State Key Laboratory of Integrated Services Networks

循 环 码 （ II ）

内容

多项式乘法和除法电路

循环码的编码电路 ( 乘法和除法 )

01

1 axaxaxA kk

kk

01

1 bxbxbxB rr

rr

001001

)1(1

22112

111

baxbaba

xbababa

xbababa

xbabaxba

xBxAxC

irkrikirkirk

rkrkrkrk

rkrkrk

rkrk

多项式乘法多项式乘法

b0b1b2br-2b1br-1b1br

输出 C(x)

输入 A(x)

a0,a1,…ak

乘 B(x) 运算电路( 利用校验多项式 h(x) 编码时会用到 )

多项式乘法电路

例 5.11

b0 b1 b2 br-2 b1br-1 b1br

输出 C(x)

输入 A(x)

a0,a1,…ak

乘 B(x) 运算电路

akb0 akb1 akbr-2 akbr-1

多项式乘法电路

多项式除法

多项式除法

11 1 0

r rr rb x b x b x b

1 1 1 1

1 1( )k r k rr k r k r r kb a x b a b b a x

1

1 1 0k k

k ka x a x a x a

1 1 11

k k k rk r r k o r ka x b b a x b b a x

1 1 1

1 1( ) ( ) ( )k k rk r r k k r o r ka b b a x a b b a x A

除式 B(x)

商式

被除式 A(x)

… …

-b1 b1br-1

输出商 q(x)

输入 A(x)

-b2 -br-1-b0

除 B(x) 运算电路a0,a1,…ak

除式 B(x) 构成电路，被除式 A(x) 的系数依次送入电路

多项式除法电路

ak-r+1 ak-r+2 ak-1 ak

h0 h1 h2 hr-2 b1hr-1 b1hr

输入 A(x)

a0,a1,…ak

-g1gr-1

输出商 q(x)

-g2-g0 -gr-1-gr-1

乘 H(x), 除 g(x) 运算电路

多项式相乘相除电路

多项式相乘相除电路

当 H(x)、 G(x) 次数不同时

4( ) 1A x x x 2( ) 1H x x 3( ) 1G x x x

＋ ＋ ＋

输入

输出

1 x2

1 x3x

循环码编码电路

循环码编码电路

n-k 级编码器基本原理：利用生成多项式 g(x)若要求编成非系统码形式，则利用乘法电路若要求编成系统码形式，则利用除法电路

)()(

)(

利用校验多项式编码级编码电路乘法电路实现非系统码形式除法电路实现系统码形式

级编码电路循环码编码电路k

kn

n-k级乘法电路 ( 非系统码形式 )

011

011

011

000

00

00

gggg

gggg

gggg

knkn

knkn

knkn

G

取 g(x), xg(x), …, xk-1g(x) 的系数可构成生成矩阵 G

00

211221

211

1

gm

gmgmgm

gmgm

gm

knkknkknk

knkknk

knk

n-k级乘法电路 ( 非系统码形式 )

若信息序列 m=(mk-1, mk-2, …, m0),则mG对应的 n维向量为：

该 n维向量正是多项式m(x)g(x) 的系数

g0 g1 g2 gn-k-2 b1gn-k-1 b1gn-k

输出 C(x)

输入 m(x)

m0,m1,…mk乘 g(x) 运算电路

mk-1 gn-k-1 mk-1 gn-k

输入 m(x) 是信息序列， g(x) 为生成多项式

mk-1 g0 mk-1 g1

n-k级乘法电路 ( 非系统码形式 )

GF(2) 上， x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) ， g(x)=x3+x+1 ，试画一个 [7,4] 循环码的 n-k级乘法编码电路。

Example

＋＋

输入m(x)

输出 c(x)

))(mod()( 111 xgxxxxr nknk

))(mod()( 222 xgxxxxr nknk

))(mod()( 0 xgxxxxr knknk

由于生成矩阵 G中的 k行要求线性无关，因此在求余式时，可选择 k个线性无关的信息组

(1,0,0,…,0) xk-1

(0,1,0,0,…0) xk-2

…(0,0,0,…,0,1) 1

循环码的系统码

xr

xr

xr

k~100

~010

~001

2

1

G

xri~ 表示 ri(x)的系数

GC ),,,( 021 mmm kk

循环码的系统码

n-k 级乘法电路（系统码形式）

对任意信息多项式 m(x), xn-km(x) 除以 g(x) 可得余式 r(x)，m(x) 的系数为信息序列 m， r(x) 的系数为 m 对应的校验比特若信息序列 m=(mk-1, mk-2,…m0) ；对应的多项式 m(x)=mk-

1xk-1+ mk-2xk-2+…+m0

因此，循环码的系统码电路是信息多项式 m(x)乘 xn-k, 除以 g(x) 的实现电路

knnk

nk

kn xmxmxmxmx

02

21

1)(

))()()(

))(mod())(mod(

))(mod())(mod()(

02211

02

2

11

xrmxrmxrm

xgxmxgxm

xgxmxgxmx

kkk

knnk

nk

kn

输入 m(x)

m0,m1,…mk-1

-g1gn-k

-1

-g2-g0 -gn-k-1-gn-k-2

乘 xn-k除 g(x) 运算电路

门 1

n-k 级乘法电路（系统码形式）

门 2

GF(2) 上， x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) ， g(x)=x3+x+1 ，试画一个 [7,4] 循环码的 n-k 级系统码形式的乘法编码电路。

Example

＋＋

输入m(x)

输出 c(x)

门 1

门 2

k 级编码器基本原理：利用校验多项式 h(x) ；为系统码编码电路

若信息序列 m=(mk-1, mk-2,…m0)

对应的多项式 m(x)=mk-1xk-1+ mk-2xk-2+…+m0

码多项式 C(x)= m(x)g(x),且 C(x) 为系统码 h(x)C(x)= h(x)m(x)g(x)

= m(x)(xn-1) = m(x)xn-m(x)

= mk-1xn+k-1+ mk-2xn+k-2+…+m0xn

-(mk-1xk-1+mk-2xk-2+…m0)

k 级编码器

h0 cn-1 +h1 cn-1-1 + …+hk cn-1-k=0

h0 cn-2 +h1 cn-2-1 + …+hk cn-2-k=0

h0 cn-3 +h1 cn-3-1 + …+hk cn-3-k=0

h0 ck +h1 ck-1 + …+hk c0=0

h(x)C(x) 的乘积中， xn-1, xn-2,… xk 次的系数为零xn-1 的系数

xn-2 的系数

xn-3 的系数

xk 的系数

k 级编码器

cn-1-k = - (h0 cn-1 +h1 cn-1-1 + …+hk-1 cn-1-(k-1))

cn-2-k = - (h0 cn-2 +h1 cn-2-1 + …+hk-1 cn-k-1)

cn-3-k = - (h0 cn-3 +h1 cn-3-1 + …+hk-1 cn-k-2)

cn-k-(n-k) = - (h0 ck +h1 ck-1 + …+hk-1 c1)

由于 hk=1

-h0-h1-h2-hk-2b1-hk-1

输入信息

门

cn-1cn-2cn-k-1cn-k

循环码 k 级编码电路

k 级编码器

GF(2) 上， x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) ， g(x)=x3+x+1 ， h(x)= x4+x2+x+1 。试画一个 [7,4] 循环码的 k 级系统码形式的编码电路。

Example

＋＋

输入m(x)

输出 c(x)

门

＋

1xx4

x2