第五章 定积分

定积分概念与性质微积分基本公式定积分计算反常积分

一、定积分概念

定 积 分第一节 定积分概念与性质

引例：曲边梯形的面积设 y=f(x) 在区间 [a,b] 上非负、连续。求由 曲线 y=f(x)与直线 x=a,x=b(a<b) 所围图形的面积。

(i) 分割：

(ii) 作积：

(iii) 求和：iii

iii

xfA

i

nixx

)(

,,2,1],[ 1

似值个小曲边梯形面积的近得第

任取

n

iii

n

ii xfAA

11

)(x

y

o

y=f(x)

ba

11

10

.,,2,1],,[

1],[

iiiii

nn

xxxnixxn

bxxxanba

记个小区间得，个分点内插入在

iii xx 1

1. 定积分定义 设函数 f(x) 在 [a,b] 上有界，ii

n

i

n

xfA

xx

)(lim

},max{

10

1

，则曲边梯形面积令 (iv) 取极限：

(i) 分割：

(ii) 作积：(iii) 求和：

iiiii xfnixx )(,,,2,1],[ 1 作乘积任取

n

iii xfS

1

)(

11

10

.,,2,1],,[

],[

iiiii

nn

xxxnixxn

bxxxaba

记个小区间得，内插入若干个分点在

在为函数则称该极限总趋于确定的极限时，和

上点怎样取法，当分法，也不论在小区间怎样，若不论对记

)(,

0],[

],[},max{

1

1

xfIIS

xx

baxx

ii

n

(iv) 取极限：

Y

即上的定积分，记作 ,)(],[ b

adxxfba

这里 f(x) 叫做被积函数， f(x)dx叫做被积表达式， x叫做积分变量， a,b叫做积分下限和上限， [a,b] 叫做积分区间。

注意 :(i)

b

a

b

a

b

a

n

iii

duufdttfdxxf

baxf

Ixf

)()()(

],[)(

)(1

记法无关，即有关，而与积分变量的及积分区间

仅与被积函数的极限存在时，其极限当和

ii

n

i

b

axfIdxxf

)(lim)(1

0

(ii)

上可积。在上的定积分存在，也称

在的积分和。若通常称为和

],[)(

],[)()()(1

baxf

baxfxfxfn

iii

2. 可积的充分条件

Y

定理 1 ：若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上可积。

定理 2 ：若 f(x) 在 [a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f(x) 在 [a,b] 上可积。

3. 定积分的几何意义

数和。之间的各部分面积的代、

的图形及两条直线轴、函数介于

bxax

xfxdxxfb

a

)(:)(

x

y

o

y=f(x)

ba+

-+

4. 例子

Y

1

0

1

0

2 dxedxx x及应用定义计算

解：

3

1

6

)12)(1(1lim

1lim

1)(lim

1lim)(lim

),,,2,1(,1

]10[

]1,0[)()1(

3

1

23

2

1

1

2

01

1

0 0

2

1

0

22

nnn

n

innn

i

nxfdxx

nin

i

nxn

dxxxxf

n

n

in

n

in

n

iiii

n

i

ii

有取等分，则，将

存在。上连续，故在

Y

解：

11

1

lim)1(

1

)(11lim

1lim

1lim

1lim)(lim

),,,2,1(,1

]10[

]1,0[)()2(

1

1

1

1

11

10

1

1

0 0

1

0

ee

nee

e

e

n

enn

e

nexfdxe

nin

i

nxn

dxeexf

nn

n

n

nn

n

n

i

n

i

n

n

in

in

n

iii

n

i

x

ii

xx

i

有取等分，则，将

存在。上连续，故在

二、定积分的性质规定：

性质 1 ：

.)()()2(

;0)()1(

b

a

a

b

b

a

dxxfdxxfba

dxxfba

时，当

时，当

.)()()]()([ b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

性质 2 ： .)()( b

a

b

adxxfkdxxkf

性质 3 ： .)()()( c

a

b

c

b

adxxfdxxfdxxf

性质 4 ： .1 b

a

b

aabdxdx

性质 5 ： .)0)(,0)(],[ b

abadxxfxfba （则上，如果在

推论：

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfxf

xfbaxf

xfbadxxf

xfbaxf

dxxfdxxf

badxxgdxxf

xgxfba

.0)(,0)(

,0)(],[)()4(

.0)(],[,0)(

,0)(],[)()3(

.)()()2(

.))()(

),()(],[)1(

则且

上连续，在若

上则在且

上连续，在若

（

则上，如果在

性质 6 ： （估值定理）

).()()()(

],[)(

baabMdxxfabm

baxfmM

b

a

则上的最大值及最小值，在区间分别是函数及设

性质 7 ： （定积分中值定理）

).()()()(

],[

],[)(

baabfdxxf

ba

baxf

b

a

，使下式成立则至少有一点上连续，在闭区间如果

例 1 根据定积分的性质 ，说明下列积分哪一个值较大：

1

0

1

0

1

0

1

0

32 .)1ln(21 dxxxdxdxxdxx 与）（；与）（

解：

.0]10[

.]1,0[)1(

1

0

1

0

3232

1

0

1

0

323232

dxxdxxxx

dxxdxxxxxx

，故上，，又在

，上连续，且在及

.)1ln(

0)1ln(]10[.)1ln(

)1ln(]1,0[)1ln()2(

1

0

1

0

1

0

1

0

dxxxdx

xxdxxxdx

xxxx

故

，上，，又在

，上连续，且在及

例 2 ：估计下列积分值

0

2

4

1

2 .2)1(12

dxedxx xx）（；）（

解：

.51)1(6

)14(17)1()14(2

1712)1(

4

1

2

4

1

2

2

dxx

dxx

x

即

，

.22,22

.)2()(

,)2()0(,)2

1()(,0)(

22

10)(

2

10;0)(

2

1

),12()(.]2,0[)()2(

0

2

4

122

0

24

1

2max

24

1

min

22

22

edxeeedxee

efxfM

effefxfmxf

xxfxxfx

xexfexf

xxxx

xxxx

即故

又

时；当时当时当

上的最值在先求

例 3 ：

.0sinlim)2(

01

lim)1(

4

0

2

1

0

xdx

dxx

x

n

n

n

n证明

解： （利用积分中值定理）

.0)1(2

lim

)2

10()0

2

1(

11)1( 2

1

0

n

n

nn

dxx

x

原式

.0sin4

lim

)4

0()04

(sinsin)2( 4

0

n

n

nn xdx

原式

1. 估计下列积分值

3

3

14

5

4

2 .arctan2)1(sin1 xdxxdxx ）（）（

练习：

2. 根据定积分的性质 ，说明下列积分哪一个值较大：

2

1

2

1

321

0

1

0.2)1(1 dxxdxxdxxdxex 与）（与）（

答案：

3

3

14

5

4

2 .3

2arctan

922)1(sin1.1

xdxxdxx ）（）（

较大）（较大）（ 2

1

31

021.2 dxxdxex