§6 向量范数与矩阵范数
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山东省成人高等教育品牌专业网络课程 计算方法
Taishan University
§6 向量范数与矩阵范数 由于存在舍入误差,我们用前述的各种直接法求
解线性方程组 Ax=b 时一般地只能得到近似的计算解 xc 。为了度量 xc 与方程组准确解 x* 的接近程度以及讨论他们之间的误差估计问题,我们需要对向量与矩阵的大小引入度量,即向量范数与矩阵范数。这些范数可以看成是实数绝对值的概念的自然扩展。
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6.1 向量范数
1 2, ,
6.1
1 0, 0 0
2 ,
3 , , .
Tnn
n n
n
n
R n x x x x
R R
x x x
x R cx c x
x y R x y x y
今后, 表示所有 维实的列向量
的实线性空间。
定义 上的一个向量范数是定义在 上的某个
实值函数 ,它满足以下三个条件:
且 当且仅当 非负性 ;
对所有实数c与 齐次性 ;
对所有 三角不等式
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1 2
1 11
1 22
2 21
1
,
, 6.1
6.2
max 6.3
T nn
n
ii
n
ii
ii n
x x x x R
l x x
l x x
l x x
通常,我们主要应用下面三种基本的向量范数:对
向量的 范数:
向量的 范数 欧式范数 :
向量的 范数:
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2 1 2
2
1
6.2 ,
1 , 6.6
2 , 6.7
3 , 6.8
nR x
x x n x
x x n x
x x n x
定理 设x 则 的三种基本范数满足以下的不等式关系:
n
1 2
n
1 2
6.9
R
c x x c x
R
1 2
一般的,对于 上两个向量范数 与 ,如果存在
只与 与 有关的常数c与c使得
,
对于所有x 成立,那么,我们便称 与 是彼此等
价的。由前一定理知道,三种基本范数 , 与 是彼
此等价的。实际上,我们有更强的结论。
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定理 6.3 Rn 上任意两个向量范数是彼此等价的。 应用向量范数可以给出 Rn 中两个向量间的距离的概念。
6.4 , , x-yn
n
x y R x
R
定义 设向量 则称 为 与y之间的
距离,这里, 可以使 上任何一种向量范数。
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定义 6.6 设向量序列 k=1, ,)x,,x,x( T)k(n
)k(2
)k(1
)k( x
,)x,,x,x( T*n
*2
*1
* x 2,…, 向量 如果 *)(
lim iik
k
xx
则称向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x*, 记作 *)k(*)k(
k,lim xxxx
或
易见 , n,,2,1i,xx *i
)k(i
*)k( xx
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n n
n
6.7 {x } R R
lim x
x - 0 6.11
R
k
k
k
k k
*
*
*
定理 设 是 中的一个向量,且x ,
则 x的充分与必要条件是
x
这里, 是 上任一给定的向量范数。
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6.2 矩阵的范数 定义 6.8 设‖‖是以 n 阶方阵为变量的实值函数 , 且满足条件 : (1)非负性 : ‖A‖0 , 且‖ A‖=0 当且仅当 A=0
(2)齐次性 : ‖A‖=| |‖A‖, R
(3)三角不等式 :‖A+B‖‖A‖+‖B‖
(4)三角不等式 :‖AB‖‖A‖‖B‖
则称‖ A‖ 为矩阵 A 的范数 .
矩阵的 1-范数 :‖A‖1
n
1iij
nj1amax , 也称矩阵的列范数 .
矩阵的 2-范数 :‖A‖2 )(λmax T AA , 也称为谱范数 .
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矩阵的 -范数 :‖A‖ , 也称为行范数 .
n
1jij
ni1amax
矩阵的 F-范数 :‖A‖F
n
1j,i
2ija
例 7 设矩阵
32
11A
求矩阵 A 的范数‖ A‖p ,p=1,2, ,F.
解 ‖ A‖1=4 , ‖A‖=5 , ‖A‖F 15
105
55
32
11
31
21T AA
0λ105
5λ5
令2
5515λ,
2
5515λ, 21
得
2
55152
A所以
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设‖‖是一种向量范数 , 则定义
x
AxA
0xmax
称之为由向量范数派生的矩阵算子范数 . 矩阵的算子范数满足 ‖Ax‖‖A‖‖x‖, xRn
把满足上式的矩阵范数称为与向量范数相容的矩阵范数 .
对于 p=1,2,, 矩阵范数‖ A‖p 是由向量范数‖ x‖p 派生的矩阵算子范数 , 所以‖ A‖p 是与‖ x‖p 相容的矩阵范数 . 但‖ A‖F 不是一种算子范数 , 却与‖ x‖2 是相容的 . 设‖‖是一种算子范数 , 则
1max x
ExE
0xn
FE,但
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矩阵的范数与矩阵的特征值之间也有密切的联系 . 设是矩阵A 的特征值 ,x 是对应的特征向量 , 则有
Ax= x
利用向量和矩阵范数的相容性 , 则得 ||‖x‖=‖x‖=‖Ax‖‖A‖‖x‖
于是 ||‖A‖
设 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值为 1, 2, …, n, 则称 i
ni1λmax)(ρ
A
为矩阵 A 的谱半径 . 对矩阵的任何一种相容范数都有 (A)‖A‖
另外 , >0, 一种相容范数 , 使 ‖ A‖ (A)+
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任何两种矩阵范数也具有等价性
m ‖A‖ ‖A‖ M ‖A‖ , ARnn
矩阵序列的收敛性也定义为
0limlim *)k(
k
Δ*)k(
k
AAAA nj,i1,aa *
ij)k(
ij