Método de La Respuesta de Frecuencia

MÉTODO DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA

Miguel A. Sánchez Bravo

RESPUESTA EN FRECUENCIA

La respuesta en frecuencia es la respuesta del sistema en estadoestacionario ante una entrada sinusoidal de amplitud fija, pero conla frecuencia variable en un cierto rango.

Ventajas del método de respuesta en frecuencia:

1- La respuesta en frecuencia es fácil de obtener experimentalmente. 2- Es posible estudiar la estabilidad en lazo cerrado a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto. 3- El método puede aplicarse a sistemas con retardo de transporte.

RESPUESTA EN FRECUENCIA

x(t) y(t)

X(s) Y(s)G(s)

Para un sistema LTI, a una frecuencia concreta:

fase

Las características de respuestade un sistema ante una entradasinusoidal se pueden obtenerdirectamente de G(jw) = Y(jw)/X(jw),donde G(jw) es la F.T. sinusoidal.

Ganancia YX

G jwY jwX jw

Angulo de Fase G jwY jwX jw)

( )( )( )

( )( )(

DIAGRAMA DE BODE Una de las representaciones gráficas comúnmente utilizada en la

respuesta de frecuencia es el diagrama de Bode. Consiste en dos gráficas, una es la gráfica de la ganancia

logarítmica en dB respecto de la frecuencia y la otra la fase también con la frecuencia.

La ganancia logarítmica está definida por 20 log |G(jw)| dB. La escala de frecuencia es logarítmica. Por lo que éstas gráficas se realizan en papel semilogarítmico, utilizando la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para la ganancia logarítmica (en dB) y el ángulo de fase (en grados).

El rango de frecuencia de interés, determina el número de ciclos logarítmicos que se necesitan sobre el eje de abcisas.

En los diagramas de Bode, las relaciones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia que va desde w1 hasta 2w1. Una relación igual a diez entre dos frecuencias se le denomina década.

DIAGRAMA DE BODE

Ventajas:

a) En un diagrama log. la multiplicación es convertida en suma y la división en resta.

b) Las asíntotas facilitan la representación esquematica del diagrama de Bode.

DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES

1. Ganancia constante : G(s) = K La ganacia logarítmica es 20 log K = constante en dB. El ángulo de fase es 0°.


2. Polo simple en el origen (integrador) 1 1 G(s) = --- G(jω) = --- s jω x

Ganancia : 1 |G(jω)| = --- |G(jω)|dB = - 20 logω (Graficando ω en escala ω logarítmica, se trata de |G(jω)|dB|w=1rad/s = 0 dB la ecuación de una recta con pendiente – 20 dB/dec) Fase : < G(jω) = - π / 2


3. Polo múltiple en el origen 1 1 G(s) = --- G(jω) = ------ sn (jω)n x

Ganancia : 1 |G(jω)| = --- |G(jω)|dB = - 20n log ω (Se trata de ecuación de ωn una recta con pendiente |G(jω)|dB|w=1rad/s = 0 dB - 20n dB/dec) Fase : < G(jω) = - nπ / 2


4. Polo real simple 1 1 G(s) = --------- G(jw) = ---------- τs + 1 jωτ + 1 x -1/τ Ganancia : 1 |G(jω)| = ----------- |G(jω)|dB = - 10 log(1+ω2τ2) √1+ω2τ2 Para ω 0 puede aproximarse : |G(jω)|dB ≈ 0 dB Para ω ∞ : |G(jω)|dB ≈ - 10 log(ω2τ2) = -20logω – 20logτ Es la ecuación de una recta con pendiente – 20 dB/dec, la cual corta al eje 0 dB para ω = 1/τ . En esta frecuencia el módulo es – 3dB.


Fase : < G(jω) = - tan -1 ( ωτ )< G(j0) 0 , < G(j∞) = - π/2 , < G(j/τ) = - π/4


5. Par de polos complejos conjugados

ωn2

G(s) = ---------------------- ξ : relación de amortiguamiento

s2 + 2ξωns + ωn2 ωn : frecuencia natural no amort.

X

X

jωn√1-ξ2

-ξωn

Para 0 < ξ < 1

FACTOR CUADRÁTICO

Frecuencia de resonancia wr

es la frecuencia tal que |G(jw)| es máxima.

Mp G jwr r( )

1

2 1 2

Magnitud del pico de resonancia:

1. En la función de transferencia del sistema sustituir cada variable s por jω, y obtener las expresiones para la ganancia logarítmica y para el ángulo de fase.

2. Identificar las frecuencias de cruce asociadas a los factores básicos de la función de transferencia y trazar las curvas asintóticas. Para la ganancia se trazan rectas con las pendientes adecuadas entre las frecuencias de cruce y se suman. Para el ángulo de fase, se suman las curvas de ángulo de cada factor.

3. Las curvas exactas se obtienen agregando las correcciones apropiadas utilizando las expresiones obtenidas en el paso 1. Generalmente se efectúan correcciones alrededor de las frecuencias de cruce y en las intersecciones de las gráficas con las líneas de 0 dB y – 180°.

Construcción del diagrama de Bode Procedimiento

Construcción del diagrama de Bode (Ejemplo)

+

Construcción del diagrama de Bode: Magnitud

Construcción del diagrama de Bode: Fase

SISTEMAS DE FASE NO MÍNIMA

Los sistemas que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho del plano s, son denominados de fase no mínima.

En el caso de sistemas con la misma magnitud, el rango del ángulo de fase de la F.T. de fase mínima es mínimo, en tanto que el rango del ángulo de fase de la F.T. de fase no mínima es mayor.

Los sistemas de fase no mínima son lentos en su respuesta, debido a su comportamiento defectuoso al comenzar la respuesta.

Ejemplo:

1 + 2s 1 – 2s

G1(s) = ---------- , G2(s) = ----------

1 + 5s 1 + 5s

Observe a continuación, el ángulo de fase de cada sistema:

SISTEMAS DE FASE NO MÍNIMA

RETARDO DE TRANSPORTE

El retardo de transporte o tiempo muerto está presente en una gran cantidad de procesos.

La entrada x(t) y la salida y(t) de un elemento con retardo de transporte están relacionados por

y(t) = x(t – T)

donde T es el tiempo muerto. Por lo que su función de transferencia está dada por:

G(s) = e –Ts

x(t) y(t)

T0 0


Tiene un comportamiento de fase no mínima y tiene retardo excesivo de fase sin atenuación en altas frecuencias. Tales retardos se dan normalmente en sistemas térmicos, hidráulicos y neumáticos.

En el dominio de la frecuencia:

G(jω) = e –jωT = cos ωT – j sen ωT

El gráfico de Bode de magnitud del retardo es 0 dB. El ángulo de fase es – ωT rad = - 57.3 ωT °. A continuación se muestran las gráficas de Bode del retardo de

transporte o tiempo muerto.

Relación entre el tipo de sistema y la gráfica de Bode de

ganancia logarítmica

Sea un sistema con función de transferencia:

El tipo de sistema está dado por el número de polos en el origen (integradores) que tiene.

Un sistema es tipo N si tiene N polos en el origen.

De acuerdo a la pendiente de la asíntota a baja frecuencia de la gráfica de magnitud logarítmica se puede saber el tipo de sistema.

K ( Tas + 1) … ( Tms + 1)G(s) = -------------------------------------

sN ( T1s + 1) … ( Tps + 1)

Si el sistema es tipo 0 (no tiene polos en el origen), la asíntota a baja frecuencia es una línea horizontal.

20 log10 K

dB

w (rad/s)0

Si el sistema es tipo 1 (tiene un polo en el origen), la asíntota a baja frecuencia es una línea con pendiente -20 dB/dec).

20 log10 K

dB

w (rad/s)0w=1 w1

-20 dB/dec

w1 = K

Si el sistema es tipo 2 (tiene dos polos en el origen), la asíntota a baja frecuencia es una línea con pendiente -40 dB/dec).

20 log10 K

dB

w (rad/s)0w=1 w1

-40 dB/dec

w1 = √K

Identificación de una Función de Transferencia a partir de su Diagrama

de Bode

Identificación de una Función de Transferencia

Dadas las curvas de Bode de un sistema, se puede obtener su Función de Transferencia en forma aproximada.

Para lo cual se aproxima la curva de magnitud real con una curva de magnitud asintótica. Los polos y ceros de la función de transferencia ocurren en la intersección de estas asíntotas. Las pendientes sirven por determinar si son polos y ceros y el número de estos.

La curva de fase puede utilizarse para corroborar la función de transferencia identificada con la curva de magnitud asintótica.

Ejemplo 1.- Sean los gráficos de Bode de un sistema

Ejemplo 1.- Aproximando la curva de magnitud

Ejemplo 1.- Análisis

Se observa que en bajas frecuencias la asíntota tiene una pendiente de – 20 dB/dec, lo que indica que existe un polo en el orígen: 1/s

A partir de w = 1 rad/s la pendiente cambia a 0 dB/dec, lo que indica la presencia de un cero real: 1 + s

A partir de w = 100 rad/s la pendiente vuelve a – 20 dB/dec, lo que indica la presencia de un polo real: 1/(1+s/100)

Luego: K (1 + s)G(s) =----------------- s (1 + s/100)


La curva de fase corrobora la función de transferencia determinada.

La ganancia en w = 0.01 rad/s (baja frecuencia):

20 log10 ( K/0.01) = 40

K = 1 Luego la función de transferencia será:

(1 + s)G(s) =----------------- s (1 + s/100)

100 (s + 1)= ----------------- s (s + 100)

Ejemplo 2.- Sean los gráficos de Bode de un sistema

Ejemplo 2.- Aproximando la curva de magnitud


Se observa que en bajas frecuencias la asíntota tiene una pendiente de 0 dB/dec, lo que indica que no existe polo en el orígen.

A partir de w = 1 rad/s la pendiente cambia a 20 dB/dec, lo que indica la presencia de un cero real: 1 + s

A partir de w = 10 rad/s la pendiente vuelve a 0 dB/dec, lo que indica la presencia de un polo real: 1/(1+s/10)

A partir de w = 100 rad/s la pendiente pasa a -40 dB/dec, lo que indica la presencia de polo real doble: 1/(1+s/100)2


La ganancia en baja frecuencia:

20 log10 ( K) = 20

K = 10 Luego la función de transferencia será:

La curva de fase corrobora la función de transferencia determinada.

10 (1 + s)G(s) = ------------------------------ (1 + 0.1s) (1 + 0.01s)2

ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Miguel A. Sánchez Bravo

Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 41

PROYECCIONES EN EL PLANO COMPLEJO

Cuando se tiene una función de una variable compleja F(s), donde s = c + jw , sólo para representar a esa variable son necesarios dos ejes, uno para la parte real (c) y otro para la parte imaginaria (jw). Es decir se necesita un plano, el denominado plano s.



La función toma valores complejos, por lo que es necesario dos ejes mas para poder representar los valores que va tomando la función. Se necesita otro plano, el denominado plano F.



Se denomina "proyección" a la correspondencia que existe entre los puntos del plano s de la variable independiente y los correspondientes que se encuentran en el plano F de la función.

Cuando se proyecta una línea o trayectoria cerrada del plano s, se obtiene uno o mas contornos cerrados en el plano F.



Teorema de Cauchy (Principio del argumento): Si un contorno CS en el plano s, rodea Z ceros y P polos de una

función F(s) y no pasa sobre ningún polo ni cero de F(s) cuando el recorrido es en dirección del movimiento de las agujas del reloj a lo largo del contorno, el contorno correspondiente CF en el plano F rodea al origen de dicho plano, N = Z - P veces en la misma dirección.



Z=1P=1

N=Z-P=0



Z=0P=1

N=Z-P=-1



Z=1P=0

N=Z-P=1


CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST

Si la función F(s) es la ecuación característica de un sistema:

F(s) = 1 + P(s) en el caso de un sistema realimentado típico P(s) = G(s)H(s), se puede aplicar

el Teorema de Cauchy de la siguiente forma:

En el plano s se considera un contorno que encierre todos los puntos que se encuentran en el lado derecho de dicho plano.

De este plano se obtiene el número P de polos de F(s)

que se encuentran en el semiplano derecho del plano s.

Note que los polos de F(s) son los mismos que los polos de P(s).



Del contorno correspondiente en el plano F, se obtiene el número N de veces que está rodeado el origen de este plano.

El contorno en el plano F es igual al contorno en el plano P desplazado de 1. En consecuencia el número de veces que el contorno en el plano F rodea a su origen es igual al número de veces que el contorno en el plano P rodea al punto -1.

De esta manera es mas simple hallar N, porque P(s) se obtiene generalmente en forma factorizada, lo cual facilita trazar su contorno en base a propiedades.

Finalmente se puede hallar Z = N + P , donde Z es el número de ceros de F(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano s, es decir el número de raíces de la ecuación característica que se encuentran en el semiplano derecho del plano s causando inestabilidad.



Por lo tanto puede establecerse el CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST como sigue:

"Un sistema de control cuya ecuación característica es F(s) = 1 + P(s) es estable, si y solamente si : Z = N + P = 0 , donde: N : número de rodeos al punto -1 del contorno en el plano P(s).

P : número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s. Z : número de raíces de la ecuación característica en la parte derecha

del plano s”.

En el caso del sistema realimentado típico P(s) = G(s)H(s).

Criterio de estabilidad de Nyquist

F(s)

-1

Contorno de Nyquist.

Gráfica polar de P(s).

Plano s Plano P(s)j

u

jv

Criterio de estabilidad de Nyquist

Un sistema de retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno .

en el plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s es cero.

P

Un sistema de control con retroalimentación es estable si y solamente si, en el contorno el número de rodeos al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario al

movimiento del reloj es igual al número de polos de P(s) con partes reales positivas. P

Ps



El trazado del contorno de Nyquist en el plano P(s), se obtiene por partes, considerando las siguientes propiedades:

1° El contorno correspondiente al eje positivo jw del plano s, se

obtiene reemplazando s=jw en la función P(s). Esta parte del contorno es denominado gráfico polar de la respuesta de frecuencia.

2° La parte correspondiente al eje negativo jw es la imagen simétrica del eje positivo jw, respecto al eje real.

3° El semicírculo de radio infinito en el plano s, se transforma en el punto (0,0) en el plano P(s).

4° Para una función P(s) con "n" polos en el origen, el contorno en el plano P(s) tiene n semicircunferencias de radio infinito en sentido horario alrededor del origen, cuando s recorre la semicircunferencia de radio e (e 0), necesaria para no pasar sobre los polos en el origen.


Ejemplo 1

)1).(1()(

21

sTsTK

sP

P = 0N = 0Z = 0

Estable para K > 0



Ejemplo 2

)1).(1.()(

21

sTsTsK

sP


Tramo 3

Tramo 1Tramo 2

Tramo 4Para K pequeños N = 0 , luegoZ = 0 : Estable

Para K grandes N = 2, luegoZ = 2 : Inestable

Para K = KCRIT el diagramapasará sobre ( -1,0 ) : Críticamenteestable

P = 0


Ejemplo 2

)1).(1.()(

21

sTsTsK

sG

P = 0N = 0Z = 0

P = 0N = 2Z = 2



TENDENCIA DE LA C. NYQUIST EN BAJAS Y EN ALTAS FRECUENCIAS

Tendencia en bajas frecuencias (w 0): Depende del número de integradores o polos en el origen que tenga la función P(s).

La curva de Nyquist comienza en: Algún punto del eje real, cuando P(s) no tiene polos en el origen. En el infinito sobre la parte negativa del eje imaginario, cuando P(s)

tiene un polo en el origen. En el infinito sobre la parte negativa del eje real, cuando P(s) tiene

dos polos en el origen. En el infinito sobre la parte positiva del eje imaginario, cuando P(s)

tiene tres polos en el origen. Y así sucesivamente.



Tendencia en altas frecuencias (w infinito): Depende de la diferencia entre el número de polos nP de P(s) y el número de ceros nZ de P(s).

Para nP - nZ = 1, la curva llega al origen del plano P(s) tangente a la parte negativa del eje imaginario.

Para nP - nZ = 2, la curva llega al origen del plano P(s) tangente a la parte negativa del eje real.

Para nP - nZ = 3, la curva llega al origen del plano P(s) tangente a la parte positiva del eje imaginario.

Y así sucesivamente.


ESTABILIDAD RELATIVA

Para sistemas con P(s) de fase mínima, es decir no tienen ni ceros ni polos en el semiplano derecho del plano s ( P = 0 ), de acuerdo al criterio de Nyquist, para que sea estable, N debe ser cero, es decir no debe existir rodeos al punto -1 del plano P(s).

Es suficiente el trazo de Nyquist para s = jw para concluir respecto a la estabilidad.

La proximidad del contorno en el plano P(s) al punto -1 es entonces una medida de la estabilidad relativa del sistema.

Esta proximidad indica el grado de estabilidad del sistema, la cual se mide mediante dos parámetros: el margen de ganancia y el margen de fase.



Margen de ganancia: Es el recíproco de la ganancia | P(jw) | para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza - 180°.

También se le define en términos de decibeles:

1 MGdb = 20 log ------------- = - 20 log | P(jw0) | | P(jw0) | donde w0 es la frecuencia en la cual el ángulo de fase de P(jw) es - 180°. Margen de fase: Es el ángulo de fase a través del cual se debe

girar el contorno P(jw) para que el punto de magnitud unitaria |P(jw)| = 1 , pase a través del punto -1 en el plano P(s).

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