第 1 章矩阵及其应用

第第 11 章矩阵及其应用章矩阵及其应用

10-1 矩阵的概念

10-2 矩阵的运算

10-3 矩阵行列式

10-4 矩阵的初等行变换与矩阵的秩

10-5 逆矩阵

10-6 线性方程组

第第 1010 章矩阵及其应用章矩阵及其应用

例１某文具车间有三个班

组，每天生产铅笔、钢笔的数量

（单位：支）如下表：

一、矩阵的概念

产品数量班组

铅笔钢笔

一班二班三班

300025002000

100011001000 如果把表中的数据取出且

不改变数据的相关位置，那么就得到一个简明的 3 行 4 列矩形阵表，

10002000

11002500

10003000


例 2在物资调运中，经常需要确定各产地的产

品如何供应销地使调运物资的总运费最节省，某调

运方案如下表：


其中每一行表示产地调往四个销地的调运量，

每一列表示三个产地调到该销地的调运量．

如果我们用一个三行四列的数表表示该调运方案，可以简记作


2314

0132

4521

例 3 含有n个未知量m个方程的线性方程组

.

,

,

,

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa


如果把它的系数 ija njmi ,,2,1;,,2,1

和常数项 ib mi ,,2,1 按原来顺序写出，就得到一个m行 1n 列的矩形阵表

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

，

这个矩形阵表可以清晰地表达这一线性方程组．


一般地，对于不同的问题可以用不同的矩形阵

表来表示，数学上把这种具有一定排列规则的矩形

阵表称为矩阵．


定义 10.1有 m×n 个数 aij(i=1,2, …,m;j=1,2, … ,n) 排列成一个 m 行 n 列的数表

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

11

22221

11211

称为 m行 n 列矩阵 , 简称 m×n 矩阵 . 矩阵通常用大写出字母 A,B,C, 表示 , 如上述矩阵可以记作 A或 Am×n , 或记作 A=(aij)m×n ,aij 称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素 .


当m=1 时，矩阵只有一行，即 ,,,, 21 naaaA

,2

1

na

a

a

B

称之为行矩阵 . 当 n=1时 , 矩阵只有一列 ,即

称为列矩阵 .

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

行数与列数都等于 n 的矩阵 ,称为 n 阶矩阵 ,或 n 阶方阵．


　　在　阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线．

n

　　所有元素全为零的　　　矩阵，称为零矩阵，记作　　　或　 . 例如

nmnm O O

00

0022O

0000

0000

0000

43O

分别为二阶零矩阵和　　零矩阵．43


　　在矩阵　　　　　中各个元素的前面都添加上负号 ( 即取相反数 ) 得到的矩阵，称为　的负矩阵，记作　　，即　　　　　　．

nmija )(

nmija )(

例如

A

A A－A－

2314

0132

4521

A

2314

0132

4521

A

那么　　是　的负矩阵．A－ A

此外，规定一阶方阵就是一个数，即 1111 )( aaA ．


二、几种特殊矩阵

　　 1 ．三角矩阵　　主对角线下（或上）方的元素全都是零的 n阶矩阵，称为 n 阶上（或下）三角矩阵．　　上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角形矩阵．例如


分别是一个三阶上三角矩阵和一个四阶下三角矩阵．值得注意的是，上（或下）三角矩阵的主对角线下（或上）方的元素一定是零而其他元素可以是零也可以不是零．　　 2 ．对角矩阵　　如果一个矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为 n 阶对角矩阵，亦即对角矩阵是非零元素只能在主对角线上出现的方阵．如

A


是一个三阶对角矩阵．　　显然，由主对角线的元素就可以确定对角矩阵了．因此，经常把对角矩阵记作

当然允许元素 a1 , a2 , …, an 中某些为零．

naaa ,,,diag 21 ．

600

030

001

A


3 数量矩阵

　　主对角线上元素都是非零常数 k ，其余元素全部是零的 n阶矩阵，称为 n 阶数量矩阵．

全相等

k

k

k

00

00

00


　　 4 ．单位矩阵　　主对角线上的元素是 1 ，其余元素全部是零的 n 阶矩阵，称为 n 阶单位矩阵，记作　或　．　　当 n =2, 3 时，

EnE

10

012

100

010

001

3，E E

就是二阶、三阶单位矩阵．


　由上述讨论可知 , 单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是三角矩阵，它们既是上三角矩阵，又是下三角矩阵．换句话说 , 如果一个矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵 , 则一定是对角矩阵，当然也可能是数量矩阵或单位矩阵，因为单位矩阵、数量矩阵是对角矩阵的特殊情况．

A

A


对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，他们在什么条件下可以进行运算，这些运算具有什么性质等问题，这就是本节要讨论的主要内容．


．BA

　　定义 10.2 如果两个矩阵　　，　　　的行数和列数分别相同，而且各对应元素相等，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作

ija ijbBA

即如果　　　　　和　　　　，且　　　　　　　　　　，那么　　　．

nmija

nmijb

A BBA ),,2,1;,,2,1( njmi

ijij ba

一、矩阵相等


　　例 1 　设矩阵

且　　　，求　，　，　，　．BA a b c d

785

40

31

b

a

78

410

12

d

c

BA ，，

78

410

12

785

40

31

d

c

b

a

，

得　　　，　　，　　，　　　．2a 1b 3c 5d

　　解　根据定义 10.2, 由　　　，即BA


　　定义 10.3 设　　　　，　　　是两个矩阵，规定：

][ ija ][ ijb nmA B

称矩阵　　　为 A 与 B 的和 .BA

， ijij baBA nm

　　由定义 10.3 可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能做加法运算．

二、矩阵的加法


如果　　　　　，　　　，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们可以定义矩阵的减法：

nmija

nmijb

A B

nmijnmij ba

）（ BABA

nmijij ba

称矩阵　　　为　与　的差 .A BBA


022

031，

130

432

152

403BA 　　解

　　例 3 　设矩阵　　　　　　　

求，．

152

403

130

432，，

BA BA

A B


．

2 8 2

8 3 5

11 )3(5 02

44 30 )2(3

130

432

152

403BA


1 ．加法交换律　　　　　　；ABBA

2 ．加法结合律　　　　　　　　　　　　；)()( CBACBA

3 ．零矩阵满足　　　　　；AOA

4 ．存在矩阵　　，满足　　　　　　　　　．A OAAAA )(

　　设　，，，都是　　矩阵，根据定义6.3 和负矩阵的概念，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则：

nmA B C O


　　定义 10.4 设　是任意一个实数，　　　　是一个　　　矩阵，规定：

k )( ijanm

A

nmijkak

，A

称其为数　与矩阵　的数量乘积，或称之为矩阵的数乘 .

k A

　　由定义 10.4 可知，数 k 乘一个矩阵 A ，需要用数 k 去乘矩阵 A 的每一个元素．

三、矩阵的数乘


例 3 设矩阵

1230

1321A ，

1035

1234B ，

求 BA 23 ．

解 BA 23

1230

13213

1035

12342

3690

3963

20610

2468

161510

55011．


　根据定义 10.4 容易验证，数　，和矩阵　　　　，　　　　满足以下运算规则：

k l

nmija

nmijb

A B

1 ．数对矩阵的分配律　　　　　　　　；)( BA k kA kB

2 ．矩阵对数的分配律　　　　　　　　；lklk )( A A A

3 ．数与矩阵的结合律　　　　　　　　　；)()()( kllkkl A A A

4 ．数１与矩阵满足　　　．1A A


　　定义 10.5 设　是一个　　矩阵，是一个　矩阵，则称矩阵为矩阵 A 与B 的乘积，其中

smns

A Bnm

nmijcC

s

kkjiksjisjijiij babababac

12211

),,2,1;,,2,1( njmi ．记作　　　　 .ABC

　　由定义 10.5 可知：

四、矩阵的乘法


　　 (2) 两个矩阵的乘积　　　亦是矩阵，它的行数等于左矩阵　的行数，它的列数等于右矩阵　的列数；

A

ABC

B

　　 (3) 乘积矩阵　　　　中的第　行第　列的元素等于　的第　行元素与　的第　列对应元素的乘积之和，故简称行乘列法则．

ABC i j

A i B j

　　 (1) 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，　，　才能作乘法运算　　　　；ABC

A B

A B


例 4

213

312

134

A ,

10

31

22

B ,求 BAAB, ．

解

213

312

134

AB

10

31

22

123123021123

133122031122

113324011324

117

105

1811．

　　说明：由于矩阵　有 2 列，矩阵　有 3行，　即的列数　　的行数，所以　　无意义．

B A

B BAA


例 5 设矩阵

21

42A ，

63

42B ，

85

02C ，求 BAACAB ,, ．

解

21

42AB

63

42=

168

3216，

21

42AC

85

02=

168

3216，

63

42BA

21

42=

00

00．


由上述例子可以看出：

1．矩阵的乘法不满足交换律，即一般来说，

BAAB ；如果 BAAB 成立，则称 A与B是可交

换的．

2．矩阵的乘法不满足消去律，一般情况下，

两个非零矩阵的乘积矩阵可能是零矩阵，因此不

能由 OAB 推出 OA 或 OB ．此外，即使

OA ，也不能由 ACAB 推出 CB ．


1 ．乘法结合律　　　　　　　；)()( BCACAB

2 ．左乘分配律　　　　　　　　　；ACABCBA )(

右乘分配律　　　　　　　　　；CABAACB )(

　　 3. 数乘结合律　　　　　　　　　　　，其中　是一个常数．

)()()( kkk

k

AB A B A B

可以证明，矩阵的乘法满足以下运算规律：


m

m

个

A AA A

称　为矩阵　的　次幂，其中　是正整数．m m mA A

　　对　个矩阵的乘法运算可作类似讨论．由于矩阵乘法满足结合律，故当　是　阶方阵时，我们规定

m

A n


当　　　时，规定　　　．显然有0m 0A Elklk ， kllk )( ，A A A A A

其中　，　是任意正整数．由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地

k l

kkk )( ．AB A B

例如，

10

21A ，则

2A2

10

21

10

21

10

21

10

41．


T

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

TA

　　定义 10.6 将一个　　　矩阵的行和列按顺序互换得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作　，即

nmmn A

TA

A

mmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

．

五、矩阵的转置


由定义 10.6 可知，转置矩阵　　的第　行第　列的元素等于矩阵　的第　行第　列的元素，简记为

i

j j iA

TA

　　的　　元　　的　　元．),( ji ),( ijATA

例如，

10

31

22

A ，则

132

012TA ．


矩阵的转置满足下列运算规则：

1. 　　　　；TT)( A A

2. 　　　　　　　　；TTT)( BA A B

3 ．　　　　　（　为实数）；TT)( kk kA A

4 ．　　　　　　．TTT)( AB B A

其中规则 4 可以推广到有限多个矩阵相承

的情况，即 TTTk

Tk AAAAAA 1221 )( ．


例6设矩阵

54

32

01

A ，

34

12B ．求 TTT ABAB ,)( ．

解

54

32

01

AB

34

12

1928

1116

12

，

TT AB

31

42

530

421

9111

28162．．

9111

28162)( TAB


定义 10.7 如果矩阵 A满足 AAT ，则称 A是对称矩阵；如果矩阵 A满足 AAT 则称 A是反称矩阵．

231

320

101

A ，

023

201

310

B ，

01

10C ，

0321

3021

2201

1110

D，A , B为对称矩阵， DC , 为反称矩阵．


一、二阶行列式

(10.3.1)

2222112

1212111

bxaxabxaxa ，

，

对于二元线性方程组

如果令

2221

1211

aa

aaA

2

1

x

xX

2

1

b

bB

，

，

其中称为方程组（ 10.3.1 ）的系数矩阵．对于方程组（ 10.3.1 ）用加减消元法，得

A

如果　　　　　　　，那么 (10.3.1) 的解为021122211 aaaa

211112221122211

122221121122211

)(

)(

ababxaaxa

ababxaaaa ，．

则该方程组可表示为矩阵方程的形式BAX ，


21122211

2111122

21122211

1222211

aaaa

ababx

aaaa

ababx ，

．(10.3.2)

为了便于表示上述结果，我们引入记号

bcaddc

ba ，


bcadAA det或，即．Adet

　　这样，二元线性方程组（ 10.3.1 ）的系数矩

dc

baA阵的行列式为

211222112221

1211 aaaaaa

aaA ，

称为矩阵的行列式，也可记为，

dc

baA A


如果把（ 10.3.2 ）式中的分子分别记为

故当方程组（ 10.3.1 ）系数矩阵行列式时，它的解就可以简洁地表为

0A

122221222

1211 abab

ab

abB

121211221

1112 baba

ba

baB


A

Bx

A

Bx 2

21

1 ,

例 1解二元线性方程组.

,

253

132

21

21

xx

xx

解系数行列式 01335253

32A ，

且 1152

311

B ， 7

23

122

B ，

于是方程组的解为 7,11 22

11

A

Bx

A

Bx ．



　　定义 10.8 对 n 阶矩阵，当 n=1 时，它的行列式定义为：

ijaA

　　假设 n -1 阶矩阵的行列式已经定义，则 n阶矩阵的行列式定义为

1111 aaA

n

jjjnn AaAaAaAaA

1111112121111

二、阶矩阵行列式 n

其中 ),,2,1,()1(1 njiMA ijji

j 称为 A 的元素 ija 的

代数余子式， ijM 是由 A划去第 i行第 j列后，剩余

元素按原顺序构成的 1n 阶矩阵行列式，称为 ija 的

余子式．

例如，三阶行列式212

103

521

A 中，元素 12a 的

余子式和代数余子式分别为

822

1312

M ， 8

22

13)1( 21

12

A ．


例 2利用定义计算矩阵 A的行列式：

（1）

124

123

021

A ；（2）

7642

0174

0098

0001

A ．


解（1） 1211131211 2021 AAAAAA ，


012

12)1( 11

1111

MA

714

13)1( 12

2112

MA

所以 14720)1(2 1211 AAA ．

（2）由于矩阵行列式的第一行只有一个非零元

素，按第一行展开得764

017

009

)1()1( 11

A ，


再按第一行展开

76

01)1(9)1( 11

A 63719)1( ．

n阶下三角形矩阵的行列式就等于主对角线元

素的乘积．即

nn

nnnn

aaa

aaa

aa

a

2211

21

2221

11

0

00

．



三、行列式的性质

　　性质 1 设 A 为 n 阶矩阵，则 .AAT

例如，设　　　　　　，因为

dc

baA

bcaddb

caA T ， .

所以 .AAT

bcaddc

baA


性质 1 说明，矩阵行列式中行与列所处的地位是一样的，凡是对行成立的性质对列也成立．由于下三角形矩阵对应的行列式的值等于主对角线上元素之积，根据性质 1 进而可以推出上三角形矩阵对应的行列式的值也等于主对角线上元素之积．因此，三角形矩阵的行列式的值等于主对角线上元素之积．三角形矩阵的行列式称为三角形行列式．


例如，设，，因为

dc

baA

ba

dcB

　　性质 2 若将 n 阶矩阵 A 的任意两行（或两列）互换得到矩阵 B ，则有　　　　．AB

性质 2 说明互换行列式的任意两行或列，行列式的值变号．


　　推论 1 若 n 阶矩阵 A 中有两行（或两列）的全部元素分别相同，则　　　．0A

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

A ．

　　性质 3 若用数乘 n 阶矩阵 A 的某一行（或一列），则得到的矩阵行列式等于　的倍．即A

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211


　　性质 3 也可以表为：行列式某行（或某列）的公因子可以提到行列式记号的外面．

推论 2 若n阶矩阵 A中有一行（或一列）

的元素全为零，则 0A ．

推论 3 若n阶矩阵 A中有两行（或两列）

的元素成比例，则 0A ．

性质 4 若矩阵 A的行列式中某一行（或一列）的每个元素均可以写成两项之和，

ijijij cba ),,2,1,( nji ，

则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的第 i行的元素分别为 inii bbb ,,, 21 和 inii ccc ,,, 21 ，除了这一行（列）以外，其余的元素与原来行列式的对应元素相同．即


nnnn

ininiiii

n

aaa

cbcbcb

aaa

21

2211

11211

nnnn

inii

n

aaa

bbb

aaa

21

21

11211

nnnn

inii

n

aaa

ccc

aaa

21

21

11211

性质 5 若将n阶矩阵 A某行（列）的倍加到另一行（列）的对应元素上去，得到n阶矩阵B，则

AB ．即


nnnn

knkk

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

21

11211

nnnn

kninkiki

inii

n

aaa

aaaaaa

aaa

aaa

21

2211

21

11211

性质 6 n阶矩阵 A的行列式可以按任意一行

（列）展开，即


nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

ininiiii AaAaAa 2211

),,2,1( ni

性质 6 也称为矩阵行列式按行（列）展开定理．

例 3计算矩阵行列式：

（1）235

596106390

614

A ；

（2）205

021

043

A ．



解（1）

235

596106390

614

A

235

4600610010400

614

235

600100400

614

235

4610

614

=0．

（2）21

43)1(2

205

021

04333

A 4)46(2 ．


四、矩阵行列式的计算

　　矩阵行列式的基本计算方法之一是根据其特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角形行列式，由前面的结论可知，三角形行列式的值就是其主对角线上元素的乘积．这种方法一般叫做“化三角形法” ．

1 ．化三角形法


在计算行列式的值时，我们在等号的上方或下方加一些标记，以记录行列式的运算过程．我们约定：

（1 “）记号 ”表示第 i行（或列）提出公因子；（2 “）记号 ( , )” 表示第 i行（或列）与第 j

行（或列）互换；

（3 “）记号 + ” 表示第 j行（或列）乘上常数加到第 i行（或列）上；（4）等号上方的标记表示对行的运算，等号下方的标

记表示对列的运算．


例 4 计算矩阵行列式

2170

7295

4173

2152

．

2170

7295

4173

2152

),( ③①

2071

7592

4371

2251

解利用矩阵行列式性质，将其划为三角形矩阵行列式


1)()2(

①④①③①②

0220

3110

6120

2251

③）②（ ,

0220

6120

3110

2251

②⒉④②③

)2(

6000

0300

3110

2251

18 ．


数字元素的矩阵行列式化为上三角形行列式的一般步骤为：

（1）将元素 11a 化为 1（具体可通过第一行乘

11

1

a，或者通过行列的变换来实现）；

（2）将第一列 11a 以下的元素全部化为零，即将第一行乘 13121 ,,, naaa 并分别加到第 2，3 …，，n行对应元素上；


（3）从第二行依次用类似方法把主对角线

113322 ,,,, nnaaa 以下的元素全部化为零，既可得

上三角形行列式．

注意，在上述变换过程中，主对角线上元素不

能为零，若出现零，可通过行变换或列变换使得主

对角线上的元素不为零．



0112

0121

2011

2110

．

解

0112

0121

2011

2110

① ②（，）

0112

0121

2110

2011


2)(

①④①③

4130

2110

2110

2011

3②④

②③

2000

4200

2110

2011

=4．

解

0112

0121

2011

2110

① ②（，）

0112

0121

2110

2011


2．降阶法

此方法是选择零元素较多的行（或列），按

这一行（或列）展开，将矩阵行列式转化为几个

低一阶的行列式的代数和；如果原行列式没有零

元素较多的行（或列），可利用性质使某一行（或

列）只含有一两个非零元素，然后按此行（或列）

展开，按此方法逐步降阶．



3351

1102

4315

2113

．

解

3351

1102

4315

2113

）③（①③④

2-

0355

0100

13111

1115


055

1111

115

1-1 33

）（

①②

055

026

115

4055

261-1 31

）（

例 7 解方程 0

1523

123

4642

2341

x

x．


解法一：因为

1523

123

4642

2341

x

x ④③①②

)2(

1523

0500

0040

2341

x

x

153

050

231

14 22

xx

13

21154 22

xx 545 xx


于是原方程为 0545 xx ，

所以原方程的解是 5,4 21 xx ．

解法二：令 84 x ，则原行列式中第二行

是第一行的 2倍，根据推论 2，该行列式值为零，

所以 4x 是方程的一个解．又令 5x ，同理可

知行列式值为零，所以 5x 是方程的一个解．


五、矩阵乘积的行列式定理 10.1 设 A与B是两个n阶矩阵，那么乘

积矩阵 AB的行列式等于矩阵 A与 B行列式的乘积．即 BAAB

推广： 1．设 A是 n阶矩阵， k是任意常数，m是正整

数，那么：

1） AkkA n ；2） mm AA ；3） 2AAAAA TT ．


2．设 mAAA ,,, 21 都是n阶矩阵，那么

|,,,| 21 mAAA |||||| 21 mAAA ．

例 8 设矩阵

105

021

043

A ，求 A2 ．

解因为21

43)1(1

105

021

04333

A 2)46(1

所以， 1622 3 AA ．


一、矩阵的初等行变换

　　定义 10.9 　对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换：（ 1 ）对换矩阵两行的位置；（ 2 ）用一个非零数遍乘矩阵的某一行；（ 3 ）将矩阵某一行的倍数加到另一行上．

并称（ 1 ）为对换变换，称（ 2 ）为倍乘变换，称（ 3 ）为倍加变换．

　　在定义 10.9 中，若把对矩阵施行的三种行变换，改为对列施行的变换，我们就能得到对矩阵的三种列变换，并将其称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换，本书主要讨论矩阵的初等行变换．



BA

表示，并称矩阵　与　是等价的．AB

矩阵　经过初等行变换后变为　，用BA

i j

i 把第　行和第　行的对换变换，简记为　（　，　）；把第　行遍乘　倍的倍乘变换简记为　　；把第　行的　倍加至第　行上　的倍加变换，简记为　　　．

j ij

kk i

i jk

ik


321

321

321

ccc

bbb

aaa

；（①，②）

例如，设矩阵　　　　　　　　，其初等行　　变换如下：

321

321

321

ccc

bbb

aaa

A

（ 1 ）对换矩阵　的第一行和第二行的位置A

1b 2

b3b

1a 2a 3

a

1c 3

c2c


（ 2 ）用一个非零数　遍乘矩阵　的第三行k A

321

321

321

321

321

321

kckckc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa③ k

；

（ 3 ）用一个数　乘矩阵　的第一行加到第二行k A

321

332211

321

321

321

321

ccc

kabkabkab

aaa

ccc

bbb

aaa② ① k ．


　　定义 10.10 　满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵 :

（ 1 ）若矩阵有零行（元素全部为零的行 ),零行全部在下方；（ 2 ）各非零行的第一个不为零的元素( 称为首非零元，亦称主元）的列标随着行标的递增而严格增大．

二、阶梯形矩阵


例如：下列矩阵中，

3400

1130

2012

A ，

1000

0100

0021

B ，

0000

0000

2012

C ，

3030

1100

2023

D ，

3100

0000

2010

E ，

21000

40110

20201

F

A、B、C、F是阶梯形矩阵，D、 E不是


如果阶梯形矩阵还满足下面两个条件，则称为行

简化阶梯形矩阵：

1.各非零行的首非零元素全为 1； 2.各个首非零元素所在列的其余元素都为 0．

定理 10.1 任意一个矩阵都可经过有限次初等

行变换化为阶梯形矩阵，并可进一步化为行简化阶

梯形矩阵．


例 1 化下列矩阵为阶梯形矩阵．

1310

4221

3102

A ．

解：

1310

4221

3102

A ① ②，

1310

3102

4221

)2(①②

1310

5340

4221

③）②（ ,

5340

1310

4221

4②③

91500

1310

4221


三、矩阵的秩

1．矩阵秩的概念

定义 10.11 设 A是 nm 矩阵，在 A中位于任

意选定的 k行 k列交点上的 2k 个元素，按原来次序

组成的 k阶行列式，称为矩阵 A的一个 k阶子式，

其中 nmk ,min ．


例如，矩阵

00 000

73 100

24 230

65 412

，A

30

51

称为的一个二阶子式．A

在的第一、三行与第二、四列交点上的４个元素按原来次序组成的行列式

A

00000

73100

24230

65412 1- 5

0 3


　　定义 10.12 矩阵　的非零子式的最高阶数称为矩阵　的秩，记作　　或秩　　．)(r )(

A

A A A

规定：零矩阵的秩为零，即．0)( rO O

　　定义 10.12 说明 , 若　　　，则　中至少有一个取值非零的　阶子式，而任一　　阶子式（如果存在的话）的值一定为零．

1kk

A kr A


例 1 　求矩阵

6511

1 210

5 321

的秩．A

010

21

，

解　因为　的一个二阶子式A

所以，　的非零子式的最高阶数至少是 2 ，即　　　　．　中共有四个三阶子式：2)( r

AA A


，0

511

210

321

0

651

120

531

，

0

611

110

521

，

0

651

121

532

．

即所有三阶子式均为零，故．2)( r A


2 ．矩阵秩的计算

定理 10.2 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩．

前面我们提到，任何矩阵经过初等行变换均可化为阶梯形矩阵，而矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩，那么阶梯形矩阵的秩是否易求呢？


00000

03000

45210

14811

A

A是一个阶梯形矩阵，有三个非零行，其三个

非零行以及首非零元所在的列交点上的元素组成的

三阶子式一定不为零，而阶数超过非零行数的子式

肯定都为零，所以显然阶梯形矩阵的秩等于其非零

行的行数．


定理 10.3 矩阵 A的秩为 k的充分必要条件是

通过初等行变换能将 A化成具有 k个非零行的阶梯

形矩阵．

例2设矩阵

35222

23211

12011

07033

A ，求 )(Ar ， )( TAr ．

解先用初等行变换化矩阵为阶梯形，因为


35222

23211

12011

07033

A ① ②，

35222

23211

07033

12011

)2()1()3(

①④①③①②

11200

11200

31000

12011

)1(③④

00000

11200

31000

12011


③）②（ ,

00000

31000

11200

12011

．所以， 3)( Ar ．

3210

5327

2200

2113

2113

TA

)2(①④①②

3210

1101

2200

0000

2113


),(),(

⑤②④①

0000

2113

2200

3210

1101

)3(①④

0000

1-210

2200

3210

1101

)1(②④

0000

4-400

2200

3210

1101

2③④

0000

0000

2200

3210

1101

所以， 3)( TAr ．


（ 1 ）； nmAr ,min)(0

定理 10.4 　设　为任意一个　　　矩阵，则　nmA

（ 2 ）．)()( Trr A A

3．满秩矩阵

定义 10.13 设 A是n矩阵，若 nAr )( ，则称

A为满秩矩阵，或非奇异的，或非退化的．


例如，矩阵

200

140

531

，A

100

010

001

n ．E

都是满秩矩阵．

定理 10.5 任何满秩矩阵都能经过初等行变换

化为单位矩阵．


例 3 设矩阵

111

211

120

A ．判断 A是否为

满秩矩阵，若是将其化为单位矩阵．

解先将 A化为阶梯形矩阵，

111

211

120

A ① ②，

111

120

211

①③

100

120

211

因为 nAr 3)( ，故 A是满秩矩阵．


下面对上述阶梯形矩阵进一步进行初等行变换，

化为单位矩阵

A

100

120

211

)2(③①③②

100

020

011

2

1②

100

010

011 1②①

100

010

001

10-5 逆矩阵

EBAAB ，

　　定义 10.14 对于矩阵　，如果存在矩阵　，　满足 :

A B

则称矩阵　为可逆矩阵，简称　可逆．称　为　的逆矩阵，记作　　，即　　　．1 1

A A B

A A B A

　　于是，当　为可逆矩阵时，存在矩阵　，满足：

A 1A

11 ．AA A A E

一、可逆矩阵与逆矩阵

10-5 逆矩阵

由于定义中 A、B的地位是相同的，因此也可以

说矩阵B是可逆的， AB 1 ．

根据可逆矩阵的定义以及矩阵的乘法运算规律可知，可逆矩阵一定是方阵；另外，不是所有

的方阵均可逆．例如

00

01A 就不是可逆矩

阵，因为找不到另一个二阶方阵 B ，使得EBAAB ．

10-5 逆矩阵

例 1 根据定义证明（1）单位矩阵是可逆的；

（2）零矩阵是不可逆的

证（1）因为单位矩阵满足 EEE ，所以单位矩

阵是可逆矩阵，且 EE 1 ．

（ 2）因为对任意 n 阶方阵 B ，都有

EOBOOB ，所以零矩阵不是可逆矩阵．

10-5 逆矩阵

　　性质 1 　若矩阵　可逆，则　也可逆，且A1A

AA 11 ．

　　性质 2 　若矩阵　可逆，数　　　，则　　也可逆，且　　　　　　　．

0kk 111)( kk

A

A A A

　　性质 3 　若　阶矩阵　和　都可逆，则　也可逆，且　　　　　　　　．

n111)(

A B AB

AB B A

　　性质 4 　如果矩阵　可逆，则　也可逆，且　　　　　　．

T

T11T )()( A A

A A

　　性质 5 　如果矩阵可逆，则．A11 AA

10-5 逆矩阵

　性质 3 可以推广到多个　阶矩阵相乘情形，即当　阶矩阵　，　，　，　都可逆时，乘积矩阵　　　　也可逆，且

n

n 1A 2A mA

mAAA 21

11

12

1m

1m21 AAA)AA(A ．

3m特别地，当　　　时，有1

11

21

31

321 AAA)AA(A ．

10-5 逆矩阵

例 2 证明若 A是可逆矩阵，且 ACAB ，则 CB ．

证因为 A是可逆矩阵，故 1A 存在．由于

ACAB ，所以用 1A 左乘此等式两边，得

)()( 11 ACAABA

于是有

CB

10-5 逆矩阵

二、可逆矩阵的判别

若 A可逆，则存在逆矩阵 1A ，且 A EA 1 ，根据方阵乘积的行列式定理，得

111 EAAAA ，

所以， 0A ．由此得 0A 是矩阵 A可逆的必要条件．

若矩阵 A满足 0A ，则称 A是非奇异矩阵（或

非退化矩阵），否则称 A是奇异矩阵（或退化矩阵）．显然，前面提到的满秩矩阵一定是可逆矩阵．

10-5 逆矩阵

定义 10.15 设 )( jiaA 是n阶矩阵，则称

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

21

22221

11211

为矩阵 A的伴随矩阵，记作 *A ．其中 ijA 是行列式

A中 ija 的代数余子式．

10-5 逆矩阵

例 3 求矩阵

312

021

211

A 的伴随矩阵．

解 631

0211 A ， 3

32

0112

A ， 5

12

2113

A ，

131

2121 A ， 1

32

2122 A ， 1

12

1123 A ，

402

2131 A ， 2

01

2132

A ， 3

21

1133

A ．

10-5 逆矩阵

*A =

332313

322212

312111

AAA

AAA

AAA

=

315

213

416

定理 10.6 n阶矩阵 A可逆的充分必要条件是

0A ，且当 A可逆时， A

AA

*1 ．

上述定理给出了判别矩阵是否可逆的一种方法，

并给出了求逆矩阵一种方法,我们称为伴随矩阵法．

10-5 逆矩阵

例 4 判断例 3中的矩阵是否可逆，若可逆，

求出其逆矩阵．

解因为

01)5(23161131312121111 AaAaAaA ，

所以矩阵 A可逆．根据例 3的计算结果得

A

AA

*1

315

213

416

315

213

416．

10-5 逆矩阵

三、初等行变换法求逆矩阵

将 n阶可逆矩阵 A的右边写上同阶的单位矩阵

E，构成一个 nn 2 矩阵，然后对其进行一系列的初

等行变换，将 A化成单位矩阵E，此时，右边的单位

矩阵 E化成的矩阵就是 1A ．

这种求逆矩阵的方法,称为初等行变换法,简记为

1,, AEEA 初等行变换．

10-5 逆矩阵

例 5 求矩阵

31

52A 的逆矩阵．

EA,

2110

1031

0152

1031

1031

0152

2110

5301

2110

5301

解：

故

21

531A ．

10-5 逆矩阵

例 6 求矩阵

521

310

132

A 的逆矩阵．

EA,

001132

010310

100521

100521

010310

001132

3

1

6

1

6

1100

010310

120101

201910

010310

100521

解：

10-5 逆矩阵

3

1

6

1

6

1100

12

3

2

1010

3

4

6

13

6

1001

故

3

1

6

1

6

1

12

3

2

13

4

6

13

6

1

1A

例 7 求矩阵

311

211

102

A 的逆矩阵．

10-5 逆矩阵

解 EA,

100

010

001

311

211

102

100

001

010

311

102

211

110

021

010

520

520

211

111

021

010

000

520

211

10-5 逆矩阵

解 EA,

100

010

001

311

211

102

100

001

010

311

102

211

110

021

010

520

520

211

111

021

010

000

520

211

因为左边矩阵 A经过初等行变换出现了零行，所以矩阵 A不是满秩矩阵，即矩阵 A不可逆．


一、线性方程组的基本概念一般地，称由n个未知量、m个方程的线性方程组

.

,

,

,

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

1610

为 n元线性方程组．其中 jx 是未知量（也称为未知数），

ija 是第 i个方程第 j个未知量 jx 的系数， ib 是第 i个方

程的常数项 ),,2,1;,,2,1( njmi ．


设

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

，

nx

x

x

X2

1

，

mb

b

b

B2

1

，

称 A ，X，B分别是方程组 1610 的系数

矩阵、未知数列矩阵、常数项列矩阵．此时方程组

1610 可简记为 BAX ．


由系数和常数项组成的矩阵

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

BA

2

1

21

22221

11211

,

称为方程组的增广矩阵．由于线性方程组是由它的系数和常数项确定的，因此增广矩阵可以清楚地表示一个线性方程组．


当方程组 1610 中的常数项 mbbb ,,, 21 不全为零时，称为非齐次线性方程组．当 mbbb ,,, 21 全为零时，即 OB 时

.

,

,

,

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

2610

称为齐次线性方程组．


当方程组 1610 中的常数项 mbbb ,,, 21 不全为零时，称为非齐次线性方程组．当 mbbb ,,, 21 全为零时，即 OB 时

.

,

,

,

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

2610

称为齐次线性方程组．

同样，方程组 2610 可简记为 OAX 。


由 n个数 nccc ,,, 21 组成一个有序数组),,,( 21 nccc ，如果将它们依次代入方程组

1610 中的 nxxx ,,, 21 ，使 1610 中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组

),,,( 21 nccc 为方程组 1610 的一个解或解向量，线性方程组的解的全体，称为线性方程组的解集(合)．


显然，由 01 x , 02 x , …, 0nx 组成的

有序数组 )0,,0,0( 是齐次线性方程组 2610 的

一个解，称这个解为 2610 的零解(或称平

凡解)．而称齐次线性方程组的未知量取值不全

为零的解( nxxx ,,, 21 )为非零解．


例 1写出线性方程组.

,

,

257

17823

3352

321

321

321

xxx

xxx

xxx

的增广矩阵和矩阵方程的形式．

解：增广矩阵是

2571

17823

3352

, BA ，


二、线性方程组的消元法

例 1 解方程组.

,

,

257

17823

3352

321

321

321

xxx

xxx

xxx

解：交换第一个方程和第三个方程的位置，得

.

,

,

3352

17823

257

321

321

321

xxx

xxx

xxx


把现在的第一个方程的 3倍和-2倍分别加到第二个、第三个方程上去，得

.

,

,

11319

232323

257

32

32

321

xx

xx

xxx

把现在的第二个方程两端乘以23

1 ，得

.

,

,

11319

1

257

32

32

321

xx

xx

xxx


将现在的第二个方程的 19倍加到第三个方程上去，得

.

,

,

186

1

257

3

32

321

x

xx

xxx

将现在的第三个方程两端乘以6

1 ，得

.

,

,

3

1

257

3

32

321

x

xx

xxx


最后将第三个方程依次代入第二个方程和第

一个方程，即得方程组的解：

11 x ， 22 x ， 33 x ．

上例中，我们把方程组逐步变换为一种与原方程组同解的特殊形式的方程组，称为阶梯形方程组，而阶梯形方程组用逐步回代的方法很容易求解．这个过程中我们只是反复用了三种变换：（1）交换两个方程的位置；（2）用一个非零数乘以某个方程；（3）把某一个方程的倍数加到另一个方程上．


可以证明，这三种变换不改变方程组的解，且任一线性方程组都可经过这三种变换化为阶梯形方程组．

由于线性方程组由它的增广矩阵完全确定，对方

程组施行的三种变换实质上就是对其增广矩阵施行初

等行变换，故线性方程组的求解过程完全可以用矩阵

和初等行变换表示出来．


例 2 用矩阵的初等行变换表示例 1的求解过程．

解：写出方程组对应的增广矩阵，进行初等行变换

2571

17823

3352

, BA ),( ③①

3352

17823

2571

)2(3

①③①②

113190

2323230

2571

23

1②

113190

1110

2571


19②③

18600

1110

2571

)6

1(③

3100

1110

2571

最后一个阶梯形矩阵对应的方程组为

.

,

,

3

1

257

3

32

321

x

xx

xxx

回代，即得方程组的解 11 x ， 22 x ， 33 x ．


把上例中最后的阶梯形矩阵进一步化为行简

化阶梯形矩阵

BA,

3100

1110

2571

3100

2010

1001

最后的行简化阶梯形矩阵对应的方程组为.

,

,

3

2

1

3

2

1

x

x

x


由于增广矩阵除去最后一列即为系数矩阵，通过化出的阶梯形矩阵我们也顺便得到了系数矩阵和增广矩阵的秩．上例中 3, BArAr ，等于未知数的个数 3，该方程组有惟一解．．

例 3 解方程组.

,

,

48823

932

4

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx


解写出方程组对应的增广矩阵，进行初等行变换

30000

11110

41111

85550

11110

41111

48823

91132

41111

此时化为阶梯形后我们没有必要再化为行简化阶梯形矩阵，因为这个阶梯形矩阵的最后一行只有最后一个元素不为零，代表的方程是

10x 20x 30x 30 4 x ，此方程永远不成立，故原方程组无解．此时我们注意到 3,2 BArAr ．


例 4 解方程组

.

,

,

,

432

5923

8832

32

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

解：化对应的增广矩阵为阶梯形，进而化为简化阶

梯形

43210

59123

88312

32111

43210

43250

24130

32111


24130

43250

43210

32111

105500

24121200

43210

32111

00000

21100

43210

32111

00000

21100

01010

11011


00000

21100

01010

12001

最后一个矩阵对应的阶梯形方程组为

.

,

,

2

0

12

43

42

41

xx

xx

xx


将此方程中含有 4x 的项移到等号的右端，得

.

,

,

2

12

43

42

41

xx

xx

xx

我们称（*）式等号右侧的未知量 4x 为原方程组的自由未知量，这种用自由未知量表示其它未知量的表示式称为方程组的一般解．显然，未知量 4x 任取一个

值代入（*）式，都可求得 1x ， 2x ， 3x 的一组值，从而得到方程组的一个解，称为方程组的一个特解．因为 4x 可以任意取值，所以原方程组有无穷多个解．


例 5求解线性方程组.

,

,

642

2

232

543

5

54321

xxx

x

xxxxx

210000

202100

205021

210000

202100

213121

642100

210000

213121

, BA

于是，原方程组的一般解为

.2

,22

,522

5

43

421

x

xx

xxx（ 2x ， 4x 为自由未知量）．


对于齐次线性方程组 OAX ，由于其增广

矩阵最后一列的元素全为零，利用初等行变换将

增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵所的一般解，以

利用初等行变换将系数矩阵化为行简化阶梯形

矩阵所的一般解结果一样，因此，解齐次线性方

程组时，只要将系数矩阵 A化为行简化阶梯形矩

阵即可得到一般解．


例 6 解线性方程组

.083

,032

,05

,0793

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

1813

3211

1511

7931

A

2035100

4720

81440

7931

0000

0000

81440

7931

所以该齐次线性方程组的一般解为

.22

7

,2

3

432

431

xxx

xxx（ 43 , xx 为自由未知量）．

0000

0000

22

710

7931

0000

0000

22

710

12

301


(1) 写出增广矩阵 ( 或系数矩阵并用初等行变换将其化成阶梯形矩阵；

BA, A

(2) 判断方程组是否有解；

BAX 综上所述，用消元法解线性方程组( 或 ) 的具体步骤为：OAX

(3) 在有解的情况下，写出阶梯形矩阵对应的方程组，并用回代的方法求解．

或者继续用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，写出方程组的一般解．


三、线性方程组解的情况判定

定理 10.7 线性方程组 BAX 有解的充要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等．即

BArAr , ．上述定理称为线性方程组的有解判定定理．

推论 1 线性方程组 BAX 有惟一解的充要条件是 nBArAr , ．

推论 2 线性方程组 BAX 有无穷多解的充要条件是当 nBArAr , ．


推论 3 齐次线性方程组 OAX 只有零解的

充分必要条件是 nAr ．

推论 4 齐次线性方程组 OAX 有非零解的

充分必要条件是 nAr ．

特别地，当齐次线性方程组 OAX 中，方程

个数小于未知量的个数（ nm ）时，必有 nAr ，

这时，齐次线性方程组 OAX 一定有非零解．


例 7判断方程组解的情况．

.

,

,

013

33

14

321

32

321

xtxx

xtx

xxx

解：

（1）当 3t 时，

1210

330

1141

0131

330

1141

),(

t

t

t

tBA

33100

1210

1141

1210

33200

11412

ttt

t

t

ttt


0000

1110

1141

),( BA

32, nBArAr ，方程组有无穷多解；

（2）当 1t 时，

4000

1310

1141

),( BA ，

3,,2 BArAr ， BArAr , 方程组无解；


（3）当 1t 且 3t 时，

1100

1210

1141

),(

t

tBA ，

nBArAr 3, ，方程组有惟一解．


例 8 判断下列齐次线性方程组解的情况，并求解：

.

,

,

085

0352

032

1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

,

,

053

032

0

2

31

321

321

xx

xxx

xxx

.

,

,

0

0223

0322

3

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx


解： 1

2

1400

310

321

530

310

321

851

352

321

A

nAr 3 ，故此方程组只有零解．

000

230

111

250

230

111

503

321

111

A

32 nAr ，故此方程组有非零解．将 A进

一步化为行简化阶梯形矩阵


0003

210

111

A

0003

210

3

501

，

方程组的一般解为

32

31

3

23

5

xx

xx ．（ 3x 为自由未知量）．


（3）由于方程个数 3小于未知量的个数 4，

故此方程组有非零解．对方程组的系数矩阵进行

初等行变换，化为行简化阶梯形

0000

5410

4301

0000

5410

4301

0000

5410

1111

5410

5410

1111

3212

2123

1111

1111

2123

3212

A


于是原方程组的一般解为

432

431

54

43

xxx

xxx （ 3x ， 4x 为自由未知量）．


请多提宝贵意见！谢谢！

第 1 章矩阵及其应用

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Transcript of 第 1 章矩阵及其应用

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