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ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II RESPUESTA EN FRECUENCIA 2010

TEMA 9

RESPUESTA EN FRECUENCIA

9.1. INTRODUCCIÓN.

• La respuesta en frecuencia es un concepto muy importante en todos los campos de la ciencia y de la ingeniería, pues constituye, la base para comprender los factores que determinan la estabilidad o inestabilidad de un sistema específico, sea eléctrico, mecánico, químico o biológico.

• La respuesta en frecuencia de un determinado circuito, es la variación del comportamiento de cada uno de sus parámetros dependientes de la frecuencia, al cambiar o variar la frecuencia de la señal.

• Dicho concepto es de suma importancia en todos los campos de la ciencia y de la ingeniería, pues constituye la base para comprender los factores que determinan la estabilidad o inestabilidad de un sistema específico, sea eléctrico, mecánico, químico o biológico.

• La respuesta en frecuencia de un circuito también se la puede cuantificar como la variación de la ganancia y de la fase, en cada una de sus partes, en función de la frecuencia.

• En telecomunicaciones a menudo se deben enfrentar situaciones que exigen la separación de frecuencias, operación que se lleva a cabo una vez que se cuenta con una comprensión cabal de la respuesta en frecuencia de los circuitos de filtrado.

9.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – FUNCIÓN DE RED.

La función de transferencia (función de Red), es una herramienta analítica y útil para determinar la respuesta en frecuencia de un circuito

La función de transferencia, H(w) de un circuito, es la razón dependiente de la frecuencia de una salida fasorial Y(w) (una tensión o corriente del elemento o parámetro) y una entrada fasorial X(w) (tensión o corriente de la fuente).

Una red lineal puede representarse mediante el siguiente diagrama de bloques siguiente, ver figura 9.1.

Figura 9.1.

La ecuación representativa será:

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 1 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


Hw = Y(w)X(w) …………………(9.1)Bajo condiciones iguales a cero, puesto que la entrada y salida pueden ser una tensión o una corriente, en cualquier parte del circuito, por lo que existen cuatro posibles funciones de transferencia:

Hw = V0(w)Vi(w) …… Ganancia de Tensión (9.2)Hw = I0(w)Ii(w) …… Ganancia de Corriente (9.3)Hw = V0(w)Ii(w) …… Impedancia de Transferencia (9.4)Hw = I0(w)Vi(w) …… Admitancia de Transferencia (9.5)Donde:

i =Entrada- Inputo =Salida- Output



Hw =Número complejo, de módulo Hwy de fase ∅, es decir: H(w) = Hw ∅Para obtener la función de transferencia utilizando las ecuaciones 9.2 – 9.5, debemos proceder la forma siguiente:

Obtener el equivalente en el dominio de la frecuencia del circuito, sustituyendo las resistencias, inductancias, y capacitores por sus impedancias R, jwL, 1/jwC.

Utilizar cualquier técnica de circuitos para obtener la cantidad apropiada en las mencionadas ecuaciones.

Obtener la respuesta en frecuencia del circuito graficando el módulo y la fase de la función de transferencia conforme varía la frecuencia.

La función de transferencia H(w) puede expresarse en términos de sus polinomios del numerador N(w) y el denominador D(w), como la expresión de la ecuación (9.6):

Hw = N(w)D(w) = bm wm+bw-1 wm-1+ …. +….. +b1 w+b0am wm+aw-1 wm-1+ …. +….. +a1 w+a0

Hs = N(s)D(s) = bm sm+bs-1 sm-1+ …. +….. +b1 s+b0am sm+as-1 sm-1+ …. +….. +a1 s+a0Donde, N(s) y D(s), son polinomios en ‘s’

Las raíces de N(s)=0, se llaman ceros de H(w) y suelen representarse como jw= z1, z2, …. De manera similar,

las raíces de D(w)=0, son los polos de H(w) y se representan como jw= p1, p2, …. Los valores de ‘s’ que originan a N(s)=0, se conocen como ceros de V(s) y los valores de ‘s’ que dan lugar a

D(s)=0, como polos de V(s).

Un cero se puede considerar como una raíz del polinomio del numerador, es un valor que produce un valor cero de la función. Un polo se puede considerar como una raíz del polinomio del denominador, es un valor para el cual la función es infinita.



Un cero también se puede considerar como el valor de ‘ s = jw ‘, que hace que H(s) sea infinita.

En la tabla 9.1. ver un ejemplo de función de transferencia con polos y ceros:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA CEROS POLOS

Hs=1RCs+1RC s= ∞ s =- 1RCHs= --2 s1+s10 1+ s20 000 s = 0 s = - 10 s = - 20 000

Tabla 9.1. Polos y Ceros de Funciones de transferencia

Ejemplo 9.1.

Obtenga la función de transferencia Hw = V0(w)Vs(w) del circuito RL de la figura 9.2, suponiendo que vs= Vm coswt y grafique su respuesta en frecuencia.

Figura 9.2



v0 = RR+jwL vsLa función de transferencia:

Hw = V0(w)Vs(w)= RR+jwL= 11+jwLR …… (1.1)Para graficar la respuesta, vale decir:

La amplitud de Hw = 11+ WWO2 …… (1.2) donde = wo= RLLa fase de Hw =∅= - tg-1 WWO …… (1.3)

Ahora, para graficar Hw y ∅, para 0 < w < ∞, obtendremos sus valores en algunos puntos críticos, ver tabla 9.2, 9.3 y

9.4 y luego ver Figura 9.3 y 9.4:

wwo Hw ∅ wwo Hw ∅0 1 0 10 0.1 -84°1 0.7071 -45° 20 0.05 -87°2 0.45 -63° 100 0.01 -893 0.32 -72° ∞ 0 -90°



Tabla 9.2

(w/wo) (w/wo)(w/wo) (w/wo)(w/wo) + 1RAIZ((w/wo)(w/wo)+1) 1/RAIZ((w/wo)(w/wo)+1)

0 0 1 1 11 1 2 1,414213562 0,7071067812 4 5 2,236067977 0,4472135953 9 10 3,16227766 0,316227766

10 100 101 10,04987562 0,09950371920 400 401 20,02498439 0,04993761730 900 901 30,01666204 0,0333148340 1600 1601 40,01249805 0,02499219150 2500 2501 50,009999 0,01999600160 3600 3601 60,00833275 0,01666435270 4900 4901 70,00714249 0,01428425780 6400 6401 80,00624976 0,01249902490 8100 8101 90,00555538 0,011110425

100 10000 10001 100,0049999 0,00999951000 1000000 1000001 1000,0005 0,001

10000 100000000 100000001 10000,00005 1E-04

Tabla 9.3

Figura 9.3

w/wo Φ=arctg(w/wo)

0 01 -45,000038012 -63,43500243 -71,56511163

10 -84,2894780620 -87,1376683830 -88,0909219740 -88,5679786350 -88,85431221



60 -89,04523396100 -89,42713684

1000 -89,9427802110000 -89,99434644

200000 -89,99978954500000 -89,99996143

1000000 -90,00001872

Tabla 9.4

Figura 9.4

Ejemplo 9.2.

Encuentre la función de transferencia V0(w)I1(w) y I1(w)V0(w) para el circuito de la figura 9.2., y obtenga sus

polos y ceros:

Figura 9.5.

Donde: R1=5 Ω ; R2=3 Ω ; C=0.1 F ; L=2 H Según la ecuación (9.4), la relación de la función de transferencia corresponde a la impedancia de transferencia:



Hw = V0(w)Ii(w) =Impedancia equivalente del circuito ……..(2.1)La impedancia equivalente del circuito será:

Zeq= Z1 Z2 Z1+ Z2 = (R1+ 1jwC) (R2+jwL)(R1+ 1jwC)+ (R2+jwL)= (R1jwC+ 1) (R2+jwL) jwCR1+R2+ jwL jwC+1Zeq= (s R1C + 1) (s L+R2) jwCR1+R2+ (jw)2L C+1= (s R1C + 1) (s L+R2) s2L C+s CR1+R2+1Reemplazando sus datos:

Zeq= (0.5 s+ 1) (2 s+3) 0.2 s2+0.8 s +1 = (0.5 s+ 1) (2 s+3) 210 s2+810 s +1

Zeq= 5* (0.5 s+ 1) (2 s+3) s2+4 s +5= 5* (0.5 s+ 1) (2 s+3) s2+4 s +5La función de Transferencia , los polos y ceros serán, reemplazando en ecuación (1.1):



Hw = V0(w)Ii(w) = 5* ( 12s+ 1) (23 s+1) s+2-j(s+2+j)Hs = 5* ( 12s+ 1) (23 s+1) s+2-j(s+2+j)Los Polos: p1= -2 +j ; p2= -2-j Los Ceros: z1=-2 ; z2=- 32 Para la función de transferencia de la admitancia de transferencia según ecuación (9.5):

Hw = I1(w)V0(w) =Admitancia equivalente del circuito ……..(2.2)La función de Transferencia , los polos y ceros serán, reemplazando en ecuación (1.1):

Hw = I1(w)V0(w) = s+2-j(s+2+j)5* ( 12s+ 1) (23 s+1)Hs = s+2-j(s+2+j)5* ( 12s+ 1) (23 s+1)

Los Ceros: z1= -2 +j ; z2= -2-j FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 9 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


Los Polos: p1=-2 ; p2=- 32 Ejemplo 9.3.

Obtenga la función de transferencia Hw = I0(w)Is(w) , del circuito que se muestra en la figura 9.6.

Figura 9.6.

Donde: R = 10 Ω ; C=0.1 F ; L=2.5 H

Aplicando Supernodo, porque la fuente de corriente se encuentra entre dos nodos:



10 i1+ 1jwC i2- 0.5 vx+jwL i2=0

10 i1+ 1jwC+jwL i2- 0.5 vx=0………(3.1) 10 i1= - vx …….(3.2)Ecuación (3.2) en (3.1):

- vx+ 1jwC+jwL i2- 0.5 vx= - 1.5 vx+ 1jwC+jwL i2= 0- 1.5 (- 10 i1)+ 1jwC+jwL i2= 0

15 i1+ 1jwC+jwL i2= 0 ……(3.3)



Del circuito: i2= io …….(3.4)i1+ is= io → i1 = io-is …… (3.5) Reemplazando ecuación (3.4) y (3.5) en (3.3):

15( io-is) + 1jwC+jwL io= 0 15+1jwC+jwL io- 15is = 15 jwC+jwC jwL+1 io- 15 jwC is=0 iois = 15 jwC15 jwC+jwC jwL+1Reemplazando:

iois = 1.5 jw1.5 jw+(jw)20.25+1= 1.5 ss20.25+1.5 s+1= 1.5 ss214+s64 +1= 6 ss2+6 s +4Hw = I0(w)Is(w)= iois = 6 ss2+6 s +4= 6 ss+3-5 s+3+5 La función de Transferencia, los polos y ceros serán:

Hw = 6 ss+3-5 s+3+5 …… (3.6)FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 12 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


Los Polos: p1= -3 +5 ; p2= -3-5Los Ceros: z1=0

Ejemplo 9.4.

Encontrar la función de transferencia, la Ganancia y el desplazamiento de Fase del circuito correspondiente a un amplificador operacional, ilustrado en la figura 9.7..

Figura 9.7

Donde: R1=10 K Ω R2=50 K Ω C=2 μFLa representación del circuito en función de la frecuencia:



La función de transferencia:

H(w)= Vou(w)Vin(w) …….. (4.1)Aplicando voltaje de nodos en 1:

V1-VinR1 + V1-Vou1jwC + V1-VouR2 = 0v1 = v2 = 0

VinR1 + Vou1jwC + VouR2 = VinR1 + jwC+ 1R2Vou= 0 = VinR1 =- jwR2C+1R2Vou H(w)= Vou(w)Vin(w) = 1R1 jwR2C+1R2 = 110 K jw 50K 2 10-6+150K = 5jw 50*103 2*10-6+1



Hw= VouwVinw = 5jw 10-1+1= 5 1+ jw10 La función de Transferencia:

Hw= 5 1+ jw10 …….. (4.2)La Ganancia en Amplitud:

Ganancia = Hw = 5 1+( w10)2 ………. (4.3) El desplazamiento de Fase:

∅ = - tg-1 w10 ……………….(4.4)La Ganancia y el Desplazamiento de Fase se muestran en las Tablas 9.5 y 9.6 y las Figuras 9.8 y 9.9, respectivamente:

w (w/10)*(w/10) (w/10)*(w/10) + 1 RAIZ(w/10)*(w/10) + 1) 5/RAIZ(w/10)*(w/10) + 1)

0 0 1 1 51 0,01 1,01 1,004987562 4,9751859512 0,04 1,04 1,019803903 4,9029033783 0,09 1,09 1,044030651 4,789131426

10 1 2 1,414213562 3,53553390620 4 5 2,236067977 2,23606797730 9 10 3,16227766 1,5811388340 16 17 4,123105626 1,21267812550 25 26 5,099019514 0,98058067660 36 37 6,08276253 0,82199493770 49 50 7,071067812 0,70710678180 64 65 8,062257748 0,62017367390 81 82 9,055385138 0,55215763



100 100 101 10,04987562 0,497518595

Tabla 9.5

Figura 9.8

w Φ=-arctg(w/10)

0 01 -45,000038012 -63,43500243 -71,56511163

10 -84,2894780620 -87,1376683830 -88,0909219740 -88,5679786350 -88,8543122160 -89,0452339670 -89,1816198780 -89,2839154790 -89,36348191

100 -89,42713684

Tabla 9.5

Figura 9.9

9.3. ESCALA EN DECIBELES. (dB).

No resulta fácil realizar las gráficas de Amplitud y de Fase de una función de transferencia, en función de la frecuencia, es común usar gráficas logarítmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de gráficas lineales, a las gráficas logarítmicas se las denominan Diagramas de Bode, es decir, un diagrama de Bode es una gráfica de los valores de ganancia logarítmica y del ángulo de fase versus la frecuencias. Para ello debemos considerar dos parámetros importantes para expresar la ganancia de una función de transferencia:



9.3.1. USO DE LOGARITMOS.

Algunas propiedades:

log( P1 P2) = logP1+logP2

log( P1/ P2) = logP1-logP2

logPn= nlogP

log 1=0 9.3.2. USO DE DECIBELES.

En telecomunicaciones, la ganancia se mide en ‘bels’, el ‘bels’ se usa para medir la razón entre dos niveles de

potencia. (P2P1 adimensional pero logP2P1 =bel)

Ganancia = Número de ‘Bels’ = log10P2P1 ……….. ( 9.6)

Sin embargo, el decibel (dB), corresponde a 110 'bels', y está dado por:



Ganancia en Decibeles = GdB = 10 log10P2P1 …………(9.7)

GdB (dB)

GdB P2=

P1

0

P1=2P2

-3

P2=2P1

3

P2=10P1

10

La ganancia ‘G’, puede expresarse en función de los parámetros de tensión y de corriente, Ver circuito Figura 9.10:

Figura 9.10

Donde:



I1=Corriente de entrada ; I2=Corriente de salida V1=Tensión de entrada ; V2=Tensión de salida R1=Resistencia de entrada ; R2=Resistencia de salida P1=Potencia de entrada ; P2=Potencia de salida

P1= V12R1 = I12 R1 P2= V22R2 = I22 R2

La Ganancia en función de tensiones será:

GdB = 10 log10V22R2V12R1= 10 log10V22V12 + 10 log10R2R1

Para R1= R2: GdB = 10 log10V22V12+ 0 = 10 log10(V2V1)2 = 20 log10V2V1 GdB = 20 log10V2V1 ………… (3.13) La Ganancia en función de corrientes será:



GdB = 10 log10 I22 R2 I12 R1 = 10 log10 I22I12 + 10 log10 R2R1

Para R1= R2: GdB = 10 log10 I22I12 + 0 = 10 log10(I2I1)2 = 20 log10 I2I1 GdB = 20 log10 I2I1……….. (9.8)

Por lo que podemos concluir:

‘10 log’, sólo se usa para la potencia y ‘20 log’, se usa para la tensión y corriente.

El valor en ‘dB’, es una medida logarítmica de la razón entre variables del mismo tipo (adimensional), pero cuando se aplica en ellos el ‘log’, poseen unidades de ‘dB’.

Se deben escribir las funciones de transferencia (funciones de red), en términos de ‘s’, sustituyendo ‘s = jw’, cuando se requiere determinar analítica y gráficamente la respuesta en amplitud y en fase.

9.4. DIAGRAMAS DE BODE.

En esta parte conocerá un método rápido para obtener una imagen aproximada de la variación de la amplitud y de la fase de una función de transferencia dada como función de ‘w’.

Los Diagramas de Bode son una forma de representar gráficamente la respuesta en frecuencia de un sistema lineal, invariable y estable, en régimen permanente que es excitado con una señal senoidal de amplitud constante y frecuencia variable (de 0 a ∞). La respuesta en frecuencia de este tipo de sistemas en régimen permanente viene dada por otra señal senoidal de igual frecuencia en todo momento a la frecuencia de la señal de entrada, pero de amplitud y fase distintas y dependientes ambas de la de la frecuencia.

Es decir, si la entrada al sistema es una función tipo:

xt=R sen wtFACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 20 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


La salida será del tipo:

yt=Ajwsen(wt)• Es común usar gráficas logarítmicas de la respuesta en frecuencia, en lugar de gráficas lineales; las gráficas

logarítmicas se denominan Diagramas de Bode, en honor a de H.W. Bode, quién incursionó en su trabajo con amplificadores en las décadas de 1930 a 1940.

• El diagrama de Bode, es una gráfica de la ganancia en decibeles y de la fase en grados versus el logaritmo de

la frecuencia.

• Por estas razones, se ha vuelto una práctica estándar, emplear una escala logarítmica para el eje de la frecuencia y una lineal en cada una de las gráficas dependientes de la amplitud y de la fase, tales gráficas semilogarítmicas de la función de transferencia , conocidas como diagramas de Bode, se han convertido en un estándar industrial.

Cualquier función de transferencia puede ser representado fasorialmente:

H= H׀ φ = H ej∅ Logaritmizando:

lnH = ln(H ej∅) = lnH+j∅lne

lnH = lnH+j∅ …………. (9.9) Donde:

La parte real de ‘ln H’, es una función de la amplitud



La parte imaginaria de ‘ln H’, es una función de la fase

En un diagrama de amplitud de Bode, la ganancia será:

HdB = 20 log10 H ………. (9.10)

Se puede escribir una función de transferencia generalizada en función de factores que tienen partes reales e imaginarias, es decir, en forma estándar y tiene siete factores distintos que pueden aparecer en diversas combinaciones en una respuesta en frecuencia:

H(w)= K (jw)±n(1+jw/z1)n (jwwk)2+j 2ξ1wwk+ 1 (1+jw/p1)n (jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1 ………(9.11)

H(s)= K (s)±n(1+s/z1)n (swk)2+ 2ξ1swk+ 1 (1+s/p1)n (swn)2+ 2ξ2swn+ 1 ………. (9.12) Donde:

K -Ganancia

(jw)±n -Polo en el origen (jw)-n, Cero en el origen (jw)n

(1+jw a)±n - Polo simple (1+jw a)-n , Cero simple (1+jw a)nFACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 22 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


- Polo cuadrático (jwwk)2+j 2ξ2wwk+ 1-1 , Cero Cuadrático (jwwk)2+j 2ξ1wwk+ 1 9.4.1. TÉRMINOS CONSTANTES K:

Para la ganancia K, la magnitud es HdB = 20 log10 K y la fase es 0°, ambas son constantes con la

frecuencia, ahora si K es negativa, la magnitud se mantiene como HdB = 20 log10 K, pero la fase

corresponde a ± 180°, es decir:

H �� = 20 · log � ∅ = 0° ∀ � > 0

∅ = ±180° ∀ � < 0

Ver gráficos de amplitud y de fase en la figura 9.11 y 9.12, respectivamente:



Figura 9.11

Figura 9.12

9.4.2. POLOS Y CEROS EN EL ORIGEN �±� = ��±� .

Para ‘n’ = 1:



Para el Cero en el origen, la magnitud es HdB = 20 log10 w, y la fase corresponde a tg-1 w=90°; la pendiente de la gráfica es de 20dB/dec, pero la fase es constante para cualquier frecuencia.

Para ‘n’ = - 1: Para el Polo en el origen, la magnitud es HdB = - 20 log10 w, y la fase corresponde a tg-1 w=- 90°; la

pendiente de la gráfica es de - 20dB/dec, pero la fase es constante para cualquier frecuencia. Para ‘n’ > 1 (n = entero): Para el Cero en el origen, la magnitud es HdB = 20 n log10 w, y la fase corresponde a tg-1 w= ‘n 90°’; la

pendiente de la gráfica es de 20 n dB/dec, pero la fase es constante para cualquier frecuencia. Para ‘n’ < - 1 (n = entero):



Para el Polo en el origen, la magnitud es HdB = - 20 n log10 w, y la fase corresponde a tg-1 w= ‘- n 90°’; la pendiente de la gráfica es de – 20 n dB/dec, pero la fase es constante para cualquier frecuencia.

Ver gráfico de Amplitud y de fase en figuras 9.13 y 9.14, respectivamente:

Figura 9.13



Figura 9.14

9.4.3. POLO Y CERO SIMPLE ó DE PRIMER ORDEN. (1+jw/p1 )-n ; (1+jw/z1 )n:

Para ‘n’ = 1

Para un Cero simple, 1+jwz1, la magnitud es HdB = 20 log10 1+jw/z1, pendiente de la gráfica es de 20dB/dec.

HdB = 20 log10 1+jw/z1=20 log10 1+w2z12, para w≪z1, HdB = 20 log10 1 = 0 (primera asíntota)

HdB = 20 log10 1+jw/z1, para w≫z1, HdB = 20 log10wz1 , es decir:(segunda asíntota)



Para w = z1 → HdB = 20 log10wz1 = 0

Para w = 10 z1 → HdB = 20 log10wz1 = 20

Para w = 100z1 → HdB = 20 log10wz1 = 40

Para w = 10000z1 → HdB = 20 log10wz1 = 80

En el gráfico de amplitud de la función de transferencia, de la Figura 9.15, cuando la frecuencia’ w=z1', frecuencia donde las líneas asíntotas se intersectan, reciben el nombre de ‘frecuencia de esquina o frecuencia de corte’

El error implícito en la curva de respuesta asintótica de amplitud, Figura 9.15, se la puede determinar evaluando la función de transferencia en los siguientes casos:

A la frecuencia angular de esquina:( w = z1)

HdB = 20 log101+z12z12 = 20 log102=3 dB



Cuando se compara en el valor asintótico de 0 dB para w=0.5 z1, luego:

HdB = 20 log101+(0.5z1)2z12 = 20 log101.25 ≡1 dB

Vale decir, que la respuesta exacta se representa mediante una curva uniforme que se ubica 3 dB arriba de la

respuesta asintótica en w = z1, y a 1 dB sobre ella en w=0.5 z1, siempre se emplea esta información para

emparejar la esquina, si se desea un resultado más exacto. Para ‘n = -1’:

Para un Polo simple, 1+jwp1 -1, la magnitud es HdB =- 20 log10 1+jw/p1, pendiente de la gráfica es de - 20dB/dec.

HdB =- 20 log10 1+jw/p1=- 20 log10 1+w2p12, para w≪p1, HdB =- 20 log10 1 = 0 (primera asíntota)

HdB =- 20 log10 1+jw/p1, para w≫p1, HdB =- 20 log10wp1 , es decir:(segunda asíntota)



Para w = p1 → HdB = -20 log10wp1 = 0

Para w = 10 p1 → HdB =- 20 log10wp1 = - 20

Para w = 100 p1 → HdB =- 20 log10wz1 = - 40

Para w = 10000 p1 → HdB =- 20 log10wp1 =- 80

En el gráfico de amplitud de la función de transferencia, de la Figura 9.15, cuando la frecuencia’ w=p1', frecuencia donde las líneas asíntotas se intersectan, reciben el nombre de ‘frecuencia de esquina o frecuencia de corte’

El error implícito en la curva de respuesta asintótica de amplitud, Figura 9.15, se la puede determinar evaluando la función de transferencia en los siguientes casos:

A la frecuencia angular de esquina:( w = p1)

HdB =- 20 log101+p12p12 = -20 log102=- 3 dB



Cuando se compara en el valor asintótico de 0 dB para w=0.5 p1, luego:

HdB =- 20 log101+(0.5p1)2p12 = -20 log101.25 ≡-1 dB

Vale decir, que la respuesta exacta se representa mediante una curva uniforme que se ubica - 3 dB abajo de

la respuesta asintótica en w = p1, y a - 1 dB bajo ella en w=0.5 p1, siempre se emplea esta información para

emparejar la esquina, si se desea un resultado más exacto.

Para ‘n’ > 1 (n = entero):

Para un Cero simple, 1+jwz1, la magnitud es HdB = 20 n log10 1+jw/z1, la fase corresponde a tg-1wz1 , la pendiente de la gráfica es de 20 n dB/dec.

Para un Polo simple, 1+jwp1-1 , la magnitud es HdB =- 20 n log10 1+jw/p1, la fase corresponde a - tg-1wz1 , la pendiente de la gráfica es de - 20 n dB/dec.

Ver en Figura 9.15, los gráficos de amplitud y de fase:



Figura 9.15

Para un Cero simple, Hw=1+jwz1, la Fase es:

∅= tg-1wz1 ……………. (9.13)

La ecuación (9.13), también se representa por sus asíntotas, aunque se requieren de tres segmentos rectos. Ver Figura 9.16:



Figura 9.16 De la figura podemos concluir lo siguiente:

Para w <<< z1 → Ángulo H(w) = 0° ∀ w<0.1 z1

Para w >>> z1 → Ángulo H(w) ≡90° ∀ w<10 z1

Para w = z1 → Ángulo H(w) = 45° ∀ w= z1

Vale decir, se construye ahora la asíntota de la línea recta que extiende desde 0° en w = 0.1 z1, pasando por

45° en w= z1, hasta 90° en w = 10 z1, esta línea tiene una pendiente de 45°/dec.

En la curva, respuesta de fase de la Figura 9.17:



Las diferencias máximas entre las respuestas asintóticas y real son ± 5.71°, en w = 0.1 z1 y en w = 10 z1.

Ocurren errores de ± 5.29° en w = 0.394 z1 y w = 2.54z1.

El error es cero en w = 0.159 z1 y en w = 6.31 z1.

En conclusión, la respuesta del ángulo asintótico de Hw=1+jwz1 , se muestra como los tres segmentos de

líneas rectas continuas. Ver Figura 9.17.

Para un Polo simple, Hw=1/(1+jwp1 ), la Fase es:

∅=- tg-1wp1 ……………. (9.13)

La ecuación (9.13), también se representa por sus asíntotas, aunque se requieren de tres segmentos rectos. Ver Figura 9.17:



Figura 9.17

De la figura podemos concluir lo siguiente:

Para w <<< p1 → Ángulo H(w) = 0° ∀ w<0.1 p1

Para w >>> p1 → Ángulo H(w) ≡-90° ∀ w<10 p1

Para w = p1 → Ángulo H(w) = 45° ∀ w= p1

Vale decir, se construye ahora la asíntota de la línea recta que extiende desde 0° en w = 0.1 p1, pasando por

45° en w= p1, hasta 90° en w = 10 p, esta línea tiene una pendiente de 45°/dec.

En la curva, respuesta de fase de la Figura 9.18:



Las diferencias máximas entre las respuestas asintóticas y real son ± 5.71°, en w = 0.1 p1 y en w = 10 p1.

Ocurren errores de ± 5.29° en w = 0.394 p1 y w = 2.54 p1.

El error es cero en w = 0.159 p1 y en w = 6.31 p1.

En conclusión, la respuesta del ángulo asintótico de Hw=1+jwp1 , se muestra como los tres segmentos de

líneas rectas continuas. Ver Figura 9.17.

9.4.4. POLO Y CERO CUADRÁTICO ó DE SEGUNDO ORDEN. (jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1-1 y (jwwk)2+j 2ξ1wwk+ 1 .

Para un Polo cuadrático, (jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1-1, la magnitud es -20log(jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1 y la fase

corresponde a - tg-1 (2ξ2wwn)/(1-w2wn2).

La amplitud de la función de transferencia cuadrática para w = 0:

-20log(jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1 = 0



La amplitud de la función de transferencia cuadrática para w = ∞ :

-20log(jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1 = - 40 logwwn

Para un Cero cuadrático, (jwwk)2+j 2ξ1wwk+ 1 , la magnitud es 20log(jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1 y la fase

corresponde a tg-1 (2ξ2wwn)/(1-w2wn2).

La amplitud de la función de transferencia cuadrática para w = 0:

20log(jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1 = 0

La amplitud de la función de transferencia cuadrática para w = ∞ :

20log(jwwn)2+j 2ξ2wwn+ 1 = 40 logwwn

La gráfica de amplitud está compuesta por dos líneas rectas asintóticas, una con pendiente cero para w < wn y la otra con pendiente de -40 dB/dec para w > wo, para wn = wo , pulsación de esquina o de corte.



El pico importante en la vecindad de la frecuencia de esquina debe añadirse a la aproximación de una línea recta, si se desea un alto nivel de exactitud, sin embargo, utilizaremos la aproximación de la línea recta por simplicidad. Ver Figura 9.18.

Figura 9.18



Ejemplo 9.5. Elabore los diagramas de Bode para la siguiente función de transferencia.

Hw= jw 1+jw 0.5+ jw42 Colocando H(w) en la forma estándar, resaltando los polos y los ceros, por consiguiente:

Hw= 4 jw 1+jw 1+ jw22 La magnitud será:

HdB=20 log104+20 log10jw-20 log101+jw-20 log101+ jw22

HdB=20 log104+20 log10jw-20 log101+jw-40 log101+ jw2 …………(5.1) La fase será:

∅ = 90°- tg-1 w- 2 tg-1 w2 …….. (5.2) En las ecuaciones (5.1) y (5.2), existen dos frecuencias de esquina o de corte, correspondientes a ‘w = 1’ y ‘w

= 2’. Para las gráficas de magnitud y de fase, dibujamos cada término por medio de líneas punteadas o líneas de

trazo delgado, como se muestra en la Figura 9.19-(a) y 9.19-b, en forma respectiva; luego las sumamos gráficamente, punto a punto, para luego obtener la gráfica principal con trazo grueso en la Figura 9.19.

La respuesta en amplitud de H(w):



Figura 9.19-a

La respuesta en Fase de H(w):

Figura 9.19-b

Ejemplo 9.6.



Elabore los diagramas de Bode para la siguiente función de transferencia.

Hw= jw+5jw 10+ jw2

Hw= 0.5 1+ jw5 jw 1+ jw102 La magnitud será:

HdB=20 log100.5+20 log10jw5-20 log10jw-40 log101+ jw10 ….(6.1) La fase será:

∅ = 0°+ tg-1w5 – 90°-2 tg-1 w10 …….. (6.2) En las ecuaciones (6.1) y (6.2), existen dos frecuencias de esquina o de corte, correspondientes a ‘w = 5’ y ‘w

= 10, correspondientes a un cero y a un polo, respectivamente’. Para las gráficas de magnitud y de fase, dibujamos cada término por medio de líneas punteadas o líneas de

trazo delgado, como se muestra en la Figura 9.20-(a) y 9.20-(b), en forma respectiva; luego las sumamos gráficamente, punto a punto, para luego obtener la gráfica principal con trazo grueso en la Figura 9.20.

La respuesta en amplitud de H(w):



(a)

La respuesta en fase de ∅:



(b)

Figura 9.20 Ejemplo 9.7. Elabore los diagramas de Bode para la siguiente función de transferencia:

Hs= 1000 s 20 s+ 200 2 s+ 2 s+ 502+7500 Colocando H(s) en la forma estándar, resaltando los polos y los ceros, por consiguiente:

Hs= 1000 s 200 1+ s10 2 s+ 1 s2+ 100 s+2500+7500 = 1000 s 200 1+ s10 2 s+ 1 s2+ 100 s+10000

Hs= 100000 s 1+ s10 s+ 1 s2+ 100 s+10000 = 100000 s 1+ s10 s+ 1 (s100)2+s100 +110000 Finalmente:



Hs= 10 s 1+ s10 s+ 1 (s100)2+s100 +1 En función de ‘w’:

Hw= 10 jw 1+ jw10 1+jw (jw100)2+jw100 +1 La magnitud será:

HdB=20 log1010+20 log10jw+20 log101+jw10-20 log101+ jw-20 log10(jw100)2+jw100 +1 ….(7.1) La fase será:

∅ = 0°+90°+ tg-1w10 – tg-1w- tg-1 w1001-(w100)2 …….. (7.2) En las ecuaciones (7.1) y (7.2), existen tres frecuencias de esquina o de corte, correspondientes a ‘w = 1’, ‘w =

10 y ‘w’ =100, correspondientes a un cero y a dos polos, respectivamente’. Para las gráficas de magnitud y de fase, dibujamos cada término por medio de líneas punteadas o líneas de

trazo delgado, como se muestra en la Figura 9.21-(a) y 9.21-(b), en forma respectiva; luego las sumamos gráficamente, punto a punto, para luego obtener la gráfica principal con trazo grueso en la Figura 9.22.



(a)

Figura 9.22 (a)



Fig. 9.22(b)

En la Tabla 9.6, se muestra un resumen de los diagramas de magnitud y de fase de línea recta de Bode.



D I A G R A M A S D E B O D E

Tabla 9.6. Resumen de la gráficas de Bode, magnitud y fase para los siete factores



9.5. CIRCUITOS RESONANTES. La industria de la energía eléctrica es una excepción, pues la forma de la onda senoidal aparece por todas

partes, aunque en ocasiones resulta necesario considerar otras frecuencias que introducen la no linealidad de algunos dispositivos, sin embargo, en casi todos los demás sistemas eléctricos, las funciones forzadas y las respuestas no son senoidales.

La resonancia es una condición de operación de un circuito o sistema físico, cuando una función forzada senoidal de amplitud fija produce una respuesta de amplitud máxima, sin embargo, se habla de resonancia aún cuando la función forzada no sea senoidal.

La característica más importante de la respuesta en frecuencia de un circuito, quizá sea el pico pronunciado (pico resonante), que se representa por su amplitud característica.

La resonancia ocurre en cualquier sistema que posee un par de polos complejos conjugados, ésta es la causa por la que la energía almacenada oscila de una forma a otra.

La resonancia es una condición en un circuito RLC, en el cual, las reactancias capacitivas e inductivas son de la misma magnitud, por lo que dan lugar a una impedancia puramente resistiva.

Los circuitos resonantes en conexión serie y conexión paralelo, resultan útiles para construir filtros. 9.5.1. RESONANCIA EN CONEXIÓN SERIE. Considérese el circuito R-L-C, de la Figura 9.21.

Fig. 9.21

Z=Hw= VsI=R+jwL+ 1jwC=R+j(wL-1wC)

Z=R+jwL-1wC …….(9.14) Por condición resonante:

jwL-1wC = 0



wL=1wC Si w= w0 →w0L = 1w0C w0 = 1LC =2πf0 → f0= 12π 1LC …… (9.15) Conclusiones resonantes: La impedancia es puramente resistiva, por lo que Z=R, vale decir, la combinación en serie LC actúa como un

cortocircuito y toda la tensión es aplicada a R.

La tensión Vs y la corriente I, se encuentran en fase, de modo que el factor de potencia es unitario.

La magnitud de la función de transferencia H(w) = Z(w), es mínima. La tensión a través del inductor y del capacitor pueden ser mucho mayores que la tensión de la fuente.

VL=VmR w0 L = Q Vm VL = Q Vm …………… (9.16) VC=VmR 1w0 C = Q Vm

VC= Q Vm ………… (9.17) Donde:

Q-Factor de Calidad

QL= w0 LR ………..(9.18)FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 50 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


QC= 1w0R C ……….(9.19) La respuesta en frecuencia de la magnitud de corriente del circuito:

I = Vm R2+ (wL- 1wC)2 …………. (9.20) La curva de la corriente en función de la frecuencia, se muestra en la Figura 9.22:

Figura 9.22

La potencia promedio del circuito RLC:

Pw= 12 I2 R ………… (9.21) La mayor potencia que se disipa ocurre en la resonancia:

I= VmR ……………..(9.22)



La potencia para w0:

Pw0= 12 I2 R = 12 ( VmR)2 R

Pw0= 12 Vm2R ……….. (9.23)

En ciertas frecuencias correspondientes a w= w1, w= w2, la potencia disipada es la mitad del valor máximo:

Pw1= Pw2= ( Vm2 )2 2R Pw1= Pw2= Vm 2 4 R ………. 9.24 Donde:

w1 y w2 - Frecuencias de media potencia

Estas frecuencias se obtienen igualando Z a 2 R y se puede escribir:

R2+ (wL- 1wC)2 = 2 R Cuyas raíces son de la forma:



w1= R2L+ (R2L)2+1LC …………(9.25)

w2= R2L- (R2L)2+1LC ………… (9.26) Considerando la relación fe frecuencia resonante:

w0 = 1LC → w02 = 1LC …….. (9.27) Reemplazando ecuación (9.27) en (9.25) y (9.26) y multiplicando (9.25) por (9.26), obtenemos la siguiente

relación:

w0 = w1 w2 ……… (9.28) La ecuación (9.28), muestra que la frecuencia resonante, es la media geométrica de las frecuencias de media

potencia.

w1 y w2 no son simétricas alrededor de la frecuencia w0, debido a que la respuesta en frecuencia no es

generalmente simétrica, aunque considerarlas así nos dan aproximaciones razonables. La altura de la curva de corriente está determinada por ‘R’,sin embargo, el ancho de banda de la misma

depende de estos factores. El ancho de de la curva de respuesta depende del ancho de banda ‘B’, que se define como la diferencia entre

las dos frecuencias de media potencia:

B= w2- w1 ……… 9.29 A ‘B’, se la denomina también Ancho de Banda de Media Potencia. Lo importante del fenómeno resonante, se mide cuantitativamente, por medio del Factor de Calidad ‘Q’.



El Factor de Calidad, relaciona la Energía máxima o pico almacenada con la energía que se disipa en el circuito por ciclo de oscilación:

Q=2π Energía pico almacenada en el circuitoEnergía que se disipa por el circuito en un periodo de resonancia …….. (9.30)

Q=2π 12 L I212 R I2T = 2πf LR

Q0= w0 LR = 1w0CR ……… (9.31) La relación entre el Ancho de Banda ‘B’ y el Factor de Calidad ‘Q’, la obtenemos reemplazando ecuaciones

(9.25) y (9.26) en ecuación (9.29):

B = RL = w0Q …………. (9.32)

B = w0Q= w01w0CR = w02 CR ………… (9.32) El Factor de Calidad de un circuito resonante, es la razón entre la frecuencia resultante y su Ancho de Banda,

es decir:



Q0= w0B = w0w2- w1 …………… (9.33) En la Figura 9.23, cuanto más alta la ‘Q’ del circuito, tanto más pequeño el Ancho de Banda:

Figura 9.23.

La selectividad de un circuito RLC, es la capacidad del mismo, para responder a cierta frecuencia y discriminar

a todas las demás. Si la Banda de Frecuencia que se va a seleccionar o a rechazar es estrecha, el Factor de Calidad del circuito

resonante debe ser alto; si la Banda de frecuencias se amplía, el Factor de Calidad debe ser bajo. Un circuito es de alto ‘Q’, cuando su Factor de Calidad es igual o mayor que 10. Las frecuencias de media potencia, son para todos los fines prácticos, simétricas en torno a la frecuencia, vale

decir, es aceptable aproximarlas como:

w1= w0- B2 w2= w0+ B2 ……. (9.34) 9.5.2. RESONANCIA EN CONEXIÓN PARALELO.



Figura 9.24

Del circuito de la Figura 9.24:

it- Señal de Entrada

vt- Señal de Salida

La admitancia de estado permanente ofrecida a la fuente de corriente ideal es:

Yw = 1Z(w)= 1R+ j(wC-1wL)

Ys = 1Z(s)= 1R+ sC+1sL)= sL+ s2 RLC+R RLs = sR+ s2 C+1L s

Ys = C sRC+ s2 +1LC s = C s2+1RCs+ 1LC s

Ys = C s2+1RCs+ 1LC s ………… (9.35) Encontrando raíces del numerador:

s2+1RCs+ 1LC=0FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 56 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


S1,2= -1RC ± (1RC)2-4LC 2 = -1RC ± 4(12RC)2-1LC 2 = -1RC ± 2 (12RC)2-1LC 2

S1,2=-12RC ± (12RC)2-1LC ……….. (9.36)

Tomando en cuenta las siguientes relaciones:

w02 = 1LC ; 12RC = α ……. (9.37) Reemplazando ecuación (9.37) en (9.36):

S1,2=-α ± α2- w02 =-α ± -(w02-α2 )

S1,2=-α ± j w02-α2 ……… (9.38) Si:

wd = w02-α2 ………… (9.39) Reemplazando ecuaciones (9.38) y (9.39) en ecuación (9.35), obtenemos la siguiente ecuación:

Ys = C s+α-j wds+α+j wd s ……….(9.40) Donde:



α - Coeficiente de amortiguamiento exponencial wd - Pulsación correspondiente a la frecuencia resonante natural, no a la frecuencia resonante w0 En la Figura 9.25, se puede ver la constelación de polos y ceros de la Admitancia (a) y de la impedancia (b):

(a)



(b)

Figura 9.25

Un sistema se encuentra en resonancia, cuando la tensión y la corriente en las terminales de entrada de la red están en fase.

También se puede concluir, que se produce una respuesta de amplitud máxima en la red, cuando se encuentra en la condición resonante.

La admitancia será puramente real, es decir:

wC-1wL=0 Reactancias igual a cero

wC=1wL

w0 = 1LC (radseg)



Donde:

w0 - Frecuencia resonante Cuya frecuencia:

f0 = 1 2π LC (Hz) Es necesario apuntar los siguientes criterios: Z = R La magnitud de ‘Z’ disminuye, cuando la frecuencia ‘w’ se acerca o se aleja de ‘w0’

El ángulo de la impedancia Z, es positiva cuando ‘w < w0’

El ángulo de la impedancia Z, es negativo cuando ‘w > w0’

En forma generalizada la impedancia puede escribirse como:

Ze = k1+jQ(ww0- w0w) …….. (9.41) Donde:

k - R Q=R CL w0 = 1LC



Los parámetros ‘k’, ‘Q’ y ‘w0’, caracterizan a ,os circuitos resonantes donde:

w0 - Frecuencia de resonancia, es la frecuencia donde se anulan las reactancias y la magnitud de la impedanciaq es máxima. k - Valor máximo d la impedancia Q - Factor de calidad del circuito resonante, controla la rapidez a la que disminuye Z. A medida que varía la frecuencia ‘w’ de la función forzada, suponiendo una fuente de corriente de amplitud

constante, la respuesta en tensión es proporcional a la impedancia de entrada, es decir:

Zs= s/C ( s+α-j wd ) ( s+α+j wd ) (9.42) La respuesta, empieza en cero, alcanza un valor máximo en la cercanía de la frecuencia resonante y luego

disminuye hasta cero, a medida q ‘w’ se vuelve infinita, ver Figura 9.26:



Figura 9.26

La tensión en los extremos del circuito resonante paralelo, es simplemente I R y la corriente de fuente total ‘I’

fluye por ‘R’, por lo que podemos escribir:

IL = VLjw0L = I Rjw0L

IC = j w0 C VC = j w0 C I R En resonancia:

1w0C = w0 L

IC0 = - IL0 = j w0 C I R

IC0+ IL0 = ILC = 0 La altura de la curva de la figura 9.24, depende sólo de ‘R’, para una excitación de amplitud constante. El Ancho de Banda o la inclinación de los lados depende también de los otros dos valores de los elementos. Lo puntiagudo de la curva de respuesta de cualquier circuito resonante será determinado por la cantidad de

energía máxima que se puede almacenar en el circuito, en comparación con la energía que se pierde durante un periodo completo de la respuesta. Se define como:

Q=Factor de Calidad= 2π Energía máxima almacenada Energía total perdida por ciclo…. (9.43)



La energía sólo se almacena en el inductor y en el capacitor y se pierde únicamente en la resistencia, por lo que puede expresarse la ecuación (9.43), en función de la energía instantánea producida por ambos

elementos reactivos y la potencia promedio PR, disipada en la resistencia, vale decir:

Q= 2πwL t + wC t máx PR T …….. (9.44)

Donde:

T - Periodo de la frecuencia senoidal en el que se evalúa 'Q' Aplicando en el circuito RL, en conexión paralelo de la figura (9.24) y determinar el valor de ‘Q’ a la frecuencia

resonante. Este valor de ‘Q’ generalmente se denota por ‘Qo’. Si la función forzada de corriente en el circuito (9.24), fuera:

it= Im coswot Entonces la respuesta en tensión correspondiente a la resonancia sería:

vt= R it=R Im coswot La energía almacenada en el capacitor:

wCt= 12 C vt2 = 12 C (R Im coswot )2

wCt= 12 C R2Im2cos2wot



wCt= C R2Im2 2 cos2wot …….. (9.45) La energía almacenada en el inductor:

wLt= 12 L it2= 12 L 1Lvtdt2= 12L R Im coswot dt2

wLt= 12L ( R Imwo senwot ) 2 = 12L R2Im21LC sen2wot

wLt= C R2Im22 sen2wot ………. (9.46) La energía total e instantánea será constante, sumando ecuaciones (9.45) y (9.46), tenemos:

wt = wL t + wC t = C R2Im22 sen2wot + C R2Im2 2 cos2wot

wt= C R2Im22 ( sen2wot + cos2wot )

wt= C R2Im22 ………. (9.47) Para obtener la energía perdida en la resistencia en un periodo, se toma la potencia promedio consumida por

la resistencia, es decir:

PR = 12 Im2 R ……. (9.48)FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 64 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


Multiplicando ecuación (9.48) por un periodo, se obtiene:

PRT = 12 Im2 R T = 12fo Im2 R …….. (9.49) Reemplazando ecuaciones (9.47) y (9.49) en ecuación (9.44) del Factor de Calidad:

Q0 = 2π C R2Im22 12fo Im2 R = 2π fo RC

Q0 = w0 RC …….. (9.50)

Q0 = 1LC RC = R CL = RXC,0= RXL,0 ……….. (9.51) Las ecuaciones (9.50) y (9.51), sólo se cumplen para la conexión paralelo, Figura 9.24, al disminuir la

resistencia, disminuye Q0; a medida que la resistencia es menor, es mayor la cantidad de energía que se

pierde en el elemento. Si la capacitancia aumenta, aumenta Q0, sin embargo, si aumenta la inductancia,

disminuye Q0, a la frecuencia de resonancia.

Otra interpretación útil de Q0, se obtiene cuando se analizan las corrientes en el inductor y el capacitor a la

resonancia, según se expresa en la ecuación (9.52) siguiente:



IL,0= - IC,0 = j w0 RCI =j Q0 I …….. (9.52)

Observar que cada una es Q0 veces la corriente de la fuente en amplitud y que cada una está 180° fuera de

fase. Por ejemplo, si se inyectan 10 mA, a la frecuencia resonante a un circuito resonante en paralelo, con un Factor de Calidad de 100, en el circuito se tiene la siguiente distribución de corrientes, en la Resistencia 10 mA, en la Bobina 1 A y en el Capacitor 1 A, por lo que, un circuito resonante ya sea serie o paralelo actúan como un amplificador de tensión y de corriente, respectivamente, pero nó como un amplificador de potencia.

La resonancia, generalmente, se asocia con la respuesta forzada, dado que se define en términos de una

impedancia de entrada (puramente resistiva), un concepto del estado senoidal permanente. Los dos

parámetros más importantes de un circuito resonante son la Frecuencia Resonante w0, y el Factor de Calidad

Q0. Tanto el coeficiente de amortiguamiento exponencial como la frecuencia resonante natural se expresan

en términos de w0 y Q0:

α = 12 RC = 12Q0w0C C

α = w02 Q0 ….. (9.53)



wd = w02-α2 = w02-(w02 Q0 )2

wd = w0 1-(12 Q0 )2 ……… (9.54) 9.5.3. FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO.

Una relación adicional que involucra a ‘w0 y Q0’, para ello tomaremos en cuenta, el factor cuadrático del

numerador de la ecuación de admitancia, es decir:

s2+1RCs+ 1LC ……… 9.55

Puede escribirse en función de ‘α’ y ‘w0’, ver a continuación:

s2+2 α s+ w02 ………9.56 En el campo de la teoría de los sistemas de control, se acostumbra escribir este factor en una forma un poco

diferente, que utiliza el parámetro adimensional ζ (dzeta), denominado factor de amortiguamiento, ver ecuación:



s2+2 ζ w0 s+ w02 ………… (9.57)

La comparación de ambas expresiones permite relacionar ‘ζ’ con otros parámetros:

ζ = αw0 = 12Q0 …………. (9.58) Ahora se interpretará Q0 en términos de las localizaciones de polos y ceros de la admitancia Y(s) del circuito

RLC en paralelo, se mantendrá w0 constante, lo cual se efectuaría cambiando R mientras L y C se mantienen constantes.

A medida que Q0 se incrementa, las relaciones que vinculan α, Q0 y w0, indican que los dos ceros deben acercarse al eje ‘jw’. Tales relaciones indican también que los ceros deben alejarse de manera simultánea del eje σ. La naturaleza exacta del movimiento se aclara cuando se recuerda que el punto en el cual ‘s = jw0’ podría ubicarse sobre el eje ‘jw’ recorriendo un arco, cenrado en el origen, por uno de los ceros y arriba del eje positivo ‘jw’, recorriendo un arco centrado en el origen, por uno de los arriba del eje positivo ‘jw’, puesto que w0 debe ser constante, al igual que el radio y los ceros, por lo tanto, deben moverse a lo largo de este arco hacia el eje ‘jw’ positivo, conforme aumenta Q0.

Los dos ceros se indican en la Figura 9.27 y las dos flechas muestran la trayectoria que siguen conforme crece

‘R’. Cuando ‘R’ es infinita, Q0 también lo es, y los dos ceros se encuentran en s= ± j w0 sobre el eje ‘jw’. A

medida que ‘R’ se reduce, los ceros se mueven hacia el eje ‘σ’ en ‘s = - w0’ cuando R= 12 LC ó Q0= 12 . Esta

condición puede recordarse como la de amortiguamiento crítico, por lo que wd = 0 y α = w0 . Los valores inferiores de ‘R’ y de ‘Q0’ ocasionan que los ceros se sparan y se muevan en direcciones opuestas

sobre el eje ‘σ’ negativo, si bien, estos valores menores de Q0 no son en realidad característicos de los circuitos resultantes, por lo que ya no es necesario buscarlos. Ver Figura 9.27:



Figura 9.27

Los dos ceros de la admitancia Y(s), localizadas en s= -α ±j wd, proporcionan un lugar geométrico

semicircular, conforme ‘R’ aumenta desde 12 LC hasta ∞.

Podemos expresar el Ancho de Banda en función de Q0 y de la frecuencia resonante, para ello, nos basaremos en la admitancia equivalente del RLC en conexión paralelo:

Yw = 1R+ jwC-1wL ……. 9.59

Yw = 1R+ jwC-1wL = 1R+ j 1R wRC-RwL



Yw = 1R+ j 1R wRC-RwL = 1R1 + j wRC-RwL= 1R1 + j w0ww0RC-w0w0w RL

Yw = 1R1 + j Q0 ww0-w0w …… (9.60)

La magnitud de admitancia en resonancia del circuito RLC, es ‘1/R’, pero, después de que una magnitud de la

admitancia de 2 /R puede ocurrir sólo cuando se elige una frecuencia tal que la parte imaginaria de la

cantidad entre paréntesis tiene una amplitud igual a la unidad, reemplazando ‘w’ por los valores límites del Ancho de Banda, es decir w1 y w2, tenemos:

Q0 w2w0-w0w2 = 1 …….. (9.61)

Q0 w1w0-w0w1 = - 1 …….. (9.62) Despejando las frecuencias w1 y w2 de ecuaciones (9.61) y (9.62), obtenemos:

w1 = w0 1+ 12Q02 – 12Q0 ………. 9.63

w2 = w0 1+ 12Q02+ 12Q0 ………. 9.64

w2 - w1 = w0Q0 ………… 9.65



w02 = w2 w1 = w1w2 ……… (9.66)

Los circuitos que poseen un Q0 más alto presentan un Ancho de Banda más estrecho ó una curva de respuesta más puntiaguda.

En la Tabla 9.7, se muestra un resumen de las características de los circuitos resonantes de parámetros RLC,

en conexión Serie y en conexión Paralelo

RESUMEN DE LOS CIRCUITOS RLC RESONANTES EN CONEXIÓN SERIE Y CONEXIÓN PARALELO

CARACTERÍSTICAS CONEXIÓN RLC SERIE CONEXIÓN RLC PARALELO

FRECUENCIA RESONANTE

1LC

1LC

FACTOR DE CALIDAD

w0 LR ó 1w0CR

Rw0L ó w0CR

ANCHO DE BANDA

w0Q

w0Q

FRECUENCIA DE MEDIA

POTENCIA w1, w2

w0 1+(12Q)2 ± w0Q

w0 1+(12Q)2 ± w0Q

PARA Q ≥w1, w2

w0± B2

w0± B2



Tabla 9.7

Ejemplo 9.8. Para el circuito de la Figura 9.8.1, determine:

a) La frecuencia resonante cuando vt e i(t) se encuentran en fase.

b) La Impedancia de entrada, cuando el circuito se encuentra en resonancia.

Figura 9.8.1

a) Por nuestro concepto básico de factor de potencia, éste se define en la carga, por lo tanto, la función de

transferencia a analizar es la siguiente, en forma general:

Hw= V(w)I(w) = Zw= jwL1+ 1jwC+ R* jwL2R+jwL2 ……. (9.8.1)

Del circuito, Figura 9.71, R=L=C=1: reemplazando en ecuación (9.7.1):

Zw= jw+ 1jw+ jw1+jw = j w- 1w + jw ( 1—jw )(1+jw)( 1—jw )



Zw=j w- 1w + jw ( 1—jw )(1+jw)( 1—jw ) = j w- 1w + ( w2+jw )(1+w2)

Zw = j w- 1w + w 1+w2+ w21+w2 …… (9.8.2) La impedancia, en forma general, está dada por:

Z=R+j X ;para cosφ=1 →X=0 Ello quiere decir que la parte imaginaria de la ecuación (9.7.2), debe ser igual a cero:

w- 1w + w 1+w2 =0 → w2-1 w+ w w2+1 =0

w4+ w2-1 =0

w= -1 ± 1+42

w= -1+5 2 = 0.618 radseg ……. (9.8.3)b) La impedancia de entrada será, según ecuación (9.7.2):

Zw = j w- 1w + w 1+w2+ w21+w2 (9.82)



Un circuito se encuentra en resonancia cuando su impedancia equivalente sólo contiene a la componente resistiva ó activa, es decir, la parte reactiva es igual a cero, según ecuación (9.7.2) tenemos:

Zw= w21+w2 ……. 9.8.4 La impedancia a la frecuencia de resoancia:

Zw0= w021+w02 = 0.61821+0.6182

Zw0= 0.145 Ω ……. (9.8.5) Ejemplo 9.9. Para el circuito resonante de la Figura 9.9.1, determine:a) La Impedancia de entrada.b) La impedancia máxima a la frecuencia resonante

Figura 9.9.1

La impedancia de entrada relaciona la siguiente función de transferencia:

Hw= V(w)I(w) = Zw= R1‖jwL)‖(R2+1jwC)



Zw= R1‖jwL)‖R2+1jwC =( R1*jwLR1+jwL )‖R2+1jwC

Zw =( R1*jwLR1+jwL )‖R2+1jwC = jwR1LR1+jwL *R2+1jwC jwR1LR1+jwL +R2+1jwC

Zw = R1jwL (jwCR2+1)jwC*jwR1L +(R1+jwL) jwR2C+1= jwR1L (jwR2C+1)-w2R1LC+(R1+jwL) jwR2C+1

Zw = jwR1L-w2 R1R2LC-w2R1LC+jwR1R2C+R1- w2R2LC+ jwL = jwR1L-w2 R1R2LCR1-w2R1LC- w2R2LC+ jw(L +R1R2C)

Zw = jwR1L-w2 R1R2LCR1-w2R1LC- w2R2LC+ jw(L +R1R2C) ………(9.9.1)

Zw = jwR1L-w2 R1R2LCR1-w2R1LC- w2R2LC+ jw(L +R1R2C) R1-w2R1LC- w2R2LC- jw(L +R1R2C)R1-w2R1LC- w2R2LC- jw(L +R1R2C)



Zw = (jwR1L-w2 R1R2LC)R1-w2R1LC- w2R2LC- jwL +R1R2C(R1-w2R1LC- w2R2LC) 2 + w2(L +R1R2C)2

Zw = jwR12L-jww2R12L2C-jww2R1R2L2C+w2R1L2-w2R12R2LC- (R1-w2R1LC- w2R2LC) 2 + w2(L +R1R2C)2

- w2R12R2LC+ w4R12R2L2C2+ w4R22R1L2C2+jww2R1R2CL2+jww2R12 R22LC2 (R1-w2R1LC- w2R2LC) 2 + w2(L +R1R2C)2 …(9.9.2)

Zw = jwR12L-w2R12L2C-w2R1R2L2C+w2R1R2CL2+w2R12 R22LC2+..(R1-w2R1LC- w2R2LC) 2 + w2(L +R1R2C)2

Un circuito se encuentra en resonancia, cuando la parte imaginaria es igual a cero:

R12L-w2R12L2C-w2R1R2L2C+w2R1R2CL2+w2R12 R22LC2=0



R12L-w2(R12L2C-R1R2L2C+R1R2CL2+R12 R22LC2)=0

R12L 1- w2(LC- R22C2)=0

1- w02LC- R22C2= 0

w0 = 1LC- R22C2 rad/seg……….(9.9.3) La impedancia máxima la frecuencia resonante:

Zw0 = (w02 R1R2LC)2 +(w0R1L)2 (R1-w02R1LC- w02R2LC)2+ (w0L +w0R1R2C)2 ( Ω ) Donde:

w0 = 1LC- R22C2 ( radseg) 9.6. CIRCUITOS DE FILTROS. Al planteamiento de diseñar un circuito que tenga una función de transferencia especificada, se le llama

Diseño de Filtros. Los circuitos de filtros pueden ser muy simples, consistiendo de un solo capacitor o inductor, cuya integración

a una red determinada, propicia un mejor desempeño. También podrían ser bastante complejos, pues pueden constar de muchas resistencias, capacitores,

inductores y amp ops, para obtener la curva de respuesta precisa que se requiere en una aplicación dada. Un Filtro, es un circuito que se diseña para dejar pasar señales con frecuencias deseadas y rechazar o atenuar

otras. Como un dispositivo selectivo de frecuencia, es posible usar un filtro para limitar el espectro de frecuencias

de una señal en cierta banda de frecuencias especificadas; los filtros son los circuitos que se utilizar en los



receptores de radio y de televisión, para permitirnos elegir una señal deseada de una multitud de señales de transmisión en el ambiente.

9.6.1 FILTROS PASIVOS.

Un Filtro es pasivo si consiste sólo de elementos pasivos R, L y C. Existen en diversas variedades, dependiendo de las necesidades de un aplicación particular.

Como se muestra en la figura 9.28, hay cuatro tipos de filtros ya sea como activos o como pasivos, las

podemos nombrar en el siguiente orden: Filtro Pasabajas (a), Figura 9.28 Filtro Pasaaltas (b) ), Figura 9.28 Filtro Pasabanda (c) ), Figura 9.28 Filtro Rechazabanda (d) ), Figura 9.28

Figura 9.28

9.6.1.1. FILTROS PASABAJAS. Cuya respuesta se ilustra a continuación, ver Figura 9.29:



Figura 9.29

La frecuencia de corte ‘wc’, separa el intervalo de frecuencias bajas de las altas, las frecuencias en el intervalo

‘w < wc’, corresponden a la Banda Pasante de este filtro, y las frecuencias en el intervalo ‘w > wc’, corresponden a la Banda Suprimida (Rechaza Banda) de este filtro.

Este tipo de filtro deja pasar frecuencias de bajo de una frecuencia de corte, mientras que amortigua de manera significativa las frecuencias por arriba de dicho corte.

Los componentes de entrada cuyas frecuencias están en la banda pasante experimentan una ganancia unitaria y cero desplazamiento de fase , estas señales se dejan pasar, sin modificación, a la salida del filtro.

Los componentes de la entrada cuyas frecuencias están en la banda suprimida, rechaza-banda, experimentan una ganancia igual a cero, estas señales se eliminan o suprimen.

9.6.1.2. FILTROS PASAALTAS. Cuya respuesta se ilustra a continuación, ver Figura 9.30:

Figura 9.30

Este tipo de filtro deja pasar altas frecuencia y rechazan las frecuencias bajas.



La frecuencia de corte ‘wc’, separa el intervalo de frecuencias bajas de las altas, las frecuencias en el intervalo ‘w < wc’, corresponden a la Banda Suprimida de este filtro, y las frecuencias en el intervalo ‘w > wc’, corresponden a la Banda Pasante (Pasabanda) de este filtro.

9.6.1.3. FILTROS PASABANDA. Cuya respuesta se ilustra a continuación, ver Figura 9.31:

Figura 9.31

Este tipo de filtro deja pasar frecuencias dentro de una banda de frecuencias limitado por dos frecuencias de

corte:

w1 - Frecuencia de corte de Baja Frecuencia, definido por el filtro pasaalta w2 - Frecuencia de corte de Alta Frecuencia, definido por el filtro pasabaja Y bloquea o atenúa las frecuencias fuera de la banda pasante. 9.6.1.4. FILTROS RECHAZABANDA. Cuya respuesta se ilustra a continuación, ver Figura 9.32:



Figura 9.32

Este tipo de filtro deja pasar frecuencias tanto altas como bajas, fuera de una banda de frecuencias limitado

por dos frecuencias de corte:

w1 - Frecuencia de corte de Baja Frecuencia, definido por el filtro pasabaja w2 - Frecuencia de corte de Alta Frecuencia, definido por el filtro pasaalta Y bloquea o atenúa las señales con frecuencias dentro las dos frecuencias de esquina de baja y alta

frecuencia. 9.6.1.5. FILTRO MUESCA. Es un filtro recha-zabanda especializado que se diseña con una característica de respuesta estrecha, lo cual

bloquea un solo componente de frecuencia de la señal 9.6.1.6. FILTRO MULTIBANDA. Se trata de circuitos que tienen múltiples bandas de paso y de supresión. 9.6.1.7. RESUMEN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE FILTROS. En la Tabla 9.7, se muestra un resumen de las características de los cuatro tipos de filtros, tomar en cuenta

que las características en dicha tabla resultan válidas sólo para filtros de primer y segundo orden.



CARACTERÍSTICAS DE TIPOS DE FILTROS

TIPO DE FILTRO H(0)

H(∞)

H(wc) ó H(w0)

PASABAJAS 1 0

12 PASAALTAS 0 1

12 PASABANDA 0 0 1

RECHAZABANDA 1 1 0

Tabla 9.7

Donde: w0 - Frecuencia central, para filtros pasabandas y rechazabandas. wc - Frecuencia de corte, para filtros pasabajas y pasaaltas Consideraremos, ahora, circuitos comunes para poner en práctica los filtros que se presentan en la Tabla 9.7. Ejemplo. 9.6.1. Sea el siguiente circuito, Figura 9.33, e indique el tipo de filtro al que corresponde:

Figura 9.33

En función de la frecuencia será, ver Figura 9.34:

Figura 9.34



La función de transferencia o función de red, del circuito Figura 9.34, puede encontrarse aplicando Divisor de

Voltaje:

V0 = Vi 1jwCR+ 1jwC = Vi 1jwC jwRC+1jwC = Vi 11+jwRC Hw= V0Vi = 11+jwRC ……. (9.6.1.a) Determinando el tipo de filtro:

Hw= 11+jwRC Haciendo tender ‘jw’ a infinito:

H∞= 11+∞RC = 1∞

H∞= 0 …… (9.6.1.b) Haciendo tender ‘jw’ a cero:

H0= 11+0RC

H0= 1 ……. (9.6.1.c)



Determinación de la frecuencia de corte, de esquina o frecuencia de media potencia:

Hw= 11+jwRC La magnitud de la función de transferencia:

Hwc=11+jwcRC = 11+ wc2R2C2 = 12

11+ wc2R2C2 = 12 → 1+ wc2R2C2= 2

wc = 1RC ……. 9.6.1.d El circuito de la Figura 9.34, según Tabla 9.7, corresponde al tipo de Filtro Pasabajas de primer orden, con una

frecuencia de corte de 1/RC, ver Figura 9.35.

Figura 9.35



Ejemplo. 9.6.2. Sea el siguiente circuito, Figura 9.36, e indique el tipo de filtro al que corresponde:

Figura 9.36


Figura 9.37


Voltaje:

V0 = Vi RR+ jwL = Vi 11+ jwLR

Hw= V0Vi = 11+ jwLR ……. (9.6.2.a) Determinando el tipo de filtro:

Hw= 11+ jwLR Haciendo tender ‘jw’ a infinito:



H∞= 11+∞ LR= 1∞


H0= 11+ 0LR

H0= 1 ……. (9.6.2.c) Determinación de la frecuencia de corte, de esquina o frecuencia de media potencia:

Hw= 11+ jwLR La magnitud de la función de transferencia:

Hwc=11+jwcLR = 11+ wc2L2R2 = 12

11+ wc2L2R2 = 12 → 1+ wc2L2R2= 2



wc = RL ……. 9.6.2.d El circuito de la Figura 9.37, según Tabla 9.7, corresponde al tipo de Filtro Pasabajas de primer orden, con una

frecuencia de corte de RL, ver Figura 9.38:

Figura 9.38


Figura 9.39




Figura 9.40


Voltaje:

V0 = Vi RR+ 1jwC = Vi jwRC1+ jwRC

Hw= V0Vi = jwRC1+ jwRC ……. (9.6.3.a) Determinando el tipo de filtro:

Hw= jwRC1+ jwRC Haciendo tender ‘jw’ a infinito:

H∞= jwRC1+jwRC= RC1jw+RC = RC1∞+RC




H0= RC10+RC = RC∞+RC = RC∞


Hw= jwRC1+jwRC La magnitud de la función de transferencia:

Hwc=jwcRC1+jwcRC = wcRC 11+wc2R2C2 = 12

wc2R2C21+wc2R2C2 = 12 → 1+wc2R2C2wc2R2C2= 2

1+wc2R2C2 = 2 wc2R2C2

wc2R2C2 = 1

wc2 = 1R2C2



wc = 1RC ……. 9.6.3.d El circuito de la Figura 9.40, según Tabla 9.7, corresponde al tipo de Filtro Pasaaltas de primer orden, con una

frecuencia de corte de 1RC, ver Figura 9.41:

Figura 9.41 Ejemplo. 9.6.4. Sea el siguiente circuito, Figura 9.42, e indique el tipo de filtro al que corresponde:

Figura 9.42




Figura 9.43 La función de transferencia o función de red, del circuito Figura 9.43, puede encontrarse aplicando Divisor de

Voltaje:

V0 = Vi jwLR+jwL

Hw= V0Vi = jwLR+jwL ……. (9.6.4.a) Determinando el tipo de filtro:

Hw= jwLR+jwL Haciendo tender ‘jw’ a infinito:

H∞= jwLR+jwL = LRjw+L = LR∞+L




H0= LR0+L = L∞+L = L∞


Hw= jwLR+jwL La magnitud de la función de transferencia:

Hwc=jwcLR+jwcL = wcL 1R2+wc2L2 = 12

wc2L2R2+wc2L2 = 12 → R2+wc2L2wc2L2= 2

R2+wc2L2 = 2 wc2L2

R2 = wc2L2

wc2 = R2L2



wc = RL ……. 9.6.4.d El circuito de la Figura 9.43, según Tabla 9.7, corresponde al tipo de Filtro Pasaaltas de primer orden, con una

frecuencia de corte de RL, ver Figura 9.44:

Figura 9.44 Ejemplo. 9.6.5. Sea el siguiente circuito, Figura 9.45, e indique el tipo de filtro al que corresponde:

Figura 9.45


Figura 9.46




Voltaje:

V0 = Vi RR+jwL+ 1jwC = Vi R R+j(wL- 1wC)

Hw= V0Vi = R R+j(wL- 1wC) ……. (9.6.5.a) Determinando el tipo de filtro:

Hw= R R+j(wL- 1wC) Haciendo tender ‘jw’ a infinito:

H∞=R R+j(wL- 1wC) = 1∞

H∞= 0 ……. (9.6.5.b) Haciendo tender ‘jw’ a cero:

H0=R R+j(wL- 1wC) = H0R R+j(wL- 1wC) = R ∞

H0=0 …… (9.6.5.c)FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 94 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


Determinación de la frecuencia de central:

Hw= R R+j(wL- 1wC) La magnitud de la función de transferencia:

Hw0=R R+j(w0L- 1w0C) = R 1R2+(w0L- 1w0C)2 = 1

R2R2+(w0L- 1w0C)2 = 1 → R2+(w0L- 1w0C)2R2= 1

(w0L- 1w0C)2 = 0

w02 = 1LC

w0 = 1LC ……. 9.6.5.d El circuito de la Figura 9.46, según Tabla 9.7, corresponde al tipo de Filtro Pasabanda de segundo orden, con

una frecuencia central igual a 1LC , donde la frecuencia de corte, de esquina o de media potencia

correspondiente a la baja frecuencia, es igual a la frecuencia de corte del filtro pasaalta, es decir igual a 1RC FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 95 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


y la frecuencia de corte, de esquina o de media potencia correspondiente a la alta frecuencia, es igual a la

frecuencia de corte del filtro pasabaja mas la frecuencia central, es decir igual a 1RC+1LC , ver Figura 9.47:

Figura 9.47


Figura 9.48




Figura 9.49

La función de transferencia o función de red, del circuito Figura 9.49, puede encontrarse aplicando Divisor de Voltaje:

V0 = Vi jwL+ 1jwCR+jwL+ 1jwC = Vi j(wL- 1wC)R+j(wL- 1wC)

Hw= V0Vi = j(wL- 1wC)R+j(wL- 1wC) ……. (9.6.3.a) Determinando el tipo de filtro:

Hw= j(wL- 1wC)R+j(wL- 1wC) Haciendo tender ‘jw’ a infinito:

H∞= j(wL- 1wC)R+j(wL- 1wC)= jwL+ 1jwCR+jwL+ 1jwC= L+ 1jwjwCRjw+L+ 1jwjwC

H∞= L+ 1∞R∞+L+ 1∞=1 ……. (9.6.6.b) Haciendo tender ‘jw’ a cero:

H0=jwL+ 1jwCR+jwL+ 1jwC= jw jwL+ 1Cjw R+jw jwL+ 1C

H0== 0L+ 1C0 R+0L+ 1C = 1 …… (9.6.6.c)FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 97 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


Determinación de la frecuencia de central:

Hw= j(wL- 1wC)R+j(wL- 1wC) La magnitud de la función de transferencia:

Hw0=j(w0L- 1w0C)R+j(w0L- 1w0C) = w0L- 1w0CR2+(w0L- 1w0C)2 = 0

w0L- 1w0CR2+(w0L- 1w0C)2 = 0

w0L- 1w0C = 0

w02 = 1LC

w0 = 1LC ……. 9.6.6.d El circuito de la Figura 9.49, según Tabla 9.7, corresponde al tipo de Filtro Rechazabanda de segundo orden,

con una frecuencia central igual a 1LC , donde la frecuencia de corte, de esquina o de media potencia

correspondiente a la baja frecuencia, es igual a la frecuencia de corte del filtro pasabaja, es decir igual a 1RC FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 98 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


y la frecuencia de corte, de esquina o de media potencia correspondiente a la alta frecuencia, es igual a la

frecuencia de corte del filtro pasaalta mas la frecuencia central, es decir igual a 1RC+1LC , ver Figura 9.50:

Figura 9.50

En conclusión de los dos tipos de filtros, el ‘pasa-banda’ y el ‘rechaza-banda’, podemos concluir lo siguiente:

En la Figura 9.51, se pueden observar dos circuitos de filtros pasa-banda constituídos por la conexión en cascada de un circuito de filtro pasaalta y de un circuito de filtro pasabaja de primer orden:

Figura 9.51

En la Figura 9.52, se pueden observar dos circuitos de filtros rechaza-banda constituídos por la conexión en cascada de un circuito de filtro pasabaja y de un circuito de filtro pasaalta de primer orden:



Figura 9.52

9.6.1.8. FILTROS BUTTERWORTH. Las funciones de transferencia de los filtros Butterworth, tienen respuestas en frecuencias de amplitud que se

aproximan a la respuesta en frecuencia de un filtro ideal. Las funciones de transferencia pasabajas de Butterworth están dadas por:

HLs= ±1Ds …..9.6.1.8.1

En el numerador de HLs, puede elegirse +1 ó -1. El polinomio D(s) depende de la frecuencia de corte y del

orden del filtro. Estos polinomios, denominados, polinomios de Butterworth, se muestran en la Tabla 9.6.1.8.1:

O R

D E N

D E N O M I N A D O R D(s)

1

s+1 2

s2+1.41 s+1 3

s+1(s2+1.41 s+1)FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 100 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


4

(s2+0.765 s+1)(s2+1.848 s+1)

5

s+1(s2+0.618 s+1)(s2+1.618 s+1) 6

(s2+0.518 s+1)(s2+1.414 s+1)(s2+1.932 s+1) 7

s+1(s2+0.445 s+1)(s2+1.247 s+1)(s2+1.802 s+1) 8

(s2+0.390 s+1)(s2+1.111 s+1)(s2+1.663 s+1)(s2+1.962 s+1) 9

s+1(s2+0.347 s+1)(s2+ s+1)(s2+1.532 s+1)(s2+1.879 s+1) 10

(s2+0.313 s+1)(s2+0.908 s+1)(s2+1.414 s+1)(s2+1.782 s+1)(s2+1.975 s+1)

Tabla 9.6.1.8.1. Denominadores de filtros pasabajas de Butterworth con una frecuencia de corte de 1rad/seg. Ejemplo. 9.6.7. Sea el siguiente circuito, Figura 9.6.7.1, e indique el tipo de filtro al que corresponde:

Figura 9.6.7.1




Figura 9.53

La función de transferencia o función de red, del circuito Figura 9.40, puede encontrarse aplicando Divisor de Voltaje:

V0 = Vi 1jwCR+jwL+ 1jwC = Vi 1jwC R+jwL+ 1jwC = Vi 1 jwRC+jw2LC+ 1

Hw= V0Vi = 1 (jw)2LC+jwRC+ 1 ……. (9.6.7.a) Determinando el tipo de filtro:

Hw= 1 (jw)2LC+jwRC+ 1 Haciendo tender ‘jw’ a infinito:

H∞=1 ∞LC+∞RC+ 1 = 1∞




H0= 1 0 LC+0 RC+ 1

H0= 1 ……. (9.6.7.c) El circuito de la Figura 9.53, según Tabla 9.7, corresponde al tipo de Filtro Pasabajas de segundo orden. Los filtros de segundo orden son importantes por dos razones: Primero, proporcionan una aproximación de bajo costo de filtros ideales. Segundo, se usan como elementos básicos en filtros de costo mayor que proporcionan aproximaciones más

precisas a los filtros ideales. La respuesta en frecuencia de los filtros de segundo orden está caracterizada por tres parámetros del filtro,

es decir: Una Ganancia ‘k’.

La frecuencia de corte ó de esquina, ’w0’.

El Factor de calidad, Q Un Filtro pasabajas de segundo, como del ejemplo, es un circuito cuya función de transferencia es de la

forma:

Hw= kw02s2+ w0Q s+ w02 ………. (9.6.7.d)

Este circuito es estable cuando w0>0 y Q>0, la función de transferencia puede obtenerse haciendo ‘s = jw’,

la ecuación (9.6.7.d) queda expresado de la siguiente forma en función de la frecuencia:

Hw= kw02-w2+ w0Q jw+ w02 La ganancia del filtro está dada por:



Hw= kw02 (w02-w2)2 + (w0Q w)2

Hw= kw02 (w02-w2)2 + (w0Q w)2 ≡ k ; w≪ w00 ; w≫ w0 En nuestro ejemplo, la función de transferencia:

Hw= 1 (jw)2LC+jwRC+ 1 = 1LC (jw)2+jwRL+ 1LC

Hw= 1LC s2+RLs+ 1LC ……..(9.6.7.e) La relación entre los parámetros del circuito R, L y C y los parámetros del filtro, ganancia ‘k’, frecuencia de

corte ‘w0’ y el Factor de Calidad, ‘Q’, se obtiene comparando la ecuación (9.6.7.e) con la ecuación (9.6.7.d).

Primero se comparan los términos constantes de los denominadores para ver que la frecuencia de corte del filtro está dada por:

w0= 1LC …… (9.6.7.f) Comparando los coeficientes de ‘s’ en los denominadores de ambas ecuaciones:

w0Q = RL ……9.6.7.g Reemplazando ecuación (9.6.7.f) en (9.6.7.g) y despejando el Factor de Calidad:



Q = 1R LC ….. 9.6.7.h Finalmente, comparando los numeradores de ambas ecuaciones, podemos concluir:

k w02 = 1LC ….. (9.6.7.i)

Obsérvese que w0 y Q, están determinadas por los valores de R, L y C, pero siempre en cd, k =1. Ver gráfico

en Figura 9.6.7.a:

Figura 9.6.7.a

Ejemplo 9.6.8. Diseñar un filtro pasabajas de Butterworth de segundo orden con una frecuencia de corte de 2000 Hz. Para los filtros Butterworth de segudo orden, el factor de calidad:



Q= 12=0.707 ….. 9.6.8.a La frecuencia de corte:

w0= wc=2π*2000=12566.37 ……… 9.6.8.b Para diseñar el filtro, podemos usar el circuito mostrado en la Figura 9.6.8.a:

Figura 9.6.8.a

Las ecuaciones de diseño son:

Q = 1R LC = 0.7071 …… (9.6.8.b)

w0 = 1LC=12566.37 ……..(9.6.8.c)

k=1 …….. (9.6.8.d) La ecuación (9.6.8.d), no impone restricciones a los valores de R,L y C. Como el número de incógnitas es mayor al número

de ecuaciones, la solución no es única. Si optamos por definir par el capacitor:

C=0.2 μF →L=1w02C =0.0316 H …… 9.6.8e



R = 2LC = 562 Ω ……. (9.6.8f) Si el dimensionamiento no es satisfactorio, por alguna razón, se ajusta la elección del capacitor y se vuelve a proceder de

la misma forma con los otros dos parámetros. 9.6.2. FILTROS ACTIVOS. Existen tres límites principales para los filtros pasivos, considerados anteriormente: No pueden generar una ganancia mayor a 1, no es posible que los parámetros pasivos suministren energía,

por su misma condición. Es probable que se requieran circuitos de filtros con el uso de inductores voluminosos y caros. Se comportan de manera deficiente a frecuencias por debajo del intervalo de audiofrecuencias El uso de un elemento activo, como el Amplificador Operacional en el diseño de filtros, supera por mucho las

desventajas de los filtros pasivos, se diseñan circuitos de Amp - Op. Para proporcionar ganancias. Asimismo, estos circuitos pueden presentar un comportamiento similar al de los inductores mediante la ubicación estratégica de capacitores.

La circuitería interna de un Amp –Op., tiene capacitancias muy pequeñas (comúnmente del orden de 100 pF), las cuales limitan la frecuencia máxima a la que el Amp – Op. Funcionará de manera apropiada. En consecuencia cualquier circuito de Amp – Op. Se comportará como un filtro pasabajas, con una frecuencia de corte de quizás 20 MHz ó más en dispositivos modernos, dependiendo de la ganancia del circuito.

Sea el siguiente circuito, Figura 9.53:

Figura 9.53

En el circuito de la Figura 9.53, se muestra un tipo de filtro de primer orden, las componentes elegidas para Zi y Zf, determinan si el filtro es pasa-bajas o pasa-altas y la ganancia característica.



9.6.2.1. FILTRO PASABAJAS DE PRIMER ORDEN. Sea el siguiente circuito de Amp –Op., mostrado en la figura 9.54.

Figura 9.54

Escribiendo las ecuaciones para el Nodo ‘v1’:

v1- vi(w) Ri + v1- v0(w) Rf+ v1- v0(w) 1jwC =0 ………(9.67) Pero en los amplificadores:

v1= v2=0 ……….. (9.68) Ecuación (9.68) en (9.67):

- vi(w) Ri + - v0(w) Rf+ -v0(w) 1jwC =0 vi(w) Ri + v0(w) Rf+ jwC v0(w)= viw Ri + v0w( 1 Rf+ jwC ) = 0



viw Ri + v0(w) 1 Rf+ jwC = 0 …….. (9.69) La Función de Transferencia:

Hw= v0(w)vi(w) ……… (9.70) Reemplazando ecuación (9.70) en ecuación (9.69):

Hw= v0(w)vi(w)=- 1Ri 1 Rf+ jwC = - RfRi 11+jwRfCf

Hw= - RfRi 11+jwRfCf ……… (9.71) Donde:

RfRi - La ganancia en corriente contínua a frecuencia baja cuando w→0, en Hw

1RfCf - Frecuencia de Corte= wc

La frecuencia de corte no depende de la resistencia Ri, ello quiere decir que varias entradas con diferentes Ri podrían sumarse, pero la frecuencia de corte o de esquina permanecería igual para cada entrada.

9.6.2.2. FILTRO PASAALTAS DE PRIMER ORDEN. Sea el siguiente circuito de Amp –Op., mostrado en la figura 9.55.



Figura 9.55

Escribiendo las ecuaciones para el Nodo ‘v1’:

v1- vi(w) Ri+1jwCi + v1- v0(w) Rf =0 ………(9.72) Pero en los amplificadores:

v1= v2=0 ……….. (9.73) Ecuación (9.73) en (9.72):

- vi(w) Ri+1jwCi + - v0(w) Rf =0

viw jwCi jwRiCi+1 + v0(w) Rf =0 → viw jwCi jwRiCi+1 = - v0(w) Rf ….. 9.74 La Función de Transferencia:

Hw= v0(w)vi(w) ……… (9.75)



Reemplazando ecuación (9.74) en ecuación (9.75):

Hw= v0(w)vi(w)=- jw Rf Ci1+jwRiCi

Hw =- jw Rf Ci1+jwRiCi …… (9.76) Donde:

RfRi - La ganancia en corriente contínua a frecuencia alta cuando w→∞ en Hw

1RiCi - Frecuencia de Corte= wc 9.6.2.3. FILTRO PASABANDA. Sea el siguiente circuito de 3 etapas de la Figura 9.56:

Figura 9.56

Donde:



Etapa 1 – Filtro Pasaalta y ajusta el valor de la frecuencia de corte de baja frecuencia w1

Etapa 2 – Filtro Pasabaja y ajusta el valor de la frecuencia de corte de alta frecuencia w2

Etapa 3-Amp-Op. Inversor que proporciona la ganancia La Función de Transferencia de la Etapa 1:

Hw1 =- jw R C11+jw R C1 ……. (9.77) La Función de Transferencia de la Etapa 2:

Hw2= - 11+jwRC2 ……… (9.78) La Función de Transferencia de la Etapa 3:

Hw3= - RfRi ……… (9.79) La Función de Transferencia del circuito total en conexión cascada, será:

Hw = Hw1 Hw2 Hw3 …… (9.80) Reemplazando ecuaciones (9.77), (9.78) y (9.79) en ecuación (9.80):



Hw =- jw R C11+jw R C1 - 11+jwRC2 - RfRi

Hw = - RfRi * jw R C11+jw R C1 * 11+jwRC2 ……. (9.81)

La frecuencia de media potencia superior, de alta frecuencia, w2, (Filtro pasabajas):

w2 = 1RC2 …… (9.82)

La frecuencia de media potencia inferior, de baja frecuencia, w1, (Filtro pasaaltas):

w1 = 1RC1 ……. (9.83)

La frecuencia Resonante, w0:

w0= w1 w2 … (9.84) El Ancho de Banda:



B= w2-w1 …… (9.85) El Factor de Calidad:

Q0 = woB ….. (9.86) En forma general la ecuación (9.81), puede escribirse como:

Hw = - k * jw R C11+jw R C1 * 11+jwRC2 ………(9.87) Donde:

k = RfRi …… (9.88) Reemplazando en ecuación (9.87), las frecuencias de corte superior e inferior, ecuaciones (9.82) y (9.83),

tenemos:

Hw = - k * jw w11+jw w1 * 11+jw w2 = - k * jw w1+ jw * w2 w2+ jw ….. (9.89)

La función de transferencia a la frecuencia resonante, w0:



H w0 = - k * j w0 w1+ j w0 * w2 w2+ j w0 →H w0= - k * j w0 w1+ j w0 * w2 w2+ j w0 La magnitud de la función de transferencia:

H w0= k w0 w2( w12+ w02) ( w22+ w02) = k w2w1 w2( w12+ w1 w2) ( w22+ w1 w2) ;s'ecuación (9.84)

H w0= k w2w1 w2( w12+ w1 w2) ( w22+ w1 w2) = k w2w1 w2w1( w1 + w2) w2( w2+ w1 )

H w0= k w2w1 w2w1 w2 ( w1 + w2)2 = k w2w1 w2w1 w2 ( w1 + w2)

H w0= k w2 w1 + w2 …..9.90 Igualando ecuación (9.90) con la ganancia del amplificador, ecuación (9.88):



H w0= k w2 w1 + w2 = RfRi , Luego:

k = RfRi w1 + w2 w2 ……. 9.91 9.6.2.4. FILTRO RECHAZABANDA. Al igual que el filtro pasabanda, se puede construir mediante la conexión paralelo de un filtro pasabaja y un

filtro pasaalta, sea el siguiente circuito, Figura 9.57:

Figura 9.57 Del circuito, Figura 9.57, podemos apuntar lo siguiente: El filtro pasabaja define la frecuencia de media potencia inferior de baja frecuencia. El filtro pasaalta define la frecuencia de media potencia superior de alta frecuencia. El último Amp –Op., es del tipo amplificador sumador.



El circuito de filtro pasabajas se encuentra en paralelo con el circuito de filtro pasaaltas y ambos, a la vez, en

serie con el amplificador sumador, cuyas señales v0' y v0'', relacionaremos con v0, en el siguiente circuito

simple, Ver Figura 9.58.

Figura 9.58

Aplicando Nodos en v1:

v1-v0''Ri + v1-v0'Ri+ v1-v0Rf =0

v1= v2=0

v0''Ri + v0'Ri+ v0Rf =0



v0 = - RfRi v0''+v0' …. 9.92 Aplicaremos ecuación (9.92), para encontrar la función de transferencia del circuito general, Figura 9.57: La función de transferencia para el filtro pasabajas:

Hw=v0'(w)vi(w)= - 11+jwRC1

v0'(w)= - vi(w)1+jwRC1 ….. (9.93) La función de transferencia para el filtro pasaaltas:

Hw=v0''(w)vi(w)= - jwRC21+jwRC2

v0''w= - jwRC21+jwRC2 viw ……… (9.94) Reemplazando ecuación (9.93) y (9.94) en ecuación (9.92), luego:

v0(w) = - RfRi - jwRC21+jwRC2 viw+ - vi(w)1+jwRC1

Hw=v0''(w)vi(w) = RfRi 11+jwRC1 + jwRC21+jwRC2



Hw=RfRi 11+jwRC1 + jwRC21+jwRC2

Hw=k 11+jwRC1 + jwRC21+jwRC2 …… (9.95) Donde:

k =RfRi …….. (9.96)

La frecuencia de media potencia superior, de alta frecuencia, w2, (Filtro pasaaltas):

w2 = 1RC2 …… (9.82)

La frecuencia de media potencia inferior, de baja frecuencia, w1, (Filtro pasabajas):

w1 = 1RC1 ……. (9.83)

La frecuencia Resonante, w0:

w0= w1 w2 … (9.84)



El Ancho de Banda:

B= w2-w1 …… (9.85) El Factor de Calidad:

Q0 = woB ….. (9.86) En forma general la ecuación (9.95), en función de las frecuencias de corte superior e inferior de los circuitos

de filtros pasaaltas y pasabajas, respectivamente, puede escribirse como:

Hw=k 11+jww1 + jww21+jww2 = k w1w1+jw + jww2+jw

Hw = k w1w2+jw+ jw(w1+jw) w1+jw(w2+jw)

Hw = k w1w2+jw w1+ jww1+(jw2) w1+jw(w2+jw) =k w1w2+2jw w1-w2 w1+jw(w2+jw)

La función de transferencia a la frecuencia resonante, w0:

Hw0 =k w1w2+2jw0 w1-w02 w1+jw0(w2+jw0) = k 2jw0 w1 w1+jw0(w2+jw0)



Hw0 = k 2jw0 w1 w1+jw0(w2+jw0) ……… (9.97) La magnitud de la función de transferencia, ecuación (9.96):

Hw0 = k 2jw0 w1 w1+jw0(w2+jw0) = 2k w0 w1 w12+w02 w22+w02

Hw0 = = 2k w1 w2 w1 w12+w1w2 w22+w1w2

Hw0 = = 2k w1 w2 w1 w1( w1 + w2) w2( w2+ w1 )

Hw0 = 2k w1 w2 w1 w1w2 ( w2+ w1 )2 = 2k w1 w2 w1 w1w2 ( w2+ w1 )

Hw0= 2k w1 ( w2+ w1 )

Hw0= k 2 w1 w1+ w2 ……. (9.98) Igualando ecuación (9.98) con la ganancia del amplificador, ecuación (9.96):



H w0= k 2 w1 w1+ w2 = RfRi , Luego: La ganancia a la frecuencia central será:

k = RfRi w1 + w22 w1 ……. 9.99 Ejemplo 9.6.2.1. Diseñe los siguientes circuitos de filtros:1. Pasabajas, con una ganancia en cd de 10 y una frecuencia de media potencia de 800 Hz2. Pasaaltas, con una ganancia de alta frecuencia de 5 y una frecuencia de esquina de 2 KHz. Emplee un

capacitor de 0.2 μF, en el diseño.3. Pasabanda, que permita pasar señales con frecuencias entre 800 y 5000Hz y con K = 20. Emplee una

resistencia ‘R’ de 33 KΩ, en el diseño.

4. Rechazabanda, para w0=20Kradseg, K=5 y Q=10.Emplee R= Ri=10 KΩ.

Solución:

1. Filtro Pasabajas:

Frecuencia de Corte ó de media potencia= wc= 1RfCf …(9.6.2.1.a)

wc= 1RfCf =2πf0= 2π*800=5026.4 …. (9.6.2.1.b) La ganancia en cd:

H0=- RfRi= -10 …….(9.6.2.1.c)



Por la incompatibilidad entre ecuaciones e incógnitas, optamos por definir un capacitor de:

Cf=0.1 μF …… (9.6.2.1.d) Reemplazando ecuación (9.6.2.1.d) en (9.6.2.1.b):

Rf= 1wc Cf= 15026.4*0.1*10-6 = 1989.5 Ω Luego, reemplazando en ecuación (9.6.2.1.c):

- RfRi= -10 → Ri = Rf10 = 1989.510 =199 Ω

Empleando una resistencia de 2KΩ, 200 Ω y 0.1 μF, para Rf, Ri y Cf, respectivamente, podemos diseñar el

filtro de la Figura 9.6.2.1.1. Ver a continuación:

Figura 9.6.2.1.1

2. Filtro Pasaaltas:



Frecuencia de Corte ó de media potencia= wc= 1RiCi …(9.6.2.1.e)

wc=1RiCi =2πf0= 2π*2000=12566.4 …. (9.6.2.1.f) La ganancia en cd:

H0=- RfRi= -5 …….(9.6.2.1.g) Por la incompatibilidad entre ecuaciones e incógnitas, optamos por definir un capacitor de:

Ci=0.2 μF …… (9.6.2.1.h) Reemplazando ecuación (9.6.2.1.h) en (9.6.2.1.f):

Ri= 1wc Ci= 112566.4*0.2*10-6 = 397.8 Ω ….. (9.6.2.1.i)

Luego, reemplazando ecuación 9.6.2.1.i, en ecuación (9.6.2.1.g):

- RfRi= -5 → Rf =5*397.8 =1989.4 Ω



Empleando una resistencia de 2KΩ, 400 Ω y 0.2 μF, para Rf, Ri y Cf, respectivamente, podemos diseñar el

filtro de la Figura 9.6.2.1.2. Ver a continuación:

Figura 9.6.2.1.2

3. Filtro Pasabanda: La frecuencia de corte de baja frecuencia:

w1 = 1RC1 → C1= 1R w1 = 1R 2 π f1 = 133*103*2 π*800

C1= 6.03 nF ……. (9.6.2.1.j)

La frecuencia de corte de alta frecuencia:

w2 = 1RC2 → C2= 1R w2 = 1R 2 π f2 = 133*103*2 π*5000

C2= 0.96 nF…… 9.6.2.1.k La ecuación de ganancia:



RfRi = k w2 w1 + w2 = k f2 f1 + f2 = 20* 5000 800 + 5000

RfRi = 17.24 …… 9.6.2.1.l

Si optamos por definir para Ri:

Ri= 20 KΩ

Reemplazando este valor, en ecuación 9.6.2.1.l, luego:

RfRi = 17.24 → Rf = 344.8 KΩ

Empleando una resistencia de 33 KΩ, 20KΩ, 350 KΩ, 6 nF y 1 nF para R, Rf, Ri y C1 y C2 , respectivamente,

podemos diseñar el filtro de la Figura 9.6.2.1.3. Ver a continuación:



Figura 9.6.2.1.3

4. Filtro Rechazabanda:

La frecuencia resonante, w0:

w0= w1 w2 … (9.6.2.1.m) El Ancho de Banda:

B= w2-w1 …… (9.6.2.1.n) El Factor de Calidad:

Q0 = woB ….. (9.6.2.1.o)

En (9.6.2.1.m):



wo2= w1 w2 = (2*104)2 = 4*108

w1 w2 = 4*108 (radseg)2……..(9.6.2.1.p)

(9.6.2.1.n) en (9.6.2.1.o), luego:

Q0 = wow2-w1 → w2-w1 = woQ0 = 2*10410

w2-w1= 2*103…….. radseg (9.6.2.1.q)

w1= 4*108w2 (9.6.2.1.r)

Ecuación (9.6.2.1.r) en (9.6.2.1.q):

w2- 4*108w2 = 2*103 → w22 - 2*103w2-4*108=0



w2= 2*103± (2*103)2+16 *108 2= 2*103±2*103 1+4 *102 2 La frecuencia de corte de alta frecuencia:

w2= 103±103 1+400 =21*103 radseg………(9.6.2.1.s)

(9.6.2.1.s) en (9.6.2.1.r), luego, la frecuencia de corte de baja frecuencia:

w1= 4*10821*103 =19*103 radseg ……..(9.6.2.1.t) La frecuencia de corte de baja frecuencia:

w1 = 1RC1 → C1 = 1R w1 = 110*103*19*103

C1 = 5.23 nF La frecuencia de corte de alta frecuencia:



w2 = 1RC2 → C2 = 1R w2 = 110*103*21*103

C2 = 4.76 nF

K = RfRi = 5= Rf10*103

Rf = 50 KΩ

Empleando una resistencia de 10 KΩ, 50KΩ, 10 KΩ, 5.23 nF y 4.76 nF para R, Rf, Ri y C1 y C2 , respectivamente, podemos diseñar el filtro de la Figura 9.6.2.1.4. Ver a continuación:



9.6.3. ESCALAMIENTO. A veces es útil el escalamiento de la respuesta y de los elementos del circuito hasta valores dentro los

intervalos prácticos y existen dos formas de escalar un circuito: Escalamiento de magnitud o de impedancia, que consiste en dejar inalterada la respuesta en frecuencia de un

circuito. Escalamiento de frecuencia, que consiste en correr la respuesta en frecuencia hacia arriba o hacia abajo del

espectro de la misma 9.6.3.1. ESCALAMIENTO EN MAGNITUD. En el proceso de incrementar toda la impedancia en una red por un factor, permaneciendo la respuesta en

frecuencia, es decir, si:



IMPEDANCIA R, L

Y C ZR =R ZL =jwL Zc = 1jwC

AFECTADAS POR

UN FACTOR Km Z'R =Km ZR Z'L = Km ZL ZL = Km Zc IMPEDANCIA R, L

Y C INCREMENTADA Z'R =Km R Z'L = Km jwL ZL = Km 1jwC

PARÁMETRO R, L Y C INCREMENTADO R' =Km R L'=Km L C'= CKm

Las variables primas son los nuevos valores y las no primas son los anteriores valore de las impedancias o

parámetros, por ejemplo, para la frecuencia resonante, w0:

w0 = 1LC →→ w'0 = 1L'C'

L'= Km L ; C'= CKm

w'0 = 1Km L* CKm = 1LC = w0FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 132 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


w'0 = w0 9.6.3.1. ESCALAMIENTO DE FRECUENCIA. Es el proceso de correr la respuesta en frecuencia de una der por arriba y/o por abajo del eje de frecuencias,

mientras se mantiene igual la impedancia, es decir, si:

ZL=jwL → Z'L=jw KfL' → L'= LKf

ZC = 1jwC → Z'C = 1(jwKf)C' → C'= CKf

R'=R ; L'= LKf ; C'= CKf ; w'= Kfw

Para la frecuencia resonante, w0:

w0 = 1LC →→ w'0 = 1L'C'

w'0 = 1LKf CKf = KfLC = w0 El Ancho de Banda:



B'= Kf B El Factor de Calidad:

Q'=Q



BIBLIOGRAFÍA:

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[11] David Baez Lopez, Análisis de Circuitos por Computadora. Alfa Omega 1995.

[12] Mack Grady, Fundamental of Electric Power Systems. 2007.

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[14] S. J. Chapman. "Máquinas Eléctricas". Tercera Edición. McGraw Hill 2000.

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