第二节 二重积分的计算法

,D

f x y d

一 利用直角坐标计算二重积分

利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。

d dxdy 面积元素x

y

积分区域

ba x0

1

2

y x

D

y x

y

ba x0

xy

D

xy

2

1

y

1 2: ,D x y x a x b X-型区域

1( )x y

2 ( )x y

y

xO

D

d

c

c

d

1( )x y 2 ( )x y

xO

y

D

1 2: ,D y x y c y d Y-型区域

ba x0

1

2

y x

D

y x

y

c

d

1( )x y 2 ( )x y

xO

y

D

c

d

1( )x y 2 ( )x y

xO

y

D

1( )x y

2 ( )x y

y

xO

D

d

c

1( )x y

2 ( )x y

y

xO

D

d

c

( , )z f x y

2 ( )y x

1( )y x

x

y

z

a b0x

0( )A x

O

2

1

( )

( )( , ) ( , )

b x

a xD

f x y dxdy dx f x y dy

1 2 ,x y x a x b 设 D （ X 型）：

2 0

1 00 0 ,

x

xA x f x y dy

0 0, :x a b A x取 ，则有曲边梯形

积分后先对 xy

2

1

0

,

b

a

b x

a x

x x

V A x dx

f x y dy dx

将 换成 ，得

利用平行截面面积已知 , 求立体体积的方法 :

若 D 为（ Y 型）： 1 2 ,y x y c y d

2

1

( )

( )( , ) ( , )

d y

c yD

f x y dxdy dy f x y dx

则 积分后先对 yx

求二重积分的方法：

将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算

2

1

( )

( )( , ) ( , ) ( )

b x

a xD

f x y dxdy dx f x y dy y x

则 先 后 积分

1 2 ,x y x a x b 若 D （ X 型）：

若 D 不是 X 型（或 Y 型），则将 D 分为几个区

域，

使它们为 X 型（或 Y 型），几个区域上的积分之和

就是所给二重积分的值。 1 2

1 2

, , ,D D D

f x y d f x y d f x y d

D D D

1D2D

例 1 计算 ，其中 D 是由直线y=1,x=2,

及 y=x 所围区域。

D

xyd

解法 1 把 D 看成 X 型域，则

2

1 1

2 32 2

11 1

4 221

[ ]

[ ] ( )2 2 2

9[ ]

8 4 8

x

D

x

xyd xydy dx

y x xx dx dx

x x

D

x

y

O

y x

1y

x1 2

:1 ,1 2,D y x x

解法 2 把 D 看成 Y 型域，则

2 2

1

22 2

1

32

1

42 2

1

[ ]

[ ]2

(2 )2

9[ ]

8 8

y

y

xydx dy

xy dy

yy dy

yy

D

xyd

D

O

y

x

1

2

y 2x x y

例 2 计算 ，其中 D 是由抛物线

及直线 所围成的区域 。

D

xyd2 =y x

解 把 D 看作 Y 型域

y

1

22x y

2x y D

2y x 2: 2, 1 2,D y x y y

(4,2)

y

Ox

(1, 1)

则

D

xyd22

22 2 2 2

1 1

2 2 5

1

4 63 2 2

1

[ ] [ ]2

( ( 2) )

1 4[ 2 ]

2 4 3 65

58

y y

yy

xxydx dy y dy

y y y dy

y yy y

2

2 2

1

y

ydy xydx

把 D 看作 X 型域 由于在 [0 ， 1] 和 [1 ， 4] 上下边界的表达式不同，

所以要用直线 x=1 将 D 分成两个区域 和 2D1D

2 : 2 ,D x y x 1 4x

0 1x 1 : ,D x y x

y

Ox

1 2D Dx 1

(1, 1)

(4, 2)

y x

y x

42y x

x

1 4

0 1 2[ ] [ ]

x x

x xxydy dx xydy dx

D

xyd1 2D D

xyd xyd

它们分别用以下不等式表示：

例 3 求 2 21 , : , 1, 1D

I y x y d D y x x y .所围

1 1 2 2

1

31 2 2 2

1

1

11 21

3 3

xI dx y x y dy

x y dxx

若 Y 型 : 1 , 1 1D x y y 1 2 2

1 11

yI dy y x y dx

D

1

11 0

y

x

: 1, 1 1D x y x 解 X 型

则积分较繁。

Yx y先 后 积分，解 型 : 0 ,0 1D x y y

2 2

2 2

1 1

00 0 0

1 1 2

0 0

1 11

2 2

y yy y

y y

I dy e dx e x dy

ye dy e dy e

1

1

y

x0

D

2

, : , 1, 0y

D

I e d D y x y x 例 4 求 所围成。

21 1

0

y

xI dx e dy y x分析 若先 后 积分，则 无法积分。

例 5 交换二次积分的顺序1 2 2

0 0 1 0( , ) ( , )

x xdx f x y dy dx f x y dy

分析 要将按 X 型域确定积分限改为按 Y 型域确定

积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给

的积分限还原成平面区域 D ，然后再按 Y 型域重新

确立积分限，得到二次积分。

1 2 2

0 0 1 0

1 2

0

( , ) ( , )

( , )

x x

y

y

dx f x y dy dx f x y dy

dy f x y dx

解 将所给积分限还原成 D 的图形，由 1 2D D D

20

1 2D D

1

1

x

y

知 D 是由 y=x， y=2－ x， y=0三条直线所围成，

: 2 ,0 1D y x y y

于是按 Y 型域定限

1 : 0 ,0 1D y x x ， 2 : 0 2 ,1 2D y x x 其中

例 6 交换二次积分的顺序

1 1 1

0 0 01 , ; 2 ,

x y

ydx f x y dy dy f x y dx

故 D 是由

所围成的， 于是

0, 1, 0, 1x x y y x

Y : 0 1 ,0 1,D x y y 型

1 1 1 1

0 0 0 0, ,

x ydx f x y dy dy f x y dx

x1

1

0

y

1x y

1

: 0 1 ,0 1,D y x x

由二次积分限，有

X型

解

2: ,0 1,D x y x x

2

1 1

0 0, ,

y x

y xdy f x y dx dx f x y dy

x1

1,1

0

y

2y x

y x0, 1, ,y y x y x y 故 D 是由

所围成的， 于是

: ,0 1,D y x y y Y型

1

02 ,

y

ydy f x y dx 由 的积分限，有

0 0 0( ) ( ) ( )

c y cdy f x dx c x f x dx

0,7 f x c 设 在 上连例 续，证明

证 由等式左边，得: 0 ,0D x y y c

改变积分顺序，得

: ,0D x y c x c

左边 右边

0 0( ) ( ) ( )

c c c

xdx f x dy c x f x dx

所以，左边 右边

0 0( ) ( ) ( )

c c c

xdx f x dy c x f x dx

所以，

二 极坐标计算二重积分

极坐标是由极点和极轴组成，坐标 ，其中 r为点 p到极点 o的距离， 为 or到 o

p的夹角。

r = 常数；（从 o出发的同心圆） = 常数；（射线）

O r

( , )p r

,r

0 ,0 2r

cos

sin

x r

y r

直角坐标与极坐标的关系为：

面积元素为（矩形）

( , ) ( , )D D

f x y d F r rdrd

由直角坐标和极坐标的对应关系，得到

二重积分在极坐标下的形式

, cos , sinF r f r r 其中

,D

f x y dd rd dr

底 高

rd弧长

于是得到极坐标下，二重积分化为二次积分的公式：

2

1

( )

( )( , ) [ ( , ) ]

D

F r rdrd F r rdr d

1 2( ) ( ),r

AO

1( )r

2 ( )r

D

AO

D2 ( )r

1( )r

若积分区域 D ：

2

1

( )

( )( , ) ( , )

D

F r rdrd d F r rdr

或写作

若极点在 D 的内部

则 D可以用不等式 ， 表示，这时有

0 2 10 ( )r

2 ( )

0 0( , ) ( , )

D

F r rdrd d F r rdr

AO

D

( )r

解 利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：

2, , :1 1 ,08 1D

f x y d D x y x x 将

化为极坐标

例

.下的二次积分

cos

sin

x r

y r

11,

sin cosr r

圆： 直线：

1

21

0sin cos

1: 1, 0sin cos 2

, cos , sinD

D r

f x y d d f r r rdr

1r

1

sin cosr

x

y

1

1

于是

例 9 计算 ，其中 D 是以原点为圆心，半

径为 的圆域。

dxdyeD

yx 22

解 D 可以表示成

0 ,0 2r a 2 2 2

2 2

2 2

2 2

00 0 0

2

0

1[ ]

21

(1 ) (1 )2

x y r

D D

a r r a

a a

e dxdy e rdrd

d e rdr e d

e d e

a

问题

• 本题为何不用直角坐标计算？

• 如何计算广义积分 2

0?xe dx

解 用极坐标，

2 2

2 2

2 2

sin, :1 , , 00 01 4

D

x yd D x y x y

x y

计例 算

:1 2,2

D r

2

12

2

12

2

sin

sin

21

rd rdr

r

d rdr

d

原积分

0 x

2

1

y

例 11 计算 其中 D 为

和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。

2 2 24D

a x y dxdy ，

2 2 2 ( 0)x y ax y

解 将 化为 ，可见 D 是一个半圆域。

2 2 2( )x a y a 2 2 2x y ax

x0

2 cosr a y

aD

2a

0 2 cos2

r a ，0

所以 D可表示为2 cosr a

圆的方程表示成极坐标形式：

于是，利用极坐标得：

2 2 2 2 2

2 cos 2 22

0 0

3 3 32

0

4 4

4

8 8 2(1 sin )

3 3 2 3

D D

a

a x y dxdy a r rdrd

d a r rdr

a d a

＝

＝

＝ ＝ （ － ）

•几何意义是球面 , 圆柱面

2 2 24z a x y 22 , 0y ax x x z xoy 面及 面所围成的立体的体积。

Dy

0

x

z

2a

练习

1D y x y 由 和 围成.

2 2 2 22. : 3.D

x y dxdy D x y 求 ，

2

11

1. , .x

x

dx f x y dy 改换积分顺序

23. ( 2 cos )D

x y x y dxdy 求 ，

2 3 3

0 0

12. 2 3 2 3

3I d r rdr

2

12

1

2

2

11

1 2 2 2

1 11

2

1. ,

, ,

x

x

yy

dx f x y dy

dy f x y dx dy f x y dx

3 32

0 0

14 2 3 2 3

3I d r rdr

或由对称性

1

1 1

2

2

1 1 2

0

3. ( 2 cos )

2 2 0 2

1 22 2 2 2

2 15

D

D D

x

x y x y dxdy

dxdy x ydxdy

dx x ydy

小结1. 如何选择合适的坐标系计算二重积分？

2. 利用对称性计算二重积分时，应该注意什么？