บทท��2 ศั�กย์ไฟฟ า พลั�งงานไฟฟ าสถิ�ตย์แลัะความจุ�ไฟฟ า

ความต�างศั�กย์เราค�!นเคย์ก�บพลั�งงานศั�กย์เน"�องจุากแรงโน!มถิ�วง

h

m

g

Ep = mgh

พลั�งงานศั�กย์เน"�องจุากแรงโน!มถิ�วง

q F = qE

พลั�งงานศั�กย์เน"�องจุากสนามไฟฟ า

Ep = 0

F = mgE

d

Ep = W = Fd =(qE)d

Ep = 0

q F = qE

พลั�งงานศั�กย์เน"�องจุากสนามไฟฟ า

E

d

Ep = W = Fd =(qE)d

Ep = 0

ความต�างศั�กย์ (V) ค"องานต�อหน�วย์ประจุ� [J/C] หร"อ [Volt]จุากกรณี�ต�วอย์�างน�(

V = W/q = Ed [Volt]

B A

ความต�างศั�กย์ระหว�าง A ก�บ B, VAB ค"อ งานในการเลั"�อนประจุ�หน�วย์ จุาก A ไป B

ความต�างศั�กย์เป*นค�าเปร�ย์บเท�ย์บระหว�างจุ�ดสองจุ�ดอาจุใช้!จุ�ดหน-�งเป*นจุ�ดอ!างอ�งแลั!วเท�ย์บอ�กจุ�ดหน-�งก�บจุ�ดน�(น

E

d

VAB = Edสนามคงท��

B

A

VAB = - E . dlสนามไม�คงท��

A

B

+

-

B

A VA

VB +

-

Edl

dV = -E . dl = Edl cos

VAB = dV = - E . dl A

B

A

B

VAB ไม�ขึ้-(นก�บเส!นทางเด�นขึ้-(นอย์/�ก�บต0าแหน�งต�(งต!นแลัะต0าแหน�งส�ดท!าย์เท�าน�(น

VAB = - VBA

งานเน"�องจุากสนามไฟฟ าสถิ�ตตลัอดวงป1ดม�ค�าเป*น0 หร"อ สนามน�(เป*นสนามอน�ร�กษ์

จุาก dV = -E . dl = -Exdx - Eydy - Ezdz … (1)

ความส�มพ�นธ์ขึ้องสนามไฟฟ าแลัะเกรเด�ย์นตขึ้องศั�กย์

เน"�องจุากศั�กย์ไฟฟ าเป*นฟ4งกช้�นขึ้องต0าแหน�ง V = V(x,y,z) ด�งน�(น

dzzV

dyyV

dxxV

dV

… (2)

เท�ย์บ (1 ) ก�บ (2) เราจุะได!

xV

Ex

yV

Ey

zV

Ez

VE

สนามไฟฟ าม�ค�าเท�าก�บเกรเด�ย์นตขึ้องศั�กย์ เคร"�องหมาย์ลับ บอกท�ศัขึ้องสนามว�าช้�(จุากศั�กย์ส/งไปศั�กย์ต0�า

สนามไฟฟ าม�อ�กหน�วย์ค"อ [Volt/m]

E

เส!นสมศั�กย์ แลัะ ผิ�วสมศั�กย์ (equipotential line & surface)

เส!นสมศั�กย์ ค"อ เส!นท��ลัากผิ�านต0าแหน�งท��ม�ศั�กย์เท�าก�น ผิ�วสมศั�กย์ ค"อ ผิ�วท��ผิ�านต0าแหน�งท��ม�ศั�กย์เท�าก�น

VE บอกว�า ท�ศัขึ้องสนามไฟฟ าต�(งฉากก�บผิ�วสมศั�กย์แลัะ

ช้�(จุากศั�กย์ส/งไปศั�กย์ต0�า

E

V1 V2 V3

V1V2V3

VE บอกว�า ท�ศัขึ้องสนามไฟฟ าต�(งฉากก�บผิ�วสมศั�กย์แลัะ

ช้�(จุากศั�กย์ส/งไปศั�กย์ต0�า

ความส�มพ�นธ์ขึ้องสนามไฟฟ าแลัะเกรเด�ย์นตขึ้องศั�กย์ (ต�อ)

xV

Ex

yV

Ey

zV

Ez

5 Volt

0V1V2V3V4V5V

EEx = |E| Ey = 0Ez = 0

Ex= -dV/dx = 5 /0.1 [V/m]

d = 0.1 m

ศั�กย์ไฟฟ าเน"�องจุากจุ�ดประจุ�E

+Q

A

B

rrkQ

E2

B

A

B

A

r

r

r

r

B

A

B

A

rkQdr

rkQ

ldrrkQ

ldE

12

2

VB-VA

ท��จุ�ดอ!างอ�งไกลั (rA = inf.), VA=0

V(r)= kQ/r ปร�มาณีสเกลัาร

V

r

1/r

E

r

1/r2

ส0าหร�บประจุ�จุ�ดV(r)= kQ/r

ส0าหร�บประจุ�จุ�ด n ต�ว,

n

i i

in

ii r

qkVV

11

a+Q

-Qa

+Q

+Q

ต�วอย์�าง จุงหา V ท��จุ�ดกลัางขึ้อง ส��เหลั��ย์มจุ�ต�ร�ส ท��ม�ประจุ� -Q วางอย์/�ท��ม�ม

หน-�งแลัะ +Q วางอย์/�ท�� อ�ก 3 ม�ม

P2

a

a

kQ

a

Q

a

Q

a

Q

a

Qk

r

qkV

i

i

22

)2222

(

ศั�กย์ขึ้� (วค/�ไฟฟ า (Potential from Electric dipole)+

-

2a

-q

+q

Pr+

r-

r

2

cos2

11

)(

r

akq

rr

rrkq

rrkq

r

qk

r

kqV

2acos

2

cos2

rrr

arr

ให!น�ย์าม p = 2aq = electric dipole moment โมเมนตค/�ไฟฟ า 2

0

2

4

cos

cos

r

pr

kpV

20

2

4

cos

cos

r

pr

kpV

ศั�กย์ขึ้� (วค/�ไฟฟ า (Potential from Electric dipole)

ทอรกท�� สนามไฟฟ ากระท0าก�บขึ้�(วค/�ไฟฟ า

E

-Q

+Q

2a

F=qE

F=qE

= 2qEasin = pEsin

= p x E

การหาสนามไฟฟ าจุากศั�กย์ไฟฟ าใช้!ความส�มพ�นธ์ VE

ˆsin

1ˆ1ˆ

ˆˆˆ

V

r

V

rr

r

V

kz

Vj

y

Vi

x

V

Cartesian coordinates

Spherical coordinates

ต�วอย์�าง สนามไฟฟ าจุากขึ้�(วค/�ไฟฟ า

204

cos

r

pV

จุาก

ˆsin

1ˆ1ˆ

V

r

V

rr

r

VVE

304

cos2

r

p

r

VEr

304

sin1

r

pV

rE

0sin

1

V

rE

+

-

ต�วอย์�าง แท�งประจุ� ย์าว L ม�ประจุ�กระจุาย์สม0�าเสมอด!วย์ความหนาแน�น ประจุ� [C/m] จุงหาค�าศั�กย์ไฟฟ าท��จุ�ด P ซึ่-�งเป*นจุ�ดบนแกนเด�ย์วก�นก�บ

แท�งประจุ�แลัะห�างจุากประจุ� d [m]

P

dL

xd

dxk

r

kdqdV

xdx

dq = dx

)ln()ln()( 0

0 d

Ldkxdk

xd

dxkdVV

LL

ต�วอย์�าง ประจุ� Q กระจุาย์อย์�างสม0�าเสมอบนวงแหวนร�ศัม� R จุงหาศั�กย์V ณี จุ�ด P บนแกนวงแหวนห�างจุากจุ�ดศั/นย์กลัาง h [m]

P

R

Q

2

z

y

dq =dl

h

R

x

22 Rhr

22 Rh

dlk

r

dqkV

22 Rh

kQ

ต�วอย์�าง ประจุ�กระจุาย์อย์�างสม0�าเสมอบนจุานแบนร�ศัม� a ด!วย์ความหนาแน�นประจุ�( ต�อหน�วย์ พ.ท .) จุงหาศั�กย์ V ณี จุ�ด P ห�างจุากจุาน

บนแนวแกนเป*นระย์ะทาง h [m]

P zh

a

z

ydq = 2rdr

h

r

P

x

22 rh

a

22

2

rh

drrk

r

kdqdV

a

rh

drrkV

022

2

rdrldl

rhl

22

222

)(2

22

22

2222

hahk

lkl

dllkV

ah

h

ah

h