu正交化过程),由C构造出W(S)的一组单位正

交基�令

�����,

������������由于��,��线性无关,所以,��-��,为使��,��正交,即

(��,��)�(��������,��)�(��,��)����(��,��)��,

可取

�����(��,��)(��,��)�

如果已求出两两正交的非零向量��,��,⋯,�n��,再令

�n ��n��n��,n�n���⋯���n�����n��� �为使�n 与�l(l��,�,⋯,n��)正交,即

(�n,�l)�(�n,�l)��ln(�l,�l)��,

可取

�ln ��(�n,�l)(�l,�l), l��,�,⋯,n��� �

由于�l��M(��,��,⋯,�l),l��,�,⋯,n��,所以�式中的�n -��,否

则�n ��M(��,��,⋯,�n��),这与��,��,⋯,�n 线性无关矛盾�按数学归纳法原理,用上述方法就可由基C构造出如�、�式所示的两

两正交的非零向量组��,��,⋯,�o,即

�����,

������(��,��)(��,��)��,

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

�o��o�(�o,�o��)

(�o��,�o��)�o���⋯�(�o,��)(��,��)���

(�o,��)(��,��)���

再将它们单位化,即

�n ��n�n

, n ��,�,⋯,o�

如此即得到W(S)的单位正交基CH� �{��,��,⋯,�o}�

·��·��� 欧氏空间的单位正交基

例� 已知C�{��,��,��}是S�的一组基,其中���(�,��,�),

���(�,�,�),���(�,��,�),试用Tdinjeu正交化方法,由C构造S�的一

组单位正交基�解 取

������(�,��,�),

������(��,��)(��,��)���(�,�,�)�

(�,��,�)� � �

�,��

,( )� ,

������(��,��)(��,��)���

(��,��)(��,��)��

�(�,��,�)�����

,��

,( )���(�,��,�)�

� ���,���

,( )�� �

再将��,��,��单位化,得S�的一组单位正交基��,��,��,即

������� �

���

,����

,( )� ,

������� �

���

,���

,��( )� ,

������� � ��

��,����

,��( )� �

例� 如果C�{��,��,⋯,�o}是o维欧氏空间W(S)的一组单位正交

基,�,�关于基C的坐标分别为(b�,b�,⋯,bo)和(c�,c�,⋯,co),则

(�)bj�(�,�j),j��,�,⋯,o;

(�)(�,�)�b�c��b�c��⋯�boco�解 由��b����⋯�bj�j�⋯�bo�o,即得

(�)(�,�j)�b�(��,�j)�⋯�bj(�j,�j)�⋯�bo(�o,�j)

�bj(�j,�j)�bj,j��,�,⋯,o�(�)(�,�)�((b����b����⋯�bo�o),(c����c����⋯�co�o))

�b�c��b�c��⋯�boco�

���H� 正交子空间 正交补

本节讨论欧氏空间中子空间的正交关系�定义���� 设���W(S),X是W(S)的一个子空间,如果a����X,均

·��· 第�章 线性空间 内积空间

有(�,�)��,则称�与X 正交,记作�!�X�定义���� 设X�,X�是W(S)的两个子空间�如果a����X�,���X�

均有(�,�)��,则称X�与X�互相正交,记作X�!�X��如果子空间X�,X�正交,则X��X�是直和�这是因为a����X���X�,

均有(�,�)��,故���,从而X���X��{�}�同理:若X�,X�,⋯,Xn 两两正交,则它们之和也是直和�定义���� 设 X�,X� 是W(S)的两个子空间,如果 X�!� X�,且

X��X��W,则称X�是X�的正交补,记作X!���

显然,W的子空间X 与其正交补X!� 的和是直和,而且

X �X!��W�例如:两个子空间X��M(��)和X��M(��,��)(如图���),当��

!�X�时,X�与X�是正交子空间,且互为正交补;而S�中两个一维子空间

X��M(��)和X��M(��)(如图���),当��!���时,X�!�X�,但X�与X�并不互为正交补,因为X��X��M(��,��)-�S��

图��� 图���

需要注意,在S�中过原点的两个垂直平面��与��上所有向量分别形成

的子空间X�与X�,并不是正交子空间,因为此时X���X�-�{�},而是一个

一维子空间�下面的定理告诉我们如何求一个子空间的正交补�定理���� 如果X�是o维欧氏空间W(S)的一个子空间,则

X��{����W 且�!�X�}

是X�的正交补�证 设C��{��,⋯,�n}是X�的单位正交基,将C�扩充为W的单位

正交基C�{��,⋯,�n,�n��,⋯,�o}�于是对任意的

·��·���H� 正交子空间 正交补

��b����⋯�bn�n�bn���n���⋯�bo�o��X�均有

(�,�j)�bj��, j��,�,⋯,n,

所以

��bn���n���⋯�bo�o��M(�n��,⋯,�o),

故X�O�M(�n��,⋯,�o);显然,后者中任一向量� !� X�,所 以 X��M(�n��,⋯,�o),且X�!�X�;又X��X��W,故X�是X�的正交补�

由定理的证明可见

ejnX�ejnX!��ejnW�此结论由节���中的维数公式(���)及X ��X!��{�}也可得到�

例 设X �M(��,��)是S�的子空间,其中���(�,�,��,�),���(�,�,�,�)�求X!��

解 设y�(y�,,y�,y�,y�)��X!�,于是y!�X�容易证明:y!�X的

充要条件是

(y,��)�� 且 (y,��)���因此y满足

y��y���

y��y��y��y�����

� �容易解得y����������,其中���(�,��,�,�),���(�,��,�,�),��,

��为任意实数�所以X!��M(��,��)�

附录 双重连加号���� 连乘号��

o个数b�,b�,⋯,bo求和时,可将b��b��⋯�bo表示为��o

l��bl,�� 叫

做求和的连加号�例如

��o

k��b�kyk�b��y��b��y��⋯�b�oyo�

用两个角标编号的n�o个数bjk(j��,�,⋯,n;k��,�,⋯,o)

b��, b��, ⋯, b�k, ⋯, b�o⋯, ⋯, ⋯, ⋯, ⋯, ⋯

bj�, bj�, ⋯, bjk, ⋯, bjo⋯, ⋯, ⋯, ⋯, ⋯, ⋯

bn�,bn�, ⋯,bnk, ⋯,bno

·��· 第�章 线性空间 内积空间

求它们的和T时,可以先把第一个角标为j的o个数相加,记作

Tj�bj��bj��⋯�bjk�⋯�bjo���o

k��bjk,j��,�,⋯,n,

然后再把T�,T�,⋯,Tn 相加,得

T���n

j��Tj���

n

j����o

k��bjk� �

同样也可以先固定第二个角标,而对第一个角标j求和,得

T�k�b�k�b�k�⋯�bjk�⋯�bnk���n

j��bjk,k��,⋯,o,

然后把T��,T��,⋯,T�o 相加得

T���o

k��T�k���

o

k����n

j��bjk� �

显然,�,�式相等�这表明对角标j与k的求和次序可颠倒�欲对�式中部分数求和,可注明角标应满足的条件,例如

���0�k_�j0�o

bjk�(b���b���⋯�bo�)�(b���b���⋯�bo�)

�⋯�(bo��,o���bo,o��)�bo,o���再如b��b��⋯�bj���bj���⋯�bo 可表示为��

k-�jbk�

以后,我们有时也用连乘积记号��,例如��o

k��bk�b�b�⋯bo�

习 题

��检验下列集合对指定的加法和数量乘法,是否构成实数域上的线性空

间�(�)S��{(y,z)y,z��S}对通常的向量加法和如下定义的数量乘法:

���(y,z)�(�y,z);

(�)集合S�,其加法同(�),数量乘法为:

���(y,z)�(y,z), a����S;

(�)集合S�,其加法同(�),数量乘法为:

���(y,z)�(�,�), ���,

�y,z( )� ,�-����

� ;

·��·习 题

(�)平面上不平行于某一向量��的所有起点在原点的向量,对通常的向

量加法和数量乘法;

(�)有理数集R对普通的数的加法和乘法;

(�)复数集D对普通的数的加法和乘法;

(�)H� 正实数集S�对如下定义的加法和数量乘法:

b�c�bc, ���b�b�;

(�)H�So��{(b�,⋯,bo)bj��S�,即bj`��},对如下定义的向量加法和

数量乘法:

(b�,⋯,bo)�(c�,⋯,co)�(b�c�,⋯,boco),

���(b�,⋯,bo)�(b��,⋯,b�o);

(�)集合W为区间[b,c]上所有函数值1��的实变量函数,即

W� gg(y)1��,a�y��[b,c{ }]�对通常的函数加法和数与函数的乘法,即:

(g�h)(y)�g(y)�h(y),

(���g)(y)��g(y);

(��)W�� gy��S,g(y)��S,且g(�y)��g(y{ }),

W�� gy��S,g(y)��S,g(�)��,且g(�y)�g(y{ })�对题(�)所定义的加法和数量乘法;

(��)H�W �{gy �� S,g(y)�� D(即g 为 实 变 量 复 值 函 数),且

g(�y)�g(y)(后者为g(y)的共轭复数)},对题(�)所定义的加法和数量

乘法���在向量空间W(G)中:

(�)a��,���G,�,���W,计算(���)(���)�(�)设y��W,对a��j��W及a��j��G(但���⋯��o-��),求解向

量方程(即求解y):��(���y)�⋯��o(�o�y)���

��判断下列子集是否为给定线性空间的子空间(对S�中的子集并说明其

几何意义):

(�)X �{(y�,⋯,yo)��Gob�y��⋯�boyo��,其中b�,⋯,bo为域

G中的固定数量};

(�)X��{(y,�,�)��S�}, X��{(y,z,�)��S�};

(�)X��{(y,z,{)��S�y��z�{��},

X��{(y,z,{)��S�y��z�{��};

·��· 第�章 线性空间 内积空间

(�)X�� (y,z,{)��S� y��z��� �{���{ }� ,

X��{(y,z,{)��S�y�z��且y�z�{��};

(�)X��{q(y)��S[y]q(�)��},

X��{Q(y)��S[y]oq(�)�q(�)};

(�)X �{g��G(��,��)g(�y)�g(y),a�y ��S},其 中

G(��,��)是所有定义在(��,��)上的实值函数对通常的函数加法

及数与函数的乘法在实数域上构成的线性空间���设��,��,����So,d�,d�,d���S,如果d����d����d�����,且

d�d�-��,证明:M(��,��)�M(��,��)�

��设X 是线性空间W的一个非平凡子空间,给定非零向量���Wa�X,

证明:X��{������X}不是W的一个子空间���设���(�,�,�),���(�,�,�),���(�,��,�),问下列��,��属于

M(��,��,��)吗?如属于,它们由��,��,��线性表示唯一吗?为什么?

(�)���(�,��,��); (�)���(�,�,��)���判别下列向量组的线性相关性:

(�)���(�,�,�), ���(�,�,�), ���(�,�,�);

(�)���(�,��,�,�),���(�,�,�,�),���(�,�,�,��);

(�)S[y]�中:q�(y)��, q�(y)�(y�y�), q�(y)�(y�y�)�,

其中常数y���S���证明:如果向量组有一个部分组线性相关,则整个向量组也线性相关���设向量组{��,��,⋯,�t}O�So,��,��,⋯,�t是分别在��,��,⋯,�t的

第o个分量后任意加一个分量c�,c�,⋯,ct而形成的o��元向量组,证明:若

��,��,⋯,�t线性无关,则��,��,⋯,�t也线性无关�并叙述这个命题的等价

命题����下列命题是否正确?如正确,证明之,如不正确,举反例�

(�)若��,⋯,�n(n`��)线性相关,则其中每一向量都是其余向量的线

性组合;

(�)若��,⋯,�n 线性无关,则其中每一向量都不是其余向量的线性组

合,这个命题的等价命题应如何叙述?

(�)��,⋯,�n(n `��)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无

关;

(�)若��,��线性相关,��,��线性相关,则�����、�����也线性相关;

·��·习 题

(�)若��,⋯,�o 线性无关,则�����,�����,⋯,�o����o,�o���也线性无关;

(�)若��,��,��线性相关,则�����,�����,�����也线性相关;

(�)H� 设C�{��,��,��}是S�的一组基,非零向量����S�,则{���

��,�����,�����}(其中三个向量均是非零向量)也是S�的一组基;

(�)设C�{��,��}是S�的一组基,则{�����,�����}也是S�的一

组基;

(�)一个有限维线性空间只含有有限个子空间;

(��)H� 如果X�,X�是So的两个子空间,C�,C�分别是X�,X�的基,则

存在So 的一组基C,使得CP�{C���C�}����在函数空间中,判断下列向量组的线性相关性,并证明之:

(�)�,tjo�y,dpt�y; (�)H��,�y,��y����设在线性空间W(G)中,向量�是{��,⋯,�s}的线性组合,但不是

{��,⋯,�s��}的线性组合,证明:M(��,⋯,�s��,�s)�M(��,⋯,�s��,�)�

���若{��,��,��,��}线性相关,但其中任意三个向量线性无关,则存在

一组全不为零的数��,��,��,��,使得�������������������������设向量组��,⋯,�s线性无关,证明:�,��,⋯,�s 线性无关的充要条

件是�不能由��,⋯,�s线性表示�

��H��设��,⋯,�o��Go,证明:��,⋯,�o线性无关的充要条件是Go中任

一向量都可由它们线性表示���H��证明:若向量�可经向量组{��,⋯,�s}线性表示,则表示法唯一的

充要条件是{��,⋯,�s}线性无关����在线性空间W(G)中,对于给定的一个向量组{��,⋯,�o},如何判断

它是否是W(G)的一组基向量?如果已知ejnW�o,又如何判断{��,⋯,�o}

是否是W(G)的一组基向量?什么是有限维线性空间的维数?

���求下列线性空间的维数及其一组基(向量):

(�)第�题中的(�),(�),(�);

(�)全体二元复数向量在复数域上构成的线性空间;

(�)H� 全体二元复数向量在实数域上构成的线性空间����求下列子空间的一组基及其维数:

(�)X��{(y�,y�,y�)��S�y��y��y���,y��y��y���};

(�)X��{(y�,y�,y�,y�)��S�y��y��y��y���};

·��· 第�章 线性空间 内积空间

(�)X��{(y�,y�,y�,y�)��S�y��y��y��y���};

(�)X��M(��,��,��),其中

���(�,�,�),���(�,�,��),���(�,�,�);

(�)X��M(��,��,��),其中

���(�,�,��),���(�,�,�),���(�,�,��)�

���设

X��{(y�,y�,y�,y�)��S�y��y�,y��y�},

X��{(y�,y�,y�,y�)��S�y���y�,y���y�}�证明:(�){f��f�,f��f�}是X�的基,{f��f�,f��f�}是X�的基,其中

{f�,f�,f�,f�}是S�的自然基�(�)H�S��X��X�,即S�是X�与X�的直和����已知{��,⋯,�o}是线性空间W(G)的一组基向量,如何求W(G)中

任一向量关于这一组基的坐标?

���证明:���(�,�,�),���(�,�,�),���(�,�,�)是S�的一组基,并

求��(�,��,�)关于这组基的坐标����已知S�的两组基为:{��,��}和{f�,f�},其中���(�,��),���

(�,��),f��(�,�),f��(�,�)�试求一个非零向量���S�,使�关于这两

组基有相同的坐标,并求这个�关于基{��,��}的坐标,其中���(��,�),

���(�,�)�

���证明:{�,y��,(y��)�}是S[y]�的一组基,并求g(y)�b�cy�dy�

关于这组基的坐标����已知C�{�,y�b,(y�b)�}(b-��)是S[y]�的一组基,求S[y]�

的自然基{�,y,y�}中每个向量关于基C的坐标���H��求下列子空间的交与和的维数及其一组基:

(�)H� 第��题中的X�与X�;

(�)第��题中的X�与X��

���(�)把��题中X�的基扩充为S�的基;

(�)把��题中的X�基扩充为S�的基�

��H��设X�,X�是线性空间W的两个子空间,ejnX��n,ejnX��o,

n 0�o,证明:

(�)ejn(X���X�)0�n; (�)ejn(X��X�)0�n�o�

��H��(�)对��题中的X�,求W�,使S��X��W�,并问这样的W�是

·��·习 题

否唯一?

(�)对��题中的X�,求其补空间W�;

(�)设X 是So 的l维子空间(�_�l_�o),如何求X 的补空间W���H��证明:每个o维线性空间都可以表示成o个一维子空间的直和����已知:��(�,�,��,�),��(�,�,�,��),��(��,��,��,�):

(�)求�,�,�的长度及夹角〈�,�〉与〈�,�〉;

(�)求与�,�,�都正交的所有向量����求与向量(�,�,��,�),(�,��,��,�),(�,�,�,�)都正交的单位向

量���H��X �M(��,⋯,�n)是So的一个子空间,已知�与向量组{��,⋯,

�n}中每个向量都正交,证明:�!�X�

��H��X �M(��,⋯,�n)是内积空间W 的一个子空间,设��,⋯,�l��W,证明:如果(�j,�k)��,j��,⋯,l,k��,⋯,n,则M(��,⋯,�l)!�X�

���a���(y�,y�),��(z�,z�)��S�,定义:

(�,�)�by�z��cy�z��dy�z��ey�z�(其中b,c,d,e��S),问:b,c,d,e满足什么条件时,(�,�)是S�上的一个

内积?

���用Tdinjeu正交化过程,由下列向量组关于So 的标准内积分别构造

一组单位正交向量组:

(�)���(�,�,�),���(�,�,�),���(�,�,�);

(�)(�,�,���),(�,�,��,�),(�,�,�,��);

(�)(�,�,��,�),(�,�,��,��),(�,�,�,�);

(�)(�,�,�,��),(�,�,�,��),(�,�,��,�),(�,�,�,�)����设{��,��,��,��,��}是欧氏空间W的一组单位正交基,X �M(��,

��,��),其中��������,�����������,�������������试求X的一组单位正交基���H��求齐次线性方程组

�y��y���y��y���

�y���y���y���

�y��y���y��y��

��

� �的解空间T的正交补T!����H��设X 是So的非平凡子空间,���X,证明:����So,使���X!�,

·��· 第�章 线性空间 内积空间

且(�,�)-������设{��,⋯,�o}是o维欧氏空间W的一组单位正交基,证明:

(�)如果���W,且(�,�j)��(j��,⋯,o),则���;

(�)如果��,����W,且a����W,均有(��,�)�(��,�),则���������设�是o维欧氏空间中的一个固定的非零向量,证明:

(�)X �{�(�,�)��,���W}是W的一个子空间;

(�)ejnX �o���

补 充 题

�H��设F是域G的一个子域�(�)证明:G关于自身的加法和乘法,构成一个F上的向量空间,并举一

例;

(�)举例说明,F(F-�G)不是G上的向量空间;

(�)证明:若W是G上的一个向量空间,则W也是F上的一个向量空间���设W 是一个线性空间,X 是W 的子集�证明:X 是W 的子空间 k�

M(X)�X���设T�,T�是线性空间W的两个子集,证明:

M(T���T�)T�M(T�)��M(T�),

并在S�中分别举出两个例子,使得上式中等号成立和等号不成立���证明:若S�中的向量��(b�,b�),��(c�,c�)满足

b�c��b�c��� b���b���c���c����,

则�,�是S�的一组基���设{�,�}是S�的一组基,又

���d����d���, ���d����d���证明:{��,��}是S�的基k�d��d���d��d��-���

�H��设向量组{��,��,⋯,�s}线性无关,证明:在向量组{�,��,��,⋯,

�s}中至多有一个向量�j(�0�j0�s)可被其前面的j个向量{�,��,⋯,�j��}

线性表示��H��证明:��,��,⋯,�s(其中��-��)线性相关k�存在一个�j(�_�j0�

s),使得�j可以由��,��,⋯,�j��线性表示,且表示法唯一�

�H��设W�,W�是线性空间W 的两个非平凡子空间,证明:����W,使

·��·补 充 题

���W�和���W�同时成立,并在S�中举一例�

�H��设W�,⋯,Wn(n`��)是线性空间W的n个非平凡子空间,证明:W中存在同时不属于W�,⋯,Wn 的向量�并在S�中举一例�

��H��设T��{��,⋯,�t}和T��{��,⋯,�u}是向量空间W的两个线性

无关的子集,证明:

(��,⋯,�t,��,⋯,�u)线性无关k�M(T�)��M(T�)�{�}�

��H��设X�,X�,X�,X�都是S�的子空间,如果X�T�X��X��X�,

是否必有

X��X���X��(X���X�)�(X���X�)�

���在三维复向量空间D�中,对任意向量��(y�,y�,y�)和��(z�,

z�,z�)定义:(�,�)�y�z��y�z��y�z��(�)验证(�,�)是D�上的一个内积(称为D�上的标准内积)�(�)H� 已知X �M(�)(其中��(j,�,�)),求X 及X!� 关于D�的标准

内积的单位正交基����设W是实数域S或复数域D上的内积空间,证明:

(�) � �� 0� ��� , �,���W;

(�)��� �� � ���Sf(�,�)�� �, �,���W,

其中Sf(�,�)表示复数(�,�)的实部;

(�)a��,���W(S),(�,�)��� ������� ���

��

部分习题和补充题答案

习题

��(�),(�),(�),(��)均是;(�),(�),(�),(�),(�),(�)均不是;(��)W�是,W�不是�

��(�)�����������;(�)�(���⋯��o)��(�����⋯��o�o)���(�)是;(�)X�不是,X�是(yPz平面上的全体向量);(�)X�是,

X�不是(不过原点的平面上的全体向量);(�)X�不是(不过原点的直线上

的全体向量),X�是(过原点的直线上的全体向量);(�),(�)均是���(提示:证明零向量��X��)

��(�)不属于;(�)属于,不唯一,��,��,��线性相关���(�),(�)均线性相关;(�)线性无关�

·��· 第�章 线性空间 内积空间

���(�)不正确;(�),(�)均不正确;(�)o为奇数时线性无关,o为偶

数时线性相关;(�)正确;(�)不正确;(提示:取��,使������(�����)

�(�����))�(�)正确;(�)不正确;(��)不正确����(�)线性相关;(�)线性无关����提示:利用节���定义���后的结论(�)及��d����⋯�ds���s��

�ds�s,其中ds-������提示:证充分性时,用反证法,设�,��,⋯,�s线性相关�

���提示:证充分性时,利用Go 的自然基可被��,⋯,�o 线性表示����提示:证必要性时,用反证法,设��,⋯,�s线性相关����(�)��,{�,j}, ��,{d},d`��,d-��,

�o,{f�,f�,⋯,fo},其中fj�(�,⋯,�,dj,�,⋯,�),dj`��,dj-��,j��,⋯,o;

(�)�,{f�,f�},(�)�,{(�,�),(j,�),(�,�),(�,j)}����(�)�,{(��,�,�)};(�)�,{(��,�,�,�),(�,�,�,�),(�,�,�,�)};

(�)�;(�)�,{��,��};(�)�,{��,��}�

�����,���

,( )�� � �����(��,�),在{��,��}下坐标为(�,��)�

���(b��c��d,c��d,d)� ���(�,�,�),(b,�,�),(b�,�b,�)�

���(�)交:�,{�����};和�,{��,��,��};(�)交:�,{(�,�,�,�),(�,

�,�,�)};和:�,S�的基�

���(提示:利用第��题的结论�)(�){��,��,(�,�,�)};(�){(��,�,�,

�),(�,�,�,�),(�,�,�,�),(�,�,�,�)}����利用维数公式� ���(�)W��M{(�,�,�),(�,�,�)},不唯一;

(�)W��M{(�,�,�)},不唯一�

���(�)��,���,���;bsddpt �����

,bsddpt ����

����(��,�,��,�)

���� ���d�c,b`��,be�c�`���

���(�)���

,���

,��( )� ,��

��,���

,��( )� ,�,��

��,��( )� ;

(�) ����

(�,�,�,��),����

(�,�,��,�),����

(�,��,��,��);

(�)���

(�,�,��,�), ������

(��,��,��,���),�����

(��,�,��,�);

·��·部分习题和补充题答案

(�) ����

(�,�,�,��),����

(�,�,��,��),�����

(�,�,�,��)�

������

(�����),����

(�������������),��

(�����������)�

���M{(�,�,�,��),(�,�,�,��)}����用反证法,或用构造性证法(设 X �M(��,⋯,�l),{��,⋯,�l,�l��,

⋯,�o}为单位正交基)����(�)提示:设��b����⋯�bo�o,证明b�,⋯,bo 全等于零;

(�)提示:利用内积的性质及本题(�)的结论�补 充 题

��如F是实数域,G是复数域���例�:��,��,��线性无关,T��{��,��},T��{��,��},等号成立;例

����,��,��共面,T�,T�同例�,等号不成立���用反证法���W��M{(�,�,�)},W��M{(�,�,�),(�,�,�)},��(�,�,�)���利用上题结论,用数学归纳法证明����用维数公式����第一个等号成立,第二个等号不一定成立�

���(�)���

(j,�,�{ });���

(�,�,j),(�,�,�{ })�

·��· 第�章 线性空间 内积空间

第�章 线 性 映 射

线性空间上的线性映射概念是一元线性函数概念的推广�我们主要讨论

有限维线性空间的线性映射�本章的重点是线性映射的定义和简单性质;线性

映射的像和核的概念;有限维线性空间的线性映射与其基像的关系;线性映射

的秩;以及两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同�

��� 线性映射的定义及例

一元线性函数g(y)�by(b为常数)是最简单的一类数值函数,它是S到S的一种映射,一元线性函数的基本性质可用

g(b�y��b�y�)�b�g(y�)�b�g(y�)

来表示�如果把这类函数(即映射)的定义域和值域推广到一般的线性空间

W�(G)和W�(G),并保留上述性质,就得到线性空间上的线性映射的概念�定义��� 从线性空间W�(G)到W�(G)的一个映射�是线性的,如果

a��,���W�和a��,���G都有

�(�����)���(�)���(�)� (���)

从线性空间W到自身的线性映射�也叫做W上的线性变换�从线性空间W(G)到域G的线性映射g叫做W上的线性函数(或称线性

形式)�设g�SA�S为满足(���)的线性函数,则a����S,(�-��),

g(�y)�g(y�)�yg(�)�于是

g(z)�z�g(�)�g

(�)� z

a����S成立,所以g(�)�

必为常数b,否则同一个z将映射到不同的像�

注意g(y)�by�c(c-��)不是S上的线性函数�式(���)也可等价地表述为:a��,���W�和a����G,都有

�(���)��(�)��(�),

�(��)���(�)� (���)

式(���)与(���)的等价性,读者不难自行证明�在式(���)中取�����和����,���,立即可得

�(��)���,�(��)���(�)� (���)

例� 线性空间W(G)上的恒等变换J,数乘变换(位似变换)�,和零变

换�,即

J(�)��, a����W,

�(�)��� a����W(�是G中固定数量),

�(�)��, a����W(�是W的零元)

都是W上的线性变换(读者容易按定义���加以验证)�下面的例�— 例�是S�中常用的线性变换�例� 旋转变换 —S�中每个向量绕原点按逆时针方向旋转�角的变换

s�,即a���(y,z)��S�,

s�(�)��� 即 s�(y,z)�(y�,z�) �(如图���)是S�上的一个线性变换�因为:�式中的y�,z�分别为

y��sdpt(���)�ydpt��ztjo�,

z��stjo(���)�ytjo��zdpt�,

其中��〈�,A�Py〉,即

s�(�)�s�(y,z)�(ydpt��ztjo�,ytjo��zdpt�), �于是a����(y�,z�),���(y�,z�)��S�和a��,���S,

s�(�������)�s�(�y���y�,�z���z�)

�(�y���y�)dpt��(�z���z�)tjo( �,

(�y���y�)tjo��(�z���z�)dpt )�

��(y�dpt��z�tjo�,y�tjo��z�dpt�)

��(y�dpt��z�tjo�,y�tjo��z�dpt�)

��s�(y�,z�)��s�(y�,z�)��s�(��)��s�(��),

故s�是S�上的一个线性变换�例� 镜像变换(或镜面反射)—S�中每个向量关于过原点的直线M(看

作镜面)相对称的变换�,即a��� A�PB��S�,

�(�)���� A�PC(如图���,其中B,C对称于直线M)也是S�上的一个线性变换�

事实上,设直线M的某个方向的单位向量为�(如图���),则 A�PD�(�,

�)�,其中(�,�)为向量�与�的内积,于是

·��· 第�章 线 性 映 射

图��� 图���

����� A�BC���� A�BD����( A�PD��)�����(�,�)�所以

�(�)��������(�,�)�下面验证�是线性变换�a��,���S�和a��,���S,都有

�((�����)��(�����)��(�����,�)���[����(�,�)�]��[����(�,�)�]

���(�)���(�),

故�是线性变换�如果设��(y,z),��(dpt�,tjo�),则

�(�)�����(�,�)�

��(y,z)��(ydpt��ztjo�)(dpt�,tjo�)

�(�y��ydpt����ztjo�dpt�,�z��ydpt�tjo���ztjo��)

�(ydpt���ztjo��,ytjo���zdpt��)

例� 比例变换 —S�中每个向量��(y,z)的坐标各按一定比例放大

或缩小的变换�:

�(y,z)�(dy,ez)���也是S�上的一个线性变换(其中d,e��S),(验证留给读者)�

当d��,e��时,圆y��z���变换为椭圆y��z�

� ���

当d�e��时,圆y��z���变换为圆y��z����例� 在S�上作怎样的变换,会使矩形PBQC所围的平面区域变换为平

行四边形PBQ�C�所围的平面区域?

任作平行于y轴的直线C�Q��,如果此直线上任一向量��(y,z)变换

为同一直线上的向量���(y�,z�),(如图���),其中

z��z, y��y� C�C�� �zubo��dz,

·��·��� 线性映射的定义及例

图��� 图���那么这个变换ry:

ry(y,z)�(y�dz,z)

就会实现上述要求�我们称变换ry 为沿y轴方向关于z的错切变换�类似地

rz(y,z)�(y,z�cy)�

称为沿z轴方向关于y的错切变换�变换rz(取c����)把图���中

的矩形BCDE变换为平行四边形B�C�D�E��不难验证,错切变换ry,rz都是线性变换

以上例子中的图象变换与数的变换虽然是两种不同的现象,但它们都是

映射�在中学解析几何里讨论了平面图形和方程的简单关系,而在高等数学中

更重于讨论图形之间的映射,乃至于一般现象的转换(也可视为映射)和数的

映射之间的关系�读者可能从上述例子中已察觉到,S�上的线性变换总是把直线变换为直线(在例�之

后将给以一般的证明)�这是线性变换的特性,也是它的一种局限性�非线性映射(变换)则

不一样,例如

�(y,z)�(y�z�,y��z)

是非线性的映射,记y��y�z�,z��y��z,容易证明该映射把图���中正方形

PBCDP变换为图���中斜�字形PB�C�D�P�例如,�把直线PB(z��,�0�y0��)变换为抛物线PB��因为此时

y��y�z��y����y

z��y��z�y����y�{ ,�0�y0��,

消去y,即得z��(y�)�,�0�y�0���同理可证�分别把直线BC,CD,DP 变换为曲线

B�C�,C�D�,D�P�在S�中也有类似上述S�的线性变换,但旋转变换是向量绕过原点的直

线(轴)旋转,镜像变换的镜面是过原点的平面�

·��· 第�章 线 性 映 射

图��� 图���

例� 三维几何向量空间S�中的投影(内映射)变换�例如(下面的f�,f�,f�是S�的自然基)

(�)S�到子空间X��M(f�)的投影变换q�(图���)为

q�(�)�q�(y�,y�,y�)�(y�,�,�), a�(y�,y�,y�)��S�,

(�)S�到子空间X��M(f�,f�)的投影变换q�(图���)为

q�(�)�q�(y�,y�,y�)�(y�,y�,�), a�(y�,y�,y�)��S��读者不难验证q�,q�都是S�上的线性变换�

这里,S�关于镜面X�的镜像变换�(如图���)为

�(�)���� A�PB� A�BC� A�PB�� A�BD

� A�PB�� A�PE����(�,f�)f�,

其中f�是镜面X�的单位法向量�一般S�关于镜面X(过原点的某个平面,其

单位法向量为�)的镜像变换�为

�(�)����(�,�)�, a����S��

图���图���

下面证明,S�(或S�)中任何线性变换�都把直线变为直线�

·��·��� 线性映射的定义及例

在第�章习题中已知,B,C,D三点共线的充要条件是

A�PD��A�PB�(���)A�PC�分别记 A�PB,A�PC,A�PD为�,�,�,它们在�作用下的像为�(�)� A�PB�,�(�)� A�PC�,�(�)�A�PD�,又�作用于上式的两边得

�(�)��(���(���)�)���(�)�(���)�(�),

A�PD��� A�PB��(���) A�PC�,

所以B�,C�,D�三点也共线(见图���),这就证明了线性变换�把B,C,D三点所在的直

线变成了B�,C�,D�三点所在的直线�这也正是满足(���)式的映射�称为线性映射的理

由�

图���

反过来,S�中把直线变为直线的变换并不都是线性的,例如S�中向量的平移变换

u(�)�����(其中��是S�非零常向量),便不是线性变换(验证留给读者)�

例� 定义S�到S�的两个映射�和�为:

�(y�,y�,y�)�(y��y�,y��y�),

�(y�,y�,y�)�(y�y�,y��y�)�容易验证:�是线性的(一般,当�的象的每个分量为y�,y�,y�的线性组合,即

y�,y�,y�的一次式时,�是线性的);�不是线性的�因为a���(b�,b�,b�),

��(c�,c�,c�)��S�,但

�(���)��(b��c�,b��c�,b��c�)

�((b��c�)(b��c�),(b��c�)�(b��c�))

�(b�b�,b��b�)�(c�c�,c��c�)�(b�c��c�b�,�)

��(�)��(�)�(b�c��c�b�,�)

-��(�)��(�)�例� 设b�,⋯,bo��S,如果a�Y�(y�,⋯,yo)��So,定义

·���· 第�章 线 性 映 射

g(Y)�b�y��b�y��⋯�boyo,

则g是So 到S的线性映射(也叫做g是So 上的线性函数)�例� 设W是复数集D在实数域S上的线性空间,定义

�({)��{, a�{��D,

则�是W上的线性变换�但如果W是复数集D在复数域D上的线性空间,则

上述�不是线性的,因为当�的虚部不为零时,

�(�{)��{����{���({)-���({)�线性映射�:W�(G)A�W�(G)有以下简单性质:

(j) �(����������⋯��n�n)

����(��)����(��)�⋯��n�(�n) (���)

(其中�j��W�,�j��G,j��,�,⋯,n),用数学归纳法易证上式成立�这个性

质表明,线性映射保持线性运算关系不变,也就是说线性映射把��,��,⋯,

�n 的线性组合映射为�(��),�(��),⋯,�(�n)的同样的线性组合�(jj)若W�(G)中的向量组��,��,⋯,�n 线性相关,则它们的像�(��),

�(��),⋯,�(�n)也线性相关�事实上,由不全为零的数��,��,⋯,�n ��G,使得

����������⋯��n�n ��� (�)

以及(�)式两边在�作用下的像的等式

���(��)����(��)�⋯��n�(�n)��(��)��� (�)

即得性质(jj)�但(jj)的 逆 命 题 不 成 立,即��,��,⋯,�n 线 性 无 关,其 像

�(��),�(��),⋯,�(�n)可能线性相关�如例�的投影变换q�把���(y�,

z�,{�)和���(y�,z�,{�)变换为

q�(��)�q�(��)�(y�,z�,�)�显然,当{�-�{�时,��,��线性无关,而其像q�(��),q�(��)线性相关�

��� 线性映射的像和核

定义��� 设�是线性空间W�(G)到W�(G)的线性映射,W�的所有元

素在�下的像所组成的集合

�(W�)�{����(�),���W�}

称为�的像(或称�的值域),W�的零元��在�下的完全原像

���(��)�{��(�)���,���W�}

·���·��� 线性映射的像和核

称为�的核,�(W�)和���(��)也常记作Jn�和Lfs��例� S�上的旋转变换s�和镜像变换�的像(值域)都是S�自身,它们的

核都只含一个零向量{�}�例� 节���例�的S�上的投影变换q�,q�的像和核为

q�(S�)�Jnq��M(f�), q���(�)�Lfsq��M(f�,f�),

q�(S�)�Jnq��M(f�,f�), q���(�)�Lfsq��M(f�)�关于�的像和核,有以下结论�

(�)�(W�)是W�的一个子空间�因为:由�(��)���,可知�(W�)是非空

集,而且a���,�����(W�),���,����W�,使得�(��)���和�(��)���,

于是a���,����G,有

�������������(��)����(��)��(���������)���(W�)�(�)Lfs�是W� 的一个子空间�因为:���(��)不是空集(事实上����

���(��)),而且a���,�������(��)和a���,����G,有

�(���������)����(��)����(��)�������������,

所以,��������������(��)�同样可证:如果X�,X�分别是W�,W�的子空间,则�(X�),���(X�)也

分别是W�和W�的子空间�定理��� 线性映射�:W�A�W�是单射k����(��)�{��}�证 如果�是单射,则由�(�)�����(��),可推出����,故���(��)

�{��};反之,如果���(��)�{��},则由�(��)��(��),即�(��)��(��)

��(�����)���,可得��������,即�����,故�是单射�例� 已知S�到S�的映射�为:�(y�,y�,y�)�(y��y�,y��y�),试

求�的像和核�解

�(y�,y�,y�)�(y��y�,y��y�)

�y�(�,�)�y�(�,�)�y�(�,��)� �记���(�,�),���(�,�),���(�,��),由�式可知�的像是{��,��,��}

的线性扩张,{��,��}显然是{��,��,��}的极大线性无关组,所以

�(S�)�M(��,��)�S�,

即�是S�到S�的满射�再由Lfs��{(y�,y�,y�)�(y�,y�,y�)��},可知

�的核是齐次线性方程组:y��y���;y��y���的解空间T,易见T�M(�),其中��(��,�,�),故Lfs��M(�)�

·���· 第�章 线 性 映 射

��� 线性映射的运算 空间M(W�,W�)

线性映射乘法运算的定义与一般映射的乘法一样�需要指出的是线性映

射的乘积和可逆线性映射的逆映射仍是线性映射,因为:

如果��和��分别是线性空间W�(G)到W�(G)和W�(G)到W�(G)的

线性映射,那么����是W�(G)到W�(G)的映射,而且a��,���W�和a��,

���G,有

(����)(�����)���(��(�����))���(���(�)����(�))

��(��(��(�)))��(��(��(�)))

��(����)(�)��(����)(�),

所以����是W�到W�的线性映射�如果 可 逆 线 性 映 射�:W� A� W� 的 逆 映 射 为���:W� A� W�,那 么

�����JW� 且�����JW�,于是a���,����W�和a���,����G,有

���(���������)����[��(����)(��)���(����)(��)]

����[�(�����(��)������(��))]

������(��)������(��),

所以���是线性的�我们把线性空间W�(G)到W�(G)的所有线性映射组成的集合记作

M(W�,W�)�下面说明这个集合也是一个线性空间�为此要定义M(W�,W�)

上的加法运算和G�M(W�,W�)上的数乘运算�定义��� 设�,���M(W�,W�),规定�与�之和���及�与�之数量

乘积��分别为

(���)(�)��(�)��(�), ���W�,

(��)(�)��(�(�)), ���W��上述定义的(���),(��)��M(W�,W�)�事实上,a���,����W�,和

a���,����G,有

(���)(���������)��(���������)��(���������)

����(��)����(��)����(��)����(��)

���(���)(��)���(���)(��),

(��)(���������)��(�(���������))��(���(��)����(��))

·���·��� 线性映射的运算 空间M(W�,W�)

���(��)(��)���(��)(��)

M(W�,W�)对上述定义的加法和数乘运算构成域G上的一个线性空间,

因为:M(W�,W�)中的加法显然满足交换律和结合律;加法的单位元(即零元)是W�到W�的零映射�;每个元�的逆元为(��),即

(��)(�)���(�), a����W��容易验证(��)��M(W�,W�)�因此M(W�,W�)关于线性映射的加法构成一个交换群(加

法群)�至于数乘运算,读者不难验证它满足以下�条性质:

����, �(��)�(��)�,

(���)�������, �(���)�������其中�是域G的乘法单位元,�,���G;�,���M(W�,W�)�

此外,乘法对加法也满足左、右分配律(验证留给读者)

�(���)������,

(���)� �������其中�,���M(W�,W�),���M(W�,W�),���M(W�,W�)�于是由线性空间W到自身的

所有线性映射组成的集合M(W,W)关于加法和乘法构成的代数系统〈M(W,W);�,��〉是

一个含幺环,其乘法单位元是恒等映射�在M(W,W)中全体可逆线性映射组成的集合,对

映射的乘法构成一个群,当ejnW�o时,叫做o阶线性群�

��� 有限维线性空间的线性映射 线性映射的秩

设���M(W�,W�),W�(G)和W�(G)的维数分别为o和n,C�{��,

��,⋯,�o}是W�的基,那么W�中任一向量�可表示为

��y����y����⋯�yo�o,

于是�在�下的像为

�(�)�y��(��)�y��(��)�⋯�yo�(�o)�因此,知道了�关于基C的像,就可求得�对任一向量�的像�所以,有限维线

性空间的线性映射�被它在基上的像所确定�从以上两式可见,�的像(值

域)�(W�)是基C在�下的像�(C)�{�(��),�(��),⋯,�(�o)}的线性扩

张,即

�(W�)�M(�(��),�(��),⋯,�(�o))� (���)

因此,�(W�)的维数等于基像组�(C)的秩,并称之为�的秩�定义���(线性映射的秩) 设���M(W�,W�),如果�(W�)是W�的有限

维子空间,则�(W�)的维数称为�的秩,记作s(�),即

·���· 第�章 线 性 映 射

s(�)�ejn�(W�)� (���)

显然,有限维线性空间W�到W�的线性映射的秩都0�ejnW��有限维线性空间的线性映射的像和核有如下的维数公式:

定理��� 设���M(W�,W�),如果ejn(W�)�o,则

s(�)�ejn(Lfs�)�o� (���)

证 设ejn(Lfs�)�l,C��{��,��,⋯,�l}是Lfs�的一个基,把C�扩充为W�的基C�{��,⋯,�l,�l��,⋯,�o}�由于�(�j)���(j��,⋯,

l),所以�的值域(像)

�(W�)�M(�(C))�M(�(�l��),⋯,�(�o))�因此,只需证明s(�)�o�l,即{�(�l��),⋯,�(�o)}线性无关�设

dl���(�l��)�⋯�do�(�o)���,

�(dl���l���⋯�do�o)����所以,dl���l���⋯�do�o(��Lfs�)可被C�线性表示,于是有

d����⋯�dl�l�dl���l���⋯�do�o���,

从而,d��⋯�dl�dl���⋯�do��,故�(�l��),⋯,�(�o)线性无关�由定理���立即可得,s(�)�ejnW��o的充要条件是Lfs��{��},即

�为单射�如果W�是有限维线性空间,根据定义���即得,s(�)�ejnW�的充

要条件是�(W�)�W�,即�是满射�综上所述,我们可得下面的定理�定理��� 设���M(W�,W�),如果W�和W�都是o维线性空间,则下

列命题等价:

(�)秩(�)�o(或说�满秩);(�)�是单射;(�)�是满射;(�)�是可逆线

性映射�定理���自然适用于有限维线性空间到自身的线性变换�例� 节���例�和例�的S�上的旋转变换s�和镜面反射�的秩都为

�,核都是零子空间{�},它们都是可逆线性映射�节���例�的投影变换q�和q�的秩和核为:秩(q�)��,Lfsq��X

!�� ,ejn(Lfsq�)

��;秩(q�)��,Lfsq��X!�� ,ejn(Lfsq�)���q�和q�都是不可逆的线性映射�

例� 设���M(S�,S�),已知�(y�,y�,y�)�(y��y�,y��y�,

y��y�),求秩�及Lfs�的维数�解 由(���)式知,�的象(值域)为�(S�)�M(�(��),�(��),�(��)),

·���·��� 有限维线性空间的线性映射 线性映射的秩

其中{��,��,��}是S�的任一组基,取自然基{f�,f�,f�}最简单,得

�(S�)�M(�(f�),�(f�),�(f�)),

其中:�(f�)��(�,�,�)�(�,�,�),�(f�)��(�,�,�)�(�,�,�),�(f�)�

�(�,�,�)�(�,��,�)�易 见,�(f�)��(f�)��(f�),所 以�(S�)�

M(�(f�),�(f�)),因此,秩(�)�ejn�(S�)���

Lfs�是齐次线性方程组:y��y���,y��y���,y��y���的解空

间T,用高斯消元法易得,Lfs��T �M(�),其中� �(��,�,�),故

ejn(Lfs�)���这里附带说一下,用节���例题提供的方法求得的�(S�)恰好就是

M(�(f�),�(f�),�(f�))�下面讨论两个线性映射之和与乘积的秩�定理��� 设W�,W�,W�分别是n,o,t维线性空间,���M(W�,W�),���M(W�,

W�),则

秩(�)�秩(�)�o0�秩(��)0�njo(秩(�),秩(�))� (���)

证 先证右边:由于�(W�)O�W�,所以(��)(W�)O��(W�),如图����所示,因此

ejn(��)(W�)0�ejn�(W�),即秩(��)0�秩(�)

图����

又因为(��)(W�)��(�(W�)),所以又有

ejn(��)(W�)0�ejn�(W�),即秩(��)0�秩(�)�

再证左边:由(���),

s(�)�ejn(Lfs�)�o,s(��)�ejn(Lfs(��))�n�又 ejn(Lfs(��))0�ejn(Lfs�),

所以

n�s(��)�ejn(Lfs(��))0�ejn(Lfs�)�代入前面的式子,得到

ejn(Lfs�)�o�s(�)1�n�s(��),

·���· 第�章 线 性 映 射

s(��)1�n�s(�)�o

1�s(�)�s(�)�o�推论 在定理���中,如果ejn(W�)�ejn(W�)�o,秩(�)�o(即�是可逆线性

映射),则

秩(��)�秩(�)� (���)

事实上,由�(W�)�W�,即得(��)(W�)��(W�),故(���)式成立�如果ejn(W)�o,�,���M(W,W),那么定理���及其推论也成立�定理��� 设W�是有限维线性空间,�,���M(W�,W�),则

秩(���)0�秩(�)�秩(�)� (����)

证 由于a����(���)(W�),����W�,使��(���)(�)��(�)��(�)���(W�)��(W�),所以

(���)(W�)O��(W�)��(W�),

因此

ejn(���)(W�)0�ejn[�(W�)��(W�)]

0�ejn�(W�)�ejn�(W�),

故(����)式成立�例如,S�分别到子空间 X��M(f�),X��M(f�,f�)的投影变换q�,q�,其值域:

q�(S�)�X�,q�(S�)�X�,而

(q��q�)(S�)�X�, (q�q�)(S�)�X��相应地

秩(q��q�)��_�秩(q�)�秩(q�)��,

秩(q�q�)��0�njo(秩(q�),秩(q�))���关于线性映射与其基像的关系,我们还要指出以下事实:

有限维空间的线性映射不仅被它在基上的像所确定,而且被基像唯一确定,也就是说

两个不同的线性映射作用于基上的像不可能完全相同,即如果�,���M(W�,W�)作用于

W�的基C�{(��,��,⋯,�o)}上的像完全相同,则必有����事实上,如果

�(�j)��(�j), j��,�,⋯,o则a���y����y����⋯�yo�o��W�,都有

�(�)�y��(��)�y��(��)�⋯�yo�(�o)

�y��(��)�y��(��)�⋯�yo�(�o)

��(y����y����⋯�yo�o)��(�)�故���,这就证明了线性映射被它在基上的像所唯一确定�

进而又有:如果ejnW��o,则W�中任意o个向量��,��,⋯,�o 都可以是某个���M(W�,W�)作用于W�的一组基的像,即有

定理��� 设C�{��,��,⋯,�o}是W�(G)的基,T�{��,��,⋯,�o}是W�(G)中

·���·��� 有限维线性空间的线性映射 线性映射的秩

任意o个向量,则存在唯一的���M(W�,W�),使得

�(�j)��j, j��,�,⋯,o� (����)

证 先定义满足(����)式的从W�到W�的一个映射�,即

a���y����y����⋯�yo�o��W�,

规定

�(�)�y����y����⋯�yo�o�

事实上,这个映射也是线性的,因为a����c����c����⋯�co�o,���d����d����⋯�do�o和a���,����G,有

�(���������)��((��c����d�)���(��c����d�)���⋯�(��co���do)�o)

�(��c����d�)���(��c����d�)���⋯�(��co���do)�o���(c����c����⋯�co�o)���(d����d����⋯�do�o)

����(��)����(��),

这就证明了�的线性性��的唯一性前已论述�

H�H�最后,我们来看线性空间M(W�,W�)的维数是多少�定理��� 若W�(G)和W�(G)分别是o和n 维线性空间,则空间M(W�,W�)的维

数为on�证 我们对o�n��的情形证明,设W�的基为C��{��,��},W�的基为C��

{��,��},根据定理���,定义映射���,���,���,�����M(W�,W�)为

���(��)���,���(��)���;���(��)���,���(��)���,

���(��)���,���(��)���;���(��)���,���(��)����

我们要证���,���,���,���是M(W�,W�)的基�先证它们线性无关,设

d������d������d������d�������,

其中�是空间M(W�,W�)的零元(即零映射),于是

�(��)�d�����(��)�d�����(��)�d�����(��)�d�����(��)

�d�����d��������

因为C��{��,��}线性无关,所以d���d����,同理,由�(��)���,又得d���d���

��因此,���,���,���,���线性无关�再证明任一���M(W�,W�)可被���,���,���,���线性表示�由于a����W�,�(�)��

W�,所以

�(��)�c�����c����,

�(��)�c�����c�����

��c������c������c������c�����,

显然���M(W�,W�),且

·���· 第�章 线 性 映 射

�(��)�c�����(��)�c�����(��)�c�����(��)�c�����(��)

�c�����c������(��)�

同理,�(��)��(��)�所以�与�关于基C��{��,��}的像相同,因此���,即�可由

{���,���,���,���}线 性 表 示,从 而{���,���,���,���}是 M(W�,W�)的 一 组 基,故

ejnM(W�,W�)�������

特别地,当ejnW�o时,ejnM(W,W)�o��

So上的线性函数是So到S�的线性映射,所以空间M(So,S)与So一样,也是o维的�同样,如果线性空间W(S)是o维的,则WH��M(W,S)也是o维的�我们把WH� 叫做W的对偶空间,由定理���的证明可知:

如果C�{f�,f�,⋯,fo}是W的一个基,则CH��{f�,f�,⋯,fo}是WH� 的一个基,

其中

fj(fk)��, k-�j,

�, k�j{ ,

k��,�,⋯,o,

��jk, j��,�,⋯,o�这里WH� 的基CH� 叫做W的基C的对偶基�H�H�

��� 线性空间的同构

在刻画集合中二元素“相同”时,我们引进了“等价关系”的概念�对于各

种各样的线性空间,它们的元素不相同,具体的运算也不一样,那么何谓两个

线性空间的结构是“相同”的呢?为了弄清这一点,也要引进一种“等价关系”,

然后就可把对各种o维线性空间的研究归结为对Go 的研究�我们在第二章���中讲过,研究任何o维线性空间W(G)都可通过基和

坐标归结为研究o维向量空间Go�因为,给定了W(G)的基C�{��,��,⋯,

�o},在W(G)与Go之间存在一个一一对应的映射(即双射)�,即a���y����y����⋯�yo�o��W(G),

�(�)�Y�(y�,y�,⋯,yo)��Go, (����)

使得W(G)中的任一向量�一一对应地映射为�在基C下的坐标向量Y;而且

这个映射�也是线性的,因为:a���,����W(G),

���b����b����⋯�bo�o, ���c����c����⋯�co�o,

和a��,���G,都有

�(�������)��((�b���c�)���⋯�(�bo��co)�o)

�(�b���c�,⋯,�bo��co)

·���·��� 线性空间的同构

��(b�,⋯,bo)��(c�,⋯,co)

���(��)���(��),

所以在W(G)与Go 之间,不仅元素一一对应,而且任意一组对应元素之间也

保持线性运算关系不变,即W(G)中��,��,⋯,�n 的某个线性组合d����d����⋯�dn�n,对应于Go中相应的�(��),�(��),⋯,�(�n)的同样的线性

组合d��(��)�d��(��)�⋯�dn�(�n)�这表明W(G)与Go的“结构”是相

同的,对W(G)的研究可以化为对Go 的研究�由此可见,两个线性空间的结构“相同”(即同构)的本质是在它们之间存

在一个线性的双射,以保证元素一一对应,且保持线性运算关系不变�下面给

出正式的定义�定义��� 如果由线性空间W�(G)到W�(G)存在一个线性的双射�,就

说W�(G)和W�(G)是同构的,记作W�(G)�W�(G)�这个�叫做从W�(G)

到W�(G)的一个同构映射(或同构)�由于同构映射�:W�A�W�是线性的双射,所以�使W�与W�之间的元素

一一对应;而且W�中的{��,��,⋯,�n}与W�中对应的{�(��),�(��),⋯,

�(�n)}有相同的线性相关性�事实上,等式

d����d����⋯�dn�n ��� (����)

成立,当且仅当

d��(��)�d��(��)�⋯�dn�(�n)��� (����)

成立�因为:(����)n�(����)是显然的;反之,当(����)式成立时,由该式

�(d����d����⋯�dn�n)����由于�是双射,所以只有零向量才映射为零向量,故(����)式成立�

综上所述,两个同构的线性空间,其元素一一对应而且对应元素在各自的

线性运算下的性质也一样,因此,本质上是相同的�如果把线性空间看作元素,把两个同构的线性空间看作“相同”,那么线性

空间之间的同构关系“�”自然应该是等价关系�这是显然的,因为

(�)W(G)�W(G),其同构映射为W(G)到自身的恒等映射;

(�)若W�(G)�W�(G),W�到W�的同构映射为�,则W�(G)�W�(G),

且W�到W�的同构映射为���;

(�)若W�(G)�W�(G),W�(G)�W�(G),W�到W�和W�到W�的同

构映射分别为��和��,则W�(G)�W�(G),且W�到W�的同构映射为�����

·���· 第�章 线 性 映 射

定理��� 两个有限维线性空间W�(G)和W�(G)同构的充要条件是它

们的维数相等�证 设ejnW�(G)�o,如果W�(G)�W�(G),则存在W�到W�的一

个线性双射�,由于�为单射,所以Lfs��{��},因此由定理���得s(�)�o,即

ejn�(W�)�o;由于�为满射,所以�(W�)�W�,因此,ejnW�(G)�o�

ejnW�(G),必要性得证�反之,如果ejnW�(G)�ejnW�(G)�o,则由本节开始所述可见,域G

上的任何o维线性空间都与Go 同构,因此,W�(G)�Go,W�(G)�Go,于是

由同构关系“�”的对称性和传递性即得W�(G)�W�(G),充分性得证�例如:S[y]�与S�是同构的,把S[y]�的基{�,y,y�}映射为S�的基{f�,

f�,f�}的映射�,即

�(�)�f�,�(y)�f�,�(y�)�f�是S[y]�到S�的一个同构映射;同样S[y]o 与So 也是同构的�

再如,o维线性空间W(S)与WH� �M(W,S)也是同构的(因为ejnWH� �o)�

评注:

学完了前三章,有人可能会问:大学“代数”的基本内容为什么叫“线性代

数”?它为什么从抽象的线性空间结构和线性映射的性质入手来讲?它和中学

代数怎么如此不同?

代数在它的发展史上分为两个阶段,一为古典代数,或说初等代数(中学

代数的主要内容),它以数的运算律为基础,以方程论为中心,研究代数方程的

求解问题�它的研究方法是高度计算性的,求解代数方程的基本问题是解的存

在问题和求解方法�高斯(Hbvtt)在����年证明了复系数代数方程至少有一

个复数根(称为代数基本定理),从而可知,o次代数方程在复数域中有o个

根,解决了根的存在问题�至于求解方法,�次以下的代数方程都有求根公式,

而�次和�次以上的代数方程能否用它的系数通过四则运算与根式运算的公

式来求根,经过很多数学家(如拉格朗日(Mbsboh hf),鲁菲尼(Svggjoj),阿贝尔

(Bcfm)等),特别是法国天才的伽罗瓦(Hbmpjt)研究了拉格朗日,阿贝尔和高

斯的著作后,创造性地引进置换群的正规子群和数域的扩域以及群的同构等

概念,证明了它们没有求根公式�至此,古典代数的问题已经终结�代数进入了

抽象代数(也称近世代数)的新阶段�抽象代数研究的对象是非特定的任意集

合和定义在集合上满足某些条件或公理的代数运算构成的代数系统,也就是

它以研究各种代数结构的性质为中心�它的研究方法主要是公理化的�

·���·��� 线性空间的同构

自古以来“解方程”就是数学(尤其是代数)中最常被研究的对象之一�从最简单的一元线性(一次)方程和方程组(例如鸡兔同笼问题),线性同余方程

组(例如第一章习题中的“将军点兵”问题),二次及高次方程和方程组,超越

方程(例如Lfmfsq 方程b��tjoy�y)乃至于微分方程,积分方程,泛函方程

等等,都是历史上或当代被研究的对象�本世纪电子计算机的出现,更使这方

面的研究如虎添翼�尤其是“线性化”的思想,使很多解方程的问题都近似地

转化为求解大量未知数(成千上万乃至上亿个未知数)的线性方程组的问题�这里面除了要研究“快而准”的算法外,也要求从理论上对“解方程”这一古老

的问题进行各种探索�所谓“解方程”,就是指由已知某些“量”(可以是各种数,向量,矩阵,函数,

乃至某一类集合)之间应该满足的某种“关系”(即列方程)出发,求出其中的

未知量�这里首先需要根据经验或理论分析认定这样的量是存在的�上面所说

的“关系”(通常表现为方程)往往可以看作是一种映射�例如“鸡兔同笼”问

题,设y�,y�分别为鸡,兔的数量,z�,z�分别为鸡,兔的总头数和总腿数,于

是得到方程组

y��y��z��y���y��z���

� �设Y�(y�,y�)U,Z�(z�,z�)U,则Y,Z��OH��(表示元素为正整数的二维

向量集合)�这样,这个问题就可以看成是OH��上的一个映射B(即方程组的

系数矩阵): A�Y Z(记作BY�Z)�因此,解这个方程就是求B的逆映射B��,

即Y�B��(Z)�这只是一种形式的写法,还需要进一步分析�容易证明这个映射B 是线

性的,但OH��不是线性空间(加法没有逆元素),所以B的值域(即B��的定义

域)就不清楚�事实上,当z�为奇数或z�_��y�时,这个方程都无解�因此方程

BY�Z对任意的Z��OH��的可解性除了要分析B本身的性质外,还要分析

B的定义域和值域的构造�读者可以自己分析一下S�A�X(S�中过原点的某

一个平面)的投影变换q,即q(Y)�Z(其中Y��S�,Z��X),这个方程的

解存在,但其解不唯一�由此可见,一个解方程的问题如果能化成两个集合的映射问题,那么解方

程就是“求映射的逆象”的问题�对方程可解性的分析,也就变成对相应的映

射的分析,具体说就是对两个集合的构造及映射本身特性的分析�而o个元n个线性方程的方程组BY�Z(其中Y��So,Z��Sn)的可解性问题就是其

·���· 第�章 线 性 映 射

中的典型问题:这里两个集合So,Sn 都是线性空间,映射是线性映射�对于较

简单的齐次线性方程组,它总是可解的,零向量就是解(注意这一点可由映射

的线性性推出来),问题是是否有非零解,也就是映射的核空间的维数是多少?

而对于一般的非齐次方程组可能无解(因为方程组中可能有矛盾方程),它是

否有解,取决于非齐次项所组成的向量是否在映射的值域(值空间)内,求它

的解也就是求向量Z在映射B下的完全逆象B��(Z)�因此,对于线性方程组

BY�Z(其中Z��或Z-��)的求解问题,需要从理论上搞清有解(对于齐

次方程组是有非零解)的条件以及解有多少和解的结构�通过第二,三章的学

习,我们感到这个问题与线性映射B 的值域(JnB)和核(LfsB)有关�由于

ejn(JnB)�ejn(LfsB)�o,而ejn(JnB)�秩(B),所以,这里的关键是线

性映射的秩�对有限维空间So到Sn 的线性映射B,它的秩总是有限的�其核空间的维

数反映了齐次方程BY��的线性无关的解的个数,其值域是判断非齐次方

程可解性的根据(关于它们的解的结构和求解方法将在第�章详述)�但可惜

的是这一点只适用于有限维线性空间的线性映射�把这一重要概念推广至无

穷维空间的线性映射(即函数空间的线性微分方程和积分方程等),已有较为

满意的结果�但要进一步推广到非线性映射(超越方程和非线性代数方程,非

线性微分方程等),虽然多年来已有很多工作,但还远没有像线性情况解决得

那么清楚�从上面分析可见,一般的o元线性方程组BY�Z的求解问题就是在线

性空间中求线性映射B关于Z的完全逆象�所以它只是So到Sn 的线性映射

的一个具体问题(或具体模型),而一般的线性空间结构和线性映射的理论在

现代数学乃至很多科学技术领域里都有着广泛的应用�因此线性空间的结构

和线性映射的基本理论是线性代数的核心内容�从这里入手,就能较好地展开

线性代数所涉及的其他问题�同时我们主要用公理化的方法讲述线性空间(一

种重要的代数结构)和线性映射的理论,也将有助于读者以后进一步学习现

代数学的其他内容�

习 题

��判别下列映射哪些是线性的(并指出它们是从哪个空间到哪个空间的

线性映射),哪些不是线性的:

(�)�(y�,y�,y�)�(y��y�,y��y�,y�), a�(y�,y�,y�)��S�;

·���·习 题

(�)�(y�,y�)�(y��y�,y�,y��y�), a�(y�,y�)��S�;

(�)�(y�,y�)�(y��,y��y�), a�(y�,y�)��S�;

(�)�(�)������, a����W(线性空间),��是W 中的一个固定向

量;

(�)�(q(y))�q(y��)�q(y), a�q(y)��S[y]o;

(�)�(q(y))�q(b), a�q(y)��S[y],b是一个常数���求S�的线性变换�,使得正方形BCDE(其中B(�,�),C(�,�),D(��,

�),E(�,��))变换为下列四边形B�C�D�E�(如图����所示)�

图����

��设S�的一个二维子空间X(X 是过原点的平面上的全体向量)为

X �{�(�,�)��,���S�},

其中�是一个固定单位向量,(�,�)表示�与�的内积�(�)求S�到X 上的投影变换q,并证明q��q;

(�)求S�关于镜面X 的镜象变换����设{��,��}是线性空间W(G)的一组基,y����y�����W,定义

U(y����y���)�s�y����s�y���,

其中s�,s�是域G 中的两个常数量�证明:U 是W 上的一个线性变换,当

W(G)�S�时,说明线性变换U的几何意义���求下列线性变换�的象(值域)和核以及�的秩:

(�)�(y�,y�,y�)�(y��y��y�,�y���y�,y��y�);

(�)�(y�,y�)�(y�,y�,y��y�);

(�)�(y�,y�,y�)�(y��y��y�,y��y�,y�);

·���· 第�章 线 性 映 射

(�)�是o维线性空间W的零变换;

(�)�是o维线性空间W的恒等变换;

(�)�:SoA�So,且�(y�,y�,⋯,yo)�(y�,�,⋯,�)�

��求S�的一个线性变换�,使得�的象(值域)为�(S�)�M(��,��),其

中���(�,�,��),���(�,�,�)�

��已知S�的线性变换�(y�,y�)�(y��y�,y��y�)�(�)求��(y�,y�)�?

(�)�是否可逆?如可逆,求���(y�,y�)�?

��已知S�的线性变换�(y�,y�)�(y��y�,y��y�)�(�)求�的秩和Lfs�;

(�)求���M(S�,S�)使����(零变换)���已知S�的两个线性变换�,�为:

�(y�,y�,y�)�(y�,�,�),

�(y�,y�,y�)�(y��y��y�,y��y�,�)�(�)求秩(�),秩(�),Jn�,Lfs�; (�)求秩(��),秩(��);

(�)求秩(���); (�)H� 求Jn��Lfs�����已知

���(�,��),���(�,��),���(��,�),

���(�,�),���(�,�),���(�,�)�问:是否存在���M(S�,S�),使得�(�j)��j,j��,�,��

���设���M(So,Sn),C�{��,��,⋯,�o}是So 的基,当n _�o时,

{�(��),�(��),⋯,�(�o)}是否线性无关?为什么?

���已知�是o维线性空间W的线性变换,且�的像(值域)等于�的核,

证明o必为偶数,并在S�中举出一个这种线性变换的例子���H��已知S�的一个子空间X��{(y,�,�)y��S}�

(�)求S�的另一子空间X�,使S��X��X�,这样的X�,是否唯一?

如果X�,是X�的正交补,X�是否唯一?

(�)求S�上的一个投影变换q,使Jnq�X�,并问:Jnq�Lfsq�S�是

否成立?

��H��已知���M(W,W),ejnW�o有人认为“由秩(�)�ejn(Lfs�)�o可得Jn��Lfs��W”,这个说法正确吗?

��H��已知W 是一个线性空间,���M(W,W),证明:

·���·习 题

(�)Jn�O�Lfs�k�����(零变换);

(�)Lfs�lO�Lfs�l��,l��,�,⋯;

(�)Jn�lP�Jn�l��,l��,�,⋯����设���M(W,W),���W�证明:若�l��(�)-��,�l(�)��,则{�,

�(�),⋯,�l��(�)}是线性无关的(l`��)����下列线性空间W�与W�是否同构?如果同构,给出W�到W�的一个同

构映射�(�)W��D(S)(全体复数D在实数域S上构成的线性空间),W��S�;

(�)W��D�(S),(全体二元复向量D�在实数域S上构成的线性空间),

W��S[y]�;

(�)W��D�(S),W��S[y]�;

(�)H�W��S�,W��M(S�,S�)�

���设W(S)是线性空间,�是W(S)到S�的同构映射,且�(��)�(�,�,

�),�(��)�(��,�,�),�(��)�(��,�,�),�(��)�(�,�,�)�(�)��在W的子空间M(��,��)中吗?

(�)H� 设X��M(��,��),X��M(��,��),求X���X��

补 充 题

��是否存在S�到S�的一个线性映射�,使得�(�,��,�)�(�,�),�(�,

�,�)�(�,�)?

�H��设W是有限维线性空间,U��M(W,W)且U不是恒等变换也不是零

变换�问:下列情况是否可能发生(在S�或S�中举例)�(�)JnU��LfsU�{�}; (�)JnUO�LfsU;

(�)JnU�LfsU; (�)LfsUO�JnU�又问:当U为投影变换时,上述哪些情况发生?

�H��已知W是一个线性空间,���M(W,W)�证明:

(�)Lfs��Lfs��k�(Lfs�)��(Jn�)�{�}(零子空间);

(�)Jn���Jn�k�W�(Lfs�)�(Jn�)��H��设W是一个o维线性空间,W �X��X�,���M(W,W),证明:

�可逆k�W��(X�)��(X�)�

��设�,���M(W,W),����,����,证明:

(�)�l��(l1��即�是幂等变换);

·���· 第�章 线 性 映 射

(�)若(���)�����,则����(零变换);

(�)若�����,则(������)����������H��设W(G)是一个o维线性空间,���M(W,W),证明:

(�)在G[y]中有一个次数0�o�的非零多项式q(y)使q(�)��(零变换);

(�)�可逆k�有一常数项不为零的多项式q(y)使q(�)����H��设d�,d�,⋯,do,是o个互异的实常数,证明:S[y]o 到So 的一个映

射�:

�(q(y))�(q(d�),q(d�),⋯,q(do))

是S[y]o 到So 的一个同构映射�这里要求读者对o��的情形给以证明�对一般的o,其证明要用到第�章中的Wboefsnpoef行列式的性质�

部分习题和补充题答案

习题

��(�),(�),(�),(�)是;(�),(�)(��-��)不是���(�)�(y,z)�(�z,y);(�)�(y,z)�(��z,y);

(�)�(y,z)�(z,y); (�)�(y,z)�(y�z,y);���(�)q(�)���(�,�)�;(�)�(�)����(�,�)����(�)M{(�,��,�),(�,�,�)},M{(��,�,�)},�;

(�)M{(�,�,�),(�,�,��)},{�},�;(�)S�,{�},�;(�){�},W,�;

(�)W,{�},o;(�)M{f�},M{f�,⋯,fo},����提示:参考���例�的解法��(y�,y�,y�)�(y��y�,�y�,�y��y�)�

��(�)��(y�,y�)�(��y�,�y�);

(�)���(y�,y�)�y��y��

,y��y�( )� �

��(�)��M{(�,�)};(�)�(y�,y�)�(y��y�,y��y�),或������(�)�,�,M{(�,�,�)},M{(�,�,�),(�,�,�)};

(�)�,�;(�)�;(�)S�����否� ���否� ���例�(y,z)�(y�z,�y�z)����(�)M{(�,�,�),(�,�,�)},否;(�)q(y�,y�,y�)�(y�,�,�),是����提示:用线性相关性的定义证明,并利用����,�-��n��������(�)b� A�jc (b,c);(�)(�,� A�) �,(j,� A�) y,(�,� A�) y�,(�,j)

·���·部分习题和补充题答案

A�y�;(�)否;(�)(b,c A�) by�cz或,f�(f�)��,f�(f�)��,f�(f�)�

�,f�(f�)��,fA�j fj(j��,�)����(�)在,( 提 示:考 虑 �(��)与�(��),�(��)之 间 的 关 系 );

(�)M(��)�补 充 题

��存在� ��(�),(�),(�),(�)可能;(�)发生���(�)提示:利用ejnM(W,W)�o�,M(W,W)中任何个(o���)个元素

(即线性映射)都是线性相关的;若q(y)�b��b�y�⋯�bnyn,则q(�)�

b�J�b���⋯�bn�n;

(�)提示:利用(�)的结果以及“若���J,则�可逆”���提示:只要证明�把S[y]�的基{�,y,y�}变为S�的基�

·���· 第�章 线 性 映 射

第�章 矩 阵

本章是前一章有限维线性空间线性映射的继续�这里我们引入线性映射

的矩阵表示,相应地定义矩阵的运算,从而把对线性映射的演算化为矩阵的运

算�本章主要内容有:线性映射与矩阵的对应关系;矩阵的基本运算———加法,

数乘,乘法,求逆,转置以及矩阵的分块运算;矩阵的初等变换与矩阵的秩;有

限维线性空间的基的变换矩阵与向量的坐标变换�由于矩阵在科学技术领域

里的应用非常广泛,因此读者要特别注重培养熟练的矩阵计算能力�

��� 矩阵的定义

定义��� 域G中的n�o个元素bjk(j��,⋯,n;k��,⋯,o)排成

n 行o列的矩形数表,称为域G上的一个n�o矩阵,记作

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

… …

bn� bn� ⋯ b

�no

, (���)

或简记为(bjk)n�o,其中bjk叫做矩阵第j行,第k列的元素�元素bjk都是零(域

G的零元)的矩阵称为零矩阵�矩阵常用大写字母B,C,D表示,(���)式也可记作Bn�o�如果域G为

实(复)数域S(D),(���)式就称为实(复)矩阵�域G上全体n�o矩阵组

成的集合,记作Nn�o(G)或Gn�o�当n�o时,矩阵(���)称为方阵,或称o阶矩阵,元素b��,b��,⋯,boo

叫做方阵的主对角元,它们所在位置叫做方阵的主对角线,方阵的另一条对角

线叫做副对角线�域G上全体o阶矩阵组成的集合,记作No(G)或Go�o�如果方阵中非主对角线上的所有元素都是零(即当j-�k时,bjk��),称

之为对角矩阵(简称对角阵);如果在主对角线之下(上)的所有元素都是零,

即当j`�k时,bjk��(j_�k时,bjk��),称之为上(下)三角矩阵�如果B�(bjk)和C�(cjk)都是n�o矩阵,我们规定,B�C当且仅

当bjk�cjk(j��,⋯,n;k��,⋯,o)�所以一个n�o矩阵的等式,等价于

n�o个数量(域G的元)等式�

��� 线性映射的矩阵表示

在第�章中我们看到一些线性映射的例子,其中每个向量及其像都有明

确的数值表示�这一章我们探讨如何用矩阵表示一般的有限维线性空间的线

性映射���M(W�,W�)�由于W�,W�中的向量都可以用基来线性表示,而�又是线性的,所以我们就只需考察W�的基映射到W�后如何用W�的基表示�

设C��{��,��,⋯,�o}是W�(G)的基,C��{f�,f�,⋯,fn}是W�(G)

的基,则线性映射���M(W�,W�)被它作用于基C�的象

�(C�)�{�(��),�(��),⋯,�(�o)} (���)

所唯一确定,而�(C�)是W�的一个子集,于是

�(��)�b��f��b��f��⋯�bn�fn�(��)�b��f��b��f��⋯�bn�fn

⋯⋯

�(�o)�b�of��b�of��⋯�bnofn

� �

(���)

因此,在取定了W�和W�的基C�和C�时,�由(���)式中的n�o个系数

bjk所确定;而且由第�章定理���还可知,任意给定(���)式中的n�o个

系数bjk,即任意给定W�中o个向量,使之分别为W�的o个基向量的像,也唯

一地确定了W�到W�的一个线性映射,于是,我们给出下面的定义�定义��� �,W�,W�,C�和C�如上所设,我们把�(��),�(��),⋯,�(�o)

关于基C�的坐标按列排成的矩阵N(�),即

N(�)�

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

… …

bn� bn� ⋯ b

�no

, (���)

称为�关于基C�和C�的矩阵�从上面的分析可知,选定了W�和W�的基之后,M(W�,W�)中的元素(线

性映射)�与域G上n�o型矩阵B是一一对应的�因此,�可由对应的矩阵

B�N(�)来表示�要注意的是:对W�,W�中不同的基,矩阵N(�)一般是不

同的,这个问题将在第�章中讨论�当���M(W�,W�)且W��W�时,通常取C��C�,此时,相应的o�o

·���· 第�章 矩 阵

方阵N(�)称为�关于基C�的矩阵�例� o维线性空间W(G)上的恒等变换J,数乘变换�,零变换�关于W

的任何基C�{��,��,⋯,�o}的矩阵分别为o阶方阵:

� � ⋯

� ��

⋯ �… …

� � ⋯

��

� � ⋯ �� � ⋯ �… …

� � ⋯

��

� � ⋯

� ��

⋯ �… …

� � ⋯

��

它们分别称为单位矩阵,数量矩阵和零矩阵�例� S�上的旋转变换s�(向量绕原点按逆时针方向旋转�角)关于单位

正交基C�{f�,f�}(图���)的矩阵为

dpt� �tjo�tjo� dpt��

����

这是因为,s�关于单位向量f�,f�的象为

s�(f�)�(dpt�)f��(tjo�)f�s�(f�)�(�tjo�)f��(dpt�)f���

� �

图��� 图���

例� 第�章节���例�中的错切变换(图���)

ry(y,z)�(y�dz,z)

(其中d�ubo�),关于自然基f��(�,�),f��(�,�)的象为

ry(f�)�ry(�,�)�(�,�)�f�,

ry(f�)�ry(�,�)�(d,�)�df��f��因此,ry 关于基C�{f�,f�}的矩阵为

� d��

��� ��

例� S�上以坐标平面yPz为镜面的镜象变换�和S�到yPz坐标平面

·���·��� 线性映射的矩阵表示

的投影变换q关于自然基C�{f�,f�,f�}的矩阵分别为

� � �� � �� � �

��

,� � �� � ��

�� � ��

例� 已知���M(S�,S�)且�(y�,y�,y�)�(y��y�,�y��y���y�),求�关于S�的自然基C��{��,��,��}和S�的自然基C��{f�,f�}

的矩阵N(�)�解 由

�(��)��(�,�,�)�(�,�)�f���f�,

�(��)��(�,�,�)�(�,��)�f��f�,

�(��)��(�,�,�)�(�,��)���f�,

立即可得

N(�)�� � �� �� ���

����

如果取基C��{(�,�,�),(�,�,�),(�,�,�)},读者不难求得

N(�)�� � ����

��� � ��

��� 矩阵的加法与数量乘法

设:�,���M(W�,W�),线性空间W�(G),W�(G)的基分别为C��{��,

��,⋯,�o},C��{f�,f�,⋯,fn},�,�关于基C� 和C� 的矩阵为 N(�)�(bjk)n�o,N(�)�(cjk)n�o;���G,则根据定义���由

(���)(�k)��(�k)��(�k)

�(b�kf��⋯�bnkfn)�(c�kf��⋯�cnkfn)

�(b�k�c�k)f��⋯�(bnk�cnk)fn, k��,�,⋯,o,

(��)(�k)���(�k)��(b�kf��⋯�bnkfn)

�(�b�k)f��⋯�(�bnk)fn, k��,�,⋯,o,

即得

N(���)�(bjk�cjk)n�o, (���)

N(��)�(�bjk)n�o� (���)

·���· 第�章 矩 阵

为了使线性映射的加法和数乘运算也对应于矩阵的加法和数乘运算,根

据(���),(���)式,我们对矩阵的加法和数量乘法作如下的定义�定义��� 设B�(bjk)n�o,C�(cjk)n�o,B,C��Nn�o(G),���G,

我们规定

B�C�(bjk�cjk)n�o, (���)

�B�(�bjk)n�o� (���)

即B�C是由B与C的所有对应元素分别相加得到的n�o型矩阵;�B是

由数量�与B的每个元素相乘而得到的n�o型矩阵�此外我们还定义B�C�B�(�C),其中(�C)�(�cjk)n�o�域G上全体矩阵组成的集合Nn�o(G)对上面定义的矩阵的加法和数乘

运算在 域G 上 构 成 一 个 线 性 空 间,因 为 由 定 义���容 易 证 明,在 集 合

Nn�o(G)上:

(�)加法和数乘运算封闭;

(�)加法满足结合律,交换律,加法的单位元为零矩阵,任一矩阵B �(bjk)n�o,关于加法的逆元为�B �(�bjk)n�o,即B�(�B)�P,所以

〈Nn�o(G):�〉是一个交换群;

(�)数乘运算满足以下四条规则:

�B�B; �(�B)�(��)B;

(���)B��B��B; �(B�C)��B��C�下面证明线性空间Nn�o(G)的维数等于n�o�为了简明(也不失一般

性),我们证明N���(G)的维数等于��事实上,N���(G)中存在�个线性无关的元素(二阶矩阵):

f���� ���

��� �

,f���� ���

��� �

,f���� ���

��� �

,f���� ���

��� ��

因为由

���f������f������f������f������ ������ �

����� ���

��� �

得���,���,���,���全为零,故{f��,f��,f��,f��}线性无关�又任意的

B�b�� b��b�� b

����b��f���b��f���b��f���b��f��,

因此{f��,f��,f��,f��}是N���(G)的一组基,所以ejnN���(G)���在第�章中讲过,若ejnW�(G)�o,ejnW�(G)�n,则ejnM(W�,W�)�no,但一

·���·��� 矩阵的加法与数量乘法

般的证明比较难�现在我们可以先证明M(W�,W�)�Nn�o(G)�然后根据定理���得

ejnM(W�,W�)�ejnNn�o(G)�no

M(W�,W�)�Nn�o(G)是容易证明的,事实上,给定了W�(G)与W�(G)的基C�和

C�后,由定义���所确定的从M(W�,W�)到Nn�o(G)的映射�:

�:� A�N(�)�(bjk)n�o,即�(�)�N(�)

是双射(即�与矩阵(bjk)n�o是一一对应的),而且是线性的,因为我们在定义矩阵加法和

数量乘法时,就有

�(���)�N(���)�N(�)�N(�)��(�)��(�),

�(��)�N(��)��N(�)���(�)�因此�是从M(W�,W�)到Nn�o(G)的一个同构映射,故M(W�,W�)�Nn�o(G)�

当ejnW�o时,M(W,W)�No(G)(域G上的全体o阶方阵的集合),ejnM(W,W)

�o��

��� 矩阵的乘法

设线性空间W�(G),W�(G),W�(G)的基分别为C��{��,��,⋯,�o},

C��{f�,f�,⋯,fn},C��{��,��,⋯,�q};���M(W�,W�),���M(W�,

W�),且�,�分别关于基C�和C�及基C�和C�的矩阵为C�(cjk)n�o 和

B�(bjk)q�n,即

N(�)�B�

b�� b�� ⋯ b�nb�� b�� ⋯ b�n

… …

bq� bq� ⋯ bq

�n

N(�)�C�

c�� c�� ⋯ c�oc�� c�� ⋯ c�o

… …

cn� cn� ⋯ c

�no

则����M(W�,W�)关于基C�和C�的矩阵D�(djk)q�o中第k列元素(d�k,

d�k,⋯,dqk)是��(�k)在基C�下的坐标�于是由

��(�k)��(�(�k))�� ��n

l��clkf( )l ���

n

l��clk�(fl)

���n

l��clk ��

q

j��bjl�( )j ���

n

l����q

j��bjlclk�j���

q

j����n

l��bjlcl( )k�j,

·���· 第�章 矩 阵

即得

djk���n

l��bjlclk�bj�c�k�bj�c�k�⋯�bjncnk, (����)

它是B中第j行n个元素组成的n元(行)向量�j�(bj�,bj�,⋯,bjn)与C中第k列的n 个元素组成的n 元(列)向量�k�(c�k,c�k,⋯,cnk)的内积,即

djk�(�j,�k),j��,⋯,q;k��,⋯,o� (���)

为了使矩阵的乘法与映射的乘法相对应,我们把按(���)式所得到的��对应

的矩阵D�N(��)定义为B�N(�)与C�N(�)之乘积�因此两个矩阵

的乘积的一般定义如下�定义��� 设B �(bjk)q�n,C �(cjk)n�o,我们规定B 与C 之乘积

BC�D�(djk)是一个q�o型矩阵,它的第j行,第k列元素

djk���n

l��bjlclk�bj�c�k�bj�c�k�⋯�bjncnk,

j��,⋯,q;k��,⋯,o�必须注意,乘积BC当且仅当B的列数等于C的行数时才有意义,否则B

不能左乘C�与映射的乘法一样,矩阵的乘法也不满足交换律,即一般来说,

BC-�CB�当然,这并不是说任何情况下BC都不等于CB�如果BC�CB(此

时B与C必为同阶方阵),则称B与C相乘可交换,简称B与C可交换�根据矩阵的乘法定义,容易证明矩阵的乘法满足以下运算律:

(�)(BC)D�B(CD)(结合律);

(�)�(BC)�(�B)C�B(�C)(其中�是数量);

(�)B(C�D)�BC�BD(左分配律),

(C�D)Q�CQ�DQ(右分配律)�下面证明结合律(其余的证明留给读者完成)�设B�(bjk)n�o,C�(cjk)o�q,D�(djk)q�s,显然,(BC)D与B(CD)都

是n�s矩阵;又a�j��,⋯,n,a�k��,⋯,s,有

[(BC)D]jk���q

l��(BC)jldlk���

q

l����o

m��bjmc( )mldlk

���o

m��bjm ��

q

l��cmldl( )k ���

o

m��bjm(CD)mk�[B(CD)]jk,

所以(BC)D�B(CD)�由矩阵的加法和乘法满足的运算律可知,全体o阶矩阵组成的集合

·���·��� 矩阵的乘法

No(G)关于矩阵的乘法构成半群;关于矩阵的加法和乘法构成环�例� 设

B�� � �� �

��

��

���

, C�� �� ��

�� �

BC���� ������ ������

������ ����

��� �

CB���� ��� ������ ��� ������� ��� ���

���� � �� �

��

� ���

���

例� 设

B�b�b

��, C�(c�,c�),

BC�b�c� b�c�b�c� b�c

��, CB�c�b��c�b��

CB是一阶矩阵,此时不必加矩阵符号�例� 设

B�� ��� ���

���

, C�� �����

��� �

BC�� ���

��� �

, CB�� ��� ���

����

以上各例都说明矩阵的乘法不满足交换律�从例�还可见,B,C都是非

零矩阵,但BC�P,因此,对于矩阵乘法,由BC�P,不能推出B�P 或

C�P;进而又得矩阵的乘法不满足消去律,也就是B-�P,由BC�BD不

能推出C�D,这是因为,由BC�BD�B(C�D)�P,不能推出C�D�P(即C�D)�

一般来说,在矩阵环中存在非零矩阵的零因子,即B-�P,存在C-�P使

BC�P,此时称B为左零因子,C为右零因子�

·���· 第�章 矩 阵

例� o阶单位矩阵

Fo�

���

�� o�o

(常简记作F或J)

对任一个B��No(G),都有FB�BF�B�所以F是No(G)中乘法运算的

单位元�o阶数量矩阵�F(�是一个数量,F是单位矩阵)为

�F�

���

��

它与任意o阶矩阵B相乘可交换,即(�F)B�B(�F)��B�例� 对角矩阵

B�

b�b�

�b

�o

, C�

c�c�

�c

�o

常记作B �ejbh(b�,b�,⋯,bo),C�ejbh(c�,c�,⋯,co),其乘积仍为对角

阵,且

BC�CB�ejbh(b�c�,b�c�,⋯,boco)�例� 两个上(下)三角矩阵B与C的乘积BC仍是上(下)三角矩阵,且

其主对角元(BC)jj�bjjcjj,(证明留给读者作为练习)�利用矩阵乘法,可以把线性方程组简洁地表示为一个矩阵的等式�例如对

于线性方程组

b��y��b��y��⋯�b�oyo�c�b��y��b��y��⋯�b�oyo�c�

⋯⋯

bn�y��bn�y��⋯�bnoyo�cn

� ,

(����)

我们令

·���·��� 矩阵的乘法

B�

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

… …

bn� bn� ⋯ b

�no

, Y�

y�y�…

y

�o

, c�

c�c�…

c

�n

则(����)式就可以用矩阵等式

BY�c来表示,其中B叫做线性方程组的系数矩阵,在B的第o列后面添上一列c,

叫做方程组的增广矩阵,记为(B,c)�利用矩阵的乘法,也可以把节���中的(���)式形式地表示为

�(��),�(��),⋯,�(�o( ))�(f�,f�,⋯,fn)

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

… …

bn� bn� ⋯ b

�no

这种表示完全是形式的,因为f�,f�,⋯,fn,�(��),�(��),⋯,�(�o)并不是域

G中的元素�通常我们把这个式子简记作

�(��,��,⋯,�o)�(f�,f�,⋯,fn)B, (����)

其中B是线性映射���M(W�,W�)关于基C��{��,��,⋯,�o}和基C��{f�,f�,⋯,fn}的矩阵�

同样,利用矩阵乘法,也可将

��y����y����⋯�yo�o��W�,

�(�)�z�f��z�f��⋯�znfn ��W�形式地表示为

��(��,��,⋯,�o)Y, �(�)�(f�,f�,⋯,fn)Z,(����)

其中

Y�

y�y�…

y

�o

, Z�

z�z�…

z

�n分别是�关于基C�的坐标和�(�)关于基C�的坐标�

定理��� 设���M(W�,W�)关于W�和W�的基C�和基C�的矩阵

B�(bjk)n�o 如(����)式,�与�(�)如(����)式,则

Z�BY� (����)

·���· 第�章 矩 阵

�(�)�y��(��)�y��(��)�⋯�yo�(�o)

�(�(��),�(��),⋯,�(�o))Y

�((f�,f�,⋯,fn)B)Y�(f�,f�,⋯,fn)(BY)�由于�(�)关于基C��{f�,f�,⋯,fn}的坐标Z是唯一的,所以Z�BY�

我们在定义矩阵的加法、数乘和乘法时,使得它们与线性映射同样的运算

相对应�因此,研究线性映射的问题就可转化为研究矩阵的问题;反之亦然�如果���M(W,W)关于W(G)的基C�{��,��,⋯,�o}对应的矩阵为

B,即

�(��,��,⋯,�o)�(��,��,⋯,�o)B,

则�在域G上的多项式

q(�)�bn�n�bn���n���⋯�b���b�J对应于矩阵B在域G上有相同系数的多项式

q(B)�bnBn�bn��Bn���⋯�b�B�b�F,

其中:bl��G,�l���⋯�(l个�之乘积)��M(W,W),Bl�BB⋯B(l个B之乘积)��No(G),l��,�,�,⋯,n,规定���J(恒等变换),B��F�

显然,若B为方阵,l,n,o为非负整数,则

BlBn �Bl�n, (Bl)n �Bln,

(B��F)o�Bo�D�o�Bo���⋯�Dlo�lBo�l�⋯�Do��o �o��B��oF,

(����)

其中���G,Dlo 为组合数,(����)式成立是因为数量矩阵�F与B相乘可交

换�当B,C为同阶方阵时,若BC-�CB,则

(B�C)��(B�C)(B�C)�B��BC�CB�C�

-�B���BC�C��

��� 可逆矩阵

如果W�,W�的维数都是o,���M(W�,W�)是可逆的,则存在唯一的���M(W�,W�),使得���JW�,���JW�,设W�的基C��{��,��,⋯,�o},W�的基C��{f�,f�,⋯,fo},且

�(��,��,⋯,�o)�(f�,f�,⋯,fo)B,

·���·��� 可逆矩阵

�(f�,f�,⋯,fo)�(��,��,⋯,�o)C,

则��关于W�的基C�和��关于W�的基C�对应的矩阵分别为CB和BC�由于恒等变换J关于任何基对应于单位矩阵F,因此

CB�BC�F我们称可逆线性映射对应的矩阵为可逆矩阵(也称非奇异矩阵)�于是有下面

的定义�定义��� 设B��No(G),如果存在C��No(G),使得

CB�BC�F, (����)

则称矩阵B是可逆的,并把C叫做B的逆矩阵�可逆矩阵B的逆矩阵是唯一的,事实上,如果C,D都是B的逆矩阵,即

CB�BC�DB�BD�F,

则必有

C�CF�C(BD)�(CB)D�FD�D�由于逆矩阵的唯一性,我们可以把B的逆矩阵C记作C�B���

在(����)式中,B,C的地位是相同的,所以此时也说C是可逆的,且

B�C���由此即得

(B��)���B� (����)

定理��� 设C,B��No(G),若BC�F,则必有CB�F,即B,C互

为逆矩阵�证 设B,C分别是�,���M(W,W)关于W的基C�{��,��,⋯,�o}

所对应的矩阵,则

BC�Fk����JW�因此要证明CB �F,只要证明���JW,由秩(��)� 秩(JW)�o 0�njo(秩(�),秩(�)),得

秩(�)�秩(�)�o,

因此a����W,均存在唯一的���W,使得�(�)��,从而

(��)(�)�(��)(�(�))��(��(�))��(JW(�))��(�)��,

故���JW,定理得证�例� 单位矩阵F是可逆的,且F���F,因为FF�F�例� 主对角元都是非零数的对角阵是可逆的,且

·���· 第�章 矩 阵

b�b�

�b

�o

��

b���

b����

b��

�o

有很多矩阵是不可逆的,例如有一行全为零的方阵

B�� �b�� b�

���就是不可逆的�因为a�C��N�(G)都有

BC�� �b�� b�

���

c�� c��c�� c

����� ���

�H� H��

-�F�

关于逆矩阵的运算性质,现在先讲以下几点�若B,C��No(G)都可逆,���G(�-��),则�B和BC也可逆,且

(�B)������B��, (����)

(BC)���C��B��� (����)

事实上,由

(�B)(���B��)�(����)(BB��)��F�F及

(BC)(C��B��)�B(CC��)B���BFB���BB���F即得(����),(����)式�

对于l个可逆矩阵B�,B�,⋯,Bl及可逆矩阵B,用数学归纳法易征:

(B�B�⋯Bl)���B��l ⋯B���B��� ,

(Bl)���(B��)l� (����)

通常把(B��)l记作B�l,这样,a�l,n ��[,都有

BlBn �Bl�n, (Bl)n �Bnl� (����)

当B可逆时,由BC�BD可以推出C�D,即乘法的消去律成立,这是因为

在等式BC�BD的两边都左乘B��,即得C�D�关于逆矩阵运算要注意:B,C都可逆,而B�C不一定可逆,即使B�C

可逆,(B�C)��-�B���C��,读者不难举出这样的例子(可用对角阵举例)�下面,我们介绍求逆矩阵的一种方法(在本章节���和第�章中还要介绍

两种常用的求逆矩阵的方法)�由定理���可知,���M(W,W)关于基C�{��,��,⋯,�o}对应的矩阵

为B,则

·���·��� 可逆矩阵

�(�)�� 对应于 BY�c,

其中Y,c分别是�,�关于基C的坐标�如果方程组BY�c对任意的c都有

唯一解,也就是对任意的�,方程�(�)��有唯一解,则�是双射,即�可逆,

从而B是可逆矩阵,BY�c的唯一解为

Y�B��c�如果存在c��Go,使方程组BY�c无解,或有解而不唯一,则B所对应的映

射�不是满射,或�不是单射,这都表明B不是可逆矩阵�现在我们举例说明,如何由方程组BY�c的解,来判断B是否可逆,可

逆时如何求逆�例� 判断下面矩阵B,C是否可逆?如果可逆,求其逆矩阵�

B�� �� �� � ��

�� � �

, C�� �� �� � ��

�� � ��

解 以B为系数矩阵的非齐次线性方程组BY�c,对任意的c(其分量

为c�,c�,c�),用高斯消元法可将其增广矩阵

(B,c)�

� �� � c�� � � c�� � � c

U�U�U�U�

��

化为

� � � �c���c���c�� � � �c���c���c�� � � �c��c��c

U�U�U�U�

��

因此,对任意的c,方程组BY�c有唯一解

Y�

y�y�y

��

�c���c���c��c���c���c��c��c��c

��

�� � �� �

���

�� �

�� �

c�c�c

��

所以B是可逆矩阵,其逆矩阵就是上式右边的三阶矩阵(因为B的逆矩阵是

唯一的),即

B���� � �� �

���

�� �

�� ��

同理,将

·���· 第�章 矩 阵

(C,c)�

� �� � c�� � � c�� � � c

U�U�U�U�

��化为

� � � c��c�� � � c�� � � �c��c��c

U�U�U�U�

��

当�c��c��c�-��时,CY�c无解;当�c��c��c���时,CY�c有

无穷多解,故C是不可逆矩阵�用同样的方法,读者不难证明主对角元都非零的上(下)三角矩阵B �

(bjk)o�o是可逆的,其逆矩阵仍是上(下)三角矩阵,且B��的主对角元为

�bjj

,j��,�,⋯,o�

下面再从矩阵B满足的关系式来判断其可逆性和求逆�例� 设方阵C为幂等矩阵(即C��C,从而a�l��OH�,Cl�C),B�

F�C,证明B是可逆阵,且

B����F�B� �

证 由C�B�F及C��C得

C��(B�F)��B���B�F�B�F,

所以

B���B�B(B��F)���F,即B �F�B( )� �F�

因此,根据定理���可知,B是可逆矩阵,且

B����F�B� �

域G上的全体o阶矩阵No(G)关于矩阵的乘法只构成含幺半群,但全体

o阶可逆矩阵(记作HMo(G))关于矩阵的乘法构成群(这是因为HMo(G)关

于矩阵的乘法是封闭的;其单位元是单位矩阵;可逆矩阵的逆矩阵仍可逆),这

个群叫作o阶线性群�

��� 矩阵的转置

定义��� 把矩阵B�(bjk)n�o 的行列依次互换得到的一个o�n 矩

·���·��� 矩阵的转置

阵,称为B的转置矩阵,记作BU �(b�kj)o�n,其中b�kj�bjk,(j��,�,⋯,

n;k��,�,⋯,o),即

B�

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

… …

bn� bn� ⋯ b

�no

, BU�

b�� b�� ⋯ bn�b�� b�� ⋯ bn�… …

b�o b�o ⋯ b

�no

矩阵的转置运算满足以下运算律:

(�)(BU)U�B; (�)(B�C)U�BU�CU;

(�)(�B)U��BU(�是数量); (�)(BC)U�CUBU;

(�)(BU)���(B��)U�前三条是显然的,下面证明(�),(�)�设:

B�(bjk)n�o, BU�(b�kj)o�n, C�(cjk)o�t, CU�(c�kj)t�o(其中b�kj�bjk,c�kj�cjk),则(BC)U与CUBU都是t�n 矩阵,且

(CUBU)kj���o

l��c�klb�lj���

o

l��bjlclk�(BC)jk�(BC)Ukj,

k��,⋯,t;j��,⋯,n,

故(BC)U�CUBU�由BB���F,(BB��)U�(B��)UBU�F,及定理���,即得(�)�对于多个矩阵的乘积的转置,用数学归纳法容易证明:

(B�B�⋯Bo)U�BUo⋯BU�BU��定义��� 设B�(bjk)o�o,如果a�j,k��,⋯,o均有bkj�bjk,则B称

为对称矩阵;如均有bkj��bjk,则B称为反对称矩阵�o阶为反对称矩阵B的主对角元都为零,因为由bjj��bjj即得bjj��

(j��,�,⋯,o)�根据定义���和���,容易证明:

B为对称矩阵的充要条件是BU�B;

B为反对称矩阵的充要条件是BU��B�例� 设B是n�o矩阵,则BUB和BBU都是对称矩阵�因为BUB是

o阶矩阵,且(BUB)U�BU(BU)U�BUB;同理BBU是n 阶对称矩阵�例� 设B,C分别是o阶对称和反对称矩阵,则BC�CB是反对称矩

阵�这是因为

(BC�CB)U�CUBU�BUCU�(�C)B�B(�C)��(BC�CB)

必须注意,两个对称矩阵B 和C 的乘积不一定是对称矩阵�因为,

·���· 第�章 矩 阵

(BC)U�CUBU�CB,而CB不一定等于BC�利用运算律(�),容易证明:可逆的对称(反对称)矩阵的逆矩阵也是对称

(反对称)矩阵�

��� 矩阵的初等变换和初等矩阵

我们在节���中讲过,用高斯消元法解线性方程组,其消元步骤是对增广

矩阵作下面�种行初等运算:

(�)以非零常数d乘矩阵的某一行;

(�)将矩阵的某一行乘以非零常数d后加到另一行;

(�)将矩阵的某两行对换位置�矩阵的这三种行初等运算统称为矩阵的初等行变换,(�)称为倍乘行变

换;(�)称为倍加行变换;(�)称为对换行变换�研究矩阵的其他一些问题,有时也要对矩阵作上述三种类型的初等列变

换�矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换,我们用:

fdj(B),fdjk(B),fjk(B)依次表示以非零常数d乘B的第j行,将B的第j行乘d加到第k行,将B的第j,k行对换;

fdj(C),fdjk(C),fjk(C)依次表示以非零常数d乘C的第j列,将C的第k列

乘d加到第j列,将C的第k,j列对换�对n�o矩阵作的上述�种初等变换,都是集Nn�o(G)上的线性变换,

它们也可以用矩阵表示,但按节���中的方法来做,那将复杂而不方便�人们

通过对矩阵乘法运算特点的分析研究,发现引入下面定义的三种“初等矩阵”,

就可把矩阵的初等行、列变换用“初等矩阵”与该矩阵作乘法运算来实现�定义��� 将单位矩阵F作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵,

与三种初等行、列变换对应的三类初等矩阵为:

(�)将单位矩阵第j行(或列)乘d,得到初等倍乘矩阵Fj(d);

(�)将单位矩阵第j行乘d加到第k行,或将第k列乘d加到第j列,得到

初等倍加矩阵Fjk(d);

(�)将单位矩阵的第j,k行(或列)对换,得到初等对换矩阵Fjk�即:

·���·��� 矩阵的初等变换和初等矩阵

Fj(d)�

��d�

��

j行,

Fjk(d)�

����

d ��

��

j行

k行

Fjk�

��� ��

� ��

��

j行

k行�

读者不难验证,三种初等矩阵左(右)乘矩阵B(C)是对B(C)作相应的

初等行(列)变换,也就是由单位矩阵变为初等矩阵的行(列)变换,即

fdj(B)�Fj(d)B,fdjk(B)�Fjk(d)B,fjk(B)�FjkB,

fdj(C)�CFj(d),fdjk(C)�CFjk(d),fjk(C)�CFjk�例如:

� � �� d ��

�� � �

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�

�o

b�� b�� ⋯ b�odb�� db�� ⋯ db�ob�� b�� ⋯ b�

�o

� � d� � ��

�� � �

b�� b��b�� b��b�� b

���

b���db�� b���db��b�� b��b�� b

���

·���· 第�章 矩 阵

c�� c�� c��c�� c�� c��c�� c�� c

���

� � �� � ��

�� � ��

c�� c�� c��c�� c�� c��c�� c�� c

���

初等矩阵都是可逆矩阵�这是因为对初等矩阵再作一次同类型的初等变

换都可化为单位矩阵,即

Fj�( )d Fj(d)�F, Fjk(�d)Fjk(d)�F, FjkFjk�F�

由此可见,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵,且

F��j(d)�Fj�( )d , F��jk(d)�Fjk(�d), F��jk �Fjk�

对于任一个n�o型矩阵B�(bjk)n�o,如果它的第一列元素不全为零,

则可以对它作若干次初等行变换,将其化为行简化阶梯形矩阵

V �

d�� ⋯ � ⋯ � ⋯ d�o� ⋯ d�k� ⋯ � ⋯ d�o… …

� ⋯ � ⋯ dsks ⋯ dso

� ⋯ � ⋯ � ⋯ �… …

� ⋯ � ⋯ � ⋯

��(其中d���d�k��⋯�dsks��它们分别是第�,�,⋯,s行的第一个非零元

素,而且它们所在的第�,k�,⋯,ks列的其它元素全为零,第s��,⋯,n 行是

全零行),把所作的初等行变换所对应的初等矩阵依次记为Q�,Q�,⋯,Ql,则

上述结论可以表示为

Ql⋯Q�Q�B�V�如果B是o阶可逆矩阵,则上式左端的l��个矩阵的乘积也是可逆矩

阵,即V是可逆矩阵,从而V不能有全零行,于是V必是o阶单位矩阵�这样

我们就有下面的定理�定理��� 对任一个可逆矩阵B,都可以作若干次初等行变换将其化为

单位矩阵F,即存在初等矩阵Q�,Q�,⋯,Ql,使得

Ql⋯Q�Q�B�F� (����)

推论� 可逆矩阵B可以表示为若干个初等矩阵的乘积�证 由(����)式得

·���·��� 矩阵的初等变换和初等矩阵

B�(Ql⋯Q�Q�)���Q���Q��� ⋯Q��l ,

其中Q��� ,Q��� ,⋯,Q��l 仍是初等矩阵,推论�得证�由(����)式又可知

B���(Ql⋯Q�Q�)�Ql⋯Q�Q�F� (����)

于是由(����),(����)式,又可得以下推论�推论� 如果对可逆矩阵B和同阶单位矩阵F作同样的初等行变换,那

么当B变为F时,F就变为B��,即

(B,F) A�初等行变换

(F,B��)�推论�提供了用初等行变换求逆矩阵的方法�由(����)式又可得

BQl⋯Q�Q��F, FQl⋯Q�Q��B���这两式子表明,也可用初等列变换求逆矩阵,即

B����F

A�初等列变换 F

B���

����

用初等变换的方法求逆矩阵是求逆矩阵的常用方法�但必须注意,用初

等行(列)变换求逆矩阵时,要始终作行(列)变换�例 用初等行变换求矩阵B的逆矩阵�

B�� � �� � �

�� �� �

���

(B,F)�� � �� � � �� � � � � ��� �� �

U�U�U�U�

�� � � �

[�]m�[�A�]� � � � � �� � �� � � ��� �� �

U�U�U�U�

�� � � �

[�]�[�A�]� � � � � �� � �� � � �

U�U�U�U�

�� � � � � �[�]�[�]�(��)

[�]�[�A�

]� � � � �� �� � � � � �

U�U�U�U�

�� � � � � �

·���· 第�章 矩 阵

[�]�(�/�)[�]�[�]�(��

A�)

� � � ��� ��� ���

� � � ��

��

��

U�U�U�U�U�U�

�� � � � � �

所以 B���

��� ��� �����

��

��

�� � �

注意,求逆矩阵容易算错,求得B��后,应验算BB���F�

��� 矩阵的秩 相抵标准形

线性映射�的秩是一个重要的概念,它刻画了�的值域(子空间)的维数�由于线性映射可以用矩阵表示,所以矩阵也有秩的概念�我们先从不同角度来

引进矩阵的秩的概念�定义��� 设B�(bjk)n�o是线性映射�对应的矩阵,我们把秩(�)也称

为矩阵B的秩,记作秩(B)或s(B)�矩阵B的o个列向量的秩称为B的列秩;

矩阵B的n 个行向量的秩称为B的行秩�矩阵B的秩与B的列秩及B的行秩之间有着密切的关系�下面我们将证

明这三者是相等的�定理��� 设矩阵B�(bjk)n�o是���M(W�,W�)关于W�和W�的基

C��{��,��,⋯,�o}和C��{f�,f�,⋯,fn}对应的矩阵,则秩(B)�B的

列秩�证 分别记B 的秩、行秩、列秩为s,ss,sd,其中s为Jn�的维数,即

{�(��),⋯,�(�o)}的极大无关组所含向量所含向量的个数�由

�(�l)���n

j��bjlfj,

�(�l)对应于(b�l,⋯,bnl),后者就是B 的第l个列向量,所以{�(��),⋯,

�(�o)}的极大无关组所含向量的个数就是B的列向量的极大无关组所含向

量的个数,也就是B的列秩sd,即s�sd�定理��� 对于任一矩阵B�(bjk)n�o,都有

·���·��� 矩阵的秩 相抵标准形

B的行秩�B的列秩�证 设B的行秩为ss,即B有ss个行向量线性无关�无妨就是前ss行

��,⋯,�ss�于是

�j���ss

l��djl�l, j��,�,⋯,n,

(bj�,⋯,bjo)���ss

l��

(djlbl�,⋯,djlblo),

bjk���ss

l��djlblk, j��,⋯,n,k��,⋯,o,

也就是

(b�k,⋯,bnk)U���ss

l��(d�l,⋯,dnl)Ublk�

这个式子说明:B所有的列向量都可以被ss个向量(d�l,⋯,dnl)U(l��,⋯,

ss)线性表示,所以B的列秩sd0�ss�同理BU的列秩0�BU的行秩,也就是B的行秩0�B的列秩,于是sd�

ss�即B的行秩�B的列秩�以上我们证明了,秩(B)�B的列秩�B的行秩�由此可见:

对任意的B��Nn�o(G),都有秩(BU)�秩(B);又当n0�o时,秩(B)

�B的行秩0�n;当o0�n 时,秩(B)�B的列秩0�o�阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数�例如

B�

b�� b�� b�� b�� b��� b�� b�� b�� b��� � � b�� b��

�� � � � �

其中b��b��b��-��,读者不难证明:B的三个非零行的行向量是线性无关的�B的列向量组{��,��,��,��,��}的极大线性无关组为{��,��,��},故s(B)

�B的行秩�B的列秩���将矩阵B作初等行变换化为阶梯形矩阵V,则秩B等于V的非零行的行

数,因为矩阵的秩有下列重要的“不变”性质�定理��� 初等行变换和初等列变换都不改变矩阵的秩�证 仅就初等行变换的情形给以证明�设n�o矩阵B的n个行向量为

·���· 第�章 矩 阵

{��,��,⋯,�n},

(�)将B的第j,k行对换得到C,则C与B的行向量组相同,故B,C的行

秩相等�(�)将B的第j行乘非零常数d得到C,则C的行向量组:�j�d�j;�l�

�l(l-�j)�因此C与B的行向量组可以互相线性表示�所以B与C的行秩相

等�(�)将B的第j行乘常数d加到第k行得到C,则C的行向量组:�k�d�j

��k;�l��l(l-�k)�相应地也有�k��k�d�j;�l��l(l-�k)�因此B与

C的行向量组可以互相线性表示�所以B与C的行秩相等�这就证明了初等行变换不改变矩阵的秩�同理,初等列变换也不改变矩阵

的秩�这个定理给出了求矩阵(线性映射)的秩的一个简单算法�例� 求下列矩阵B的秩

B�

� �� � �� ���� � � � �� � � � �� �� �

�� � �

解 对B作初等行变换,容易将其化为阶梯形矩阵V,即

A�B

� �� � �� �� � � � �� � � � �

��

�� � � � �

�V,

于是,秩(B)�秩(V)���如果对上例中的阶梯形矩阵V 再作列变换:将第一列乘某些常数加到第

�,�,�,�列,使第一行其余元素全为零,再将第�列乘某些常数加到第�,�,�列,使第二行其余元素全为零,然后将第�列乘��加到第�列,并将第�,�列

对换,即得

A�V

� � � � �� � � � �� � � � �

�� � � � �

�V��

任何秩为�的���矩阵通过初等行、列变换都可化为上面最简单的阶梯

形矩阵V��一般情况的结论如下�定理��� 若秩(Bn�o)�s,则存在可逆矩阵Q和R,使得

·���·��� 矩阵的秩 相抵标准形

QBR�

� � ⋯ � � ⋯

� ��

⋯ � � ⋯ �… …

� � ⋯ � � ⋯

� ��

⋯ � � ⋯ �… …

� � ⋯ � � ⋯

��

�Vs, (����)

其中s个非零行向量为o维单位向量f�,f�,⋯,fs�证 先将B作初等行变换化为有s个非零行的阶梯形矩阵V(非零行的

第一个非零元都是�),再对V 作初等列变换,即得Vs�集合Nn�o(G)中的矩阵按秩分类,当n0�o时,有n��类;当n`�o

时,有o��类,矩阵按秩分类确定了一种等价关系�定义���� 设B,C��Nn�o(G),如果B经过初等变换可以化为C,就

称B相抵于C,(或说B等价于C),记作B�C�根据定义,所谓B�C,即存在n 和o阶初等矩阵Q�,Q�,⋯,Qt和R�,

R�,⋯,Ru,使得

Qt⋯Q�Q�BR�R�⋯Ru�C�由于可逆矩阵Q,R可以表示为若干初等矩阵的乘积,所以B�C的充

要条件是存在可逆矩阵Q和R,使得QBR�C�集合Nn�o(G)中的相抵关系是一个等价关系�因为

(�)FnBFo�B,即B�B;

(�)若B�C,则存在可逆阵Q和R,使得QBR�C,于是,Q��CR���B,从而C�B;

(�)若B�C,C�D,则存在可逆矩阵Q,T和R,U,使得QBR �C,

TCU�D,于是就有(TQ)B(RU)�D,从而B�D�(����)式的右端的矩阵Vs称为B的相抵(或等价)标准形�所有秩为s

的n�o矩阵都相抵于Vs�所以Nn�o(G)中所有秩为s的矩阵,对于相抵关

系构成的等价类最简单的代表元为Vs,于是集合Nn�o(G)关于 � 的商集

为:{P,V�,V�,⋯,Vl},其中l�njo(n,o),P为零矩阵�根据相抵的定义及定理���,���可见,a�B,C��Nn�o(G),

B�C的充要条件是秩(B)�秩(C)�定理��� 设B��No(G),则下列命题等价:

(�)B可逆;(�)s(B)�o;(�)B的o个列(行)向量线性无关;

·���· 第�章 矩 阵

(�)齐次线性方程组BY��只有零解�证 (�)n�(�):因为可逆矩阵B经初等行变换可化为F,故s(B)�o�

(�)n�(�):因为s(B)�B的列秩(行秩),故(�)成立�(�)n�(�):设B的o个列向量为��,��,⋯,�o,则齐次线性方程组BY�

�等价于

y����y����⋯�yo�o��� (H�)

因为��,��,⋯,�o 线性无关,由(H�)式即得y�,y�,⋯,yo 全为零,故(�)成

立�(�)n�(�):反证法,设B不可逆,则对B作初等行变换必出现全为零元的

行,从而BY��有非零解,矛盾�由于o阶可逆矩阵的秩等于o,所以可逆矩阵也称为满秩矩阵�定理���

秩(B�C)0�秩(B)�秩(C), (����)

秩(BC)0�njo(秩(B),秩(C))� (����)

这个定理可由定义���及B,C所对应的线性映射�,�的和���与积��的秩的结论(����),(���)而直接得到�它也可以利用定理���,���以及向

量组的秩的有关性质加以证明�例如证明(����):由

BC�

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

bn� bn� ⋯ b

m�

n�

q�

r�no

c�� c�� ⋯ c�tc�� c�� ⋯ c�t

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

co� co� ⋯ c

m�

n�

q�

r�ot

} } }

� �� �� ⋯ �om�

n�

q�

r�} } }

c�� c�� ⋯ c�tc�� c�� ⋯ c�t

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

co� co� ⋯ c

m�

n�

q�

r�ot得到BC的t个列向量

�k���o

j��cjk�j,k��,�,⋯,t

均可由B的列向量��,��,⋯,�o 线性表示,所以,

秩(BC)�BC的列秩0�B的列秩�秩(B)� (�)

同理,记C的o个行向量为��,��,⋯,�o,则BC的n 个行向量

�j���o

k��bjk�k,j��,�,⋯,t,

·���·��� 矩阵的秩 相抵标准形

均可由C的行向量组线性表示,所以

秩(BC)�BC的行秩0�C的行秩�秩(C)� (�)

综合(�),(�),即得(����)式成立�如果Q,R分别是n,o阶可逆矩阵,B为n�o矩阵,则

秩(QB)�秩(BR)�秩(QBR)�秩(B)� (����)

这是因为:QB�B,所以秩(QB)�秩(B);或利用(����)式来证明,事实

上,由B�Q��(QB),即得

秩(B)0�秩(QB)0�秩(B),

所以,秩(QB)�秩(B)�同理可证(����)式中的其它等式�例� 若B为���矩阵,则BUB是不可逆矩阵�证 由于秩(BUB)0�秩(B)0��,而BUB是�阶矩阵,故BUB是不可

逆矩阵�(在节���例�中将证明,当B为实矩阵时,秩(BUB)�秩(B)�)

��� 分块矩阵

把一个大型矩阵分成若干小块,构成一个分块矩阵,从而把大型矩阵的运

算化为若干小型矩阵的运算,使运算更为简明,这是矩阵运算中的一个重要技

巧�下面通过例子说明矩阵如何分块及分块矩阵的运算方法�例如,一个�阶矩阵可用纵横垂直的两条线将其分成�块,构成一个分块

矩阵,即

� � � � �� � � � �� � �

��� �

� � � � �

U�U�U�U�U�U�U�U�

U�U�U�U�U�U�U�U�

�� � � � �

�F� B�P B

��, (����)

其中:F�为三阶单位矩阵,P为���零矩阵,

B��� �� ���

�� �

, B��� ���

��� ��

一般,对于n�o矩阵B,如果在行的方向分成t块,在列的方向分成u块,就得到B的一个t�u分块矩阵,记作

B�(Blm)t�u,

其中Blm(l��,⋯,t;m��,⋯,u)称为B的子块�

·���· 第�章 矩 阵

常用的分块矩阵,除了上面(����)式的���分块矩阵,还有以下几种:

将B�(Bjk)n�o 按行分块或按列分块为:

B�

����…

�n

, B� ��,��,⋯,�( )o � (����)

当o阶矩阵B�(bjk)o�o中非零元素都集中在主对角线附近时,有时可

将B分块成下面的对角块矩阵(又称准对角矩阵)

B�

B��B��

�B

�nn

, (����)

或记作B�ejbh(B��,B��,⋯,Bnn),其中Bjj(j��,�,⋯,n)是sj阶方阵;

Bjk�P(j-�k)�下面讨论分块矩阵的运算�� 分块矩阵的加法

设分块矩阵B�(Blm)t�u,C�(Clm)t�u,如果B与C的对应子块Blm和

Clm都是同型矩阵,则

B�C�(Blm�Clm)t�u� (����)

� 分块矩阵的数量乘法

设分块矩阵B�(Blm)t�u,�是一个数,则

�B�(�Blm)t�u� (����)

� 分块矩阵的乘法

设B�(bjk)n�o,C�(cjk)o�q如果把B,C分别分块为s�t和t�u分

块矩阵,且B的列的分块法与C的行的分块法相同,则

BC�

B�� B�� ⋯ B�tB�� B�� ⋯ B�t

… …

Bs� Bs� ⋯ B

�st

C�� C�� ⋯ C�uC�� C�� ⋯ C�u

… …

Ct� Ct� ⋯ C

�tu

�D�(Dlm)s�u,

其中D是s�u分块矩阵,且

Dlm�Bl�C�m�Bl�C�m�⋯�BltCtm, l��,�,⋯,s;m��,⋯,u�(����)

·���·��� 分块矩阵

可以证明(略),用分块乘法和不分块乘法求得的BC相同�前面定理���证明中的�k也可能为将B列分块为[��,��,⋯,�o]与矩阵

C相乘的结果;同理,�j是将C按行分块为

��…

�o

后与不分块的B相乘的结果�

例� 对(����)式所给的矩阵B,用分块乘法求B��解

B��F� B�P B

��

�F� B��B�B�

P B

���

读者容易计算出B��B�B�和B��,得到

B��

� � � � ��� � � � ���� � � �� �� � � �� �

�� � � � ��

例� 设B是n�o矩阵,C是o�t矩阵�将C按列分块为��t分块

矩阵,将B视为���分块矩阵,则

BC�B(C�,C�,⋯,Ct)�(BC�,BC�,⋯,BCt)�例� 若o阶矩阵D和E分块成同型对角块矩阵,即

D�ejbh(D�,D�,⋯,Dt), E�ejbh(E�,E�,⋯,Et),

其中Dj和Ej是同阶方阵(j��,�,⋯,t),则

DE�ejbh(D�E�,D�E�,⋯,DtEt)�用矩阵分块乘法,可以证明矩阵的一些重要命题�

例� 证明:o阶可逆上三角矩阵B的逆矩阵也是上三角矩阵�

证 对o作数学归纳法:o��时,(b)��� �( )b ,结论成立(一阶矩阵可

视为特殊的三角矩阵)�假设命题对o��阶可逆的上三角矩阵成立�对o阶

矩阵B,设C为B的逆矩阵,并把B,C分块为同样的���分块矩阵,即

B�b�� �

P B

��, C�

c�� �� C

��,

其中B�是o��阶可逆的上三角矩阵,C�是o��矩阵,�,�为��(o��)

矩阵,�为(o��)��矩阵,于是

·���· 第�章 矩 阵

BC�b��c����� b�����C�B�� B�C

����P F

P

o�

���

这样,由B���P得��B���P�P,由B�C��Fo��,得C��B��� ,根据

归纳假设,C�是上三角矩阵,所以B���C是上三角矩阵�� 分块矩阵的转置

t�u分块矩阵B�(Blm)t�u的转置BU为u�t分块矩阵,如果记BU�(Cml)u�t,则Cml�BUlm,m��,�,⋯,u;l��,�,⋯,t�要注意的是,此时大的分

块形状要转置,其中每一小分块也要转置�例如

B�B�� B��B�� B

���, BU�

B��U B��U

B��U BU�

����

� 可逆分块矩阵的逆矩阵

对角块矩阵(准对角矩阵)B�ejbh(B�,B�,⋯,Bn)可逆的充要条件是

子块Bj(j��,�,⋯,n)都可逆,且B��也是对角块矩阵,,即

B���ejbh(B��� ,B��� ,⋯,B��n )�例� 设o阶矩阵B分块为

B�C P��

��D E

其中C,E分别为l阶和n阶矩阵�证明:B可逆的充要条件为C,E都是可逆

矩阵,并求B���证 充分性:由习题��知,s(B)1�s(C)�s(E)�l�n(因为E中线

性相关的非零行向量添加了D中的分量后,可能成为线性无关的向量),又

s(B)0�l�n 所以,s(B)�l�n,即B可逆�必要性:如果C的行秩小于l或E的列秩小于n,则s(B)_�l�n,与B

可逆矛盾,故C,E满秩,皆可逆�设

B���Y Z��

��[ U

其中Y,U分别为l阶和n 阶矩阵�于是由

C P��

��D EY Z��

��[ U�

CY CZDY�E[ DZ���

��EU�FlP F

P�

�n,

CY�Fl, 故 Y�C��;

·���·��� 分块矩阵

CZ�P, 故 Z�C��P�P;

DY�E[�P, 故 [��E��DC��;

DZ�EU�Fn, 故 EU�Fn,U�E���所以

B���C�� P

�E��DC�� E��

���

最后,我们讨论一下分块矩阵的初等变换,这里仅以���分块矩阵为例来讨论�对于

分块矩阵

B�B�� B��

B�� B( )��

可以同样地定义它的三种初等行(列)变换,并相应地定义三类分块初等矩阵:

(�)分块倍乘矩阵D�

P F

P( )n

或Fl

P D

P( )�

(�)分块倍加矩阵Fl P

D� F( )n

或Fl D�

P F( )n

(�)分块对换矩阵P Fn

Fl( )P ,

其中Fl,Fn 表示l,n 阶单位矩阵,D�,D�是可逆矩阵�分块初等矩阵左乘或右乘分块矩阵B,在保证可乘的情况下,其作用于节���中讲的

初等矩阵左乘或右乘矩阵B的作用是一样的�分块矩阵的初等变换也是矩阵的一个重要

技巧�下面举两个例子�例� 设o阶矩阵B分块表示为

B�B�� B��

B�� B( )��

其中B��,B��为方阵�证明:如果B和B��可逆,则B���B��B����B��可逆,并求B���解 对B作倍加变换把B的第一行左乘(�B��B����)并加到第二行(相应的分块倍加

初等阵为Q�),使B化为上三角块矩阵C,即

Q�B�F� P

�B��B���� F

��

���B�

B�� B��

P B���B��B����B

��

�����C,

其中F�,F�分别是与B��,B��同阶的单位阵�由Q�B�C可逆及例�的转置(其可逆性不

变)得B���B��B����B��也可逆�记

R�B���B��B����B��,

为了求B��,先对C作行变换将其化为对角块矩阵D,即

Q�C�F� �B��R��

P F

��

���

B�� B��( )P R�B�� P( )P R

�D,

·���· 第�章 矩 阵

于是Q�Q�B�D,故B���[(Q�Q�)��D]���D��Q�Q�,即

B���B����

P R

P�

��

���F� �B��R��

P F

��

���

F� P

�B��B���� F

��

����E�� E��

E�� E( )���

其中

E���B�����B����B��(B���B��B����B��)��B��B����,

E����B����B��(B���B��B����B��)��,

E����(B���B��B����B��)��B��B����,

E���(B���B��B����B��)���

例� 证明:若o阶矩阵B�(bjk)o�o的各阶左上角子块矩阵

b�� ⋯ b�l… …

bl� ⋯ b

�ll

, l��,�,⋯,o

都可逆,则存在主对角元全为�的下三角矩阵M和上三角矩阵V,使得B�MV(通常称为

矩阵B的M�V分解)�证 由于主对角元全为�的下三角矩阵可逆,其逆矩阵也是主对角元全为�的下三角

矩阵,因此只要证明存在主对角元全为�的下三角矩阵T,使得TB�V�下面用数学归纳

法证明之�

o��时,命题显然成立;假设命题对满足条件的o��阶矩阵成立�对于o阶矩阵B,

把B分块为

B�B� ��

�� b( )oo

其中B�为满足命题条件的o��阶矩阵,根据归纳假设,存在o��阶主对角元全为�的

下三角矩阵T�和上三角矩阵V�,使得

T�B��V��于是先对B作倍加初等变换将其化为上三角块矩阵,即

QB�Fo�� P

���B���

��

���B�

B� ��

P boo���B����

��

���

再取

R�T� P

P( )� ,

即得

RQB�V� T���

P boo���B����

��

����V�

其中V为上三角阵�T�RQ是主对角元全为�的下三角阵,故存在M�T��和V,使得

·���·��� 分块矩阵

B�MV�

���� 基的变换矩阵与坐标变换

我们在节���中讲过,有限维线性空间中向量在不同基下的坐标一般是

不同的�下面讨论基变换与坐标变换的问题�设C��{��,��,⋯,�o}与C��{��,��,⋯,�o}是线性空间W(G)的任

意两组基,C�中每个基向量被基C�表示为

���b�����b�����⋯�bo��o���b�����b�����⋯�bo��o

⋯⋯

�o�b�o���b�o���⋯�boo�o

� �

(����)

将上式用矩阵形式地表示为

(��,��,⋯,�o)�(��,��,⋯,�o)

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

… …

bo� bo� ⋯ b

�oo

�(����)

我们把(����)式右端的矩阵B�(bjk)o�o叫做基C�变为基C�的变换矩阵

(或称过渡矩阵)�由(����),(����)式可见,变换矩阵B是(����)中基向量��,��,⋯,

�o 的系数矩阵的转置�它的第k列是�k关于基C�的坐标�由于��,��,⋯,�o是线性无关的,所以B中对应的o个列向量也线性无关�因此基的变换矩阵B是可逆矩阵�

下面论述同一个向量在两组不同基下的坐标间的关系�定理���� 设上述基C�变为基C�的变换矩阵为B,如果���W(G),

且在C�,C�下的坐标分别为

�C��Y�(y�,⋯,yo)U, �C��Z�(z�,⋯,zo)U,

Z�B��Y� (����)

证 由已知条件,�可以形式地表示为

��(��,⋯,�o)Y�(��,⋯,�o)Z�将已知条件(��,⋯,�o)�(��,⋯,�o)B代入上式右端,得

��((��,⋯,�o)B)Z�(��,⋯,�o)(BZ)�

·���· 第�章 矩 阵

由于�在基C��(��,⋯,�o)下的坐标是唯一的,所以BZ�Y,从而

Z�B��Y�例� 已知���(�,�,�),���(�,�,�),���(�,�,�)是S�一组基,求

S�的自然基{f�,f�,f�}变为基{��,��,��}的变换矩阵B�解 由

���f��f��f�

������f��f�

����f

��

� �

即得自然基{f�,f�,f�}变为基{��,��,��}的变换矩阵

B�� � �� � ��

�� � �� �� �� ��

�� �

例� 已知S�的两组基C��{��,��,��},C��{��,��,��}为

���(�,�,�),���(�,�,�),���(�,�,�),

���(�,�,�),���(�,�,�),���(�,�,�)�

�在基C�下的坐标为Y�(�,�,�)U,试求�在基C�下的坐标Z�解 先求基C�变为基C�的变换矩阵B�根据变换矩阵的定义,需要分

别将��,��,��用基C�线性表示,这样需要解系数矩阵为

Q� �� �� ��

�� �

� � �� � ��

�� � �的三个非齐次线性方程组�此时可按下述方法求变换矩阵B�(bjk)���,即由

(��,��,��)�(��,��,��)B,

将基C�和C�中的基向量以列向量的形式代入上式,得矩阵方程

R�QB�于是变换矩阵

B�Q��R �� � �� � ��

�� � �

��� � �� � ��

�� � ����

� � ��� � ��

�� � ��

根据(����)式,得�在基C�下的坐标Z为

Z�B��Y�� �� �� � ���

�� � �

����

����

���

·���·���� 基的变换矩阵与坐标变换

此题的另一种解法:先由�C��Y�(�,�,�)U得

���������(�,�,�)�

再令��z����z����z���,可解得�C��Z�(z�,z�,z�)U�(�,��,�)U�例� 已知S[y]�的两组基C��{h�,h�,h�,h�},和C��{i�,i�,i�,

i�}为

h����y�y��y�,

h��y�y��y�,

h��y��y�,

h��y�,

i����y�y�,

i����y,

i����y�y�,

i����y�y��

又知q(y)在基C�下的坐标为Y�(�,��,�,�)U,试求:

(�)基C�变为基C�的变换矩阵D;

(�)q(y)在基C�下的坐标Z�(z�,z�,z�,z�)U�解 (�)对于S[Y]�的自然基C��{�,y,y�,y�},按等式

(h�,h�,h�,h�)�(�,y,y�,y�)B�, �

(i�,i�,i�,i�)�(�,y,y�,y�)B�, �

易得基C�变为基C�和基C�的变换矩阵B�和B�为

B��

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

, B��

� � � ��� � � �� �

��� �

�� � � �

由�式又得

(�,y,y�,y�)�(h�,h�,h�,h�)B��� � �将�式代入�式,则得

(i�,i�,i�,i�)�(h�,h�,h�,h�)(B���B�)�

所以基C�变为基C�的变换矩阵为

D�B���B��

� � � ��� � � ��� �� �� �� � � �

��

(�)根据(����)式,q(y)在基C�下的坐标Z为

·���· 第�章 矩 阵

Z�D��Y�

� � � �� � � �

�� ��� �� ��

�� ��� �� �

��

����

���

����

���

习 题

��求下列线性映射关于自然基所对应的矩阵�(�)�(y�,y�,y�)�(y��y�,y��y�,y�);

(�)�(y�,y�)�(y��y�,y�,y��y�);

(�)�(q(y))�q(y��)�q(y), q(y)��S[y]o;

(�)第�章习题�:(�),(�);

(�)�是o维线性空间W(G)的恒等变换(对W(G)的任一组基{��,��,

⋯,�o})��H��设D为全体复数在实数域上构成的线性空间,{��b��c�j��D,定

义D到D的映射为:�[�为�[�([)�[�[,证明:�[� 是线性的,并求:

(�)�[� 关于基C��{�,j}所对应的矩阵;

(�)�[� 关于基C��{�,��j}所对应的矩阵���设E:S[y]�A�S[y]��

E(b��b�y�b�y��b�y�)�b���b�y��b�y��(�)证明E是线性的;

(�)求E关于S[y]�的基C��{�,y,y�,y�}和S[y]�的基C��{�,

y,y�}所对应的矩阵;

(�)求q(y)����y�y���y�的象E(q(y))关于基C�的坐标;

(�)如果把E看作S[y]�到自身的线性变换,那么E关于基C�所对应的

矩阵是什么?

��对第�章习题�中的投影变换q和镜象变换�:

(�)分别求q和�关于S�的自然基{f�,f�,f�}所对应的矩阵(此时令�

�(d�,d�,d�)U);

(�)求S�的一组基,使q和�关于这组基所分别对应的矩阵都是对角阵���计算�B��C,BC�CB,其中B,C为

B�� �� ���

���

, C�� ���

��� ��

·���·习 题

��已知:

B�� �� �� �� �� �

�� �

, C�� �� ��� � ���� � �

���

证明:B��B,Cl�C(l1��),BC�CB�P���计算下列的矩阵乘积:

(�)(�,��,�)� �� �� � ��

�� � �

; (�)� �� �� � ��

�� � �

����

��

(�)(y�,y�)b�� b��b�� b

���

y�y

��; (�)

������

(b,c);

(�)� � �� � ��

�� � �

b� b� ⋯ boc� c� ⋯ cod� d� ⋯ d

�o

; (�)

b� c� d�b� c� d�… …

bo co d

�o

� � �� � ��

�� � �

(�)� � ��� � ��

�� � �

b� b� b�c� c� c�d� d� d

��

; (�)

b� � �

� b�� �

b

��

� � �� � ��

�� � ��

��计算RQ,(QBR)l(l为正整数),其中Q,B,R为

Q�� ���

��� �

, B�� �� ���

���

, R�� �����

��� ��

��证明:若BC�CB,BD�DB则B,C,D为同阶方阵,且

B(CD)�(CD)B, B(C�D)�(C�D)B����B,C都是o阶矩阵,问下列等式成立的充分条件是什么?

(�)(B�C)��B���B�C��BC��C�;

(�)(B�C)(B�C)�B��C�����计算下列矩阵的幂:

(�)dpt� tjo��tjo� dpt��

���

o; (�)

� ����

��� �

o;

(�)� � �� � ��

�� � �

o

; (�)

b � � �� b � �� � b� � �

�b

o

·���· 第�章 矩 阵

���求平方等于零矩阵的所有二阶矩阵����求所有与B可交换的矩阵,其中

(�)B�� ���

��� �

; (�)B�� � �� � �� � �

���

���设对角矩阵B�ejbh(b�,b�,⋯,bo),其中bj-�bk,(j-�k)证明:与

B可交换的矩阵必是对角阵����设g(y),h(y)��G[y],B,C��No(G),证明:

g(B)h(B)�h(B)g(B);

(�)如果BC�CB,则g(B)h(C)�h(C)g(B);

(�)设g(y)���y�⋯�yn��,h(y)���y,B�b c���

��b

,计算

g(B)h(B)�?

���证明:若B,C皆为o阶下三角矩阵,则BC�D也是下三角矩阵,且

djj�bjjcjj,其中bjj,cjj,djj为B,C,D的主对角元,j��,�,⋯,o����证明:若B是主对角元全为�的上三角矩阵,则B�也是主对角元全为

�的上三角矩阵�

���设T�b c���

��db,c,d���

��

���[ �

(�)验证T对矩阵的加法和乘法构成一个环;

(�)求T的幂零元素(幂零矩阵,即�l��OH�,使Bl�P)与幂等元素

(幂等矩阵,即B��B),并证明T的幂零元素组成的集合是T的一个子环����设C�{��,��,��}是三维向量空间W的一组基,���M(W,W)关

于基C所对应的矩阵为B,求Jn�和Lfs�:

(�)B�� � ��� � ��

�� � �

; (�)B�� �� ��� � ���� � �

���

���“若B是o阶可逆矩阵,则方程组BY�c对任意的c有唯一解,且其

解Y�B��c”�利用这个结论,判断下列矩阵是否可逆?如可逆,并求其逆矩

阵�

(�)B�� ���

��� �

; (�)C�� ��� ���

���

(�)D�� � �� � ���

�� � �

; (�)E�� � �� � �� �

�� �

·���·习 题

(�)证明:上三角矩阵B�(bjk)o�o(j`�k时,bjk��)可逆的充要条件

是bjj-��,j��,�,⋯,o�

���设方阵B满足B��B��F�P,证明:

(�)B和F�B都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵;

(�)B�F和B��F不可能同时都是可逆的����设B为幂零矩阵(即�l,使Bl�P),证明F�B是可逆矩阵,并求

其逆矩阵����设B,C是同阶非奇异矩阵(即可逆矩阵),证明下列等式彼此等价:

BC�CB; BC���C��B;

C��B���B��C��; B��C�CB������计算BCU,BUC,BUB�CUC,其中B,C为:

B�� �� �� ���

��� �

, C��� � ����

��� � ��

���证明:(B�B�⋯Bl)U�BUl⋯BU�BU�����对于任意的o阶矩阵B,证明:

(�)B�BU是对称矩阵,B�BU是反对称矩阵;

(�)B可表示为对称矩阵与反对称矩阵之和����B,C都是o阶对称矩阵,证明:

(�)B�C,B��C也都是对称矩阵;

(�)BC是对称矩阵k�B与C可交换����证明:若B是实对称矩阵,且B��P则B�P����已知B是o阶对称矩阵,C是o阶反对称矩阵�

(�)问:Bl,Cl是对称矩阵或反对称矩阵吗?

(�)证明:BC��C�B是反对称矩阵����证明:可逆的对称(反对称)矩阵的逆矩阵仍是对称(反对称)矩阵����用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵:

(�)� � �� �� ��� �

�� �

; (�)� � �� � ��

�� � �

(�)

� � � �b � � �� b � �� � b

��

; (�)

� � � �� � � �� � � �� �� � �

��

·���· 第�章 矩 阵

(�)

��

��

��

��

��

�� ��� ���

�� ���

�� ���

�� ��� ���

���

; (�)

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

(�)

� b b� b�

� � b b�

� � � b

�� � � �

; (�)

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

���已知

B�b b �b � b�

�b b

, �_�b_���

证明:B是可逆阵,并求B������利用逆矩阵(或用初等变换法),解下列矩阵方程:

(�)� ���

��� �C�

� ����

��� �

; (�)� � �� � �

�� � �

��Y�

� ��� ��

�� �

(�)B� � �� � ��

�� � ��� �� �� � ���

����

���利用逆矩阵,解线性方程组

y��y��y���

�y���y���

y��y���

��

� �

���用初等变换法,求下列矩阵的秩:

(�)

� � �� � �� � ��� �

�� �

; (�)

� � �� � �� � � � �� � � � �� � �

�� � ��

·���·习 题

(�)� � �� ��� �� � �� � �� �

��

; (�)

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

���设B,C,D��No(G),证明:

(�)秩B P��

��P C�秩(B)�秩(C);

(�)秩(B)�秩(C)0�秩B D��

��P C0�秩(B)�秩(C)�秩(D)�

���证明:矩阵添加一列(或一行),其秩或不变,或增加�����设B是t�o矩阵,C是B的前n 行构成的n�o矩阵,证明:

秩(C)1�秩(B)�n�t���H��设B��No(G),秩(B)��,证明:

(�)B�

b�b�…

b

�o

[c�,c�,⋯,co];

(�)B��lB,其中l是B的主对角元之和����设B是n�o矩阵(n0�o),秩(B)�n,证明:存在o�n矩阵C,

使BC�F����设B,C��No(G),秩(B)�秩(C)0�o,证明:存在可逆阵N,使

BNC�P����设B,C��Nn�o(G),证明:B�Ck�s(B)�s(C)����设{��,��,⋯,�o}是o维空间W(G)的一组基,B��No�l(G),且

(��,��,⋯,�l)�(��,��,⋯,�o)B�证明:M(��,��,⋯,�l)的维数等于秩(B)����设

B�

� � � � �� � � � �� � �� � �� � � �� �� � � � �

��

, C�

� � � ��� � � �� � � �� � � �

�� � � �

用矩阵分块的方法:(�)计算B�,BC;(�)求B���

·���· 第�章 矩 阵

���设B,C,D��No(G),Q�B C��

��P D

,给出Q可逆的条件,并求其逆矩

阵�

���设C,D分别是n 阶和o阶矩阵,B�P C��

��D P

(�)证明:B可逆k�C,D都可逆;

(�)当B可逆时,求B��;

(�)求

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

��

���设C是o阶可逆矩阵,

D�� � ⋯ o� � ⋯

� ��

���

求一个矩阵B,使BC����D�Fo�

���将o阶矩阵B分块为

B�B�D b

C�

�oo,

其中B�是o��阶矩阵,设B与B�都是可逆矩阵,且已知B��� ,试求B��(这

种利用B��� 来求B��的方法称为加边法)�利用这个结果,求

� � � �� � �

��

� � ����

�� � � �

��

��H��对下列矩阵作M�V 分解:

(�)� �� �� � ��

�� � �

; (�)

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

���已知S�的基C��{��,��,��}变为基C��{��,��,��}的变换矩阵

B�(bjk)���,求:

·���·习 题

(�)基C��{��,��,��}变为基C�的变换矩阵;

(�)基C��{���,��,��}变为基C�的变换矩阵;

(�)基C�变为基C��{��,��,���}的变换矩阵;

(�)基C�变为基C��{�����,�����,�����}的变换矩阵�

���已知S�的一组基为:���(�,�,��,�),���(�,�,�,�),���(�,

�,�,�),���(�,�,�,�),求一个非零向量�,使它关于这组基和关于自然基

{f�,f�,f�,f�}有相同的坐标�

���已知S�的基C��{��,��,��}和C��{��,��,��}为

���(�,�,�), ���(�,�,�), ���(�,�,�),

���(�,�,�),���(�,�,�),���(�,�,�)�(�)求基C�变为基C�的变换矩阵,如果�关于基C�的坐标为(�,��,

��)U,求�关于基C�的坐标;

(�)求基C�变为基C�的变换矩阵�

���已知S�的基C��{��,��,��}和C��{��,��,��}为

���(�,�,�), ���(�,�,�), ���(�,�,�),

���(�,�,�),���(�,�,�),���(�,�,��)�(�)求��(�,�,�)在基C�下的坐标;

(�)求基C�变为基C�的变换矩阵;

(�)利用变换矩阵,求�在基C�下的坐标�

补 充 题

��证明:与任意o阶矩阵都可交换的矩阵B必是o阶数量矩阵���矩阵B�(bjk)o�o 的主对角元之和称为矩阵B的迹,记作

us(B)���o

j��bjj�

证明:若B��No�n(G),C��Nn�o(G),则us(BC)�us(CB)���若B,C��No(G),则BC�CB-�F�

�H��设

I �b c

��

��c bb,c��D�

��

���

(复数域)�

证明:I是一个除环(含乘法单位元的无零因子环),但不是域�

·���· 第�章 矩 阵

��设Y�[y�,⋯,yo]U,Z�[z�,⋯,zo]U,且YUZ��,证明:

(�)(YZU)l��l��(YZU),l1��;

(�)如果B�F�YZU,则B可逆,并求其逆矩阵���证明:对换变换可以通过若干次倍加和倍乘变换来实现�

��把二阶矩阵b �

� b���

���

表示为若干个倍加初等阵的乘积�

��设B�b c��

��d e

,be�cd���证明:矩阵B可以表示为若干个倍加初

等矩阵的乘积���设B,C �� No(G),证明:s(BC)1�s(B)�s(C)�o�并问:如果

B��Nn�o(G),C��No�t(G),上述结论是否成立?

���设

C��� ���

��� �

,� ���

��� �

,� ���

��� �

,� ���

��

���

���� �

C��� ���

��� �

,� ���

��� �

,� ���

��� �

,� ���

��

���

���� ��

(�)证明:C�也是线性空间N�(S)的基;

(�)求基C�变为基C�的变换矩阵;

(�)求N�(S)的一组基C��{B�,B�,B�,B�},使得B�j�Bj(j��,

⋯,�);

(�)已知矩阵B关于基C�的坐标为(�,�,�,�)U,求B关于基C�的坐标����设

X��y �yz��

��{y,z,{��G�

��

���

(域),

X��b c���

��b db,c,d���

��

���G �

(�)证明X�,X�是N�(G)的子空间,并求ejnX�,ejnX�,ejn(X��X�),ejn(X���X�);

(�)求X���X�的一组基,并求B�� �����

��� �

关于这组基的坐标�

���设W��M(g�,g�,g�),W��M(h�,h�),其中

g�����y�y���y�,g����y�y��y�,

g�����y��y�,

·���·补 充 题

h�����y��y���y�, h������y��y���y��求:ejn(W���W�)和(W���W�)的基;ejn(W��W�)和(W��W�)的基�

部分习题和补充题答案

习题

��(�)� � �� � ���

�� � �

; (�)� �� �

��

�� �

(�)

� � � � ⋯

� � �

�⋯ Do��o��

� � ⋯ Do��o��� � …

� D�o��

��

; (�)� ����

��� �

;� ����

��� �

(�)Fo�

��(�)b� �c�c� b

��; (�)

b��c� ��c�c� b��c

���

��(�)� � � �� � � ��

�� � � �

;(�)(�,��,�)U;(�)

� � � �� � �� �

��

��(�)F�B,F��B,B�

d�� d�d� d�d�

d�d� d�� d�d�

d�d� d�d� d

���

(�)基{��,��,��}:����,��!��,��!��,��与��不共线�

��(�)(�,�,��);(�)(�,�,�)U�

���l���(��)l��� ��·�l����(��)l

�l���(��)l��� ��·�l��(��)

�l�

���BC�CB�

���(�)dpto� tjoo��tjoo� dpto��

���

; (�)(��)lF,o��l(��)lB,o��l����� ;

·���· 第�章 矩 阵

提示:(�),(�)题利用(�F�B)l的二项式展开式(����)�

(�)� �o �o��o� �o

��

; (�)

bo bo��d�o bo��d�o bo��d�o

bo bo��d�o bo��d�o

bo bo��d�o

b

�o

���b cd ���

��b

,cd��b��

���(�)b c���

��b

; (�)b � �� c��d �d�

�d c�

���(�)F�Bn� ���� c��

��� �

;� c��

��� �

,� c��

��� �

,� ���

��� �

,� ���

��� ��

���(�)M{��������,�����};M{������������

};

(�)M{���������};M{������,������}�

���(�),(�)不可逆;(�)�� ��� �

���

;(�)

�� ��

��

� � ��

�� ���

���

���(�)B�F�

;B�� ���F�B�⋯�Bl���提示:找矩阵B的一个

多项式q(B)使(F�B)q(B)�F�

������ ����� ���

���

,��� �� ��� �� ���

�� � �

,�� ��� ���� �� ��� �

�� ��

���提示:考虑B�的主对角元即可����提示:利用(B��)U�(BU)���

���(�)���

� � �� � ��� �

�� �

; (�)� �� �� � ���

�� � �

(�)

� � � ��b � � �

b� �b � �

�b� b� �b

��

; (�)���

�� � � �� � �� ��� �� � ��� �� � �

���

·���·部分习题和补充题答案

(�)��

� � � �� � �� ��� �� � ��� �� �

�� �

; (�)���

�� �� � �� �� �� �� � �� ���� � � �

��

(�)

� �b � �� � �b� � �

��b

�� � � �

; (�)

� � � ��

� � � �

� �� � �

� � ��

��

��� �(�b��)(��b)

�b �b b���b b�� �bb�� �b �

�b�

���(�)� ��� ���

���

;(�)

� ��

�� ���

�� �

���

;(�)� �� ��� � ���

����

���(�,��,�)U� ���(�),(�),(�),�;(�)�����(�)提示:B的每个行向量成比例�(�)利用(�)的结论����提示:利用矩阵的相抵标准形�

���(�)B��B� �

� B

��,其中B��

� ����

���� ��

,B��� �� �� � ���

�� � �

(�)C� �

� C

��,其中C��

� �����

��� �

,C�����

� � �� � ��

�� � ��

���B�� �B��CD��

P D��

���

·���· 第�章 矩 阵

���(�)P D��

C���

�P;(�)

� � � ��� � � �

� �� � �

� � ��

��

���[C��,Q],Q�[Po��,Eo��],a�E�

���(�)

� � �� � �

� ��

��

� �� �� � �

� �

��

���

(�)

� � � ��� � � �

� �� � �

� � ����

��

� � � �

� �� � �

� � ���

� � � ��

���

���(�)� � �� � ��

�� � �B; (�)

�� � �� � �

�� � �B;

(�)�� � �� � �

�� � �B� � �� � �

��

�� � �

; (�)�� � �� � �

�� � �B� � �� � ��

�� � ��

����f��f��f��f��

���(�)� � ��� � �� �

�� �

;[�,�,��]U;(�)��

� � �� � ���

�� � ��

���(�)���

���

;(�)��� ��� ���� �� �

�� �� �

;(�)��

[���,����,��]U�

补充题

��提示:挑选一些简单的矩阵,如ejbh(�,⋯,�,d,�,⋯,�)等与B 可交

换,即可证得所要的结果���提示:利用上题结果�

·���·部分习题和补充题答案

��提示:证明I中非零矩阵可逆,乘法不可交换� ��(�)提示:考虑B�

与的B关系� ��提示:只要证明初等对换阵可表示为初等倍加和初等倍乘

阵的乘积,以二阶为例即可� ��提示:利用矩阵的相抵标准形和(����)式

及习题��的结论;或者利用习题��的结论对分块矩阵F P��

��P BC

作初等变换

使之变为H� C��

��B P

型矩阵�

���(�)

� �� � �� � �� �� � � ��

�� � � �

(�)� ���

��� �

,� ���

��� �

,� ���

��� �

,� ���

��

���

���� �

; (�)[�,�,��,�]U�

���(�)�,�,�,�; (�)� �����

��� �

,� ���

��

���

���� �

,�������

����;{h�};�;{g�,g�,g�,h�}�

·���· 第�章 矩 阵

第�章 行 列 式

在线性代数中,行列式是一个基本工具,用行列式可以判断矩阵是否可

逆,向量组是否线性相关;以后研究线性映射的特征值以及欧氏空间中的一些

几何问题也都离不开行列式�本章主要内容有:o阶行列式的定义及其性质;行列式按一列(行)的展开

式;Dsbnfs法则;矩阵的行列式秩;利用方阵的行列式及其子式求方阵的逆矩

阵;方阵B的行列式不等于零是B可逆和齐次线性方程组BY��只有零解的

充要条件等�行列式的概念起源于线性方程组的求解�例如二元一次方程组

b��y��b��y��c�b��y��b��y��c���

� ,(���)

当b��b���b��b��-��时,用消元法求得的解为

y��c�b���b��c�b��b���b��b��

y��c�b���b��c�b��b���b��b��

� (���)

这个解的分子和分母都是�个元素的二次齐次多项式,它们都有两项(正负各

一项)�人们从(���)的表达式中受到启发,定义

E�e�� e��e�� e��

�e��e���e��e�� (���)

(其中每项都是不同行、列的二元素之积),并称它为二阶行列式�如此,(���)式可表示为

y��E�E

, y��E�E

, (���)�

其中:

E�b�� b��b�� b��

, E��c� b��c� b��

, E��b�� c�b�� c�

对于由�个元素bjk(j,k��,�,�)排成的三行三列的式子定义为

b�� b�� b��b�� b�� b��b�� b�� b��

�b��b��b���b��b��b���b��b��b��

�b��b��b���b��b��b���b��b��b��, (���)

并称它为三阶行列式�它是�个元素的三次齐次多项式,其中有�!��项,正

负项各半,每项都是不同行、列的三个元素之积�这�项可用下面(���)式所

示的方法得到�

(���)

如果把三元一次方程组

b��y��b��y��b��y��c�b��y��b��y��b��y��c�b��y��b��y��b��y��c

��

� �

中未知元y�,y�,y�的系数排成三阶行列式(称系数行列式)

E�

b�� b�� b��b�� b�� b��b�� b�� b��

那么,当E-��时,读者可以用消元法验证这个方程组的解为

y��E�E

, y��E�E

, y��E�E�

(���)

其中Ek是由c�,c�,c�,替换E中第k列所得的三阶行列式,即

E��

c� b�� b��c� b�� b��c� b�� b��

, E��

b�� c� b��b�� c� b��b�� c� b��

, E��

b�� b�� c�b�� b�� c�b�� b�� c�

对于�元乃至一般的o元o个一次方程构成的方程组是否也有类似于(���)�及(���)式那样的结论呢?答案是肯定的(见定理���)�但是,对于o`��的o阶行列式,不能如(���)式那样定义�o阶行列式可以用几种不同的方

法来定义,我们采用公理化方法定义�

��� o阶行列式的定义

我们把数域G上的o�个数bjk(j,k��,�,⋯,o)排成的o行o列并在两

·���· 第�章 行 列 式

边作两条直线的式子

b�� b�� ⋯ b�ob�� b�� ⋯ b�o

… …

bo� bo� ⋯ boo

或 bjk o�o (���)

称为数域G上的o阶行列式,它表示从集合Go�Go�⋯�Go(o个)到数域

G的一个映射,记作E(��,��,⋯,�o),其中�k��Go是(���)式中的第k个

列向量(k��,�,⋯,o)�定义��� 数域G上的一个o阶行列式是取值于G的o个o维向量��,

��,⋯,�o��Go的一个函数,而且a��j,�j��Go和a����G,满足下列规则:

(�)E(��,⋯,��j,⋯,�o)��E(��,⋯,�j,⋯,�o);

(�)E(��,⋯,�j��j,⋯,�o)

�E(��,⋯,�j,⋯,�o)�E(��,⋯,�j,⋯,�o);

(�)E(��,⋯,�j,⋯,�k,⋯,�o)��E(��,⋯,�k,⋯,�j,⋯,�o);

(�)E(f�,f�,⋯,fo)��,即

� � ⋯

� ��

⋯ �… …

� � ⋯ �

���

当o��时,一阶行列式E� b�� �b���定义中的(�),(�)表示E是线性的;(�)表示第j列与第k列对换,行列式

反号;(�)表示E关于Go的自然基的函数值为�,即o阶单位矩阵的行列式等

于��关于满足上述(�)Y(�)的映射E�GoA�G的唯一性问题这里不讨论�

先看下面的例子;

例� 用定义计算下列行列式:

(�)Eo�

b�� � ⋯ �

� b�� ⋯ �… …

� � ⋯ boo

, (�)Eo�

� � ⋯ � b�� � ⋯ b� �… …

� bo�� ⋯ � �

bo � ⋯ � �

其中(�)称为对角行列式(即,对角矩阵的行列式)�

·���·��� o阶行列式的定义

解 (�)Eo�E(b��f�,b��f�,⋯,boofo)

�b��b��⋯booE(f�,f�,⋯,fo)�b��b��⋯boo�(�)对Eo�E(bofo,bo��fo��,⋯,b�f�,b�f�),将b�f�与前o��列依次

对换o��次,换到第�列;再将b�f�与前o��列依次对换o��次,换到第

�列;如此,依次地将b�f�,⋯,bo��fo��分别与它们前面的o��,⋯,�列对换

o��,⋯,�次,换到第�,⋯,o��列;得

Eo�(��)(o��)�(o��)�⋯��E(b�f�,b�f�,⋯,bo��fo��,bofo)

�(��)o(o��)/�b�b�⋯bo��boE(f�,f�,⋯,fo��,fo)

�(��)o(o��)/�b�b�⋯bo��bo�对一般的o阶行列式Eo按定义计算其值是相当繁的,为使计算简便,我

们要根据定义推出行列式的一些性质�然后按行列式定义及其性质来计算(或

称展开)行列式�性质� 若行列式有一列为零向量,则行列式的值等于零,即

E(��,⋯,�,⋯,�o)���证 因为零向量����j(右端的�为数�),所以

E(��,⋯,�,⋯,�o)�E(��,⋯,��j,⋯,�o)

��E(��,⋯,�j,⋯,�o)���性质� 若行列式有两列元素相同,则行列式的值等于零�

证 设�j��k(j-�k),根据定义���中(�),则有

E(��,⋯,�j,⋯,�k,⋯,�o)��E(��,⋯,�k,⋯,�j,⋯,�o),

而等式两边行列式相同,故E(��,⋯,�j,⋯,�k,⋯,�o)���性质� 若行列式有两列元素成比例,即�j���k(j-�k),(���G),则

行列式的值等于零�由定义���中(�)及性质�,立即得此性质�性质� 将行列式的某一列乘以常数加到另一列(即对行列式作倍加列

变换),则行列式的值不变�即

E(��,⋯,�j,⋯,��j��k,⋯,�o)�E(��,⋯,�j,⋯,�k,⋯,�o)�由定义���中(�)及性质�,立即得此性质�

性质� 若{��,��,⋯,�o}线性相关,则E(��,��,⋯,�o)���证 由于{��,��,⋯,�o}线性相关,所以有一个向量可被其余向量线性

表示,不妨设

��������⋯��o�o�于是,利用性质�,将E中第�,⋯,o列依次乘���,⋯,��o加到第一列,即得

·���· 第�章 行 列 式

E(��,��,⋯,�o)�E(�,��,⋯,�o)���

例� 用定义和性质计算二阶行列式E�b�� b��b�� b��

�解E�E(��,��)�E(b��f��b��f�,b��f��b��f�)

�E(b��f�,b��f�)�E(b��f�,b��f�)�E(b��f�,b��f�)

�E(b��f�,b��f�)

���b��b��E(f�,f�)�b��b��E(f�,f�)��

�b��b���b��b��E(f�,f�)�b��b���b��b��这个结果与本章开始定义的二阶行列式是相同的�用同样的方法计算三阶行

列式,其结果与前面的定义也相同�我们把o阶行列式E� bjk o�o也叫作o阶矩阵B�(bjk)o�o的行列式,

并记作E�efuB或}B}�根据定义���及性质�可知三种初等矩阵的行列式为:

Fj(d)�E(f�,⋯,dfj,⋯,fo)�dE(f�,⋯,fj,⋯,fo)�d,

Fjk �E(f�,⋯,fk,⋯,fj,⋯,fo)

��E(f�,⋯,fj,⋯,fk,⋯,fo)���(j_�k),

Fjk(d)�E(f�,⋯,fj�dfk,⋯,fk,⋯,fo)

�E(f�,⋯,fj,⋯,fk,⋯,fo)���于是对o阶矩阵B作三种初等列变换所得矩阵的行列式与B及初等矩阵的行

列式有如下关系:

BFj(d) �dB � B Fj(d), (���)

BFjk �� B � B Fjk , (���)

BFjk(d) � B � B Fjk(d)� (����)

因此,如果Q�,Q�,⋯,Ql均为初等矩阵,则有

BQ�Q�⋯Ql � B Q� Q� ⋯ Ql � (����)

利用这个结果,可得行列式的另一个重要性质�性质� 设B是数域G上的o阶矩阵,则

BU � B , (����)

即,o阶行列式的行与列依次互换,则行列式的值不变�证 若秩(B)_�o,则秩(BU)�秩(B)_�o,由性质�得,

BU � B ���

·���·��� o阶行列式的定义

若秩(B)�o,即B可逆,则存在初等矩阵Q�,Q�,⋯,Ql,使得

B�Q�Q�⋯Ql, BU�QUl⋯QU�QU��于是,B � Q� Q� ⋯ Ql ,BU � QUl ⋯ QU� QU� ,而初等矩阵Qj与QUj 是同类初等矩阵,且 QUj � Qj ,所以 BU � B �

性质�表明如果把o阶行列式E看作o个行向量的函数,则定义中�条规

则及行列式的�条性质对行向量都成立�例� 证明:o阶上三角行列式

B �

b�� b�� ⋯ b�o� b�� ⋯ b�o… …

� � ⋯ boo

���o

j��bjj�

证 如果 B 中�bjj��,则秩(B)_�o,从而 B ��,故结论成立�如果bjj-��(j��,�,⋯,o),则对B作倍加列变换可使B化为对角阵

ejbh(b��,b��,⋯,boo),而倍加列变换不改变行列式的值,故

B �ejbh(b��,b��,⋯,boo)�b��b��⋯boo�同理或利用性质�可得,下三角行列式也等于主对角元之积�

计算行列式常利用行列式的性质(包括定义中的基本性质),用初等变换

把它化为一些简单的形式(如上,下三角行列式),然后再来求它的值�例如

例� 计算四阶行列式

E�

� � �� ��� �� � �� � �

��

� ��

�� ��

解 对E作行变换将其化为上三角行列式

E[�]�[�]

[�]�[�]�(��O�O�O�O�O�O�O�O�O�O�)

� � �� �� � � �� � � ��� �� � �

[�]�[�]

[�]B�A�[�O�O�O�O�O�O�O�]�

� � �� �� � � �� � � �

� � � �

[�]�[�]�(�� �O�O�O�O�O�O�O�O�O�O�O�)�

� � �� �� � � �� � � �

� � �

��

����������

·���· 第�章 行 列 式

例� 计算o阶行列式Eo�

b c ⋯

c bc

⋯ c… …

c c ⋯ b

解 Eo中主对角元均为b,其余元素都是c,所以Eo的每行元素之和均

为b�(o��)c,此时,可把各列加到第一列,然后将第一行乘(��)加到其余

各行,如此就化为上三角行列式,即

Eo�

b�(o��)c c ⋯ cb�(o��)c b ⋯ c

… …

b�(o��)c c ⋯ b

�[b�(o��)c]

� c ⋯ c� b ⋯ c… …

� c ⋯ b

�[b�(o��)c]

� c ⋯ c� b�c �… � …

� � ⋯ b�c

�[b�(o��)c](b�c)o���例� 证明

b��c� c��d� d��b�b��c� c��d� d��b�b��c� c��d� d��b�

��

b� c� d�b� c� d�b� c� d�

证法一 把左端行列式的第�,�列加到第一列,提出公因子�,再把第一

列乘(��)加到第�,�列,得

左式��

b��c��d� �b� �c�b��c��d� �b� �c�b��c��d� �b� �c�

再将第�,�列加到第一列,然后提出第�,�列的公因数(��),再作两次列对

换,等式就得证�证法二 对左式的各列依次用定义���中的(�),即

·���·��� o阶行列式的定义

左式�

b� c��d� d��b�b� c��d� d��b�b� c��d� d��b�

c� c��d� d��b�c� c��d� d��b�c� c��d� d��b�

b� c� d��b�b� c� d��b�b� c� d��b�

b� d� d��b�b� d� d��b�b� d� d��b�

���

c� d� d��b�c� d� d��b�c� d� d��b�

b� c� d�b� c� d�b� c� d�

�����������

c� d� b�c� d� b�c� d� b�

�右式�

��� 行列式按一列(行)的展开式

行列式按一列(或行)的展开式是计算行列式的一种常用方法,它把计算

一个o阶行列式化为计算o个o��阶行列式�定义��� 在o阶行列式E� bjk o�o中,去掉元素bjk所在的第j行和

第k列的所有元素而得到的o��阶行列式,称为元素bjk的余子式,记作Njk,

并把数

Bjk�(��)j�kNjk (����)

称为元素bjk的代数余子式�例如三阶行列式E� bjk ���中b��,b��,b��的代数余子式

B���b�� b��b�� b��

, B����b�� b��b�� b��

, B���b�� b��b�� b��

为了证明行列式按一列(或行)展开的定理,先证一个引理�引理 设B�(bjk)o�o 中bjo��(j��,�,⋯,o��),则

E� B �booNoo�booBoo� (����)

证 将矩阵B分块表示为

B�B� �

� b

m�

n�

q�

r�oo, 即 E�

B� �

� boo�

其中 B� �Noo�(��)o�oNoo�Boo�若boo��,则E��,(����)式

成立;若boo-��,对E作倍加列变换,可得

E� B �B� �

� boo�

·���· 第�章 行 列 式

若s(B�)_�o��,则 B� �Noo��,且s(B)_�o,E� B ��,故

(����)式成立;若s(B�)�o��,则对矩阵B作倍加行变换可将B�化为上

三角矩阵C�,而对方阵作倍加变换,其行列式的值不变,于是

E�B� �

� boo�C� �

� boo�booC�

�boo B� �booNoo�booBoo�定理��� 设E� bjk o�o,则

E���o

l��blkBlk�b�kB�k�b�kB�k�⋯�bokBok, k��,⋯,o,

(����)

E���o

l��bjlBjl�bj�Bj��bj�Bj��⋯�bjoBjo, j��,⋯,o�

(����)

(����)式称为E对第k列的展开式,(����)式称为E对第j行的展开式�下面证(����)式:

证 先证明第k列元素bjk-��,blk��(l-�j)的情形(即第k列除bjk-��,其余元素均为零)�此时行列式记作Ejk,把Ejk中第k列依次与第k��,k��,⋯,o列对换(共对换o�k次),使第k列换到第o列;再把第j行依次与第

j��,j��,⋯,o行对换(共对换o�j次),使第j行换到第o行,于是

Ejk�(��)o�k�o�j

b�� ⋯ b�,k�� b�,k�� ⋯ b�o �… …

bj��,� ⋯ bj��,k�� bj��,k�� ⋯ bj��,o �

bj��,� ⋯ bj��,k�� bj��,k�� ⋯ bj��,o �… …

bo� ⋯ bo,k�� bo,k�� ⋯ boo �

bj� ⋯ bj,k�� bj,k�� ⋯ bjo bjk

其中左上角的o��阶行列式就是Ejk中元素bjk的余子式Njk,根据引理,就有

Ejk�(��)�o�j�kbjkNjk�bjk(��)j�kNjk�bjkBjk� (����)

对于一般的o阶行列式,将其第k列元素b�k,b�k,⋯,bok写成:

b�k � � � ⋯ � �

� � b�k � ⋯ � �⋯⋯

� � � � ⋯ � bok

·���·��� 行列式按一列(行)的展开式

由定义���中的(�)和(����)式的结果,即得

E�E�k�E�k�⋯�Eok�b�kB�k�b�kB�k�⋯�bokBok�(����)式得证�利用 BU � B 和(����)式可证(����)式也成立�

例如,三阶行列式E� bjk ���对第�行的展开式为:

E�b��B���b��B���b��B��

��b��b�� b��b�� b��

�b��b�� b��b�� b��

�b��b�� b��b�� b��

根据定理���,用数学归纳法可以证明:o(o`��)阶行列式 bjk o�o是o�

个元bjk(j,k��,�,⋯,o)的o次齐次多项式,其中共有o!项,每项都是不同

行不同列的o个元素之积,且正负项各占一半�证明时,只要注意到结论对二

阶行列式成立�定理��� o阶行列式E� bjk o�o 的某一列(或行)元素与另一列(或

行)相应元素的代数余子式的乘积之和等于零,即

��o

l��blkBlj�b�kB�j�b�kB�j�⋯�bokBoj��,k-�j,

��o

l��bklBjl�bk�Bj��bk�Bj��⋯�bkoBjo��,k-�j�(����)

证 对列的情况证明:将E对第j列展开,得

E���o

l��bljBlj�

如果将E中第j列元素b�j,b�j,⋯,boj换为第k列元素b�k,b�k,⋯,bok所得的

行列式为Ej,则Ej��(因为Ej中第j列与第k列相同),即此时Ej对第j列

的展开式为

Ej���o

l��blkBlj�� (k-�j)�

引入克罗内克(Lspofdlfs)符号

�jk��, k�j,

�, k-�j��� ,

定理���和定理���的结论可以统一写成

��o

l��blkBlj��jkE, ��

o

l��bklBjl��jkE� (����)

定理���表明,计算一个o阶行列式可以化为计算o个o��阶行列式�通常我们对行列式作倍加初等变换把某列(或行)化为只有一个非零元,然后

再对该列(或行)展开,就可简化计算�

·���· 第�章 行 列 式

例� 计算四阶行列式

E�

� �� � �� � � �� � � ��� �� � �

解 将第�列乘��加到第�列,再乘�加到第�列,然后对第�行展开,得

E�

� � � ��� � � ��� �� � ��� � � �

��(��)����� � ��� �� ��� � �

再将上面的三阶行列式的第�列乘�加到第�列,然后对第�行展开,得

E�� � �� �� ��� � �

��(��)���� �� ��

��(�����)�����

例� 证明:o阶范德蒙(Wboefsnpoef)行列式

Wo�

� � � ⋯ �y� y� y� ⋯ yo

y�� y�� y�� ⋯ y�o… …

yo��� yo��� yo��� ⋯ yo��o

� ���0�j_�k0�o

(yk�yj),

其连乘积中因式(yk�yj)共有(o��)�⋯�����o(o��)�

个,即

Wo� (y��y�)(y��y�)⋯(yo�y�[ ]) (y��y�)⋯(yo�y�[ ])

⋯(yo���yo��)(yo�yo��[ ])(yo�yo��)�证 对o作归纳法,当o��时,结论显然成立;假设结论对o��阶范

德蒙行列式成立;现对于Wo,从第o行起,依次将前一行乘(�y�)加到后一

行,得

Wo�

� � � ⋯ �� y��y� y��y� ⋯ yo�y�� y�(y��y�) y�(y��y�) ⋯ yo(yo�y�)

… …

� yo��� (y��y�) yo��� (y��y�) ⋯ yo��o(yo�y�)

·���·��� 行列式按一列(行)的展开式

�(y��y�)(y��y�)⋯(yo�y�)

� � ⋯ �y� y� ⋯ yo… …

yo��� yo��� ⋯ yo��o

上式右端是y�,⋯,yo 的o��阶范德蒙行列式,由归纳假设得

Wo� (y��y�)(y��y�)⋯(yo�y�[ ]) ���0�j_�k0�o

(yk�yj)

� ���0�j_�k0�o

(yk�yj)�

例� 计算o阶三对角行列式

Eo�

b cd b cd b� � �

� b cd b o�o

(b-��,c-��,d-��)�

解 解题的方法是找一个递推公式,然后算出结果�先对第�列展开,得

Eo�bEo���d

c �d b cd b� � �

� b cd b(o��)�(o��)

�bEo���cdEo��� �将递推公式�化为

(Eo�lEo��)�m(Eo���lEo��), �其中

l�m�b,lm�cd� �反复利用递推公式�递推,即得

(Eo�lEo��)�mo��(E��lE�),

其中

E��lE��b cd b

�lb�b��cd�l(l�m)�m�,

·���· 第�章 行 列 式

所以

Eo�mo�lEo��� �重复利用递推公式�,得

Eo�mo�lEo���mo�l(mo���lEo��)

�mo�lmo���l�(mo���lEo��)

�⋯⋯

�mo�lmo���l�mo���⋯�lo��m��lo��E�

�mo�lmo���l�mo���⋯�lo��m��lo��m�lo,

Eo�mo���lo��m�l

, m-�l,

(o��)lo, m�l��

� �例� 证明

E�B PD C

� B C , (����)

其中B�(bjk)l�l,C�(cjk)n�n,D是任意n�l矩阵�证 对B的阶数l作数学归纳法�当l��时,E� b�� C ,(����)

式成立(这里 b�� 是一阶行列式);假设B为l��阶时(����)式成立,下面

考虑B为l阶的情形:

E�

b�� b�� ⋯ b�l � ⋯ �

b�� b�� ⋯ b�l � ⋯ �… …

bl� bl� ⋯ bll � ⋯ �

d�� d�� ⋯ d�l c�� ⋯ c�n… …

dn� dn� ⋯ dnl cn� ⋯ cnn

此时,将E对第一行展开,得

E�b��(��)���NE���b��(��)���NE���⋯�b�l(��)��lNE�l, �其中NE�k是b�k在E中的余子式(k��,�,⋯,l)�显然NE�k也是(����)类

型的行列式,而且它的左上角是l��阶的,根据归纳假设

NE�k�NB�kC , k��,�,⋯,l, �其中NB�k是b�k在 B 中的余子式,将�代入�,即得

·���·��� 行列式按一列(行)的展开式

E� b��(��)���NB���b��(��)���NB���⋯�b�l(��)��lNB�[ ]l C

� B C �B,C如上所设,同样也有

E�B D�P C

� B C ,

但要注意

E�P BC D

-� B C �

此时,可将B和D中的每一列依次与其前面的n 列逐列对换(共对换l�n次),即得

P BC D

�(��)l�nB PD C

�(��)l�n B C �

例� 设几何向量b�(b�,b�,b�,),c�(c�,c�,c�,),即b�b�j�b�k�b�l,c�c�j�c�k�c�l,节���中已得到的b�c的结果,可用行列式表

示,即

b�c�(b�c��b�c�)j�(b�c��b�c�)k�(b�c��b�c�)l

�b� b�c� c�

j�b� b�c� c�

k�b� b�c� c�

l�

根据三阶行列式按一行的展开式,上式又可形式地表示为

b�c�

j k lb� b� b�c� c� c�

于是三个向量的混合积b·(c�d)(其中d�d�j�d�k�d�l),可用如

下的行列式计算,即

b·(c�d)�b�(c�d��c�d�)�b�(c�d��c�d�)�b�(c�d��c�d�)

b� b� b�c� c� c�d� d� d�

在节���中已证明过,b·(c�d) 表示以b,c,d为邻边的平行六面体

的体积,所以上述三阶行列式的绝对值是以三个行向量为邻边的平行六面体

的体积�根据行列式两行互换行列式反号的性质,立即可得混合积的性质:

·���· 第�章 行 列 式

b·(c�d)�c·(d�b)�d·(b�c)� (����)

��� 方阵乘积的行列式

本节中将证明:方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积;o阶矩阵B的

efuB-��是B可逆的充要条件,并给出求B��的另一种方法�此外还将阐明

矩阵B的秩与B的子行列式之间的关系�定理��� 若B,C��No(G),则

BC � B C � (����)

证 如果秩(C)_�o,则秩(BC)0�秩(C)_�o,于是 BC � C ��,

故(����)式成立�如果秩(C)�o,即C可逆,则存在初等矩阵Q�,Q�,⋯,Ql,使

C�Q�,Q�,⋯,Ql, BC�BQ�,Q�,⋯,Ql�于是根据(����)式,即得

BC � B Q� Q� ⋯ Ql � B C �定理��� o阶矩阵B可逆的充要条件是 B -���

证 若B可逆,则存在C使得BC�F,于是

BC � B C � F ��,

从而 B -���必要性得证�若 B -��,则 由 行 列 式 的 性 质�可 知,B 的 列 向 量 线 性 无 关,即,

秩(B)�o,故B可逆�充分性的另一种证法:我们先作一个矩阵

BH� �

B�� B�� ⋯ Bo�B�� B�� ⋯ Bo�… …

B�o B�o ⋯ B

�oo

, (����)

BH� 称为B的伴随矩阵,它是B�(bjk)o�o的元素bjk的代数余子式Bjk矩阵

(Bjk)o�o的转置,其中第k列元素Bk�,Bk�,⋯,Bko 是 B 中第k行元素bk�,

bk�,⋯,bko 的代数余子式(k��,�,⋯,o)�于是,由(����)式即得

BBH� �BH�B� BF�如此,则有

B �B B( )H� � �

B B( )H� B�F,

·���·��� 方阵乘积的行列式

故矩阵B可逆,且

B��� �B B

H�� (����)

这种证明方法叫做构造性证法,它构造出了B的逆矩阵,这也是求逆矩阵的

常用方法�有些方阵用其行列式来判断是否可逆是很方便的,例如:

上(下)三角矩阵B �(bjk)o�o 可逆的充要条件为主对角元都非零,因

为 B �b��b��⋯boo�上(下)三角块方阵

B�C H���

��P D

, B�C PH���

��D

(其中C,D皆为方阵)可逆的充要条件为,B � C D -��,即C,D皆为

可逆矩阵�再如,奇数阶反对称矩阵B不可逆,因为,BU��B,所以

B � BU � �B �(��)o B �当o为奇数时,便有 B ���

例� 下列矩阵B,C,D是否可逆?若可逆,求其逆矩阵�

B�� � �� � ��

�� � �

, C�� ���

��� �

, D�� � ���� �� ��

�� � ��

解 B ��,故B可逆�B 中各元素的代数余子式为:

B���� �� �

���, B����� �� �

���, B���� �� �

���

类似地有,

B����, B����, B�����,

B����, B����, B�����,

所以

B��� �B B

H� ���

�� � ��� � �� �� �

���

C ���,故C可逆,其逆矩阵为

C������� �����

��� ���� ��� �

����

·���· 第�章 行 列 式

D ��,故D不可逆�以前讨论矩阵的秩时,都是从行(或列)向量的线性相关性出发�现在从

行列式的角度来讨论矩阵的秩�为此先给一个定义�定义��� 矩阵B�(bjk)n�o 的任意l行(j�_�j�_�⋯_�jl行)和任

意l列(k�_�k�_�⋯_�kl列)的交点上的l�个元素排成的行列式

bj�k� bj�k� ⋯ bj�klbj�k� bj�k� ⋯ bj�kl

… …

bjlk� bjlk� ⋯ bjlkl

(����)

称为矩阵B的一个l阶子行列式,简称B的l阶子式�当(����)式等于零时,

称为l阶零子式,否则叫非零子式�当B为方阵且(����)式中ku�ju(u��,

�,⋯,l)时,称为B的l阶主子式�如果矩阵B存在s阶非零子式,而所有s��阶子式(如果有的话)都等于

零,则矩阵B的非零子式的最高阶数为s,因为由所有s��阶子式都等于零,

可根据按一列(行)的展开式推出所有更高阶的子式也都等于零�定义��� 矩阵B的非零子式的最高阶数s称为B的行列式秩�定理��� 秩(B)�s的充要条件是B的行列式的秩为s�证 先证必要性�秩(B)�s,即B的行秩为s,不妨设B的前s行构成

的矩阵B�的行秩为s,其列秩也为s;不妨再设B�的前s列向量线性无关�如此,B的左上角的s阶子块是可逆矩阵,其行列式是B的一个s阶非零子式;又

因为B的任意s��个行向量线性相关,因此任意s��阶子式都是零子式�故

B的行列式的秩为s�再证充分性�不妨设B的左上角s阶子式 B� 为非零子式�于是B�可

逆,其s个行向量线性无关,将它们添分量成为B的前s个行向量,它们也线

性无关;而且此时B中任何s��行线性相关(否则由必要性的证明可知B中

存在s��阶非零子式),故矩阵B的行秩为s,即秩(B)为s�由定理���和定理���都可得:o阶矩阵B的秩小于o(即B的列向量组,

行向量组都线性相关)的充要条件是 B ���例� 证明:若B是一个n�o矩阵(n _�o),则 BUB ���证 BUB是一个o�o矩阵,而秩(BUB)0�(秩(B)0�n _�o,故

BUB ���例� 设X�M(��,��)是S�的一个子空间,其中���(�,�,�,��)U,

·���·��� 方阵乘积的行列式

���(�,�,��,�)U�试将��,��扩充为S�的基�解 第�章讲过求解的一种方法�现在取��,����S�,使E(��,��,��,

��)-��,由(����)式可知

� � � �� � � �� �� � ��� � � �

�� �� �

� �� �

��-���

其中前两列为��,���于是取���(�,�,�,�)U,���(�,�,�,�)U就使{��,

��,��,��}为S�的一组基�

��� Dsbnfs法则

这一节又回到线性方程组求解的讨论�当o阶矩阵B的行列式 B -��时,线性方程组BY�c的解,可用行列式表示,其解法称为Dsbnfs法则�

定理���(Dsbnfs法则) 设B�(bjk)o�o,若线性方程组BY�c,即

��o

k��bjkyk�cj, j��,�,⋯,o (����)

的系数行列式E� B -��,则方程组有唯一解,且

yk�EkE

, k��,�,⋯,o, (����)

其中

Ek�

b�� ⋯ b�,k�� c� b�,k�� ⋯ b�ob�� ⋯ b�,k�� c� b�,k�� ⋯ b�o

… …

bo� ⋯ bo,k�� co bo,k�� ⋯ boo

� (����)

证 由于 B -��,即B可逆,所以方程组(����)有唯一解,且

Y�B��c� �B B

H�c��EBH�c,

y�y�…

y

�o

��E

B�� B�� ⋯ Bo�B�� B�� ⋯ Bo�… …

B�o B�o ⋯ B

�oo

c�c�…

c

�o

·���· 第�章 行 列 式

于是

yk��E

(c�B�k�c�B�k�⋯�coBok)�EkE

,k��,�,⋯,o�

由定理���可知,齐次线性方程组BY��,当系数行列式 B -��时,只

有零解�因此BY��有非零解的必要条件是 B ���事实上,B ��也是

有非零解的充分条件,因为当 B ��时,秩(B)_�o,于是对B做初等行变

换将其化为阶梯形矩阵V时,其非零行的行数小于o,因此BY��的同解方

程组VY��必有非零解(或,当 B ��时,B的列向量组��,��,⋯,�o线性

相关,于是存在Y�(y�,y�,⋯,yo)U-��,使y����y����⋯,yo�o�BY��),如此即得

定理��� 若B为o阶矩阵,则齐次线性方程组BY��有非零解的充要

条件为,B ��,即秩(B)_�o�其等价命题为:BY��只有零解的充要条件为 B -���用Dsbnfs法则解o元非齐次线性方程组,需要算o��个o阶行列式,计

算量很大�实际上解线性方程组(包括系数行列式等于零及方程个数与未知数

个数不相等的方程组),一般都采用高斯消元法或其他一些近似解法�然而

Dsbnfs法则在理论上是重要的,特别是它揭示了方程组的解与系数之间的关

系�例 已知三次曲线z�b��b�y�b�y��b�y�过�个点Qj(yj,zj),

(j��,�,�,�,其中y�,y�,y�,y�互异),试求方程的系数b�,b�,b�,b��解 方法一:将�个点的坐标分别代入三次曲线的方程,得到非齐次线

性方程组

���

k��bkykj�zj, j��,�,�,��

这个关于b�,b�,b�,b�的方程组的系数行列式E是Wboefsnpoef行列式,即

E�

� y� y�� y��

� y� y�� y��

� y� y�� y��

� y� y�� y��

� ���0�j_�k0��

(yk�yj)-���

根据Dsbnfs法则,它有唯一解bk�Ek��E

,(k��,�,�,�),其中Ek��是以z�,

z�,z�,z�替代E中第k列元素所得的行列式�方法二:将三次曲线上的任意点(y,z)所满足的方程写成

·���·��� Dsbnfs法则

b��b�y�b�y��b�y��b�z��,

它与

���

k��bkykj�b�zj��, j��,�,�,�

一起构成的关于b�,b�,b�,b�,b�的齐次线性方程组有非零解(因为b����),于是由定理���得

� y y� y� z� y� y�� y�� z�

� y� y�� y�� z�

� y� y�� y�� z�

� y� y�� y�� z�

O�O�O�O�O�列变换

� H� H� H� z�q(y)

� � � � �� c � � �� H� d � �� H� H� e �

��,cde-���

于是z�q(y)就是过�个已知点的三次曲线方程�

行列式的几何意义:So中n 个线性无关向量所张成的体积�定义 So 中��,��,⋯,�n 为n 个线性无关的列向量�它们所张的体积

Wn(��,⋯,�n)定义为(用归纳法):

W��(��)� �� �,

W�l(��,⋯,�l)� �l �·W�l��(��,⋯,�l��),其中�l��l���l��

k���k�k(�k��

S)满足

�l!�M(��,⋯,�l��)�先说明满足这个条件的�k是存在的(有可能全为零)�事实上由�Uj�l�

�(j��,⋯,l��)得到�k所满足的(l��)个线性方程:

��l��

k���k�U��k��U��l,

⋯⋯

��l��

k���k�Ul���k��Ul���

� l

这个线性方程组有唯一解(��,⋯,�l��)的充要条件是系数行列式不为

零,即

�Uj�k � BUl��Bl�� -��,j,k��,�,⋯,l��,

其中

·���· 第�章 行 列 式

Bl���

b��, ⋯ bl��,�

⋯ ⋯ ⋯

b�o, ⋯ bl��,

�o

�(��,⋯,�l��)�

这个矩阵的行列式不为零,因为秩(Bl��)�秩(BUl��)�l��(利用�k的线

性无关性)�面由(���),我们有

(l��)�(l��)�(l��)0�秩(BUl��Bl��)0�l���因此秩(BUl��Bl��)�l��,也就是满秩,于是其行列式不为零�

定理��� 设So中n 个列向量��,⋯,�n 线性无关,而矩阵

B�(��,⋯,�n)o�n,

W�n(��,⋯,�n)� BUB �证 用归纳法,n ��时按定义成立;设 BUn��Bn�� �W�n��(��,⋯,�n��)则

BUB �

�U���, ⋯ �U��n⋯ ⋯ ⋯

�Un��, ⋯ �Un�n

�U���, ⋯, �U� �n���n��

j���j�( )j

⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯

�Un���n��

j���j�U( )j ��, ⋯, �Un���

n��

j���j�U( )j �Un���

n��

j���j�( )j

�U���, ⋯, �U��n��, ��n��

j���j�U��j

⋯⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯

��n��

j���j�Uj��, ⋯, ��

n��

j���j�Uj�n��, �n ����

n��

k���k��

n��

j���j�Uk�j

把第一行乘以���,⋯,第(n��)行乘以��n��后加到最后一行,然后按第n列展

开,由归纳法假设就得到

BUB � �n �

�U���, ⋯, �U��n��⋯ ⋯ ⋯

�Un����, ⋯, �Un���n��

� �n �W�n��(��,⋯,�n��)�W�n(��,⋯,�n)

·���·��� Dsbnfs法则

习 题

��计算下列行列式:

(�)

� � � �� � � �� � � �� � � �

; (�)

� � � �� � �� ��� �� � ��� �� �� �

(�)

� � � �� � � �� � � �� � � �

; (�)

� � � �� j �� j� �� � ��� �j �� j

(�)

� � � �� � � �� � � �� � � �

; (�)

��� �� �� ���� ��� �� ���� �� ��� ���� �� �� ���

(�)

�� �� �� ��

�� �� �� ��

�� �� �� ��

�� �� �� ��

; (�)

� � � �� � � �� � � �� � � �

��按对一行(或一列)展开第一题中(�)�(�)的行列式���展开下列行列式:

(�)

b y c yy b y cc y b yy c y b

; (�)

� y y� y�

y� � y y�

y� y� �y y

y� y� �

��证明下列恒等式:

(�)

b��c�y b�y�c� d�b��c�y b�y�c� d�b��c�y b�y�c� d�

�(��y�)

b� c� d�b� c� d�b� c� d�

(�)

b� (b��)� (b��)� (b��)�

c� (c��)� (c��)� (c��)�

d� (d��)� (d��)� (d��)�

e� (e��)� (e��)� (e��)�

��;

·���· 第�章 行 列 式

(�)

y ��y ��

� �y ��

bo bo�� ⋯ b� y�b�

�yo���o

l��blyo�l;

(�)

dpt�� �dpt

�� �� � �

� � �� �dpt�

� �dpt��

�dpto� (o阶行列式)�

��利用Wboefsnpoef行列式,展开下列行列式:

(�)

� � ⋯ �b b�� ⋯ b�o

b� (b��)� ⋯ (b�o)�

… …

bo (b��)o ⋯ (b�o)o

(�)

b��b� b��b� ⋯ bo���bo bo�b�

b���b�� b���b�� ⋯ b�o���b�o b�o�b��… …

bo��bo� bo��bo� ⋯ boo���boo boo�bo�

��设

E�

��b� � ⋯

� �

�b� ⋯ �… …

� � ⋯ ��bo

(�)用递推公式计算行列式E;

(�)利用定义���中的(�),将E表示为�o个行列式之和,并算出结果��H��Gjcpobddj数列{Go}:�,�,�,�,�,��,��,⋯ 满足递推关系:

G���, G���,

Go�Go���Go��, o1����

� �证明:

·���·习 题

Go�

� ��� �

� ��

��� �

(o阶三对角行列式)�

��利用���例�的结论,计算下列行列式:

(�)

� � � ��� � � �� � � ��� � � �

; (�)

� � � �� � � �� � � ��� � �� �

(�)B �� N�(S),C �� N�(S)� 已 知:B ���,C � �,

计算P �

�B

�C D,其中D是任意的���矩阵�

��计算下列行列式:

(�)

� � ⋯ � �� � ⋯ � �… …

� � ⋯ o�� �� � ⋯ � o

; (�)H�

� � ⋯ o�� o� � ⋯ o� �

�⋯ � �

… …

o � ⋯ o�� o��

���证明下列等式:

(�)H�

� � ⋯ �y� y� ⋯ yo… …

yo��� yo��� ⋯ yo��o

yo� yo� ⋯ yoo

� ��o

j��y( )j ��

�0�j_�k0�o(yk�yj);

(�)H�

b d d ⋯

c b dd

c c bd

⋯ d… …

c c c ⋯ b

�c(b�d)o�d(b�c)o

c�d,

其中c-�d,等式左端是o阶行列式����设B是o阶可逆对称矩阵,C是o阶反对称矩阵�证明:当o为奇数

时,齐次线性方程组(BC)Y�P有非零解�

·���· 第�章 行 列 式

���用行列式判断下列矩阵是否可逆?如可逆,用伴随矩阵求其逆矩阵:

(�)� ���

��� �

; (�)b c��

��d e

,(be�cd-��);

(�)� � �� � ��

�� � �

; (�)� b b�

� � b�

�� � �

(�)

� � � �� �� �� ���� � � ��� �

�� � �

; (�)

� �� � ��� � � �� � � �

�� � � �

���设B,C��No(S),判断下列命题是否正确?如正确,证明之;如不正

确,举反例:

(�)若B,C皆可逆,则B�C也可逆;

(�)若B�C可逆,则B,C皆可逆;

(�)若BC不可逆,则B,C皆不可逆;

(�)若BUB�F,则 B 等于�或��;

(�)若B可逆,则 B�� � B ��;

(�)若B是幂等矩阵(即B��B),且B可逆,则 B ��;

(�)若B是幂零矩阵(即l��OH�,使Bl�P),则B不可逆���H��设B,C,D,E都是o阶矩阵,B -��且BD�DB,证明:

B CD E

� BE�DC �

��H��证明:FnB F

C

o� Fo�BC � Fn�CB �

��H��设B,C��No(S),���G,证明:

�F�BC � �F�CB ����用Dsbnfs法则,解线性方程组BY�c:

(�)B�� �� �� � ��

�� � �

, c��

���

(�)B�

� � � �� � �� �� � � �

�� � � �

,c�

�����

��

·���·习 题

���已知对称轴平行于Z轴的抛物线过三点:(�,��),(�,�),(��,�),

试求该抛物线的方程����圆的一般方程为(y��z�)�by�cz�d��,已知圆过三点:(�,�

�),(�,�),(��,�),求该圆的一般方程�

部分习题答案

��(�)��;(�)���;(�)�;(�)��j;(�)���;(�)(���)(���)�;(�)�;(�)��;

��(�)(b�c)�(b�c)���y( )� ;(�)(��y�)��

��(�)���0�j_�k0�o

(j�k);(�)� ��(��)o�( )� ��o

j��b( )j ��

�0�j_�k0�obk�b( )j �

����o

l��bl ����

o

j��

�b( )j�

��(�)���;(�)��;(�)��;

��(�)��(o��)!;(�)(��)o(o��)/�(o��)oo��

� �

���(�),(�),(�),(�),(�)可逆;(�)不可逆�

(�)�� ��� �

���

; (�) �be�cd�

e �c���

��d b

(�)��

� �� ��� � �� � �

��

; (�)� �b

� �b�

��

(�)���B�

B

��, B��

� ���

��� �

, B���� �� �

��

����

���(�),(�),(�)否;(�),(�),(�),(�)是����提示:对分块矩阵作倍加初等变换,使之化为上三角块矩阵����(�)(�,�,��)U;(�)(�,�,��,�)U����z����y��y�� ���y��z���y��z������

·���· 第�章 行 列 式

第�章 线性方程组与线性几何

对于一般的线性方程组BY�c(系数矩阵B不一定是方阵,即使B为方

阵,其行列式也可能等于零),我们虽已会用高斯消元法求解,但总体上对线性

方程组的求解问题还缺乏深刻的理性认识�例如,系数矩阵与增广矩阵满足什

么条件时,方程组必有解;有解时,自由未知量的个数是否唯一确定?取不同的

自由未知量求得的解集合是否相同?解集合具有怎样的结构?这一章将讨论这

些问题,先讨论齐次线性方程组BY��有非零解的条件及其解的结构;然后

讨论非齐次线性方程组BY�c有解的条件及其解的结构�我们在第�章中讲过:如果ejnW�(G)�o,ejnW�(G)�n,并给定它们

的基C�和C�,则线性映射���M(W�,W�)与矩阵B��Nn�o(G)一一对应;

相应地,�和�(�)��分别关于基C�和基C�的坐标�C��Y��Go和�C��

c��Gn 满足BY�c�因此,求解非齐次线性方程组BY�c,也就是求矩阵

B所对应的线性映射�关于�的完全原像�在基C�的坐标,即

���(�)�{��C��Y,Y是BY�c的解}�

求解齐次线性方程组BY ��,也就是求矩阵B 所对应的线性映射�的核

Lfs�中向量�关于基C�的坐标,即

���(��)�{��C��Y,Y是BY��的解},

其中��是线性空间W�的零元�根据方程组BY�c与方程�(�)��之间的对应关系,利用矩阵和线性

映射的有关理论,就能解决本章所要讨论的问题�由于空间平面和直线的一般方程都是线性方程,因此我们把平面、直线的

图形称为线性图形,它们的几何问题(主要是它们的位置关系和度量关系)称

为线性几何,本章也将用代数方法来讨论线性几何问题�

��� 齐次线性方程组

定理��� 设矩阵B �� Nn�o(G),若s(B)�s,则齐次线性方程组

BY��的解空间O(B)是Go 的一个o�s维子空间�

证 设B是线性映射���M(W�,W�)关于W�和W�的基C�和基C�所

对应的矩阵,由

s(�)�s(B)�s, s(�)�ejn(Lfs�)�ejnW��o,

即得

ejn(Lfs�)�o�s�再根据方程�(�)���的解与方程组BY��的解的对应关系以及节���

中的引理可知,Lfs�的基��,��,⋯,�o�s 关于基C�的坐标Y�,Y�,⋯,Yo�s就是BY��的解空间O(B)的基,所以

ejnO(B)�o�s�由定理���立即可得下面的推论�

推论 以n�o矩阵B为系数矩阵的齐次线性方程组BY��有非零

解的充要条件是

s(B)_�o�我们常把齐次线性方程组BY��的解空间O(B)的基Y�,Y�,⋯,Yq

叫做BY��的基础解系,由于O(B)�M(Y�,Y�,⋯,Yq),所以BY��的

任一个解都可表示为它的基础解系的线性组合,而基础解系的任何线性组合

也都是它的解,因此,我们把

Y�l�Y��l�Y��⋯�lqYq(其中l�,l�,⋯,lq 为任意常数)叫做BY��的一般解�

由此可见,求解齐次线性方程组BY��的关键是求它的基础解系(解空

间的基),从而得到一般解(解空间中任意解向量的表示式)�第�章中用高斯

消元法所求得的解,例如,节���中例�(方程右端系数为�)所得的解Y �l�(�,�,�,�,�)�l�(��,�,��,�,�),其中两个解向量就是解空间的基�

现在我们再介绍求BY��的基础解系的常用方法�如果n�o矩阵B的秩为s,对B作初等行变换可将其化为有s个非零

行的行简化阶梯形矩阵,再作一些列对换(此时相应地改变未知元的次序)可

使阶梯形矩阵的左上角为s阶单位矩阵,为了表述简便,不妨假设

B A�初等行变换

� � ⋯ � d�,s�� ⋯ d�o� � ⋯ � d�,s�� ⋯ d�o… …

� � ⋯ � ds,s�� ⋯ dso� � ⋯ � � ⋯ �… …

� � ⋯ � � ⋯

��

�V,

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

于是VY��与BY��是同解方程�VY��只含s个方程,把s个方程中

带ys��,ys��,⋯,yo 的项移到右端,并选ys��,ys��,⋯,yo 为自由未知量,对

它们取下列o�s组值

(�,�,⋯,�),(�,�,⋯,�),⋯,(�,�,⋯,�),

再分别代入VY��,即可得到BY��的o�s个解:

Y��(�d�,s��,�d�,s��,⋯,�ds,s��,�,�,⋯,�)U,

Y��(�d�,s��,�d�,s��,⋯,�ds,s��,�,�,⋯,�)U,

⋯⋯

Yo�s�(�d�o,�d�o,⋯,�dso,�,�,⋯,�)U�这o�s个解显然是线性无关的,所以它们是齐次线性方程组BY��的

基础解系�这里矩阵B的秩s确定了BY��的解空间的维数为o�s,自由未知量

有o�s个,但自由未知量的取法不是唯一的,然而取不同的自由未知量所得

到的不同的基础解系,都是同一个解空间的基,因此,由这些不同的基础解系

表示的一般解所含全部解向量的集合是相同的�我们把矩阵B��Nn�o(G)的o个列向量��,⋯,�o张成的子空间M(��,

⋯,�o)叫做B的列空间,记作S(B);B的n 个行向量��,⋯,�n,张成的子

空间M(��,⋯,�n,)叫做B的行空间,记作S(BU)�显然,S(B)是Gn 的子

空间,S(BU)是Go 的子空间�由于B 的 任 一 个 行 向 量�j 与BY ��的 解 向 量Y 是 正 交 的,即

(�j,Y)��,所以,S(BU)与O(B)是正交子空间,由定理���的结论

s(B)�ejnO(B)�o (B的列数) (���)

和s(B)�ejnS(BU),又得

O(B)� S(BU( ))!�� (���)

(���),(���)式是齐次线性方程组BY��的解空间的两个基本结论�例� 设

B�

� � � � �� � � � �

�� �� � � ��� � �� � �

��

试求齐次线性方程组BY��的一般解�解 对矩阵B作初等行变换,将B化为行简化阶梯形矩阵

·���·��� 齐次线性方程组

� � � � �� � � � �� � � � �

��

�� � � � �

选y�,y�为自由未知量,取y���,y���和y���,y���,得基础解系:

Y��(��,�,�,�,�)U, Y��(�,�,��,�,�)U,

所以,BY��的一般解为:Y�l�Y��l�Y�,即

(y�,y�,y�,y�,y�)U�l�(��,�,�,�,�)U�l�(�,�,��,�,�)U,

其中l�,l�为任意常数�例� 设B,C分别是n�o和o�t矩阵,且BC�P�证明:

s(B)�s(C)0�o�证 将C按列分块为C�(C�,C�,⋯,Ct),由BC�P,得

BCk��, k��,�,⋯,t,

即C的每一列Ck都是BY��的解,所以

M(C�,C�,⋯,Ct)O�O(B)�又s(C)�C的列秩�ejnM(C�,C�,⋯,Ct),所以s(C)0�ejnO(B),于是便

s(B)�s(C)0�s(B)�ejnO(B)�o�例� 设B是n�o实矩阵,证明:s(BUB)�s(B)�

证 由定理���可知,s(BUB)0�s(B),因此,只需证明s(BUB)1�s(B)�根据定理���,为此只要证明O(BUB)T�O(B)�

设(BUB)Y��(Y��So),则YU(BUB)Y��,即

(BY)UBY� BY ����又BY��Sn,故必有BY���因此,(BUB)Y��的解都是BY��的解,即

O(BUB)T�O(B),所以ejnO(BUB)0�ejnO(B),即

o�s(BUB)0�o�s(B),

由此便得

s(BUB)1�s(B)�

��� 非齐次线性方程组

对于非齐次线性方程组BY�c(其中B��Nn�o,c��Gn 且c-��),将

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

矩阵B按列分块为

B�(��,��,⋯,�o),

则非齐次线性方程组

BY� �� �� ⋯ ��

�o

y�y�…

y

�o

�c

等价于向量方程

y����y����⋯�yo�o�c� (���)

因此,BY�c有解(即存在(y�,y�,⋯,yo)使(���)式成立)的充分必要条件

是,c可被B的列向量组��,��,⋯,�o线性表示,即c��S(B),这又等价于

秩{��,��,⋯,�o,c}�秩{��,��,⋯,�o},

即s(B,c)�s(B)�如此,就有下面的定理�定理��� 对于非齐次线性方程组BY�c,下列命题等价:

(�)BY�c有解;

(�)c��S(B),即c可被B的列向量组线性表示;

(�)s(B,c)�s(B),即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩�由定理���可知,BY�c有唯一解的充要条件是:c��S(B),且B的列

向量组��,��,⋯,�o 线性无关�于是又有下面的推论�推论 非齐次线性方程组BY�c有唯一解的充要条件是

s(B,c)�s(B)�B的列数�非齐次线性方程组BY�c(其中B��Nn�o,c��Gn)的解集合

T�{Y BY�c,Y��Go}

不是Go的子空间,因为T对向量的加法和数乘运算不封闭�但是如果Y�,Y���T,则Y��Y�是对应(或相伴的)齐次线性方程组BY��的解,因为

B(Y��Y�)�BY��BY��c�c���利用这个性质,我们可得到非齐次线性方程组的解的结构(如定理���所

述)�定理��� 若非齐次线性方程组BY�c有解,则其一般解为

Y�Y��Y, (���)

其中Y�是BY�c的一个特解;Y是BY��的一般解�证 显然,Y�Y��Y是方程组BY�c的解�再由于Y和Y�都是BY

·���·��� 非齐次线性方程组

�c的解,所以Y�Y�是BY��的解,即Y�Y���O(B),因此Y�Y�的

一般形式为

Y�Y��l�Y��l�Y��⋯�lqYq�Y, (���)

其中Y�,Y�,⋯,Yq为BY��的基础解系,Y为其一般解,由此即得BY�c的一般解如(���)式所述�

需要指出,(���)式中的Y�可以是BY�c的任一个特解,因为如果YH��也是BY�c的一个特解,则YH�� �Y�必是BY��的一个解,所以,BY�c的一般解也可表示为

Y�YH�� �Y� (���)

读者不难验证,由(���)和(���)式表示的BY�c的解集合T和TH�

是相等的�例� 设非齐次线性方程组BY�c的增广矩阵为

(B,c)�

� � �� �� � �� � � � � �� � � �� � �

U�U�U�U�U�U�

�� � � � � �

试求BY�c的一般解�解

(B,c) A�初等行变换

� � � �����

��

� � � �� ���

��

� � � � � �

U�U�U�U�U�U�U�U�

�� � � � � �

�(V,e)�

取y��y��y���代入VY�e,求得BY�c的一个特解

Y����

,�,��

,�,( )�U�

取自由未知量y�,y�,y�的下列三组数

(�,�,�),(�,�,�),(�,�,�),

并依次代入VY��,得BY��的基础解系:

Y��(��,�,�,�,�)U,

Y����

,�,���,�,( )�

U,

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

Y�� ���,�,��

,�,( )�U�

显然,基础解系也可取为:

YH�� �(��,�,�,�,�)U,

YH�� �(�,�,��,�,�)U,

YH�� �(��,�,�,�,�)U�于是,BY�c的一般解为

Y�Y��l�YH�� �l�YH�� �l�YH��

� ��

,�,��

,�,( )�U�l�(��,�,�,�,�)U

�l�(�,�,��,�,�)U�l�(��,�,�,�,�)U

其中l�,l�,l�为任意常数�例� 设线性方程组

by��y��y���

y��cy��y���

y���cy��y���

��

� �讨论方程组的解的情况与参数b,c的关系,有解时,求其解�

解 此题可以就系数行列式E �c(��b)的取值情况:E -��;E ��(�)b��,c-��;(�)c��,b-��;(�)b��,c�( )� ,分 别 讨 论 方 程 组

的解的情况�也可用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵,来讨论其解与参数

b,c的关系�这里用后面的方法更简便,即

b � � �� c � �� �c

U�U�U�U�

�� �A�

行对换� c � �� �c � �b

U�U�U�U�

�� � �

[�]�[�]�(��)

[�]�[�]�(�bA�)

� c � �� c � �� ��bc ��b ���

U�U�U�U�

�b

[�]�[�]�A�b� c � �� c � �� � ��b ���

U�U�U�U�

�b

[�]�[�]�(�c)

[�]B�A�[�A�]

� c � �� � ��b ���b� � (b��)c ���c��

U�U�U�U�

�bc�

·���·��� 非齐次线性方程组

(�)当(b��)c-��时,有唯一解

y���c��

(b��)c, y��

�c

, y�����c��bc

(b��)c �

(�)当b��,且���c��bc����c��,即c���时,有无穷多解,

此时增广矩阵化为

� �� � �

� � � �

U�U�U�U�U�

A�

� � � �

� � � �� � � �

U�U�U�U�

�� � � �

于是方程组的一般解为

Y�(�,�,�)U�l(��,�,�)U (l为任意常数)�

(�)当b��,c-���时,方程组无解�

(�)当c��时,���c��bc��-��,故方程组无解�此时,原方程组中

后两个方程是矛盾方程�例� 证明:若Y�是BY�c的一个特解,Y�,⋯,Yq是BY��的基础

解系,则Y�,Y��Y�,Y��Y�,⋯,Y��Yq线性无关,且BY�c的任一个解

Y可表示为

Y�l�Y��l�(Y��Y�)�l�(Y��Y�)�⋯�lq(Y��Yq),

其中l��l��l��⋯�lq���证 设

d�Y��d�(Y��Y�)�d�(Y��Y�)�⋯�dq(Y��Yq)��,

(d��d��d��⋯�dq)Y��d�Y��d�Y��⋯�dqYq��,

则必有d��d��d��⋯�dq��,(否则,Y��e�Y��e�Y��⋯�eqYq是

BY��的解,与题设矛盾),再由Y�,Y�,⋯,Yq线性无关得d��d��⋯�dq��,从而d���,故Y�,Y��Y�,⋯,Y��Yq 线性无关�

根据定理���,BY�c的任一个解,可表示为

Y�Y��l�Y��l�Y��⋯�lqYq�(��l��⋯�lq)Y��l�(Y��Y�)�⋯�lq(Y��Yq)�

令(��l��⋯�lq)�l�,则l��l��l��⋯�lq��,于是命题得证�

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

��� 线性图形的几何问题

����� 线性图形的位置关系

线性图形是指空间的平面和直线,它们之间的位置关系,就是平面与平

面、平面与直线以及直线与直线之间的位置关系�由于空间的平面和直线在直

角坐标系下的方程,是三元线性方程b�y��b�y��b�y��c和两个三元线

性方程组成的方程组,因此讨论它们之间的位置关系(如平行、重合、相交等),

可用线性方程组的解的理论阐明�� 两个平面间的位置关系有平行、重合和相交的三种情况�从两个平面

方程构成的方程组

b��y��b��y��b��y��c�b��y��b��y��b��y��c��

� �

可见:(j)当系数矩阵B与增广矩阵(B,c)的秩均为�时,方程组有无穷多组

解,其一般解中含一个任意常数,即两平面相交为一直线;(jj)当s(B)�s(B,c)��时,增广矩阵的两个行向量成比例,故两个平面是重合的;(jjj)当

s(B)��(此时两个平面的法向量平行),s(B,c)��时,方程组无解,即两个

平面平行,且不重合�� 平面与直线间的位置关系有直线平行于平面,直线在平面上和直线

与平面相交于一点的三种情况�从三元线性方程组

b��y��b��y��b��y��c�b��y��b��y��b��y��c�b��y��b��y��b��y��c

��

� �

(�)

(�)

(�)

(其中:(�)是平面�的方程;(�),(�)联立是直线M的方程,其系数矩阵与增

广矩阵的秩均为�),可见方程组的增广矩阵(B,c)的秩1���(j)当s(B)�s(B,c)��时,方程组有唯一解,直线M与平面�相交于

一个点,此时efuB-��,三个平面法向量o�,o�,o�线性无关,即不共面;

(jj)当s(B)�s(B,c)��时,方程组有无穷多解(求解时有一个自由未

知量),解集合的图形是一条直线,即直线M位于平面�上,此时,平面�的法

向量o�垂直于直线M的方向向量T�o��o�,从而o�·(o��o�)�efuB��;

(jjj)当s(B)��,s(B,c)��时,方程组无解,直线M平行于平面�(但

·���·��� 线性图形的几何问题

不位于平面�上),此时,o�也垂直于T�(o��o�)�平面与直线间的位置关系,也可视为三个平面之间的关系�如此,以上前

两种情况分别是三个平面交于一点和交于一直线;第三种(方程无解)情况除

了上面所说的两个平面的交线平行于另一个平面以外,还可能有三个平面平

行且至少有两个不重合的情况,此时s(B)��,s(B,c)���对于三个平面间

的关系,还需指出三个平面重合(即共面)的情况,即s(B)�s(B,c)���至于n(n `��)个平面间的关系,从方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩

的关系看,不外乎上述各种情况�方程组有解时,有三种情况:n 个平面交于

一点,n 个平面交于一直线,n 个平面都重合�方程组无解时,n 个平面间的

关系有三种类型:一是有两个平面平行而不重合;二是有两个平面相交,但交

线平行于另一个平面;三是有三个平面交于一点Q,但点Q不在另一个平面

上�后两种类型可以统一为,平面两两的交线中,有两条交线不相交�� 两条直线间的位置关系有相交、平行和不共面(即交叉不相交)的三

种情况�从线性方程组

b��y��b��y��b��y��c�b��y��b��y��b��y��c�b��y��b��y��b��y��c�b��y��b��y��b��y��c

� �

(�)

(�)

(�)

(�)

(其中前两个和后两个方程的联立分别表示直线M�和M�)可见:

(j)当s(B)�s(B,c)��时,方程组有唯一解,此时,两条直线交于一

点;

(jj)当s(B)�s(B,c)��时,方程组有无穷多解,此时两条直线重合;

(jjj)当s(B)��,s(B,c)��时,方程组无解,此时四个平面的法向量共

面,从而两条直线的方向向量平行,即T��o��o�"�o��o��T�,但直线

M�上任一点都不在直线M�上,所以M�与M�平行不相交;

(jw)当s(B)��,s(B,c)��时,方程组也无解,此时两条直线不平行,

也不相交(称为相错直线),从而不共面�如果从直线的标准方程

M�: y�y�m� �

z�z�n� �

{�{�o�

M�: y�y�m� �

z�z�n� �

{�{�o�

来考察两条直线间的关系,则直线M�与M�重合,当且仅当它们方向向量

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

T��(m�,n�,o�),T��(m�,n�,o�),以及M�和M�上任意的点Q�(y�,z�,

{�)和Q�(y�,z�,{�)连成的向量Q�QA���(y��y�,z��z�,{��{�)互相平

行,即秩{T�,T�,Q�QA��}��;

M�与M�平行,当且仅当T�"�T�,但不平行于Q�QA��,即秩{T�,T�}��,秩

{T�,T�,Q�QA��}��;

图���

M�与M�相交,当且仅当T�,T�不平行,且它们与Q�QA��共面,即秩{T�,

T�}�秩{T�,T�,Q�QA��}��,或

Q�QA��·(A�T��A�T�)�

y��y� z��z� {��{�m� n� o�m� n� o�

��;

M�与M�异面(交叉不相交),当且仅当T�,T�与Q�QA��不共面,即秩{T�,

T�,Q�QA��}��,或Q�QA��·(T��T�)-���

����� 线性图形的度量关系

线性图形的度量关系是指线性图形间的距离和角度�这里要讨论:点到平

面和直线的距离;平面与平面,直线与平面以及直线与直线间的距离和夹角�� 点到平面和点到直线的距离

点Q(y�,z�,{�)到平面�:b(y�y�)�c(z�z�)�d({�{�)��的

距离e,通常是指点到平面的最短距离,即点到平面的垂直距离e�因此求e的一种方法是,过点Q作垂直于平面�的直线M:

y�y�b �

z�z�c �

{�{�d �

然后,解方程组求出M与�的交点R(y�,z�,{�),得

e� A�QR � (y��y�)��(z��z�)��({��{�)� ��但是,更简便的方法是利用几何向量的内积运算,由图���易得

·���·��� 线性图形的几何问题

e� Q�A�Q·o� � Q�A�Qdpt� , (���)

其中Q�(y�,z�,{�)为平面�上的任一个点;o�为平面�的单位长的法向量,

o�� �b��c��d� �

(b,c,d),

于是

e� �b��c��d� �

b(y��y�)�c(z��z�)�d({��{�)�

如果将平面�的点法式方程b(y�y�)�c(z�z�)�d({�{�)��写

为一般方程

by�cz�d{�g��,

图��� 图���

其中g��by��cz��d{�,则点Q(y�,z�,{�)到平面�的距离为

e� �b��c��d� �

by��cz��d{��g � (���)

点Q(y�,z�,{�)到直线M:y�y�m �

z�z�n �

{�{�o

的距离(即点Q到M的垂直距离)e,由图���易得

e�T�Q�A�QT

, (���)

其中 T�Q�QA���(m,n,o); Q�A�Q�(y��y�,z��z�,{��{�)�T�Q�A�Q 等于图���中平行四边形的面积�

求点Q到M的垂直距离e,也可过点Q作垂直于M的平面�:m(y�y�)�n(z�z�)�o({�{�)��,再求M 与�的交点R(y�,z�,{�),得e�A�QR �

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

� 平面与平面间的距离和夹角

两个平面��与��之间的距离e,是指两个平面上任意两点Q�����与

Q�����之间距离的最小值�因此,两个相交平面的距离为零;两个平行平面

(但不重合)

��:by�cz�d{�g���, ��:by�cz�d{�g���(g�-�g�)间的距离,由图���易得

e� Q�QA��·o� � (����)

其中:点Q�(y�,z�,{�)与点Q�(y�,z�,{�)分别是��与��上任意定点;o�是

平面法向量o�(b,c,d)方向的单位向量�两个平面��与��之间的夹角�就是两个法向量o�与o�的夹角,它们有

互补的两个夹角,我们规定0����那个角为其夹角(如图���),因此:

dpt�� o��·o�� , 或 ��bsddpt o��·o�� � (����)

图��� 图���

� 直线与直线间的距离和夹角

两条直线M�与M�间的距离e,也是指两条直线上任意两点Q���M�与

Q���M�之间距离的最小值�因此两条直线

M�: y�y�m� �

z�z�n� �

{�{�o�

M�: y�y�m� �

z�z�n� �

{�{�o�

之间的距离e为:

当M�与M�相交时,e���当T��(m�,n�,o�)"�T��(m�,n�,o�)时,M�与M�之间的距离e是

M�上任一点(取Q�(y�,z�,{�))到M�的距离,于是由(���)式,得

·���·��� 线性图形的几何问题

e�T��Q�QA��T�

, (����)

其中Q�(y�,z�,{�)是直线M�上的点�当M�与M�为既不平行又不相交的相错直线时,它们间的最短距离e是

公垂线M与M�,M�的交点N�和N�之间的距离,即e� N�NA��(如图���)�

图���

公垂线M的方向向量T�T��T�,公垂线M是平面��(过M�且平行于

T的平面)与��(过M�且平行于T的平面)的交线�公垂线M与M�,M�的交

点N�,N�分别是M�与��和M�与��的交点�由图���易见

e� N�NA�� � Q�QA��dpt〈Q�QA��,T〉,

e�Q�QA��·TT � Q�QA��·T� (����)

是M�与M�间的最短距离(其中Q���M�,Q���M�),因为a�Q���M�,Q���M�,有

Q�QA�� � Q�QA�� T� 1� Q�QA��·T� �两条直线M�与M�间的夹角�,不论它们是相交、平行,还是相错,都规定

��〈T�,T�〉,即

��bsddpt(T��·T��), (����)

其中T�,T�是M�,M�的方向向量�由于直线的方向向量可取T�,也可取�T�,

所以�和���都是M�与M�的夹角�� 直线与平面间的距离和夹角

直线M与平面�间的距离e,也是指M与�上任意两点Q�(y�,z�,{�)��M与Q�(y�,z�,{�)���间距离的最小值�当M与�相交时,e��;当

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

M: y�y�m �

z�z�n �

{�{�o

�:b(y�y�)�c(z�z�)�d({�{�)��平行时,即T·o�(m,n,o)·(b,c,d)�bm�cn�do��时,

e� Q�QA��·o�

�b(y��y�)�c(z��z�)�d({��{�)

b��c��d� �� (����)

直线M与平面�的夹角:当o"�T(即o��T)时,M与�垂直(或正交);

当o!�T(即o·T��)时,M与�平行;当M与�相交(但不正交)时,M与

�的夹角�规定为,M在�上的投影直线M�(即过M且平行于平面�的法向量

o的平面��与平面�的交线)与M所夹之锐角(如图���),于是

��bsdtjo o·t}o}}t}�

(����)

图���

例� 已知直线M�,M�,M�和平面�的方程为:

M�:y��� �z���� �{���

, M�:y��� �z��� �{����

M�: y��� �z���� �{� �: y�z��{�����

(�)验证M�与M�相交,并求交点和夹角;

(�)求M�与M�之间的最短距离;

(�)求M�与�间的距离; (�)求M�与�的交点及夹角��解 Q�(�,�,��),Q�(�,��,�),Q�(�,��,�),Q�(�,�,�)分别是M�,

M�,M�,�上的点�(�)由于

·���·��� 线性图形的几何问题

Q�QA��·(T��T�)�� ��� �� �� �� � ��

��

及T�,T�不平行,所以M�与M�共面且相交�求交点时可将M�,M�的方程改写

成参数方程:

M�:y����u�,z���u�,{�����u�,

M�:y���u�,z�����u�,{���u��由M�与M�的交点Q(y,z,{)同时满足M�与M�的方程,即得

���u����u���u������u�����u����u�

��

� ,

�u��u���

u���u����

�u��u���

��

� �

(�)

解方程组(�)得:u���,u���,故M�与M�的交点为Q(�,�,��)�M�与M�的夹角�为

��bsddpt(T��·T��)�bsddpt �� ��� ��

(�,��,�)·(�,�,��)

�bsddpt�������������

(�)容易验证M�与M�不共面(即Q�QA��·(T��T�)-��),是两条相错直

线,它们的公垂线的方向向量为

T�T��T��(�,��,�)�(�,��,�)�(�,��,��)�

M�与M�之间的最短距离为

e� Q�QA��·T� � ����

(�,��,��)·(�,��,�) � ������

(�)由于�的法向量o与M�的方向向量T�的内积o·T���������,所以M�"��,它们间的距离

e� Q�QA��·o� �(�,��,�)·(�,��,��)

���� ����

(�)将M�的参数方程:y���u,z�����u,{��u代入平面�的方

程,得

���u��, u���,

故M�与�的交点Q ��

,����,( )�� �它们间的夹角为

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

��bsdtjo(�,��,��)·(�,��,�)

� ��� ��bsdtjo �

���*��������

例� 点Q把有向线段Q�QA��分成定比�,即Q�A�Q��QQA��(如图���),

已知Q�(y�,z�,{�),Q�(y�,z�,{�),求Q(y,z,{)�解 由

Q�A�Q�s�s�, QQA���s��s, 得s�s���(s��s),

于是

(���)s�s���s��

由于Q�-�Q�,�-���,所以s� ����

(s���s�),即

(y,z,{)�y���y����

,z���z����

,{���{���( )� �

图���

给定了Q�和Q�,点Q由�唯一确定�当���时,点Q是线段Q�QA��的中

点,其坐标为

y��y��

,z��z��

,{��{�( )� �

当�`��时,点Q在Q�与Q�之间,称为内分点;当��_��_��时,点Q在Q�之“外侧”(即Q�A�Q与QQA��反向),称为Q�侧的外分点;当�_���时,点Q在Q�之“外侧”,称为Q�侧的外分点�

习 题

��求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解:

·���·习 题

(�)

y��y���y��y���

y��y���y���y���

�y��y���y��y���

y���y���y���y���

� ;

(�)

�y��y���y���y��y���

�y���y���y���y���y���

y����y����y���y���y���

y���y���y����y���y���

� �

��设

B�

� �� �� ���� � �� ���� �� � ���� �� �

�� �

试求数�,使齐次线性方程组BY��Y有非零解,并求其基础解系���求一个齐次线性方程组BY��,使其解空间解O(B)�M(Y�,Y�),

其中:

Y��(�,�,��,�)U, Y��(�,�,��,�)U�

��设B��Nn�o(G),证明:若Go 中任一个向量都是BY��的解,则

B�P�并用线性映射的语言来叙述这个命题���设B��Nn�o(G),且s(B)�s,证明:齐次线性方程组BY��的任

何o�s个线性无关的解都是它的基础解系���设B,C分别是n�o和o�t矩阵,证明:

若方程组(BC)Y��与CY��同解,则s(BC)�s(C)��H��设BH� 是o阶矩阵B的伴随矩阵,证明:

(�)s(BH�)�o, 当s(B)�o�, 当s(B)�o���, 当s(B)_�o����

� ;

(�)BH� � B o���

�H��设B��No(G),证明:若 B ��,则B中任意两行(或列)对应元素

的代数余子式成比例��H��证明:若B是o阶幂等矩阵(即B��B),则s(B)�s(F�B)�o���H��证明:若B��No(G),且B��F,则s(B�F)�s(B�F)�o����求下列非齐次线性方程组BY�c的一般解:

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

(�)B�� � � �� � � ��

�� � � �

, (�)B�

� � � � �� � � � �� � � � �� � � �

��

c�(�,�,�)U; c�(�,��,��,��)U����求参数u,q的值,使方程组有唯一解,有无穷多数,无解;有解时,求其

解:

(�)

uy��y��y���

y��uy��y��u

y��y��uy��u��

� ;

(�)BY�c,B如��题(�),c�(�,u,�,q)U���H��设B��Nn�o(G),证明:非齐次线性方程组BY�c对任何c��Go

都有解的充分必要条件是s(B)�n����设

y��y��b�y��y��b�y��y��b�y��y��b�y��y��b�

� �证明:该方程组有解的充分必要条件是b��b��b��b��b���,有解时,求

其一般解����设B是n�o矩阵,n �o��,证明:

(�)线性方程组BY�c有解的必要条件是efu(B,c)��;

(�)如果s(B)�o,(�)中条件也是充分的����已给平面:��:y��z��{�e��;��:��y��z�d{�����

(�)求d,e,使��"���,并问答案是否唯一?

(�)求d,e,使��与��重合;

(�)求e,使原点到��的距离为�;

(�)求e,使平面��到点N(�,�,�)的距离为�;

(�)求d,e,使��"���,且它们之间的距离为�����已给平面:

��:y��z��{����; ��:�y��z��{�����

·���·习 题

(�)求平面��与��之间的夹角;

(�)在y轴上确定一点,使它到平面��与��的距离相等����判断下列两条直线

M�:y��uz�����u{����

� u

, M�:y��� �z��� �{���

是否共面?是否相交?如果相交求其交点����求点B(�,�,�)在直线y�z�{上的投影点的坐标及点B到该直

线的垂直距离����设有两条直线

M�:y��� �z���� �{o

; M�:y�����uz���nu{����u��

� �(�)求n,o,使M�"�M�;

(�)当n �o��时,求M�,M�之间的最短距离;

(�)当n �o��时,求M�与M�的公垂线M的方程(M与M�,M�垂直

且相交);

(�)求n,o,使M�!�M�,并问n,o是否唯一?

(�)求n,o,使M�与M�共面,这样的n,o是否唯一?

(�)当n ���,o���时,求M�与M�的夹角����已知:

平面�:y��z��{����, 直线M:y���� �z��

{��o �

(�)求o,使M!��; (�)求o,使M"��;

(�)当o���时,求M与�之间的夹角;

(�)当o���时,求M与�的交点,并求M在�上的投影线方程;

(�)求M在各坐标平面上的投影线方程;

(�)当o���时,求直线M�,使M�与M关于平面�对称;

(�)求原点关于平面�的对称点的坐标����设有两个相交的平面:

��:b�y�c�z�d�{�e���, ��:b�y�c�z�d�{�e����问当�,�是不全为零的任意常数时,方程

�(b�y�c�z�d�{�e�)��(b�y�c�z�d�{�e�)��

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

的图形有何共同特点?

���已知两个平面:

��:y�z��{��, ��:y��z�{���(�)求过��与��的交线,且与��:y�z�{��垂直的平面的方程;

(�)求��与��的平分面的方程�

补 充 题

��设B�(bjk)n�o,n _�o,s(B)�n; C�(cjk)o�(o�n),n _�o,

s(C)�o�n�已知齐次线性方程组BY��的解空间O(B)�S(C)(矩阵

C的列空间),试求齐次线性方程组

��o

j��cjkzj��, k��,�,⋯,o�n

的一个基础解系���设B��Nn�o(G);s(B)�n;C是n阶非奇异矩阵(即可逆阵)�已知

B的行空间S(BU)是方程组DY��的解空间�证明:CB 的行向量组也是

DY��的一个基础解系���设B是o阶矩阵(o`��),证明:(BH�)H� � B o��B���设B�(bjk)(��No(S),证明:如果B是对角绝对优势矩阵,即

bjj `���k-�jbjk , j��,�,⋯,o,

则efuB-��(即s(B)�o)���证明:欧氏空间W(S)中向量组{��,��,⋯,�s}线性相关的充分必要

条件是Hsbn矩阵的行列式

efu

(��,��)(��,��) ⋯ (��,�s)

(��,��)(��,��) ⋯ (��,�s)

… …

(�s,��)(�s,��) ⋯ (�s,�s

�)

���

��设B�(bjk)n�o,c�(c�,c�,⋯,cn)U,Z�(z�,z�,⋯,zo)U,Y�(y�,y�,⋯,yn)U,证明:

(�)若BZ�c有解,则BUY��的任一组解都满足方程cUY��;

(�)方程组BZ�c有解的充要条件是,方程组

BU

c

�UY�

������

·���·补 充 题

无解(其中�是o��零矩阵)��H��相容的线性方程组BY�c在怎样的条件下,其解中第l个未知量yl

都是同一个值?你给的条件是否是充分必要的?

��设B��Nn�o(S),c�(c�,c�,⋯,cn)U��Sn,证明:正规方程

(BUB)Y�BUc有解;当s(B)�o时,求其解,并证明B(BUB)��BU是幂等的对称矩阵��H��设B ��Nn�o(S)(其中n ~�o),BY �c是不相容方程组(即无

解)�证明:

�YH� ��So,使a�Y��So 有

}c�BYH�}0�}c�BY}�这个YH� 称为不相容方程组BY�c的最小二乘解�

部分习题和补充题答案

习题

��(�)l�(��,�,�,�)U�l�(��,��,�,�)U;

(�)l�(��,�,�,�,�)U�l�(��,�,�,�,�)U�l�(�,��,�,�,�)U�������,{��,�,�,�)U};���,{(��,�,�,�)U,(��,�,�,�)U,(��,�,

�,�)U}���提示:利用B的行空间S(BU)是O(B)的正交补;�y���y���y��

�,��y��y������提示:利用BBH� �BH�B� BF和节���例�的结论以及BH� 的定

义���提示:利用上题的结论���提示:利用B(F�B)�P和节���例�的结论以及s(B�C)0�s(B)

�s(C)����(�)�,�,�,�( )�� U�l� ��,�,�,( )� U�l�(��,�,�,��)U�

(�)(���,��,�,�,�)U�l�(�,��,�,�,�)U�l�(�,��,�,�,�)U�l�(�,��,�,�,�)U�

���(�)u-��,��,�(u��)u��

,�u��

,(��u)�

u�( )�U

u��,(�,�,�)U�l�(��,�,�)U�l�(��,�,�)U;u���,无解;

(�)u��,q��,(��,�,�,�,�)U�l�(�,��,�,�,�)U�l�(�,��,�,

�,�)U�l�(�,��,�,�,�)U�

·���· 第�章 线性方程组与线性几何

���b��b��b��b��b���;

(b��b��b��b�,b��b��b�,b��b�,b�,�)U�l(�,�,�,�,�)U�

���(�)d���,e任意;(�)��,���;(�)��;

(�)�;(�)��;��

或����

���(�)� bsddpt��� ��;(�)(���,�,�)或 ��

��,�,( )� �

���是,是,(�,��,�);

���(�,�,�);��� ���(�)�,��;(�) ������

(�)��y��z���{�����,��y���z���{�����;(�)o�n�

�,不唯一;(�)no��n��o����,不唯一;(�)� bsddpt� ���

���(�)�;(�)���;(�)bsdtjo��

;(�)(��,��,���);y��

z���� �

{�

;(�)y���� �z� �

{�

;y���� �z� �

{��o

;y� �

z� �

{��o

;(�)

y��� �z������

{����

;(�)���,���

,��( )� �

���过��,��交线的所有平面(即平面束)����(�)y�{��;(�)�y�z�{���或z�{���补充题

��(提示:将方程组写成矩阵等式,再利用BC�P表示C的每个列向量

都是方程组BY��的解�)B的行向量组� ��提示:利用习题�的结论���提示:用反证法,即设BY��有非零解� ��B的第l列不能用其余列线性

表示� ��提示:证明有解,只要证增广矩阵与系数矩阵的秩相等,此时要用

到节���例�的结论���(提示:设X �S(B)(B的列空间),���X,如果(c��)!�X,则称

�为c在X 上的投影向量�)YH� 是正规方程(BUB)Y�BUc的解�

·���·部分习题和补充题答案

第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

本章将进一步讨论o维线性空间的线性变换与o阶矩阵之间的对应关

系�我们已经讲过,给定了线性空间的一组基,线性变换与矩阵之间是一一对

应的,也就是说,用矩阵B来表示线性变换���M(W,W)和W的基的选择是

有关的�那么,对于一个线性变换�,它有没有与基无关的不变量呢?这就是本

章要讨论的线性变换(矩阵)的特征值与特征向量的问题�解决了这个问题我

们就能选择线性空间W的适当的基,使���M(W,W)在这个基下对应的矩阵

最简单(称为�对应的矩阵的标准形)�为了阐明这个问题,我们将从二次曲线

一般方程(含yz混合项)通过坐标变换化为标准方程入手�本章主要内容有:正交变换与正交矩阵;二次曲线一般方程的化简及分

类;线性变换和矩阵的特征值与特征向量;矩阵与对角阵相似的条件及相似标

准形;实对称矩阵的对角化;实二次型的标准形,矩阵的相合(或合同)标准形

以及正定二次型与正定矩阵�

��� 正交变换与正交矩阵

正交变换是欧氏空间中的一种重要的线性变换�我们在第�章中讲过的

旋转变换和镜象变换,都使向量的长度及向量之间的夹角保持不变,也就是任

意两个向量之间的内积等于其象向量之间的内积�具有这种性质的线性变换

称为正交变换,其定义如下:

定义��� 欧氏空间W(S)的一个线性变换�称为正交变换,如果a��,

���W,都有

�(�),�(�( ))�(�,�)� (���)

与(���)等价的条件是:

�(�) � � , a����W� (���)

这是因为:在(���)式中,取���,即得

�(�),�(�( ))�(�,�), 即 �(�)�� � �,

故 �(�) � � ;反之,如果(���)式成立,则任取�,���W,都有

�(���) � ��� �

�(���)�� �(���),�(���( ))

� �(�)��(�),�(�)��(�( ))

� �(�),�(�( ))� �(�),�(�( ))���(�),�(�( ))

� �(�)���(�)����(�),�(�( )), (�)

��� ��(���,���)�(�,�)�(�,�)��(�,�)

� � ��� ���(�,�)� (�)

因此,由(�),(�)式,即得(���)式成立�由(���),(���)式又可得,正交变换�使任意两个向量�,�的夹角与

其像�(�),�(�)的夹角是相等的,即

〈�(�),�(�)〉�〈�,�〉� (�)

但是,这个命题的逆命题不成立�例如对于W(S)的线性变换

�(�)�l� (l��S,l-��,�)

显然(�)式成立,而(���)式不成立,故这个�不是正交变换�定义��� 欧氏空间W(S)的正交变换�关于W的单位正交基所对应的

矩阵B称为正交矩阵�设B�(bjk)o�o�(��,��,⋯,�o)是正交变换�在W 的单位正交基

��,��,⋯,�{ }o 下所对应的矩阵,即

���,��,⋯,�( )o � ��,��,⋯,�( )o B, (�)

于是bjk��S,而且

�j,�( )k � �(�j),�(�k( ))� ��o

l��blj�l,��

o

m��bmk�( )m

���o

l��bljblk��Uk�j

� �j,�( )k ��, k�j,

�, k-�j��� ,

j,k��,�,⋯,o, (�)

所以B的列向量组��,��,⋯,�o是关于So 的标准内积的一组单位正交基�反之,如果B的列向量��,��,⋯,�o是So的一组单位正交基,则B在W

的单位正交基 ��,��,⋯,�{ }o 下所对应的线性变换�也必是正交变换�因为,

由(�),(�)式可见,此时 �(��),�(��),⋯,�(�o{ }) 也是W 的一组单位正交

基�于是,对于W中任意的

����o

j��bj�j, ����

o

k��ck�k

·���·��� 正交变换与正交矩阵

都有

�(�),�(�( ))� ��o

j��bj�(�j),��

o

k��ck�(�k( ))���

o

j��bjcj

� ��o

j��bj�j,��

o

k��ck�( )k �(�,�),

故�是W(S)的一个正交变换�再由

BUB�

�U�

�U�…

�U

�o

��,��,⋯,�( )o �

�U��� �U��� ⋯ �U��o

�U��� �U��� ⋯ �U��o… …

�Uo�� �Uo�� ⋯ �Uo�

�o(其中�Uj�k� �j,�( )k )又可见,o阶实矩阵B的列向量组��,��,⋯,�o是So

的一组单位正交基的充分必要条件是BUB�F�综上所述,正交矩阵也可等价地定义如下�定义��� o阶实矩阵B称为正交矩阵,如果BUB�F(或:如果B的列

向量组是So 的一组单位正交基)�正交矩阵还有以下性质:

(�)若B为正交矩阵,则B���BU,且BU也是正交矩阵;

(�)若B是正交矩阵,则 B ��或��;

(�)若B,C 都是正交矩阵,则BC也是正交矩阵�证 (�)由BUB�F,即得B���BU�又因为

(BU)UBU�BBU�BB���F,

故BU(即B��)也是正交矩阵,从而正交矩阵B的行向量组也是So的一组单

位正交基�(�)由BUB�F,即得 BUB � BU B � B ���,故 B ����(�)由于(BC)U(BC)� CUB( )U(BC)�CUFC�CUC�F,所以BC

也是正交矩阵�行列式为��的正交矩阵所对应的正交变换称为第一类正交变换;行列

式为(��)的正交矩阵所对应的正交变换称为第二类正交变换�对这个定义

要作一点说明:正交变换在不同的单位正交变换在不同的单位正交基下对应

的矩阵一般是不同的,但它的是相似矩阵(见���节)而相似矩阵的行列式的

值是相等的�

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

例� S�上的旋转变换s�是最基本的第一类正交变换�它在单位正交基

f��(�,�),f��(�,�)下对应的正交矩阵为

U�dpt� �tjo�tjo� dpt��

���

(见第�章节���例�),它的行列式为���

例� S�关于镜面 ——— 与单位向量������

,���

,��( )�

U垂直并过原点的

平面(图���)的镜象变换

�(�)������,( )���, a����S�

关于自然基{f�,f�,f�}(也是S�的一组单位正交基)所对应的正交矩阵为

B�

�� ��� ���

����� ���

��� ���

���

图���

但如果在镜面上任取两个正交的单位向量��,��,则

�(��)���, �(��)����于是镜象变换�关于S�的单位正交基{��,��,��}所对应的对角阵C �ejbh(��,�,�)�因为�(��)����,�(��)���,�(��)���,所以

� ��,��,�( )� � ��,��,�( )�

���

���

这里 B � C ����镜象变换是最基本的第二类正交变换�

·���·��� 正交变换与正交矩阵

下面,我们介绍用Tdinjeu正交化的方法对可逆实矩阵B作R�S分解�定理���(R�S分解) 若B为可逆实矩阵,则存在正交矩阵R和主对角元为正数的

上三角矩阵S,使得

B�RS�证 o阶可逆实矩阵B的列向量组��,��,⋯,�o是So的一组基,用Tdinjeu正交化

方法可由��,��,⋯,�o构造出So的一组单位正交基�先正交化,得到一组两两正交的非零

向量组��,��,⋯,�o,即:

�����

���l�������⋯⋯

�o�l�o���l�o���⋯�lo��,o�o����o

� ,

(�)

其中

ljk���k,�( )j�j,�( )j

(�0�j_�k,k��,⋯,o)�

由(�)式可得

�����

����l�������⋯⋯

�o��l�o���l�o���⋯�lo��,o�o����o

� �

(�)

将(�)式写成一个矩阵等式

B� ��,��,⋯,�( )o � ��,��,⋯,�( )o

� �l�� ⋯ �l�o

� � ⋯ �l�o… � …

� � ⋯

��

(�)

� ��,��,⋯,�( )o

���

���

��

�o

��

��

�o

� �l�� ⋯ �l�o

� � ⋯ �l�o… � …

� � ⋯

��

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

�����

,����

,⋯,�o�( )o

�� �u�� ⋯ �u�o

� �� ⋯ �u�o… � …

� � ⋯ �

�o

�RS�

上式的上三角矩阵S的主对角元 �j `��(j��,�,⋯,o); ����

,����

,⋯,�o�( )o

R是一个正交矩阵,因为它的o个列向量是So的一组标准正交基�定理���(哈达马(Ibebnbse)不等式) o阶实矩阵B的行列式的绝对值小于或等于

B的o个列(行)向量长度的乘积,即

efuB 0���o

j���j , (���)

其中�j为B的列(或行)向量�当efuB-��时,等号成立当且仅当��,��,⋯,�o为正交向

量组�证 当秩(B)_�o时,efuB��,(���)式显然成立�当秩(B)�o时,B的列向量组��,��,⋯,�o是So的一组基�用定理���的同样证法

得其中的(�)式,并将它记作

B�CS,

于是

efuB�(efuC)(efuS)�efuC� (�)

由于C的列向量��,��,⋯,�o两两正交,所以

�U�

�U�…

�U

�o

��,��,⋯,�( )o �

�� �

�� �

�o

��

从而

(efuC)��efu(CUC)���o

j���j �� (�)

根据勾股定理,由定理���证明过程中的(�)式得

�j �1� �j �, j��,�,⋯,o� (�)

于是由(�),(�),(�)式,即得哈达马不等式

efuB 0���o

j���j �

这里等号成立当且仅当(�)式中等号成立,即(�)式中ljk��(�0�j_�k0�o)�从而

�j��j(j��,�,⋯,o),亦即��,��,⋯,�o为正交向量组�

若B的行向量组(即BU的列向量组)为��,��,⋯,�o,则

·���·��� 正交变换与正交矩阵

efuB � efuBU 0���o

j���j �

哈达马不等式在三维空间中的几何意义:三阶矩阵B 的行列式等于B 的三个行向量

的混合积,它的绝对值等于以三个行向量为邻边的平行六面体的体积,它显然小于或等于

三邻边边长的乘积,等号成立当且仅当三邻边互相垂直�

���H� 二次曲线一般方程化为标准方程及其分类

y�,y�的一般二次方程

b��y����b��y�y��b��y����b�y���b�y��b��� (���)

(其中二次项系数不全为零),在平面直角坐标系中一般是否都是圆锥截线(椭圆(包括

圆)、双曲线和抛物线)呢?如果我们通过坐标变换y��h�(z�,z�),y��h�(z�,z�)能将

(���)式的二次项部分

g y�,y( )� �b��y����b��y�y��b��y�� (���)

中的混合项�b��y�y�消去(下面将证明这是可以办到的),变为

� z�,z( )� �c��z���c��z��, (���)

相应地(���)式变为

c��z���c��z����c�z���c�z��c���, (���)

再将(���)式配方(即作坐标平移),就可断言,一般二次方程(���)所表示的图形都是圆

锥截线(包括某些退化的情形,如直线、点、虚椭圆和虚平行直线等),因此,它们也称为二

次曲线�

����� 作坐标轴旋转的坐标变换消去混合项,再作坐标轴平移的坐标

变换化为标准方程

图���

欲消去(���)式中的混合项,作坐标轴平移是不行的,必须作坐标轴旋转的坐标

变换�设(���)式中(y�,y�)是点Q在直角坐标系中的坐标(即向量 A�PQ的坐标)是关于自

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

然基C��{f�,f�}�{(�,�),(�,�)}的坐标)�现将坐标轴绕原点P按逆时针方向旋转�角,相应地自然基变换为C��{f��,f��},(如图���所示),于是

f��,f�( )� � f�,f( )�dpt� �tjo�

tjo� dpt( )

�, (���)

其中右端的矩阵R(为正交矩阵)是基C�变为基C�的变换矩阵�于是根据定理����可知,

点Q在基C�下的坐标(z�,z�)满足

z�

z( )��R��

y�

y( )��

dpt� tjo�

�tjo� dpt( )

y�

y( )�

, (���)

所以作坐标轴旋转的坐标变换是一种正交变换�将(���)式g y�,y( )� �b��y����b��y�y��b��y��用矩阵表示为

g y�,y( )� � y�,y( )�b�� b��

b�� b( )��

y�

y( )��YUBY, (����)

其中Y� y�,y( )�U,B�

b�� b��

b�� b( )��

,b���b���

将(���)式Y�RZ(其中Z� z�,z( )�U),代入(����)式,得

� z�,z( )� �(RZ)UB(RZ)�ZU RU( )BR Z,

其中

RUBR�dpt� tjo�

�tjo� dpt( )

b�� b��

b�� b( )��

dpt� �tjo�

tjo� dpt( )

�� (����)

记C� RU( )BR � cj( )k ���,则

c���b��dpt���b��tjo���b��tjo��

c���c����� b���b( )�� tjo���b��dpt��

c���b��tjo���b��tjo���b��dpt��

� ,

于是

� z�,z( )� �c��z����c��z�z��c��z��� (����)

为了消去混合项z�z�,只须选择适当的�角,使c����,即由

�� b���b( )�� tjo���b��dpt����,

可得

dpu���b���b���b��

, �� ��bsddpub���b���b��

� (����)

此时,由(����)式则得

dpt� tjo�

�tjo� dpt( )

b�� b��

b�� b( )���c�� �

� c( )��

dpt� tjo�

�tjo� dpt( )

��

比较上述等式中乘积矩阵的主对角元,并依据b��-��,可知dpt�-��,进而得到

·���·���H� 二次曲线一般方程化为标准方程及其分类

c���b���b��ubo�,c���b���b��ubo�� (����)

例� 把二次曲线的一般方程

�y����y�y���y�����y����y������ (�)

化为标准方程,并作其图形�解 先作坐标轴旋转的坐标变换,消去其混合项�根据(����)式,转角�满足

dpu���b���b���b�� ����� � ��

于是

�ubo����ubo����(�ubo���)(ubo���)��,

得ubo�� ��或��,取ubo�� ��

(且�为锐角),则

tjo�� ���

, dpt�� ����

如此,方程(�)中的二次项部分�y����y�y���y��化为c��z���c��z��,其中

c���b���b��ubo������( )�� ��,

c���b���b��ubo������( )�� ���

再根据

Y�RZ即y�

y( )��

���

����

���

��

��

z�

z( )�

, (�)

方程(�)中的一次项与常数项���y����y����化为

(���,���)y�

y( )�����(���,���)

���

����

���

��

��

z�

z( )����

�� ����z�����于是,原方程(�)化为

�z���z��� ����z������即

�z���( )���z�������� (�)

再将坐标轴平移:令

{��z����, {��z�, (�)

则由方程(�)得到方程(�)所化成的标准方程

{����

{�������

(�)

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

所以方程(�)的图形为椭圆,长轴在{�轴上,长半轴为 ���,短半轴为��(如图���所示)�这里通过坐标轴旋转和平移将(�)化为(�)的总的坐标变换公式由(�),(�)可得

y�

y( )��

���

����

���

��

��

{����

{

���

���{��

���{���

���{��

���{��

���

图���

����� 二次曲线的不变量

从上面的讨论和例题可见,任何一条二次曲线的一般二次方程(如(���)式),都可以

通过坐标轴旋转和平移的坐标变换,将其化为标准方程�由此可见,同一条二次曲线在不

同的直角坐标系中,其方程一般是不同的二次方程,也就是说,二次曲线的方程一般是随

着坐标系的改变而改变的�这样,我们自然会提出一个问题:既然不同的方程代表着同一

条曲线,那么这些不同的方程(表现在系数不同)中有没有某种共性?而这种共性是不随坐

标系的改变而变化的�结论是肯定的,刻画这种共性的量,称为二次曲线的不变量�定理��� 二次曲线的方程(���)式,在直角坐标变换下,有以下三个不变量�

J��b���b��,J��b�� b��

b�� b��,J��

b�� b�� b�

b�� b�� b�

b� b� b�

证 先证在坐标轴旋转的坐标变换下,J�,J�,J�不变�记Y�(y�,y�)U,Z�(z�,

z�)U,转轴的坐标变换公式为

Y�RZ (R为正交矩阵)�(���)式中的二次项部分为

g(y�,y�)�b��y����b��y�y��b��y���YUBY,

其中 B �b�� b��

b�� b���J��转轴变换后,g(y�,y�)变为

�(z�,z�)�ZU(RUBR)Z�

·���·���H� 二次曲线一般方程化为标准方程及其分类

相应地,J�变为

J��� RUBR � R � B � B �J��

故J�不变�

J��b���b���us(B)(称为矩阵B的迹,它是B的主对角元之和),转轴变换后变为

J���us(RUBR),记

R� rj( )k ���, RU� r�k( )j ��� r�kj�rjk,

于是

J������

j��RU( )BR jj���

j�����

k��r�jk(BR)kj

����

j�����

k��rkj ��

l��bklr( )lj ���

k�����

l��bkl ��

j��rkjr( )lj �

由于R� rj( )k ���是正交矩阵,所以

���

j��rkjrlj��kl�

�,l�k,

�,l-�k{

�于是

J������

k�����

l��bkl�kl���

k��bk��k��bk��k( )� �b���b���J�,

故J�不变�方程(���)的左端(记为G y�,y( )� )可用矩阵表示为

G y�,y( )� � y�,y�,( )�

b�� b�� b�

b�� b�� b�

b� b� b

��

y�

y�

��

� YU,( )�B �

�U b( )�

Y( )�� (����)

其中,

B�b�� b��

b�� b( )��

, Q�B �

�U b( )�

, �� b�,b( )�U,J�� Q ,

YU,( )� � y�,y�,( )� �

转轴后,(����)式变为

� z�,z( )� � ZURU,( )�B �

�U b( )�

RZ( )�

� ZU,( )�RU �( )� �

B �

�U b( )�

R �( )� �

Z( )�

于是J�变为

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

J���RU �

� �

B �

�U b�

R �

� �

� RU Q R � R � Q � Q �J�,

故J�不变�再证,在坐标轴平移的坐标变换下J�,J�,J�不变�将坐标轴平移的坐标变换公式

y��z��d

y��z��{ e代入原二次方程(���)式,整理得

b��z����b��z�z��b��z��

��b��d�b��e�b( )� z���b��d�b��e�b( )� z�

�b��d���b��de�b��e���b�d��b�e�b����如果将此新方程记作

c��z����c��z�z��c��z����c�z���c�z��c��� (����)

c���b��,c���b��,c���b��

c��b��d�b��e�b�

c��b��d�b��e�b�

c��G(d,e)�b��d���b��de�b��e���b�d��b�e�b�

� �

(����)

由(����)式,立即得

J���c���c���b���b���J�,

J���c�� c��

c�� c���b�� b��

b�� b���J��

利用行列式的性质,读者也不难得到

J���

c�� c�� c�

c�� c�� c�

c� c� c�

b�� b�� b�

b�� b�� b�

b� b� b�

�J��

综上所述,在坐标轴旋转和平移的坐标变换下,二次曲线方程中J�,J�,J�是不变量�

����� 利用不变量判定二次曲线的类型

二次曲线的一般二次方程(���)式,经过直角坐标变换(坐标轴的旋转和平移),都可

化为二次曲线的最简方程(进而可化为标准方程),利用最简方程中不变量满足的条件,即

可判定一般二次方程(���)所表示的二次曲线的类型�

� 椭圆型和双曲型曲线

这两种类型曲线的最简方程为

·���·���H� 二次曲线一般方程化为标准方程及其分类

c��z���c��z���c���� (����)

当c��与c��同(异)号时,为椭圆(双曲)型�由于其不变量

J��c���c��, J��c�� �

� c��, (����)

于是,曲线为椭圆型(c��,c��同号)的充分必要条件是J�`��;曲线为双曲型(c��与c��异

号)的充分必要条件是J�_���利用一元二次方程根与系数的关系,由(����)式易见c��与c��是一元二次方程

���J���J��� (����)

的两个实根�将(����)式中的J�,J�用二次曲线一般方程(���)式中的系数表示,则有

��� b���b( )�� �� b��b���b��( )� ��,

���b( )�� ��b( )�� �b������此式可以用二阶行列表示为

�F�B ���b�� �b��

�b�� ��b���� (����)

(其中F为二阶单位矩阵)�我们称(����)即(����)式是二次曲线(���)的特征方程,

其中 �F�B 称为矩阵B的特征多项式,它的两个实根称为二次曲线(���)的特征根,记

作��,��(即���c��,���c��)�再一般地说一下,由于方程(����)即(����)的判别式

J����J�� b���b( )�����b��b���b��( )�

� b���b( )�����b���1��,

所以此特征方程必有两个不等或相等的实根�对于不变量J�,有

J��

c�� � �

� c��

� �

c�

�c��c��c��J�c�,

于是

c��J�J�� (����)

综上所述,椭圆型和双曲型曲线的最简方程可写为�

��z�����z���J�J��

�� (����)

由(����)可以进而化成标准方程,从而确定椭圆的长、短半轴,双曲线的实、虚半轴�由(����),根据不变量判别二次曲线(���)所属类型的方法如下:

(�)当J��c��c�������`��时(曲线为椭圆型);若J�与J��c���c��������

异号(即J�J�

与��,��异号),则曲线是椭圆;若J�与J�同号,则曲线是虚椭圆;若J���,则

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

曲线是一个点�(�)当J��c��c�������_��时(曲线为双曲型):若J�-��,则曲线是双曲线;若J�

��,则曲线是一对相交直线�

� 抛物型曲线

抛物型曲线的最简方程为

c��z����c�z���, (����)

其中c��-��,c�-���由于其不变量

J��c��,J��� �

� c����,

J��

� � c�

� c�� �

c� � �

��c��c����J�c���

于是,其最简方程(����)可写为

J�z�����J�J��z���� (����)

因此,若J���,J�-��(此时b��b���

b��b��-�

b�b�

),则曲线为抛物线,这是无心二次曲线�

若J���,且J���(此时b��b���

b��b���

b�b�

),则一般二次方程(���)可化为(证明略)

J�z���c����当c�与J�异号时,为一对平行直线;当c�与J�同号时,为一对虚平行直线;当c���时,

为一对重合直线�用不变量将二次曲线分类的情况可列表如下:

不变量 曲线形状 化简后的方程

J�-��

有心二次曲线

J�`��

椭圆型

J�-�� J�J�_��为椭圆

J�J�`��为虚椭圆

J��� 一个点

J�_��双曲线

J�-�� 双曲线

J��� 一对相交直线

��z�����z���J�J��

J���无心二次曲线

抛物型

J�-�� 抛物线 J�z�����J�J��z���

J���L�_��,一对平行直线

L���,一对重合直线

L�`��,一对虚平行线J�z���

L�J� �

表中L��b�� b�b� b�

�b�� b�b� b�

称为二次曲线的半不变量,它在坐标轴旋转的坐

·���·���H� 二次曲线一般方程化为标准方程及其分类

标变换下不变,对于J��J���的二次曲线,在坐标轴平移的坐标变换下也不变(证明

略)�例� 判断下列二次曲线的类型,把方程化为最简形式,并确定曲线的形状

(�)y����y�y���y�����y��y�����;

(�)�y����y�y��y����y��y�����;

(�)y����y�y��y�����y����y�������

解 (�)J��� �� �

��,这是抛物型曲线�此时

J�������, J��

� � �

� � ���

� ��� �

������,

所以这是一条抛物线,化简后的方程为

�z����z�

���

��� ��

�z����z�

���

��� ��,

即 z�����z��� 或 z�����z����

因此这条抛物线的焦参数q�����

(�)J��� ���� �

��,这是抛物型曲线�此时

J��

� �� �

�� � ���

� ��� ��

��,J�������,

L��� �� ��

�� ���

��� ������� _��

所以这是两条平行直线,化简后的方程为

�z����� ��

,即z���������

(�)J��� ���

��� ����� _��

,这是双曲型曲线�此时

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

J��

� ��� �

��� � ��

� �� ��

����,J��������

因为J�-��,所以这是双曲线�解特征方程

�F�B ���� �

��� ���

�(���)���� � ��( )�� ��( )�� ��,

得特征根������

,������

又J�J��

�,于是化简后的方程为

���z�����z

������, 即 z��

��z������,

所以这条双曲线的实半轴b���,虚半轴c���� � ���� �

��� 线性变换在不同基下的矩阵表示 相似矩阵

在前一节中讲过,下面的二次曲线方程

gy�,y( )� �b��y����b��y�y��b��y����可以用矩阵表示为

gy�,y( )� �YUBY��, (����)

其中

B�b�� b��b�� b�

���, Y�

y�y�

���

这就是说,一个二次曲线在给定的直角坐标系(或说S�的一组单位正交基)

下,对应于一个实对称矩阵B�如果我们把对方程(����)所作坐标轴旋转的

坐标变换

y�y�

���dpt� �tjo�tjo� dpt( )�

z�z

��记作Y�RZ(R为正交矩阵),则二次曲线的方程(����),在新的直角坐标

系(或说S�的新的单位正交基)下,变为

�z�,z( )� �ZU RU( )BR Z��,

·���·��� 线性变换在不同基下的矩阵表示 相似矩阵

即二次曲线在新的直角坐标系下对应于实对称矩阵(RUBR)�因此,对坐标系

作不同的旋转变换,将使二次曲线对应于不同的实对称矩阵�容易证明:这些

实对称矩阵

BM� RUBR,即R��BR R{ }为正交矩阵

构成一个等价类,它的最简单的代表元记为

B���� �� ��

��,

其中��,��是B的特征方程�F�B 的根(称为二次曲线的特征根),它们之

和是二次曲线的不变量J�,即J��������b���b���如果(����)是椭圆

方程,它将化为标准方程

��z�����z����, 即 z�����( )�

��z�����( )�

����

此时,特征根的几何意义是:它们的倒数的平方根是椭圆的长、短半轴,这显然

是二次曲线不随坐标系改变的不变量�线性变换���M(W,W)也有类似的问题,给定了线性空间W的一组基,

�对应于一个确定的矩阵B,对于W的不同的基,�一般也将对应于不同的矩

阵,既然这些不同的矩阵对应于同一个线性变换�,那么它们也应该是一个等

价类,在这个等价类中也应该有不变的量,我们也希望找到这个等价类中最简

单的代表元�这就是本节和以后几节要讨论的主要问题�定理��� 设线性变换���M(W,W),C��{��,⋯,�o}和C��{��,

⋯,�o}是线性空间W(G)的两组基,基C�变为基C�的变换矩阵为D,如果�在基C�下的矩阵为B,则�关于基C�所对应的矩阵为D��BD�

证 由假设

��,⋯,�( )o � ��,⋯,�( )o D, (�)

��,⋯,�( )o � ��,⋯,�( )o D��� (�)

将(�)式代入已知条件

���,⋯,�( )o � ��,⋯,�( )o B,

�( ��,⋯,�( )o D��)�( ��,⋯,�( )o D��)B� (�)

容易验证(�)式左端等于 ���,⋯,�( )( )o D��,所以

���,⋯,�( )( )o D��� ��,⋯,�( )o D��( )B ,

从而得

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

���,⋯,�( )o � ��,⋯,�( )o D��( )BD ,

故�关于基C�所对应的矩阵为D��BD�反之,如果�在基C��{��,⋯,�o}下所对应的矩阵为B,则D��BD必

是�关于另一个基{��,⋯,�o}所对应的矩阵,且基{��,⋯,�o}是由基C�经

变换矩阵D而得到的,即

��,⋯,�( )o � ��,⋯,�( )o D�定义��� 如果对于B,C��No(G),存在可逆矩阵D��No(G),使得

D��BD�C, (����)

则称B相似于C,记作BYC�容易证明,矩阵的相似关系是集合No(G)上的一种等价关系,即相似关

系具有:

(�)自反性,即a�B��No(G),BYB;

(�)对称性,即a�B,C��No(G),若BYC,则CYB;

(�)传 递 性,即 a�B�,B�,B� �� No(G),若 B� Y B�,B� Y B�,

则B�YB��因此,彼此相似的矩阵构成一个等价类,等价的相似矩阵都表示同一个线

性变换,只不过取的基不同而已�相似矩阵还有以下性质:

(�)D��(lB�uC)D�lD��BD�uD��CD (l,u��G);

(�)D��(BC)D�(D��BD)(D��CD);

(�)若BYC,则Bn YCn(n 为正整数);

(�)若BYC,则g(B)Yg(C),

其中 g(y)�bnyn�bn��yn���⋯�b�y�b�,

g(B)�bnBn�bn��Bn���⋯�b�B�b�F,

bj��G,j��,�,⋯,n�例� 已知S�的线性变换�关于自然基f�,f�所对应的矩阵为

B�� �( )� �

求�关于基{��,��}所对应的矩阵C,其中���f��f�,����f���f��解 由已知条件

�(f�,f�)�(f�,f�)� �( )� �,

(��,��)�(f�,f�) � ��( )� �

·���·��� 线性变换在不同基下的矩阵表示 相似矩阵

即得

C�� ��( )� �

��� �( )� �� ��( )� �

���� ��( )� �

� �( )� �� ��( )� �

��� �( )� �

有限维线性空间W上的线性变换关于不同基所对应的矩阵构成一个相

似等价类,这个等价类中的不变量(也就是线性变换与基无关的不变量)是什

么呢?它的最简单的代表元又是什么呢?在例�中已经见到S�的线性变换

�y�,y( )� � �y���y�,�y���y( )�关于自然基 f�,f{ }� 对应的矩阵为B,而关于基{��,��}所对应的矩阵C为对

角阵�这是与矩阵B相似的最简单的矩阵�在���的例�中,对于S�中的镜

像变换(也存在S�的单位正交基使�对应的矩阵为对角阵ejbh(��,�,�)�然而并不是所有的o阶矩阵都能与对角阵相似�这一章我们将着重讨论,线性空

间W的线性变换�的不变量以及�在什么条件下对应于对角阵�也就是o阶

矩阵B在相似意义下的不变量以及B在什么条件下与对角阵相似�此外还要

简单地介绍一下,任何矩阵B在复数域上都相似于一类较简单的对角块矩阵

——— 约当形矩阵(对角阵是约当形矩阵的特殊情形)�

��� 特征值与特征向量

在���的例�中我们看到镜像变换�对镜面的法向量��及镜面上的任

一向量�� 的像�(��),�(��)与原像��,�� 成比例,即�(��)����,

�(��)���,这个比例系数��,�与原像��,��称为镜像变换�的特征值与

特征向量,显然�的特征值与S�的基的选择无关�下面对线性变换的特征值

和特征向量,给以一般的定义:

定义��� 设�是线性空间W(G)的一个线性变换,如果存在数����G和非零向量���W,使得

�(�)����, (����)

则称数��为�的一个特征值,称非零向量�为�的属于其特征值��的特征向

量�这里需要注意,特征值��是域G中的数量,特征向量�是非零向量�显

然,零向量对任意的��都满足(����)式,因此它不具有“特征”意义�在几何向量空间S�和S�中,线性变换�的特征值与特征向量的几何意义

是:特征向量�(起点在坐标原点)与其在�作用下的像�(�)同向(或反向),

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

同向时,特征值��`��,反向时,��_��,且��的绝对值等于 �(�) 与 � 之

比值;如果特征值����,则�(�)为零向量�例如:在S�中,向量绕原点按逆时针方向旋转�角的旋转变换s�,当�_�

�_��时,对任意非零向量���S�,s�(�)与�都不共线(图���),此时s�没

有实 特 征 值;当� ��时,S� 中 任 何 非 零 向 量� 都 与s�(�)共 线,且

s�(�)���(图���),所以��是s�的特征值,而且任何非零向量�都是其

特征向量�

图��� 图���

在S�中,向量到二维子空间X 上的投影变换q:当���X 时,q(�)��;当���X!� 时,q(�)������因此�与�是q的特征值,X 与X!� 中的

所有非零向量分别是属于特征值�和�的特征向量�对于S�的基{��,��,

��}(其中��,���� X,���� X!�,如图���),q所对应的矩阵是对角阵

ejbh(�,�,�),即

q ��,��,�( )� � ��,��,�( )�

��

���

图���

下面进一步讨论特征值与特征向量的一些性质及如何求特征值和特征向

·���·��� 特征值与特征向量

量�设W是域G上的线性空间,��是���M(W,W)的一个特征值,根据定义

���,使(����)式成立的非零向量���W不止一个,所有满足(����)式的

向量组成的集合

W���{��(�)����,���W } (����)

是W的一个子空间�这是因为a���,����W�� 和a�l�,l���G,均有

�l����l��( )� �l���( )� �l���( )� ���l����l��( )� ,

于是l����l�����W��,所以W�� 是W的一个子空间,并称为�关于其特征

值��的特征子空间�在W�� 中的所有非零向量都是�的特征向量�由于(����)式等价于

��J�( )�(�)��, (����)

其中J是W上的恒等变换,�是W的零元�所以特征子空间W��就是线性变换

��J�( )� 的核,而该核中必有非零向量�,因此

ejn Lfs��J�( )( )� 1���如果ejnW�o,则由第�章定理���即得

s��J�( )� 0�o���若�关于基C�{f�,⋯,fo}所对应的矩阵为B,则(��J��)关于基C

所对应的矩阵为(��F�B),且其秩也小于等于o��,从而

��F�B ��� (����)

相应的齐次线性方程组

(��F�B)Y�� (����)

的非零解Y� y�,⋯,y( )oU所对应的非零向量

��y�f��⋯�yofo��Lfs(��J��)� (����)

所以�是�的属于��的特征向量,而且�的特征子空间W��中的�与(����)

的解空间中的解向量Y如(����)式那样一一对应�从(����)式又可见,�的特征值��是�的o次代数方程

�F�B �

��b�� �b�� ⋯ �b�o�b�� ��b�� ⋯ �b�o

… …

�bo� �bo� ⋯ ��boo

�� (����)

在域G上的一个根�事实上,方程(����)在域G上的任一个根�k都是�的特

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

征值,这是因为:与齐次线性方程组

(�kF�B)Y�� (����)

的非零解Y按(����)式对应的非零向量�,满足

�(�)��k��综上所述,对于线性空间W(G)的一个线性变换�,可以通过它在W 的

一个基C�{f�,⋯,fo}下所对应的矩阵B,按(����),(����)式求它的特

征值及相应的特征向量关于基C的坐标�正因为如此,我们把方程(����)在

域G上的根�k也称为矩阵B��No(G)的特征值,相应地把(����)式的非零

解Y称为矩阵B属于其特征值�k的特征向量�关于矩阵B的特征值与特征向

量,也可以等价地定义如下�定义��� 设矩阵B��No(G),如果存在数����G和非零向量Y��Go,

使得

BY���Y, (����)

则称数��为B的一个特征值,称非零向量Y为B的属于其特征值��的特征

向量�域G上的o阶矩阵B的特征值是方程(����)在域G上的根,因此,通常

把方程(����)叫做矩阵B的特征方程,把�的o次多项式

g(�)� �F�B (����)

叫做矩阵B的特征多项式�如果域G是复数域D,则o阶矩阵B的特征多项式在复数域上的o个根

都是矩阵B的特征值,其l重根叫做l重特征值�以后求矩阵B的特征值,如

不加说明,都是求它在复数域上的特征值�例� o阶对角矩阵、上(下)三角形矩阵B的特征值是它们的o个主对

角元b��,b��,⋯,boo�因为它们的特征多项式

�F�B �(��b��)(��b��)⋯(��boo)�例� 已知S�的线性变换�关于S�的某一组基{��,��,��}所对应的

矩阵为

B�� �� ��� �� ���

�� � �

求�的特征值及相应的特征子空间�解 S�是实数域上的线性空间,�的特征值是矩阵B的特征多项式的实

数根�

·���·��� 特征值与特征向量

�F�B �� � ��� ��� �� �� �

�� � �� ��� ���� �� �

�� � �� ��� �� �� ���

��(���)�,

所以B的特征值为����,�����(二重特征值),它们也都是�的特征值�对于����,求解(��F�B)Y��,即

� � ��� � �� �

�� �

y�y�y

��

��

���

得基础解系:Y��(��,��,�)U(即B属于��的一个特征向量)�于是

������������是�关于其特征值����的特征子空间W�� 的基�

对于�����,求解(��F�B)Y��,即

�� � ��� � �� �� �

��

y�y�y

��

��

���

得基础解系:Y��(�,�,�)U,Y��(�,�,�)U,(它们是B关于��的两个线性

无关的特征向量),于是

��������, ��������是�关于其特征值�����的特征子空间W�� 的基�

关于矩阵和线性变换的特征值有以下几个基本结论�定理��� o阶矩阵B�(bjk)o�o 的特征多项式为

g(�)��o�c��o���⋯�cl�o�l�⋯�co����co,(����)

其中系数cl�(��)lTl,Tl为B的全体l阶主子式之和,即

Tl� ���0�j�_�j�_�⋯_�jl0�o

bj�j� bj�j� ⋯ bj�jlbj�j� bj�j� ⋯ bj�jl

… …

bjlj� bjlj� ⋯ bjljl

定 理 ��� 的 证 明 留 给 有 兴 趣 的 读 者 自 己 去 完 成�( 提 示: 将

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

g(y)� �F�B 中,j-�k的�bjk都表示为��bjk,并将这个行列式表示为

�o 个行列式之和,再利用第�章节���例�的结论�)

推论 若o阶矩阵B�(bjk)o�o 的o个特征值为��,��,⋯,�o,则

(�) ��o

j���j���

o

j��bjj, (�) ��

o

j���j� B � (����)

证 (����)式中的c�,co 为

c��(��)�T�����o

j��bjj, co�(��)oTo�(��)o B ,

所以

g(�)��o� ��o

j��b( )jj�o���⋯�(��)o B � (�)

又已知

g(�)� ���( )� ���( )� ⋯ ���( )o , (�)

根据(�),(�)式中�o��的系数及常数项相等,即得要证的结论�定理��� 若矩阵B与C相似,则它们的特征多项式相等,即

�F�B � �F�C �证 BYC,即存在可逆矩阵Q,使得

Q��BQ�C,

于是

�F�C � �F�Q��BQ � Q��(�F�B)Q

� Q�� �F�B Q � �F�B �定理���的逆命题不成立�例如:

B�� ���

��� �

, C�� ���

��� �

�F�B � �F�C �(���)�,但B与C不相似,因为对任何可逆矩阵

Q,

Q��BQ�Q��(�F)Q��F�B-�C�我们在���中讲过,线性变换�在不同基下对应的矩阵是相似矩阵,而相

似矩阵的特征多项式相同(即特征值相同)�所以,线性变换�通过它在W的基

下所对应的矩阵求其特征值,不会由于基的不同而得到不同的结果,也就是说

�的特征值与W的基是无关的,所以特征值是线性变换�的不变量�正因为如

此,�在任何基下所对应的矩阵的特征多项式(它们都是相同的)也称为�的

特征多项式�

·���·��� 特征值与特征向量

例� 设Q��BQ�C,证明:B,C分别属于其特征值��的特征向量Y和

Z满足Z�Q��Y�证 由BY���Y及B�QCQ��,得QCQ��Y���Y,从而就有

C(Q��Y)���(Q��Y),

故(Q��Y)是C属于��的特征向量,即Z�(Q��Y)�由此例可见,如果B,C是线性变换�在基C�和基C�下对应的矩阵,则例

�中的Q是基C�变为C�的变换矩阵,Y和Z是�属于其特征值��的特征向

量�分别在基C�和基C�下的坐标�例� 设��是线性空间W(G)的线性变换�的特征值,�是�属于��的

特征向量,证明:

(�)l��,�n� 分别是l�和�n 的特征值,且�仍是相应的特征向量(其中

l��G,n ��OH�);

(�)如果g(y)�boyo�bo��yo���⋯�b�y�b�是G上的多项式,并

定义�的多项式

g(�)�bo�o�bo���o���⋯�b���b�J(其中J是W(G)的恒等变换),则g(�)(�)�g(��)��

证 (�)由假设�(�)����(�-��),即得

(l�)(�)�l(�(�))�(l��)�,

��(�)��(�(�))��(���)����(�)������用数学归纳法易证,a�n ��OH�,有�n(�)��n���故(�)的结论成立�

(�)利用(�)的结论,立即可得�如把本例中的�换为矩阵B,结论也都成立�由例�可见,线性变换�的两个特征子空间W�� 与W�� 的交为零子空间,

即W��的基��与W��的基��,��合在一起是线性无关的向量组�也就是矩阵

B属于��,��的三个特征向量Y�,Y�,Y�是线性无关的�这个结论有普遍意

义,一般的结论如下面的定理所述�定理��� 设�k和W�k(k��,⋯,n)是o维线性空间W(G)的线性变换

�的n个互不相同的特征值及相应的特征子空间,则n个特征子空间的和是

直和,即

ejn W���W���⋯�W�( )n ���n

k��ejnW�k� (����)

证 欲证X �W���⋯�W�n 是直和,只要证明X 中零向量的分解式是唯一的,

即等式

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

������⋯��n �� (�)

(其中�k��W�k,即�(�k)��k�k,k��,�,⋯,n)成立,仅当������⋯��n ���对n作归纳法�n��时,设�������,即������(其中�k��W�k,k��,�),则

�(�����)�����������(�����)�����由于��-���,得����,从而����,故结论对n ��成立�

设结论对n��成立,下面考虑为n 的情形�设

������⋯��n ��, 即 �n �� ������⋯��n�( )� � (�)

于是

� ������⋯��( )n ������⋯��n���n����n�n ��, (�)

将(�)式代入(�)式,得

����( )n ���⋯� �n����( )n �n����, (�)

其中 �k��( )n �k��W�k(k��,�,⋯,n��)�根据归纳假设,由(�)式得 �k��( )n �k�

�(其中�k-�� )n ,从而�k��(k��,�,⋯,n��)�再由(�)式又得�n ��,故结论对n成立�

由直和的等价条件及定理���,立即得以下推论:

推论� 若��,⋯,�n是�的互不相同的特征值,则

W�j����k-�jW�k�{�}, j��,⋯,n� (����)

由此又可得,�j-��k时,W�j��W�k�{�},这表明一个特征向量不能属于两个

不同的特征值�推论� �的不同特征值��,⋯,�n对应的特征向量��,⋯,�n是线性无关

的�这是因为:如果��,⋯,�n 线性相关,则存在�k可由其它特征向量线性表

出,不妨设

���d����⋯�dn�n,

于是����W������n

k��W�k,这与推论�矛盾�

推论� �的不同特征值��,⋯,�n的特征子空间W��,W��,⋯,W�n 的基向

量合在一起构成的向量组是线性无关的�这个线性无关的向量组是W���W���⋯�W�n 的基�

定理���及其推论所阐述的线性变换的特征向量的性质同样适用于矩阵

的特征向量�

��� 可对角化的条件 相似标准形

如果有限维线性空间W(G)的线性变换�在W的某个基下对应的矩阵为

·���·��� 可对角化的条件 相似标准形

对角阵,我们就称�为可对角化的线性变换�同样,与对角阵相似的矩阵B称

为可对角化矩阵�在节���中,我们讲过,S�中向量到二维子空间X 上的投影变换q有三

个线性无关的特征向量��,��,��,因此投影变换q关于S�的这组基对应的矩

阵为ejbh(�,�,�),所以投影变换q可对角化�在节���例�中,S�的线性变换�对应的三阶矩阵B有三个线性无关的

特征向量Y�,Y�,Y�,它们相应的特征值为�,��,��,如果将Y�,Y�,Y�按

列排成一个三阶矩阵Q,则有

Q��BQ�ejbh(�,��,��), 即 BYejbh(�,��,��)�这里,三维线性空间S�中的线性变换和三阶矩阵B均有三个线性无关

的特征向量,这是它们可对角化的充分必要条件,更一般的结论为:

定理��� o维线性空间W(G)的线性变换�(或B��No(G))可对角化

的充分必要条件为�(或B)有o个线性无关的特征向量�证 我们仅对B��No(G)的情形作证明:如果BY��ejbh(��,��,

⋯,�o),则存在可逆矩阵Q,使得

Q��BQ��, 即 BQ�Q�� (�)

将矩阵Q按列分块为Q� Y�,Y�,⋯,Y( )o ,代入(�)式得

B(Y�,Y�,⋯,Yo)�(Y�,Y�,⋯,Yo)

����

��

�o

� (�)

于是

BYk��kYk (Yk-��,k��,�,⋯,o), (�)

即Y�,Y�,⋯,Yo 是B的o个线性无关的特征向量,必要性得证�反之,如果B有o个线性无关的特征向量Y�,Y�,⋯,Yo,则(�)式成立,

由(�)式可得(�)式,从而(�)式成立�充分性也得证�由定理���的推论�及本定理即得:

推论 若o维线性空间的线性变换�(或o阶矩阵B)有o个互不相同

的特征值,则�(或B)可对角化�但是推论的条件对于�(或B)可对角化不是必要的,如节���例�中的�

和B可对角化,而它们有二重特征值�由定理���可见,如果o维线性空间W(G)的线性变换�的n 个互不相

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

同的特征值��,��,⋯,�n 的重数和等于o,且每个特征值的重数等于其特征

子空间的维数,则�有o个线性无关的特征向量(即n 个特征子空间的基向

量),从而�可对角化�这个条件也是�可对角化的必要条件,为要证明其必要

性,需要先证明下面的定理�定理��� o维线性空间W(G)的线性变换�的每个特征值�j的重数大

于或等于其特征子空间W�j 的维数�证 设�在W的某个基{��,��,⋯,�o}下对应的矩阵为B,且�j是其l重特征值,并

设{Y�,Y�,⋯,Yu}是矩阵B的特征子空间O(�jF�B)(简记作O�j)的基,即

ejnW�j�ejnO�j�u�

将O�j 的基扩充为Go的基{Y�,⋯,Yu,Yu��,⋯,Yo},于是,由

BYk��jYk, k��,⋯,u及

BYk�c�kY��⋯�cukYu�cu��,kYu���⋯�cokYo, k�u��,⋯,o,

B Y�,⋯Yu,Yu��,⋯,Y( )o

� Y�,⋯Yu,Yu��,⋯,Y( )o

�j ⋯ � c�,u�� ⋯ c�o… …

� ⋯ �j cu,u�� ⋯ cuo

� ⋯ � cu��,u�� ⋯ cu��,o

… …

� ⋯ � co,u�� ⋯ c

�oo

� (�)

将(�)式右端的矩阵分块表示为

�jFu C�

P C( )�

记作C,

并记(Y�,⋯,Yu,Yu��,⋯,Yo)�Q,(Q��No(G)是可逆矩阵),则由(�)式得

BQ�QC, 即 Q��BQ�C�于是

�F�B � �F�C �(���j)Fu �C�

P �Fo�u�C( )�

�(���j)u �Fo�u�C�因此,�j是B的大于或等于u重的特征值,所以l1�u�

定理���� o维线性间空间W(G)的线性变换�可对角化的充分必要条

件是:�的每个特征值的重数等于其特征子空间的维数,而且�的不同特征值

��,��,⋯,�n 的重数s�,s�,⋯,sn之和等于o�

·���·��� 可对角化的条件 相似标准形

证 充分性在定理���前已述�下面证明必要性(用反证法)�如果�在数域G上的n个不同特征值的重数和小于o,则相应的n个特

征子空间的维数和也小于o,从而�的线性无关的特征向量的个数小于o,故

�不可对角化�如果�的n 个不同特征值的重数和等于o,但有一个特征值的重数大于

其特征子空间的维数,那么由定理���可知,�的n个特征子空间的维数和必

小于o,故�也不可对角化�必要性得证�定理����自然也适用于o阶矩阵B�如果在复数域上考虑B可否对角

化,那么B可对角化的充分必要条件只需说:B 的每个特征值的重数等于其

特征子空间的维数�因为o阶矩阵B 在复数域上有o个特征值(s重特征值算

s个特征值)�对于一个o阶可对角化矩阵B,求变换矩阵Q,使Q��BQ��(对角阵),

其解题步骤如下:

(�)求出B的所有不同特征值��,��,⋯,�n,它们的重数s�,s�,⋯,sn 之

和等于o;

(�)求特征子空间O�j 的基{Yj�,Yj�,⋯,Yjsj};

(�)将n 个特征子空间的基向量依次按列排成的o阶矩阵,取作变换矩

阵Q,即

Q� Y��,⋯,Y�s�,⋯,Yn�,⋯,Yns( )n , (����)

则有

Q��BQ�ejbh(��,⋯,��,⋯,�n,⋯,�n)�对于可对角化矩阵B,如果不考虑其相似对角阵�中的对角元(即B的

特征值)的排列次序,则对角阵�是唯一确定的�在这个意义下,与B相似的

对角阵�就称为B的相似标准形�但必须注意,由(����)式所示的变换矩阵Q不是唯一的,因为每个特征

子空间O�j 的基不是唯一的�因此,可对角化的线性变换�也不是只在唯一的

一组基下对应于对角阵�例� 证明o阶幂等矩阵B(即B��B)相似于对角阵��ejbh(�,�,

⋯,�,�,⋯,�),其中�的个数等于秩(B)�证 我们从线性变换的角度来证明这个矩阵的命题�设B是���M(W,W)在W的某个基{��,��,⋯,�n}下所对应的矩阵,

于是由B��B可推出����(即�是幂等线性变换)�

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

对于o维线性空间W的幂等线性变换�,容易证明它的值域和核中的非

零向量都是其特征向量,而且值域与核之和为直和,并等于W,故�可对角化�具体证明如下:

设����(W),即存在����W,使�(�)��,于是

�(�)��(�(�))���(�)��(�)���因此,�的值域为

�(W)�{��(�)��,���W}, (�)

所以,�是�的特征值,值域中非零向量都是其特征向量�又�的核为

���(�)�{��(�)��,���W}� (�)

由(�)式可见,�是�的特征值,核中所有非零向量都是其特征向量�再由(�),

(�)式可得�(W)�����(�)�{�},而

ejn�(W)�ejn���(�)�o,

于是

�(W)����(�)�W�又因为ejn�(W)�s(�)�s(B)(设s(B)�s),所以ejn���(�)�o�s,取

值域与核的基分别为

��,��,⋯,�s 和 �s��,⋯,�o,

则由(�),(�)式得

���,⋯,�s,�s��,⋯,�( )o � ��,⋯,�s,�s��,⋯,�( )o

�����

��

设Q是基{��,��,⋯,�o}变为基{��,��,⋯,�o}的变换矩阵,便有

Q��BQ�ejbh(�,⋯,�,�,⋯,�}�此例也可用幂等矩阵的特征值和特征向量的性质给以证明(证明留给读

者作为练习,证明时要用到第�章习题�的结论)�例� S�的旋转变换s�(�_��_��)不可对角化,因为它在自然基{f�,f�}

下对应的矩阵

U�dpt� �tjo�tjo� dpt��

���

的特征方程 �F�U ������dpt�����没有实根,所以旋转变换s�在

·���·��� 可对角化的条件 相似标准形

实数域上不可对角化�例� 证明s阶上三角矩阵(s`��)

K��

�� �

�� �

� ��

��不与对角阵相似�

证 由于 �F�K� �(����)s,即��是矩阵K�的s重特征值,而秩

(��F�K�)�s��,所以��的特征子空间O��是一维的,特征值的重数大于

其特征子空间的维数,故K�不可对角化�例�中的K�称为约当块矩阵�由约当块矩阵构成的对角块矩阵

K�

K�K�

�K

�n

(����)

称为约当(Kpsebo)形矩阵,其中

Kj�

�j �

�j �

� ��

�j

, j��,⋯,n� (����)

对于约当形矩阵K,需要指出:(�)当j-�k时,可能有�j��k;(�)对角

阵是最简单的约当形矩阵(此时每个约当块都是一阶的);(�)约当块不全是

一阶的约当形矩阵是不可对角化的�可以证明:任何一个o阶矩阵B,在复数域上都相似于唯一的约当形矩阵

K(唯一性是在不考虑约当块排列次序的意义下而言的),并称K为B的相似标

准形(或B的约当标准形),于是由

Q��BQ�K, 即 BQ�QK可见,如果K如(����)式所示,则Q中有n个列向量是B分属于特征值��,

��,⋯,�n 的特征向量�反之,如果B有n 个线性无关的特征向量,则B的约

当标准形由n个约当块构成�这里的复杂性在于:如果��是�重特征值,其特

征子空间O�� 是�维的,那么相应的约当块可能有两种情况:

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

�� �

� ���� �

� �

U�U�U�U�U�U�

U�U�U�U�U�U�U�

��

���� � �

� ��� �

U�U�U�U�U�U�

U�U�U�U�U�U�U��

��

当然对于给定的矩阵B,只能是其中的某一个�关于约当标准形,我们不再深入讨论,有兴趣的读者可参阅其它高等代数

教材�

��� 实对称矩阵的对角化

实对称矩阵是一类很重要的可对角化矩阵,而且它的特征值都是实数�为了证明这个结论,我们先介绍复矩阵的共轭矩阵的概念及其基本运算�

定义��� 设B�(bjk)��Nn�o(D)(D为复数域),我们把B�(bjk)n�o叫做B的共轭矩阵,其中bjk是bjk的共轭复数�

由定义可知:O�O�B�B;(BU)�(B)U;B为实矩阵时,B�B;B为实对称

矩阵时,(B)U�B�根据定义及共轭复数的运算性质,容易证明共轭矩阵有以下性质:

(�)lB��l�B,(l��D); (�)B�C�B�C;

(�)BC��B�C; (�)(BC)U�(C)U(B)U;

(�)若B可逆,则B���(B)��;

(�)若B为方阵,则efuB�efuB;

(�)若Y�(y�,y�,⋯,yo)U,则(Y)UY���o

j��yjyj���

o

j��yj �1��,等

号成立当且仅当Y���实矩阵的特征多项式是实系数多项式,而实系数多项式的根并不一定都

是实数�但是,实对称矩阵的特征多项式的根都是实数(即特征值都是实数),

而且属于不同特征值的特征向量都是正交的�下面给以证明�定理���� 实对称矩阵B的特征值都是实数�证 设�是B的任一个特征值,即存在非零向量Y,使BY��Y�欲证�

是实数,只需证明����根据BY��Y,和(B)U�B就有

�(Y)UY�(Y)U(�Y)�(Y)UBY�(Y)U(B)UY

�(BY)UY�(�Y)UY��(Y)UY (�)

其中Y-��,即(Y)UY`��,故由(�)式得����

·���·��� 实对称矩阵的对角化

定理���� 实对称矩阵B的属于不同特征值的特征向量是正交的�证 设��,��是B的两个不同的特征值(它们都是实数),相应的特征向

量Y�,Y�显然是实向量�由BY����Y�,BY����Y�,即得

��(Y�,Y�)�(��Y�,Y�)�(BY�,Y�)�(BY�)UY��YU�BUY�

�YU�BY��(Y�,BY�)�(Y�,��Y�)���(Y�,Y�)�(�)

而��-���,所以由(�)式得(Y�,Y�)��,即Y�与Y�是正交的�定理���� 若B是一个o阶实对称矩阵,则存在o阶正交矩阵R,使得

R��BR�ejbh(��,��,⋯,�o)� (����)

证 对o作数学归纳法�o��,结论显然成立;假设定理对o��阶实

对称矩阵成立�下面证明对o阶也成立�设��是B的一个特征值,BY����Y�,其中Y�是长度为�的特征向量�

现将Y�扩充为So的一组单位正交基{Y�,Y�,⋯,Yo},于是BYk(��So)可由

这组基线性表示(k��,⋯,o),从而

B Y�,Y�,⋯,Y( )o � Y�,Y�,⋯,Y( )o

�� c�� ⋯ c�o� c�� ⋯ c�o… …

� co� ⋯ c

�oo

� (�)

记Q�(Y�,Y�,⋯,Yo)(Q为正交矩阵),并将(�)式右端的矩阵用分块矩阵

表示,则(�)式可写为

Q��BQ��� c

�C� (�)

由于Q���QU,(Q��BQ)U�QUBU(Q��)U�Q��BQ,所以Q��BQ为实对称

矩阵,因此(�)式中c��,C为o��阶实对称矩阵�根据归纳假设,存在o��阶正交阵R�,使得

R���CR��ejbh(��,⋯,�o)�取

T�� �� R�

��(T也是正交矩阵),

便有

T��(Q��BQ)T�� �

� R���

��

�� �

�C

� �� R�

��

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

��� �

� R���CR

���ejbh(��,��,⋯,�o)� (�)

于是,令R�QT(R也是正交矩阵),代入(�)式即得

R���BR��ejbh(��,��,⋯,�o),

其中��,��,⋯,�o,是B的o个特征值�定理����是一个重要的定理,它表明,任一个实对称矩阵B的相似标准

形是由其特征值排成的一个对角矩阵,而且存在正交矩阵R 作为变换矩阵,

使R��BR 为对角阵�但是定理的证明并没有提供求正交矩阵R 的方法�那

么,对于给定的一个o阶实对称矩阵B,如何求正交矩阵R,使R��BR 为对

角阵呢?

由于o阶实对称矩阵B 的不同特征值��,��,⋯,�n的特征子空间O��,

⋯,O�n 是两两正交的,而且它们的维数和等于o(这是因为B可对角化)�因

此,把不同特征子空间的单位正交基合在一起,即Y��,⋯,Y�s�,⋯,Yn�,⋯,

Ynsn 就是So的一组单位正交基,将它们按列排成的o阶矩阵R(是一个正交

矩阵),就使

R��BR�ejbh(��,⋯,��,⋯,�n,⋯,�n)� (�)

对每个特征子空间O�j(j��,⋯,n),求得任一组基后,再用Tdinjeu正交化

方法可构造出它的单位正交基�显然,使(�)式成立的正交矩阵R 不是唯一

的�例� 设

B�� � �� �

���

�� �

�� ��

求正交矩阵R,使R��BR为对角矩阵,并求Bl(l为正整数)�解

�F�B ���� �� ��� ��� �� � ���

���� �� �� ��� ��� �

����

���� �� �� ��� �� � ���

�(���)��� �� ���

�(���)�(����)�

·���·��� 实对称矩阵的对角化

对于特征值����(二重),由(��F�B)Y��即

�� �� ��� �� �� � �

��

y�y�y

��

��

���

解得特征子空间O�� 的一组基(即基础解系)

Y��(��,�,�)U, Y��(�,�,�)U�用Tdinjeu正交化方法求O�� 的单位正交基:先正交化,取

���Y��(��,�,�)U,

���Y��(Y�,��)(��,��)���(�,�,�)U����

(��,�,�)U� ��

,��

,( )�U�

再将��,��单位化,得

YH�� � � ����

,���

,( )�U

, YH�� � �����

,�����

,��( )�U

对于特征值�����,由(��F�B)Y��,即

� �� ��� � ��

�� � �

y�y�y

��

��

���

解得特征子空间O��的一组基:Y��(�,�,��)U,将其单位化,得O��的单位

正交基

YH�� ���

,��

,��( )�U�

取正交矩阵

R� YH�� YH�� YH��

�� �

� ����

�����

��

���

�����

��

� ���

��

��

则有

R��BR �ejbh(��,��,��)�ejbh(�,�,��)�将上式的ejbh(�,�,��)记作�,则

B�R�R��,

从而

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

Bl�(R�R��)l�R�lR���这里R���RU,(�)l�ejbh(�,�,��l),于是容易求得

Bl���

����l �(�����l)�(����l)

�(�����l) ���·��l �(����l)

�(����l) �(����l) ���·��

�l�

在一些实用的问题中,常要求矩阵B的l次方�如果BY�(对角阵),则

按上例的方法容易求得Bl;一般的矩阵B在复数域上相似于约当形矩阵K,而

Kl是易求的,因为将其中的每个约当块Kj表示为

Kj�

�j �

� �

�j �

�j

��jF�

� �

� �

��

按第�章节���中的(����)式,容易求得Klj�因此求Bl的问题在理论上完满

地解决了�但实际上求一般的三阶实矩阵的特征值也不是轻而易举的,所以,

有关特征值的计算问题,会在《计算方法》课程中专门讨论�例� 证明:若o阶实对称矩阵B和C的特征值相同,则BYC,且存在

正交矩阵R使R��BR�C�证 设��,��,⋯,�o是B和C的特征值,则存在正交阵R�和R�,使得

R���BR��ejbh(��,��,⋯,�o)�R���CR�,

于是

R�R���BR�R��� �C�令R �R�R���(R是正交矩阵,且R���R�R��� ),就有

R��BR�C�事实上,对任意两个可对角化的同阶矩阵B 和C它们相似的充分条件

是,它们的特征值相同�当然,此时对非实对称矩阵B,C,一般不存在正交矩

阵R,使R���BR��C�最后,我们再附带地说一下:o阶实对称矩阵是o维欧氏空间W(S)的对称变换,在单

位正交基{��,⋯,�o}下所对应的矩阵�所谓欧氏空间W(S)的对称变换�,即�是W(S)的

一个线性变换,而且a��,���W,都有

(�(�),�)�(�,�(�))�投影变换和镜象变换都是对称变换�事实上对于镜象变换

·���·��� 实对称矩阵的对角化

�(�)����(�,�)�(其中�是与镜面正交的单位向量),a��,���W(S),有

(�(�),�)�(���(�,�)�,�)�(�,�)��(�,�)(�,�)

�(�,���(�,�)�)�(�,�(�))�

��� 双线性函数H� 二次型

二次型是线性代数中的一个专题,它在几何、力学、物理和最优化等问题

中有很多重要用途�一个o元二次型就是一个o元二次齐次函数�下面,我们

先介绍双线性函数的概念及其矩阵表示�定义��� 我们称g为线性空间W(G)上的一个双线性函数,如果g是W�W到G的

映射,而且a��,�,�j,�j��W,lj��G(j��,�),均有

(�)g(�,l����l���)�l�g(�,��)�l�g(�,��),

(�)g(l����l���,�)�l�g(��,�)�l�g(��,�)�由定义可见,W上的双线性函数g(�,�)对两个变元�,�都是线性函数,即将其中一

个变元固定时是另一个变元的线性函数�同样可以定义线性空间W(G)上的多重线性函数g(��,��,⋯,�o)�数域G上的o阶

行列式E(��,��,⋯,�o)实际上就是Go上的一个o重线性函数�例� 欧氏空间W(S)上的内积(�,�)是W(S)上的一个双线性函数�例� 如果g�(�),g�(�)是线性空间W(G)上的两个线性函数,则

g(�,�)�g�(�)g�(�) (a��,���W)

是W上的一个双线性函数�以上二例的验证留给读者去完成�例� 设B��No(G)是一个固定的矩阵,则

g(Y,Z)�YUBZ�(Y,BZ)

(其中Y,Z是Go中任意两个列向量)是Go上的一个双线性函数�事实上,a�Y�,Y���Go

和a�l�,l���G,

g(l�Y��l�Y�,Z)�(l�Y��l�Y�)UBZ�l�YU�BZ�l�YU�BZ

�l�g(Y�,Z)�l�g(Y�,Z),

所以,g对Y是线性函数;同理可证,g对Z也是线性函数,即

g(Y,l�Z��l�Z�)�l�g(Y,Z�)�l�g(Y,Z�)�现在,我们来讨论o维线性空间W(G)上的双线性函数g(�,�)的矩阵表示�

设C�{f�,f�,⋯,fo}是W(G)的一组基,W中向量�,�关于基C的坐标分别为:

Y�(y�,⋯,yo)U, Z�(z�,⋯,zo)U,

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

����o

j��yjfj, ����

o

k��zkfk, (�)

于是

g(�,�)�g ��o

j��yjfj,��

o

k��zkf( )k ���

o

j����o

k��yjzkg(fj,fk)� (�)

令bjk�g(fj,fk)(j,k��,⋯,o),则

g(�,�)���o

j����o

k��bjkyjzk���

o

j��yj(bj�z��bj�z��⋯�bjozo)

� y�,y�,⋯,y( )o

b��z��b��z��⋯�b�ozo

b��z��b��z��⋯�b�ozo⋯⋯

bo�z��bo�z��⋯�booz

�o

� y�,y�,⋯,y( )o

b�� b�� ⋯ b�o

b�� b�� ⋯ b�o… …

bo� bo� ⋯ b

�oo

z�

z�…

z

�o

�YUBZ� (�)

其中B�(bjk)o�o�(g(fj,fk))o�o称为双线性函数g(�,�)在基C下的度量矩阵�显然,

如果已知一个双线性函数在一组基下的度量矩阵,就可算出任意向量�,�所对应的函数

值�从上面的讨论可见:取定了W的一组基,每个双线性函数g都对应于唯一的一个矩阵

B(即在基下的度量矩阵)�而且不同的双线性函数g�,g�必对应不同的矩阵(因为如果g�,

g�对应同一个矩阵,由(�)式可得g��g�;反之,任给No(G)中的一个矩阵B,如果对W中任意向量�,�定义如(�)式所示的一个函数g(�,�),则容易验证g(�,�)是一个双线

性函数,而且由(�)式容易算得g(fj,fk)�bjk(j,k��,⋯,o),即B就是这个双线性函数

所对应的度量矩阵�因此,给定了o维线性空间W(G)的一组基后,W 上的双线性函数与

No(G)中的矩阵一一对应,所以双线性函数可用它的度量矩阵表示�当然,一个双线性函数在W的不同基下的度量矩阵一般是不同的,其结论如下:

定理���� 设线性空间W(G)的双线性函数g(�,�)在基C��{��,��,⋯,�o}和C��{��,��,⋯,�o}下的度量矩阵分别为B和C,如果

(��,��,⋯,�o)�(��,��,⋯,�o)D,

C�DUBD� (����)

证 设B�(bjk)o�o,bjk�g(�j,�k);C�(cjk)o�o,cjk�g(�j,�k);

D�(djk)o�o,DU�(d�jk)o�o,其中d�jk�dkj(j,k��,�,⋯,o),于是

cjk�g(�j,�k)�g ��o

l��dlj�l,��

o

n��dnk�( )n ���

o

l����o

n��dljdnkg(�l,�n)

·���·��� 双线性函数H� 二次型

���o

l����o

n��dljdnkbln ���

o

n����o

l��d�jlb( )ln dnk

���o

n��

(DUB)jndnk�(DUBD)jk,j,k��,⋯,o,

所以C�DUBD�定义��� 我们称o阶矩阵B相合于C(记作BW�C),如果存在可逆矩

阵D,使得

C�DUBD�容易验证,矩阵的相合(或说:合同)关系也是集合No(G)中的一种等价

关系,即相合关系具有:

(�)自反性,即a�B��No(G),BW�B;

(�)对称性,即若BW�C,则CW�B;

(�)传递性,即若BW�C,CW�D,则BW�D�这个关系说明,W(G)上的双线性函数g(�,�)对不同的基的度量矩阵是一个等价

类,它们可以看成是“一样的”�定义���� 线性空间W(G)上的一个双线性函数g(�,�),如果a��,���W,都有:

(�)g(�,�)�g(�,�),则g(�,�)叫做对称双线性函数;

(�)g(�,�)��g(�,�),则g(�,�)叫做反对称双线性函数�例如:欧氏空间上的内积(�,�)是对称的双线性函数;数域G上的o阶行列式E(��,

��,⋯,�o)是反对称的o重线性函数�显然,对称双线性函数在W(G)的一组基C�{��,��,⋯,�o}下对应的度量矩阵B�

(bkj)o�o是数域G上的对称矩阵,因为

bjk�g(fj,fk)�g(fk,fj)�bkj (j,k��,⋯,o)�反对称双线性函数在基C下对应的度量矩阵B是数域G上的反对称矩阵�

定义���� o个元y�,y�,⋯,yo 的二次齐次多项式

g(y�,y�,⋯,yo)���o

j��bjjy�j� ��

�0�j_�k0�o�bjkyjyk (����)

�b��y����b��y�y���b��y�y��⋯��b�oy�yo�b��y����b��y�y��⋯��b�oy�yo

�⋯�bo��,o��y�o����bo��,oyo��yo�booy�o(其中系数bjk是数域G中的数),叫做数域G上的o元二次型(简称二次型)�

我们主要研究实数域上的二次型(简称实二次型),以后说到二次型,如不

加说明,都是指实二次型�如果令bkj�bjk(�0�j_�k0�o),则(����)式如前面的(�)式那样可以

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

表示为

g(y�,y�,⋯,yo)���o

j����o

k��bjkyjyk�YUBY, (����)

其中Y�(y�,y�,⋯,yo)U��So,B�(bjk)o�o是实对称矩阵,并称对称矩阵

B为(����)式所示的二次型的矩阵�(����)式恰是o维线性空间W(G)上的对称双线性函数g(�,�),当���时,g(�,

�)在W的基C��{��,��,⋯,�o}下的坐标表示式,即

g(�,�)���o

j����o

k��bjkyjyk�YUBY, (����)

其中(�)C��Y�(y�,y�,⋯,yo)U,B是g(�,�)在基C�下的度量矩阵�因此,(����)式所示的o元二次型(令bjk�bkj),是与o维线性空间W(G)上的对称

双线性函数g(�,�)一一对应的,也就是与对称矩阵是一一对应的�双线性函数在不同基下的度量矩阵是相合的�根据定理����的结论,如果对�作坐标

变换,令�在基C�和基C�下的坐标分别为Y和Z(Y�DZ,D为基C�变为基C�的变换

矩阵),则(����)式的g(�,�)在基C�下的坐标表示式为

g(�,�)�ZU(DUBD)Z� (����)

这与Y�DZ直接代入(����)式所得的结果是一致的�因此,对于一个对称双线性函数,我们自然希望找到一组基,使得g(�,�)在这组基下

的坐标表示式最简单�显然,如果(DUBD)�ejbh(e�,e�,⋯,eo),则

ZU(DUBD)Z�e�z���e�z���⋯�eoz�o (����)

是g(�,�)的一个最简单的坐标表示式�并把它叫做g(�,�)�YUBY 的标准形�下一节,我们将论述,对于任一个实对称矩阵,都存在可逆矩阵D,使得

DUBD�ejbh(e�,e�,⋯,eo),并将这个对角阵叫做B的相合标准形�

��� 实二次型的标准形 实对称矩阵的相合标准形

在节���中讲过,任一个o阶实对称矩阵B,都存在正交矩阵R,使得

R��BR�RUBR�ejbh(��,��,⋯,�o),

所以,实对称矩阵的相似标准形也是它的相合标准形�相应地,对o元二次型

g(y�,y�,⋯,yo)�YUBY作坐标变换Y�RZ(这是正交变换),就得到它的一个标准形,即

g(y�,y�,⋯,yo)�YUBY�ZU(RUBR)Z���z���⋯��oz�o,

于是有下面的重要定理�定理����(主轴定理) 对于任一个o 元二次型g(y�,y�,⋯,yo)�

·���·��� 实二次型的标准形 实对称矩阵的相合标准形

YUBY,都存在正交变换Y�RZ,使得

YUBY�ZU(RUBR)Z���z���⋯��oz�o� (����)

其中��,⋯,�o是实对称矩阵B的o个特征值,R的o个列向量是B属于��,

⋯,�o的o个单位正交的特征向量�

例� 对二次型g(y�,y�)�y����y��� ���y�y�作正交变换,将其化为

标准形,并给出变换矩阵�解 二次型所对应的矩阵为

B��� �

�� �

��B的特征多项式�F�B �(���)(���),对特征值����,�����,容

易求得特征子空间O�� 和O�� 的单位正交基为:

��� ���,�( )��U

和 ��� ����,�( )��U

取正交矩阵

R�(��,��)���� ������� �

���

, 则 RUBR�� �� ���

����

于是,对二次型g(y�,y�)�YUBY(作坐标变换Y�RZ(即将坐标轴绕原点

按逆时方向旋转�角(��bsdubo(���

)),可将其化为标准形:

YUBY�ZU(RUBR)Z��z����z���对二次曲线方程g(y�,y�)�y����y��� ���y�y���,按例�的方法作

坐标变换(坐标轴旋转)Y�RZ,即可将其化为标准方程

�z����z���z��

�( )����

z��

�( )������

这是一条双曲线,它的实半轴和虚半轴分别是两个特征值的倒数的平方根�这显然是二次曲线(或说二次型矩阵)的不变量�如果双曲线上的点Q关于自然

基{f�,f�}的坐标为(y�,y�),则点Q关于基{��,��}的坐标为(z�,z�),这里

的{��,��}是两个特征值的单位正交的特征向量,它们的方向是双曲线实轴

和虚轴的方向(如图���),因此定理����也称为主轴定理�例� 求三元二次齐次函数

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

图���

g(y�,y�,y�)��y�y���y�y���y�y�在Y�(y�,y�,y�)U满足条件YUY�y���y���y����时的最小值�

解 先对二次型g(Y)�YUBY作正交变换Y�RZ,将其化为标准形

��z�����z�����z��,然后在条件YUY�ZURURZ�ZUZ�z���z���z����下讨论函数的最小值�该二次型对应的实对称矩阵为

B�� � �� � �

�� � �

它的特征多项式 �F�B �(���)(���)��对于特征值�����,求得一个特征向量(�,��,�)U,将它单位化,得

������

,����

,��( )�

U

对于特征值����,求得两个线性无关的特征向量(�,�,�)U,(��,�,

�)U;再用Tdinjeu正交化方法,得两个单位正交的特征向量

������

,���

,( )�U

,��� ����

,���

,��( )�

U

取正交矩阵

R�(��,��,��)�

���

���

����

����

���

���

���

� ��

��

则有

·���·��� 实二次型的标准形 实对称矩阵的相合标准形

RUBR�ejbh(��,�,�)�对二次型g(Y)�YUBY作正交变换Y�RZ,得

g(Y)�ZU(RUBR)Z���z���z���z��� (�)

相应地,条件YUY�y���y���y����化为

ZU(RUR)Z�ZUZ�z���z���z����� (�)

于是原题化为对(�)式的三元二次齐次函数在满足条件(�)时求其最小值�此时,显然有

g(Y)���z���z���z��1���z���z���z( )�� ���又当Z�(z�,z�,z�)U�(��,�,�)U时,g���,所以g满足条件(�)的最

小值gnjo���,而且它仅在Z��(�,�,�)U和Z��(��,�,�)U处取得最小

值�回到变元Y �(y�,y�,y�)U,则g(y�,y�,y�)在Y��RZ��������

,����

,��( )�

U和Y��RZ�������

���

,����

,��( )�

U处取得最小值�

o元二次型g(Y)�YUBY,也可以通过一般的坐标变换Y�DZ(称为

仿射变换,矩阵D可逆)化为标准形,即

ZU(DUBD)Z�e�z���⋯�eoz�o�即对任一个实对称矩阵B,都存在变换矩阵D,使得

DUBD�ejbh(e�,⋯,eo)�但要注意:这里的e�,⋯,eo一般不是B的特征值,矩阵D的列向量一般也不

是B的特征向量�这里常用的方法是“配方法”和“初等变换法”�下面,我们通过例题介绍

这两种方法�例� 用配方法把三元二次型

g(y�,y�,y�)��y����y���y����y�y���y�y���y�y�化为标准形,并求所用的坐标变换Y�DZ及变换矩阵D�

解 先按y��及含有y�的混合项配成完全平方,即

g(y�,y�,y�)��y����y�(y��y�)�(y��y�)( )�

��(y��y�)���y���y����y�y�

��(y��y��y�)��y���y����y�y��在上式中,再按y����y�y�配成完全平方,于是

g(y�,y�,y�)��(y��y��y�)��(y���y�)���y��� (�)

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

z��y��y��y�z��y���y�z��y�

��

� ,

(�)

将(�)式代入(�)式,得二次型的标准形

g(y�,y�,y�)��z���z����z���从(�)式中解出y�,y�,y�,得

y�y�y

��

�� �� �� � �

��

�� � �

z�z�z

��

� (�)

(�)式是化二次型为标准形所作的坐标变换Y�DZ(变换矩阵D是(�)式中

的三阶矩阵)�例� 对三元二次型

g(y�,y�,y�)��y�y���y�y���y�y� (�)

作坐标变换Y�D[,将其化为标准形�解 此时欲用配方法,先要作如下的坐标变换:

y��z��z�y��z��z�y��z

��

� �

, 即

y�y�y

��

�� � �� �� ��

�� � �

z�z�z

��

� (�)

将(�)式记为Y�D�Z,并代入(�)式,得

g(y�,y�,y�)��z����z����z�z���z����(z��z�)���z���(�)

{��z�{��z��z�{��z�

��

� ,

z�z�z

��

�� � �� � ���

�� � �

{�{�{

��

� (�)

将(�)式记为Z�D�[,并代入(�)式,得二次型的标准形

g(y�,y�,y�)��{����{����{���此时所作的坐标变换为Y�D�Z�D�(D�[)�(D�D�)[,其变换矩阵D�

·���·��� 实二次型的标准形 实对称矩阵的相合标准形

(D�D�),即

D�� � �� �� ��

�� � �

� � �� � ���

�� � ��� � ��� �� ��

�� � ��

按例�、例�提供的方法,任何o元二次型都可用配方法化为标准形,相应

的变换矩阵为主对角元为�的上三角矩阵和例�中的(�)式类型的对角块矩

阵,或者是这两类矩阵的乘积�任一个o阶实对称矩阵B,也都可以通过一系列相同类型的初等行、列变换化成其相

合标准形(对角形矩阵)�所谓相同类型的初等行、列变换指的是:

(�)如果用倍加初等阵Fkj(d)右乘B(即B的第j列乘d加到第k列),那么再相应地

用FUkj(d)�Fjk(d)左乘BFkj(d)(即列变换后的B的第j行乘d加到第k行)�变换后的矩

阵FUkj(d)BFkj(d)仍是对称阵�(�)如果用Fj(d)右乘B,则再用FUj(d)左乘BFj(d),即B的第j列和第j行都乘非

零常数d,显然FUj(d)BFj(d)仍是对称阵�(�)如果用Fjk右乘B,则再用FUjk左乘BFjk,即B的第j列与第k列对换后,再将第j

行与第k行对换位置,如此所得的FUjkBFjk也是对称阵�对于一个o阶实对称矩阵

B�

b�� b�� ⋯ b�o

b�� b�� ⋯ b�o… …

bo� bo� ⋯ b

�oo

(�)如果b��-��,由于b�k�bk�(k��,�,⋯,o),因此对B作相同的倍加行、列变换

可将第�行与第�列的其它元素全化为零,得

b�� �

� B( )�

其中B�为o��阶实对称矩阵�(�)如果b����,但存在bjj-��,此时,先将第�列与第j列对换,再将第�行与第j行

对换,把bjj换到�行,�列的位置,就化为(�)的情况�(�)如果bjj��(j��,�,⋯,o),bjk-��,此时,可将第k列加到第j列,将第k行加到

第j行,如此j行j列元素化为�bjk-��,这就化为(�)的情况�这样,我们就可用数学归纳法证明:对任一个o阶实对称矩阵B,都存在初等矩阵Q�,

Q�,⋯,Ql,使得

QUl⋯QU�QU�BQ�Q�⋯Ql�ejbh(e�,e�,⋯,en)�

这时使B相合于对角阵的变换矩阵为

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

D�Q�Q�⋯Ql�FQ�Q�⋯Ql�

因此,对B作的列变换同样施加于单位矩阵F,即得变换矩阵D�例� 用初等变换法将例�的二次型YUBY�g(y�,y�,y�)��y�y���y�y��

�y�y�化为标准形,并求所作的坐标变换Y�DZ的变换矩阵D�

解 将二次型矩阵B与单位矩阵F排成 B( )F ,对B作相同类型的初等行、列变换使

之化为对角阵,相应地,对F作同样的初等列变换,F就化为变换矩阵D�(以下(j),[k]分

别表示j列k行)�

B( )F �

� � �� � �

�� � �

� � �

� � �

U�U�U�U�U�

�� � �

(�)�(�)[�]�[�]

(�)�(�A�)

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

U�U�U�

�� � �

(�)�(�)�(��/�)[�]�[�]�(��/�)

(�)�(�)�(��/�A�)

� � �

� ���

� � �

� ��� �

� �� �

U�U�U�U�

�� � �

(�)�(�)��[�]�[�]��(�)�(�)�

A��

� � �

� ���

� � �

� ��� ��

� �� �

U�U�U�U�U�

�� � �

于是,取

D�

� ��� ��

� �� �

�� � �

就有DUBD�ejbh�,���,( )� ,相应地作坐标变换Y�DZ,则二次型化为标准形,即

YUBY��z���z�����z

���

从例�、例�和例�可见,用三种不同的方法把同一个二次型化成了三个

不同的标准形,即同一个三阶实对称矩阵B相合于三个不同的对角阵:

ejbh(��,�,�); ejbh(�,��,�); ejbh�,���,( )� ,

但是它们的对角元中都有两个正数,一个负数�事实上,容易证明(留给读者证明)

·���·��� 实二次型的标准形 实对称矩阵的相合标准形

上面三个对角阵都相合于对角阵ejbh(�,�,��)�从而B也相合于这个对角阵�一般,我们把实对称矩阵B的相合标准形

ejbh(�,⋯,�,��,⋯,��,�,⋯,�)

叫做B的相合规范形,其中��的个数和��的个数分别叫做B的正惯性指

数和负惯性指数�由

DUBD���ejbh(�,⋯,�,��,⋯,��,�,⋯,�)

及D为可逆矩阵,立即可得

秩(B)�秩(�)�B的正、负惯性指数之和�显然,当B为满秩矩阵时,其相合规范形的主对角元中没有数零�

定理����(惯性定理) 实对称矩阵B的正、负惯性指数是由B唯一确

定的�证 如果对实二次型g�YUBY作坐标变换Y�CZ,和Y�D[(C,

D是可逆矩阵),分别使之化为相合规范形

g�z���⋯�z�q�z�Q���⋯�z�s (�)

g�{���⋯�{�l�{�l���⋯�{�s, (�)

其中s为B的秩,则必有q�l�我们用反证法:

假设q`�l,此时(�),(�)式可写为

g�z���⋯�z�q�z�Q���⋯�z�s

�{���⋯�{�l�{�l���⋯�{�s� (�)

由[�D��Y�(D��C)Z�EZ(其中E�D��C),即

{��e��z��e��z��⋯�e�ozo{��e��z��e��z��⋯�e�ozo

⋯⋯

{l�el�z��el�z��⋯�elozo⋯⋯

{o�eo�z��eo�z��⋯�eoozo

� �

(�)

为了从(�)式中找到矛盾,我们令{��{��⋯�{l��,zq���⋯�zo��,

再利用(�)式,得到z�,z�,⋯,zo 的方程组

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

e��z��e��z��⋯�e�ozo��

e��z��e��z��⋯�e�ozo��⋯⋯

el�z��el�z��⋯�elozo��

zq����⋯⋯

zo��

� �

(�)

齐次线性方程组(�)有o个未知量,但方程个数�l�(o�q)�o�(q�l)_�o,故必有非零解�由于zq���⋯�zo��,所以(�)的非零解中必是

z�,z�,⋯,zq 不全为零,将其代入(�)式,得

g�z���⋯�z�l�z�l���⋯�z�q`��� (�)

将(�)的非零解代入(�)式得到{�,{�,⋯,{l,⋯,{o的一组值(这时{��{��⋯�{l��),将它们再代入(�)式,又得

g��{�l���⋯�{�q�{�q���⋯�{�o0��, (�)

(�),(�)二式显然是矛盾的,故假设的q`�l不能成立,即必有q0�l�同理可证l0�q,因此必有q�l�从定理����可知,一个实对称矩阵B的相合规范形是唯一的;两个o阶

实对称矩阵B和C相合的充分必要条件是它们的正、负惯性指数分别相等;

全体o阶实对称矩阵按相合关系可以划分为(o��)(o��)�

个等价类�

��� 正定二次型与正定矩阵 其它有定二次型

正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问题中有着广泛的应用,

讨论多元函数极值的充分条件也要用到它�定义���� o元实二次型g(y�,y�,⋯,yo)�YUBY 称为正定二次型,

如果a�Y-��,(Y��So)恒有YUBY`��;正定二次型YUBY所对应的矩阵

B叫做正定矩阵�由定义可得以下两个基本结论:

(�)o元实二次型(标准形)

g�(y�,y�,⋯,yo)�e�y���e�y���⋯�eoy�o正定的充分必要条件是ej`��(j��,�,⋯,o)�

充分性是显然的,其必要性可用反证法证明,设存在,ej0��,于是取

·���·��� 正定二次型与正定矩阵 其它有定二次型

yj��,yk��(k-�j),便有

g(�,⋯,�,�,�,⋯,�)�ej0��,

这与二次型正定相矛盾�(�)对正定二次型g�YUBY作坐标变换Y�DZ(D为可逆矩阵),所得

的二次型

g�ZU(DUBD)Z也是正定的�这是因为:a�Z�-��,相应的Y��DZ�-��(如果Y���,则

Z��D��Y���),于是由g�YUBY的正定性,即得

g�ZU�(DUBD)Z��YU�BY�`���这表明,对二次型作坐标变换,其正定性不变�

由以上两个基本结论可见,一个二次型的正定性可由其相合标准形(或规

范形)来判定�定理���� 对于o阶实对称矩阵B,下列命题等价:

(�)YUBY是正定二次型(或B是正定矩阵);

(�)B的正惯性指数为o,即BW�F;

(�)存在可逆矩阵Q,使得B�QUQ;

(�)B的o个特征值��,��,⋯,�o 都大于零�证 (�)n�(�) 由上述两个基本结论即得正定矩阵BW�F,即对正定二

次型YUBY作坐标变换所化成的相合规范形必为

YUBY�z���z���⋯�z�o�(�)n�(�) 设B W�F,即存在可逆阵D,使得DUBD �F,由此即得

B�(DU)��D��,令Q�D��,则QU�(DU)��,于是B�QUQ�(�)n�(�) 设�是B 的任一个特征值,于是存在实向量Y -��,使得

BY��Y�由已知条件B�QUQ,得

(QUQ)Y��Y,

从而有

(YUQU)(QY)��(YUY),

(QY,QY)��(Y,Y)�由Q是可逆矩阵和Y-��,可得QY-��,因此上式中的两个内积都大于零,故

�`���(�)n�(�) 对于o元实二次型YUBY,存在正交变换Y�RZ,使得

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

YUBY���z�����z���⋯��oz�o�于是,由��,⋯,�o都大于零即得YUBY是正定二次型�

例� 证明:若B是正定矩阵,则B��也是正定矩阵�证 由定义����可知,正定矩阵是实对称矩阵,由定理����又知,正定

矩阵B是可逆的,且(B��)U�(BU)���B��,因此B��也是实对称矩阵�证明其正定性的方法很多�

方法� 对二次型YUB��Y作坐标变换Y�BZ,得

YUB��Y�ZUBUB��BZ�ZUBZ�由ZUBZ正定,可知YUB��Y也正定,故B��是正定矩阵�

方法� 由于BW�F,即存在可逆阵D使得DUBD�F,将两边求逆,得

(D��)B��(D��)U�F,故B��W�F,因此B��是正定的�方法� 由于B正定,所以存在可逆阵Q,使得B�QUQ,于是B���

Q��(Q��)U,因此B��也正定�方法� 由于B的o个特征值都大于零,所以存在正交阵R,使得

R��BR�ejbh(��,��,⋯,�o),

从而

R��B��R�ejbh���

,���

,⋯,��( )o�

因此B��的o个特征值���

,⋯,��o

也都大于零,故B��正定�

例� 判断三元二次型

g(y�,y�,y�)�y���y���y���y�y��y�y�是否是正定二次型�

解法� 二次型的对应矩阵

B�

� ��� �

��� � ��

� ��

��

的特征多项式 �F�B �(���)(���)��( )�� ,特征值����,���

�����,�����

���

都大于零,所以二次型正定�

解法� 用配方法得

·���·��� 正定二次型与正定矩阵 其它有定二次型

g(y�,y�,y�)� y��y�( )�

���� y��

��y( )�

���y��� (�)

显然g(y�,y�,y�)1��,等号成立当且仅当

y��y�( )� ��, y��

��y( )� ��, y���,

即y��y��y���,故二次型正定�此时也可由(�)式得二次型的标准形

g�z�����z

�����z

��,

从而判定g(y�,y�,y�)是正定的�下面,我们从二次型矩阵B的子式,来判别二次型YUBY的正定性�先给

出B正定的两个必要条件,再给一个充分必要条件�定理���� 若o元二次型YUBY正定,则

(�)B的主对角元bjj`��(j��,�,⋯,o);

(�)B的行列式efuB`���证 (�)因为

YUBY���o

j����o

k��bjkyjyk

正定,所以取Yj�(�,⋯,�,�,�,⋯,�)(其中第j个分量yj��),便必有Y�jBYj�bjjy�j�bjj`��(j��,⋯,o)�

(�)因为B正定,所以存在可逆矩阵Q,使得B�QUQ,从而

B � QU Q � Q �`���或根据正定矩阵B的特征值都大于零,得 B �����⋯�o`���

根据定理����,容易判别

B�� ���

��� �

, C�� � �� � ��

�� � �都不是正定矩阵,因为 B ���_��;C有一个主对角元为��

定理���� o元二次型YUBY正定的充分必要条件为B的o个顺序主子

式(左上角主子式)都大于零,即

efuBl�efu

b�� b�� ⋯ b�lb�� b�� ⋯ b�l

… …

bl� bl� ⋯ b

�ll

`��, l��,�,⋯,o�

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

证 必要性�取Yl�(y�,⋯,yl)U-��,Y�(y�,⋯,yl,�,⋯,�)U�(YUl,�Uo�l)U-��,则有

YUBY� YUl,�Uo�( )lBl H��

H� H��

Yl�o�

�l�YUlBlYl`��,

即对一切Yl-��,恒有YUlBlYl`��,所以y�,⋯,yl的l元二次型YUlBlYl是

正定的,因此,由定理����得efuBl`��(l��,⋯,o)�充分性�对o用数学归纳法�当o��时,b��`��,YUBY�b��y��`��

(a�y�-��),命题成立;假设命题对o��元二次型成立;下面证明对o元二

次型也成立�将B分块表示为

B�Bo�� �

�U b

�oo,

其中��(b�o,b�o,⋯,bo��,o)U�根据定理����,只需证明BW�F�取

D��Fo�� �B��o���

��, 则 DU��

Fo�� �

��UB��o��

���

于是

DU�BD��Bo�� �

� boo��UB��o��

���

记c�boo��UB��o���,由于 B `��,Bo�� `��,从上式即得c`���根据

归纳假设,Bo��正定,故存在o��阶可逆矩阵Q,使得QUBo��Q�Fo��,因

此再取

D��Q �

� ��

�c, DU��

QU �

� ��

�c

就有

DU� DU�BD( )� D��F, 故 BW�F�用定理����容易判断例�的二次型是正定的,因为二次型矩阵B的三个

顺序主子式:

B� ��`��, B� ���`��

, B� � B ���`���

例� 证明:若B是o阶正定矩阵,则存在正定矩阵C,使得B�C��证 因为正定矩阵B是实对称矩阵,所以存在正交阵R,使得

·���·��� 正定二次型与正定矩阵 其它有定二次型

B�R ejbh(��,��,⋯,�o( ))RU

其中�j`��(j��,�,⋯,o),于是存在正定矩阵

C�R ejbh �� �,�� �,⋯,��( )( )o RU

使得B�C��这里的C通常记作B���

例� 设B为o阶正定矩阵,Y�(y�,⋯,yo)U��So,c是一固定的实

o维列向量�证明:

q(Y)�YUBY� �YUc

在Y��B��c处取得最小值,且qnjo����c

UB��c�

证 当B为一阶正定矩阵时,B�(b),b`��,Y�(y)U��S�,q(y)

���by��cy是一条抛物线,它在y�cb

处,取得最小值qnjo��c��b�

本例

是把一元二次函数的最小值问题推广到o元二次函数(其二次项部分是正定

二次型)�这里欲证q(Y�)是q(Y)的最小值,只要证恒有q(Y)�q(Y�)1���由

于c�BY�,所以

q(Y)�q(Y�)���YUBY�YUc���Y

U�BY��YU�c

���YUBY�YUBY��

��Y

U�BY�� (�)

又因为YUBY�是一阶矩阵,所以

YUBY��(YUBY�)U�YU�BY���Y

U�BY�

��Y

UBY�� (�)

将(�)式代入(�)式,即得

q(Y)�q(Y�)���(Y�Y�)UB(Y�Y�)�

因此,由B 的正定性,即得 a�(Y�Y�)-��,即 a�Y -�Y�,恒有q(Y)�q(Y�)`��,故q(Y�)是q(Y)的最小值,且

qnjo�q(Y�)���YU�BY��YU�c��

��Y

U�c

����(B��c)Uc����c

UB��c�

最后,我们再简要地介绍一下负定二次型,半正定、半负定二次型以及不

定二次型�

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

定义���� 如果o元实二次型YUBY满足a�Y-��,恒有:

(�)YUBY_��,则称之为负定二次型,相应地称B为负定矩阵;

(�)YUBY1��,则称之为半正定二次型,相应地称B为半正定矩阵;

(�)YUBY0��,则称之为半负定二次型,相应地称B为半负定矩阵�不是正定、半正定、负定、半负定的二次型叫做不定二次型�根据定义,同样可以证明:

对二次型作坐标变换,其负定性、半正定性、半负定性及不定性都不变�o元二次型YUBY:负定的充要条件是B的负惯性指数等于o;半正定的

充要条件是B 的正惯性指数等于s(B)(当s(B)_�o时,存在Y -��,使

YUBY��);半负定的充要条件是B的负惯性指数等于s(B)(当s(B)_�o时,存在Y-��,使YUBY��)�如此,读者也不难写出如定理����那样的有

关负定、半正定、半负定的其它等价命题�B负定与(�B)正定是等价的�所以实对称矩阵B负定的充要条件是B

的奇数阶顺序主子式都小于零,B的偶数阶顺序主子式都大于零�必须注意,实对称矩阵B的各阶顺序主子式1��不是B半正定的充分必

要条件,它的充分必要条件应是B的各阶主子式1��(证明留给有兴趣的读者

自己去完成)�

习 题

��求b,c,d,e,f,使R为正交矩阵

R�

b �����

c d e

�����

�f

��证 明:任 一 个 方 阵 如 果 有 三 个 性 质(对 称 阵、正 交 阵、对 合 阵 即

B��F)中的任两个性质,则必有第三个性质���验证下列矩阵是对称阵、正交阵和对合阵:

(�)

�� ��� ���

����� ���

��� ���

���

; (�)��

� � � �� � �� ��� �� � ��� �� �

�� �

·���·习 题

��证明:若B是正交矩阵,则其伴随矩阵BH� 也是正交矩阵���证明:(�)若efuB��,则B为正交矩阵k�B的每个元素等于自己的

代数余子式;

(�)若efuB���,则B为正交矩阵k�B的每个元素等于其代数余子式

乘(��)���证明:如果三角矩阵B是正交矩阵,则B必是主对角元为�或(��)的

对角矩阵��H��设B为正交矩阵,已知F�B可逆,证明:

(�)(F�B)(F�B)��可交换;

(�)(F�B)(F�B)��为反对称矩阵��H��证明:欧氏空间的一组单位正交基变为另一组单位正交基的变换矩

阵是正交矩阵���利用转轴与移轴,化简下列二次曲线的方程,并画出它们的图形�

(�)�y���yz��z����y���z�����;

(�)y���yz�z���y�z����;

(�)�y����yz���y���z�����;

(�)y���yz�z���y��z������利用不变量与半不变量,判断下列二次曲线的类型,并求化简后的方

程和标准方程�(�)y���yz�z���y��z����;

(�)�y���yz��z���y��z����;

(�)y���yz��z���y��z��;

(�)y���yz��z���y��z����;

(�)y���yz��z���y��z���������已知S�的一个线性变换

�(y�,y�,y�)�(�y���y�,��y��y���y�,��y�)�(�)求�关于自然基{f�,f�,f�}所对应的矩阵B;

(�)求�关于基{(�,�,�),(�,�,�,),(�,�,�)}所对应的矩阵C;

(�)求矩阵D�,使D���CD��B����已知三维线性空间W 的线性变换�关于基{��,��,��}所对应的矩

阵为

B�� � �� � �

��

�� � ��

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

(�)求�在基{��,��,��}下对应的矩阵C,其中:

�������������,

������������,

������������;

(�)求�的值域�(W)和核Lfs�;

(�)把�(W)的基扩充为W的基,并求�在这个基下对应的矩阵;

(�)把Lfs�的基扩充为W的基,并求�在这个基下对应的矩阵����设B,C��No(G),证明:若B可逆,则BCYCB����设BYC,DYE,证明:

B P��

��P DYC P��

��P E�

���设BYC,g(y)�boyo�bo��yo���⋯�b�y�b��证明:g(B)Yg(C)�

���设W(D)是一个线性空间,C �{��,��,⋯,�o}是W 的基;���M(W,W),已知�在基C下对应的矩阵B如下,试求�的特征值与特征向量

(只要求特征子空间的基):

(�)� �����

��� �

; (�)� b�b��

���

(�)� � ���� �� ��� �

�� �

; (�)� � ��� � �� �

�� �

(�)

� � � �� � �� ��� �� � ��� �� �

�� �

; (�)

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

���设

B�� � �� �

���

�� ��

�y�

试求y的值,使����是B的二重特征值,并求另一个特征值��及两个特征

子空间的基����对下列矩阵B的特征值,能做出怎样的断言?

(�)B可逆阵; (�)B不可逆;

·���·习 题

(�)F�B可逆; (�)�F�B不可逆;

(�)efu(F�B�)��; (�)B��F ;

(�)B��B(幂等矩阵); (�)Bl��(幂零矩阵);

(�)B���F�C(��为常数,且已知C的o个特征值为��,��,⋯,�o);

(��)B对角块矩阵,即

B�

B�B�

�B

�n

���设B,C��No(G);BC�CB�证明:若Y是矩阵B属于特征值��的

特征向量,则CY��W��(B的特征子空间,即当CY-��时,CY也是B属于��的特征向量)���H��设B,C��No(G);B有o个不同的特征值�证明:BC�CBk�B的

特征向量也是C的特征向量����下列线性变换���M(W,W)可否对角化?如果可以,试求W的一组

基,使�在这组基下对应的矩阵为对角阵,并给出这个对角阵�(�)第��题的�; (�)第��题的�;

(�)第��(�)题的�; (�)第��(�)题的�;

(�)第��(�)题的�����设B�(bjk)o�o 是上三角矩阵,证明:

(�)如果主对角元互不相等,则B与对角阵相似;

(�)如果o个主对角元相等,且至少有一个元素bjk-��(j_�k),则B不

与对角阵相似;

(�)B�� � �� � ��

�� � �

不可对角化�

���已知:三阶矩阵B的特征值����(二重),�����;属于��的特征

向量有Y��(�,��,�)U,Y��(�,�,��)U;属于��的特征向量有Y��(�,

�,�)U�问B可否对角化?如能对角化,求出B及Bl(l为正整数)����设

B�

� � � �� �� � �� � � �

�� � � �

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

试求Bo(o为正整数)���H��设��(b�,b�,⋯,bo)��So,其中bj-��(j��,⋯,o)�证明:矩

阵B��U�可对角化,并求可逆阵Q及对角阵�,使Q��BQ������对下列实对称矩阵B,求正交矩阵R和对角阵�,使R��BR���

(�)� � �� � ��

�� � �

; (�)� � �� � �� � �

��

(�)

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

; (�)

� � � �� � �

���

� � � ��� �

�� � �

���设B是o阶实对称矩阵,且B� B�� 证明:存在正交阵R,使得

R��BR�ejbh(�,⋯,�,�,⋯,�),

其中�的个数等于s(B)����设B为o阶实对称幂等矩阵,s(B)�s,求efu(B��F)����设o阶实对称矩阵B的特征值�j1��(j��,⋯,o)�证明:存在特征

值都是非负数的实对称矩阵C(即半正定矩阵),使得B�C�����证明:反对称实矩阵的特征值�必是零或纯虚数���H��已知B是反对称实矩阵,证明F�B�是可逆矩阵���H��已知��(b�,⋯,bo),��(c�,⋯,co)是So中两个非零的正交向

量,证明:矩阵B��U�的特征值全为零,且B不可对角化����证明:若二次型g(y�,⋯,yo)�YUBY对一切Y�(y�,⋯,yo)U恒

有g(y�,⋯,yo)��,则B���

���设二次型:g(y�,y�,y�)�YUBY,h(y�,y�,y�)�YUCY�证明:若

g(y�,y�,y�)�h(y�,y�,y�),则B�C�

���设BW�C,DW�E,且它们都是o阶实对称矩阵,下列结论成立吗?

(�)(B�D)W�(C�E);

(�)B P��

��P DW�C P��

��P E�

���用正交变换Y�RZ,将下列二次型化为标准形,并给出R�(�)g��y����y����y����y�y�;

(�)g�y���y���y���y����y�y���y�y���y�y���y�y�;

(�)g�y���y���y����y�y�;

·���·习 题

(�)g��y�y���y�y��

���用 配 方 法 将 下 列 二 次 型 YUBY 化 为 标 准 形,并 给 出 坐 标 变 换

Y�DZ的变换矩阵D�

(�)B�� � �� �

���

�� �

�� �

; (�)B���

� � �� � ��� �

�� �

(�)B�

� � � �� � � �� � � �

�� � � �

; (�)B�

� � �� �� � � ���� � �� ��� �� �� �

��

���用初 等 变 换 法 将 题��的 二 次 型 化 为 标 准 形,并 给 出 坐 标 变 换

Y�DZ的变换矩阵D����证明:秩为s的o阶实对称矩阵B可以表示为秩为�的s个实对称矩

阵之和����已知o阶实对称幂等矩阵B的秩为s,试求:

(�)二次型YUBY的一个标准形;

(�)efu(F�B�B��⋯�Bl)����判断题��中的二次型哪些是正定的����判断题��中的实对称矩阵哪些是正定的����求下列二次型中的参数u,使二次型正定:

(�)�y���y���uy����y�y���y�y���y�y�;

(�)�y���y����y����uy�y���y�y�����设二次型

YUBY���o

j��y�j� ��

�0�j_�k0�oyjyk�

(�)用正交变换法将其化为标准形,并判断它是否正定;

(�)当o��时,求正定矩阵C,使得B�C�����用定义证明:正定矩阵的特征值大于零����用定义证明:若Q是o阶实矩阵,则QUQ 是半正定矩阵����设B是半正定矩阵,D是可逆矩阵,证明:DUBD 也是半正定矩阵����设B,C皆是o阶正定矩阵;l,m都是正数,用定义证明lB�mC也是

正定矩阵���H��设B是o阶实对称矩阵,��,��,⋯,�o是B 的o个互异的特征值,

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

Y�(列向量)是对应于��的单位特征向量�证明:B���Y�YU� 的特征值为

�,��,⋯,�o�

���设o阶实对称矩阵B的o个特征值为��0���0�⋯0��o�问u满足

什么条件时,

(�)B�uF为正定矩阵; (�)B�uF为正定矩阵���H��设B 是实对称矩阵,C 是正定矩阵�证明:存在可逆阵D,使得

DUBD和DUCD都成对角形���H��证明:若 对o 元 实 二 次 型YUBY 有Y�,Y� 使 得,YU�BY�`��,

YU�BY�_��,则存在Y�-��,使得YU�BY����

��H��设B是o阶正定矩阵,Y�(y�,y�,⋯,yo)U,证明:

g(y)�efu� YU

Y

��

��B

是一个负定二次型���H��设B�(bjk)o�o 是正定矩阵,证明:

(�) B 0�boo Bo�� ,其中 Bo�� 是B的左上角o��阶主子式;

(�) B 0�b��b��⋯boo(利用(�)的结果)�

补 充 题

��设��,��,⋯,�o是矩阵B�(bjk)o�o的o个特征值�证明���,���,⋯,��o是B�的o个特征值,且

��o

j����j���

o

j����o

l��bjlblj�

��设B,C��No(D),C的特征多项式g(�)� �F�C �证明:g(B)可

逆的充要条件是C的任一特征值都不是B的特征值���设W(G)是o维线性空间,���M(W,W),证明:

(�)若�,�是�的属于不同特征值的特征向量,则当d�d�-��时,

d���d��不是�的特征向量;

(�)W中每一非零向量都是�的特征向量k���d�JW,其中d���G是一

个常数,JW 是恒等变换�

��证明:对任一个o阶矩阵B��No(D),存在可逆阵Q,使Q��BQ为上

三角阵�

·���·补 充 题

�H��设B相似于对角阵,��是B的特征值,Y�是B对应于��的特征向

量�证明:

(�)秩(B���F)��秩(B���F);

(�)不存在Z,使(B���F)Z�Y����证明:(�)正交矩阵的实特征值为��;(�)正交矩阵的复特征值的

模为����证明:在奇数维欧氏空间中的第一类正交变换必有一个特征值为����证明:第二类正交变换必有(��)为其特征值���设�是欧氏空间W的一个变换�证明:如果a��,���W,(�(�),�(�))

�(�,�),则�是线性变换,即 a��,���S,必有�(�����)���(�)�

��(�),从而�为正交变换����设B�(bjk)o�n 是实矩阵�证明:

efu(BUB)0���n

l����o

j��b�jl�

���证明:�是o维欧氏空间W的对称变换的充要条件是,�关于W的单

位正交基{��,��,⋯,�o}所对应的矩阵为o阶实对称矩阵����设B��Nn�o(D),C��No�n(D)�证明:

BC P�C P

��YP� P��

�C CB,

其中P�,P�,P�分别是n�o,o�o,n�n的零矩阵�并由此推出,BC与

CB的非零特征值相同;如果n �o,则 �F�BC � �F�CB ���H��证明:若BC�CB,则B,C至少有一个共同的特征向量����设B为o阶实对称矩阵,B的o个特征值��0���0�⋯0��o�证明:

a�Y��So,

��(Y,Y)0�(BY,Y)0��o(Y,Y)

并指出分别取怎样的非零向量Y使两个等号成立����设B,C为o阶正定矩阵�证明:B�C的最大特征值大于B的最大特

征值����设��和��分别是o阶实对称矩阵B 和C 的最小特征值�证明:

B�C的最小特征值大于或等于������

��H��设B,C皆是正定矩阵�证明:若BC�CB,则BC也是正定矩阵����生物外部的某种特征由其内部的两个基因(B,b)组成的基因对

BB,Bb,bb所确定�例如,某种花的三种颜色被三种基因对所确定�常染色体

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

的遗传规律是,母体双方各自的两个基因等可能地遗传给后代一个�因此,母

体(双方)基因型与后代基因型的关系如下表:

后代基因型

母体(双方)基因型

BB BB�Bb BB�bb Bb�Bb Bb�bb bb�bbBB � �/� � �/� � �Bb � �/� � �/� �/� �bb � � � �/� �/� �

例如,第�列表示母体皆为Bb型时,其后代为BB,Bb,bb型的可能性分

别为��

,��

,���

(�)设某种植物有三种基因型BB,Bb,bb,它们各占总数的百分数为

b�,c�,d�(b��c��d���),如果它们总是都只与Bb型结合而进行繁殖,问

繁殖到第o代时,三种基因型植物占总数的百分数bo,co,do 各为多少?并求

其极限值;

(�)在(�)中的植物,如果初始时都与BB型结合,其第一代都与Bb型结

合,第二代又都与BB型结合,如此交替繁殖下去,求bo,co,do,及其极限值�

部分习题和补充题答案

习题

�����,��

,���,���

,����

��提示:利用B���BU并用伴随矩阵表示B�����提示:利用F�BUB 及(�)的结论�

��(�)�y���z�������;(�) ���y����z����������

(�)�y����z�������;(�)�y����������(�)双曲线�y���z�����;�y��z���;

(�)椭圆�y���z�����;y�

��z�� ��

(�)两相交直线,(����)y���(����)z����;

(�)抛物线,�z�� ����y��

;z�� �����y

(�)点(或称相交于一实点的两条虚直线)(����)y�� �

(����)z�� ���

·���·部分习题和补充题答案

���(�)� �� ��� � ��� �

�� �

;(�)� �� ��� � ��� �

�� �

(�)� � ��� � �� �

�� ��

���(�)� � �� � �� �

��

(�)M(������,������),M(����������);

(�){��,������,������};� � �� � �� �

��

��

(�){��,��,����������};� � �� � ��

�� � ��

���(�)������

,��������� ��; (�)�bj,�j�����;

(�)�;���������;(�)�,�������

;��j,��������j�����

(�)��,������������; �,�����,�����,�����;

(�)�,������,������; ��,�����,������

����;��;(��,�,�)U,(�,�,�){ }U ; (�,�,��){ }U �

���(�)�-��;(�)�����;(�)�-���;(�)�����;

(�)����或��;(�)����;(�)����;(�)���;

(�)�B �����j(j��,⋯,o);(��)�B �{�B�,⋯,�Bn}�

���提示:利用上题结果以及B的每个特征子空间是一维的,B可对角化����(�)(��,��,�)U,(�,��,�)U,(�,�,�){ }U , ejbh(�,�,��);

(�)(��,�,�)U,(�,�,�)U,(�,�,�){ }U , ejbh(�,���);

(�)可对角化;

(�)(�,�,�,�)U,(�,�,�,�,)U,(�,�,�,�)U,(��,�,�,�){ }U ,

ejbh(�,�,�,��);

(�)(�,��,�,�)U,(��,�,�,�)U,(�,�,�,�)U,(�,�,�,�){ }U ,

ejbh(�,�,��,��)�

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

本题(�),(�),(�)的基向量,都是它们在C下的坐标向量�

���� �� ���� � ���� �

�� �

;��

��(��)l ���(��)l ���(��)l

���(��)l ��(��)l ���(��)l

���(��)l ���(��)l ��(��)

�l�

���B�P B

P�

��

o

,Bo���·�o���(��)o�� �·�o����(��)o��

�·�o����(��)o�� �o����(��)o��

��;

Bo���o o�o��

� �

�o� 提示:按对角块矩阵求Bo�

���提示:利用B��lB l���b�( )j 求B的特征值�

���(�)

����

����

��

� ���

��

���

���

,��

���

��

(�)

����

���

����

���

���

����

� ���

��

��

,���

��

(�)��

� �� �� �� �� � �� �

��� ��

�� � � �

���

��

��

(�)

���

����

����

���

���

���

�����

��

� ���

����

��

� �

����

���

,ejbh(�,�,�,��)�

���提示:利用上题结果及F�R��R����提示:只要证明������

·���·部分习题和补充题答案

���提示:利用上题结果,证明 F�B� -������提示:由B���考虑B的特征值,利用s(B)��,证明B不可对角化����提示:利用上题结果����(�)不成立;(�)成立�

���(�)

� � �

� ����

���

� ���

��

��

, �z���z����z��;

(�)

��� ��� �����

���� � ��� �

�� ���

��

��

� ��� � ��

��

���( )�(z���z��)� ���( )�(z���z��)�

(�)

� ����

��

� � ��

� ���

��

���z����z��

; (�)��

� � �

�� �

��� �

� � � �

�� � � �z���z���z���z��

���(�)� �� �

�� � �

�� � ��z����z���

��z

��

; (�)� � �� �� ���

�� � �z���z����z��

(�)

� � ���

���

� �� � �

� � ��

��

� � ��

��

��

; (�)� �� �� �� � � �� � � �

��

�� � � �z����z�����z����z��

�z����z�����z

�����z

��

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

���(�)

� �� ��

� � ��

�� � �

; (�)

� ��� �

� �� ��

�� � �

�z����z�����z

�� z���

��z

����z��

(�)

� ��� � �

� �� � �

� � � ��

� � �

���

; (�)同��(�)�

�z�����z

����z���

��z

��

���提示:若DUBD�C,且D为可逆矩阵,则s(B)�s(C)�

���(�)Fs P�

�P P o�o

; (�)(��l)s�

���(�)正定; ���(�)正定; ���(�)u`��;(�)���_�u�_����

���(�)�� z

���⋯�z�o�( )� �

o��� z�o;是;

(�)C� ����

� � �� � �m�

n�

q�

r�� � ��

���提示:证明a�Y-��,YU(QUQ)Y1������提示:利用定理����的结论����(�)u`����; (�)u_����

���提示:对于C,存在D�,使DU�CD��F,再对实对称矩阵DU�BD�作正

交变换使之相合于对角阵����提示:这是一个不定二次型,利用其标准形,即DUBD�ejbh(�,��,

H�,⋯,H�),其中H�为��或�����提示:对分块矩阵作初等行变换,将其化为上(下)三角块矩阵,即可

展开这个行列式�

·���·部分习题和补充题答案

���提示:将 B 分块表示为Bo�� �

�U boo,再展开这个行列式,并利用

Bo��的正定性�补充题

��提示:设C的特征值为��,��,⋯,�o,即g(�)�(����)(����)⋯(���o),再利用g(B)可逆k� g(B) -�����提示:用数学归纳法���提示:实系数多项式g(y)若有g({)��,则必有g(�{)������提示:对二次型(BY,Y)作正交变换,将其化为标准形����提示:利用上题结果�

·���· 第�章 特征值与特征向量 矩阵的标准形

第�章 常见曲面及二次曲面的分类

本章主要讨论三维几何空间中常见的曲面,包括球面、柱面、锥面、旋转

面、椭球面、双曲面和抛物面以及它们在空间直角坐标系下的方程表示(其中

也涉及空间曲线,如螺旋线的方程表示),并对二次曲面方程进行分类�

��� 球面 柱面 锥面 旋转面

我们知道,空间直角坐标系中,一个平面上的所有点的坐标(y,z,{)满

足一个三元一次方程;反之,坐标满足一个三元一次方程的那些点形成一个平

面�而一般的空间曲面在直角坐标系中,对应于非线性的三元方程G(y,z,{)

��,因为一个曲面T上的点的要满足一定的几何条件,这个条件一般可以写

成点的坐标(y,z,{)所满足的一个方程G(y,z,{)��,曲面T上的点的坐

标一定满足这个方程,而坐标满足这个方程的点也一定在曲面T上�所以

G(y,z,{)��是曲面T的方程,曲面T是这个方程的图形�直线作为两个平面的交线可以用两个平面的方程的联立方程组来表示�

同样,两个相交的曲面一般相交于一条空间曲线M�它可以用两个曲面方程的

联立方程组

G�(y,z,{)��

G�(y,z,{)���

� �(���)

来表示,这个方程组叫做曲线M的一般方程�知道了方程的图形,就可用图形的几何性质讨论方程的一些问题;知道了

图形的方程,就能够从方程得到图形的几何性质�

����� 球面

设球面的球心为Q�(y�,z�,{�),半径为s�因此,点Q(y,z,{)在球面

上,当且仅当 Q�Q �s,即 Q�Q ��s�,这个条件用点的坐标可表示为

(y�y�)��(z�z�)��({�{�)��s�, (���)

这就是该球面的方程�把这个方程展开,得

y��z��{���y�y��z�z��{�{�(y���z���{���s�)���

由此可见,球面方程是一个特殊的三元二次方程,它的一般形式为

y��z��{���b�y��c�z��d�{�e��,

用配方法可将其化为

(y�b�)��(z�c�)��({�d�)��b���c���d���e�令b���c���d���e�s�,当s�`��时,它的图形是以点Q�(�b�,�c�,�d�)

为球心,以s为半径的球面;当s���时,它的图形只有一个点Q�(�b�,

�c�,�d�);当s�_��时,它的图形是虚球面�空间中的一个圆可以看作一个球面与一个平面的交线,因此可用一个球

面方程和一个平面方程联立起来表示�例� 求过点Q�(b,�,�),Q�(�,c,�),Q�(�,�,d)的圆的方程�解 过点Q�,Q�,Q�的平面方程为

yb �

zc�

{d ���

设过这三个点的球面方程为

y��z��{���y�y��z�z��{�{�e��,

将点Q�,Q�,Q�的坐标代入,得

b���y�b�e��

c���z�c�e��

d���{�d�e��

� �这是关于y�,z�,{�,e的四元方程组,所以e可以任意取,我们取e��,这样

就得

�y���b, �z���c, �{���d,

从而球面方程为

y��z��{��by�cz�d{���这是过原点P和Q�,Q�,Q�(�个点不共面)的球面方程,故所求圆的方程为

yb �

zc�

{d ��

y��z��{��by�cz�d{��

� �由于过三点的球面有无穷多个,所以过三点的圆(这是唯一确定的)用球面方

程与上述平面方程联立的表示式不是唯一的�

����� 柱面

由一族平行直线形成的曲面叫做柱面,这些平行直线叫做柱面的母线,在

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

图���

柱面上与每条母线相交的一条曲线叫做柱面的一条准线(图���)�显然,一个柱面的准线不是唯一的�例如用任一个与母线相交

的平面去截柱面,其交线都是柱面的准线�给定一个柱面,我们选取一个空间直角坐标系,使{轴平行

于母线�此时,位于柱面同一条母线上的所有点的y,z坐标都相

同,而其{坐标的集合是实数集S,这表明柱面在这个坐标系中的

方程对于{是不加限制的�因此柱面的方程不包含{,它的方程就

是所有母线与坐标平面yPz的交点坐标(y,z,�)中的y,z应满

足的方程

G(y,z)��� (���)

如果在平面直角坐标系yPz内看这个方程,它的图形是一条曲线,也就是柱

面在yPz坐标平面上的准线�但是必须注意,我们现在是在空间中考虑问题,

用的是空间直角坐标系,因此,这个柱面在yPz坐标平面上的准线的方程必

须写作

G(y,z)��{����� ,

(���)

所以方程(���)是以(���)式所表示的曲线为准线,以平行于{轴的直线为

母线的柱面方程�一般地说,母线平行于一个坐标轴的柱面方程不包含对应的坐标;反之,

一个不包含某个坐标的方程的图形是母线平行于该坐标轴的柱面�但要注意,如果母线不平行于坐标轴,其柱面方程就要包含所有的坐标�

例如所有的平面都可视为柱面,它的一般方程是三元一次方程�

图��� 图���

·���·��� 球面 柱面 锥面 旋转面

例� 下列二次方程:

(�)y��z���;(�)z�

c��{�d���

;(�)z�

c��y�b���

;(�)z�y�

各表示一个柱面,统称为二次柱面�(�)为圆柱面(在yPz平面上的准线是单

位圆,母线平行于{轴,图���);(�)为椭圆柱面(在 P{z 平面上的准线为椭

圆,母线平行于y轴,图���);(�)为双曲柱面(在yPz平面上的准线为双曲

线,母线平行于{轴,图���);(�)为抛物柱面(在yPz平面上的准线为抛物

线,母线平行于{轴,图���)�

图��� 图���

����� 锥面

过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面,这些直线叫做锥面的母线,定

点叫锥面的顶点,在锥面上与每条母线都相交但不过顶点的一条曲线叫做锥

面的准线�给定了锥面的一条准线和锥面的顶点,把准线上的每个点与顶点用直线

相连就得到一个锥面�如果把坐标系的原点P(�,�,�)置于锥面的顶点,则锥

面上任一点Q(y,z,{),与顶点P的连线上的点的坐标就是(uy,uz,u{),u可

为任意实数�因此,顶点在原点的锥面,其方程的特征是:如果(y,z,{)满足

方程,那么对于任意实数u,(uy,uz,u{)也满足方程�所以,如果G(y,z,{)是

一个齐次多项式,则方程G(y,z,{)��就表示一个顶点在原点的锥面�例� 求顶点在原点,准线为圆

y��z��s� (s�`��)

{�d (d-����� )

的圆锥面(图���)的方程�解 设点Q(y,z,{)是锥面上非顶点的任意点,显然点Q的{-���于是

锥面上连线PQ的方程为:

y����uy,z����uz,{����u{,

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

图���

其中(y�,z�,{�)是直线PQ上的任意点的坐标�容易求得直线PQ与平面{�

d的交点Q�的坐标为(dy{

,dz{

,d),显然点Q�在锥面的准线上,把点Q�的坐标

代入准线方程,得

(dy{

)��(dz{

)��s�,

y��z��(sd

)�{�,

这就是所求的圆锥面方程�当d�s时,这个圆锥面的方程为

{��y��z��

它的每条母线与{轴的夹角均为���,{� y��z� �表示yPz坐标平面以上

部分的圆锥面�再如,二次齐次方程

y�b��

z�c��

{�d���

(bcd-��)

也是表示顶点在原点的一个锥面,要知道它是怎样的锥面,只要知道它的一条

准线就行了�这个锥面与平面y�b的交线

y�b��

z�c��

{�d���

y�b��

� ,即

z�c��

{�d���

y���

� b是其一条准线,它是一个椭圆,所以此锥面称为椭圆锥面�

例� 二次齐次方程yz�z{�{y��表示顶点在原点的一个怎样的锥

面?

·���·��� 球面 柱面 锥面 旋转面

解 这个锥面在平面y�z�{��上的准线是

yz�z{�{y��y�z�{����� �

由于这条准线上的点(y,z,{)的坐标满足

y��z��{��(y�z�{)���(yz�z{�{y)��,

所以这条准线的方程也可表示为

y��z��{���y�z�{����� �

这表明准线是一个圆�因为上式中的球面的球心正是锥面的顶点,所以这个锥

面是一个圆锥面,它过坐标轴上的三个点(�,�,�),(�,�,�),(�,�,�)�此例也可用正交变换将二次型g(y,z,{)�yz�z{�{y化为标准形,

来判断g(y,z,{)��是一个圆锥面,其解法如下:

g(y,z,{)�(y,z,{)

� ��

��

�� � �

���

��

��

y�

�z{

容易求得:二次型矩阵B 的特征值为����,������

(二重);特征子空间

W�� 的 单 位 正 交 基 为 �� ����

,���

,��( )�

U,W�� 的 单 位 正 基 为

������

,����

,( )�U

,������

,���

,���( )�

U

�作正交变换

Y�RZ,

其中Y�(y,z,{)U,Z�(y�,z�,{�),

R � ��,��,�( )� �

���

���

���

���

����

���

���

� ���

��

g(y,z,{)�y���z����

{��� ���

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

显然,这是在直角坐标系(P;��,��,��)中的一个圆锥面的方程�

����� 旋转面

由一条平面曲线绕该平面上一条直线旋转而形成的曲面称为旋转面,这

条直线叫做它的轴,曲线叫做它的一条准线�圆柱面和圆锥面都是以直线为准

线的旋转面�为便于求旋转面的方程,我们把曲线所在的平面取作坐标平面,把旋转面

的轴取作坐标轴�设在yPz平面上给定了一条曲线M:

g(y,z)��,z`��{����� �

图���

现在推导曲线M绕y轴旋转而形成的旋转面T(图���)的方程�在T上任取点Q(y,z,{),点Q到y轴的垂直距离为

P�Q � z��{� ��既然Q在T上,那末Q绕y轴旋转到yPz平面上去,就得到两个点N 和

N�,它们的坐标分别为 y,z��{� �,( )� 和 y,� z��{� �,( )� �显然N 和

N�必有一点在旋转面的准线M上,这里点N在图示的准线M上,所以将点N的坐标代入g(y,z)��所得的方程

gy,z��{�( )� ��

就是旋转面T的方程�同样,把曲线M绕z轴旋转所形成的旋转面的方程是

g � y��{� �,( )z ��,

这里要注意:取正(负)号所得的方程是曲线M在y1��(y0��)的部分绕z轴

旋转而成的旋转面方程�例� 把双曲线M:

·���·��� 球面 柱面 锥面 旋转面

y�b��

z�c���

{���

� �分别绕虚轴(z轴)和实轴(y轴)旋转,求所得旋转面T的方程�

图���

解 绕z 轴 旋 转,T 上 的 点Q(y,z,{)可 旋 转 为 准 线 M 上 的 点

� y��{� �,z,( )� ,所以旋转面T的方程为

y��{�b� �z

c���,

绕 y 轴 旋 转,T 上 的 点 Q(y,z,{) 可 旋 转 为 准 线 M 上 的 点

y,� z��{� �,( )� ,故T的方程为

y�b��

z��{�c� ���

这两种旋转面分别叫做单叶旋转双曲面(图���)和双叶旋转双曲面(图

���)�

图���

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

��� 空间曲线的方程

前面讲过,空间曲线作为两个曲面的交线,其一般方程是两个曲面方程的

联立方程组�一条空间曲线的方程,也常用参数方程

y�g(u),

z�h(u),

{�i(u��

� ),b0�u0�c

来表示�这个方程如果是质点在空间直角坐标系中的运动方程,它的图象就是

质点的运动轨迹,它确定了从S的子集[b,c]到S�的一个映射,即把u��[b,

c]映射为(y(u),z(u),{(u))��S�,此时曲线上的点与参数u相对应�

图����

例� 圆柱螺线(或称螺旋线,图����)�设一动点Q到某一个轴的垂直

距离为s,如果点Q以匀角速度�绕轴转动,同时又以匀速度w沿轴的某个方

向移动,则动点Q的轨迹叫做圆柱螺线(因为动点Q始终在半径为s的圆柱面

上)�圆柱形螺钉的螺纹线就是这种螺旋线�选取空间直角坐标系,规定点Q按反时针方向绕{轴转动,同时沿{正向移动,其起点(u��)位置在点

Q�(s,�,�)处,在时刻u时,点Qu的坐标为(y,z,{)(图����)�由于点Qu在

yPz平面上的投影点Q�的坐标为(y,z,�),在�到u时间内,点Q绕{轴转过

的角度为�u,点Q沿{轴正向移动的距离为Q�Qu �wu,因此

y�sdpt�uz�stjo�u{�wu��

� ,u1��,

·���·��� 空间曲线的方程

这就是圆柱螺线(螺旋线)的参数方程,u为参数�下面讨论空间曲线在坐标平面上的投影曲线(简称投影)�设M是一条空间曲线,�是一个平面,过M上任一点N,作�的垂线,此垂

线与�的交点Q叫做N 在�上的投影点,过M上所有点的这些垂线构成一个

柱面,叫做从M到�的投影柱面�显然,M在�上的投影就是上述投影柱面与�的交线�

例� 求曲线M:

y��z��{���

y��z��y���� �

(�)

在yPz,yP{坐标面上的投影�解 由于圆柱面y��z��y��的母线平行于{轴(即垂直于yPz平

面),所以曲线M在该圆柱面上,而这个圆柱面也是从曲线M到yPz平面的投

影柱面�因此,M在yPz平面上的投影曲线的方程为

y��z��y��{����� �

从曲线M的方程组(�)中消去z得到方程

{���y��� (�)

方程(�)是母线平行于z轴(即垂直于yP{平面)的柱面方程�由于这个方程

是从M的方程得到的,所以M上的一切点的坐标都满足方程(�),即M在柱面

(�)上�而柱面(�)也是从M到yP{平面的投影柱面,因此M在yP{平面上的

投影曲线的方程为

{���y��z����� ,

这是yP{平面上的一条抛物线�

��� 二次曲面

一个三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面,球面、二次柱面和二次锥

面都是二次曲面�现在再介绍�种典型的二次曲面�用几何特征来刻划这些二

次曲面是比较复杂的,但是,适当地选取坐标系,它们的方程可以化成形式简

单的标准方程�因此,我们先从它们的标准方程来讨论它们的图形�最后再介

绍用坐标变换(正交变换和平移变换)把一般二次曲面方程化为标准方程�

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

����� 椭球面

在S�中,对向量(y,z,{)作比例变换

�(y,z,{)�(by,cz,d{)

其中b,c,d是不完全相同的正数,则球心在原点的球面

y��z��{���在坐标轴方向按不完全相同的比例放大或缩小后,变成为一个椭球面,其方程

变为

y�b��

z�c��

{�d����

(���)

当b�c�d时,它是一个半径为b的球面(特殊的椭球面)�从椭球面方程(���)可以看出它的图形有以下一些性质:

(�)椭球面上点的坐标是有界的,即

y 0�b, z 0�c, { 0�d�这个性质是椭球面在二次曲面中最突出的特点�

(�)椭球面的图形具有对称性�它对于每个坐标平面是对称的,因为如果

点Q(y,z,{)满足方程,则点Q分别关于 P{z ,yP{,yPz坐标平面的对称点

Q�(�y,z,{),Q�(y,�z,{),Q�(y,z,�{)也都满足方程�由此可以推知椭

球面关于每个坐标轴和原点也是对称的�

图����

椭球面的对称中心、对称轴和对称平面分别叫做它的中心、主轴和主平

面�椭球面与三个对称轴的三对交点,称为顶点�如果b`�c`�d,那末b,c,d分别叫做半长轴、半中轴和半短轴�椭球面与三个主平面(即坐标平面)的交

线是三个椭圆(图����)�如果b�c-�d,则椭球面(���)是 P{z 平面上的椭圆

·���·��� 二次曲面

z�c��

{�d���

y���

� �绕{轴旋转所成的旋转椭球面�

����� 单叶双曲面

在S�中对向量(y,z,{)作比例变换

�(y,z,{)�(byc

,z,{),

图����

则单叶旋转双曲面

y��z�c� �{

d���

上点的y坐标按比例bc来改变(即图形向 P{z 平面压缩或拉伸),就得到一

个新曲面,称为单叶双曲面(图����),其方程

y�b��

z�c��

{�d���

(���)

称为单叶双曲面的标准方程�显然,方程(���)的图形对称于三个坐标平面和三个坐标轴及原点,它

的形状大体上是压扁了的单叶旋转双曲面�用平行于yPz坐标平面的平面{�i去截割它,截线都是椭圆

y�b��

z�c����

i�d�

{�i��

� ,

其�个顶点分别在另两个坐标平面上�但另两个坐标面截割曲面的截线是下

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

列双曲线

y�b��

{�d���

z����

� ,和

z�c��

{�d���

y����

� ,

它们的虚轴为{轴,虚轴长均为�d�单叶双曲面可以看作是由一个长、短轴可

变的椭圆(所在平面垂直虚轴{)沿这两条双曲线运动的轨迹,这个椭圆的两

对顶点分别在这两条双曲线上�

����� 双叶双曲面

把双叶旋转双曲面z�

c��y��{�d� ��向 P{z 坐标面压缩或拉伸,使坐标y

按比例bd来改变而形成的曲面,称为双叶双曲面(图����),其方程

�y�

b��z�c��

{�d���

(���)

图����

称为双叶双曲面的标准方程�它的图形也对称于各坐标平面、坐标轴和原点,

大体形状是压扁了的双叶旋转双曲面�该曲面上点的z坐标恒有

z�1�c�,即 z 1�c,

因而曲面分成两叶�用平行于yP{坐标面的平面z�l( l 1�c)去截割它,截线都是椭圆

y�b��

{�d��

l�c���

z�l��

� �它的�个顶点分别在另两个坐标平面{��和y��上,但曲面在这两个对称

平面上的截线都是双曲线

�y�

b��z�c���

{����

� ;和

z�c��

{�d���

y����

� �

·���·��� 二次曲面

它们的实轴为z轴,实轴长均为�c�双叶双曲面可以看作是由一个长、短轴可

变的椭圆(所在平面垂直于实轴z)沿这两条双曲线运动的轨迹,这个椭圆的

两对顶点分别在这两条双曲线上�以上三种二次曲面是有心二次曲面,它们都有一个对称中心�

图����

����� 椭圆抛物面

把旋转抛物面{�y�

b��z�b�

向yP{坐标面压缩或拉伸,使坐标z按比例

cb

来改变而形成的曲面,称为椭圆抛物面(图����),其方程

{�y�

b��z�c�

(���)

称为椭圆抛物面的标准方程�它的图形对称于yP{和 P{z 坐标面�因而也对

称于{轴,但它没有对称中心�它与对称轴的交点叫做图形的顶点�它的大体

形状是压扁了的旋转抛物面,该曲面上点的{坐标恒1��,图形在yPz坐标面

的上方(顶点在原点)�用平行于坐标面yPz的平面{�i(i1��)去截割它,截线都是椭圆

y�b��

z�c��i

{�i��

� �它的�个顶点分别在另两个坐标平面z��和y��上,但曲面在这两个对称

平面上的截线是抛物线

y��b�{z����� ,

和 z��c�{y����� �

它们的对称轴都是{轴,顶点和开口方向都是相同的�椭圆抛物面可以看作是

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

由一个长、短轴可变的椭圆(所在平面垂直于抛物线的对称轴)沿这两条抛物

线运动的轨迹,这个椭圆的两对顶点分别在这两条抛物线上�

����� 双曲抛物面(马鞍面)

双曲抛物面的标准方程为

y�b��

z�c���q{

(q-��)� (���)

现假定q`��,它的图形显然对称于yP{和 P{z 坐标面,因而对称于{轴,但

它没有对称中心�它也不能由压缩旋转面而得到,为了了解它的图形结构,我

们用平行于坐标面的平面去截割它,通过截线了解其图形的情况�用平面{�i去截割它,截线为

y�b��

z�c���qi

{�i��

� �当i��时,它是yPz平面上的两条直线z��cyb;当i-��时,它是双曲

线,如果i`��,其实轴平行于y轴,如果i_��,其实轴平行于z轴�曲面在

yPz坐标面之上,沿y轴的两个方向上升;在yPz坐标面之下,沿z轴的两个

方向下降�这些截线在yPz坐标面上的投影如图����所示�

图���� 图����

用平行于 P{z 坐标面的平面y�l去截它,截线都是抛物线

z����qc�{�l��qb( )�

y�l��

� ,(q`��) (�)

其对称轴平行于{轴,开口为{轴的负方向�在yP{坐标面(z��)上的一条抛物线为

·���·��� 二次曲面

y���qb�{z���� �

(q`��)� (�)

这条抛物线的顶点为原点P,开口为{轴的正方向�从上述的截线情况,可以把双曲抛物面(图����)看作是由抛物线(�)平

行移动而形成的,抛物线(�)平行移动时其顶点始终在另一条固定的抛物线

(�)上�我们可以把两条抛物线设想为两根抛物形铁丝,一根挂在固定的另一

根上滑动,其轨迹就是双曲抛物面,它的形状恰似马鞍形,所以也叫马鞍面�方程{�byz(b-��)也表示一个双曲抛物面,它可以通过坐标变换(正

交变换)化为标准方程�理想气体的状态方程QW�SU(S为常数)就是这种

方程�椭圆抛物面和双曲抛物面都是无心二次曲面,因为它们都没有对称中心�

���H� 二次曲面的分类

二次曲面在直角坐标系中的一般方程为

G(y�,y�,y�)

�b��y���b��y���b��y��

��b��y�y���b��y�y���b��y�y�

��b��y���b��y���b��y��b����� (����)

记 Y�(y�,y�,y�)U, ��(b��,b��,b��)U,

B�

b�� b�� b��

b�� b�� b��

b�� b�� b

���

, (bjk�bkj),

则(����)式可用矩阵表示为

YU,( )�B �

�U b( )��

Y( )���, (����)

其中YUBY是(����)式中的二次型部分,即

g(y�,y�,y�)�b��y���b��y���b��y����b��y�y�

��b��y�y���b��y�y��YUBY� (����)

这里的y�,y�,y�是曲面上点Q的直角坐标,即Q(y�,y�,y�),或者说向量A�PQ在单位正交

基{f�,f�,f�}下的坐标,即A�PQ�(y�,y�,y�)�我们在第�章中讲过,对于三元二次型YUBY的矩阵B,存在正交阵R,使得

RUBR�ejbh(��,��,��),

因此作转轴坐标变换Y�RZ(正交矩阵R是把S的自然基{f�,f�,f�}变为另一组单位正

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

交基{��,��,��}的变换矩阵,点Q在基{��,��,��}下的坐标为(z�,z�,z�)),可将二次型

化为标准形,即

YUBY�ZURUBRZ���z�����z�����z��� (����)

再将Y�RZ代入(����)即(����)式,可得

G(y�,y�,y�)���z�����z�����z��

��c��z���c��z���c��z��c����� (����)

再对由基{��,��,��}确定的空间直角坐标系作坐标的平移变换

{��z��c����

,{��z��c����

,{��z��c����

(这里假设������-��),进而可将(����)式化为只含平方项和常数项的二次曲面的方

程�

��{�����{�����{���e��� (����)

我们知道,对二次型(����)不论作怎样的正交变换Y�RZ,将其化为标准形��z���

��z�����z��,其系数��,��,��都是唯一确定的,因为它们是二次型矩阵B的特征值,即

RUBR�R��BR�ejbh(��,��,��)YB,

因此,由矩阵B�(bjk)���的特征多项式(见定理���)

�F�B ����J����J���J�

�(����)(����)(����) (����)

及根��,��,��与系数的关系得:

J�����������b���b���b��,

J����������������

�b�� b��

b�� b���b�� b��

b�� b���b�� b��

b�� b��,

J��������� B �由于二次曲面的一般方程(����)经过坐标变换(转轴的正交变换和坐标平移)化简后的

方程,其二次型部分对应的矩阵

BYRUBR�ejbh(��,��,��),

所以它们的特征多项式相同,因此它们的J�(主对角元之和),J�(三个二阶主子式之和),

J�(二次型矩阵的行列式)是不变的,称为二次曲面的不变量�此外,(����)式中�阶对称

阵的行列式

J��efuB �

�U b( )��

也是二次曲面(����)的不变量(证明略)�其中�阶矩阵称为二次曲面(����)对应的矩

阵�根据二次曲面的不变量,可把二次曲面分为两大类五小类,共十七种形状(包括虚曲

·���·���H� 二次曲面的分类

面等):

J 第一大类,J�-��,有心二次曲面:

由于J��������-��,即��,��,��皆为非零常数,所以方程(����)化简后的方程(�

���)为(将{�,{�,{�,改用y�,y�,y�)

��y�����y�����y���e���利用不变量

J�� ejbh(��,��,��,e) �������e�J�e得

e�J�J�

所以,这类曲面化简后的方程为

��y�����y�����y���J�J��

�� (����)

于是这类曲面就J�又可分为三小类:

�� J�`��

(�)��,��,��同号时(J�J�

也同号),为虚椭球面�

(�)��,��,��异号时,不论有一个为负或两个为负,均为单叶双曲面��� J�_��

(�)��,��,��同号时(J�J�

则异号),为椭球面�

(�)��,��,��异号时,不论有一个为负或两个为负,均为双叶双曲面��� J���

(�)��,��,��同号时,为虚二次锥面(或一个点)

(�)��,��,��异号时,为实二次锥面�� 第二大类,J���,无心二次曲面:

�� J�-��此时,由J����������,J����������������-��,可知特征值只有一个为�,不

妨设����,于是对方程(����)作坐标平移,则化简后的方程为

��y�����y����qy��� (����)

��y�����y���e��� (����)

���� J�-��此时方程化简为(����)的形式�由

J������, J��

�� � � �

� �� � �

� � � q� � q �

������q���J�q� (����)

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

得q�� �J� J� �,于是方程(����)即为

��y�����y����J�J��y���, (����)

因此,当J���,J�-��,J�-��时,有两种曲面:

(�)J�_��,由(����)得J������`��,即��,��同号,此时,方程(����)为椭圆抛

物面�(�)J�`��,则J������_��,即��,��异号,此时方程(����)为双曲抛物面�

���� J���此时,方程化为(����)的形式�为了确定(����)式中的e,需要引入二次曲面的半

不变量L�:

L��

b�� b�� b��

b�� b�� b��

b�� b�� b��

b�� b�� b��

b�� b�� b��

b�� b�� b��

b�� b�� b��

b�� b�� b��

b�� b�� b��

即L�是b��,b��,b��在J�中的代数余子式之和�可以证明(略去),当J��J���时,L�是不变量(其它情况L�则是变量),于是由方

程(����)的不变量J�� ejbh(��,��,��,e) 得

L��

�� � �

� ��

� �

e

�����e�J�e,

从而有

e�L�J��

因此,方程(����)即为

��y�����y���L�J� �

�� (����)

于是这类曲面就L�-��,L���,又分为以下几种形状�

H�(�)L�-��时,��,��,L�同号,为虚椭圆柱面�

H�(��)L�-��时,��,��同号,但与L�异号,为椭圆柱面�

H�(��)L�-��时,��,��异号,为双曲柱面�

H�(��)L���时,��,��异号,为一对相交平面�

H�(��)L���时,��,��同号,为虚相交平面�

H��� J��J���此时,由J����������,及J������������������,可知必有(也仅有)两个

特征值为��不妨设�������,��-��,于是方程(����)经坐标平移可化简为:

��{���q{��r{���� (����)

·���·���H� 二次曲面的分类

(j)如果q,r均不为�,在新坐标系中作绕{�轴的旋转变换,令

v��{�, v��q{��r{�q��r� �

, v���r{��q{�q��r� �

则(����)式变换为

��v��� q��r� �v����

我们把上式改写为

��y����q�y���� (����)

如果q,r有一个为�,方程(����)就是(����)的形式�(jj)如果c���c����,则方程(����)经坐标平移后,化简为

��y���e��� (����)

当L�-��时,方程取(����)的形式�由方程(����)的不变量

J��

�� � � �

� � � q�

� � � �

� q� � �

可得

L��

�� � �

� � q�

� q� �

����q����J�q��,

所以J�与L�异号,方程(����)可化为:

J�y�����L�J� �y���� (����)

当L���时,方程取(����)的形式�这时还需引入另一个半不变量L�,即

L��b�� b��

b�� b���b�� b��

b�� b���b�� b��

b�� b���

当J��J��J��L���时,可以证明(略去),L�也是二次曲面的一个不变量�此时从方

程(����)可得

L���� �

� e���e�J�e,

所以e�L�J�

,于是方程(����)可化为

J�y���L�J� �

�� (����)

从方程(����),(����),又可得曲面的�种形状:

H�(��)当J��J��J���,L�-��,时,化简后方程为(����),其图形为抛物柱面�

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

H�(��)当J��J��J��L���,L�_��时,由(����)知,图形为一对平行平面�

H�(��)当J��J��J��L���,L�`��时,图形为虚平行平面�

H�(��)当J��J��J��L��L���时,图形为一对重合平面�例� 利用不变量判断下列二次曲面的类型,并把方程化为最简形式和确定曲面的形

状�(�)y���y����y����y�y���y�y���y�y���y���y���y������;

(�)�y����y����y����y�y���y�y���y�y���y���y���y������解 (�)二次曲面所对应的矩阵为

Q�

� �� �� ��

�� � � �

�� � � ��

�� � �

�� ��

�B �

�U b( )��

所以:J��efuB����,J��efuQ�����;再由

�F�B �

��� � �

� ��� ��

� �� ����(���)(���)(���)

得�����;����;����(三个特征值不同号),于是化简后的方程为:

��{����{����{���������� ��

�{����{����{����,

故方程的图形为双叶双曲面�(�)二次曲面所对应的矩阵

Q�

� � � �� � � �

� � �

��

�� � �

�� �

�B �

�U b( )��

所以:J��efuB��;J��efuQ�����;J����,再由

�F�B �

��� �� ��

�� ��� ��

�� �� �����(���)(���)

得����;����;����,于是化简后的方程为

�{����{����������{���, 即 �{����{��� ���{���,

故方程的图形是椭圆抛物面�例� 对二次曲面方程

·���·���H� 二次曲面的分类

G(y�,y�,y�)��y���y����y����y�y���y�y�

��y�y����y���y���y���作坐标变换,将其化为标准方程�

解 G(Y)�YUBY�cUY,

其中:Y�(y�,y�,y�)U;c�(���,��,�)U;二次型部分的矩阵为

B�

� �� �

�� � ��

� �� �

�F�B ���(���)属于特征值����,�������的单位正交的特征向量分别为:

�����

,���

,( )��U

,������

,���

,( )�U

,��������

,����

,��( )��

U

取正交矩阵R�(��,��,��),作坐标变换

Y�RZ, (�)

YUBY�ZURUBRZ�ZU(ejbh(�,�,�))Z��z��,

cUY�(cUR)Z� ��,�����

,���( )�(z�,z�,z�)U

���z������z��

����z��

于是方程G(Y)��,化为

H(Z)��z����z������z��

����z�

��z��( )�������� z��

��( )�� �����z���� (�)

再作坐标平移,令{��z����

,{��z������

,{��z�,即

[�Z�Z�, (�)

其中Z�� ���

,����

,( )�U

,于是方程H(Z)��化为

�{�������{��

����{���� (�)

对于方程(�),再把平移后的坐标系绕{�轴作旋转变换 记q������

,r����( )� ,令

v��{�, v��q{��r{�q��r� ��

��{�� �

�{��

v���r{��q{�q��r� � �

��{�� �

��{��

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

V�

v�

v�

v

���

� � �

� ���

��

� ���

��

��

{�

{�

{

���U[, (�)

则方程(�)化为标准方程

v��� q��r� �

� v��v�������v����

(�)

这是一个抛物柱面的方程,所以方程(�)的图形是抛物柱面,其准线是新的直角坐标系P�

�v�v�v�中坐标平面v�P�v�上的一条抛物线�方程(�)化为标准方程(�)所作的坐标变

换(由(�),(�),(�)式可得)为

Y�RZ�R([�Z�)�R(U��V)�RZ�,

其中坐标系Pz�z�z�在三个坐标轴方向的单位向量为B的特征向量(即正交矩阵R的列

向量)��,��,��,由于efuR��,所以这个坐标系仍是右手系;坐标系P�{�{�{�是将坐标

系Pz�z�z�在z�,z�轴方向平移所得;坐标系P�v�v�v�是将坐标系P�{�{�{�绕{�轴顺

时针方向旋转����bsdubo��所得�

附带说一下,如果efuR� ��,��,�� ���,则坐标系P������是左手系,只要将基

向量{��,��,��}中任意对换两个向量就构成右手系�

习 题

��求下列球面的球心与半径�(�)y��z��{���y��z��{����;

(�)�y���z���{��y��{��;

��求过�点B(�,�,�),C(�,�,�),D(��,��,�),E(�,�,�)的球面方

程,并求球心和半径���动点Q到点B(�,�,�)的距离为到点C(��,�,�)的距离的一半,求动

点轨迹的方程���动点Q到点G�(�b,�,�)与到点G�(b,�,�)的距离的平方和等于

�b�,求动点轨迹的方程���下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面?并作其略图�

(�)y��z���z��; (�)�y��z���; (�)y���{;

(�){���; (�)y��z��{���; (�)z��{���;

(�)y��z���; (�)y��z������下列方程各表示什么曲线:

·���·习 题

(�)y��z

� ��

{����

� ;(�)

y��z��{������

y��z������� ;

(�)(y��)��(z��)��({��)����

y��z��{������� ;

(�)y�dpt�z�tjo�{�����

� �

(�为参数)

��求在 P{z 坐标平面上以原点为圆心的单位圆的方程(写出两种以上不

同形式的方程)���求下列顶点在原点的锥面方程:

(�)准线为:y�b��

z�c���

{�l��

� ;(�)准线为�题(�)�

��求下列曲线绕指定轴旋转而成的旋转面方程:

(�)y���z���{����� ;

分别绕y轴、z轴旋转;

(�){��zy����

� ;分别绕z轴、{轴旋转;

(�)y��{���z����� ;

分别绕y轴、{轴旋转�

���求下列曲线在指定平面上的投影:

(�)y��z��{���z�y��� ;

在各坐标平面上的投影;

(�)y��(z��)��{���z�{����� ,

在平面{��上的投影�

���下列二次方程各表示什么曲面?并作其略图:

(�)��y���z����{�����; (�){�y��(z��)�;

(�)�y���z����{�����; (�)y�(z��)��{�

�;

(�)y���z��{�����; (�){� y��z� �;

(�)y���z��{���; (�){�yz����画出下列各组曲面所围成的空间体的略图�

(�)�y��z��{��,y��,z��,{��;(�){� ��y��z� �,{��;

(�)y��z��{����,{��; (�)z�y�,z��,{��,{������用坐标变换(转轴和平移),将下列一般二次曲面方程化为标准方程

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

(并写出坐标变换式,指出你所选取的新坐标系是右手系还是左手系)�

(�)y���y����y����y�y���y�y���y�y���y���y���y�������

(�)��y�����y�����y����y�y���y�y���y�y����(y��y��y�)

�����;

(�)y����y�����y�����y�y����y�y���y�y����y����y����y������;

(�)y����y���y����y�y���y�y���y�y����y�� ���y����y�������

���利用不变量判断下列二次曲面的类型,并把方程化为最简形式和确定

曲面的形状�(�)y����y���y����y�y���y�y���y�y����y���y����y������;

(�)�y����y����y����y�y���y�y���y���y���y������;

(�)�y����y����y����y�y���y�y���y�y���y����y���y�����;

(�)�y����y����y�y���y�y����

部分习题答案

��(�)(�,��,�);�;(�)��

,�,�( )�� ;���� �

��(y��)��z��{����� ��(y��)��z��{�������y��z��{��b����(�)圆柱面;(�)椭圆柱面;(�)抛物柱面;(�)两平行平面:

{��和{���;(�)原点(�,�,�);(�)y轴;(�)两个过{轴的互相垂

直的平面y�z和y��z;(�)双曲柱面���(�)椭圆(在平面{��上);(�)两个圆在平面{���上;

(�)圆;(�)圆(在平面{���上);

��(�)z��{���y����� ;

(�)y��z�dpt�{�tjo���

� ;

��(�){��l� y�

b��z�c( )� ; (�)y��z�����{

��

��(�)y���z���{���;y���z��{���;

·���·部分习题答案

(�)z�{��y�;{�� z��y� �;

(�)y���z���{���;y��z���{����

���(�)z�y

{��, ����0�y0� �

�( )���

�;�y��{���z����� ;

�z��{���y����� ;

(�)y���z���z����{����� �

���(�)椭球面;(�)圆抛物面(或绕轴y��,z��的旋转抛物面);

(�)单 叶 双 曲 面;(�)椭 圆 抛 物 面;(�)双 叶 双 曲 面;(�)圆 锥 面;

(�)椭圆锥面;(�)马鞍面�

���(�)�{�����

{����

{��� ��

,左手系�

���(�)J����-��,J�����_��,J���,�y���y���y����;

(�)J����`��,J�J������`��,J�������_��,�y����y����y�������;

(�)J��J���,J����`��,J�L������_��,y��

��y����;

(�)J��J��L���,J�����_��,�y����y�����

·���· 第�章 常见曲面及二次曲面的分类

第�章 空间曲线与空间曲面

在这一章,我们将介绍几何中的一个重要部分 ——— 微分几何的最基本内

容,即S�中曲线、曲面在一点附近的局部性质和一些特征量�例如S�中的曲

线在一点处的切线、法平面、密切平面、副法线、从切平面、主法线、曲率和挠

率,以及S�中曲面的第一、第二基本形式和曲面上的曲率 ——— 法曲率、主曲

率、高斯曲率和平均曲率�研究这些几何量的主要工具是微积分�

��� 向量函数及其微积分

����� 向量函数

本章我们只考虑S�中的曲线和曲面�由于这种限制,利用S�中的向量运

算就比较方便,即记

s(u)�(y(u),z(u),{(u)), u��[b,c]� (���)

当y(u),z(u),{(u)分别为常数时,s(u)为常向量,它表示S�中的一个点�如果令s(u)� A�PQ(通常称它为点Q的向径),则当u从b变到c时,s(u)

的图形就是点Q的轨迹,当y(u),z(u),{(u)��D[b,c]时,点Q的轨迹是S�

中一条连续的空间曲线�(如图���)�

图���

例如,在空间直角坐标系Pyz{中,向量函数

s(u)�(y��mu,z��nu,{��ou),u��(��,��)

是通过点N�(y�,z�,{�)、方向为(m,n,o)的一条直线�而

s(u)�(sdpt�u,stjo�u,wu),u��[�,��)

是一条圆柱螺线,它是点Q(起始位置为(s,�,�),距{轴始终为s)以等角速

度�绕{轴旋转,以等速度w沿{轴方向移动的轨迹�在平面直角坐标系Pyz中,向量函数

s(u)�(y(u),z(u)),u��[b,c]

表示一条平面曲线,例如

s(u)�(sdptu,stjou),u��[�,��]

表示以原点为中心,以s为半径的圆�s(�)�(b�dpt�,b�tjo�),���[�,��),b`��

表示的曲线叫阿基米德螺线,其极坐标方程为

s� s � (b�dpt�)��(b�tjo�)� ��b��同一条曲线的参数方程一般不是唯一的�例如s(u)�(bdptu,ctjou),u��

[�,��],以及s(v)�(bdptlv,ctjolv)(其中l为任意非零常数,�0�lv0���),都表示一个椭圆�

����� 向量函数的分析性质

设向量函数s(u)�(y(u),z(u),{(u))在u�的�领域C�(u�,�)有定义,

s��(y�,z�,{�),则

mjnuA�u�s(u)�s� (���)

指的是:a��`��,��`��(�_��),a�u��C�(u�,�)(即u���_�u_�u���),

恒有 s(u)�s

O�O� O�O�

� _���(���)式等价于

mjnuA�u�s(u)�s

O�O� O�O�

�mjnuA�u�

(y(u)�y�)��(z(u)�z�)��({(u)�{�)� ���,

因此(���)式成立的充分必要条件是

mjnuA�u�y(u)�y�, mjn

uA�u�z(u)�z�, mjn

uA�u�{(u)�{�� (���)

若向量函数s(u)在C(u�,�)有定义,而且mjnuA�u�s(u)�s(u�),则称s(u)

在u�处连续�由(���)式,向量函数s(u)在u�连续的充要条件是它的分量

y(u),z(u),{(u)在u�连续�同样若数值函数�(u)和向量函数s(u),s�(u),

s�(u)在u�连续,则�(u)s(u),s�(u)�s�(u),s�(u)·s�(u),s�(u)�s�(u)都

在u�连续�

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

在区间的端点,向量函数的极限和连续的概念与数值函数一样,也是单侧

的�若向量函数s(u)在某个区间上每点都连续,则称s(u)在该区间上连续�向量函数(���)在点u�处的微分为

es(u�)� eyeu

,ezeu

,e{e( )u

U

u�eu, (���)

其中s(u)在u�处的雅可比矩阵的转置 eyeu

,ezeu

,e{e( )uu�

就是s(u)在u�处的导数,

记作eseuu�

或�s(u�)�相应地,eyeu

,ezeu

,e{e( )u 也常记作(�s(u),�z(u),�{(u)),即

�s(u�)�mjn�uA��

s(u���u)�s(u�)

�u �(�y(u�),�z(u�),�{(u�))�(���)

向量函数s(u)在可微区间[b,c]上的导函数也是S A�� S�的映射,它不

是数量,而是一个三维向量,所以严格地应说成s(u)的导向量函数(简称导向

量)�(���)式中的导向量习惯上不用雅可比矩阵的形式(即不写作列向量形

式)�下面看导向量的几何意义:设(���)式向量函数s(u)在[b,c]上可微,

它对应的连续曲线为D(如图���)�u�,u���u��[b,c],s(u�),s(u���u)

为对应曲线D上两个点,它们决定一个向量�s,即

�s�s(u���u)�s(u�)�

图���

当�u`��时,�s�u

与�s同向;当�u_��时,�s�u

与�s反向�因此,当�uA��时,

如果�s�u

的极限�s(u�)为非零向量,它就是曲线D在点u�处的切向量,其正方向

指向u增加的方向(如图���所示,图中�u`��)�如果�s(u�)-��,则称u�点是曲线D的正则点,否则称为奇点�当曲线D

·���·��� 向量函数及其微积分

上的点都是正则点时,就称D为正则曲线,当s(u)在[b,c]上处处有不等于

零的连续导函数时,曲线D称为光滑曲线��s(u�)-��是曲线D在点u�处切线存在的充分条件,但非必要条件,例如

s�(u�,u�,�)

是半三次抛物线 z��y�

{���� �

的参数方程�在u��处(即在原点P 处),�s(�)�

�,故原点是曲线的奇点,但曲线在原点有切线z��,{��(见图���)�

图���

向量函数具有下列求导法则:

(�)eeu�s�

e�eus��

eseu

(�)eeu

(s��s�)� eeus��eeus�

(�)eeu

(s�·s�)�es�eu

·s��s�·es�eu

, 特别eeus

���s·eseu

(�)eeu

(s��s�)�es�eu�s��s��

es�eu

(�)eeu

(s�,s�,s�)�es�eu

,s�,s( )� � s�,es�eu

,s( )� � s�,s�,es�e( )u ;

(�)对复合向量函数s�s(u),u�u(v),有esev�

eseueuev�

其中,���(u)是数值函数�(s�,s�,s�)�s�·(s��s�)是三个向量函数的

混合积�注意在向量积求导时,由于向量积和向量的次序有关,因此(�),(�)

的次序不能随意交换�向量函数�s(u)的导数称为s(u)的二阶导数,记作�s(u),更高阶的导数依

此类推,我们有

s(o)(u)�(y(o)(u),z(o)(u),{(o)(u))�

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

若s(o)(u)连续,则称s(u)是D(o)类的向量函数,记为s(u)��D(o)�s(u)��D(o)的充要条件是它的每一个分量都属于D(o),o��表示s(u)是

连续的向量函数�以后在讨论向量函数时,我们总是假定s(u)在所需要的阶数内是可微的�我们知道向量函数也有泰勒公式:设向量函数s(u)��D(o)[b,c],则它

的三个分量(数值函数)在点u��(b,c)处可展成(o��)阶泰勒公式,即

y(u��u)�y(u)��y(u)�u��y(u)�!(�u)��⋯�

y(o)(��)

o! (�u)o,

z(u��u)�z(u)��z(u)�u��z(u)�!(�u)��⋯�

z(o)(��)

o! (�u)o,

{(u��u)�{(u)��{(u)�u��{(u)�!(�u)��⋯�

{(o)(��)

o! (�u)o,

其中��,��,��,是三个在u与u��u之间的值�以上三式等价于下面向量函数

的式子:

s(u��u)�s(u)��s(u)�u���!�s(u)(�u)��⋯

�s(o��)(u)

(o��)!(�u)o���So��(�u)o, (���)

其中

So����o![y

(o)(��),z(o)(��),{(o)(��)]�

(���)式称为向量函数s(u)在点u��(b,c)处的o��阶泰勒公式�注

意其中So��一般不能写成�o!s

(o)(�)(�在u,u��u之间)的形式,因为So��中三个分量分别取值于��,��,��,而它们一般是不相等的,这和数量函数的泰

勒公式不同�由于s(u)��D(o),y(o)(u),z(o)(u),{(o)(u)都是u的连续函数,而��,

��,��又都在u和u��u之间,所以

mjn�uA��So���

�o!mjn�uA��

[y(o)(��),z(o)(��),{(o)(��)]� �o!s(o)(u)

因而(���)式还可以写成

s(u��u)�s(u)��s(u)�u�⋯��o!s(o)(u)(�u)o��(�u)o

(���)

其中�是穷小向量,即mjn�uA������

·���·��� 向量函数及其微积分

����� 向量函数的积分

对于给定的向量函数s(u),若存在向量函数S(u),使对区间[b,c]上的

每个u,都有

�S(u)�s(u),

则称S(u)是区间[b,c]上s(u)的一个原向量函数,简称原函数�若S(u)是

s(u)的一个原函数,则s(u)的任何原函数与S(u)只差一常向量D�s(u)的

全体原函数称为s(u)的不定积分,记成

&�s(u)eu�S(u)�D�

下列不定积分的运算法则,读者可以自行证明�

(�)&�s(u)eu�&�y(u)eu,&�z(u)eu,&�{(u)e( )u ;

(�)&�s�(u)�s�(u( ))eu�&�s�(u)eu�&�s�(u)eu;

(�)&�b�(u)eu�b&��(u)eu;

(�)&�b·s(u)eu�b·&�s(u)eu;

(�)&�b�s(u)eu�b�&�s(u)eu�其中�(u)是数量函数,b是常向量�

同样我们可以定义向量函数在区间[b,c]上的定积分:

&�c

bs(u)eu�&�

c

by(u)eu,&�

c

bz(u)eu,&�

c

b{(u)e( )u �

设S(u)是s(u)的一个原函数,同样有牛顿 — 莱布尼兹公式

&�c

bs(u)eu�S(u)

c

b�S(c)�S(b)

����� 三个特殊的向量函数

下面介绍三个特殊的向量函数(或特殊的空间曲线)�一方面为后面的内容作必要的

准备,另一方面也给读者指出一种方法,就是利用向量函数及其导数所满足的代数关系,

来判别、研究向量函数s(u)的几何性质�(�)定长向量函数

若��s(u)���常数,则称s(u)为定长向量函数�由于s�(u)���s(u)����常数,对

u求导,即得s(u)为定长向量函数的充要条件

s(u)·�s(u)��� (���)

定长向量函数s�s(u)的图形是一条位于以原点为中心的球面上的曲线�(���)式

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

说明,曲线在球面上的充要条件是,它在每点处的切向量与该点的向径向量垂直�(�)定向向量函数

与一固定方向平行的非零向量函数s(u)称为定向向量函数,即

s(u)��(u)f, (���)

其中f是一固定方向的单位向量,�(u)-��是一个数值函数,显然,�(u) ���s(u)���容易证明,s(u)为定向向量函数的充要条件是

s(u)��s(u)��, (����)

即�s与s平行�(�)与固定向量垂直的向量函数

与一非零定向向量b垂直的非零向量函数s(u)称为与一定向垂直(或平行于固定平

面)的向量函数�向量函数s(u)与一定向垂直的充要条件是混合积为零

(s(u),�s(u),�s(u))��� (����)

结论的必要性是明显的,只需证充分性:如果(s(u),�s(u),�s(u))��,不妨设s(u)与

�s(u)线性无关,即s��s-��(否则,s(u)为定向向量函数,它与一定向垂直),于是存在�,

���S,使得

�s��s���s�记b�s��s,它与s垂直,而且

b��b�(s��s)�(�s��s�s��s)��,

所以b为定向向量函数,而s(u)是与定向b垂直的向量函数�

��� 曲线的弧长和弗雷耐标架

����� 曲线的弧长

设有光滑曲线D:s�s(u),b0�u0�c,我们再一次定义和计算曲线D的

弧长�将区间[b,c]分成o份:b�u�,_�u�,_�u�_�,⋯,_�uo�c,则曲线D

上的对应分点是s(uj),相邻分点之间的线段长为��s(uj��)�s(uj)��,记�uj�uj�uj��,�� nby

�0�j0�o�uj �如果极限

mjn�A����

o

j����s(uj��)�s(uj)��

存在,且不依赖于分法,则称这个极限为曲线D在b0�u0�c上所对应的曲线

段的弧长t�我们知道,这个极限等于���s(u)��在[b,c]上的定积分,即

t�mjn�A����

o

j����s(uj��)�s(uj)���&�

c

b���s(u)��eu�

·���·��� 曲线的弧长和弗雷耐标架

设u�,u��[b,c],记t(u)为s(u�)到s(u)的弧长,并规定u`�u�时,

t(u)`��,u_�u�时,t(u)_��,则t(u)�&�u

u����s(u)��eu是u的增函数,而且

t(u)�&�u

u�

�y(u)���z(u)���{(u)� �eu� (����)

由(����)容易推出平面曲线在直角坐标系和极坐标系中的弧长公式:

t(y)�&�y

y���[z�(y)]� �ey,

t(�)�&��

����(�)�[��(�)]� �e��

我们称

et����s(u)��eu� �y�(u)��z�(u)��{�(u� )eu (����)

为弧微分,若�s(u)-��,则

eteu���

�s(u)��� ese

O�O�O� O�O�O�

u `��� (�����)

这表示t(u)的反函数u�u(t)存在,代入(���),得到以弧长t为参数的曲

线D的方程

s�s(t)�(y(t),z(t),{(y))� (����)

弧长参数t也称为曲线的自然参数�例� S�中的直线方程为

s�bu�c (��_�u_���),

其中b-��,c是常向量,求直线上由点u��到点u之间的弧长t及直线的弧

长参数表达式�解 直线的方向向量为

eseu�b

所求弧长是

t�&�u

ese

O�O�O� O�O�O�

ueu�&�u

���b��eu���b��u (��_�u_���),

由此解得反函数

u� ���b��t�

代入原直线方程,即得直线由其弧长作为参数的方程

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

s�t b��b���c�tf�c

其中f表示直线方向的单位向量�例� 求圆柱螺线s�(bdptu,btjou,cu)从u��到u的弧长t,并求

圆柱螺线的弧长参数表达式�解 圆柱螺线在点u处的切向量是

eseu�

(�btjou,bdptu,c),

所求弧长为

t�&�u

ese

O�O�O� O�O�O�

ueu�&�u

�b��c� �eu� b��c� �u,

由此我们得到圆柱螺线由自然参数t表示的方程

s� bdpt tb��c� �

,btjo tb��c� �

, ctb��c�( )� �

注意�s的第三个分量是常数c,与参数u无关,故圆柱螺线的切向量和{轴的夹角�的余弦为

dpt���s·l�c这就是说:圆柱螺线上任一点的切线与{轴交成定角�

用具有明确几何意义的弧长t代替原来的任意参数u,会给问题的讨论带

来很大的方便,特别是理论问题�用弧长作参数,将使一些公式大为简化,但

在具体问题上,要把一条原来由参数u表示的曲线规范化为由其弧长参数来

表达,可不是一件容易的事,这是因为弧长的积分往往不好计算(如椭圆弧长

的积分不能表示为初等函数)�由t�t(u)求反函数u�u(t)也不总是容易

的�在以下推导的公式中我们都用弧长作为参数,至于一般参数u的相应公式

可见后面的表格(���)�以下用“·”表示对一般参数u求导;以撇“�”表示对弧

长参数t求导,即

�s�eseu, s��eset�

����� 曲线的切线和法平面

设S�中曲线D用自然参数表示为

s�s(t)�(y(t),z(t),{(t)), b0�t0�c, (���)�t���[b,c]为D的正则点�由图���及式(���)得D在点t�的切线向量

U�s�(t�)(��U����),

切线方程为

·���·��� 曲线的弧长和弗雷耐标架

��s(t�)��U�s(t�)��s�(t�), (����)

其中�(y,z,{)是切线上点的向径,�为参数�过点s(t�)与切线垂直的直线称为D在s(t�)的法线,与切线垂直的平面

称为D在s(t�)法平面,法平面方程为

(��s(t�))·s�(t�)��, (����)

其中�(y,z,{)是法平面上点(y,z,{)的向径�若曲线D以一般参数u表示为s�s(u),记u�u(t)(t为弧长参数),则

U�eset�s�(t)�

eseueteu�

�s(u)���s(u)���

此时曲线在s(u�)处的切线方程和法平面方程(与(����)和(����)形式相

似)分别为

��s(u�)���s(u�), (����)��s(u�)·(��s(u�))��� (����)�

例� 求螺旋线s�(bdpt�,btjo�,c�)在点���处的切线和法平

面�解 ���时,s(�)�(b,�,�),

�s(�)�(�btjo�,bdpt�,c),

�s(�)�(�,b,c)�因此在���处螺旋线的切线方程为

��s(�)���s(�)�(b,b�,c�),�是参数,

或消去�,

y�b� �z��b �{��c �

法平面方程为

�s(�)·(��s(�))��,

bz�c{���

����� 密切平面和副法线

我们知道曲线上正则点有唯一的切线和法平面,但却有很多切平面和法

线�经过曲线D上点s(t�)的切线的平面称为切平面,D在s(t�)处有一族切

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

平面,其中有一个最贴近D的平面可以如下得到:过D上点s(t�)的切线及其

邻近点s(t���t)作一平面���当�tA��时,若��有极限位置�,则称�为

D在点s(t�)的密切平面�如果s�s(t)是平面曲线,则其上任一点的密切平

面就是曲线所在平面�密切平面的法线称为D在s(t�)处的副法线,单位副法

线向量以C表示,则

C�s�(t�)�s�(t�)

��s�(t�)��, (����)

这是由于��的法向量平行于向量

s�(t�)�(s(t���t)�s(t�))

�s�(t�)� s�(t�)�t���!(s�(t�)��)(�t)( )� ,

即向量

s�(t�)�(s�(t�)��),

其中mjn�tA������因此C"�s�(t�)�s�(t�)�再利用��s�(t�)�����U����和

s�(t�)!�s�(t�)(见(���)),即得(����)�副法线方程为

��s(t�)��C (����)

��s(t�)��(s�(t�)�s�(t�))� (����)�密切平面方程为

(��s(t�))·C�� (����)

(s�(t�),s�(t�),��s(t�))��� (����)�对曲线D的一般参数方程s�s(u),它在s(u�)处的单位副法线向量为

C��s(u�)��s(u�)

���s(u�)��s(u�)���(����)�

副法线方程和密切平面方程形同(����),(����)�例� 求圆锥螺线s�(udptu,�utjou,bu)在坐标原点处的密切平面

方程和副法线方程�解 坐标原点对应于u��,

�s�(dptu�utjou,�tjou�udptu,b),

�s(�)�(�,�,b),

�s�(��tjou�udptu,��dptu�utjou,�),

·���·��� 曲线的弧长和弗雷耐标架

�s(�)�(�,��,�),

所以,螺线在原点处的密切平面方程为

(��s(�),�s(�),�s(�))��,

y z {� � b� �� �

��,或�by�{���

螺旋线在原点处的副法线方程为

��s(�)��(�s(�)��s(�)),

��(b�,�,��),

其中�是参数�(其实,密切平面的法向量(�b,�,�)就是副法线的方向向量,

可以直接得出副法线方程 y�b�

z��

{��

����� 主法线和从切平面

在曲线D的任一点s(t�)处,已经有切线和法平面、密切平面和副法线的

概念,进而我们把密切平面和法平面的交线称为主法线,过s(t�)点且以主法

线为法线的平面称为从切平面(见图���)�

图���

以O表示过s(t�)的单位主法线向量,取

O�C�U� (����)

由于s�(t�)�U是定长向量,所以s�(t�)!�s�(t�)�U;再由

C�s�(t�)�s�(t�)

��s�(t�)�� !�s�(t�),

即得O"�s�(t�),它的单位向量为

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

O�s�(t�)

��s�(t�)���(����)�

过s(t�)的主法线和从切平面的方程分别为

��s(t�)��O, (����)

(��s(t�))·O��� (����)

若曲线D的方程为s�s(u),则

O�(�s(u�)��s(u�))��s(u�)

���s(u�)��s(u�)�����s(u�)���(����)�

例� 求圆柱螺线s�(bdptu,btjou,cu)在任一点u处的切线和法平

面、密切平面和副法线、主法线和从切平面�解 s�(bdptu,btjou,cu),

�s�(�btjou,bdptu,c),

�s�(�bdptu,�btjou,�)�得向量

U"��s�(�btjou,bdptu,c),

副法线向量

C"��s��s�(bctjou,�bcdptu,b�)"�(ctjou,�cdptu,b),

主法线向量

O"�(�s��s)��s

�(�(b��c�)dptu,�(b��c�)tjou,�)"�(dptu,tjou,�)�于是得切线方程

y�bdptu�btjou �z�btjoubdptu �{�cuc

副法线方程

y�bdptuctjou �z�btjou�cdptu �{�cub

主法线方程

y�bdptudptu �z�btjoutjou �{�cu�

法平面方程

�b(tjou)y�b(dptu)z�c{�c�u,

密切平面方程

c(tjou)y�c(dptu)z�b{�bcu,

从切平面方程

·���·��� 曲线的弧长和弗雷耐标架

(dptu)y�(tjou)z�b�

����� 弗雷耐标架

上面我们得到曲线D:s�s(t)在s(t�)处的单位切向量U,单位副法线

向量C和单位主法线向量O,它们以自然参数t表示和以一般参数u表示的公

式如表(���)所示�在曲线D上任一点s(t)处,都有互相正交的三个单位向量U(t),O(t)

和C(t),且依上述次序构成一个右旋坐标系,我们把它看成是粘附在D上

s(t)点处以s(t)为原点的右旋单位正交坐标系,当t在D上移动时,这个坐

标系也随着运动,是个活动的坐标系�

表���

空间曲线方程s�s(t) 空间曲线方程s�s(u)

弧长 t t�&�u

O�O� O�O�

s eu

弧微分 et et� �

O�O� O�O�

s eu

U s��s�

O�O� O�O�

s

O s�s

O�O� O�O�

� C�

C U

U

�O�s��s�s��

O�O� O�O�

s

定义��� 曲线s�s(t)在点t处的单位正交向量U,O,C按右手法则

组成的坐标系,称为曲线在点t处的弗雷耐(Gsfofu)标架,记作

{s(t);U(t),O(t),C(t)},

U�O�C,O�C�U,C�U�O,

(U,O,C)����� �

例� 设圆柱螺线的方程为

s�(bdpt�t,btjo�t,c�t),

式中�� �b��c� �

,b`��,求曲线在t处的弗雷耐标架�

解 eset�

(�b�tjo�t,b�dpt�t,c�t),ese

O�O�O� O�O�O�

t ��,知t为弧长参数,所以

U�s���(�btjo�t,bdpt�t,c),

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

O� U���U��� �

(�dpt�t,�tjo�t,�),

C�U�O��(ctjo�t,�cdpt�t,b)�图���(b)为c`��时的圆柱螺线,它是右旋的,因为c`��,U的第三

分量c�是向上倾斜的�O的第三分量为零,它总是平行于水平平面且指向{轴�C的第三个分量�b`��,它是向上倾斜的�图���(c)为c_��时的圆柱

螺线,它是左旋的�

图���

人们在实际生活中,也经常利用活动标架的方法�例如一条船航行在大海

上,如果取其前进的方向为U,垂直向上为C,则O�C�U是沿水平指向左

舷的向量�这样{s;U,O,C}就组成了一个标架,由于船本身在前进,因此它

们都是时间u的函数,是一个活动标架�当水手观察到海面上空一架飞机时,

它报出了下列数据:正前方y米,左侧z米,高度{米,这三个数字就是飞机在

活动标架{s;U,O,C}上的三个坐标分量,它们也都是u的函数,即使飞机不

动,飞机的坐标也是要改变的�当然地面指挥所也能测得飞机的方位(这是固

定坐标架下的坐标),通知舰船�但打仗时,对舰船有用的数据正是敌机在活动

标架中的坐标y,z,{�

��� 曲线的曲率 挠率 弗雷耐公式

����� 曲线的曲率

在很多实际问题中,例如,设计拐弯的铁道、弯曲的梁、曲线形的刀具,都

必须考虑曲线的弯曲程度,数学上定量描述空间曲线弯曲程度的概念叫曲线

·���·��� 曲线的曲率 挠率 弗雷耐公式

的曲率�它应该如何定义呢?

设光滑曲线D的方程为s�s(t),t为自然参数�当t由t�变到t���t时,切向量U(t�)与U(t���t)的正向夹角为��(如图���所示)�显然,

���t

越大,则曲线D在BC弧段上平均弯曲程度越大�于是,D在点B(或说点

t�)处的弯曲程度可以用mjn�tA��

���t

来描述� ���t越大,等价于 �U

O�O�O� O�O�O�

t �

U(t���t)�U(t�)

O�O�O�O� O�O�O�O�

t越 大�因 此,D 在 点t� 的 曲 率 可 以 用mjn

�tA��

�U�

O�O�O� O�O�O�

t �

��U�(t�)�����s�(t�)��来描述�即有下面的定义�

图���

定义��� 光 滑 曲 线s�s(t)对 自 然 参 数t的 二 阶 导 向 量 的 模

��s�(t)��称为曲线s(t)在点t处的曲率,记作l(t),即

l(t)���s�(t)��� (����)

当l(t)-��时,其倒数称为曲线s(t)在点t处的曲率半径,记作S(t),即

S(t)� �l(t)� (����)

在弗雷耐标架中,由于U�s�,U��s�而O� s���s���

,故

U�(t)���s�(t)��O(t)�l(t)O(t)�我们称向量l(t)O(t)为曲线s(t)在点t处的曲率向量�由向量s(t)�S(t)O(t)表示的点R称为曲线在点t处的曲率中心�在点t的密切平面上,

以曲率中心R为圆心,曲率半径S(t)为半径作圆N,称N 为曲线在点t处

的密切圆(见图���)�显然,密切圆与曲线在点t相切,而且在点t它们有相同的曲率�工程中

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

图���

常常用密切圆的一段弧来近似代替点t邻近的一段曲线�总结以上的讨论,可以归结为下面的引理:

引理 设f(u)是单位向量函数,�f�f(u��u)�f(u),而��为f(u��u)和f(u)的夹角(见图(���)),则

ef(u)e

O�O�O� O�O�O�

u �mjn�tA��

���u �

证 按照向量函数导数的定义,有

ef(u)e

O�O�O� O�O�O�

u �mjn�uA��

�f�u �mjn

�uA��

�tjo����u �mjn

�uA��

���u �

图���

由曲率的定义及上述引理,得

l(t)���s�(t)��� eU(t)e

O�O�O� O�O�O�

t �mjn�uA��

���t

, (����)

式中��是U(t��t)和U(t)的夹角�所以,曲线在一点处的曲率就是曲线在

该点的切向量倾角对其弧长的变化率,或称切线对弧长的转动率�例� 求圆柱螺线s�(bdptu,btjou,cu)的曲率�解

·���·��� 曲线的曲率 挠率 弗雷耐公式

U�eset��s(u)���s(u)�� �

�b��c� �

(�btjou,bdptu,c),

eUet�

eUeueteu� �

b��c� ��b��c� �

(�bdptu,�btjou,�)

� bb��c�

(�dptu,�tjou,�),

l� eUe

O�O�O� O�O�O�

t � bb��c�

例� 证明:空间曲线为直线的充要条件是每点的曲率为��证 只证必要性�设直线方程为s�tf�c,有s���,即l(t)���s���

(���反之设l���s�(t)��(��,由s�(t)��解得s(t)�bt�c(其中b,

c为常向量)�再看以一般参数u表示的曲线s�s(u)的曲率表达式�由

s�(t)��s(u)u�(t)��s(u)���s(u)��

s�(t)��s(u)u�(t)���s(u)u�(t),

及s�(t)·s�(t)��,得

l(t)���s�(t)�����s�(t)�s�(t)��

����s(u)u�(t)�(�s(u)(u�(t))���s(u)u�(t))��

���(u�(t))�(�s(u)��s(u))��

� ���s(u)��s(u)�����s(u)���

����� 挠率

空间曲线除了有“弯曲”的概念外,还有一个“挠扭”的概念,“弯曲”是相

对于“直”而言的,而“挠扭”是相对于“平”而言的�位于一个平面上的曲线称

为平面曲线,它是不“挠扭”的,所以,我们称非平面曲线为挠曲线�挠曲线上

点s(t��t)将偏离t处的密切平面,或者说曲线上点s(t)和s(t��t)处的

密切平面是不同的�显然这种偏离也有程度上的差异�例如,一条弹簧,在压得

很紧的时候,它的每一圈都接近于(或者就是)平面曲线,曲线上点s(t��t)

偏离s(t)处的密切平面较小;放开时,曲线上点s(t��t)偏离s(t)处的密

切平面程度就会很大�

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

我们将用密切平面的变化率,即密切平面的法向量(也就是曲线的副法向

量)C(t)的变化率来描述这种偏离程度,从而导出曲线论中的另一个重要的

几何概念:挠率�在弗雷耐标架{s(t);U(t),O(t),C(t)}中,

C(t)·U(t)���对上式两边求导,得

C�(t)·U(t)�C(t)·U�(t)���将U�(t)�l(t)O(t)和C(t)·O(t)��,代入得

C�(t)·U(t)���又由C�(t)·C(t)��可知C�(t)同时垂直于U(t)和C(t),从而C�(t)平

行于O(t),即

C�(t)���(t)O(t),

其中�(t)是数值函数,前面的负号是为了方便添加的�于是,

��C�(t)��� �(t),�(t)��C�(t)·O(t)�我们对曲线的挠率给出如下的定义�

定义��� 我们称函数

�(t)��C�(t)·O(t) (����)

为曲线s(t)在点t处的挠率�由于

�(t) ���C�(t)���mjn�tA��

���t

其中��表示C(t)和C(t��t)间的夹角,即两相邻点的密切平面的夹角�所以,挠率的绝对值为曲线在该点密切平面法向量的倾角对其弧长的变化率,或

曲线在该点“偏离”相应的密切平面的程度,这就是挠率的几何意义�例� 证明:曲线s(t)是平面曲线的充要条件是其挠率恒为零�证 必要性�因为平面曲线上任一点处的密切平面都是s(t)所处的平

面,即C(t)是一个常向量,故有

}�(t)}���C�(t)�����充分性�已知对任意t有�(t)(��,即C�(t)(��,即副法线向量C为常

量�又由

(s(t)·C�)��s�(t)·C��U(t)·C�(��,

从而

·���·��� 曲线的曲率 挠率 弗雷耐公式

(s(t)·C�)�常数,或(s(t)�s(�))·C���,

即曲线上任一点s(t)均位于过s(�),以C�为法向量的平面上�例�� 求圆柱螺线s(t)�(bdpt�t,btjo�t,c�t)的曲率和挠率,其中

b,c是常数,且b`�c,�� �b��c� �

解 由 ese

O�O�O� O�O�O�

t ��,知t为自然参数,所以

O(t)� U�(t)U�(t) �(�dpt�t,�tjo�t,�),

C(t)�U(t)�O(t)��(ctjo�t,�cdpt�t,b),

C�(t)�c��(dpt�t,tjo�t,�)��c��O(t)�曲率

l(t)���U�(t)���b��� bb��c�

挠率

����c� cb��c�

一条圆柱螺线的曲率和挠率都是常数�按定义,曲率l(t)总是正数(b`��),而挠率�(t)却可正可负:当c`��时,�`��;c_��时,�_��,也就是说,

对于右手螺旋,挠率为正;对左手螺旋,挠率取负值�从挠率的角度来观察一条挠曲线时,最简单的挠曲线是圆柱螺线,如同从

曲率角度圆是最简单的平面曲线一样�下面我们分别给出用自然参数和一般参数来表达挠率�的计算公式

���l(s ·C)�

(s�,s�,s )

��s����, (����)

��(�s,�s,s

⋯)

(�s��s)� �(����)�

先证(����):由s��lO,

�l

(s ·C)��l((lO)�·C)��l

((lO·C)��(lO·C�))

��(O·C�)���

将C�s��s���s��� ��l

(s��s�)代入s ·C,即得式(����)�

再证第二个式子:它可从参数变换t�t(u)得到�我们只须把下面的等

式代入(����),就得到对参数u的挠率计算公式�

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

s���seuet,

s���s eue( )t���se

�uet�

s � s⋯ eue( )t

����seuet

e�uet��

�se�uet�

��s����l� ���s��s�����s���

,���s���eteu�

由公式(����)、(����)�可知,���,(s�,s�,s )��,(�s,�s,s⋯

)��彼此是等价的,它们都是平面曲线的充要条件,也正是这个原因,非平面曲线

被称为挠曲线�例�� 求三次参数曲线

s�(�u�u�,�u�,�u�u�)

的弗雷耐标架U,O,C及l和��

解 �s��(��u�,�u,��u�),�s��(�u,�,u),s⋯��(��,�,�),

�s��s���(���u�,��u,��u�),

���s��� ���(��u�),

���s��s��� ����(��u�)�按照标架的计算公式,有

U��s���s�� �

�����u���u�

,�u��u�

,( )� ,

C��s��s���s��s�� �

������u���u�

,��u��u�

,( )� ,

O�C�U� ��u��u�

,��u�

��u�,( )�

l� ���s��s�����s��� � �

�(��u�)�

�� ��(�s,�s,s

⋯)��

���s��s��� � ��(��u�)��

注意,对于参数u,我们先求C,后求O,这与弧长参数的情形正好相反�

����� 弗雷耐公式

在���中我们介绍了向量函数s(t)及其各阶导数在某个固定标架j,k,l上的分解式:

·���·��� 曲线的曲率 挠率 弗雷耐公式

s(t)�(y(t),z(t),{(t))�在曲线论中,我们常常把曲线s�s(t)在点t处的弗雷耐标架(s(t);U,O,

C)作为标架,把s(t)表成U,O,C的线性组合,即

s(t)��(t)U��(t)O��(t)C�由于这个标架是活动的,这时,一阶导数为

es(t)et �b�U���O���C��U���O���C��

这里,U�,O�,C�还是以t为参数的向量函数,我们仍希望把它们表示成标架

向量U,O,C的线性组合�对于更高阶的导数,将有更多的项,但是最终它们

都可表成标架向量U,O,C的线性组合�为此,我们需要求出U�,O�,C�在U,

O,C上的分解式�设t是s(t)的自然参数,由(����)和(����),有

U��lO, C����O�对等式O�C�U的两边求导数,得

O��C��U�C�U����O�U�C�lO��C�lU�我们得到公式:

U��lO, O���lU��C, C����O� (����)

公式(����)称为弗雷耐公式,写成矩阵形式为

U�O�C

���

� l ��l � �� ��

��

U�

�OC� (����)�

矩阵形式(����)�有助于记忆和应用�注意这个系数矩阵是反对称的,

而且只有两个自由度:曲率l和挠率��弗雷耐公式是曲线论的基本公式�弧长参数t,曲率l(t)和挠率�(t)是描述一条曲线的基本量�它们的“基

本”之处在于:只要知道了这三个量,曲线的形式就完全确定了;因此,这三个

量是确定一条曲线的特征量,即有下面两个定理�定理��� 设s�s�(t),s�s�(t)是S�中两条以弧长t为参数的正则

曲线,如果它们的曲率处处不为零,而且l�(t)�l�(t),��(t)���(t),则

s�(t)必可通过平移和旋转变换而与s�(t)重合�定理��� 设l(t),�(t)是定义在[b,c]上的连续可微函数,而且

l(t)`��,则在S�中存在正则曲线s�s(t),t��[b,c],它以t为弧长参数,

以l(t),�(t)为其曲率和挠率�

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

��� 特殊的空间曲线

����� 一般螺线

圆柱螺线的曲率和挠率都是非零常数,从挠率的角度观察一条空间挠曲线时,圆柱

螺线是最简单的挠曲线,圆柱螺线可以用一个锐角为�的直角三角形纸片(其底边BC垂

直于圆柱轴)卷贴在圆柱上,它的斜边形成的曲线就是圆柱螺线(见图���(b)),把圆柱改

为一般柱面,所得到的斜边曲线就是一般的螺线(见图���(c))�

图���

定义��� 当一条空间曲线上任一点的切向量和某一固定方向成定角时,该曲线称

为一般螺线�定理��� 下列命题(其中l,�-��)等价:

(�)曲线的切向量U(t)和某固定方向成定角;

(�)曲线的主法向量O(t)和某固定方向垂直;

(�)曲线的副法向量C(t)和某固定方向成定角;

(�)曲线的挠率�和曲率l之比等于常数�

����� 球面曲线

位于球面上的曲线称为球面曲线,对球面曲线s(t)有以下等价命题�

定理��� 当�,l,elet-��

时,下述命题等价:

(�)s(t)是位于以B( A�PB�b为常向量)为球心的球面上的曲线(t为自然参数);

(�)s(t)的所有法平面过球心B,即(s(t)�b)·U(t)��; (����)

(�)s(t)在弗雷耐标架上的表示式为

s(t)�b�SO�S��C(S为曲率半径)� (����)

·���·��� 特殊的空间曲线

��� 曲面的表示 切平面 参数变换

����� 曲面的表示

在多元函数微分学中已讲过,S�中的曲面T可以通过空间直角坐标系以

显式表示为{�g(y,z),或以隐式表示为G(y,z,{)��,还可用参数方程

表示为

y�y(v,w),

z�z(v,w), (v,w)��EO�S��{�{(v,w��

� ),

(����)

如果引入向量的记号,则曲面方程(����)可以表示为如下的向量形式

s�s(v,w), (v,w)��E� (����)�式中的s表示曲面T上点的位置向量,即

s�(y(v,w),z(v,w),{(v,w)), (v,w)��E,(����)�其中E表示向量函数s(v,w)的定义域�

向量函数(����)�实际上是一个映射:

s: A�E S�

或 s:(v,w A�) (y(v,w),z(v,w),{(v,w))�

在这个映射下,E的象集构成S�的一个曲面T(见图����)�

图����

满足s�v�s�w��的点(v,w)称为曲面的奇点�满足s�v�s�w-��的点(v,

w)称为曲面的正则点,v,w称为正则参数;若映射s: A�E T是���对应的,

且y,z,{��D(�)(E),秩y�v z�v {�vy�w z�w {�

�w��,a�(v,w)��E,则称曲面s(v,

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

w)是正则曲面�为了方便起见,以后总假定曲面是光滑的(即s(v,w)具有任

意阶偏导数),正则的(即无奇点)�以下将偏导数s�v,s�w 简记为sv,sw�设(v�,w�)是E中任一点,固定参数w�w�,而让v变动,则直线w�w�

被映射到T上的一条曲线:

s�s(v,w�)�(y(v,w�),z(v,w�),{(v,w�)), (����)

称为曲面上过点s(v�,w�)的v坐标曲线,简称v曲线�同样固定v�v�,而

让w变动,可得曲面T上过点s(v�,w�)的一条w坐标曲线:

s�s(v�,w)�(y(v�,w),z(v�,w),{(v�,w))� (����)�这样,在曲面T上每一点,一般都有一条v曲线,一条w曲线,统称参数曲线,

他们的全体构成了曲面上的参数曲线网,简称坐标网,v,w也称为曲面上的

曲线坐标(见图����)�例 球面y��z��{��b�(见图����)常用的参数方程是

s�s(v,w)�(btjovdptw,btjovtjow,bdptv)

(�0�v0��,�0�w0���),其中常数b`���

图����

这样,w曲线(v�v�)是平行环线(纬线),而v曲线(w�w�)是子午线(经

线)�显然,曲面T上的v曲线、w曲线在点s(v�,w�)处的切向量分别是

sv(v�,w�)� I�yI�v

,I�zI�v

,I�{I�( )v (v�,w�)

sw(v�,w�)� I�yI�w

,I�zI�w

,I�{I�( )w (v�,w�)

����� 参数变换

同一个曲面,可以用不同的参数表示,设参数变换式是

·���·��� 曲面的表示 切平面 参数变换

v�v(�v,�w)

w�w(�v,�w��� ),

(����)

且映射(�v,�w A�) (v,w)满足:

(�)v�v(�v,�w),w�w(�v,�w)都是连续可微函数;

(�)变换的雅可比行列式不为零,即

E(v,w)E(�v,�w)�

I�vI��v

I�vI��w

I�wI��v

I�wI��w

-���

曲面s�s(v,w)在新参数下的方程为

s�s(v(�v,�w),w(�v,�w))�将上式分别对�v,�w求偏导数,得到曲面上新参数曲线的切向量:

s�v �svI�vI��v�sw

I�wI��v

,s�w �svI�vI��w�sw

I�wI��w

而且有 s�v�s�w �E(v,w)E(�v,�w)(sv�sw)� (����)

由(����)可知,曲面的法线方向与参数的选择无关,当雅可比行列式

E(v,w)E(�v,�w)`��时,法向量还保持方向一致,同样,曲面的正则性也和参数变换

无关�

����� 曲面的切平面与法向量

下面研究曲面上一条曲线D的切向量,设曲线D在曲面T:s�s(v,w)

上,可经参数u表示为

D:s�s(v(u),w(u)), b0�u0�c� (����)

根据复合函数的求导法则,曲线D在点Q(u),即在点s(u)� A�PQ处的切向量

eseu�

I�sI�veveu�

I�sI�weweu

, (����)

其中sv�I�sI�v

,sw�I�sI�w

分别是v曲线、w曲线在同一点处的切向量�

(����)式表明,当sv�sw-��,即sv,sw线性无关时,过曲面上点Q(u)

的任意曲线D的切向量均可由sv,sw线性表出,也就是它总是落在由sv,sw张

成的平面Uq内�我们称由sv,sw张成的平面Uq为曲面T在点Q(u)处的切平

面,也称为二维切空间,并称sv,sw是切空间的基�任意过Q点的切向量eseu

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

用(����)表示�eveu,eweu

就是这个切向量关 于 基sv,sw 的 坐 标,我 们 称

eveu

,ewe( )u 或(ev,ew)为过Q点的切方向�切平面的法向量是sv�sw,也称为

曲面T在点Q(u)处的法向量o,其单位法向量为

o��sv�swsv�s

O�O� O�O�w� (����)

曲面T在点Q(u)处的切平面方程为

o·(��s)��或(��s,sv,sw)��, (����)

其中��(y,z,{)是切平面上动点的位置向量,s是点Q的位置向量�(���)式也可用参数方程表示为

�(�,�)�s��sv��sw, (����)�其中�,�为参数,�,���(��,��)�

曲面T在点Q(u)处的法线方程是

�(u)�s(v,w)�uo�(v,w), (����)

其中u是参数,��_�u_����例� 旋转面:将y{平面上的一条曲线

D:y�g(w)

{�h(w��� ),

b0�w0��

图����

绕{轴旋转一周(假定g(w)`��),所得的曲面称为旋转面,它的参数方程是

s�(g(w)dptv,g(w)tjov,h(w)),�0�v0���,

�0�w0���

���

曲线D称为旋转面的母线,v曲线称为纬线,是平行于yz平面的圆,w曲线是

经线,每条经线都落在过{轴的一个平面上,显然和曲线D合同(见图����),它的坐标曲线的切向量是

·���·��� 曲面的表示 切平面 参数变换

sv�(�gtjov,gdptv,�),sw�(g�dptv,g�tjov,h�)�法向量是

sv�sw�(gh�dptv,gh�tjov,�gg�)�单位法向量是

o�� �(g�)��(h�)� �

(h�dptv,h�tjov,�g�)�

例� 圆柱面: 圆柱面是旋转面的特例�图����所示圆柱面是例�中当g(w)�b(常数),h(w)�w时的旋转面,因此其方程为

s�(bdptv,btjov,w),�0�v0���,��_�w_����

图���� 图����

例� 圆锥面:以原点为顶点,{轴为对称轴,半顶角为�(dpu��c)(图����)�它也是一种旋转面�在例�中令g(w)�w,h(w)�cw所得旋

转面就是这里的圆锥面,其方程为

s�(wdptv,wtjov,cw),�0�v0���,��_�w_����此时

sv�sw�(cwdptv,cwtjov,�w)�在顶点处(w��),sv�sw��,因此顶点是奇点;为了使曲面处处正则,应该

除去顶点,即假定w-��,此时单位法向量是,

o��(dpt�dptv,dpt�tjov,�tjo�),

它与参数w无关�例� 螺旋面:如果例�中的曲线D在绕{轴旋转v角的同时沿着{轴

上升距离cv(c`��是常数),此时,所得曲面称为螺旋面,它的参数方程是

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

s�(g(w)dptv,g(w)tjov,h(w)�cv),�0�v0����0�w0���

����

曲线D称为螺旋面的母线,v曲线是圆柱螺线,螺距是�c�,w曲线是过{轴的

一个平面上的平面曲线,合同于曲线D(见图����)�

图����

同样,

sv�(�gtjov,gdptv,c),sw�(�g�dptv,g�tjov,h�),

sv�sw�(gh�dptv�cg�tjov,cg�dptv�gh�tjov,�gg�),

o��(gh�dptv�cg�tjov,cg�dptv�gh�tjov,�gg�)

(gh�)��(cg�)��(gg�)� ��

图����

当g(w)�w,h(w)��时,曲线D是和y轴重合的直线段,这时所生成的螺

旋面称为正螺面(见图����),机械中的螺杆是正螺面,有些大楼、场馆、立交

桥中的旋转楼梯也是正螺面,这时

·���·��� 曲面的表示 切平面 参数变换

s�(wdptv,wtjov,cv),

o�� �c��w� �

(�ctjov,cdptv,�w)�

��� 曲面的第一基本形式

设T为正则曲面,其方程为

T:s�s(v,w),(v,w)��E� (����)

设曲线DO�T,其参数方程为

D:v�v(u)

w�w(u��� )

(�_�u_��)�

D的向量方程为

s�s(v(u),w(u))(�_�u_��)� (����)

D在点Q(其位置向量为s)处的切向量为

eseu�sv

eveu�sw

eweu�

(sv,sw)

eveuewe

�u

其微分形式是

es�svev�swew�(sv,sw)eve����w�

设t是曲线D的弧长,由et���es��,得

et��es·es�(svev�swew)�

�s�vev���sv·swevew�s�wew��记 F�s�v, G�sv·sw, H�s�w, (����)

将et�表示成矩阵形式:

et��es��(ev,ew)F G��

��G Heve����w� (����)

(����)式右端是关于微分ev,ew的二次型,称为曲面T的第一基本形式,或

称为曲面T的线素,它表示T上以(ev,ew)为切方向的一条曲线弧长元素的

平方,一般把它记作J(ev,ew)即

J(ev,ew)�(ev,ew)F G��

��G Heve����w� (����)�

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

其中F,G,H 称为曲面T 的第一类基本量,它们都是v,w 的函数,矩阵

F G��

��G H

称为第一基本形式的对应矩阵,它是一个正定矩阵�

当曲面引入新参数�v,�w,即作参数变换

v�v(�v,�w),

w�w(�v,�w��� ),

且 E(v,w)E(�v,�w)`��� (����)

对于新参数,曲面方程为

s�s(v,w)�s(v(�v,�w),w(�v,�w))�我们来计算用新参数表示的第一基本形式,新参数曲线的切向量是

s�v �svI�vI��v�sw

I�wI��v

s�w �svI�vI��w�sw

I�wI��w�

在点Q(v,w)的切空间中,新基s�v,s�w 和旧基sv,sw 由过渡矩阵(雅可比矩阵

K)联系,即

s�vs�

�w�

I�vI��v

I�wI��v

I�vI��w

I�wI��

�w

svs

�w� I�(v,w)I�(�v,�w( ))

Usvs

�w� (����)

记在新参数下的第一类基本量为�F,�G,�H,其第一基本形式的对应矩阵为

�F �G�G ���

��H�s�vs�

�w(s�v,s�w)

�KUsvs

�w(sv,sw)K�KU

F G��

��G HK�

由此可见,在不同参数下,第一基本形式的对应矩阵彼此互为合同矩阵�对(����)式两边微分并以矩阵形式表示,则

eve����w�I�

(v,w)I�(�v,�w)

e�ve�����w�K

e�ve�����w�

对第一基本形式作参数变换,即有

et��J(ev,ew)�(ev,ew)F G��

��G Heve����w

�(e�v,e�w)KUF G��

��G HKe�ve�����w

·���·��� 曲面的第一基本形式

�(e�v,e�w)�F �G�G ���

��He�ve�����w�J(e�v,e�w), (����)

这说明第一基本形式与参数变换无关�由于es��et��J(ev,ew),故曲面上曲线段的弧长为

M�&�c

bF eve( )u

��Geveueweu�H

ewe( )u�

�eu� (����)

利用第一基本形式还可以求曲面T上两条曲线的交角�设T上的两条曲

线D�、D�在交点Q的切向量分别是

es�svev�swew,

�s�sv�v�sw�w,

则 es·�s�(ev,ew)F G��

��G H�v�����w

�Fev�v�G(ev�w�ew�v)�Hew�w�故两曲线在Q点处的夹角的余弦为

dpt〈es,�s〉� es·�s��es�����s��

� Fev�v�G(ev�w�ew�v)�Hew�wFev���Gevew�Hew� � F�v���G�v�w�H�w� �

�(����)

由(����)可知,曲面上两条曲线相互垂直的充要条件是dpt〈es,�s〉��,即

Fev�v�G(ev�w�ew�v)�Hew�w��� (����)

如果两条曲线是坐标参数曲线,即v曲线(ew��)和w曲线(�v��),

则坐标参数曲线的夹角余弦为

dpt〈es,�s〉� G� �F H

由此可知,曲面的参数曲线网是正交坐标网的充分必要条件是G���例 求正螺面

s�(vdptw,vtjow,cw), ��_�v,w_���的第一基本形式,并验证其参数曲线网是正交曲线网�

sv�(dptw,tjow,�),

sw�(�vtjow,vdptw,c),

故 F�s�v�dpt�w�tjo�w��,

G�sv·sw��vdptwtjow�vtjowdptw��,

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

H�s�v�v�tjo�w�v�dpt�w�c��v��c��正螺面的第一基本形式为

J�ev��(v��c�)ew��又因为G��,故其参数曲线网是正交曲线网�

��� 曲面上曲线的法曲率 曲面的第二基本形式

在���中,我们通过曲面的第一基本形式研究了曲面上曲线的度量(弧

长、交角)性质,现在要讨论曲面在一点的弯曲状况�容易想到,如果过曲面上

一点所有曲面曲线的曲率都很大,那么曲面在这一点将比较“弯曲”�下面我们

从讨论曲面上过一点Q(v,w)具有不同方向的曲线的曲率入手,从而引入与

曲面在一点处弯曲状况有关的第二基本形式�

����� 曲面上曲线的法曲率

我们已经定义了空间曲线上一点的曲率,现在来定义曲面在一点的曲率

(曲面弯曲的程度)�自然的办法是通过曲面上过这一点所有曲线的曲率入手�设T:s�s(v,w)是一正则曲面,Q(v,w)是T上一固定点,T在Q点的

切平面为�q,其单位法向量为o��T 上一曲线D 的方程为s�s(v(t),

w(t))(t为弧长参数),D在Q点的曲率为l,标准正交标架为{Q;U,o�,U�

o�},其中U�eset,U��lO,由于lO与U垂直,故在o�和U�o�张成的平

面内,lO可以分解成

lO�loo��lh(o��U)� (����)

其中lo和lh分别称为曲线D在Q点处的法曲率和测地曲率,loo�和lh(o��U)分别称为法曲率向量和测地曲率向量�(见图����)

图����

·���·��� 曲面上曲线的法曲率 曲面的第二基本形式

上式两边点乘o�得

lo�lO·o�, (����)

即Q点处D的法曲率是曲率向量lO在o�上的投影,可见T上任意一条曲线

在Q点的法曲率lo,不会超过D在该点的曲率l�

����� 曲面的第二基本形式

由(����),

lo�lO·o��U�·o��s�·o��又 s��(svv��sww�)�

�svv��sww��svv(v�)���svwv�w��sww(w�)�,

由于sv,sw 垂直于o�,所以有

lo�(svv(v�)���svwv�w��sww(w�)�)·o�

�(svv·o�)(v�)��(�svw·o�)v�w��(sww·o�)(w�)��记 svv·o��M,svw·o��N,sww·o��O, (����)

得 lo�M(v�)���Nv�w��O(w�)�

�Mev���Nevew�Oew�

et� �

我们称Mev���Nevew�Oew�为曲面的第二基本形式,记成JJ(ev,

ew)即

JJ(ev,ew)�Mev���Nevew�Oew�� (����)

M,N,O称为曲面的第二类基本量,由上一节知,et��Fev���Gevew�Hew�是曲面的第一基本形式,所以

lo�JJ(ev,ew)J(ev,ew)�

(ev,ew)M N��

��N Oeve����w

(ev,ew)F G��

��G Heve����w

� (����)

曲面上曲线D在点Q(v,w)的法曲率lo除与曲面在Q点处的第一、二类

基本量有关外,仅仅依赖于曲线D在点Q的切向量的方向ev:ew�过正则曲面

上一点的一条曲线对应一个切方向(ev,ew),然而给了过这一点的一个切方

向,却有远不止一条曲面上过此点的曲线与之对应,它们都在这一点彼此相

切,所以曲面上相切于点Q的两条曲线D�和D�,有相同的法曲率,今后我们

称lo 为曲面的在点Q沿方向es的法曲率�

由于o��sv�sw��sv�sw��

,利用拉格朗日恒等式(证明略)

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

(s��s�)·(s��s�)�s�·s� s�·s�s�·s� s�·s�

易得

��sv�sw��� s�vs�w�(sv·sw)� �� FH�G� �� (����)

于是,第二类基本量还可表示为

M�(sv,sw,svv)

FH�G� �,N �

(sv,sw,svw)

FH�G� �,O�

(sv,sw,sww)

FH�G� ��(����)�

再由等式sv·o���,sw·o���两边分别对v,w求导,得

svv·o���sv·o�v,sww·o���sw·o�w,

svw·o���sv·o�w��sw·o�v,

于是又可将第二类基本量表示为

M��sv·o�v,N ��sv·o�w��sw·o�v,

O��sw·o�w� (����)�将(����)�代入(����),得

JJ(ev,ew)��[sv·o�vev��(sv·o�w�sw·o�v)evew�(sw·o�w)ew�]

��es·eo�,

其中

es�svev�swew; eo��o�vev�o�wew�例� 求平面的第一、二基本形式�解 设T�是S�中的yz平面,它的参数方程的向量表示式为

s�(v,w,�)�它的单位法向量是常向量

o��(�,�,�)�所以

J�es·es�ev��ew�,

JJ��es·eo���例� 求圆柱面的第一、二基本形式�解 设圆柱面的方程是

s�(bdptv,btjov,w)�因 sv�(�btjov,bdptv,�),

sw�(�,�,�),

·���·��� 曲面上曲线的法曲率 曲面的第二基本形式

故 o��sv�sw��sv�sw�� �

(bdptv,btjov,�)b �(dptv,tjov,�),

svv�(�bdptv,�btjov,�),

sww�svw���因此

F�sv·sv�b�,G�sv·sw��,H�sw·sw��,

M�svv·o���b,N �svw·o���,O�sww·o����所以

J�b�ev��ew�,

JJ��bev��例� 求旋转面

s�(g(w)dptv,g(w)tjov,h(w))

的第二基本形式�解 因

svv�(�gdptv,�gtjov,�),

svw�(�g�tjov,g�dptv,�),

sww�(g�dptv,g�tjov,h�(w)),

单位向量

o�� �(g�)��(h�)� �

(h�dptv,h�tjov,�g�),

就得到

M�svv·o�� �gh�(g�)��(h�)� �

, N �svw·o���,

O�sww·o�� g�h��g�h�(g�)��(h�)��

JJ� �gh�(g�)��(h�)� �

ev�� g�h��g�h�(g�)��(h�)�ew��

例� 求圆柱面s�(bdptv,btjov,w)上v曲线的法曲率�解 由例�,圆柱面的第一,第二基本形式为

J�b�ev��ew�,

JJ��bev�,

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

lo��bev�

b�ev��ew��

v曲线(ew��)的法曲率为

lo���b�

若用�表示切方向(bev,ew)与v曲线的夹角,则

dpt��bev

(bev)��ew� �,

lo���b

b�ev�(bev)��ew���

�bdpt

���

所以��b 0�lo0��,lo 是w曲线处的法曲率�法曲率是负的,说明o�是曲面

的外法线向量,曲面是朝着�o�方向弯曲的�

����� 梅尼埃定理

曲面T上过Q点且与某个固定方向相切的曲线有很多,而且其中还有很

多是平面曲线,它们的曲率可能不同,但都有相同的法曲率�我们希望把求T上曲线D在一点过方向es的法曲率问题归结为求某一平面曲线Do在这一点

的曲率的问题�过曲面在Q点处的法线的平面,称为曲面的法平面,法平面与

曲面的交线称为法截线,由于过Q的法平面很多,相应的法截线也很多,但过

给定切方向(ev,ew)的法平面只有一个,所以相应的法截线也只有一条�法

截线在Q点的曲率向量lO和o�平行,法截线的曲率就是法曲率lo,于是我们

得到有关法曲率的下述定理�定理 曲面T在点Q(v,w)处沿切方向es的法曲率lo等于沿同一方向

的法截线在该点的曲率�这个定理说明曲面在一点的法曲率就是法截线的曲率,那么其他T上过

Q点而以es为切方向的曲线D�的曲率与法曲率又是什么关系呢?

设曲面T在点Q的单位法向量o�和lO的夹角为�,法平面为�o,法截线

是Do,法截线的曲率为lo,曲率半径为So�l��o �过点Q和一固定切向量es作一平面��,记��与曲面的交线为D�(见图����),D�的曲率向量为lO,

其曲率半径为S�l���根据(����)式,

lo�lO·o��ldpt�,

从而得

S�Sodpt�� (����)

(����)式的几何意义可表述成下面的定理�

·���·��� 曲面上曲线的法曲率 曲面的第二基本形式

图����

定理 (梅尼埃(Nfvtojfs)定理)曲面上任何曲线在某点的曲率半径S等于对应的法截线在这点的曲率半径So 乘以曲面的法线与曲线的主法线之

间夹角的余弦(或S等于在曲面的法线上截取的对应的法截线的曲率半径So在曲线的主法线上的投影)�

换句话说,曲面上在Q处相切(方向为es)的全体曲线的曲率中心的轨迹

是在与该切方向垂直的平面上一个圆,此圆的直径就是法截线的曲率半径

So�以球面为例,法截线是大圆,设D是球面上任意圆,公式(����)就变成

两个圆半径的关系(如图����),这显然是正确的�

图����

����� 主方向和主曲率

(����)式表明,曲面T上点Q的法曲率lo 是随切线方向

es�svev�swev�(sv,sw)eve����w

而改变的�以后我们把切线方向es用(ev,ew)U表示(即用它在点Q处的切空

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

间的基{sv,sw}下的坐标表示),把在es方向的法曲率记作lo(ev,ew)�下面

要研究的主方向和主曲率是在特殊方向上的法曲率�定义 使法曲率lo(ev,ew)取极值的方向(ev,ew)称为曲面在该点的

主方向,该极值称为曲面在该点的主曲率�由于第一、二基本形式与参数选择无关,因此我们可以选取合适的新参数

(即作参数变换),使第一、第二基本形式同时化成标准形(把矩阵化成对角

阵)�第一、二基本形式为

J(ev,ew)�(ev,ew)F G��

��G Heve����w

, �

JJ(ev,ew)�(ev,ew)M N��

��N Oeve����w� �

其中B�F G��

��G H

是正定矩阵,C�M N��

��N O

是实对称矩阵,所以存在可逆矩

阵X,使得

XUBX �F�(二阶单位矩阵), �

XUCX �ejbh(��,��)� �这是由于存在可逆阵S,使得SUBS�F�,且SUCS仍为实对称矩阵,于是

存在正交矩阵R,使得

RU(SUCS)R�ejbh(��,��), �

RU(SUBS)R�RUFR�F, �其中��,��是SUCS的特征值,在�、�式中令X �SR即得�、�式�作参数变换

eve����w�X

e�ve�����w

, �

把�式代入第一、二基本形式(即ev,ew的两个二次型),可将它们化为e�v,

e�w的平方和,即

J(ev,ew)�e�v��e�w�,

JJ(ev,ew)���e�v����e�w�,

因此便有

lo�JJ(ev,ew)J(ev,ew)�

JJ(e�v,e�w)J(e�v,e�w)�

��e�v����e�w�

e�v��e�w�� (����)

当�������时,由(����)可知任何方向的法曲率都是常数�,主方

·���·��� 曲面上曲线的法曲率 曲面的第二基本形式

向变为不确定�这样的点称为曲面上的脐点,脐点就是JJ与J(或C与B)成

比例的点,即使

MF �

NG �

OH

成立的点�若它们的比为零,则称该脐点为平点;若比值不是零,则称该脐点为

圆点�曲面上每一点都是脐点的曲面称为全脐点曲面,全脐点曲面必是平面或

球面,

当��-���时,设��_���,由于

��(e�v��e�w�)

e�v��e�w� 0���e�v����e�w�

e�v��e�w� 0���(e�v��e�w�)

e�v��e�w�,

即知��0�lo0���,并且��,��是lo(ev,ew)可以取到的函数值,故��,��是

lo的最小值和最大值�由定义���知,��,��是曲面T在Q(v,w)处的主曲率�如果曲面T:s�s(v,w)在点Q处的主曲率��,��不相等,则�是主曲

率的充要条件是它满足方程

�B�C � �F G��

��G H�M N��

��N O��, (����)

(FH�G�)���(MH��NG�OF)��(MO�N�)��,

(����)

而且两个主曲率对应的主方向是正交的�事实上,由�式可知,主曲率��,��是SUCS的特征值,所以�为主曲率

的充要条件是�满足SUCS的特征方程,即

�F�SUCS ���由SUBS�F,且 S -��,即得

�F��SUCS � �SUBS�SUCS � S ��B�C ���因此,满足方程 �B�C ��是�为主曲率的充要条件,并称该方程为主曲

率方程�再由(����)式可知,当e�w��时,lo���;当e�v��时,lo����所以

(e�v,�)和(�,e�w)是主曲率��,��对应的两个主方向�再根据参数变换式�,

把这两个主方向变换为原参数v,w的表示式,此时记变换矩阵 X 的两个二

维列向量为b�和b�,即

X �(�jk)����(b�,b�)�于是在参数v,w下的两个主方向为

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

es��eve����w�X

e�v������(b�,b�)

e�v������e�vb�"�b�,(����)

es��eve����w�X

�e�����w�(b�,b�)

�e�����w�e�wb�"�b��(����)

需要指出,这里的主方向(ev,ew)U是主方向es�,es�在切空间的基{sv,sw}

下的坐标向量,为证明两个主方向正交,不妨设b�与b�是两个主方向向量

f�,f�在基{sv,sw}下的坐标向量,即

fk�(sv,sw)x�kx�

�k�(sv,sw)bk,k��,�� (����)

如此即得f�与f�的内积:

(f�,f�)�(x��sv�x��sw)·(x��sv�x��sw)

�x��x��s�v�(x��x���x��x��)sv·sw�x��x��s�w

�(x��,x��)s�v sv·sw

sv·sw s��

�w

x��x

����bU�Bb��

再根据�式

XUBX �bU�

bU�

��B(b�,b�)�

bU�Bb� bU�Bb�

bU�Bb� bU�Bb

���F,

即得(f�,f�)�bU�Bb���,故两个方向正交�如果曲面T上的点Q不是脐点,在点Q的切空间中必存在两个单位正交

的主方向向量,因为在(����),(����)中适当选取e�v,e�w,即可使es�和es�都是单位向量�

定理 (欧拉(Fvmfs)公式)设{f�,f�}是曲面T在点Q的两个单位正交

的主方向向量,它们对应的主曲率为l�,l�,则在点Q沿切向量

U�(dpt�)f��(tjo�)f� (�0��0��)

的法曲率为

lo(U)�l�dpt���l�tjo��� (����)

证 不妨设f�,f�的表达式如(����)式,于是

U�(f�,f�)dpt�tjo��

����(sv,sw)X

dpt�tjo��

���

所以切向量U在切空间的基(sv,sw)下的坐标为

eve����w�X

dpt�tjo��

����

·���·��� 曲面上曲线的法曲率 曲面的第二基本形式

因此,根据参数变换式�eve����w�X

e�ve�����w

即得(e�v,e�w)U�(dpt�,tjo�)U,按(����)式就有

lo(U)�l�e�v��l�e�w�

e�v��e�w� �l�dpt���l�tjo���

����� 高斯曲率(全曲率)和平均曲率

定义 曲面T在点Q的高斯曲率L和平均曲率I定义为

L�l�l�, I���(l��l�),

其中l�,l�为点Q处的主曲率�由主曲率方程(����)

(FH�G�)���(MH��NG�OF)��(MO�N�)��和根与系数的关系,即得高斯曲率和平均曲率的计算公式:

L�MO�N�

FH�G� �

M NN OF GG H

, (����)

I���MH��NG�OFFH�G� ���

F NG O

�M GN H

F GG H

�(����)

这样,主曲率方程(����)就可以表示成便于记忆的形式:

����I��L���如果在整个曲面T上高斯曲率L�常数,则称T为常曲率曲面�

例 环面的方程是

s�((b�sdptw)dptv,(b�sdptw)tjov,stjow),

其中b,s是常数,且b`�s`��,参数v,w满足�0�v,w_���,求其上任意一

点的高斯曲率�解 经计算:

F�(b�sdptw)�,G��,H�s�,

M�(b�sdptw)dptw,N ��,O�s,

因此高斯曲率为

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

L�MO�N�

FH�G� �dptw

s(b�sdptw),

可见L的符号由dptw的符号确定�定理 若g(y,z)��D(�)(E),则曲面{�g(y,z)的高斯曲率和平均

曲率分别为

L�{�yy{�zz�({�yz)�

[��({�y)��({�z)�]�, (����)

I�[��({�y)�]{�zz��{�y{�z{�yz�[��({�y)�]{�yy

[��({�y)��({�z)�]��

� (����)

证 把曲面方程写成向量形式

s�(y,z,g(y,z))�将y,z看作参数v,w,于是得

sy�(�,�,{�y),sz�(�,�,{�z),

o��(�{�y,�{�z,�)

��({�y)��({�z)� ��

syy�(�,�,{�yy),syz�(�,�,{�yz),szz�(�,�,{�zz),

所以

F���({�y)�, G�{�y{�z, H���({�z)�,

M�{�yy�

, N �{�yz�

, O�{�zz�

其中�� ��({�y)��({�z)� �,将上面算得的基本量代入(����)及(����)

即得�例 证明“猴鞍面”(图����){�y���yz�上,原点(�,�,�)是一个平

点�并求其上Q(�,�,�)处的高斯曲率和平均曲率�解

{�y��y���z�,{�z���yz,

{�yy��y,{�yz���z,{�zz���y,

L� ���(y��z�)[��(�y���z�)��(��yz)�]�

� ���(y��z�)[��(�y���z�)�]0���

在原点(�,�,�)处,{�yy�{�zz�{�yz��,所以M�N �O��,第二基本形

·���·��� 曲面上曲线的法曲率 曲面的第二基本形式

图����式对 应 的 矩 阵 C ��,由 主 曲 率 方 程(����)得�� ��,即 主 曲 率

l��l���,从而lo(��,因此原点为平点�在(�,�,��)处:{�y ��,{�z ���,{�yy ��,{�yz �{�zz ���,代 入

(����),(����),即得

Lq����

(����)�*��������,

Iq�����

(����)��*������

我们知道,空间曲线的形状完全由弧长参数t,曲率l(t)和挠率�(t)三

个特征量所决定�自然就要问,对曲面来说,这样的“特征量”是什么呢?下面

的定理给出了部分的答案:

定理 设T�,T�是定义在E O�S�上的两个正则曲面�如果在每一点

(v,w)��E,T�,T�都有相同的第一,第二基本形式,则T�必定能通过平移和

旋转变换而与T�重合�但反过来,给定了第一、第二基本形式,还不足以唯一确定一个曲面T�

习题与补充题

习题

��证明b(u)是常向量的充要条件是�b(u)�����设��是常数,b�是常向量,证明

(�)eeu

(��s(u))����s; (�)eeu

(�(u)b�)���(u)b�;

(�)eeu

(b�·s(u))�b�·�s(u);(�)eeu

(b��s(u))�b���s(u)�

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

��下列等式成立吗?为什么?

(�)s����s���;

(�)ese

O�O�O� O�O�O�

u � eeu��s��;

(�)s·eseu���s��

e��s��eu �

��设向量函数b(u)满足b·�b��,b��b��,证明b(u)是常向量���证明s(u)�(�u��,u���,�u���u)为共面向量函数���证明:s(u)�bu��cu��du为共面向量函数的充要条件是

(b,c,d)�����试证明

s��(u,tjou,fu) ��_�u_���与

s��(mo�,tjomo�,�) �_��_���是同一条曲线的两种不同的表示式���求曲线s�(fudptu,futjou,fu)在u��处的切线方程���求曲线y��z���,z��{���在任意点处的法平面方程����求下列曲线的切线和法平面方程�

(�)s�(bdptu,btjou,cu),u��;

(�)s�(u,u�,u�),u��;

(�)g(y,z,{)��

h(y,z,{)����� ,

Q(y�,z�,{�)�

���求下列曲线的副法线和密切平面方程�(�)s�(bdptu,ctjou,fu),u��;

(�)s�(bdptu�ctjou,btjou�cdptu,dtjo�u),u� ���

���求曲线s�(u,u�,u�)在u��处的主法线和从切平面方程����证明球面曲线的法平面通过球心����计算圆锥螺线s�(fudptu,futjou,fu)的弧长公式(从�到u)����求下列平面曲线的弧长公式及弧长�

(�)曲线由直角坐标中显式表示z�g(y),z�mo(��y�),�0�y0���;

(�)曲线由极坐标方程表示���(�),对数螺线��fb�,�0��0�������将方程s�(bdptu,btjou,cu)(圆柱螺线)化成以弧长为参数的方程����求曲线s�(utjou,udptu,ufu)在u��处的弗雷耐标架�

·���·习题与补充题

���求下列曲线的曲率l和挠率��(�)s�(bdiu,btiu,bu);

(�)s�(u�tjou,��dptu,u);

(�)s�(udptu,utjou,bu)(圆锥曲线);

(�)s�(u,u�,u�)�

���证明曲线s� u,���u,�u�( )u 是平面曲线�

���证明曲线s�(���u��u�,���u��u�,��u�)是平面曲线����证明

(�)U�·O���; (�)C�·O�������已知曲线s�s(t),证明:

(�)s�·s���; (�)s ��l�U�l�O�l�C;

(�)s�·s ��l�; (�)s,s�,s( ) �l��;

(�)s�·s �ll�����证明

(�)(U,C,C�)��; (�)(C�,C�,C )��� l( )��;

(�)(U�,U�,U )�l� �( )l��

���试证明曲线s�s(u)在一般参数下的弗雷耐公式为

�U�lwO,�O ��lwU��wC,�C���wO,其中w����s������已知曲线D:s�s(t),证明:若曲线D的

(�)所有切线通过定点,则D是直线;

(�)所有切线相互平行,则D是直线;

(�)所有主法线通过定点,则D是圆;

(�)所有切线平行于同一平面,则D是平面曲线����设��dl,,d为常数,写出此曲线的参数方程�

���已给s�s(u)的单位副法线向量为C����

(�tjou,dptu,�),求它

的单位切向量U和单位主法线向量O�证明此曲线是一般螺线,并求它的曲率

和挠率的比值����证明曲线s(u)�(�u,�u�,�u�)是一般螺线����证明下列曲线是球面曲线�

(�)s�(btjo�u,btjoudptu,bdptu);

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

(�)s�(�dpt��,��dpt�,tjo��)����证明:当且仅当球面曲线是圆周时,其曲率不变����证明曲面s�(bdpt�dpt�,ctjo�dpt�,dtjo�)是椭球面,并求其法

向量,切平面及坐标曲线����求圆锥的参数方程和它的切平面����证明曲面

(�)s� v,w,��v�b��

w�c( )( )� 是椭圆抛物面;

(�)s�(b(v�w),c(v�w),�wv))是双曲抛物面����求题�中各曲面的法向量和切平面����求旋转曲面s�(vdptw,vtjow,g(v))(�_�w_���)的单位法向

量����求劈锥面s�(vdptw,vtjow,g(v))的切平面和法线方程����证明一曲面是球面的充要条件是它的所有法线通过一定点����设曲面的表示式为{�g(y,z),求它的法向量����求双曲抛物面s�(v�w,v�w,vw)在v��,w���点处的单

位法向量和切平面方程����证明:旋转面s�(g(w)dptv,g(w)tjov,h(w))(h�(w)-��)上任

一点所作的法线一定和{轴相交����已知曲面的第一基本形式为et��ev��g(v,w)ew�,证明:

(�)v曲线和w曲线正交;

(�)任意两条v曲线被w曲线截成等长的弧,即(v�,w�)到(v�,w�)的弧

长与w�无关�

���已知曲面T的第一基本形式为et��ev��ti�vew�,求T上的曲线

D:v�u,w�u(�0�u0��)的弧长����已知曲面T的第一基本形式为et��ev��(v��b�)ew�,求T上两

条曲线D�:v�w��和D�:v�w��在交点(�,�)处的交角�

���求圆柱面s� bdptvb,btjovb

,( )w 的法曲率�

���试证明:在曲面上的一点,任何两个正交方向的法曲率之和相等����求下列曲面的第二基本形式�

(�)正螺面s�(wdptv,wtjov,cv);

(�)环面s�((b�sdptw)dptv,(b�sdptw)tjov,stjow);

(�)双曲抛物面s�(b(v�w),c(v�w),�vw)�

·���·习题与补充题

���证明:曲面是平面的充要条件是M�N �O������试证明:在半径为b的球面上,高斯曲率和平均曲率都是常数����求下列曲面的高斯曲率和平均曲率�

(�)旋转曲面s�(h(u)dpt�,h(u)tjo�,g(u));

(�)正螺面s�(wdptv,wtjov,cv);

(�)螺面s�(vdptw,vtjow,v�w)����试证明:

(�)平面和球面都是全脐点曲面;

(�)平面上任何一点都是平点;球面上任何一点的法曲率与方向无关����试证明:直纹面的高斯曲率L0������求椭球旋转面s�(bdptvtjow,btjovtjow,ddptw)的高斯曲率�

补充题

��证明:曲线s�(y(u),z(u),{(u))为平面曲线的充要条件是

(�s,�s,s⋯

)�����设E是半径为b的球面,而D是一条空间曲线,方程为s�s(t)(t为

弧长参数),证明�(�)若曲线的所有的法平面与E相切,则

s����bt�s�(�);

(�)若曲线的所有密切平面与E相切,则s(t)或为平面曲线或满足方程

s��b �lU�( )C �

��D:G(y,z,{)��

�(y,z,{)���� �

,秩G�y G�z G�{

��y ��z ��

�{��,求D的切线与法平面�

��已知曲线s�s(t)的曲率l和挠率�,试求向量函数X(t),使下式成立:

U��X�UO��X�OC��X�C��

� ���证明曲线

s� u,l��u

�,l����u( )�

在u��处的曲率和挠率分别为l�和��,而且U(�),O(�),C(�)分别重合于

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

y,z,{轴���证明曲线

s� b&�u

�tjob(u)eu,b&�

u

�dptb(u)eu,( )cu

是一般螺线���设曲线s�(bu,cu�,u�)是一般螺线,求出b,c之间的关系,并求出对

应的固定向量v���证明下列条件之一是曲线s�s(t)为一般螺线的充要条件�

(�)(O,O�,O�)��; (�)(O�,O ,s(�))�����已知曲线D:s�(bdpt�u,btjo�u,c�u),对每个D上的点Q,沿Q的

主法向量O的方向取单位长的点R,求R点形成的曲线的方程����求曲面上参数曲线(v曲线和w曲线)的二等分角轨线的微分方程����在曲面s�s(v,w)上任一点处,求两个切向量f�,f�,使之构成曲面

的单位正交参数(坐标)系����证明:坐标曲线与任意曲线的交角公式为:

v线:dpt�Fev�Gew�Fet

w线:dpt�Gev�Hew�Het

���证明:曲面上的点是脐点的充要条件为I��L�

部分习题和补充题解答

习题

��(�)(�)成立;(�)不成立� ��(s,�s,�s)�����y���z�{��� ��z�y�y�z�z�{�y�z��

���(�)y�b{

b�cz�

��� �

,bz�c{��;

(�)y��� �z��� �{���

,y��z��{��;

(�)y�y�B �

z�z�C �

{�{�D

其中B�g�z g�{h�z h�{

,C�g�{ g�yh�{ h�y

,D�g�y g�zh�y h�z

B(y�y�)�C(z�z�)�D({�{�)���

·���·部分习题和补充题解答

���(�)y�c� �z�bbc �{��b�

,b{�cz�b;

(�)y�c��bd�

z�b�bd � {

b��c�,��bdy��cdz�(b��c�){���

���y���� �z��� �{����,��y��z��{���� �����(fu��)�

���(�)&�y

���z�� yey,mo����

(�)&���

������ �

�e�, ��b� �(fb����)b �

���s�(bdpt�t,btjo�t,ct),�� �b��c� �

���U� ���

(�,�,�),C� ���

(�,�,��),O� ���

(�,��,�)�

���(�)l��� �tbdi�u

(�) ��(dptu��)� �

(���dptu)��

,� ���(dptu��)�

; (�) ���b�

,��

���b�

(�)� �u���u��� �(�u���u���)

��

, �(�u���u���)�

����s"�s⋯� ���s

⋯��� ���(�)l��� �

���

���o�(cddpt�dpt�,bdtjo�dpt�,bctjo�)�

���o� �vb�,�wc�

,( )� ;o�(c(v�w),b(w�v),�bc)�

���o��(�g�dptw,�g�tjow)/ ��g�� �����o�(g�tjow,�g�dptw,v);o·(��s)��;��s��o����(g�y,g�z,��)����ti��

���dpt��b���b��� �

����ev�/b(ev��ew�)����利用欧拉公式�

���(�)��cevewc��w� �

; (�)�dptw(b�sdptw)ev��sew�;

(�)��bc/ b�c��c�(v�w)��b�(v�w)� ��

·���· 第�章 空间曲线与空间曲面

���L��/S�I����(�)L�g�(h�g��h�g�)/h(h���g��)�,

I�[h(h�g��g�h�)/g�(h���g��)]/�h(h���g��)��;

(�)L��c�/(c��w�)�,I��;

(�)L���/(���v�)�,I�(v���)/(�v���)���

���O���JJ��N�,J`��� ���L�d�/(b�dpt�w�d�tjo�w)��补充题

�� Y�yE(G,�)E(z,{)

� Z�zE(G,�)E({,y)

� [�{E(G,�)E(y,z)

Y�y Z�z [�G�

{

y G�z G�{

��y ��z ��{���

��c��;b任意���sR �((b��)dpt�u,(b��)tjo�u,c�u)�

����Fev��Hew������将{sv,ss}正交化,f��sv/�F;

f��(�Gsv/�F,�Fsw) FH�G� ��

���v线�w������I��(�����)�/��L�����n�������

·���·部分习题和补充题解答

第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

在第�章我们从代数角度讨论了一般欧氏空间的正交变换,本章将从几

何角度讨论平面上两种特殊的点变换,即正交变换与仿射变换,给出平面二次

曲线的正交分类与仿射分类�在本章中我们还将对平面射影几何作一简单介

绍,包括齐次坐标,对偶原理,射影坐标系,交比,射影坐标变换,平面二次曲线

的射影分类等�

���� 平面正交变换

首先回顾正交变换的概念�定义���� 平面的一个点变换,如果保持点之间的距离不变,则称它为

正交变换(或保距变换)�从定义可知正交变换具有下述性质:

性质� 正交变换的乘积仍是正交变换�性质� 恒等变换是正交变换�性质� (�)正交变换把共线的三点变成共线的三点,且保持它们的顺

序不变�(�)正交变换把不共线的三点变成不共线的三点�

证 (�)设B,C,D是共线的三点,且C位于B,D之间,正交变换�把B,

C,D 分 别 变 成B�,C�,D�,则 B�C� � BC ,B�D� � BD ,C�D�� CD ,由假设,BC � CD � BD ,则 B�C� � C�D� � B�D� �这表明B�,C�,D�三点共线,且C�在B�D�之间�

(�)设E,F,G是不共线的三点,则 EF � FG `� EG �设正交变换

�把E,F,G分别变成E�,F�,G�,则 E�F� � F�G� `� E�G� �这表明E�,

F�,G�三点不共线�由性质�即得

性质� 正交变换把直线变成直线,把线段变成线段�性质� 正交变换是可逆的,且逆变换仍是正交变换�证 设�是正交变换,B,C是平面上不同的两个点,则 �(B)�(C)

� BC `��,即�把不同的点B,C变成不同的点�(B),�(C)�这证明�是单

射�还可以证明�是满射,因而�是双射�把�的逆变换记为����易见���也是

正交变换�性质� 正交变换把平行直线变成平行直线�证 设�是正交变换,设m�"�m�,由性质�,�把直线mj变成直线m�j,j�

�,�,如果m��与m��交于N�,则���(N�)��m���m�,这与m�"�m�矛盾,所以

m��"�m���性质� 正交变换保持向量长度与夹角�证 设向量b�Q�QA��,定义�(b)��(Q�QA��)��(Q�)�(Q�A�),易见性

质�成立�性质� 正交变换把平面直角坐标系变成平面直角坐标系�证 设J � {P;f�,f�}为 平 面 直 角 坐 标 系,� 为 正 交 变 换,记

P���(P),f�j��(fj),j��,�,则J��{P�;f��,f��}为平面直角坐标系

(由性质�)�定理���� 设正交变换�把直角标架J�{P;f�,f�}变成直角标架J��

{P�;f��,f��}�其中, A�PP��y�f��z�f�,f���b��f��b��f�,f���b��f��b��f�,即(f��,f��)�(f�,f�)B�则�在直角坐标系J中的表示是

y�z������B

y����z�y�z

��, (����)

其中B�b�� b��b�� b

���是正交矩阵�

证 设 A�PQ�yf��zf��(f�,f�)y����z

,Q���(Q),则 A�P�Q���( A�PQ)

�yf���zf��,设

A�PQ��(f�,f�)y�z������ (����)

A�PQ�� A�PP�� A�P�Q��(f�,f�)y�z

���(f��,f��)

y����z

�(f�,f�)y�z

���(f�,f�)B

y����z

, (����)

结合(����)与(����),就得到(����)�

·���·���� 平面正交变换

注 (����)表示平面上的平移,旋转,反射或它们的复合�

���� 平面的仿射变换

定义����(代数定义)平面的一个点变换,如果它在一个不一定正交的

坐标系(通常称之为仿射坐标系或“仿射标架”)中的表示为

y�z������B

y����z�y�z

��, (����)

其中系数矩阵B�(bjk)���是可逆的(即 B -��),则称之为平面的仿射变

换�本书第�章中提到的镜面反射,比例变换,错切变换等都是平面上的仿射

变换�注 上述定义与仿射坐标系的选择无关�从定义可见正交变换是仿射变

换,反之不一定对�仿射变换有以下性质:

性质� 仿射变换的乘积仍是仿射变换�性质� 仿射变换是可逆的,且逆变换仍是仿射变换�上述性质从仿射变换定义与可逆矩阵的性质容易得到�性质� 仿射变换把直线变成直线�证 设�是仿射变换,它在一个仿射坐标系中的表示为(����)�由(��

��)有

y����z�B��

y��y�z��z

��� (����)

在平面上任取一条直线m:by�cz�d��,将(����)代入得m�:b�y��c�z��d���,它仍是一条直线�

性质� 仿射变换把平行直线变成平行直线�证 与上节性质�的证明类似�注 通常在仿射变换下,两点之间的距离是会改变的,即距离不是一个

仿射变换的不变量�由于仿射变换把直线变成直线,因此它把共线的三点变成

共线的三点,把不共线的三点变成不共线的三点�可以证明:平面仿射变换的另一等价定义为

定义�����(几何定义) 平面到自身的���对应的变换称为仿射变换,

如果它把共线的三点变成共线的三点�

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

仿射变换有一个重要的不变量,即共线三点的简单比�定义���� 设B,C,D是共线的三点,设

A�BC�� A�CD,

�叫共线三点B,C,D的简单比,记为(B,D,C)�定理���� 仿射变换保持共线三点的简单比不变�证 设�是仿射变换,任取平面上共线三点B,C,D,取它们所在的直线

为y轴,建立一个直角坐标系�设它们的横坐标分别为y�,y�,y��如果把B,

C,D分别变成B�,C�,D�,则B�,C�,D�仍共线�作一个正交变换�,使得B�,

C�,D�所在的直线m�变成y轴,其中B�,C�,D�分别变成B�,C�,D��B�,C�,

D�的横坐标分别为y��,y��,y���设��的表示为

y�z������c�� c��c�� c

���

y����z�c�c

���

因为��把B,C,D分别变成B�,C�,D�,因此

y�jz�

�j�c�� c��c�� c

���

yj��

���c�c

��,j��,�,�

y�j�c��yj�c�, j��,�,�,

从而A�B�C�A�C�D��

y���y��y���y���

y��y�y��y��

A�BCA�CD�

又因�是正交变换,则A�B�C�A�C�D��

A�B�C�A�C�D�

,所以有

A�B�C�A�C�D��

A�BCA�CD

, 即 (B�,D�,C�)�(B,D,C)�

定理���� 平面上任给两组不共线的三点B�,B�,B�和C�,C�,C�,则

存在唯一的仿射变换把Bj变成Cj,j��,�,��证 因为B�,B�,B�不共线,所以J� B�;B�BA��,B�BA�{ }� 是仿射标架�

同理JJ� C�;C�CA��,C�CA�{ }� 也是仿射标架�设J到JJ的过渡矩阵是B,C�的

坐标是(y�,z�)�构造仿射变换�:

y�z������B

y����z�y�z

��,

则�(Bj)�Cj,j��,�,��唯一性请读者自证�推论���� 平面上任给两个仿射标架J和JJ,则存在唯一的仿射变换把

·���·���� 平面的仿射变换

J变成JJ�正交变换保持两点之间的距离不变,保持向量之间的夹角不变,从而保持

图形的面积不变�而一般的仿射变换会改变两点之间的距离,也会改变向量之

间的夹角,因而也会改变图形的面积�现在我们讨论仿射变换改变图形面积的

规律�定理���� 设仿射变换�在仿射标架J�{P;f�,f�}中的表示为

y�z������b�� b��b�� b

���

y����z�y�z

��,

则对任意不平行的向量b,c有

�(b)��(c)b�c � efu

b�� b��b�� b

����

证 由于�是仿射变换,因此它把仿射标架J�{P;f�,f�}变成仿射标

架JJ�{P�;f��,f��}�其中

f��,f�( )� �(f�,f�)b�� b��b�� b

����

设 b�v�f��w�f�, c�v�f��w�f�,

则 �(b)�v�f���w�f��, �(c)�v�f���w�f���直接计算可验证: �(b)��(c) � b�c efu(B)�

利用极限理论可证下列推论:

推论���� 若平面上任一有面积的区域E经过仿射变换变成区域E�,

则有

TE�TE �

efu(B),

其中TE,TE�分别表示E,E�的面积,B为仿射变换公式(����)中的系数矩

阵�这一推论说明,仿射变换�按一个比值 efu(B) 改变平面上所有(有面

积的)图形的面积,因此把 efu(B) 称为仿射变换的变积系数�在第�章中我们讨论了平面二次曲线的正交分类�现在来看它们的仿射

分类�设二次曲线的方程为

b��y���b��yz�b��z���c�y��c�z�d��� (����)

我们知道:二次曲线(����)都可经过正交变换化为下列标准形之一:

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

(y�)�

b� �(z�)�

c� ���; (y�)�

b� �(z�)�

c� ��;(z�)���y�q ,q`��;

(y�)�

b� �(z�)�

c� ��;(z�)��b�

现在设仿射变换为

y�h��y��h��z��i�z�h��y��h��z��i���

� ,

h�� h��h�� h

���-��� (����)

下面来看二次曲线(����)在仿射变换(����)下的标准形�定理���� 二次曲线(����)可通过仿射变换化为下列标准形之一:

(y�)��(z�)����,(y�)��(z�)���,(z�)��y�,

(y�)��(z�)���,(z�)����,(z�)����证 因为正交变换与仿射变换的复合仍是仿射变换,我们先通过正交变

换把(����)变成正交标准型�然后再作仿射变换

y��by�z��cz���� �

方程(y�)�

b� �(z�)�

c� ���,(y�)�

b� �(z�)�

c� ��,(y�)�

b� �(z�)�

c� ��就分别变成

(y�)��(z�)����,(y�)��(z�)���,(y�)��(z�)����

如果作仿射变换y�� ��y�qz��z��

� �,方程(z�)���y�q 就变成(z�)��y��当b`��,

作仿射变换y��y�

z���bz��

� �,方程(z�)��b就变成(z�)���;当b_��,作仿射变

换y��y�

z�� �� bz��

� �,方程(z�)��b就变成(z�)�����至此完成了定理的证明�

���� 射影平面与齐次坐标

扩大的笛卡儿平面 在实际生活中我们常遇到把一个平面图形映射到

另一个平面图形,例如:航空摄影把地面(假定是平的)上的景物摄到底片上,

这可以看成是地面��到底片��的一种映射�飞机在飞行中,从不同的角度拍

摄同一景物,其中各物体的相对距离或角度可能都不相同,但人们仍能从照片

上进行识别�这说明从地面景物到底片之间的映射中,必有某种几何性质或几

·���·���� 射影平面与齐次坐标

何量是保持不变的�在欧氏几何中,我们知道在正交变换下,长度和角度,以及

直线的平行,曲线的斜率和曲率都是不变的�而在现在所说的映射中,这些都

是可变的,然而它却保持另外一些不变的性质;例如直线变为直线,两条直线

的相交性,三线交于一点或三点共线,等等�这一节我们就来研究这些所谓“射

影变换”的一些性质�

图����

设��,��是空间中两个相交但不重合平面(见图����),P 点是不在这

两个平面上的点�对于��上任一点Q,连接PQ的直线与��交于Q�,这样建立

的��和��上点之间的对应,称为中心投影(透视),点P称为投影中心(试与

摄影比较一下)�射影变换就是由有限个中心透视投影所组合而成的变换(或称对应)�一

个平面几何的性质或事物,如果在任何中心透视下保持不变(当然在它们的组

合之下也保持不变),就称之为一种“射影性质”�例如,直线,或共线的点列都

是射影性质,也是射影几何讨论的对象�又例如,两线相交,三点共线,三线共

点,两条曲线相切等等都是射影性质�而长度,角度,面积等几何量则不是射影

不变的,所以也就不是射影性质�从此可见,射影几何学所研究的是一些比长

度,角度等欧氏几何性质更加基本的一些几何性质�但是,上面所描述的中心透视(投影)还有不足之处,需要引进适当的概

念来加以补充�例如,如果��上的点N 满足条件PN "���,则N 在��上没

有像,同样地,��上的点O若满足PO"���,则O在��上没有原像�于是为了

保证在中心投影下,��和��上点的���对应,我们应该在平面上增加一些

点,叫做无穷远点,使得

(�)每一直线在无穷远处有一无穷远点(直线两端的无穷远点是同一个

点);

(�)平行直线上的无穷远点是同一个点(即:平行直线交于无穷远点);

(�)平面上所有无穷远点都在一条直线m� 上,称m� 为无穷远直线�

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

例如:在图����中,��上N 这样的点形成一条直线m,m的像就是��上

的无穷远直线�注 这种给平面补充一条无穷远直线的思想归功于十七世纪天文学家

Lfmfsq �定义���� 添加了无穷远直线m� 的笛卡儿平面称为扩大的笛卡儿平

面,记为F�扩大的平面F有两个重要特点:

(�)F上任意两点(包含无穷远点)必在一直线上;

(�)F上任意两条不同直线交于一点�引入扩大的笛卡儿平面F后,保证了中心投影下的���对应�在中心投

影下,扩大平面上的“普通点”和“无穷远点”并无本质差别�定义���� 将“普通点”和“无穷远点”一视同仁,不加区别的笛卡儿扩

大平面叫射影平面�在射影平面上,任何两点在一条直线上,任意两条直线必

相交于一点�齐次坐标 有了扩大平面,就需引进它上面点的坐标�由于在扩大平面

上,任意一点都是两条直线的交点,设m与m�是扩大平面上的两条普通直线,

它们的方程分别为m:By�Cz�D��,m�:B�y�C�z�D���,如果m与m�不平行,交点(y,z)就是

y�

�D C�D� C�B CB� C�

C DC� D�B CB� C�

, z�

B �B�

D�D�

B CB� C�

D BD� B�B CB� C�

如果m"�m�(但不重合),交点是一个无穷远点�此时,B CB� C�

��,但是

C DC� D�

与D BD� B�

不同时为零,这时无法用普通坐标(y,z)表示交点�如

果改用三数组(C DC� D�

,D BD� B�

,B CB� C�

)作为交点坐标,且认为与之

成比例的(�C DC� D�

,�D BD� B�

,�B CB� C�

)表示同一点,则直线m与m�的

交点 可 统 一 地 用 它 们 的 系 数 B,C,D 与B�,C�,D� 表 示 为(C DC� D�

D BD� B�

,B CB� C�

)�当m,m�交于普通点时,交点就是(y,z,�)(这就是普通

·���·���� 射影平面与齐次坐标

点的坐标(y,z))�当m"�m�(但不重合),交点就是(C DC� D�

,D BD� B�

,�)�

��(�C,B,�)���(�C�,B�,�),(��,��均为非零实数)�最后一数为零,这

正好表示它是m(或m�)上的无穷远点�一个明显的事实是:三数组中的三个数

不全为零�因此在扩大的平面上,可以用非零三元有序数组(y�,y�,y�)来表

示点的坐标�这里要求

(�)成比例的三元有序数组表示同一点;

(�)(y�,y�,�)(y�,y�不全为�)表示无穷远点;

(�)(y�,y�,y�)(y�-��)表示普通点(y,z),这时y�y�y�

,z�y�y��

这样的坐标称为射影平面上的齐次坐标�射影平面上的直线有两类:无穷远直线和普通直线添加上无穷远点�

无穷远直线的方程为y���;普通直线的方程为By�y��

Cy�y��

D��,

添加上无穷远点(�C,B,�)后,方程为三元一次齐次方程:By��Cy��Dy���,其中B,C不同时为零�总之射影平面上的方程By��Cy��Dy���,其

中B,C,D不同时为零,被称为射影直线�B�C��对应无穷远直线,B,C不同时为零对应普通直线�

注 上面我们是从普通的笛卡儿平面出发,添加一条无穷远直线后得到

的射影平面�但具有上述特点的还有其它模型,下面介绍三个:

(�)直线把:过一个定点的所有直线和所有平面所成的集合称为直线把�将把中的每一直线看成一个“点”,每一平面看成一条“直线”,则明显它有射影

平面的特点:任意两“点”在一“直线”上(对应直线把中任意两直线在一平面

上);任意两“直线”交于一“点”(对应直线把中任意两平面有唯一交线)�这样

的直线把模型将把中的直线视为“点”,将把中的平面视为“直线”,也可把它看

成是一个射影平面�(�)球面模型:在直线把模型中,取一个球心在直线把中心的球面,直线

把中的直线交球面于两点(即球面上的对径点),直线把中的平面交球面于大

圆�于是得到射影平面的球面模型�将球面上的对径点粘在一起作为一“点”,

将球面的大圆作为“直线”�这个模型也可以看成是一个射影平面�(�)代数模型:在全体非零三数组的集合 (y�,y�,y�{ }) 中(此处非零是

指y�,y�,y�不全为�),引进等价关系“Y”:(y�,y�,y�)Y(z�,z�,z�),当且

仅当存在非�的�使得(y�,y�,y�)��(z�,z�,z�),“Y”是一个等价关系�记

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

由此决定的等价类为(y�,y�,y�[ ]),把每个等价类看作一点,其全体构成一

个射影平面Q�,Q�� (y�,y�,y�{ })/Y�对偶原理 在欧氏平面上建立了坐标系以后,平面上每一点都有一个坐

标,而每一条直线都有一个方程�点没有方程,而直线也没有坐标�但在射影平

面上就不同了�在射影平面上,点的齐次坐标为(y�,y�,y�),与之成比例的点

(�y�,�y�,�y�)(� -� �)表 示 同 一 点� 射 影 平 面 上 直 线 的 方 程 为

v�y��v�y��v�y���(v�,v�,v�不全为零),自然�v�y���v�y���v�y���也表示同一直线�直线与非零三元有序数组(v�,v�,v�)对应,而且与之

成比例的(�v�,�v�,�v�)也表示同一直线�于是称(v�,v�,v�)为直线v�y��v�y��v�y���的齐次坐标�同样,固定(y�,y�,y�),上面的方程又可看成

是所有过这点直线的轨迹,因此就可以把它看成是这个点的“方程”�用Y,V分别表示点(y�,y�,y�)和直线(v�,v�,v�)的坐标,下面讨论点

与直线的结合关系:点Y在直线V上的充分必要条件是V·Y�v�y��v�y��v�y���(这里V·Y是借用向量内积的符号)�直线V通过点Y的充分必

要条件也是V·Y�v�y��v�y��v�y����两点Y�,Y�决定直线V,它

们的坐标应满足方程:V·Y���,V·Y���,或V�Y��Y�(这里是借用

向量外积的符号)�两条直线V�,V�决定交点Y:V�·Y��,V�·Y��,则

有Y�V��V��三点Y�,Y�,Y�在一条直线上的充要条件是(Y�,Y�,Y�)

��(这里(Y�,Y�,Y�)是借用向量混合积的符号)�三直线V�,V�,V�共点

的充要条件是(V�,V�,V�)���点Y在Y�,Y�决定的直线V上的充要条件

是Y·V��,即(Y,Y�,Y�)��,也即Y是Y�,Y�的线性组合:Y��Y��

�Y�,直线V通过V�,V�决定的交点Y的充要条件是V·Y��,即(V,V�,

V�)��,也即V 是V�,V�的线性组合:V ��V���V��在射影平面上,点和直线的齐次坐标都是非零有序三元数组(可差一常数

倍)�点和直线间的结合关系包含:点在直线上和直线经过点,它们都用同一个

三元一次方程来表示�若仅研究射影平面上点和直线的结合关系,则上面的讨

论说明,射影平面上点和直线的地位是对称的,即用点和直线的齐次坐标,在

公式和命题的证明过程中看不出点和直线的区别�为此引进下面定义:

定义���� 设�(点,线)是关于射影平面上一些点和一些直线的结合关

系的命题,那么,把此命题中的点换成直线,把直线换成点,把“点在直线上”

换成“直线经过点”,同时把“直线经过点”换成“点在直线上”,则得到一个新

命题��(线,点),称为原命题�(点,线)的对偶命题�

·���·���� 射影平面与齐次坐标

注 一个几何图形在这种改换下,就成为它的对偶图形�例如:点的对偶

图形是直线;两点形(两点及其连线)的对偶图形是两线形(二直线及其交

点);三点形(不共线三点及两两连线)的对偶图形是三边形(不共点的三直线

及其两两的交点)�下面我们列举一些命题和它们的对偶命题

原命题 对偶命题(�)射影平面上三点共线的充要

条件是它们的齐次坐标组成的三阶

行列式等于零�

(�)�射影平面上三线共点的充要

条件是它们的齐次坐标组成的三阶

行列式等于零�(�)射影平面上若三点Q�,Q�,

Q� 不 共 线,则 三 线 Q�Q�,Q�Q�,

Q�Q�不共点�

(�)�射影平面上若三线m�,m�,m�不共点,则三点m�m�,m�m�,m�m�不共

线�(�)德沙格(Eftbsvfth )定理:射

影平面上,如果两个三角形的对应

顶点的连线共点,那么它们的对应

边的交点共线�(见图����)

(�)�德沙格(Eftbsvfth )定理的

逆定理:射影平面上,如果两个三角

形的对应边的交点共线,那么它们

对应顶点的连线共点�(�)直线(看成点列)的点方程是

三元一次齐次方程�

(�)�点(看成线束)的线方程是

三元一次齐次方程�

图����

下面我们来证一下德沙格定理 设三角形BCD与三角形B�C�D�的对应

顶点的连线BB�,CC�,DD�相交于一点P�以下证对应边的交点Q(BC 与

B�C�的交点),R(BD与B�D�的交点),S(CD与C�D�的交点)三点共线�因为

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

P点在直线BB�,CC�和DD�上,适当选取B,B�,C,C�,D,D�的齐次坐标,可

使e�b�b��c�c��d�d�,这里e,b,b�,c,c�,d,d�分别是点P及B,

B�,C,C�,D,D�的齐次坐标�由上式令q�b�c�c��b�,r�d�b�b��d�,s�c�d�d��c��可看出,q,r,s分别为Q,R,S的齐次坐标�因为

q�r�s��,所以Q,R,S在一条直线上�(见图����)�

射影坐标系 射影坐标变换 在欧氏平面上,确定原点及两个线性无关

向量就形成一个仿射坐标系�在射影平面上,一个点 N 的齐次坐标(y�,y�,

y�)有三个分量,从形式上自然想到可以取三个基(�,�,�),(�,�,�),(�,�,

�);于是N 就可分解为

(y�,y�,y�)�y�(�,�,�)�y�(�,�,�)�y�(�,�,�),(����)

其系数就是关于这个基的坐标�把P(�,�,�),P�(�,�,�),P�(�,�,�)作为三

点形PP�P�的三顶点的特定齐次坐标(在扩大平面上它们分别表示坐标原

点,y轴上的无穷远点和z轴上的无穷远点)�称PP�P�为坐标三点形�然而

我们发现光这三个点还不足以决定其它点的坐标�因为P�,P�,P 的齐次坐

标还可以是(�,�,d),(b,�,�),(�,c,�),而点N(y�,y�,y�)关于这组坐标的

分解系数就不再是y�,y�,y�了�所以还需添加一个“单位点”F(�,�,�),它关

于P�,P�,P的分解系数(坐标)为�,�,�,这就规范了b�c�d�从而唯一

确定平面上点的齐次坐标(在差一个常数倍意义下的唯一!)�称F为单位点,

而称{P�,P�,P;F}为射影平面上的原始射影坐标系或原始标架�注 坐标系{P�,P�,P;F}中,没有三点在一直线上�定义���� 射影平面上任意四点B,C,D和E,其中没有三点在一直线

上,其齐次坐标分别为(b�,b�,b�),(c�,c�,c�),(d�,d�,d�)和(e�,e�,e�),

称{B,C,D;E}为射影坐标系�其中D,B,C为坐标三点形,E为单位点�射影平面上,任意点N(y�,y�,y�)(其中(y�,y�,y�)是N 在原始射影

坐标系下的坐标)在射影坐标系{B,C,D;E}中的坐标如何决定呢?请看下

面两个例子:

例� 设点N在原始坐标系中的坐标为(��,����),求它在新射影坐标

系{B(�,��,�),C(�,��,�),D(�,�,��);E(�,�,��)}中的新坐标(y��,

y��,y��)

解 首先用单位点E决定B,C,D的特定坐标,即单位点应满足如下方程:

(�,�,��)��(�,��,�)��(�,��,�)�w(�,�,��)

·���·���� 射影平面与齐次坐标

�����w�������w����������w��

� �解得����,���,w��,即B,C,D应取的特定(规范化)坐标分别为

(��,�,��),(�,��,�),(�,�,��)�取定后N 的新坐标应满足以下方程:

(��,��,�)�y��(��,�,��)�y��(�,��,�)�y��(�,�,��)�解得(y��,y��,y��)�(�,�,�)�因而N 的新坐标为�(�,�,�),其中�为任意

非零实数�通过这个例子,我们可以建立原始射影坐标系{P�,P�,P;F}和射影坐

标系{B,C,D;E}间的射影坐标变换公式如下:设{B,C,D;E}中各点在原

始射 影 坐 标 系{P�,P�,P;F}中 的 坐 标 为 B(b�,b�,b�),C(c�,c�,c�),

D(d�,d�,d�)和E(e�,e�,e�),无妨假定(b�,b�,b�),(c�,c�,c�),(d�,d�,

d�)是E取为单位点的特定坐标,即

(e�,e�,e�)�(b�,b�,b�)�(c�,c�,c�)�(d�,d�,d�),(����)

则射影平面上任意一点N(y�,y�,y�)在射影坐标系{B,C,D;E}中的齐次

坐标(y��,y��,y��)由下列公式确定:

(y�,y�,y�)��y��(b�,b�,b�)�y��(c�,c�,c�)�y��(d�,d�,d�[ ]),

y���(b�y���c�y���d�y��)

y���(b�y���c�y���d�y��)

y���(b�y���c�y���d�y��

��

� ),

y�y�y

��

��

b� c� d�b� c� d�b� c� d

��

y��y��y�

��

, (�����)

其中�是任意非零常数,这是因为齐次坐标允许相差一个非零常数�(�����)

中右边的系数矩阵是满秩的,称(�����)式为射影坐标变换公式�反过来,给定射影平面上满秩线性变换(�����),它一定表示某个射影

坐标变换�注 在射影坐标变换公式(�����)中,待定系数并不是九个b��b�,b�,

c�,c�,c�,d�,d�,d�,更不是十个(加上�),而是八个,因为与(b�,b�,b�,c�,

c�,c�,d�,d�,d�)九个数成比例的任意九个数(�b�,�b�,�b�,�c�,�c�,�c�,�

d�,�

d�,

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

d�)决定同一个射影坐标变换�所以独立的参数仅有八个�从另一个角度也可

说明这点:因(�����)由B,C,D,E的坐标决定,每个点的齐次坐标是三个

参数,但齐次坐标允许差一常数倍数,故独立的参数只有两个,四个点共计八

个�因此由射影平面上已知四点(无三点共线)的新,旧坐标,就可以唯一确定

一个射影坐标变换�例� 已知在射影坐标变换下,四个点B(�,�,��),C(��,�,��),

D(�,��,��),E(�,��,��)的新坐标分别是(�,��,�),(�,��,�),(�,

�,��),(�,�,��),求射影坐标变换公式�解 我们把B,C,D,E及其象看成两组坐标系,为此分别把它们规范

化,得到(��,��,�),(��,�,��),(�,��,��)及(��,�,��),(�,��,

�),(�,�,��)�设所求变换的矩阵为Q,即

y�

�z{��

y�Q z��

�{�

则有

R��� �� ��� � ��� �� �

���Q

�� � �� �� ��� � �

���QS�

从而得到

Q�RS���� � ��� � ��

�� � �

y�

�z{��

� � ��� � ��

�� � �

y�z��

�{��

交比 前面已经说过,为什么同一景象从不同的角度投影到平面上后,

我们仍能识别�这就提示我们,虽然射影变换改变了物体之间的长度,角度等

几何量,甚至改变了简单比(它是仿射不变量)�但一定还有这些量的某种比例

关系却是不变的�我们来找这类比例关系�平面上两个景物B,C称为是“等价的”,如果可以用有限个射影变换把B

变为C�这是一个等价关系�我们的问题是找一个依赖于景象的数,它对同一

等价类的元素是一样的,这就是所谓“射影不变量”�对直线上的�个点,人们

发现它们之间距离的“比值之比”(称为“交比”)就是一个射影不变量�

·���·���� 射影平面与齐次坐标

在普通平面上,共线四点Q�,Q�,Q�,Q�的交比定义为

(Q�,Q�;Q�,Q�)�

Q�QA��Q�QA��Q�QA��Q�QA��

�Q�QA��·Q�QA��Q�QA��·Q�QA��

由第一个等号,它是两个简单比的比值,故称为二重比;由第二个等号,它是线

段交叉乘积之比,故称为交比�在扩大平面上,若四个普通点Q�,Q�,Q�,Q�共线,则Q���Q���Q�,

Q����Q����Q�,其中Q�,Q�,Q�,Q�同时也表示点Q�,Q�,Q�,Q�的齐次

坐标向量�适当选择坐标系,可设Qj� y(j)� ,�,y(j)( )� ,Qj 的非齐次坐标为

y(j),( )�(j��,�,�,�),则

(Q�,Q�;Q�,Q�)�

y(�)�y(�)

y(�)�y(�)

y(�)�y(�)

y(�)�y(�)

y(�)�

y(�)��y(�)�

y(�)�

y(�)�

y(�)��y(�)�

y(�)�

y(�)�

y(�)��y(�)�

y(�)�

y(�)�

y(�)��y(�)�

y(�)�

�y(�)� ��y

(�)�

�y(�)� ��y

(�)��y(�)�

y(�)�

�y(�)� ��y

(�)�

�y(�)� ��y

(�)��y(�)�

y(�)�

��y(�)� ���y

(�)�

��y(�)� ���y

(�)��y(�)�

y(�)�

��y(�)� ���y

(�)�

��y(�)� ���y

(�)��y(�)�

y(�)�

� y(�)� y

(�)� �y

(�)� y

(�)( )�

y(�)�

�y(�)� y

(�)� �y

(�)� y

(�)( )�

y(�)�

��y(�)� y

(�)� �y

(�)� y

(�)( )�

y(�)�

��y(�)� y

(�)� �y

(�)� y

(�)( )�

y(�)�

��������������

由此引出下面的定义:

定义���� 射影平面上共线四点Q�,Q�,Q�,Q�的齐次坐标向量Q�,

Q�,Q�,Q�如果满足Q���Q���Q�,Q����Q����Q�,则其交比定义为

(Q�,Q�;Q�,Q�)��������������

注 交比定义与齐次坐标的选取无关�因若取Q�,Q�,Q�,Q�的齐次坐

标分别为��Q�,��Q�,��Q�,��Q�,则

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

��Q���(��Q�)��(��Q�),��Q����(��Q�)���(��Q�),

Q�������Q����

��Q�� ��Q���

�Q�,

Q��������Q���

�����Q�� ���Q���

��Q��

同样有

(Q�,Q�;Q�,Q�)�

�����

�����

����

���

��

���������

对偶地,也可以定义共点四线m�,m�,m�,m�的交比�如果m���m���m�,m����m����m�,此处m�,m�,m�,m�同时也表示m�,m�,m�,m�的齐次坐标向量,则交比

定义为

(m�,m�;m�,m�)��������������

图����

定理���� 设四直线m�,m�,m�,m�共点,直线m与它们分别交于四点Q�,

Q�,Q�,Q�,则有(见图����)

(m�,m�;m�,m�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�证 设m的齐次坐标为V,mj的齐次坐标为V(j),则交点Qj的齐次坐标

为V�V(j),因m�,m�,m�共点,m�,m�,m�共点,可设

V(�)��V(�)��V(�), V(�)���V(�)���V

(�)�由定义知

·���·���� 射影平面与齐次坐标

(m�,m�;m�,m�)��������������

又因

V�V(�)��V�V(�)��V�V(�),

V�V(�)���V�V(�)���V�V(�),

Q���Q���Q�, Q����Q����Q�,

这就得到

(m�,m�;m�,m�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)��������������

共点四线的交比的几何意义如下:

定理���� 设四直线m�,m�,m�,m�共点P,(P为普通点),用#�(mj,mk)表

示mj绕P转到mk的有向角(逆时针方向为正),则有(见图����)

(m�,m�;m�,m�)�

tjo#�(m�,m�)

tjo#�(m�,m�)

tjo#�(m�,m�)

tjo#�(m�,m�)

即:共点四线的交比是四直线间有向角的正弦的复比�这个证明留作习题�共线四点Q�,Q�,Q�,Q�的交比,因Q�,Q�,Q�,Q�的排列不同有不同的

值,但它们之间有如下定理所述的关系�定理���� 记��(Q�,Q�;Q�,Q�),则

(�)��(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,

Q�;Q�,Q�)�

(�)�� �

(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�

(�)����(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�

由以上三条性质还可推出:

(�)�����(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

(Q�,Q�;Q�,Q�)�

(�) �����

(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�

(�) �����

(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�

注 如果这六个比值中有值相等,则交比的值一定是��,��,�,�,��

,���

证 下面仅证(�)中第一个等号,即证

��(Q�,Q�;Q�,Q�)�(Q�,Q�;Q�,Q�)�因Q�,Q�;Q�,Q�共线,设Q���Q���Q�,Q����Q����Q�,则

(Q�,Q�;Q�,Q�)��������������

又有Q�����Q��

��Q�,Q�� ������( )�

Q�����Q�,则

(Q�,Q�;Q�,Q�)�

��������( )���( )�

���

������������(Q�,Q�;Q�,Q�)�

其余性质可类似证得�交比为��的情形是一种重要的特殊情形,我们有下列定义

定义���� 射影平面上四点Q�,Q�,Q�,Q�共线,若满足(Q�,Q�;Q�,

Q�)���,则称它们是调和点列�以下几种说法都表示Q�,Q�,Q�,Q�是调和

点列:Q�,Q�与Q�,Q�调和共轭;Q�,Q�调和分割Q�,Q�;Q�为Q�,Q�,Q�的

第四调和点�类似地,共点四线m�,m�,m�,m�,如果满足(m�,m�;m�,m�)���,则

称m�,m�,m�,m�是调和线束�例 >�BCD中角B的内外角平分线分别交对边于E,F,则(C,D;E,F)

����解 如图����所示,由定理����和定理����,有

(C,D;E,F)�(m�,m�;m�,m�)�

tjo#�(m�,m�)

tjo#�(m�,m�)

tjo#�(m�,m�)

tjo#�(m�,m�)

����

定理����(交比与射影坐标系选取无关) 设B,C,D,E是射影平面��

·���·���� 射影平面与齐次坐标

图����

上共线四点,设B,C,D,E 在任一基底J[B�,B�,B�;F]中的射影坐标为:

(b�,b�,b�),(c�,c�,c�),(d�,d�,d�),(e�,e�,e�),并且dj���bj���cj,

ej���bj���cj,j��,�,�,则

(B,C;D,E)�

��������

证 在��上取基底JJ[P�P�P;F],则B,C,D,E 在JJ中射影坐标

(b��,b��,b��),(c��,c��,c��),(d��,d��,d��),(e��,e��,e��)也就是它们的齐

次坐标�设

d�j����b�j����c�j, e�j����b�j����c�j, j��,�,�,

由交比定义有

(B,C;D,E)�������������

设基底JJ到J的射影坐标变换公式为

y�y�y

��

y�

I�

y��y�

��

其中I为非奇异矩阵,于是由dj���bj���cj,得

����

d�

I�

d��d�

��

�������

b�

I�

b��b�

��

�������

c�

I�

c��c�

��

所以������������ ,������������ �同理可得

������������ , ������������ �于是可以算出

������������

���������

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

���� 射影映射和射影变换

定义�����(射影映射的代数定义) 设��是一射影平面,��为另一射影

平面,在��,��上分别取射影标架J�[B�,B�,B�;F],JJ�[C�,C�,C�;

G]�对��中任意一点Q,Q在J中的射影坐标为(y�,y�,y�),定义�(Q)在JJ中的射影坐标(y��,y��,y��)为

y��y��y�

��

b�� b�� b��b�� b�� b��b�� b�� b

���

y�y�y

��

其中�是非零实数,B�(bjk)为非奇异矩阵��:QA��(Q)称为��到��的射

影映射�射影平面到自身的射影映射称为射影变换�注 与平面仿射映射的定义类似,我们有下面射影映射的几何定义,可

以证明它与定义�����等价(这里不证)�定义������(射影映射的几何定义) 设��是一射影平面,��为另一射

影平面,设有双射�:��A����如果�把共线的三点变成共线的三点,则称�是

一个射影映射�由定义可见,中心投影及其有限次乘积都是射影映射�由定义可得射影映射的下述性质:

性质� 射影映射把共线的三点变成共线的三点,把不共线的三点变成

不共线的三点�性质� 射影映射把直线变成直线�性质� 射影映射把一般位置的四个点(即四个点中没有三点共线)变成

一般位置的四个点�性质� 射影映射保持共线四点的交比不变�定理�����(射影映射基本定理) 设B�,B�,B�,F是射影平面��上一

般位置的四个点,B��,B��,B��,F�是射影平面��上一般位置的四个点,则存

在��到��的唯一的射影映射�把B�,B�,B�,F分别映射成B��,B��,B��,

F��证 存在性:在��上取坐标系J{B�,B�,B�;F},在�� 上取坐标系

J�{B��,B��,B��,F�}�规定��到��的映射�如下:��上任取一点N,它在J中的射影坐标为(y�,y�,y�),N 在映射�下的象N�定义为J�中的射影坐标

·���·���� 射影映射和射影变换

为(y�,y�,y�)的点��显然是双射�设Q,R,S是��上共线三点,则它们的射

影坐标组成的三阶行列式等于零,据�的定义知,�(Q),�(R),�(S)在J�中

的射影坐标组成的三阶行列式也等于零�因此�(Q),�(R),�(S)共线�这就

证明了�是��到��的一个射影映射�唯一性证明略�射影变换 射影平面到自身的射影映射称为射影变换�射影变换把点变

到点,直线变到直线�容易验证,射影变换有下列性质:

(�)两个射影变换的乘积是一个射影变换�(�)恒等变换是射影变换�(�)射影变换的逆变换也是一个射影变换�

从而射影平面上的所有射影变换形成一个群,称它为射影变换群�我们有下面的重要论断:

(�)(基本定理) 设Q�,Q�,Q�,Q�是平面上的任意四个点,其中任意三

个点都不共线,Q��,Q��,Q��,Q��也是平面上的任意四个点,其中任何三个点

都不共线,则存在唯一一个射影变换它把Q�,Q�,Q�,Q�分别变为Q��,Q��,

Q��,Q���(�)直线上四点的交比在射影变换下是不变的�(�)射影平面上一对一变换,若把直线变成直线,则它一定是射影变换�二阶曲线的射影分类 普通平面上二阶曲线D的方程为

b��y��b��z���b��yz��b��y��b��z�b�����作为扩大平面(射影平面)上的曲线,它的方程应由齐次坐标表达,即

b��y�y( )�

�b��y�y( )�

��b��y�y�y��

��b��y�y��

�b��y�y��

b�����

如果允许y���,即添加曲线D上的无穷远点,D的方程可写为

b��y���b��y����b��y����b��y�y���b��y�y���b��y�y�

����

j,k��bjkyjyk��� (�����)

记Y�(y�,y�,y�),B�(bjk),则(�����)的矩阵形式为YBYU ���命题 给定二阶曲线D:YBYU��以及不在D上的点Q(Z),过Q(Z)的动直线m交

二阶曲线D于两点H(Y�),I(Y�),则动直线m上Q(Z)关于H(Y�),I(Y�)的第四调和

点R([)的轨迹为一条直线MQ,其方程为ZB[U ���(见图����)

证 设过点Q(Z)的直线m与二阶曲线D的交点坐标为Y,则有Y�Z��[�因它

在D上,代入D的方程得YBYU ��得

ZBZU���ZB[U���[B[U ��� (�����)

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

图����

上述二次方程的两个解��,��确定m与D的两个交点H(Y�),I(Y�),易见

Y��Z���[, Y��Z���[�

若Q,R与H,I调和共轭,则(Q,R;H,I)���,即������

�,或��������由根与系数

的关系知方程(�����)的一次项系数等于零�即ZB[U���这表明R([)的轨迹是一条

直线�定义����� 设二阶曲线D的方程为YBYU��,称上述命题中的直线MQ:ZBYU�

�为点Q(Z)关于二阶曲线D的极线,而称点Q(Z)为直线MQ 关于二阶曲线D的极点�注 若直线M与二阶曲线D有两个重合的交点,或者整个在D上,则称M是D的切

线,它们的交点成为切点�若过Q(Z)可作曲线D的两条切线,则切点必在极线上�即

Q(Z)关于D的极线是二切点的连线�若Q(Z)在曲线D上,则Q(Z)关于D的极线就是

D在Q(Z)处的切线�极线有下列重要性质:

定理����� 给定二阶曲线D:YBYU��,设点Q的极线过点R,则点R的极线也过

点Q;点Q的极线通过点Q的充分必要条件为Q在二阶曲线D上�证 设Q,R 的齐次坐标分别为Z�,Z�,则Q的极线为Z�BYU ��,R 的极线为

Z�BYU ���由假设Z�BZU���,因B为对称矩阵,所以Z�BZU�� Z�BZU( )�U�Z�BZU�

���定义����� 设T是射影平面��上的一条二阶曲线,��上的一个三角形BCD称为关

于T的自配极三角形,如果它的每一条边是其对顶点的极线�定理����� 对于射影平面��上的任意一条二阶曲线T,都存在关于T的自配极三

角形�证 在二阶曲线T外任取一点B,设B的极线是MB,则B不在上MB�如果MB不是整个在T上�此时在MB上任取一点C,使C不在T上�设C的极线是MC�

因为C在MB上,所以B在MC上�因为C�T,C不在MC上,从而C不是MB与MC的交点�

·���·���� 射影映射和射影变换

设MB 与MC 的交点为D,于是B,C,D可以构成一个三角形�因为D在MB 上,所以B在D的极线上�同理,C在D的极线上�因此,B,C的连线M是D的极线�于是三角形>�BCD是

自配极三角形�如果MB 整个在T上�此时T为一对重合直线�在MB 上任取两点C,D,则三角形

>�BCD是自配极三角形�二阶曲线的射影分类 如图����,对于二阶曲线D,选取一自配极三角形为坐标三

角形,设二阶曲线D在坐标三角形P�P�P�中的矩阵为(bjk)�则P�(�,�,�)的极线为

P�P�:(�,�,�)(bjk)YU ��,即b��y��b��y��b��y���,但P�P�的方程是y���,所

以b���b�����用同样的推导可得b�����故二阶曲线D的方程可简化为

b��y���b��y���b��y����� (�����)

图����

适当选取自配极三角形顶点的次序,(�����)可分为以下几种情形:

情形�:��y�����y�����y����,������-���情形�:��y�����y����,����-���情形�:��y����,��-���对情形�再取坐标变换

�yj���� j�yj,j��,�,�,

得到情形�的标准方程为

��

�y����y���

�y���� (无轨迹)�

��

�y����y���

�y���� (椭圆,双曲线,抛物线)�同理可知,经过适当的射影坐标变换,情形�和情形�的标准方程为:

��

�y����y���� (一点)�

��

�y����y���� (相交的两直线)�

��

�y���� (重合的两直线)�

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

注 在射影平面上,椭圆,双曲线,抛物线在同一个射影类里,这是不奇怪的�例如,在

中心投影下,椭圆,双曲线,抛物线可以互变,如图����所示�

图����

习 题

��证明:如果平面的一个仿射变换�有两个不动点B,C,则直线BC上每

个点在这个仿射变换下都不变���求把三条直线:y��,y�z��,z��依次变成�y��z����,

y����,�y�z����的仿射变换���证明仿射变换把任意一个仿射标架J变成一个仿射标架JJ,并且任意

一点Q的J坐标等于它的像Q���(Q)的JJ坐标���如果一条直线与它在仿射变换�下的像重合,则称这条直线为�的不

变直线�求下述仿射变换的不变直线:

y���y�z��z���y��z����� �

��设仿射变换�在仿射坐标系J中的公式为

y��y��zz���y��z��� �

(�)求�的不变直线;

·���·习 题

(�)以�的两条不变直线为新坐标轴,求�在新的仿射坐标系中的公式���设>�BCD的BC,CD边长分别为��dn,�dn,#�BCD�����设仿射变

换�:y���y�z��z��y��z���� �

把B,C,D分别变成B�,C�,D�,求>�B�C�D�的面积�

�H��证明仿射变换的(代数)定义����与(几何)定义�����等价���证明平面上任意两个平行四边形都仿射等价���任给一个三角形 >�BCD,设E,F,G分别是BC,CD,DB 的中点�证

明:存在一个椭圆,它与>�BCD的三边分别相切于E,F,G;并且求出这个椭

圆的面积与>�BCD的面积的比值����在扩大的欧氏平面��上,两点B,C的齐次坐标分别为(�,��,�),

(�,�,�),求

(�)直线BC在齐次坐标中的普通方程和参数方程;

(�)直线BC上的无穷远点的齐次坐标和它所对应的参数值����在扩大的欧氏平面��上,给了下列欧氏直线在仿射坐标中的方程,求

由它们所确定的射影直线在齐次坐标中的方程,并且求出它上面的无穷远点�(�)y��z����; (�)�y��z������证明:射影平面上若三点B,C,D不共线,则三线BC,CD,DB 不共

点����设B,C,D,E为射影平面��上的共线四点,其中B,C,D各不相同,

并且E与B不同�在此直线上取两点Q,R,它们的齐次坐标分别为(q�,q�,

q�),(r�,r�,r�),B,C,D,E 的齐次坐标分别为(b�,b�,b�),(c�,c�,c�),

(d�,d�,d�),(e�,e�,e�),并设

bj���qj���rj, cj���qj���rj,

dj���qj���rj, ej���qj���rj (j��,�,�)�证明

(B,C;D,E)�

�� ��

�� ���� ��

�� �

��

·

�� ��

�� ���� ��

�� �

��

���在射影平面��上,设共线三点B,C,D的齐次坐标分别为(�,�,�),

(�,�,�),(��,�,��),在直线BC上求一点E使得交比(B,C;D,E)������证明定理��������设B,C,D,E,F 是共线五点,并且两两不同,证明(B,C;D,E)·

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

(B,C;E,F)�(B,C;D,F)����用交比(B,C;D,E)表达B,C,D,E这些点按任何其他顺序所取的

交比����在射影平面上,求把点B(�,�,�),C(�,�,�),D(�,��,�),E(�,�,

�)分别变成点B�(��,�,�),C�(�,�,�),D�(�,�,�),E�(�,�,��)的射影坐

标变换公式����在扩大的欧氏平面上,求把直线y���,y���,y���分别变为直

线bjy��cjy��djy���(j��,�,�)的射影变换公式的一般形式����给定二阶曲线D,如图����,选取三角形>�P�P�P�(其中P�,P�是

切点)为坐标三角形�证明在上述坐标三角形中二阶曲线D的方程(�����)简

化为

b��y����b��y�y����

图����

���正常成人的头长,体长,腿长与全身长之比分别为���,���,����某甲天生腿短,腿长只占全身长的����在照相中他想弥补这一缺陷:通过取

一个合适的角度,使照片上的这一比例变为����利用交比不变性,问这时他

的头长所占比例变成多少?

���设B,C,D和B�,C�,D�分别是直线m�,m�上任意三点,试通过直线中

心透视的乘积构造一射影对应�:m�A�m�,使

�(B)�B�,�(C)�C�,�(D)�D�����设射影平面��上取了两个基底J�[B�,B�,B�;F]和JJ�[C�,

C�,C�;G]�已知点C�,C�,C�;G在基底J中的射影坐标分别为:(�,��,�),

(�,�,�),(��,�,�)和(�,��,�)�求基底J到基底JJ的点的射影坐标变换公

式����在射影平面上已知射影变换(点变换)�的公式为

·���·习 题

y��y��y�

��

b�� b�� b��b�� b�� b��b�� b�� b

���

y�y�y

��

求�把直线V � v�,v�,v( )� 变为直线V�� v��,v��,v�( )� 的公式����在射影平面上,射影变换�的公式为

y��y��y�

��

�� � ��� � ��

�� � �

y�y�y

��

求�的不动点和不变直线�

部分习题答案

��y�z

[ ]�

�� ��[ ]�� �

y[ ]z�[ ]���

��y�z�����或 �y�z���

��(�)y�z��,z��y��; (�)y���yz������ z

������ ������ �

���(�)y�z�{��,Y�(�,��,�)��(�,�,�),������(�)y���y��y���,l(��,�,�);

(�)�y���y���,l(�,�,�)����E�l(�,��,��)�

����

v��v��v�

m�

n�

q�

r��

b� b� b�c� c� c�d� d� d

m�

n�

q�

r��

v�v�v

m�

n�

q�

r��

����������

���

y�y�y

m�

n�

q�

r��

����

� � ��� � ��m�

n�

q�

r��� � ���

y��y��y�

m�

n�

q�

r��

���V���(BU)��V����不动点:�(�,�,�),�(�,�,�),�(�,�,�),

不变直线:�(��,�,�),�(��,�,�),�(�,��,��),�(��,��,�)�

·���· 第��章 平面正交变换 仿射变换 射影变换

第��章 非欧几何学简介

以欧几里德的“几何原本”(共��卷,出现于公元前�世纪)为代表的欧氏

几何是人类理性思维的一大成就�它第一次系统地体现了“公理化”思维的模

式�即一种从公认的定义和无须证明的公理和公设出发,经过合乎逻辑的推

理,最后得出结论的模式�“原本”中用了��个定义,�条公理(即对一切学科

都通用的无须证明的命题,例如“整体大于部分”),和�条公设(对几何学无须

证明的命题,例如“所有直角都相等”),由此推出了一系列的平面和空间图形

的性质�出于理性和对简洁美的追求,后人对其中第�公设(平行公设)的公设

地位有所怀疑,认为它可能是其它�条公设的推论�经过两千多年的探索,到

了��世纪才得到解决:除了证明它确实独立于其它�条公设之外,还创立了

两门新的几何学 ——— 椭圆几何(满足公设���,但过直线外一点没有与之平

行的直线)和双曲几何(满足公设���,但过直线外一点有无穷多与之平行的

直线),并为物理学的发展提供了有力的工具�在这一章中,我们将介绍这两种

几何的简单模型�

���� 球面几何

空间中和点P的距离等于定值S的所有点构成一个曲面,叫做以P点为

球心,以S为半径的球面�例如:我们所居住的大地,其局部地貌虽然是丘陵

起伏,山川纵横,但是其全局的形状却十分接近于一个球面,这也是为什么我

们现在把它叫做“地球”的缘故�自工业革命以来,远洋航海日益发达,球面几

何就成为航海,天文的基本工具�将球面几何和大家熟悉的平面几何相比较,我们可看出以下几点:(�)在

相对于半径来说,很小的一小片球面,看起来就几乎是一个平面,这也是早期

历史上各民族将“大地”的整体形状误认为是“平面”的原因�(�)过球心的平

面和球面的交线叫该球面的一个“大圆”�它们在球面几何里所扮演的角色相

当于平面几何中的直线�例如一个小于半圆的大圆圆弧就是其两端点之间在

球面上的所有道路之中唯一的最短道路�这表明,它们具有和平面上直线段相

同的特征�(�)平面三角形的研究是平面几何学的核心问题,同样,球面三角

形(亦即由连接三个顶点的大圆圆弧所构成的图形)的研究也是球面几何学

的核心问题�测地线 大家知道,连接平面上(任意)两点的最短曲线是直线�对一般

空间,连接空间中任意两点的最短曲线是什么?这就是下面将要介绍的测地线

的概念�定义���� 连接空间Y中任意两点的最短曲线叫Y中极小测地线�例� 给定球面上两点q与r,紧贴球面上拉一根连接q与r的细绳,这

条拉紧的细绳就是球面上连接两点q与r的测地线�例� 把一张纸卷成圆柱面,用一根细绳连接柱面上两点q,r,拉紧细绳

就得到一条连接q,r的测地线�视细绳绕柱面的次数不同,可得到无穷多条

连接q,r的测地线�但仅仅一条(或两条)是连接q,r的极小测地线�定义���� 空间Y上测地三角形定义为用测地线连接Y上三点B,C,D

构成的图形�定义���� 球面T上的大圆是指一个过球心的平面在球面上的截线�球

面上不是大圆的圆叫小圆(见图����)�设B,C 为 球 面 上 的 两 个 点,D 为 球 面 的 中 心,则 弧 BC 的 长 度 �

S(#�BDC),其中S为球面的半径,#�BDC是弧度�

图���� 图����

用球面坐标计算球面上曲线的长度比较方便�以D为原点建立三维欧氏

空间中直角坐标系,正向{轴与球面交于B点,则球面上点Q的球坐标为(S,

�,�),其中S为球面半径,��#�QDB,�为y轴正向与A�DQ在yPz平面的投

影向量之夹角(见图����)�用初等几何学可验证下面球面坐标与直角坐标

之间的关系:

y�Stjo�dpt�z�Stjo�tjo�{�Sdpt��

� �

·���· 第��章 非欧几何学简介

(�0��0��,�0��_���)

定理���� 球面上两点之间的最短道路是大圆弧�即球面上的测地线

是大圆弧�证 设�:[b,c]A�T为球面上任意一条连B,C的参数曲线,即满足

�(b)�B,�(c)�C�在直角坐标下记为�(u)� y(u),z(u),{(u( )),�的

长度为

m(�)�&�c

by�(u( ))�� z�(u( ))�� {�(u( ))� �eu� (����)

用球坐标

y(u)�Stjo�(u)dpt�(u)

z(u)�Stjo�(u)tjo�(u)

{(u)�Sdpt�(u��

� )

(����)

将下面求导后的式子

y�(u)�S dpt�(u)dpt�(u)��(u)�tjo�(u)tjo�(u)��(u( ))

z�(u)�S dpt�(u)tjo�(u)��(u)�tjo�(u)dpt�(u)��(u( ))

{�(u)��Stjo�(u)��(u��

� )

代入方程(����)得到

m(�)�&�c

bS ��(u)��tjo��(u)��(u)� �eu

1�&�c

bS��(u)eu �S �(c)��(b( ))

�S(#�CDB)

�弧BC的长度, (����)

等号成立当且仅当��(u)��或tjo��(u)��,u��[b,c]�即�为弧BC�定理

����证毕�如果把球面上的大圆弧定义为球面上的“直线”,则有下面的命题:

命题���� 球面上任意两个不在同一直径上的点决定唯一一条“直线”,

任意两条“直线”必交于在同一直径上的两点�因而球面上没有“平行线”�(见

图����)

定理���� 在球面三角形>�BCD中,#�B�#�C�#�D���WS�,其中

S为球面半径,W为>�BCD的面积�证 将BC,BD这两个大圆圆弧延长,它们相交于B的对顶点B�;这两

条半圆圆弧之间的区域叫做一个“梭形”,它的面积是全球面面积的#�B��

倍,

·���·���� 球面几何

图����

即#�B��

·��S���S�#�B,其中#�B表示#�B的弧度�记B�,C�,D�分别为

B,C,D的对径点,则有(见图����)

>�BCD的面积�>�B�CD的面积��S�#�B, (����)

>�BCD的面积�>�BC�D的面积��S�#�C, (����)

>�BCD的面积�>�BCD�的面积��S�#�D, (����)

>�BCD�的面积�>�B�C�D的面积(因为两者对称)� (����)

又由 >�BCD的面积�>�B�CD的面积�>�BC�D的面积

�>�B�C�D的面积�半球的面积���S�, (����)

图����

(����)�(����)�(����)后,即得

�>�BCD的面积�>�B�CD的面积�>�BC�D的面积

�>�B�C�D的面积��S�(#�B�#�C�#�D)�(����)

综合(����),(����)和(����),就有

�>�BCD的面积���S���S�(#�B�#�C�#�D),

·���· 第��章 非欧几何学简介

即#�B�#�C�#�D���WS��

由定理立即得推论����:

推论���� 在任意球面三角形>�BCD中,

#�B�#�C�#�D`��如果我们希望在平面上讨论问题,可以通过所谓的球极投影把球面映成

平面�

图����

如图����,`��是以原点P为球心的单位半径球面,�为yPz坐标平面,

我们以(�,�,�)表示`��上的动点Q的坐标�O为坐标为(�,�,�)的点�令Q�为直线OQ和�的交点,以(y,z,�)表示Q�的坐标�由于三点O(�,�,�),

Q(�,�,�),Q�(y,z,�)共线,而且满足����������,不难解出(�,�,�)

和(y,z,�)之间的关系

y� ����

,z� ����

, (�����)

���y

��y��z�,��

�z��y��z�

,�����y��z���y��z�

�(�����)

定义���� 球极投影就是上述把球面上任一点Q(�,�,�)映到平面上

Q�(y,z,�)点的映射,并定义O点的像点为�,即

�:`��A����{�},�(O)��命题���� 球极投影�:`��A��H� ����{�}具有下列重要性质

(�)�是`��上的圆,且O ���当且仅当�(�)为�H� 中直线�(�)�是`��上的圆,且O ��当且仅当�(�)为�H� 中圆�(�)�保持角度不变�

·���·���� 球面几何

证 (�)的证明较长,这里省略�只证(�),(�)�设�是 `��上任意一圆,则�中的动点Q(�,�,�)除了满足球面方程

����������外,还满足线性方程

B��C��D��E��, (�����)

用变换(�����),即得�(�)的方程为

B �y��y��z�

�C �z��y��z�

�D���y��z�

��y��z��E��,

(�����)

亦即

(D�E)(y��z�)��By��Cz�(E�D)���(�����)

当O��,即D�E -��时,(�����)说明�(�)为�H� 中的一个圆;当

O���,即D�E��时,(�����)说明�(�)为�H� 中的直线�反之亦然�平面极投影的应用 万能变换

图����

图����给出S�上以(��,�)为基点,把单位圆y��z���映到z轴的投影,叫做

极投影�设(y,z)是单位圆上的一点,(�,u)为它与基点连线在z轴的交点,则三点(��,

�),(�,u),(y,z)共线,可得(�,u)与(y,z)的关系

u� zy���

(�����)

注意到点(y,z)满足y��z���,结合(�����),当(y,z)-�(��,�)时,解出

y���u�

��u�

z� �u��u�

��

� �(�����)

考虑积分

&�S(dpt�,tjo�)e�,

其中S(y,z)为y,z的有理函数(两个多项式的商)�由(�����)可设

·���· 第��章 非欧几何学简介

y�dpt����u�

��u�, z�tjo�� �u

��u�,

这等价于

u�ubo���

对上式微分得e�� ���u�

eu,从而得到

&�S(dpt�,tjo�)e��&�S ��u�

��u�,�u��u( )� �

��u�eu,

被积函数变为u的有理函数,故可积�上面推证可以看成是不定积分中“万能变换”的来

源�

���� 双曲几何的庞加莱模型

设D是欧氏平面上的单位圆,T是它的内部�T叫做绝对空间,它是以下

我们讨论的范围�定义T中的“点”为欧氏平面的点,“直线”(双曲直线)为过

圆心的直径或与D正交的圆弧�D上的点称为无穷远点�而两条直线称为互相

平行,如果它们交于无穷远点�我们有以下的命题:

命题���� T中任意两点必位于唯一的直线上�这个命题的证明要用到以下一个简单的事实(我们不加证明):“欧氏平面

中,与单位圆正交的圆方程必具以下形式:y��z��by�cz�����”用它

来证明命题:设两点的坐标分别为(y�,z�),(y�,z�),它们能否共线,就看下

列方程组是否有解:

y�b�z�c��y���z����

y�b�z�c��y���z������

� �它唯一可解的条件是y�z��y�z�-��,而这正是这两点与(�,�)不共线的条

件�它说明:这两点或者位于同一直径上,或者位于某一直线�不论哪种情况,

过这两点的直线都是唯一的�我们定义T中任意两点B,C的距离(“双曲距离”)e(B,C)如下:

e(B,C)�

�, B�C,

mo BN COBO CN

, B-�C��

�,

其中 BC 表示欧氏线段BC的长度;N,O表示B,C所在直线与D的两个交

点�由定义,N,O与B,C的次序无关�这个距离函数满足对称性及三角不等

·���·���� 双曲几何的庞加莱模型

式(这里不证)�如果B,C中有一个在D上,易见其距离为,��设两条双曲直线交于C点,定义它们的夹角就是两条曲线在这一点切线

的夹角�

图���� 图����

以上就构成了T中的一种几何�在这个模型(称为庞加莱平面双曲几何

模型)中,可以证明欧氏几何的公设���都成立,而第�公设明显不对(过线

外一点有无穷多条直线与此线平行)�下面我们来证明T中任意三角形的内

角和小于��为了方便,取三角形的两个边都是过B(即原点P)的直线�命题���� P为单位圆,P�是任意与它正交的圆�过P 的直线交圆P�

于两点Q,Q�,则

PQ·PQ����证 用初等几何�

命题���� 设在T中,点B与圆心的欧氏距离为s,双曲距离为s�,则有

以下关系:

tis�� �s��s�

,dis����s�

��s�,uis�� �s

��s��

证 三个等式都由下面式子推出:

s��mo��s��s�

命题���� 图����中二圆正交,直角双曲三角形BCD的两个双曲边

长满足以下关系:

CC��ti�d�

, DD��ti�c��

证 利用命题����,CC��BC� �BC

·���· 第��章 非欧几何学简介

图����

CC���d�d�ti�d��

另一个同样证明�定理���� 如图����,对于直角双曲三角形BCD,下面(�),(�),(�)式

成立:

(�)tjoB�tib�tid�,tjoC�tic�tid�

;(�)dptB�uic�uid�;

(�)did��dib�dic�(勾股定理)�(�)对于一般的三角形BCD,有

dib��dic�did��tic�tid�dptB�(余弦定理)�证 (�)只证第二个等式�利用命题����,可得

tjoC�tjo��#�CB�C��CC�DD��

tic�tid��

(�)dptB�BD�BC�,��BD���DD�·D�D��(BD��c)�

c�( )BD� �解出

BD�� �c��c��

uic�,同样可解出BC��

(�)��dpt�B�tjo�B �ui�c�ui�d��

ti�b�ti�d�

,ti�d��ti�b��ti�c�di�d�di�c�

di�d��di�b��ti�c�di�d�di�c�

,把它乘出即得�

(�)在任意双曲三角形BCD中,过C作对边的垂线i并与它交于Q�分别

记双曲线段BQ,QD为c�,c��在直角三角形CQD中,利用(�)得到

dib��dii�di(c��c��)�did�dic��dii�tic�tic��;

其中用到直角三角形的勾股定理�再用(�),把tic���dic��tid�tjoB

did�代入

·���·���� 双曲几何的庞加莱模型

即得�

定理���� 在任意双曲三角形BCD中,记t����(b��c��d�),则有

半角公式

tjoB��ti(t��d�)ti(t��c�)

tid�ti� c� �

证 利用余弦定理:

tjoB����

(��dptB� )� ���

��dic�did��dib�tic�ti� d�

� ��

di�

b��di(c��d�)tic�ti� d�

�tib��c��d�( )ti�

b��c��d�( )ti

�c�ti� d� �

定理���� T内欧氏三角形BCD和双曲三角形EFG的对应边都相等

(在各自长度的意义下),则EFG的内角和小于BCD的内角和��证 把BCD的三个边连同其长度都记为b,c,d,EFG与之相应的边及

其长度记为b�,c�,d��由假设,b�b�,t�t�等等�根据欧氏及双曲三角形的半角公式,我们只须证明下式:

ti(t��d�)ti(t��c�)tid�tic� _�

(t�d)(t�c)dc

或 ti(t�d)ti(t�c( ))(t�d)(t�c) _�tidticdc �

因为只要三角形不退化为一条线,总有t�c_�d;而函数tiyy

当y1��时

上升,所以上面不等式成立,即三角形BCD的B角大于三角形EFG的E角;同

理,另外两个角也有同样的不等式,这就证明了定理�

评述 非欧几何的产生,源于对欧氏几何平行公设地位的怀疑,并不牵

涉到欧氏几何本身的正确性�虽然希腊人己认识到数学空间不同于感性认识

的空间,但长期以来人们都承认欧氏几何是物质空间正确的理想化�非欧几何

的出现,自然引起了它们在物质空间的适用性问题�这和当时流行的射影几何

大不相同�这个问题一直到爱因斯坦在相对论中用上了非欧几何才得到基本

解决�

·���· 第��章 非欧几何学简介

��世纪各种几何的相继出现,自然引出一个问题,这些几何之间有什么

内在的联系呢?这个问题到了��世纪末才由克莱因在他的“埃尔兰根纲领”中

加以解决�其基本思路如下:

给了一个几何对象的集合,并在其元素间定义了一类变换(乘法),它们组

成一个群�如果有一个变换,把集合中一个元素变为其中另一个元素,则称这

两元素相等(或等价、合同)�例如在欧氏几何中,任意两个半径相等的圆都相

等�设某类变换把元素B变为C,B的一些性质,C未必也有�但既然把B,C

视为相等,必然有一些它们所共有的性质,这种性质(依赖于所给的变换)叫

做这类变换的不变性质�如果这种性质表现为某种量,就叫做不变量�把它们

找出来之后,就可以直接从B,C本身的性质来判断它们是否相等�研究不同

变换下的不变性质,就成为不同几何的研究内容�例如欧氏几何研究的是欧氏

平面上的正交变换,不变量是直线段的长度等等�现在说一下上述几种几何的关系�因为其细节已超出本书的范围,所以只

能给一个轮廓�在射影平面上,射影几何的变换群由全体射影变换组成�仿射几何的变换

群由所有保持无穷远直线不变的射影变换组成,因而它是射影群的子群�欧氏

几何的变换群由所有保持无穷远直线上两点(�,j,�),(�,�j,�)不变的仿射

变换所组成,是仿射群的子群�另外,椭圆几何的变换群由所有保持二次曲线

y���y���y����不变的射影变换组成,也是射影群的子群�而双曲几何的变

换群由所有保持二次曲线y���y���y����不变的射影变换组成�

·���·���� 双曲几何的庞加莱模型

索 引

一划

一元运算 ���一般解(通解) ���

二划

二元关系 ���反对称性 ���对称性 ���自反性 ���传递性 ���

二元运算 ���二次曲线 ���

二次曲线的不变量 �����双曲型曲线 �����抛物型曲线 �����椭圆型曲线 �����

二次曲面 ���二次曲面的不变量 ���无心二次曲面 ���双叶双曲面 �����双曲抛物面(马鞍面) �����有心二次曲面 ���单叶双曲面 �����球面 ���椭球面 �����椭圆抛物面 �����

二次型 ���二次型的标准形 ���二次形的规范形 ���

不定二次型 ���半正定二次型 ���半负定二次型 ���正定二次型 ���负定二次型 ���

几何向量的坐标表示式 ���

三划

子式 ���主子式 ���代数余子式 ���余子式 ���顺序主子式 ���

子空间 ���平凡子空间 ���正交子空间 ���向量组张成的子空间 ���非平凡子空间 ���零子空间 ���

子空间的交 ���子空间的和 ���子空间的直和 ���子空间的维数公式 ���

四划

中心投影 ����无穷远点 ����无穷远直线 ����双曲几何的庞加莱模型 ����双线性函数 ���不相容方程组 ���

内积 ���内积空间 ���

实内积空间 ���复内积空间 ���

切平面 ���从切平面 ���密切平面 ���

切线 ���切向量 ���

五划

可对角化 ���可交换 ���正交 ���正交补 ���正交变换 ���,����可逆元 ������主轴定理 ���平面方程 �����

平面的一般方程 �����平面的点法式方程 �����平面的截距式方程 �����

矛盾律 ���对偶原理 ����代数系统 ����代数运算 ���代数结构 ����主方向 ���主法线 ���主法线向量 ���弗雷耐(Gsfofu)标架 ���弗雷耐(Gsfofu)公式 ���

六划

仿射变换 ����扩大的笛卡尔平面 ����交比 ����行列式 ��o阶行列式 ���二阶行列式 ��三阶行列式 ��三对角行列式 ���上(下)三角行列式 ���范德蒙(Wboefsnpoef)行列式

���齐次坐标 ����全序集 ���全序关系 ���自配极三角形 ����向量 ��� ���

几何向量 ���负向量 ���单位向量 �����零向量 ���o元(维)向量 ��� ���

向量的内积(点积,数量积)�����向量的外积(叉积,向量积)�����向量的加法 ����� ���向量的坐标 ���向量的混合积 �����向量的数量乘法 ����� ���向量的模 ���向量空间 ���向量组的秩 ���约当标准形 ���

·���·索 引

曲线 ���正则曲线 ���光滑曲线 ���

曲面 ���曲面第一类基本量 ���曲面第一基本形式 ���曲面第二类基本量 ���曲面第二基本形式 ���

曲率 ���主曲率 ���平均曲率 ���曲率中心 ���曲率本径 ���曲率本径 ���曲率向量 ���法曲率 ���法曲率向量 ���测地曲率 ���测地曲率向量 ���高斯曲率 ���

向量函数 ���定长向量函数 ���定向向量函数 ���原向量函数 ���

七划

坐标三点形 ����序偶(有序二元组) ���良序集 ���酉空间 ����

八划

环 ������

无零因子环 ������交换环 ������含幺环 ������整环 ������

极线 ����极点 ����极大线性无关组 ���欧氏(Fvdmje)空间 ���单位元 ������单位点 ����单位正交基(标准正交基) ���空间直角坐标系 �����空间直线方程 �����

直线的一般方程 �����直线的参数方程 �����直线的标准方程 �����

空间M(W�,W�) ���线性几何

线性方程组 ���齐次线性方程组 ���非齐次线性方程组 ���

线性无关 ���线性扩张 ���线性组合(线性表示) ���线性空间 ���

无限维线性空间 ���有限维线性空间 ���实空间 ���复空间 ���

线性空间的同构 ���线性空间的基 ���线性空间的维数 ���线性变换 ���

·���· 索 引

恒等变换 ���数乘变换 ���零变换 ���旋转变换 ���镜象变换(镜面反射) ���比例变换 ���错切变换 ���

线性相关 ���线性相关性 ���线性映射 ���

线性映射的加法 ���线性映射的和的秩 ���线性映射的逆映射 ���线性映射的秩 ���线性映射的核 ���线性映射的乘法 ���线性映射的乘积的秩 ���线性映射的象(值域) ���线性映射的数乘 ���线性映射象和核的维数公式

���直线把 ����直积(笛卡儿乘积) ���变积系数 ����命题 ���

永真命题 ���永假命题(矛盾命题) ���条件命题 ���否定命题 ���复合命题 ���原子命题 ���等价(等值)命题 ���

命题的真值 ���

命题运算 ���双蕴涵词 ���否定词 ���合取词 ���析取词 ���蕴涵词 ���

九划

逆元 ������矩阵 ��� ���

上(下)三角矩阵 ���反对称矩阵 ���方阵 ���分块矩阵 ���正交矩阵 ���正定矩阵 ���半正定矩阵 ���半负定矩阵 ���对角矩阵 ���可逆矩阵 ���对称矩阵 ���负定矩阵 ���约当型矩阵 ���初等矩阵 ���系数矩阵 ���伴随矩阵 ���实对称矩阵 ���单位矩阵 ���线性映射的矩阵(表示) ���逆矩阵(非奇异矩阵) ���度量矩阵 ���相似矩阵 ���相合(合同矩阵) ���

·���·索 引

相抵矩阵 ���基的变换矩阵(过渡矩阵)����满秩矩阵 ���零矩阵 ���数量矩阵 ���增广矩阵 ���幂等矩阵 ���例�幂零矩阵 第�章习题��

矩阵的列秩 ���矩阵的行秩 ���矩阵的行列式秩 ���矩阵的列空间 ���矩阵的行空间 ���矩阵的初等变换 ���矩阵的初等行变换 ���矩阵的初等列变换 ���矩阵的转置 ���矩阵的迹 第�章补充题�矩阵的秩 ���相似 ���相似标准形 ���相合(合同) ���相合(合同)标准形 ���相抵 ���相抵标准形 ���测地线 ����测地三角形 ����相容方程组 ���柱面 ���映射 ���

双射 ���可逆映射 ���单射 ���

恒等(单位)映射 ���满射 ���

标准内积 ���弧长 ���弧长参数 ���

十划

调和线束 ����调和点列 ����高斯消元法 ���特解 ���特征值 ���特征向量 ���特征子空间 ���特征多项式 ���原始射影坐标系 ����射影平面 ����射影坐标变换 ����射影直线 ����射影映射 ����射影变换 ����

十一划

基 ���域 ������

有理数域 ������实数域 ������复数域 ������

像 ���完全原像 ���原像 ���

维数 ���排中律 ���

·���· 索 引

旋转面 ���偏序集 ���偏序关系 ���基础解系 ���惯性定理 ���

正惯性指数 ���负惯性指数 ���

球极投影 ����副法线 ���副法线向量 ���

十二划

集合 ���子集 ���交集 ���并集 ���余集 ���空集 ���商集 ���幂集 ���

量词 ���存在量词� ���全称量词a� ���

等价类 ���等价关系 ���幂等线性变换 ���

十三划

群 ������

子群 ������无限群 ������半群 ������交换群(Bcfm群) ������有限群 ������含幺半群 ������克莱因(Lmfjo)群 ������变换群 ������置换群 ������模o剩余类加群 ������o阶线性群 ���

简单比 ����锥面 ���置换 ������零因子 ������

左零因子 ������右零因子 ������

解向量 ���解空间 ���数学归纳法原理 ���

第二数学归纳法 ���微分几何 ��Dsbnfs

�法则 ���

Dbvdi�Tdixbs{z 不等式 ���Tdinjeu正交化过程 ���

·���·索 引