Respuesta en Frecuencia de Un Sistema de Control

Buen da estudiante.

En este modulo iniciaremos con los conceptos y herramientas matemticas de utilidad para el anlisis de sistemas dinmicos para hallar la repuesta en frecuencia.

Consideremos un sistema SISO en rgimen permanente, consideremos que:

La salida sera senoidal y(t) con la misma frecuencia w0 pero posiblemente con diferente amplitud y fase

Respuesta en frecuencia

)()( twRsentr o=

)( fase lay

)( amplitud la Para

)()()( )()()(

)()()( reescribir aly )()()(

luego analisis el para)()()( considere

faseen ocorrimient y Amplitud )()(

jwM

jwMRY

jwRjwMjwYjwRjwMjwY

jwYjwYjwYjwRjwMjwY

jwssRsMsY

YtwYsenty o

=

=

+==

==

==

+=

Al conocer M(jw) caracterizado en magnitud y fase en estado estable y transitorio.

Respuesta en frecuencia

Trazas de bode

Trazas de Bode o trazas logartmicas. Una funcin de transferencia senoidalpuede representarse mediante dos grficas distintas: una que ofrece la magnitud contra lafrecuencia y otra que muestra el ngulo de fase (en grados) contra la frecuencia. Lastrazas de Bode estn formadas por dos grficas: una es el logaritmo de la magnitud de unafuncin de transferencia senoidal y la otra es el ngulo de fase. Ambas se grafican contrala frecuencia en la escala logartmica.La representacin comn de la magnitud logartmica de G(jw) es 20 loglG(jw)l, en dondela base del logaritmo es 10. La unidad que se usa en esta representacin de la magnitud es eldecibel, por lo general abreviado dB. En la representacin logartmica, se trazan las curvassobre papel semilogarftmico, con la escala logartmica para la frecuencia y la escala lineal para cualquier magnitud (en decibeles) o el ngulo de fase (en grados). (El rango de frecuencia deinters determina la cantidad de ciclos logartmicos que se requieren en la abscisa.)La ventaja principal de usar la traza de Bode es que la multiplicacin de magnitudes seconvierte en adicin. Adems, cuenta con un mtodo simple para trazar una curva aproximadade magnitud logartmica. Se basa en aproximaciones asintticas. Esta aproximacin,mediante asntotas (lneas rectas), es suficiente si slo se necesita informacin general sobrela caracterfstica de la respuesta en frecuencia. Si se desea obtener curvas exactas, es fcilcorregir las curvas asintticas. Las curvas de ngulo de fase se dibujan con facilidad si secuenta con una plantilla de la curva de ngulo de fase de 1 + io. Es muy provechoso ampliarel rango de frecuencia baja mediante el uso de una escala logartmica, dado que lascaractersticas de las frecuencias bajas son lo ms importante en los sistemas prcticos.Aunque no es posible graficar las curvas hasta una frecuencia cero, debido a la frecuencialogarftmica (log 0 = -w), esto no significa un problema serio.Observe que la determinacin experimental de una funcin de transferencia se hace simplementesi se presentan datos de la respuesta en frecuencia en la forma de una traza de Bode.

Respuesta en Frecuencia

Sistemas simples

Revisaremos ahora la respuesta de sistemas simples de la forma:1. La ganancia K2. Los factores de integral y de derivada (jw) +/-13. Los factores de primer orden (1 + jwT)+/-14. Los factores cuadrticos [1+ 2(jw/wn) + (jw/wn)2]+/-1Luego de esto se pueden utilizar estos para facilitar la elaboracion de la respuesta en frecuencia

Ganacia K Un numero mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles,en tanto que un nmero menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de magnitudlogaritmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 logK decibeles. El ngulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K enla funcin de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarftmica de la funcinde transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta la curva de fase.La figura 8-3 contiene una lnea de conversin de nmeros a decibeles. El valor en decibelesde cualquier nmero se obtiene a partir de esta lnea. Conforme un nmero aumentaen un factor de 10, el valor correspondiente en decibeles aumenta en un factor de 20. Estose observa a partir de lo siguiente:


Respuesta de ganancia K

Factores de integral y de derivada (jw) +/-1 (polos y ceros en el origen). La magnitudlogartmica de 1/jw en decibeles es

dBwjw

)log(201log20 =

El ngulo de fase de l/jw es constante e igual a -90.En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en trminos de octavas o dcadas.Una octava es una banda de frecuencia de W1 a 2W1, en donde W1 es cualquier frecuencia.Una dcada es una banda de frecuencia de W1 a 10W1, en donde, otra vez, W1es cualquier frecuencia. (En la escala logartmica del papel semilogarftmico, cualquierrazn de frecuencia determinada se representa mediante la misma distancia horizontal.Por ejemplo, la distancia horizontal de w = 1 a o = 10 es igual a la de w = 3 a o = 30.)Si se grafica la magnitud logartmica de -20 log o dB contra w en una escala logarftmica,se obtiene una recta. Para trazar esta recta, necesitamos ubicar un punto (0 dB, w = 1)en ella. Dado que(-20 log 100) dB = (-20 log o -20) dBla pendiente de la recta es -20 dB/dcada (o -6 dB/octava).De la misma manera, la magnitud logarftmica de jw en decibeles es20 log 1 jo/ = 20 log w dBEl ngulo de fase de jw es constante e igual a 90. La curva de magnitud logarftmica es unarecta con una pendiente de 20 dB/dcada. Las figuras a) y (b) muestran curvas de respectivas


Factor integral y derivativo



Graficas de magnitud y fase para los trminos derivador e integrados en el origen

Integrador (a),

Derivador(b)

Ahora luego de observar lo anterior considere un sistema de integrador derivador de orden n es decir:

njwjwG

)(1)( =

dBwnjwnjw n

)log(20log20*)(

1log20 ==Para n=entero realAplicando propiedades de los logaritmos, y para el Angulo de fase que no cambia con la frecuencia ser-90 x n por propiedades de multiplicacin de nmeros complejos

Factores de primer orden (1+jwT)+/-1 La magnitud logartmica del factor de primer orden es



22

2221log20

11log20

11log20 Tw

TwjwT+=+=+

Observe que para frecuencias bajas es decir w

Respuesta en frecuencia de un termino integrados de primer orden G(jw)=1/(1+jwT)




Factores Cuadraticos

Los factores cuadraticos [1+2(jw/wn)+(jw/wn)2] los sistemas de control suelen tener factores cuadraticos de la siguiente forma:

Si >1el termino cuadrtico sae expresa como el producto de dos sistemas de primer orden ahora si 0



Esta frecuencia, wn es la frecuencia de esquina para el factor cuadrtico considerado.Las dos asntotas recin obtenidas son independientes del valor de . Cerca de la frecuenciao = w, ocurre un pico de resonancia, tal como se espera. El factor deamortiguamiento relativo determina la magnitud de este pico de resonancia. Es obvio quela aproximacin mediante las asntotas genera errores. La magnitud del error depende delvalor de . Para valores pequeos de ste, es grande . La figura muestra las curvas exactasde magnitud logartmica junto con las asntotas y las curvas exactas de ngulo de fasepara el factor cuadrtico obtenido mediante la ecuacion descrita con varios valores de . Si se desea hacer correcciones en las curvas asintticas, las cantidades necesarias de correccin en un nmerosuficiente de puntos de frecuencia se obtienen de la figura.



Grafica de respuesta en frecuencia de sistemas de orden 2 (cuadrticos).

SCOTT Donald E., Anlisis de CircuitosCHAN-CHAN-CHAN. Analysis of Linear Networks and SystemsHOSTETER-SAVANT-STEFANI. Sistemas de ControlC.KUO Benjamin. Sistemas Automticos de ControlVALKENBURG VAN. Network AnalysisOGATA, Katsuhiko. Ingeniera de Control Moderno. 3 Edicin . Prentice Hall International, Inc. 2000

Decada: equivale a 10 veces una expresion es decir 10w1 es igual a una decada de w1

Octava: es el equivalenta al doble de una expresion es decir 2w1 es una octava de w1

Respuesta en Frecuencia de Un Sistema de Control

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