第五章 定积分及其应用 定积分是积分学中最重要的概念之一，同导

数概念一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的。用定积分的方法能解决大量的科学技术及经济管理中的计算问题。

本章将学习定积分的概念、性质、计算及其在几何、物理等方面的应用。

内容提要　第一节　定积分的概念 　第二节　微积分基本公式　第三节　定积分的换元法　第四节　定积分的分部积分法　第五节　无穷区间上的广义积分　第六节　定积分的应用举例

第一节 定积分的概念

重点：定积分的概念和性质 难点：定积分概念的理解

a b x

y

o

?A

曲边梯形：由连续曲线

实例 1 （求曲边梯形的面 积）

)(xfy )0)(( xf 、x轴与两条直线 ax、

bx所围成.

)(xfy

一、两个实例

在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题 . 现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算 . 困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的 . 但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小 . 由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，

a b x

y

oa b x

y

o

用矩形面积近似取代曲边梯形面积

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

（四个小矩形） （九个小矩形）

曲边梯形如图所示，,

],[

1210 bxxxxxa

ba

nn 个分点，内插入若干在区间

a b x

y

o i ix1x 1ix 1nx

;

],[

],[

1

1

iii

ii

xxx

xx

nba

长度为，个小区间

分成把区间

，上任取一点在每个小区间

i

ii xx

],[ 1

iii xfA )(为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx

i

n

ii xfA

)(

1

曲边梯形面积的近似值为

i

n

ii xfA

)(lim

10

时，趋近于零

即小区间的最大长度当分割无限加细

)0(

},,max{

,

21

nxxx

曲边梯形面积为

设某物体作直线运动，已知速度 )(tvv 是时间间隔 ],[ 21 TT 上t的一个连续函数，且

0)( tv ，求物体在这段时间内所经过的路程.

• 实例二、求变速直线运动的路程

• 思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。

（ 1 ）分割

212101 TtttttT nn

1 iii ttt iii tvs )(

部分路程值 某时刻的速度

（ 2 ）求和

ii

n

i

tvs

)(1

（ 3 ）取极限 },,,max{ 21 nttt

i

n

ii tvs

)(lim

10

路程的精确值

设函数)(xf在],[ba上有界，

记 },,,max{ 21 nxxx ，如果不论对],[ba

在],[ba中任意插入

若干个分点 bxxxxxann

1210

把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为

1 iii xxx ， ),2,1( i ，在各小区间上任取

一点i（ ii x ），作乘积 ii xf )( ),2,1( i

并作和 ii

n

i

xfS

)(1

，

二、定积分的定义定义

怎样的分法，

b

aIdxxf )( ii

n

i

xf

)(lim10

被积函数

被积表达式

积分变量

积分区间],[ ba

也不论在小区间 ],[ 1 ii xx 上

点i怎样的取法，只要当 0 时，和S总趋于确定的极限I，在区间],[ba上的定积分，记为

积分上限

积分下限

积分和

注意：

（1） 定积分值仅与被积函数及积分区间有关，

b

adxxf )(

b

adttf )(

b

aduuf )(

（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.

（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，

而与积分变量的字母无关.

称)(xf在区间],[ba上可积.

当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理 1

定理 2 设函数)(xf在区间],[ba上有界，

称)(xf在区间],[ba上可积.

且最多只有有限个间段点，

则 )(xf 在

三、存在定理

区间],[ba上可积.

, ( ) 0,a b f x b

aAdxxf )(

, ( ) 0,a b f x b

aAdxxf )(

1A2A

3A

4A

4321)( AAAAdxxfb

a

四、定积分的几何意义

1

23

40

几何意义：

积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在

数和．所围的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是由

xx

bxax

xfx

,

)(

a b

例 1 、用定积分表示下列图中阴影部分的面积

解：根据定积分的几何意义得

（ａ） b

aabccdx （ｂ）

dxe x1

1

（ｃ） 2

11

0 dxx

（ｄ） dxxdxx

2

0sinsin

例２ 画出下列定积分所表示的几何意义，并利用几何意义计算其值.

（１）dxx

1

1 ； （２） dxx1

1 ；

（３） dxx 1

2

1 12 ； （４）dxx

1

1 .

解：根据定积分的几何意义，解题如下：

（1） 021

1

1 AAdxx ，

（2） 12

1

2

121

1

1 AAdxx

（3） 4

9

2

13

2

312

1

2

1 dxx ，

（4） 2

111

2

11

1 dxx

思考 ：当被积函 数是奇 函数或偶函 数时， 积分

( 0)a

af x dx a

有什么规律？

对定积分的补充规定 :

（1）当 ba时， 0)( b

adxxf ；

（2）当 ba 时， a

b

b

adxxfdxxf )()( .

说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．

五 定积分的性质

证 b

adxxgxf )]()([

iii

n

i

xgf

)]()([lim10

ii

n

i

xf

)(lim10

ii

n

i

xg

)(lim10

b

adxxf )( .)(

b

adxxg

b

adxxgxf )]()([

b

adxxf )(

b

adxxg)( .性质 1

b

a

b

adxxfkdxxkf)()( (k为常数).

证 b

adxxkf )( ii

n

i

xkf

)(lim10

ii

n

i

xfk

)(lim10

ii

n

i

xfk

)(lim10

.)(b

adxxfk

性质 2

b

adxxf )(

b

c

c

adxxfdxxf )()( .

例 若 ,cba

c

adxxf )(

c

b

b

adxxfdxxf )()(

b

adxxf )(

c

b

c

adxxfdxxf )()(

.)()( b

c

c

adxxfdxxf

（定积分对于积分区间具有可加性）

则

假设 bca 性质 3

则 0)( dxxfb

a. )( ba

证 ,0)( xf ,0)( if ),,2,1( ni

,0 ix ,0)(1

ii

n

i

xf

},,,max{ 21 nxxx

ii

n

i

xf

)(lim10

.0)( b

adxxf

性质 4如果在区间],[ba上 0)( xf ，

如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，

证

Mdxxfab

mb

a

)(

1

)()()( abMdxxfabmb

a

由闭区间上连续函数的介值定理知

则在积分区间],[ba上至少存在一个点 ，使 dxxfb

a )( ))(( abf . )( ba

性质 5 （定积分中值定理）

积分中值公式

在区间],[ba上至少存在一个点，使 ,)(

1)(

b

adxxf

abf

dxxfb

a )( ))(( abf . )( ba

在区间],[ba上至少存在一个点，

即积分中值公式的几何解释：

x

y

o a b

)(f使得以区间],[ba为以曲线 )(xfy底边，

为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。

第二节 微积分基本公式

• 重点：牛顿—莱布尼兹公式• 难点： 积分上限的函数

变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

变速直线运动中路程为 2

1

)(T

Tdttv

设某物体作直线运动，已知速度 )(tvv 是时间间隔 ],[ 21TT 上t的一个连续函数，且 0)( tv ，求物体在这段时间内所经过的路程.

另一方面这段路程可表示为 )()( 12 TsTs

).()()( 12

2

1

TsTsdttvT

T ).()( tvts 其中

一、问题的提出

设函数)(xf 在区间],[ba上连续，并且设x

为],[ba上的一点，

x

adxxf )(

考察定积分

x

adttf )(

记 .)()( x

adttfx 积分上限函数

如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，

二、积分上限函数及其导数

a b x

y

o

定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的 函

数 dttfxx

a )()( 在 ],[ ba 上 具 有 导 数 ， 且 它 的 导

数是 )()()( xfdttfdxd

xx

a )( bxa

积分上限函数的性质

xx

证 dttfxxxx

a

)()(

)()( xxx

dttfdttfx

a

xx

a

)()(

)(x

x

dttfdttfdttfx

a

xx

x

x

a

)()()(

,)(

xx

xdttf

由积分中值定理得

xf )( ],,[ xxx

xx ,0

),(fx

)(limlim00

fx xx

).()( xfx

a b x

y

o xx

)(x

x

它说明， x 是 xf 的一个原函数，从而有

如下的另一个重要定理：

定理２ 如果 xf 在区间 ba, 上连续，则

xf 的原函数一定存在， dttfxx

a 就是 xf

在 ba, 上的一个原函数.

这个定理说明连续函数的原函数一定存在.

下面看几个例题：

例１ 计算 dttxx

0

2sin 在 0x 及 2

x 处

的导数.

解；因为 2

0

2 sinsin xdttdx

dx

x ，

所以 00sin0 2

2

2sin sin

2 2 4 2

例２ 求下列函数的导数

（１） 0ln

adtt

tx

xe

a ；

（２）

dx

x1

2

sin.

解 这里 x 是 x的复合函数，所以应按复合函数的求导思路来解决.

（１） xu

aeu

dx

dudt

t

t

du

d

dx

xd

ln

xe

e

ee

u

u xx

xx

lnln

2

1

sinxd

du

d

dx

xd

2

1

sinxu

dx

dud

du

d u

x

xx

x

xx

u

u sin22

sin2

sin2

2

　　　　　　

（ 2 ）

例３ 求极限 2

1

cos

0

2

limx

dtex

t

x

解 “这是一个 0

0” 型的极限，从而应该用罗比达

法则来计算，分子的导数为

2 21 cos

cos 1

xt t

x

d de dt e dt

dx dx

xudx

dudte

du

d u t cos1

2

xe u sin2

xe x sin2cos

ex

xe

x

dte x

x

x

t

x 2

1

2

sinlimlim

22

cos

02

1

cos

0

x2　分母的导数为

所以有

定理 3 （微积分基本公式）

如 果 )( xF 是 连 续 函 数 )( xf 在 区 间 ],[ ba 上

的 一 个 原 函 数 ， 则 )()()( aFbFdxxfb

a .

又 dttfxx

a )()( 也是)(xf的一个原函数,

已知)(xF是)(xf的一个原函数，

CxxF )()( ],[ bax

证

三、牛顿—莱布尼茨公式

令 ax ,)()( CaaF

0)()( dttfaa

a ,)( CaF

),()()( aFxFdttfx

a

,)()( CdttfxFx

a

令 bx ).()()( aFbFdxxfb

a

牛顿—莱布尼茨公式

)()()( aFbFdxxfb

a

微积分基本公式表明：

baxF )(

一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.

注意 当 ba 时， )()()( aFbFdxxfb

a 仍成立.

求定积分问题转化为求原函数的问题 .

dxx1

0dxx

3

12

dxx

3

1 21

1 dxx

sin

dxxx 19

4

例４　计算下列定积分

（ 1 ） (2)

(3) (4)

(5)

解 （１） 2

10

2

11

2

1

0

1

2

1 2221

0 xdxx

（２） 2ln

6

2ln

2

2ln

2

1

3

2ln

22

33

1

xxdx

（３）3

21

1 3arctan arctan 3 arctan1

1 121dx x

x

（４）

0

0sinsinsin

xdxxdxdxx

0cos

0cos

xx

0coscoscos0cos

41111

（５） 9

4

9

41 dxxxdxxx

9

4

9

4xdxdxx

4

9

2

1

4

9

3

2 22

3

xx

3 3

2 22 22 1 1

9 4 9 4 453 2 6

注意：在应用牛顿－莱布尼茨公式计算

定积分时，一定要注意条件，例如：

2ln1ln2ln1

2ln

12

1

xdx

x

这个结果是错误的，原因是被积函数 x1在

积分区间 2,1 上有无穷间断点.

第三节 积分的换元法 重点与难点：

掌握定积分的换元积分公式

牛顿－莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元法 .

例１ 求

4

1 1

1dxx

解法１ 先用不定积分求被积函数 x1

1的原函数.

dtt

tdtt

ttx

x 1

112

1

2

1

1 令

Cttdt

t

1ln2

1

112

Cxx 1ln2

再利用已经求出的原函数计算定积分：

1

41ln2

1

14

1xxdx

x

2

3ln12

在定积分的计算中，有没有一种方法，可以避免变量的回代呢？

我们下面来尝试将原来变量 x的上、下限按照变量代换 tx ，

换成新变量 t的相应上、下限.

解法２ 令 tx ，则 02 ttx ， tdtdx 2

当 1x 时 1t ；当 4x 时 2t .

代入原式得：

dtt

dtt

tdxx

2

1

2

1

4

1 1

112

1

2

1

1

1

21ln2 tt

2

3ln12

定理 设函数 xf 在区间 ba, 上连续，令 tx ，且 t 满足

（１） ba ,

（２） t 在 , 上具有连续导数，且当 ,t （或 ,t ）

时， bat , .

则有 dtttfdxxfb

a

解法 2 要比解法 1 简便些，因为它省去了变量回代这一步。 一般的，定积分的换元法可表述为：

ttf

定积分的换元法有两个特点：

t t换成新变量 时，积分限也要换成相应于新变量

的积分限 . 即所谓的“换元必换限 .”（２）求出

的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量

t回代，而直接代入新变量 的上下限，然后相减就

tx x把原变量（ 1 ）用

可以了。

例２ 求 dxx

x

3

0 1

解 令 ,1 tx 则 tdtdxtx 2,12 ，且当 0x 时 1t ；

3x 时 2t .把它们都代入原式得：

2

1

23

02

1

1tdt

t

tdxx

x

3

8

1

2

3

1212

2

1

32

ttdtt

例３ 求 dxx

x

2

1

0 2

2

1

解： 设 tx sin ，则 tdtdx cos ，当 0x 时 0t ；

2

1x 时 6

t .

代入原式得：

6

0

26

0

22

1

0 2

2

sincoscos

sin

1

tdttdtt

tdx

x

x

8

3

1202sin

2

1

2

1

2

2cos1 66

0

ttdtt

例４ 求 dxxex

1

0

2

2

解 因为

2

21

0

21

0

2

22

xdedxxe

xx

所以，令 ,2

2

ux

则当 0x 时 0u ； 1x 时 2

1u .

于是 due

xdedxxe u

xx

2

1

0

21

0

21

0

2

2

22

2

121

10

eeu

此例中，我们也可以不写出新变量u，而直接计算：

由以上几个例子看出，当我们在定积分计算过程中引进新变量时，就必须把积分上下限相应地更换；如果没有引进新变量，则不要更换积分限.

例５ 求2

0

4 cossin

xdxx

解 5

1

0sin

5

1sinsincossin 252

0

42

0

4

xxxdxdxx .

例６ 设 xf 在 aa, 上连续，试证明

为奇函数时当为偶函数时当x

xdxxfdxxfa

a

a 0

20

证： 因为 dxxfdxxfdxxfa

aa

a

0

0 （１）

对积分 0

adxxf 做变量代换 tx 得

aa

aadxxfdttfdttfdxxf

00

00

当 x为偶函数时， f x f x

所以 dxxfdxxfa

a 0

0

（2）

当 x为奇函数时， xfxf

所以 dxxfdxxfa

a 0

0

（３）

把（２）和（３）分别代入（１）即得结论.

例６的几何意义是很明显的，由定积分的几何意义及下图，即可说明.

例７ 计算下列定积分

（１）

4

4 2 12

2cosdx

x

xx；( 2 )

1

1dxe x

解 （１）被积函数 12

2cos2 x

xx为奇函数，且积分区间 4,4 关

于原点对称，所以

012

2cos4

4 2

dxx

xx

（２）被积函数 xe 为偶函数，且积分区间 1,1 关于原点对称，所以

120

122

1

0

1

1 eedxedxe xxx

第四节 定积分的分部积分法

重点与难点：

熟练掌握定积分的分部积分公式

vduuvudv

b

a

b

avdu

a

buvdvu

把不定积分的分部积分公式

添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：　

例１ 计算 dxxxe

12 ln

解： ee xxddxxx

1

3

1

2

3lnln

e

dxx

xexx

1

33 1

313ln

19333

33

1

23 exedx

xe e

9

12

9

1

93

333 eee

例２ 计算 dxxe x2

0sin

解： 2

0

22

0

2

0cos

0sinsinsin

xdxexexdedxxe xxxx

2

0

222

0

2 cos0

coscos

xdexeexdee xxx

2

0

2 sin1

xdxee x

所以

1

2

1sin 22

0

edxxe x

对于某些积分而言，有时需要同时使用换元积分法与分部积分法.

例３ 计算 dxe x9

0

解： 令 ,tx 则 ,2,2 tdtdxtx 且当

0x 时 0t ；当 9x 时 3t .于是得：

3 3 3

0

3 32 2 6 2 4 2

0 0t t tte e dt e e e

例４ 证明 2

0

2

0cossin

dxxfdxxf

证： 令 tx 2

，则当 0x 时 2

t ；

当 2

x 时 0t . dtdx

代入左边得：

左边＝

2

0

0

2

2

0cos

2sinsin

dttfdttfdxxf 右边.

2

0

2

0cossin

xdxdxx nn

22

00

dxI

10

cossin 22

01

xxdx

2 2

0 0sin cosn n

n xdx xdx n N

　 例５ 求

解：由例 4 的结果知　　　　

0n当 时，

1n当 时，

当 2n 时，用分部积分法得：

12 2

0 0sin sin cosn n

n xdx xd x

2

0

121 sincos0

cossin

xxdxx nn

dxxxn n 2

0

22 cossin1

dxxxn n 2

0

22 sin1sin1

2

0

2

0

2 sin1sin1

xdxxndxxn nn

这个公式叫做 n 的递推公式. 反复使用即递推到 0 或 1

（１） 当 n 为偶数时，

0

1 3 3 1

2 4 2n

n n

n n

（２） 当 n为奇数时

1

1 3 4 2

2 5 3n

n n

n n

即

21 1n n nn n

解出 n 得：

2

1n n

nI

n

例６ 求2

0

5sin

xdx和2

0

6cos

xdx

解： 15

81

15

8

3

2

5

4sin 1

2

0

55 Ixdx

32

5

16

5

2

1

4

3

6

5cos 00

2

0

66 IIxdx

例７ 计算 2 32

22 4x x dx

解: 2 32

22 4x x dx

2 23 32 2

2 24 2 4x x dx x dx

dxx

2

0

3440

2

0

3 cos2cos24

tdtt

122

1

4

364cos64 0

2

0

4 tdt

,sin2 tx tdtdx cos2令 则

0x ；0t当 时， 2x2

t当 时

代入到 中得：

　　

　

第五节 无穷区间上的广义积分

重点与难点：

广义积分的概念与计算

一、 引例

求由曲线 2

1

xy ， x 轴及直线 1x 的右边所围成的

“ ”开口曲边梯形 的面积 。 如图所示：

由于这个图形不是封闭的曲边梯形，而在 x轴正向是开口的，所以不能直接用定积分来计算它的面积.

若取实数 1b ，那么以 b,1 为底，以 2

1

xy

为曲边的曲边梯形梯形面积是

b

b

xdx

x

b 11

1

111 2

11

1lim1

1lim

1lim

1 2

b

b

xdx

x bb

b

b

b ,1显然，当 在 内变化时，曲边体形的面积

也随着 b 的变化而变化

b 时，这个曲边梯形面积的极限就应该是

“开口曲边梯形” 的面积，即　　　

当

这个极限称为函数 2

1

xy 在无穷区间 ,1 上的积分，记

为

1 2

1dx

x .由于它已不是普通意义上的定积分，因此我们把它

称为广义积分.也就是说函数在 2

1

xy 无穷区间 ,1 上的广

义积分，就是函数 2

1

xy 在区间 b,1 上的定积分当

b 时的极限.

一般地，我们给出下面广义积分的定义.

定义 1 设函数 )(xf 在区间 ),[ a 上连续，

取 ab ，如果极限

b

abdxxf )(lim 存在，则称此

极限为函数 )(xf 在无穷区间 ),[ a 上的广义积

分，记作

adxxf )( .

adxxf )(

b

abdxxf )(lim

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.

二、 广义积分的定义

类似地，设函数 )(xf 在区间 ],( b 上连续，取

ba ，如果极限

b

aadxxf )(lim 存在，则称此极

限为函数 )(xf 在无穷区间 ],( b 上的广义积

分，记作

bdxxf )( .

bdxxf )(

b

aadxxf )(lim

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.

设函数 )( xf 在区间 ),( 上连续 , 如果

广义积分

0)( dxxf 和

0)( dxxf 都收敛，则

称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间

),( 上的广义积分，记作

dxxf )( .

dxxf )(

0

)( dxxf

0

)( dxxf

0)(lim

aadxxf

b

bdxxf

0)(lim

极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.

例１ 求

0dxe x

解： 11lim0

limlim00

a

a

x

aa

x

a

x ea

edxedxe

例２ 求

2 ln

1dxxx

解： 2

lnlnlimlnln

1lim

ln

122

bxxd

xdxxx b

b

b

2lnlnlnlnlim b

b

所以广义积分

2 ln

1dxxx 发散.

例３ 求

dx

x 21

1

解： dxx

dxx

dxx

0 2

0

22 1

1

1

1

1

1

dxx

dxx

b

baa

0 2

0

2 1

1lim

1

1lim

0

arctanlim0

arctanlimb

xa

xba

baba

arctanlim)arctan(lim

22

a

bxF

a lim

b

xF

a

bxF

b lim

axF

为了书写方便起见，我们规定：

记为

写为

例４ 讨论广义积分 dxx p

1

1的敛散性

解： 当 1p 时，

1ln

11

xdxx p

当 1p 时，

1

11

1

11

1 1

1p

pp

p

xdx

x

p

p

综上可知，广义积分 1p 时收敛，其值为 1

1

p ；当

1p 时发散.

第六节 定积分应用举例重点与难点：

正确理解定积分的元素法；

熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋

转体的体积；

会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的

平均值。

回顾 曲边梯形求面积的问题

b

adxxfA )(

一、问题的提出

曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线

)( xfy )0)(( xf 、

x 轴 与 两 条 直 线 ax 、

bx 所 围 成 。a b x

y

o

)(xfy

（ 1 ） 分 割 把 区 间 ],[ ba 分 成 n 个 长 度 为 ix

的 小 区 间 ， 相 应 的 曲 边 梯 形 被 分 为 n 个 窄

曲 边 梯 形 ， 第 i 个 窄 曲 边 梯 形 的 面 积 为

iA ， 则

n

iiAA

1

.

（2）近似代替 计算iA的近似值

iii xfA )( iii xx ,1

（ 3 ）求和 得 A 的近似值 .)(1

ii

n

i

xfA

面积表示为定积分的步骤是：

a b x

y

o

)(xfy

（ 4 ） 求极限 得 A 的精确值

ii

n

i

xfA

)(lim

10

b

adxxf )(

提示 若 用 A 表 示 任 一 小 区 间

],[ xxx 上 的 窄 曲 边 梯 形 的 面 积 ，

则 AA ， 并 取 dxxfA )( ，

于 是 dxxfA )(

dxxfA )(lim .)(b

adxxf

x dxx

dA

面积元素

所求量U符合下列条件时能用定积分 表达：

（1）U是与一个变量x的变化区间 ba, 有关的量；

（2）U对于区间 ba, 具有可加性，就是说，如果把区间 ba, 分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量iU的近似值可表示为 iixf)( .

微元法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；

2 ） 设 想 把 区 间 ],[ ba 分 成 n 个 小 区 间 ， 取 其 中 任一 小 区 间 并 记 为 ],[ dxxx ， 求 出 相 应 于 这 小 区间 的 部 分 量 U 的 近 似 值 .如 果 U 能 近 似 地 表 示为 ],[ ba 上 的 一 个 连 续 函 数 在 x 处 的 值 )( xf 与 dx的 乘 积 ， 就 把 dxxf )( 称 为 量 U 的 元 素 ( 微 元 ) 且记 作 dU ， 即 dxxfdU )( ；

3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在

区间],[ba上作定积分，得b

adxxfU )(，

即为所求量U的积分表达式.

这个方法通常叫做微元法．

应用方向：　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．

x

y

o

)(xfy

a b x

y

o

)(1 xfy

)(2 xfy

a b

曲边梯形的面积

b

adxxfA )(

平面图形的面积

b

adxxfxfA )]()([ 12

x xxx x

二、平面图形的面积

例1 计算由两条抛物线xy2 和 2xy所围成的图形的面积.

解 两曲线的交点为)1,1()0,0(

面积元素 dxxxdA )( 2

选 为积分变量x ]1,0[x

dxxxA )( 210

1

0

3

332

23

x

x .31

2xy

2yx

例２ 求由抛物线 xy 22 与直线 4 yx 所围成图

形的面积. 解 如图５－1８所示，解方程组

4

22

yx

xy

两条曲线的交点为 2,2 和 4,8 ，选取 y为积分变量，

4,2y 。 在 4,2 上任取一小区间 dyy, ，

相应于此小区间的窄条面积可用宽为 dy，长为 24

2yy 的

小矩形面积近似代替，从而得面积微元

dyy

ydy

24

2

根据微元法得：

182

4

6

14

224 3

24

2

2

yy

ydy

yyA

学完例１与例２之后，建议大家把例１选 y为积分变量、例２选 x为积分变量再做一次，比较哪一种方法更简便，从而更好地掌握、选择积分变量的技巧，提高熟练程度.

例３ 求由 2,1

, xx

yxy 围成图形的面积.

解： 如图所示，所求面积位于 1,2 之间，选取 x为

积分变量，在 1,2 上任取一个小区间 dxxx , ， 则相应

于此小区间的窄条面积可用高为1 1

x xx x

，宽为 dx的小矩

形面积近似代替，从而得面积微元

dxx

xdA

1

根据微元法得

dxx

xA

1

2

1

2ln2

3

2

1

2

1ln 2

xx

需要指出，如果仅仅为了求面积，根据定积分得几何意义就足够了，不需要用微元法。这里之所以使用微元法，目的是为了熟悉它，以便以后应用.

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．

圆柱 圆锥 圆台

三、旋转体的体积

一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？

取积分变量为x，],[ bax

在 ],[ ba 上任取一小区间 ],[ dxxx ，

取以dx为高，f(x)为半径的扁圆柱体的体积为体积元素， dxxfdV 2)]([

x dxx x

y

o

旋转体的体积为 dxxfVb

a

2)]([

)(xfy

y

例1 连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线

hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋

转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算

圆锥体的体积．

r解h

P

xhr

y

取积分变量为x， ],0[ hx

在 ],0[h上任取小区间 ],[ dxxx，

xo

直线 方程为OP

以dx为底的窄曲边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积近似于底半径为 rx/h高为 dx的扁圆柱体的体积，即体积元素

dxxhr

dV2

圆锥体的体积

dxxhr

Vh

2

0

hx

h

r

0

3

2

2

3

.3

2hr

y

r

h

P

xo

类似地，如果旋转体是由连续曲线

)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，

体积为

x

y

o

c

d

dyy 2)]([d

cV

)( yx

例４ 求椭圆 12

2

2

2

b

y

a

x分别绕 x轴和 y轴旋转一周所形成

的立体的体积.

解：如图，椭圆绕 x轴旋转时，积分区间为 aa, ，曲边梯

形的曲边是上半个（或下半个）椭圆22 xa

b

ay ，

代入体积公式得：

2 2a

a

bV a x dx

a

adxxa

a

b0

22

2

22

ba

axxa

a

b 232

2

2

3

4

03

12

类似地，绕 y轴旋转时，所形成的旋转体的体积为

2 2 24

3

b

b

aV b y dy a b

b

特别地，当 a b 时，旋转体就成为以 a为半径的球体，由上面

的两个结果得球体体积公式为：3

3

4aV

设曲线弧为 )(xfy)( bxa ，其中 )(xf

在 ],[ ba 上有一阶连续导数

xo

y

a bx dxx

取积分变量为x，在 ],[ ba上任取小区间 ],[ dxxx ，

以对应小切线段的长代替小弧段的长

dy

小切线段的长 22 )()( dydx dxy 21

弧长元素 dxyds 21 弧长 .1 2dxysb

a

四、平面曲线的弧长

例 1 计算曲线 23

32xy 上相应于 x从 a到 b的

一段弧的长度.

解 ,21

xy

dxxds 2)(1 21

,1 dxx

所求弧长为

dxxsb

a 1 ].)1()1[(32

23

23

ab

a b

五、变力沿直线所作的功

在物理学中我们知道，一个不变的力 F作用在一个做直线运

动的物体上，力 F 的方向于物体的运动方向一致，当物体移动距

离 S时，力 F 对物体所作的功为

SFW

如果物体在运动过程中所受的力大小时变化的，就不能用上述公式计算功，就是所谓的变力作功问题. 下面用微元法来讨论变力作功的计算问题.

设物体在连续力 xfF 的作用下做直线运动，力 F 的方向

于物体运动的方向一致，要计算力 F 将物体从 a 点移动到b点所作的功，

当物体从 x移动到 dxx 时，由于力 xfF 是连续的，

所以在 dxxx , 这一小段位置上可以认为力 xfF 是不变的，

则力 F 在 dxxx , 上作功的近似值为

dW f x dx

根据微元法得所求的功为

b

aW f x dx

如图所示

例６ 弹簧受压时，长度的改变与所受的外力成正比.已知弹

簧被压缩 cm2 时，需 N6 的力，求弹簧从平衡位置压缩 cm12时，外力所作的功.

解：设弹簧压缩 xcm时，外力为 Nxf ，则 ,kxxf k(

为常数），由题意知，当 02.0x 时， 6xf 于是

k02.06

解得 300k ，所以 xxf 300 ，功微元为

300dW xdx

所以外力作功为

0.12

0300 2.16W xdx J

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例 2 一圆柱形蓄水池高为 5米，底半径为3米，池内盛满了水.

问要把池内的水全部吸出，需作多少功？

解 建立坐标系如图

x

ox

dxx 取x为积分变量， ]5,0[x

5取任一小区间 ],[ dxxx ,

x

ox

dxx

5

这一薄层水的重力为

dx238.9

功元素为 ,2.88 dxxdw

dxxw 2.885

0

5

0

2

22.88

x 3462 (千焦 ) ．

六、函数的平均值

在实际问题中，经常需要计算一组数据 .,, 21 nxxx 的平均

值，其计算方法为：

1 2

1

1 1 n

n ii

x x x xn n

然而在某些问题中，还需要计算一个连续函数 xfy 在某

个区间 ba, 上的平均值.例如某地在一昼夜的平均气温；某变速直

线运动在某段时间上的平均速度等.下面就来讨论如何计算一个连

续函数 xfy 在区间 ba, 上的平均值 y .

bxxxxa n 1321

n

abxi

ii fy ),2,1,( 1 nixx iii

n 等份，每个小区间的长度为

xfy n由于 连续，所以当 足够大时，我们可把

xf 1, ii xx在区间 上看作常数

ba,先把区间 用分点

于是函数 xfy 在区间 ba, 上的平均值近似于

1 1

1 1n n

i ii i

y y fn n

区间分得越细，即 ix 越小（ n越大）时，上式的值就越接近于

xfy 在 ba, 上的平均值.当 0x 时，得：

0 1

1limx

n

in

i

y yn

这就是我们所需得要平均值.根据定积分的定义得：

0 01 1

1 1lim limx x

n n

i in ni i

b ay y y

n b a n

0 01 1

1 1lim limx x

n n

i i in ni i

b ay f x

b a n b a

b

adxxf

ab

1

即 1 b

ay f x dx

b a

这就是连续函数 xfy 在区间上 ba, 的平均值的计算公式，

等于 xf 在区间 ba, 上的定积分除以区间长度.根据定积分的几

何意义可知平均值的几何意义是：以区间 ba, 为底边，

以曲线 xfy 为曲边的曲边梯形面积，

等于同一底边且高为 y的矩形面积，如下图

例８ 计算从时刻0到T 秒时间段内自由落体运动的平均速度.

解：自由落体运动的速度为 gtv ，根据定积分的

物理意义及平均值公式得：

2

0

1 1 1

02 2

T Tgv gtdt t gT

T T

例９ 计算纯电阻电路中正弦交流电 sinmi t在一个周期上的平均功率.

解： 设电阻为 R，则这个电路的电压为

sinmU iR R t

功率为 2 2sinmP U i R t

因此，功率在长度为一个周期的区间2

0,

上的平均值为

22 2

0

1sin

20

mP R tdt

222

0sin

2m R

tdt

2

2 2m m m

m m

R UU R

这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平

均功率等于电流电压峰值乘积的一半 .

通常交流电器上注明的功率就是平均功率