第二十二章 曲面积分
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江西理工大学理学院
2222 2azyx 与 22 yxz 所围 成.
dxdydzz:
2求作业
由其中
az
ayx 222
::两曲面的交线解
:先二后一法)1(
21
2 2
0
22
D
a
aD
adxdydzzdxdydzzdxdydzz
a
a
adzzazdzzz
2 2222
0
2 )2(
5
15)122(4a
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:)2( 柱面坐标法
rdzzdrddxdydzzra
r
a
222 2
0
2
0
2
a ra
r drz
r0
23
22
32 ])2([
32
0
4
02
322 drrdrrar
aa
555
51
32
]5
2451
[3
2aaa
5
15)122(4a
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:)2( 球面坐标法
drrrdddxdydzza
sin)cos( 22
0
240
2
0
2
drrda
2
0
440
2 sincos2
5
15)122(4a
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第二十二章 曲面积分 一、第一型曲面积分 二、第二型曲面积分 三、高斯公式与斯托克斯公式 四、习题课
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第 1节 第一型曲面积分
一、概念的引入
二、第一型曲面积分的概念
三、第一型曲面积分的计算
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一、概念的引入
若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数 ),,( zyx , 求它的质量.
实例
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面 ,且当点在曲面上连续移动时 ,切平面也连续转动 .
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二、第一型曲面积分的概念 设曲面是光滑的, 函数 ),,( zyxf 在上有界, 把分成n小块iS(iS同时也表示第i小块曲面的面积),设点 ),,( iii 为iS上任意取定的点,作乘积 ),,( iiif iS , 并作和
n
iiiif
1
),,( iS, 如果当各小块曲面
的直径的最大值0 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.
1. 定义
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即
dSzyxf ),,( iii
n
ii Sf
),,(lim1
0
记为
dSzyxf ),,( .
dSzyxf ),,(
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf .
2. 对面积的曲面积分的性质
则及可分为分片光滑的曲面若 ,21
叫被积函数,其中 ),,( zyxf .叫积分曲面
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三、第一型曲面积分的计算
;1)],(,,[ 22 dxdyzzyxzyxfxyD
yx
dSzyxf ),,(
),(:.1 yxzz 若曲面
则
按照曲面的不同情况分为以下三种:
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;1]),,(,[ 22 dxdzyyzzxyxfxzD
zx
dSzyxf ),,(则
.1],),,([ 22 dydzxxzyzyxfyzD
zy
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx :若曲面
则
),(.2 zxyy :若曲面
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计算
dszyx )( , 其中为平面
5 zy 被柱面 2522 yx 所截得的部分.
例 1
积分曲面 : yz 5 ,
解
投 影 域 : }25|),{( 22 yxyxD xy
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dszyx )(故
xyD
dxdyyyx )5(2 xyD
dxdyx)5(2
rdrrd 5
0
2
0)cos5(2 .2125
dxdyzzdS yx221
dxdy2)1(01 ,2dxdy
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例 2 计算 dSxyz
|| ,
其中 为抛物面 22 yxz ( 10 z ).
解 依对称性知:
被积函数 ||xyz关于 xoz、yoz 坐标面对称
轴对称,关于抛物面
z
yxz 22
有
1
4 成立, (1为第一卦限部分曲面)
xy
z
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dxdyzzdS yx221
dxdyyx 22 )2()2(1
原式 dSxyz
|| dSxyz
1
4
dxdyyxyxxyxyD
2222 )2()2(1)(4
其中 1|),{( 22 yxyxDxy , }0,0 yx
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利用极坐标 trxcos, trysin,
rdrrrttrdt 1
0
2222
041sincos4
drrrtdt 21
0
5
0412sin2 2
令 241 ru
duu
u 25
1)
41
(41
.420
15125
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计算
xdS, 其中是圆柱面 122 yx ,
平面 2xz 及0z 所围成的空间立体的表面.
例 3
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解
321
其中1:0z , 2: 2xz ,
3: 122 yx . 投影域1D: 122 yx
显然 011
D
xdxdyxdS ,
,01112
D
dxdyxxdS
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讨论3时, 将投影域选在xoz上.
(注意: 21 xy 分为左、右两片)
3
xdS
31
xdS
32
xdS
(左右两片投影相同)
xzD
zx dxdzyyx 2212 xoz
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xzD
dxdzx
xx
2
2
112
1
1
2
0212
x
dzdxx
x
,
xdS 00 .
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计算 dSzyx )( 222
, 其中 为内接于球面
2222 azyx 的八面体 azyx |||||| 表面 .
例 4
被积函数 ),,( zyxf 222 zyx , 解关于坐标面、原点均对称 ,
积分曲面也具有对称性 ,
故原积分
1
8 ,
(其中1表示第一卦限部分曲面)
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1: azyx , 即 yxaz
dxdyzzdS yx
221 dxdy3
dSzyx )( 222
1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayxxyD 3])([8 222
.32 4a
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例 5: S
azyxSzds 2222, 是球面其中计算
。ahhz 所截的顶部被平面 )0(
x
y
z
oa
h
的方程为解 S: 222 yxaz
2222 hayxD 为定义域
DS
dxdyyxa
azds
222
drra
ard
ha
2
0 0 22
22
ha
a ln2
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S
SdSzxyzxy: 为圆锥面其中计算曲面积分例 ,)(6
。axyxyxz 所割下的部分被曲面 22222
,, 2222 yx
yz
yx
xz: yx
解
21 22 yx zz
.)(: 222 ayaxDxyS xy 面上的投影域为在
S
dSzxyzxy )( xyD
dxdyyxyxxy ])([2 22
2
2
cos2
0
3)cossincos(sin2
a
drrd
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da 42
2
4 cos)cossincos(sin24
da 52
2
4 cos24
da 520
4 cos28
44 21564
32
54
28 aa
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四、小结
2 .对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算 . (按照曲面的不同情况投影到三坐标面上)
1 .对面积的曲面积分的概念 ;
dSzyxf ),,( iii
n
ii Sf
),,(lim1
0
注意:一投、二代、三换.
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思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中 , 有因子 , 试说明这个因子的几何意义 .
221 yx zz
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思考题解答
是曲面元的面积 ,dS 221
1),cos(
yx zzzn
221 yx zz 故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数 .
z
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练 习
dSzyx )(.1计算 被柱面为平面其中 5 zy
.2522 所截得的部分 yx
.2 ,)( 22
dSyx计算 122 zyx为立体其中
.的边界
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一 、 填 空 题 :1、 已 知 曲 面 的 面 a积为 , 则
ds10 _ _ _ _ _ _ _ ;
2、
dszyxf ),,( = yzD
zyzyxf ),),,(( _ _ _ _ _ _ _ _ dydz ;
3、 设 为 球 面 2222 azyx 在 xoy 平 面 的 上 方 部分 , 则
dszyx )( 222 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
4、
zds3 _ _ _ _ _ , 其 中 为 抛 物 面 )(2 22 yxz
在 xoy 面 上 方 的 部 分 ;5、
dsyx )( 22 _ _ _ _ _ _ , 其 中 为 锥 面 22 yxz
及 平 面 1z 所 围 成 的 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 .
练 习 题
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二 、 计 算 下 列 对 面 积 的 曲 面 积 分 :1 、
dszxxxy )22( 2 , 其 中 为 平 面
622 zyx 在 第 一 卦 限 中 的 部 分 ;2 、
dszxyzxy )( , 其 中 为 锥 面 22 yxz 被
柱 面 axyx 222 所 截 得 的 有 限 部 分 .
三 、 求 抛 物 面 壳 )10)((2
1 22 zyxz 的 质 量 , 此 壳
的 面 密 度 的 大 小 为 z .
四 、 求 抛 物 面 壳 )10()(21 22 zyxz 的 质 量 , 此
壳 的 面 密 度 的 大 小 为 .z
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练习题答案
一 、 1、 a10 ; 2、 22 )()(1zx
yx
;
3、 42 a ; 4、 10
111;
5、 2
21 .
二 、 1、4
27 ; 2、 421564
a .
三 、6
.
四 、 )136(152
.