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TEMA III

RESPUESTA EN FRECUENCIA.FILTROS

3.1.-Introducción.

3.2.-Diagramas de Bode.3.2.1.-Polos y Ceros Reales

3.2.1.1.-Módulo.3.2.1.2.-Fase.

3.2.2.-Polos y Ceros Complejos3.2.2.1.-Módulo.3.2.2.2.-Fase.

3.3.-Diagrama de Nyquist.

3.4.-Diagrama de Black.

3.5.-Filtros.3.5.1.-Clasificación.3.5.2.-Filtros Pasivos.3.5.3.-Filtros Activos.

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III.1.-INTRODUCCIÓN

En este capítulo vamos a estudiar la respuesta en frecuencia de los circuitos,es decir, como varía su comportamiento frente a variaciones en la frecuencia de laseñal de entrada.

Aparentemente, esto no tiene ninguna utilidad cuando el circuito con el quetrabajamos siempre está excitado con señales de una determinada frecuencia fija(50Hz, por ejemplo). Pero, incluso en este caso, es muy probable que dicha señal nosea perfecta, por lo que podrían presentarse efectos de armónicos no deseados, comoya vimos anteriormente y finalmente llegaríamos a la conclusión de que nos interesaver como esos armónicos afectan al comportamiento de la red, esto es, ver como secomporta frente a señales de frecuencia no deseada.

En otros muchos casos, la principal finalidad del circuito a diseñar esprecisamente esa: su comportamiento en frecuencia. Por ejemplo, si nos interesasediseñar una red que impida el paso de determinadas frecuencias (eliminación de rizadoen rectificación), o favoreciese el paso de otras (sintonización RF), o simplemente nosinterese que el comportamiento no varíe sustancialmente dentro de un determinadorango de frecuencias (ancho de banda de un amplificador de audio).

En definitiva, es tan grande el espectro de situaciones en que nos puedeinteresar conocer la respuesta en frecuencia de una determinada red, que merece porsí misma que le dediquemos, al menos, un capítulo específico.

Vamos a dividir el tema en dos bloques claramente diferenciados. Por un ladoveremos algunos de los métodos más utilizados para, dada la función de transferenciade una red, obtener su respuesta en frecuencia (Métodos de Bode, Nyquist, Black yNichols). Por otro lado veremos las redes cuya finalidad es, precisamente, controlar larespuesta en frecuencia de otros circuitos: los filtros.

En el primer apartado, solamente haremos una exposición exhaustiva para elDiagrama de Bode, y solamente hablaremos algo respecto al Diagrama de Nyquist(dada su importancia en regulación automática: criterio de estabilidad de Nyquist).Respecto al último de los incluidos (Black), nos limitaremos a definirlo ya que su usoes todavía más restringido aún al campo de la Automática.

III.2.- DIAGRAMAS DE BODE

Supongamos que tenemos una función de transferencia de orden 5º. El procesode estudiar su respuesta en frecuencia de forma explícita sería muy complicado (noocurre esto si el proceso se realiza por ordenador, ya que puede representar curvascomplejas calculando gran cantidad de puntos en apenas tiempo). Como resulta queno necesitaremos que la representación sea exacta, sino que, normalmente, nos bastacon una aproximación más o menos fiel (lo que nos suele interesar realmente es laforma que tiene esa respuesta, y algunos valores interesantes, como frecuencias de

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corte, ganancia, etc.), vamos a tratar de obtener esto por un procedimiento sencillo,pero a la vez potente y fiel, que consistirá en la elaboración del llamado Diagrama deBODE.

En esencia de lo que se trata es de representar una función compleja H(p), devariable compleja p = FFFF + jw (que representa la función de transferencia de undeterminado sistema, en el dominio de Laplace).

El procedimiento de Bode representa por separado:

a) *H(jw)*(db) en función de w (módulo).Suponemos que el alumno ya está familiarizado con el concepto de

decibelio (db), por lo que no vamos a entrar en su explicación, solamenterecordar que en nuestro caso, la transformación es:

*H(jw)*(db) / 20@log *H(jw)* (logaritmo decimal)

b) n (jw) en función de w (fase o argumento).

La representación de estas curvas suele realizarse en el llamado papelsemilogarítmico, donde el eje de ordenadas es “normal”, y el de abcisas tiene unaescala logarítmica (con ello se consigue simplificar los cálculos, a la vez que se amplíanotablemente, y esto suele ser muy necesario, el rango de valores a representar).

Estas curvas son lo que se suele denominar "respuesta en frecuencia" de unsistema.

Si el método de Bode terminase aquí, no nos habría aportado nada nuevo, y lacomplejidad de la representación seguiría siendo determinante y prohibitiva. Por suerte,no tendremos que calcular esas curvas de forma exacta, sino que el métododesarrollado por Bode nos permitirá delimitar muy fácilmente el "esqueleto" de éstas(que es lo que, en definitiva nos interesa). Esto es, se obtendrá el comportamientoasintótico y aproximado de las funciones módulo y fase de esa función compleja.

Siguiendo la tónica general, no vamos a entrar en detalles muy específicossobre la rigurosidad matemática de este método, sino que veremos por encima lafilosofía que aporta y daremos una serie de reglas, para la construcción de este tipode gráficas. Para ello, vamos a considerar por separado los casos en que polos o cerossean reales (subdividiendo posteriormente según su orden de multiplicidad) del casoen que sean complejos.

III.2.1.- POLOS Y CEROS REALES.

III.2.1.1.- MÓDULO.

Vamos a estudiar primeramente el caso de polos y ceros simples, esto es, conorden de multiplicidad 1. Posteriormente veremos qué ocurre cuando el orden demultiplicidad aumenta.

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(1)

(2)

(3)

(4)

a) Orden de multiplicidad 1 (polos y ceros simples).

Sea la siguiente función de transferencia:

Puede verse que solamente tiene un polo simple en P = -a (siendo a un númeroreal).

Pasando al dominio de Fourier (sustituyendo la variable p por jw), quedará laexpresión:

Si ahora obtenemos el módulo de dicha función, tendremos:

Esta expresión es relativamente complicada de representar, pero no ocurre lomismo si pasamos a decibelios, y la variable independiente log w en lugar de w:

Llamando x //// log w e y //// 20@@@@log ****H(jw)**** tendremos:

- Para w 6 0 (comportamiento asintótico para bajas frecuencias), esto es,cuando x 6666 4444 entonces y 6666 -20@@@@log ****a**** (que es una recta horizontal).

- Para w 6 4 (comportamiento asintótico para altas frecuencias), esto es, cuandox 6666 4444 entonces y 6666 -20@@@@log w //// -20@@@@x

Esta última es la expresión de una recta de pendiente -20 db/dec (recuérdeseque una década es el intervalo comprendido entre w y 10@@@@w) o bien de -6 db/oct(recuérdese que una octava es el intervalo comprendido entre w y 2@@@@w).

Puede verse fácilmente, que el punto de corte de ambas rectas (representadasen trazos gruesos en la figura adjunta, y que forman el "esqueleto" del diagrama deBode), es wo = ****a****; y que, para este valor, el módulo es

*H(jwo)*(db) = -10@log 2*a*2 = = 10@log 2 - 20 log@*a* = -3 db - 20@log*a*

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Figura 1

(5)

(6)

En trazo un poco más fino puede apreciarse cual será la forma real de la curva

(aproximadamente), que se obtiene "a ojo", de manera que sea lo más suave posibley, obviamente, se acerque a las asíntotas calculadas (en este caso, sabemos que parael valor del polo, la curva pasa 3 db por debajo del esqueleto).

Nótese que, al ser el eje de abcisas logarítmico, nunca puede representarse w=0(ya que ese valor correspondería a x = -4). Las décadas de las escalas logarítmicassiempre empezarán por 100 ó 10 ó 1 ó 0,1,... pero nunca por 0.

En resumen, lo que hay que resaltar es que un polo real (independientementede que esté en el SemiPlano Izquierdo -SPI- o en el derecho -SPD-) y simple, siempreproduce una bajada de -20db/dec (léase "menos 20 decibelios por década").

¿Qué ocurriría en el caso de tener una función con dos polos reales y simples?.Esto lo vamos a "intuir" con el caso concreto de la siguiente transmitancia:

En esta caso tenemos dos polos reales y simples (en -1 y -2). Si hacemos:

Recordando las propiedades de los logaritmos (log A@B = log A + log B),podemos prever que la gráfica final sea una superposición como la indicada en lafigura.

Tendremos una bajada de -20db/dec en Wb1=*-1* = 1 rad/s. y otra superpuestaa ésta (de otros -20db/dec.) en wb2=*-2* = 2 rad/s., lo que provocará una caída final de-40db/dec.

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Figura 2

Figura 3

(7)

En caso de tener un cero, en lugar de un polo, el proceso sería el mismo, conla única diferencia de que ahora tendríamos subidas de +20db/dec. por cada cero realsimple que se tenga en la función de transferencia.

Como caso concreto, puede verse que el Bode de la función H(p) = p+a es:

Un ejemplo conjunto de todo lo visto hasta ahora sería estudiar la respuesta enfrecuencia del sistema cuya transmitancia es:

Esta función vemos que posee un cero en Z = -1, lo que provocará una subidade +20db/dec. en ws1 = 1 rad/s.

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Figura 4

(8)

Figura 5

A la vez tiene dos polos en P1 = -2 y P2 = -3, lo que provocará sendas caídas de-20db/dec. en wb1 = 2 rad/s. y wb2 = 3 rad/s., respectivamente.

Quedaría por que T(0) = 1 = 0db.

Veamos otro ejemplo, obteniendo el diagrama de Bode para el módulo de lafunción:

Puede verse que se tienei) Un cero en Z=-1, lo que nos da una subida de +20db/dec. en Ws=1rad/s.ii) Tres polos en P1=-2, P2=-3 y P3=-4, lo que nos da tres bajadas de -20db/dec.en WB1=2rad/s., WB2=3rad/s. y WB3=4 rad/s., respectivamente.Así mismo, para bajas frecuencias: T(0) = 1/24 = 20@log*T(0)*= -20@log 24 db.

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(9)

(10)

Figura 6

Se puede presentar (y, de hecho se presenta con relativa frecuencia) el caso detener un polo (o cero) en el origen (W=0). Esto da lugar a un problema ya que nopodemos representarlo (recordemos que log 0 = -4). En estos casos, lo que ocurre esque la gráfica ya vendría cayendo (polo) o subiendo (cero) con una pendiente de20db/dec., en lugar de comenzar de forma horizontal. Obviamente, no podemosrepresentar el valor de la función en W=0, por lo que habrá que determinarexplícitamente un punto distinto de 0. Para que no se produzca gran distorsión, elpunto elegido debe estar lo más alejado posible de cualquier valor crítico (ceros opolos). También puede recurrirse a dibujar la curva alrevés, partiendo de la asíntotaW=4, siempre que ésta sea horizontal (esto es, siempre que los grados del numeradory denominador coincidan).

Como ejemplo, construiremos el diagrama de Bode de la función siguiente:

En este caso no tenemos ceros, pero existe un polo en WB1=0rad/s. y otro enWB2=1 rad/s.

Al venir la curva cayendo con pendiente de -20db/dec. (por tener un polo en w=0rad/s.), hemos de calcular el valor de *T(jw)* en algún punto alejado del resto de polos(una década de alejamiento es suficiente). Por ello, elegimos dar el valor deW=0,1rad/s.

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(11)

Figura 7

(12)

(13)

b) Orden de multiplicidad r (polos y ceros múltiples).

En el caso de tener un polo (cero) de orden de multiplicidad 2 en P, lo quepodemos considerar es que tenemos dos polos (ceros) simples muy próximos en losalrededores de w=*P*rad/s. Esto se traduce en que lo que habrá en W=*P*rad/s. seráuna caída (subida si es un cero) de -40db/dec. Si solamente se tiene ese polo, puedeverse que la curva real pasará 6db por debajo (encima si es un cero) del esqueleto deBode.

En general, un polo (cero) real de orden de multiplicidad r produce una caída(subida si es un cero) de -r@@@@20db/dec.

Como ejemplo, veamos la siguiente transmitancia:

Puede verse que las funciones siguientes

tendrían la misma gráfica de Bode, lo que podría ser absurdo. No hay peligro,el diagrama correspondiente a la fase será distinto y no habrá lugar a confusiones.

Otra función interesante es

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Figura 8

Figura 9

En este caso se nos presenta un cero en Z=1 (en el SPD, que no presentaproblemas de estabilidad, al ser un cero y no un polo), con lo que habrá una subida de+20db/dec. en Ws1=1rad/s.

Al mismo tiempo, tenemos un polo en P=-1 (en el SPI), que produciría unabajada de -20db/dec. en WB1=1rad/s.

Así pues, al subida y la bajada se cancelan, con lo cual su aspecto es elindicado en la siguiente figura, a la vista de la cual, esta red parece no hacer nada (lasalida es igual que la entrada), cosa que no es así, ya que la fase si sufre variación.Esta función recibe el nombre de "All-Pass" (Pasa-Todo).

Estas funciones salen cuando los ceros y polos están situados de formasimétrica respecto del eje imaginario (en la figura x representa polo y o un cero)

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Figura 10

(14)

(15)

Normalmente, el problema que se nos suele presentar es un problema deanálisis, es decir, nos encontraremos con una función de transferencia correspondientea un determinado sistema, a partir de la cual deberemos obtener la respuesta enfrecuencia de la forma realizada en los anteriores ejemplos. Ahora bien, también senos puede plantear el problema inverso, esto es, un problema de síntesis (o diseño),en el cual se nos dará cual debe ser la respuesta en frecuencia esperada, y se nospedirá obtener una función de transferencia (la solución no suele ser única) que seadapte a dicha respuesta.

Por ejemplo:

Encontrar una función de transferencia cuya respuesta en frecuencia secorresponda con la siguiente figura:

Observando la curva, podemos avanzar que será una función sin ceros y condos polos situados en f1=10Hz y f2=1MHz, por lo cual una de las posibles sería:

siendo: W1 = 2@B@f1 = 2@B@10 rad/s. y W2 = 2@B@f2 = 2@B@106 rad/s.*A(0)*(db) = 100 db = 20@log *A(0)* Y *A(0)* = 105 Y

de donde obtenemos el valor de K: K = 105@W1@w2 = 4@B2@1012

Luego una de las posibles soluciones es:

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(16)

(17)

Figura 11

(18)

Otra posible solución podríamos haberla obtenido poniendo (p-W) en lugar de(p+W), con lo que los polos estarían en el SPD (esto provocaría inestabilidades).

III.2.1.2.- FASE

En la representación de la fase de una función de transferencia sí que influye(como veremos posteriormente) si el polo o cero está situado a la derecha o a laizquierda del eje imaginario, en el plano complejo. Al igual que para el módulo, polosy ceros tienen un comportamiento opuesto.

Veamos qué ocurre con la fase de la función siguiente:

Vemos pues que un polo real, simple, en el SPI produce una caída de 90º, y lapendiente (que no suele ser necesario tener en cuenta) podría obtenerse calculandola derivada dn/dw.

Nótese que el signo del polo provoca que en lugar de bajada se tenga subida.

En el caso de tener dos polos, basta recordar que la función arc tg (quedenominaremos Arg) tiene propiedades muy parecidas a las del logaritmo. Veámoslo:

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(19)

(20)

Figura 12

Las reglas a aplicar son:

i) Polos en SPD y Ceros en SPI provocan una subida de +90º

ii) Polos en SPI y Ceros en SPD provocan una bajada de -90º.

iii) En caso de orden de multiplicidad r, la subida o bajada de ±90º deberámultiplicarse por el orden de multiplicidad.

iv) Para varios polos o ceros se superponen las caídas o subidas.

Podemos encontrar problemas cuando se tenga un polo o cero en W=0, ya queno está en el SPI ni en el SPD, con lo cual no sabemos si es subida o bajada (encualquier caso, siempre la fase inicial sería de +90º o de -90º). En este caso, hay quecalcular explícitamente cual es la fase cuando w60 (esto es, calcular H(jw) cuando w60y recordar que +jK tiene fase +90º y -jb serán -90º, siendo b un número real positivocualquiera).

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(21)

Figura 13

(22)

(23)

III.2.2.- POLOS Y CEROS COMPLEJOS

Dado que solamente tendremos funciones con coeficientes reales, existe unteorema en Álgebra que demuestra que en tal caso, si aparecen polos o ceroscomplejos, siempre aparecen conjuntamente con sus complejos conjugados.

No vamos a separar aquí los casos de orden de multiplicidad uno y múltiple, sinoque tendremos en cuenta que el efecto es igual que para polos y ceros reales, esto es,las caídas o subidas que veamos para polos o ceros simples, habrá que multiplicarlaspor el orden de multiplicidad en su caso.

III.1.2.1.- MÓDULO

Sea la función

con polos complejos conjugados en P = -a±jb

Se define el amortiguamiento del polo como

El proceso que seguiremos será análogo al caso de polos reales:

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(24)

(25)

Figura 14

a) Si w60 se tendrá:

= -20@log *P*2 = -40@log *P* = Y (recta horizontal)

b) Si w64 tendremos:*T(jw)*(db) = -20@log w2 = -40 log w (recta de pendiente -40db/dec.)

El punto de corte de ambas rectas se encuentra en wo = ****P****

Veamos qué ocurre en el punto w = wo:

****T(jwo)****(db) = -10@log {[a2 + (*P*-b)2][a2+(*P*+b)2]} =

= -10@log {[a2 + *P*2 - 2b*P* + b2][a2 + *P*2 + 2b*P* + b2]} =

= -10@log {[2*P*2 - 2b*P*][2*P*2 + 2b*P*]} = -10@log {4*P*2[*P*-b][*P*+b]} =

= -10@log {(2*P*)2@(*P*2 - b2)} = -20@log 2 - 20@log *P* - 10@log (*P*2 - b2) =

= -6 - 20@log *P* - 10@log a2 = -6 -20@log *P* - 10@log (*P*2@>2) =

= -6 - 40@@@@log ****P**** - 20@@@@log >>>>

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Figura 15

Figura 16

Sabemos que -4 # log > # 0 (recuérdese que 0 # > # 1), por lo cual si

-20@log > $ 6 Y > # 0'5

Así pues, para > # 0'5 la curva pasará por encima del "esqueleto" (se dice eneste caso que la curva presenta resonancia positiva) y para > $ 0'5 la curva pasa pordebajo.

Nótese que en el caso de > = 1 no tenemos polos complejos sino un polo doblereal, y que el resultado coincide con el ya estudiado. Mientras que si > = 0 tenemospolos imaginarios puros, produciéndose en dicho caso una resonancia infinita.

Puede comprobarse que para el caso de ceros en lugar de polos, ocurre algoanálogo, pero en lugar de bajadas tendremos subidas (signo positivo), y lasresonancias (caso de haberlas) serían hacia abajo.

Puede comprobarse que ) no coincide exactamente con el máximo, pero puedetomarse que aproximadamente que sí (esto es, que el máximo está en wo. Cosa tantomás cierta cuanto más se aproxime > a cero).

En definitiva, cada polo (cero) complejo conjugado P de orden de multiplicidadr produce una caída (subida si es cero) de -r@@@@40db/dec. en wo = *P*, y se presentaráresonancia en los casos en que > # 0'5.

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(26)

(27)

(28)

(29)

Figura 17

En el caso de ceros en lugar de polos, puede comprobarse que la gráficaresultante sería de la forma indicada en la figura anexa.

Para terminar, recordar que para el módulo da igual donde se sitúen los poloso ceros (SPD o SPI), pero recordando que, a efectos físicos, polos en el SPDproducen inestabilidades (los ceros no presentan problemas a este respecto).

III.2.2.2.- FASE

Estudiemos el caso más simple:

(supongamos por ahora que a,b , ú) que tiene dos polos complejos conjugadosen P = -a ± jb

Llamando wo = *P* Y

con lo cual la fase de H(jw) será:

donde puede observarse que n60 cuando w60 y n6-B (+B si a<0, o sea, si elpolo está en el SPD, en lugar del SPI) cuando w64.

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(30)

Puede comprobarse fácilmente que la pendiente en el punto w=wo es:

esto es, si a es pequeño (polos cercanos al EI), entonces la pendiente es muygrande, pero si a es grande (polos alejados del EI), la pendiente es mucho más suave.

Podría verse sin problemas que si en lugar de polos tuviésemos ceros, todosería exactamente igual a excepción del signo - que presenta n, con lo cual el efectoes el contrario (igual que en todos los demás casos). En resumen:

i) Polos en SPD y Ceros en SPI provocan una subida de +180º

ii) Polos en SPI y Ceros en SPD provocan una bajada de -180º.

iii) En caso de orden de multiplicidad r, la subida o bajada de ±180º deberámultiplicarse por el orden de multiplicidad.

iv) Para varios polos o ceros se superponen las caídas o subidas.

Una última cosa a tener en cuenta: el caso de tener polos (ceros) imaginariospuros. En este caso, al estar sobre el eje imaginario, no sabemos si tendremos unasubida o una bajada, lo que sí sabemos es que, en todo caso será brusca (pendientevertical), lo que nos indica que es igual, ya que subir o bajar de golpe 180º es lo mismo.Así pues, se elegirá la que mejor nos convenga en el sentido de que la curva finalquede representada entre +180º y -180º, como es lo habitual en este tipo derepresentaciones.

La regla a seguir en este caso es:

i)Dibujar todas los escalones con subidas y bajadas, exceptuando lacorrespondiente al polo (cero) imaginario puro.

ii)Dibujar la curva aproximada.

iii)Cortar la curva horizontalmente a partir de la w correspondiente al valorimaginario puro y subirla o bajarla (según convenga) 180º.

iv)Terminar “recortando” los picos (por encima de +180º bajar a -180º y pordebajo de -180º subir a +180º).

Nótese que si no tenemos polos o ceros imaginarios puros, también se puedeaplicar este procedimiento, pero suprimiendo el punto (iii).

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Figura 18

(31)

(32)

III.3.- DIAGRAMAS DE NYQUIST

Es otra forma de representar una función de variable compleja que, básicamentese resume a realizar una representación en forma polar, siendo el parámetro w. Deesta manera, la representación gráfica de la amplitud (o módulo) y fase de la respuestaen frecuencia puede condensarse en un solo diagrama: curva polar.

Dada una función de transferencia en el dominio de la frecuencia G(jw),podemos ponerla en coordenadas polares de la forma: G(jw) = *G*n

Para cada valor de la frecuencia, puede trazarse un vector, de módulo *G* yángulo (respecto al eje polar) n como representativo de G(jw).

El lugar geométrico de los extremos de todos los vectores será la curva de lafunción de transferencia al variar w desde 0rad/s. a 4. A esta curva se le llamadiagrama de Nyquist.

Para circuitos de primer orden (esto es, que solamente presenten un polo),vamos a ver que su diagrama de Nyquist es una semicircunferencia.

Sea la función de transferencia:

(mediante un simple proceso de normalización hemos pasado a la nuevavariable compleja u).

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(34)

(35)

(36)

Figura 19

Si llamamos X(u) a la parte real de G(ju) e Y(u) a la parte imaginaria,podríamos realizar la representación en paramétricas de la curva:

o bien, podemos pasar a cartesianas, si conseguimos despejar el parámetro uen función de X y sustituir en la expresión de Y, cosa que en este caso sí podemoshacer:

6 Y2 = X - X2 Y X2 + Y2 - X = 0 6

que es una circunferencia de centro (1/2,0) y radio 1/2 (concretamente lasemicircunferencia negativa, de acuerdo con los signos observados antes de elevar alcuadrado una de las ecuaciones anteriores).

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(39)

Figura 20

Para circuitos de segundo orden:

(como veremos en posteriores temas), definiendo u //// W/Wo:

Los puntos límites del diagrama serán:

u = 0 A = 1 n = 0 (punto M)

u = 4 A = 0 n = -180º

El valor de A depende del coeficiente de amortiguamiento >: para valores muygrandes (por supuesto, sin sobrepasar la unidad) el lugar geométrico se aproxima a unsemicírculo, como en el caso de sistemas de primer orden. La influencia de > puedeapreciarse en la figura anterior.

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Figura 21

Para sistemas de orden superior, el lugar geométrico se complica enormemente,pero existen diagramas de Nyquist tabulados en la mayoría de los libros dedicados alControl Automático, donde podríamos consultarlos en caso necesario. No obstante,para el nivel perseguido en el presente volumen, solamente utilizaremos los diagramasde Bode.

III.4.-DIAGRAMA DE BLACK

Los diagramas (o cartas) de Black, son una variación del anterior. También esuna representación en paramétricas, siendo, de nuevo, la frecuencia angular w elparámetro, pero ahora lo que se representa en ordenadas es el módulo de la función,en decibelios, (en lugar de la parte imaginaria) y en abcisas la fase en grados (en lugarde la parte real).

Para un sistema de primer orden, como el representado en el apartado deNyquist, su diagrama de Black sería el siguiente:

III.5.-FILTROS

Una de las aplicaciones más importantes de la técnica de la respuesta a lasfrecuencias la tenemos en el diseño y análisis de filtros. De manera simplificada,podemos decir que un filtro es un circuito sensible a la frecuencia. Un filtro puede dejarpasar señales con frecuencias altas o bajas, o bien una banda de frecuenciasescogida, al tiempo que excluye las demás. Los filtros, como prácticamente todo,admite múltiples posibilidades en cuanto a su clasificación. Quizás la más amplia seala de dividir los filtros en analógicos o digitales. Desde nuestro punto de vista,solamente en aplicaciones electrónicas nos podemos encontrar con filtros de tipodigital, por lo cual, dado que solamente nos ocuparemos de los analógicos, quedaclaro que se debe realizar algún otro tipo de clasificación. En efecto, el siguientecriterio podría ser sobre si los filtros incluyen solamente elementos pasivos o no. Deacuerdo con esto, la clasificación sería en pasivos y activos. De hecho, nosotros

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Figura 22

veremos un punto dedicado expresamente a cada uno de éstos, pero este criterioresponde a un punto de vista constitutivo. Quizás lo más lógico sería intentar buscarun criterio cualitativo, descriptivo de la función que realiza el filtro y no de como estáconstruido. Ésta es la clasificación universalmente utilizada, y mediante la cual,podemos dividir los filtros en grupos, según la franja de frecuencias que limiten. Así,se hablará de filtros “pasa-baja”, “pasa-alta”, “pasa-banda” y “elimina-banda”.

Cabe comentar, que cualquiera de éstos puede ser implementado mediantecircuitos activos o pasivos. Ahora bien, solamente con elementos pasivos, lascaracterísticas obtenidas son muy pobres, por lo que este sistema solamente podrá serutilizado cuando los requisitos exigibles sean lo suficientemente livianos como parapoder ser aceptados. Cuando las exigencias son un poco más altas, sin lugar a dudas,habremos de recurrir a la utilización de filtros activos.

III.5.1.-CLASIFICACIÓN

En la siguiente figura se representan las funciones de transferencia de los cuatroprototipos ideales de filtro.

Esta figura nos detalla la clasificación indicada anteriormente:

a)Filtro pasa-baja (o de paso bajo)(PB). En este caso se pretende que todaslas señales de frecuencia inferior a la llamada frecuencia superior de corte (fc)puedan atravesar sin ningún problema dicho circuito, pero todas las señales de

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( )H sRCs

RCs RC1

11

11

=+

=+/

/(40)

frecuencia superior a ese valor sean rechazadas (es decir, el filtro presente unaimpedancia infinita para señales con f>fc).

b)Filtro pasa-alta (o de paso alto)(PA). Este es el caso dual del anterior: ahoralo que tenemos es una frecuencia inferior de corte (fc), por debajo de la cualno se permitirá el paso de señales, mientras que no habrá oposición a señalesde frecuencia superior a la de corte (cabe intuir que los circuitos encargados deestos dos tipos, sean duales).

c)Filtro pasa-banda (o de banda pasante)(BP). Ahora es solamente una franja,determinada por las frecuencias superior e inferior de corte, la que el filtropermite en su salida, eliminando toda señal cuya frecuencia no esté dentro dedicha franja.

d)Filtro elimina-banda (o de banda de detención)(BD). Es el contrario delanterior, esto es, se permite el paso de toda señal cuya frecuencia quede fuerade una determinada franja. Igualmente que antes, cabe esperar que los circuitosque modelan estos dos últimos tipos sean duales.

También podemos indicar ahora que se pueden obtener filtros de tipo pasa yelimina banda, por combinación de filtros pasa baja y pasa alta. Solamente hay querecurrir a circuitos específicos cuando la banda pasante o de detención sea“extremadamente” estrecha, en cuyo caso se acude expresamente a filtros resonantes.

Lograr codos bien angulosos o caídas netas en las frecuencias de corte ha sidola meta perseguida por varias generaciones de técnicos de diseño. Consideremos, porejemplo, las características de los filtros de paso bajo. Para lograr la acción de filtrosde paso bajo bastaría con un sencillo divisor de tensión RC. Tiene un solo polo y caeríacon una pendiente de -20db/dec. Aun cuando este filtro resulta suficientemente buenoen muchas aplicaciones, existen casos en los que se necesita un filtro más “ideal”. Yasabemos que la pendiente de caída es directamente proporcional al número de polosy que cada polo aumenta la pendiente en -20db/dec (un orden). Como para cada polose necesita un elemento almacenador de energía (C o L), se necesitaría un númeroinfinito de polos, esto es, de dispositivos C o L, para alcanzar el caso ideal. El técnicode diseño deberá llegar a una solución de compromiso que dé el número óptimo depolos para la aplicación de que se trate.

Los Amplificadores Operacionales (OPAMP) han aliviado mucho la tarea deldiseño de filtros. Consideremos un filtro pasa bajo de primero orden, como el circuitodivisor indicado RC, cuya función de transferencia

presenta, como vemos, un polo en T=!/RC, que produciría una caída de -20db/dec. Es,por tanto, el filtro más “pobre” que podemos tener. Supóngase que queremos que lacaída final sea de -40db/dec, siendo la frecuencia de corte la misma (1/RC). Cabría

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( )p pRC1 21

23 5, = − ± (41)

pensar que solamente necesitamos poner en cascada dos circuitos como el anterior,pero esto no es así debido a que el primero se vería “cargado” por el segundo demanera que la situación de los dos polos sería ahora

que difiere de lo deseado.Una solución, podría ser situar entre ambos circuitos un bufer separador,

fácilmente realizable con un simple OPAMP que una su entrada inversora a la salida;la entrada sería la patilla no inversora. Con ello sí que se tendría una función detransferencia equivalente que sería producto de las dos individuales. Ahora bien, estemétodo también presenta problemas ya que al poner en cascada más y más etapas,el valor de la frecuencia superior de corte se reduce en 0.707n, donde n es el orden delfiltro. El resultado es que se reduce el ancho de banda cada vez que se añade unaetapa, por lo que el uso de OPAMP no se reduce a su simple utilización comoadaptadores de impedancia, sino que se trata de una metodología algo mássofisticada.

III.5.2.-FILTROS PASIVOS

Como hemos visto en el punto anterior, los filtros pasivos han sido relegados alcaso de exigencias mínimas en cuanto a calidad del filtro, concretamente en lo que apendientes de caída se refiere. No suelen utilizarse filtros pasivos orden superior a tres(pendientes máximas de 60db/dec.). Pero esto no debe hacernos pensar que no seutilicen. Realmente, los filtros activos solamente se utilizan en aplicaciones electrónicasy para señales de baja potencia. La mayor parte de los filtros utilizados en electricidadsiguen siendo pasivos, debido a que la gran parte de éstos filtros se utilizan de tipopasabaja y con la única finalidad de eliminar componentes armónicos de las redes(incluyendo aquí también el armónico principal para el caso de rectificadores).

En efecto, en el campo de la rectificación, a la salida del rectificador electrónico,el filtro usado en la mayoría de los casos es un simple condensador en paralelo conla carga, de una capacidad lo suficientemente alta como para que presente unaelevada impedancia incluso para la frecuencia fundamental de la red (50 o 60Hz), conello solamente se deja el valor medio (DC) y se eliminan todos los armónicos desde50Hz hacia arriba (esto es, todos).

Para cargas de tipo inductivo se utilizaría como filtro para el rectificador una filtrode bobina, en serie con la carga, que tiene un comportamiento similar al anterior, perocon la ventaja de que se reduce el rizado de la señal de salida tanto más cuanto menorsea la impedancia de la carga (al contrario que el de condensador, que disminuye elrizado cuando aumenta la carga).

Debido a este efecto (que el rizado aumente o disminuya con la carga en unoy otro) se utiliza también el llamado filtro de sección L, que es una cascada de ambos:una bobina en serie y seguidamente un condensador en paralelo con la carga, lo quehace (dentro de un determinado rango) que el rizado no dependa del valor de la carga.

Si esto no es suficiente, se puede añadir otro filtro de condensador antes del

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anterior, obteniéndose un filtro de sección B (por su forma), que suele ser más quesuficiente para los casos más exigentes.

El otro campo donde se utilizan filtros pasivos es en la eliminación de armónicos(no el fundamental) perjudiciales para la red. No vamos a entrar en más este campoya que si vio con todo detalle en el tema relativo a armónicos.

III.5.3.-FILTROS ACTIVOS

Las técnicas más eficaces de diseño de filtros utilizan circuitos OPMAP confunciones de transferencia que tienen sus polos hábilmente distribuidos para lograr losresultados deseados. La situación de los polos depende del polinomio del denominadorde la función de transferencia. Dos de dichos famosos polinomios han sidodesarrollados por Butterworth y Chebyshev.

Del polinomio de Butterworth se dice que da la respuesta máximamente plana.Tiene la característica de poseer la misma anchura de banda independientemente decual sea el orden del filtro a un tiempo que la horizontalidad de la banda pasante y loabrupto de la caída aumentan con el orden del filtro. Este tipo de respuesta se obtienecolocando las raíces del polinomio (polos) sobre una circunferencia del plano srepartidas de forma espaciada (siempre en el SPI).

En ciertos casos, esta solución puede no ser la óptima, por lo que se utilizaráotro diseño basado en un conjunto distinto de polinomios desarrollados por Chebyshev.En lugar de situar los polos sobre una circunferencia de radio constante, los polinomiosde Chebyshev se sitúan sobre una elipse y dan lugar a una caída más abrupta cercade la frecuencia de corte. Desde luego, por esto hay que pagar un precio, el cualconsiste en que en la banda pasante haya un rizado, que suele expresarse en db,siendo de ±1db y a veces de ±3db.. Ambos filtros, una vez fuera de la región detransición caen con la misma pendiente, que define su orden.

En la práctica, existen unas células prediseñadas, que se utilizan siguiendodeterminados criterios, para el diseño de cualquiera de estos filtros (del tipo que sean).Las más utilizadas son las células de Sallen-Key y las células de Rauch (existen detipo paso alto y paso bajo).

Hasta ahora hemos estado estudiando diversas y variadas maneras de diseñode filtros de paso alto y de paso bajo, unipolares y multipolares. Hemos evitado tratarlos filtros de banda pasante y de banda de detención. Ello se debe a que una vezcomprendido el diseño de filtros pasabaja y pasaalta, resulta sencillo combinar dichosdiseños para obtener un filtro de banda pasante o eliminabanda. La siguiente figuraindica como pueden combinarse filtros de paso alto y bajo para conseguir lascaracterísticas deseadas de banda pasante y banda de detención.

Al diseñar estos filtros se ha hecho una hipótesis tácita pero importante. Se hasupuesto que los filtros puestos en cascada o combinados de otra manera no carganel uno al otro. En general, si se utilizan filtros activos, dicha hipótesis suele serjustificada. En cambio, si en el diseño se utilizan filtros pasivos, los resultados sonmucho menos previsibles.

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Figura 23

Si suponemos que el efecto de carga no constituye ningún problema,vemos que al poner en cascada un filtro de paso alto y un filtro de paso bajo seproduce un filtro con banda pasante (donde la frecuencia inferior de corte es lafrecuencia del pasaalta y la superior la del pasabaja que, obviamente debe ser mayorque la otra). De hecho, cuando las frecuencias de corte estén separadas más de unadécada, las dos frecuencias de corte serán aproximadamente iguales a las de corte delfiltro de banda pasante deseado.

El diseño de un filtro de banda de detención sólo es un poco más atractivo queel de uno de banda pasante. En este caso se divide la señal de entrada de manera quesiga dos caminos. El camino superior permite que pasen las señales cuya pulsaciónsea inferior a la de corte del filtro pasabaja, mientras que el camino inferior permite elpaso de las señales cuya pulsación sea superior a la de la frecuencia de corte del depaso alto. Cuando esta última sea mayor que la anterior, la banda comprendida entreambas será una banda de detención. Una vez más, si estas frecuencias están másseparadas de una década, coincidirán con las frecuencias de corte del filtroeliminabanda.

Para terminar, recordar, como ya hemos indicado anteriormente, que, en casode tener que construir filtros de estos dos últimos tipos, pero con bandas pasante o dedetención inferiores a una década, esto es, filtros muy selectivos, no podemos seguireste proceso y hay que recurrir a otros métodos especiales, buscando circuitos quetengan resonancias con un alto factor de calidad, alrededor de la frecuencia central quenos interese.

Para éstos últimos, dadas las frecuencias superior (fs) e inferior (fi), se define:-Ancho de banda: $ = fs - fi-Frecuencia central f0: f0

2 = fifs-Factor de calidad Q: Q = f0 / $ (que mide la agudeza o selectividad del pico de

la respuesta en frecuencia alrededor de la frecuencia central).